Remise à Niveau Mathématiques -...

Mathématiques – RAN3 - Trigonométrie

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RAN3 – Trigonométrie – Cours - Rev 2013

Remise à Niveau Mathématiques Troisième partie : Trigonométrie

Cours


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1 TRIGONOMETRIE 3

1.1 APPROCHE HISTORIQUE 3

1.2 DEFINITIONS PREMIERES 4

1.3 QUELQUES FORMULES DE TRIGONOMETRIE 7

1.4 EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES 12

2 APPLICATIONS A LA GEOMETRIE DU TRIANGLE 17

2.1 TRIANGLE ET CERCLE 17

2.2 RELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE 20

2.3 RELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE 22

3 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 23

3.1 GENERALITES SUR LES FONCTIONS SIN, COS, TAN 23

3.2 FONCTIONS RECIPROQUES 27


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1 Trigonométrie

1.1 Approche historique

La civilisation Sumérienne est considérée à ce jour comme celle qui, la première (4ème millénaire),

inventa et mit en place un système d’écriture et de calcul, utilisant l’écriture cunéiforme. On y

comptait en base 60, avec pour raison principale que ce nombre se découpe de nombreuses

façons en parts entières égales. On dirait aujourd’hui que 60 possède un grand nombre de

diviseurs : 60, 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

Les civilisations Akkadienne puis Araméenne, qui lui succédèrent, reprirent le système de

numération de Sumer. On trouve à la période des 17e–15e siècles avant JC la division du cercle en

360 parties pour obtenir le degré (o) qui est une unité bien adaptée à la mesure des angles

(mesures astronomiques, principalement). Entre les 15e et 8e siècles avant JC, la longueur de

l'année était décrétée à 360 jours, d'après différents écrits.

On voit apparaître chez les astronomes grecs de l’antiquité la notion de tangente d’un angle, dans

l’expression de certains types de calculs. Parallèlement, les mathématiciens envisagent la

géométrie du triangle (plan ou sphérique) sous l’aspect de relations à déterminer entre des angles

et des longueurs : naissance de la trigonométrie (du grec tri-gônas : trois-angle) plane et

sphérique. Les notions de lignes trigonométriques - sinus, cosinus, tangente, cotangente – seront

développées ensuite par les astronomes arabes du haut Moyen Age et des tables de valeurs

seront formées.

Ces travaux se poursuivent activement jusqu'au 18e siècle puis débordent de la géométrie (Euler,

Fourier, Laplace, …) avec l’étude des fonctions trigonométriques.

La trigonométrie dont il sera question ici est la "Trigonométrie plane".


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1.2 Définitions premières

1.2.1 Le nombre ππππ

Initialement, π était défini comme un rapport de grandeurs, celui de l'aire intérieure d'un cercle à

celle du carré construit sur son rayon ou, peu de temps après, comme le rapport du périmètre

d’un cercle à son diamètre. Il n’était pas du tout évident qu’ils ne dépendent pas de la taille du

cercle considéré et soient donc une constante mathématique, et encore moins évident que ces

deux rapports soient égaux (mais on le soupçonnait fortement) !

La lettre pi a été choisie par les grecs en tant qu’initiale de « périmètre » (et on comprend que

Pythagore l’ait adoptée et transmise, entre 550 et 500 avant JC). C’est Archimède qui, au 3e siècle

avant JC, a prouvé que les rapports mentionnés au paragraphe précédent étaient indépendants du

rayon du cercle considéré et qu’ils étaient égaux entre eux.

L'irrationalité de π fut prouvée en 1761 par le Suisse Lambert.

Sa transcendance sera, elle, démontrée en 1882 par l'Allemand Lindemann.

Le calcul d’une valeur approchée de π est une histoire qui remonte aux temps les plus anciens.

De nombreuses méthodes (géométriques ou analytiques) existent pour affiner sa connaissance.

Dans l’antiquité, certains utilisaient la valeur 3, d’autres 3,125 (Babyloniens) ou 3,15 (Egyptiens,

plus tard) ou le rapport 22/7…

En 1999, MM. Kanada et Takahashi ont donné π avec 206 milliards de décimales ; aujourd’hui, on

a dépassé les 2000 milliards de décimales et ce n'est pas fini…

Un tableur donnera π = 3,141592653589793. Dans la pratique, on prend la valeur π = 3,1416.

1.2.2 Le radian

Le degré d’angle présente un inconvénient majeur en sciences : c’est une unité.

Les applications des angles et des lignes trigonométriques sont très présentes en physique

(mécanique, électricité, traitement du signal, etc.) et pour inclure ces notions dans des formules

sans avoir à les agrémenter de conversions, il faut une mesure d’angles sans unités. Le problème

se pose également en mathématiques : l’étude de fonctions trigonométriques, de leurs primitives

et dérivées, l’établissement d’un développement limité, où la variable est un angle, impose la

même contrainte.


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On décide donc d’exprimer un angle comme le rapport de deux longueurs : plaçons-nous sur un

cercle ; un angle est caractérisé par un secteur angulaire, et sa mesure sera le rapport de la

longueur de l’arc par le rayon du cercle. Ainsi, cette mesure s’exprimera sans unité puisque c’est

un rapport mètre/mètre, et on dira qu’on a exprimé l’angle en radians.

