INSA de Rouen - MECA3 - Année 2012-2013

RDM : Résistance des MatériauxSommaire1 Introduction 3

1.1 Hypothèses fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Démarche de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Calcul des forces extérieures 42.1 Principe fondamental de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Liaisons cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Efforts intérieurs 53.1 Convention de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Relations différentielles pour les barres droites - Diagrammes d’efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2.1 Relations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.2 Diagrammes d’efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Relations différentielles pour les barres courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Traction-Compression 7

5 Flexion 85.1 Flexion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.1.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.1.2 Moments quadratiques par rapport à l’axe y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.2 Flexion déviée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.3 Flexion composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.4 Barres courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.5 Sections composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6 Cisaillement 106.1 Cisaillement simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2 Cisaillement en flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6.2.1 Contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2.2 Moments statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

7 Torsion 117.1 Contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

7.1.1 Expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.1.2 Moment quadratique polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

8 Ressort hélicoïdal 128.1 Sollicitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128.2 Flèche du ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

9 Calcul des structures : Théorèmes énergétiques 139.1 Effort unitaire fictif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.2 Réciprocité du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.3 Réciprocité des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.4 Théorème de Mohr-Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.5 Théorème de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1

9.6 Méthode grapho-analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149.6.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149.6.2 Aires simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

10 Systèmes hyperstatiques 1510.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510.2 Degré d’hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510.3 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

11 Critères de résistance 1611.1 Quantités limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.2 Critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.3 Etats particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

12 Sollicitation par choc 1712.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.2 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

13 Treillis 1813.1 Enoncé du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813.2 Méthode usuelle de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813.3 Méthode de Ritter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

14 Flambement 1914.1 Phénomène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.2 Flambement élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.3 Modèle complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.4 Flambement et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2

1 Introduction

1.1 Hypothèses fondamentalesLa Résistance des Matériaux prend en compte les hypothèses de la Mécanique des Milieux Continus et en ajoute d’autres pour lasimplification du modèle.

1.1.1 Géométrie

On se place dans la théorie des barres : l’étude porte sur des solides déformables élancés au repos

On introduit alors la notion d’axe (coordonnée x) et de section normale (plan yz) pour permettre une réduction du tridimensionnelvers l’unidimensionnel. L’axe va définir si les barres sont droites (par portions), courbes, ou gauches (tridimensionnelles)

Selon les sollicitations, on parlera plus aisément de poutres, d’arbres, de tirants, de poteaux, etc.

1.1.2 Déformations

Hypothèse de Bernoulli-Navier : Les sections planes et normales à l’axe avant déformation le restent après déformation.(Cette hypothèse n’est pas forcément respectée en cisaillement)

1.1.3 Contraintes

Hypothèse de Saint-Venant : La modélisation n’est valable qu’à une certaine distance des conditions limites de la poutre.Autrement dit, loin de tout point d’application des forces, les efforts concernant les contraintes et les déformations produits pardeux groupes de forces équivalentes et statiques sont identiques.

Efforts extérieurs :

− forces (unité : N)

− moments (unité : N.m)

− efforts distribués :

· linéaires (unité : N.m−1)· surfaciques (pression, unité : N.m−2)· volumiques (poids propre, unité : N.m−3)

L’hypothèse de Saint-Venant permet de relier une effort distribué à une force statique équivalente.

Efforts intérieurs : L’hypothèse de Saint-Venant permet de séparer ce qui se passe le long de l’axe et dans une certaine section, cequi introduit la notion d’efforts internes.

− forces/efforts axiaux/normaux : N

− efforts tranchants T (Ty, Tz)

− moment de torsion Mt

− moments de flexion M f (M f y, M f z)

A chacun de ces types d’efforts est associé un type de sollicitation simple.

1.1.4 Matériaux

La Mécanique des Milieux Continus pose les hypothèses suivantes :

− Conservation de la masse

− Conservation de la quantité de mouvement

− Conservation du moment cinétique

− Petites déformations

− Elasticité linéaire isotrope (loi de Hooke généralisée)

3

1.2 NotationsDéformations spécifiques : Pour être conforme aux covnentions internationales, on va parler de déformations spécifiques (allonge-

ments spécifiques ε , glissements spécifiques γ). L’adjectif "spécifique" indique le caractère adimensionnel.