Cette définition de la mesure d’un angle α peut être visualisée sur un cercle de rayon 1 (d’unité

sans importance) où la valeur de α en radians sera définie par la longueur de l’arc AM

correspondant :

Un angle de 1 radian est donc caractérisé par un arc dont la longueur vaut exactement le rayon du

cercle.

Un angle d’un tour complet vaut, en radians, 2πR/R, soit 2π. 1 tour = 2π rad

Correspondances radians/tours/degrés/grades:

tours 0 1/12 1/8 1/6 1/4 1/3 1/2 3/4 1

radians 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 π 3π/2 2π

degrés 0 30 45 60 90 120 180 270 360

grades 0 50 100 200 300 400

Le degré se divise en minutes (’) et secondes (’’) d’arc : 60’’ = 1’ et 60’ = 1°

Par exemple : 5,73° = 5°43’48’’

(0,73° × 60 = 43,8’ et 0,8’× 60 = 48’’)

Le grade se divise de façon décimale : décigrade (dgr), centigrade (cgr), milligrade (mgr), etc.

Il est rarement utilisé (parfois en topographie) et tend à être abandonné.

M

A

1

1

Arc AM = α radians α


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1.2.3 Le cercle trigonométrique

Pour disposer d’un outil de base performant, on place notre cercle de rayon 1 au centre d’un

repère (O,(Ox),(Oy)) et on le munit d’un sens direct de rotation (le signe + de la figure ci-dessous),

arbitraire. Les angles sont alors orientés : en tournant dans le sens direct, on leur attribuera une

valeur positive, et négative dans l’autre sens.

A tout point M du cercle correspondra, outre son couple (x, y) de coordonnées, l’angle de vecteurs

( ),OA OM��

, noté α :

1.2.4 Mesure principale et Modulo

A un point M fixé correspond en fait une infinité de valeurs pour l’angle α. En effet, pour aller de A

vers M, on peut faire n’importe quel nombre de tours complets, dans un sens ou dans l’autre,

avant d’arriver à destination.

On doit donc écrire : α = αp + k.2π, où :

* k est un entier relatif quelconque ;

* le choix de la valeur αp se fera dans l’intervalle [0 ; 2π[ : c’est la longueur de l’arc AM, en

tournant dans le sens direct ; αp sera dénommé mesure principale de α.

On écrira aussi : α = αp [2π], et on lira « alpha p modulo 2 pi ».

Dans la figure ci-dessus, la mesure principale de l’angle représenté vaut environ π/6.

Cependant, un angle de π/6 + 2π, π/6 + 6π, π/6 - 2π, π/6 - 12π, etc. sera représenté par le

même point M.


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1.2.5 Lignes trigonométriques d’un angle

Soit un point M du cercle trigonométrique.

Par définition : le sinus de α est l’ordonnée de M : sin(αααα) = yM

son cosinus est l’abscisse de M : cos(αααα) = xM

sa tangente est le rapport des deux : ( ) ( )( )

sintan

cos

αα

α=

* il s’agit donc de la pente du segment [OM]

* tan(α) existe pour α différent de π/2 + kπ.

sa cotangente est l’inverse : ( ) ( )( )( )

cos1cotan

tan sin

αα

α α= =

* cotan(α) existe pour α différent de kπ.

Conséquence : sinus et cosinus d’un angle variable sont des valeurs qui parcourent [-1 ; 1].

Valeurs pour quelques angles remarquables :

1.3 Quelques formules de trigonométrie

1.3.1 Relations immédiates

Quelle que soit la position du point M, le théorème de Pythagore montre immédiatement que :

( ) ( )cos sinα α+ =2 2 1

D’où les relations : ( ) ( )cos

tanα

α=

+2

2

1

1 ( ) ( )

( )tan

sintan

αα

α=

+

22

21


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1.3.2 Relations de symétrie

On donnera ici les formules relatives au sinus et cosinus.

Les conséquences sur tangente et cotangente en découlent par définition.

Angles opposés

cos(-αααα) = cos(αααα) ; sin(-αααα) = -sin(αααα)

Angles supplémentaires (somme = ππππ)

cos(π−π−π−π−αααα) = -cos(αααα) ; sin(π−π−π−π−αααα) = sin(αααα)

Angle dont la différence vaut ππππ

cos(π+π+π+π+αααα) = -cos(αααα) ; sin(π+π+π+π+αααα) = -sin(αααα)

Angles complémentaires (somme = ππππ/2)

cos(π/2−π/2−π/2−π/2−αααα) = sin(αααα) ; sin(π/2−π/2−π/2−π/2−αααα) = cos(αααα)


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Angles dont la différence vaut ππππ/2

cos(ππππ/2+αααα) = -sin(αααα) ; sin(ππππ/2+αααα) = cos(αααα)

Ces relations se retrouvent aisément à l’aide d’un rapide schéma, il n’est pas utile de les retenir

par cœur. Elles sont valables quelle que soit la valeur de α.

1.3.3 Formules d’addition et d’angle double

Les formules d’Euler, liant cosinus et sinus à des exponentielles complexes, que l’on verra en cours

dans le chapitre traitant des nombres complexes, permettent d’établir que :

cos(α+β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β)

sin(α+β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)

( ) ( ) ( )( ) ( )

tan tantan

tan tan

α βα β

α β+

+ =−1

Les formules de soustraction en découlent, en remplaçant β par –β :

cos(α−β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)

sin(α−β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)

( ) ( ) ( )( ) ( )

tan tantan

tan tan

α βα β

α β−

− =+1


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Dans le cas où α = β, les formules d’addition deviennent celles de l’angle double :

cos(2αααα) = cos²(αααα) – sin²(αααα)

sin(2αααα) = 2sin(αααα)cos(αααα)

( ) ( )( )

tantan

tan

αα

α=

− 2

22

1

De plus, la relation ( ) ( )cos sinα α+ =2 2 1 permet de compléter :

cos(2αααα) = cos²(αααα) – sin²(αααα) = 2cos²(αααα) – 1 = 1 – 2sin²(αααα)

Il est utile d’en passer par là lorsque, par exemple, on souhaite calculer l’intégrale du carré d’un

cosinus ou d’un sinus.

1.3.4 Formules utilisant le demi-angle

Lignes trigonométriques du demi-angle :

On peut en établir à partir des dernières égalités ci-dessus :

( ) ( ) ( )( )

cos cos coscos ; sin ; tan

cos

α α αα α αα

+ − − = ± = ± = ± +

1 1 1

2 2 2 2 2 1

Formules utilisant la tangente du demi-angle :

Posons tanα = 2

t .

On a : ( )sin cos

sin sin cossin cos

α αα αα

α α

= = +

2 2

22 2

22 2

2 2

, et en simplifiant par cosα

2

2 :

( )sin α =+ 2

2

1

t

t

De par le même principe, nous obtenons : ( )cost

tα −=

+

2

2

1

1 et donc ( )tan

t

tα =

− 2

2

1 où l’on

reconnaît la formule de la tangente de l’angle double établie au point 1.3.3.


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1.3.5 Formules de transformation

On veut transformer en produit : sin(α) ± sin(β) et cos(α) ± cos(β).

Les formules d’addition et de soustraction du sinus permettent d’écrire :

sin(α+β) + sin(α−β) = 2sin(α)cos(β) et sin(α+β) − sin(α−β) = 2cos(α)sin(β)

Utilisons les notations suivantes : α+β = p et α−β = q. Donc : α = p q p q+ −=et β

2 2

Nous obtenons :

( ) ( )sin sin sin cos22 2

p q p qp q

+ − + =

et ( ) ( )sin sin cos sinp q p q

p q+ − − =

2

2 2

Le même principe appliqué au cosinus donne :

( ) ( )cos cos cos cosp q p q

p q+ − + =

2

2 2 et ( ) ( )cos cos sin sin

p q p qp q

+ − − = −

22 2


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1.4 Equations trigonométriques

Une équation trigonométrique fait figurer au moins une ligne trigonométrique d’un angle

dépendant de l’inconnue, que l’on notera ici x.

Attention : si on est amené à « visualiser » une équation simple en s’aidant du cercle

trigonométrique, alors on ne doit pas oublier que l’inconnue x est un angle et non une abscisse ;

on ne doit pas oublier non plus le modulo aux réponses que l’on apporte…

1.4.1 Equation invariante lorsqu'on change x en –x

On posera u = cos(x) ; u deviendra notre nouvelle inconnue, avec .u ≤ 1

Exemple : Résolution de l'équation ( ) ( ) ( )sin costan

x xx

+ − =+

2

2

12 0

1

L’application de formules donne : ( ) ( ) ( )cos cos cosx x x+ − − =2 21 2 0 , soit u− =1 2 0 .

Le changement de variable ne s’impose pas ici, mais la réflexion donnée en titre nous a aiguillés

sur le fait que tout pouvait être écrit assez simplement en fonction de cos(x).

L’équation montre alors que cos(x) = u = 1/2.

Attention à ne pas oublier de solutions : on visualise les angles de cosinus 1/2 sur le cercle

trigonométrique et on cite tous les réels égaux à ces valeurs modulo 2π.

Les solutions sont : x = π/3 + 2kπ ou x = -π/3 + 2kπ , k entier relatif quelconque.


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1.4.2 Equation invariante lorsqu'on change x en π π π π – x

On posera u = sin(x) ; u deviendra notre nouvelle inconnue, avec .u ≤ 1

Exemple : Résolution de l'équation : cos(2x) + 11sin(x) + 5 = 0.

L’application de formules donne : 1 – 2sin²(x) + 11sin(x) + 5 = 0, soit –2u² + 11u + 6 = 0.

Cette équation du second degré a pour discriminant : ∆ = 11² - 4.(-2).6 = 169 = 13², positif.

L’équation admet deux solutions réelles : u1 = (-11-13)/(-4) = 6 et u2 = (-11+13)/(-4) = -1/2.

Seule la seconde peut nous convenir, puisque u est un sinus ( u ≤ 1 ).

Attention à ne pas oublier de solutions : on visualise les angles de sinus -1/2 sur le cercle

trigonométrique et on cite tous les réels égaux à ces valeurs modulo 2π.

Les solutions sont : x = -π/6 + 2kπ ou x = 7π/6 + 2kπ , k entier relatif quelconque.


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1.4.3 Equation invariante lorsqu'on change x en π π π π + x

On posera u = tan(x) ; u deviendra notre nouvelle inconnue, avec u réel quelconque.

Exemple : Résolution de l'équation : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos sin cosx x x− − + + =23 1 1 3 1 0 .

Divisons tout par cos²(x), après avoir remarqué que cos(x) = 0 ne peut vérifier l’équation (ce n’est

pas une situation qui mènera à des solutions) : ( ) ( )( ) ( )

sin

cos cos

x

x x− − + + =

2

13 1 1 3 0 .

L’application de formules donne :

( ) ( ) ( ) ( )tan tanx x u u− − + + + = ⇔ − + + =2 23 1 1 3 1 0 1 3 3 0 .

Cette équation du second degré a pour discriminant :

∆ = ( ) ( )+ − = − = −2 2

1 3 4 3 4 2 3 1 3 , positif.

Deux solutions réelles : u1 = ( ) ( )+ − −

=1 3 1 3

32

et u2 = ( ) ( )+ + −

=1 3 1 3

12

.

Les solutions sont : x = π/4 + kπ ou x = π/3 + kπ , k entier relatif quelconque.


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1.4.4 Résolution des équations en utilisant les formules de transformation

A appliquer dans des équations utilisant des angles multiples.

Exemple : sin(x) + sin(3x) + sin(4x) + sin(6x) = 0

On remarque que ( ) ( ) ( ) ( )sin sin sin cos sin cosx x

x x x x + = =

4 23 2 2 2

2 2

et que ( ) ( ) ( ) ( )sin sin sin cos sin cosx x

x x x x + = =

10 24 6 2 2 5

2 2.

L’équation revient donc à : ( ) ( ) ( )( )cos sin sinx x x+ =2 5 0 , et en appliquant à nouveau une

formule de transformation : ( )cos sin cosx x

x =

7 30

2 2.

Un angle de cosinus nul vaut π/2 + kπ, un angle de sinus nul vaut kπ.

Les solutions sont donc :

x = π/2 + kπ, ou 3x/2 = π/2 + kπ, ou 7x/2 = kπ, ce qui donne :

x = ππππ/2 + kππππ, ou x = ππππ/3 + k.2ππππ/3, ou x = k.2ππππ/7 .

Il serait fastidieux de tout représenter sur le cercle trigonométrique. L’utilisation d’un tableur

permet de vérifier chaque solution (du moins leurs mesures principales) :


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1.4.5 Résolution par la méthode générale

Lorsque les méthodes précédentes sont inapplicables, on peut poser : ( )tanx

t x k = ≠ π + π

22

et utiliser les formules donnant sin(α), cos(α), tan(α) en fonction de t.

Attention à étudier à part les possibilités que x soit égal à π + 2kπ.

Cette méthode est notamment utile pour les équations du type : a.sin(x) + b.cos(x) = c.

Exemple : Résoudre l'équation : ( ) ( )cos sinx x− =3 1

On envisage ce changement de variable, mais on étudie au préalable le cas π + 2kπ :

dans ce cas le cosinus vaut –1 et le sinus 0, ce qui ne vérifie pas l’équation. Donc π + 2kπ n’est pas

une solution.

Cette équation devient :

( ) ( )

t t t t t

t t t

t t t t

− − − − −− = ⇔ =+ + +

⇔ − + − − + = ⇔ + + + − =

2 2 2

2 2 2

2 2

1 2 3 3 2 13 1 0

1 1 1

1 3 2 1 3 0 1 3 2 1 3 0

Son discriminant vaut 12, positif.

Deux solutions réelles : t1 = ( )( ) ( )( )( )− + −− + = = −

+ + −

1 3 1 32 2 32 3

2 1 3 1 3 1 3 et t2 = ( )

− − = −+

2 2 31

2 1 3.

La première se trouve être la tangente de π/12 + kπ, et la seconde est celle de –π/4 + kπ.

Ainsi, x/2 = π/12 + kπ ou x/2 = –π/4 + kπ

et donc x = π/6 + 2kπ ou x = –π/2 + 2kπ

Vérifions : dans le premier cas, cos(x) = √3/2 et sin(x) = 1/2, ce qui vérifie l’équation ;

dans le second cas, cos(x) = 0 et sin(x) = -1, ce qui vérifie l’équation.


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2 Applications à la géométrie du triangle

2.1 Triangle et cercle

2.1.1 Propriété de l’angle au centre

Soit un cercle de centre O et deux points A et B fixés sur ce cercle.

Le segment [AB] est une corde du cercle. Il forme avec le sommet O l’angle au centre αO.

Soit un point M du cercle, autre que A ou B, situé du même côté que O par rapport à la droite (AB).

[AB] forme avec le sommet M l’angle inscrit (inscrit dans le cercle) αM.

Alors l’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit :

Remarque 1 : dans le cas où M se trouverait de l’autre côté de (AB) par rapport au point O,

on aurait : OM

αα = π −2

.

Remarque 2 : cette formule se démontre aisément si l’on utilise le fait que la somme des angles

d’un triangle vaut π et le fait que le triangle AOB est isocèle en O, mais aussi MOB et MOA.


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2.1.2 Propriété de l’angle inscrit

Il découle de la propriété précédente que : si M, N, P sont des points quelconques du cercle, situés

du même côté de (AB), alors leurs angles inscrits sont égaux.

S’ils sont situés de part et d’autre de la corde [AB], alors leurs angles inscrits sont supplémentaires.

Cette propriété entraîne l’équivalence suivante :

Un quadrilatère est inscrit dans un cercle ⇔ Ses angles aux sommets opposés sont

supplémentaires


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2.1.3 Cas particulier où [AB] est un diamètre

L’angle au centre vaut ici π : c’est un angle plat.

Ceci implique que l’angle inscrit, valant la moitié, est un angle droit :

Au vu de la remarque 1 précédente, l’angle inscrit sera droit aussi pour tout point M situé de

l’autre côté de (AB).

Il en découle également que :

* Le cercle de diamètre [AB] peut être défini comme l’ensemble des points M formant avec eux un

angle droit, auquel on rajoute A et B eux-mêmes ;

* Tout point P est extérieur au cercle si, et seulement s’il forme avec [AB] un angle inférieur à π/2 ;

* Tout point P est intérieur au cercle si, et seulement s’il forme avec [AB] un angle supérieur à π/2 .


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2.2 Relations métriques et trigonométriques dans le triangle

rectangle

2.2.1 Relations métriques

On donne un triangle MAB rectangle en M et on place H, projeté orthogonal de M sur [AB].

* Cette construction montre que les triangles HAM, HMB et MAB sont semblables, c’est à dire que

leurs angles sont égaux deux à deux, ce qui équivaut à dire que leurs côtés sont proportionnels.

Traduction : HAM est un « modèle réduit » de HMB, lui-même « modèle réduit » de MAB.

Signification métrique : HA HM MA

HM HB MB= = et

HA HM MA

AM MB AB= = , par exemple.

* De cette constatation découlent les formules suivantes :

MA² = AH.AB ; MB² = BH.BA ; et en les ajoutant membre à membre, on a : MA² + MB² = AB².

Cette dernière est la relation établie dans la propriété de Pythagore.

Une propriété est une équivalence : elle énonce la véracité d’un théorème (une implication) et

celle de sa réciproque.

Théorème de Pythagore :

Si MAB est un triangle rectangle en M, alors MA² + MB² = AB².

Réciproque :

Si, dans un triangle MAB, on a la relation MA² + MB² = AB², alors il est rectangle en M.

On a aussi : MH² = HA.HB et encore MA.MB = MH.AB , qui est compatible avec le fait que l’aire

d’un triangle est la moitié du produit base×hauteur.

* Citons enfin la relation de la médiane : OA = OB = OM (O, milieu de [AB]), directement issu du

lien existant entre triangle rectangle et cercle.


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2.2.2 Relations trigonométriques

Le côté opposé à l’angle droit est le plus grand. Il se nomme hypoténuse.

Choisissons l’angle Â. Son côté opposé est MB et, outre l’hypoténuse, son côté adjacent est MA.

On a : ( ) ( ) ( )cos ; sin ; tanMA MB MB

Â Â ÂAB AB MA

= = = ,

que l’on peut retenir par l’acronyme SOHCAHTOA :

Sinus=Opposé/Hypoténuse, Cosinus=Adjacent/Hypoténuse, Tangente=Opposé/Adjacent

On peut aussi remarquer que les angles aux sommets A et B sont complémentaires (leur somme

vaut π/2) et qu’ainsi le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre.


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quelconque

On a cette fois-ci un triangle quelconque ABC, avec des notations données par la figure :

Relation d’Al-Kashi : ( ).cosa b c bc A= + −2 2 2 2

Relation des sinus : ( ) ( ) ( )sin sin sin

a b cR

A B C= = = 2

où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle (contenant A, B et C).

Aire du triangle : formule « classique » : ( ).sinbc A= 1

2A

formule de Héron : ( )( )( )p p a p b p c= − − −A

où p est le demi-périmètre du triangle, à calculer au préalable.

^ ^ ^

^

^


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3 Fonctions trigonométriques

3.1 Généralités sur les fonctions sin, cos, tan

On schématise les fonctions trigonométriques, ou circulaires, sinus, cosinus et tangente :

[ ]( )

sin : ;

sinx x

→ −1 1ℝ

֏ ;

[ ]( )

cos : ;

cosx x

→ −1 1ℝ

֏ ;

( )

tan : ,

tan

k k

x x

π π − + ∈ → 2

ℝ ℤ ℝ

֏

.

3.1.1 Périodicité et domaine d’étude

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques, de période 2ππππ. En effet, 2π est le plus petit réel T

positif tel que pour tout réel x, sin(x + T) = sin(x) et cos(x + T) = cos(x).

On pourra donc étudier les fonctions sin et cos sur [0 ; 2π[.

Pour la tangente, le point 1.3.2 de ce document nous montre que tan(x + π) = tan(x) et on admettra

que la fonction tan est de période π. On étudiera la fonction tan sur ]-π/2 ; π/2[.

3.1.2 Parité

Les constatations faites dans ce point 1.3.2 établissent que les fonctions sin et tan sont impaires et

que la fonction cos est paire.

On pourrait alors restreindre les domaines d’étude cités ci-dessus en utilisant ces propriétés de

symétries, mais nous ferons le choix ici de les conserver.

3.1.3 Dérivées et sens de variation

On admettra ici que : ( ) ( )sin cosx x′ = et ( ) ( )cos sinx x′ = − .

Dériver la fonction tan revient à dériver un quotient, et nous obtenons :

( ) ( ) ( )tan tancos

x xx

′ = = + 2

2

11


sur 28


Il est donc aisé de connaître le signe de ces dérivées sur les intervalles d’étude, d’où les tableaux

de variations qui suivent.

3.1.4 Représentations graphiques

y = sin(x)

y = cos(x)


sur 28


3.1.5 Fonctions composées

Dans la pratique, on a souvent affaire à des fonctions de type ( )( ): sinf x u x֏ . On trouvera aussi

bien un cosinus qu’un sinus, d’ailleurs.

Nous nous en tiendrons ici à un cas particulier, celui où u est une fonction affine :

( ): sinf x ax b+֏ ou ( ): cosf x ax b+֏ .

Périodicité :

Pour retrouver de façon cyclique les mêmes valeurs de f, il faut que ax + b soit augmenté de 2π

(période du sinus et du cosinus).

Or ax + b + 2π = a(x + 2π/a) + b. Ainsi, pour tout réel x, f(x + 2π/a) = f(x).

Ces fonctions f sont donc périodiques, de période 2ππππ/|a|.

y = tan(x)


sur 28


Dérivée :

La dérivation de fonctions composées a été vue dans le document n°2 sur les fonctions et sera

retravaillée dans le chapitre « Dérivées et différentielles ». Nous noterons ici que :

Si ( ) ( )sinf x ax b= + , alors ( ) ( ).cosf x a ax b′ = +

et si ( ) ( )cosf x ax b= + , alors ( ) ( ).sinf x a ax b′ = − + .

Exemple :

En électricité, on décrit la valeur d’une intensité sinusoïdale i en fonction du temps t par :

( ) ( ).sini t I tω ϕ= +0 , qui oscille entre -I0 et I0.

ωωωω est appelé pulsation du signal. C’est sa vitesse d’oscillation, en rad.s-1.

La période du signal est T = 2ππππ/ωωωω, en secondes : durée entre deux maxima de i.

La fréquence, F ou νννν, est l’inverse de la période : ωωωω/2ππππ, en s-1 ou Hz : nombre de maxima par

seconde.

Application numérique et représentation graphique : soit ( ) , .sini t tπ = π +

0 2 100

3.

Sa période vaut 0,02 s et sa fréquence est 50 Hz.

( )i t

,T s= 0 02

/ /1 300ϕ ω =

( ) ,i =0 0 1 3


sur 28


3.2 Fonctions réciproques

3.2.1 Définition

On cherche ici à donner la valeur de l’angle qui correspond à tel sinus ou tel cosinus ou encore

telle tangente.

Un angle se dénomme également arc et c’est pourquoi les fonctions réciproques de sin, cos et tan

sont respectivement notées arcsin (« arc-sinus »), arccos (« arc-cosinus ») et arctan (« arc-

tangente »).

Par exemple, l’arc dont le sinus vaut 1/2 est π/6, que l’on note arcsin(1/2) = π/6 ;

ou encore : l’arc dont la tangente vaut 1 est π/4 : arctan(1) = π/4.

Un problème se pose : il y a d’autres angles que π/6 dont le sinus vaut 1/2, d’autres angles que π/4

dont la tangente vaut 1, mais si on veut donner le statut de fonction à arcsin, arccos et arctan, il

faut qu’une valeur de sa variable ne possède qu’une seule image, ni plus, ni moins.

Les ensembles d’arrivée de ces fonctions seront donc réduits à la portion congrue, nécessaires et

suffisants :

[ ]

( )

arcsin : ; ;

arcsinx x

π π − → − 1 1

2 2

֏

; [ ] [ ]

( )arccos : ; ;

arccosx x

− → π1 1 0

֏ ;

( )

arctan : ;

arctanx x

π π → − 2 2ℝ

֏

.

Attention : les solutions de l’équation sin(y) = x sont en fait, si on note ϕ = arcsin(x) :

2 et 2 avecy k y k kϕ ϕ= + π = π − + π ∈ℤ ,

et pour un cosinus : les solutions de l’équation cos(y) = x sont, si on note ϕ = arccos(x) :

2 et 2 avecy k y k kϕ ϕ= + π = − + π ∈ℤ .

Pour l’équation tan(y) = x , si on note ϕ = arctan(x), les solutions seront :

avecy k kϕ= + π ∈ℤ , la fonction tan étant π-périodique


sur 28


3.2.2 Dérivées et sens de variations

Dériver une fonction réciproque lorsque l’on connaît la fonction de départ est aisé. La méthode a

été vue dans le document précédent de Remise A Niveau et sera à nouveau vue en cours (chapitre

« Dérivées et différentielles »). On admettra ici que (mais tentez de le retrouver) :

( )arcsin xx

′ =− 2

1

1 ; ( )arccos x

x′ = −

− 2

1

1 ; ( )arctan x

x′ =

+ 2

1

1.

arcsin et arctan sont donc des fonctions strictement croissantes et arccos est strictement

décroissante, sur leurs domaines respectifs.

3.2.3 Représentations graphiques

y = arcsin(x) y = arccos(x)

y = arctan(x)


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RAN3 – Trigonométrie – Ex - Rev 2013

Remise à Niveau Mathématiques Troisième partie : Trigonométrie

Exercices


Page 2 sur 11


1 TRIGONOMETRIE 3

1.1 APPROCHE HISTORIQUE 3

1.2 DEFINITIONS PREMIERES 3

1.3 QUELQUES FORMULES DE TRIGONOMETRIE 3

1.4 EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES 5

2 APPLICATIONS A LA GEOMETRIE DU TRIANGLE 6

2.1 TRIANGLE ET CERCLE 6

2.2 RELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE RECTANGLE 6

2.3 RELATIONS METRIQUES ET TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE 7

3 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 10

3.1 GENERALITES SUR LES FONCTIONS SIN, COS, TAN 10

3.2 FONCTIONS RECIPROQUES 11


Page 3 sur 11


1 Trigonométrie

1.1 Approche historique

1.2 Définitions premières

1.2.1 Placer sur le cercle trigonométrique les points correspondant aux angles suivants :

; ; ; ;π π π π − π2 5 7 29 27

3 8 6 3 4

1.2.2 Donner les mesures principales de : 29

3

π ;

27

4

− π

1.2.3

Soit n un entier. Donner la valeur exacte du cosinus et du sinus de : 2nπ ; (2n+1)π ; π4

+ 2nπ.

1.2.4

Déterminer les cosinus et sinus des arcs ci-dessous en les ramenant à des valeurs plus faibles : π11

6 ;

π19

3 ;

π− 21

4 ;

π31

6 (mesure principale ou dans ]-π ; π], puis transformation, si besoin).

1.2.5 On donne tan(x) = 3, calculer : ( ) ( )

( ) ( )sin cos

sin cos

−+

2 5

3

x x

x x.

1.2.6 Exprimer la relation suivante en fonction de tan(x) :( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )sin sin cos cos

sin sin cos cos

x x x x

x x x x

+ −− +

2 2

2 2

2 3

2

1.2.7

Montrer que l'expression sin6(x) + cos6(x) + 3sin2(x)cos2(x) a une valeur indépendante de x en

calculant cette valeur.

1.3 Quelques formules de trigonométrie

1.3.1

Vérifier que les points A(0,6 ; -0,8) et B(5/13 ; 12/13) appartiennent au cercle trigonométrique.

1.3.2

Sachant que 02

tπ< < et sin

1

4t = ; calculer cos t .


Page 4 sur 11


1.3.3

Sachant que tπ < < π2

et cost = − 1

5 ; calculer sin t .

1.3.4

On donne sinπ −= 6 2

12 4 ; calculer cos

π12

1.3.5

Montrer que quel que soit le réel a, cos4(a) – sin4(a) = cos2(a) – sin2(a).

1.3.6

Donner la valeur exacte de cosπ

3

4 et sin

π

5

6.

1.3.7

Exprimer en fonction de sin(t) et cos(t) : cos(-π - t) ; sin(-π - t) ; sin(3π + t) ; cos(4π + t) ;

sin(4π - t) ; cos(5π + t) ; sin(5π + t) ; cosπ + 2

t ; sin tπ −

3

2.

1.3.8

Calculer cosπ π + 4 6

et sinπ π + 4 6

.

1.3.9

Calculer tanπ −

12 en utilisant l’égalité

π π π− = −6 4 12

.

1.3.10

En remarquant que π π π− =2 5

3 4 12, calculer cos

π

5

12 et sin

π

5

12

1.3.11

Démontrer que cos(3a) = 4 cos3(a) – 3 cos(a).

1.3.12

Montrer que cos sin sin= − +4 24a 8 a 8 a 1


Page 5 sur 11


1.3.13

a. Mettre sous forme de produit cos sin sin1 2 3= − + −y x x x

b. Simplifier sin sin sin

cos cos cos

x x xy

x x x

+ +=+ +

3 5

3 5.

1.3.14

Simplifier en utilisant les formules de trigonométrie : ( )cossin

;cos tan

aaA B

a a= =

− −

2

2

2

1 1

1.3.15

En utilisant la valeur de cos(π/3), déterminer cos(π/6).

1.3.16

En utilisant la valeur de tan(π/3), déterminer sin(2π/3) et cos(2π/3).

1.3.17

a. Transformer cos cosπ π +

3 4 puis sin sin

π π + 3 4

.

b. En déduire une écriture exacte de cosπ

24

.

1.4 Equations trigonométriques

1.4.1 Résoudre cos xπ + = −

22

4 2

1.4.2 Résoudre sin xπ − + =

2 2 3

3

1.4.3 Résoudre sin sinx xπ π − = +

5

6 6

1.4.4 Résoudre cos sinx xπ − + =

3 0

4

1.4.5 Résoudre cos sin cos sinx x x x+ + + =2 27 6 3 2 0

1.4.6 Résoudre cos sinx x+ + =2 11 5 0


Page 6 sur 11


2 Applications à la géométrie du triangle

2.1 Triangle et cercle

2.1.1

Démontrer la propriété de l’angle au centre.


rectangle

2.2.1 Queue d’aronde symétrique

Une pièce a été fabriquée, dans laquelle on veut vérifier l’ouverture d’angle de 55°. On place

pour cela deux piges (billes) et on mesure la longueur « x ». Quelle longueur doit-on trouver si

l’angle mesure exactement 55° ?

2.2.2

Deux troncs d’arbres de même rayon, R, sont posés sur une

plate-forme. On veut placer un troisième tronc, de plus grand

rayon possible, r, entre les deux (voir figure).

Montrer que r est forcément égal au quart de R.

2.2.3

Lorsqu’on déverse sur le sol un sable sec, le tas prend la forme d’un

cône de base circulaire, de demi-angle au sommet 41°. Si on

déverse 5 m3 de ce sable, quels seront le diamètre et la hauteur du

tas formé ?

piges : diamètre 15 mm

80 mm

α = 55°

x E F A B

O


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2.2.4

Une plaque P doit être découpée suivant un cercle C pour permettre à une bille de diamètre 34

mm, une fois posée, de dépasser d’exactement 8 mm.

a. Quel doit être le diamètre du cercle C ?

b. On choisit un point A sur la surface de la bille et on conçoit le plan vertical (orthogonal à P)

contenant ce point et le centre du cercle C. Dans ce plan, sous quel angle le point A « voit-il » le

diamètre [BC] du cercle C ?


quelconque

2.3.1

Un bassin de rétention d’eau est circulaire, de rayon 10 mètres. On doit

y poser trois poutrelles métalliques de même longueur, en triangle

équilatéral, les extrémités des poutrelles se joignant sur le bord du

bassin. Quelle doit être la longueur des poutrelles ? (répondre sans

utiliser de triangle rectangle).

2.3.2

On veut calculer la largeur CH d'un fleuve en

restant sur la rive.

On considère les 3 points A, B, C.

On donne AB = 120m, α = 55°, β =45°. (croquis

ci-contre)

α

B

A

C

H β


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2.3.3

On souhaite établir la relation d’Al-Kashi sur un triangle

quelconque ABC en s’aidant de la figure ci-contre.

a. Exprimer CC’ en fonction de AC et de Â.

b.Exprimer BC’ en fonction de AB, de AC et de Â.

c.En déduire, à l’aide de la relation de Pythagore sur le

triangle BCC’, une expression de BC² en fonction d’éléments du triangle ABC uniquement.

2.3.4

Un géomètre mesure la distance de sa station à deux points A et B situés à la même altitude

que lui et obtient 82 m et 125 m. De plus, l’angle horizontal entre ces deux visées vaut 37°.

Quelle est la distance entre les points A et B ?

2.3.5

On souhaite établir la relation des sinus dans un triangle

quelconque ABC en s’aidant de la figure ci-contre, qui

montre le cercle circonscrit au triangle ABC (l’unique

cercle contenant A, B et C) et D, un quatrième point du

cercle, diamétralement opposé à C.

a. Grâce à la propriété de l’angle inscrit et à une

relation trigonométrique dans le triangle BCD, établir que

a/sin(α) = 2R.

b. Montrer que cette égalité peut se généraliser aux

rapports côté/sinus(angle opposé) pour B et C.

2.3.6

Soit un triangle de côtés 10m, 20m, 24m. Calculer son aire par la formule de Héron, puis par la

formule « classique ».

A B

C

C’

Â


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2.3.7

Pour mesurer la hauteur d’une montagne, le géomètre se place en deux points A et B situés à la

même altitude (ici, 464 m) et mesure à chaque fois l’angle entre l’horizontale et la visée du

sommet (ici, 23° et 38°). Quelle est l’altitude du sommet de cette montagne ?

2.3.8

Vous devez mesurer la distance AB, mais un

précipice infranchissable ne vous autorise pas

à le faire directement. Vous décidez alors de

prendre un troisième point de station, C, situé

à exactement 50 m de A et vous mesurez les

angles entre les visées AB et AC puis entre les

visées CB et CA.

Quelle est la distance AB ?

2.3.9

S est l’un des sommets d’un cube. On a découpé un coin de

cube tel que SA = 3 cm, SB = 2 cm et SC = 1 cm. ([SA], [SB] et

[SC] sont des parties des trois arêtes du cube issues de S).

a. Quelle est l’aire du triangle ABC ?

b. Quelle est la distance entre S et le plan (ABC) ?

655 m A B

S

H

23° 38°

B

C

A 68° 85°

C

B A

S


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3 Fonctions trigonométriques

3.1 Généralités sur les fonctions sin, cos, tan

3.1.1

L'intensité I (en Ampère) d'un courant domestique s'exprime en fonction du temps t (en

secondes) par : ( ) ( )cos .= π5 100I t t .

a. Entre quelles valeurs varie I ?

b. Montrer que la fonction I est périodique et déterminez sa période

3.1.2

La température T (en °C) à Vancouver varie approximativement selon la formule :

( ), sinT tπ = − +

14 8 3 106

où t est exprimé en mois. Le 1er janvier correspond à t = 0.

a. Quelle est, environ, la température le 1er février ? Le 1er novembre ?

b. Quelles sont les températures extrêmes ? A quelles dates correspondent-elles ?

c. Avec quelle périodicité retrouve-t-on des températures analogues ?

3.1.3

Le Japon connaît des raz de marée provoqués par des tremblements de terre sous-marins

(tsunamis). On modélise alors parfois la hauteur h de l'eau en un point donné en fonction du

temps t par une équation de la forme h(t) = a cos(b t), avec h(t) en mètres, t en secondes.

Calculer les nombres a et b dans le cas d'un tsunami où les vagues mesurent 10 m de haut et

présentent une périodicité de 20 minutes.

3.1.4

La courbe ci-contre met en évidence le caractère

semi-diurne des marées en un point donné de la

côte atlantique, au cours d'une période donnée de

l'année. h est la hauteur de l'eau au-dessus du

point choisi et t l'heure de la journée. On suppose

que h s'exprime en fonction de t par :

h(t) = A sin (B t + C) + D.

Calculer les réels A, B, C et D à l'aide du graphique.

3.1.5

Donner les domaines de définition des expressions suivantes :

a. tany x= −2 1 ; b. siny x= 3

h(t), mètres

t, heures


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3.2 Fonctions réciproques

3.2.1

Montrer que : a. tan(arcsin )x

xx

=− 21

; b. sin(arccos )x x= − 21

3.2.2

Donner le domaine de définition des expressions suivantes :

a. y = arccos(x²) ; b. ( )arctan x−1 .

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