Tenseur des contraintes :

σ11 σ12 σ13σ21 σ22 σ23σ31 σ32 σ33

=

σ1 τ12 τ13τ21 σ2 τ23τ31 τ32 σ3

1.3 Démarche de résolutionLa résolution en RDM doit toujours suivre les étapes qui suivent, si besoin est d’aller jusqu’au bout selon le problème posé. Générale-ment, il s’agit de chercher à dimensionner en déterminant d’abord le comportement de la barre ou en localisant ses sections dan-gereuses, là où les contraintes sont maximales.

Etapes de résolution :

− Bilan des forces extérieures

− Calcul des réactions

− Etude des variations des efforts intérieurs le long de l’axe

− Calcul des déformations

2 Calcul des forces extérieures

2.1 Principe fondamental de la statiqueDans le cadre de la RDM, on peut aisément le problème sur une seule dimension : la barre, tridimensionnelle, devient une simpleligne sans épaisseur. De même, pour une barre courbe, l’abscisse curviligne s peut être utilisée en replacement de l’abscisse x usuelle.

Par cette simplification, le Principe fondamental de la statique se réduit à un problème plan, c’est à dire trois équations :

− les résultantes verticales (suivant z dans la convention qui sera adoptée par la suite)

− les résultantes horizontales (suivant x)

− les moments dans le plan (autour de y)

2.2 Liaisons cinématiquesParmi toutes les liaisons existantes permettant de modéliser, de situer et de calculer les réactions, on s’intéressera seulement aux troisprincipales, que l’on retrouve sempiternellement en RDM :

Appui simple (Ponctuelle) :

V

Articulation (Rotule) :

V

H

Encastrement :

V

HM

4

3 Efforts intérieurs

3.1 Convention de signesConsidérons une barre en équilibre statique, et une section de celle-ci :

Pour conserver l’équilibre statique sur chaque tronçon, on doit définir les efforts intérieurs.

−→x =−→n −→n −→x

−→F

−→M

−→F

−→M

Là où la normale sortante et l’axe x ont le même sens, c’est la face positive. Sur cette face, les efforts intérieurs sont positifs s’ilssont orientés comme les axes. On retrouve le contraire sur les faces négatives.

G x

z

y

N

Tz

Ty

�Mt

�

M f z

�M f y

N

Tz

M f yN

Tz

M f y

A gauche d’une section, les efforts intérieurs vaudront la somme des forces exercées à gauche, le signe défini par la convention.A droite, on retrouve le même fonctionnement.

3.2 Relations différentielles pour les barres droites - Diagrammes d’efforts3.2.1 Relations différentielles

Si l’on considère un tronçon d’épaisseur dx d’une barre droite subissant une force linéique−→f =

∣∣∣∣∣∣p(x)q(x)r(x)

au centre de gravité de

chaque face, on aura :dNdx

=−p(x)dTy

dx=−q(x)

dTz

d =− r(x)

dNdx

=−p(x)dm fy

dx= Tz(x)

dm fz

d =−Ty(x)

N N

T +dT

M+dM

TM P

dx

Dans la mesure où l’on simplifie la barre pour un problème plan, on ne s’intéressequ’à deux de ces relations :dTdx

=−P etdMdx

= T en considérant P = r(x), T = Tz et M = m fy

Une autre façon de le retenir est d’assembler les deux relations :d2Mdx2 =

dTdx

=−P

3.2.2 Diagrammes d’efforts

Le diagramme d’efforts est une représentation des efforts le long de la barre considérée. Elle suit la convention de signes poséeprécédemment et utilise les relations différentielles.

Par convention due aux relations différentielles, l’axe positif de M est inversé par rapport à celui de T .

Exemple :

5

l l lP 2P

V1 =43

P V4 =53P

T T43

P

13

P

−53

P

M M43

Pl 53Pl

3.3 Relations différentielles pour les barres courbesSur une barre courbe de rayon R, on considère un tronçon courbe de longueur ds = Rdϕ subissant un effort radial linéique P.Suivant l’intégrale curviligne, on choisit repère dans lequel appliquer le Principe fondamental de la statique.Ceci nous amène à ces trois relations :

dNdϕ

= TdTdϕ

= PR−NdMds

= T R

On peut retrouver les relations pour une barre plane en posant R→+∞ et dϕ → 0

6

4 Traction-Compression

La barre va subir un effort axial N : N N

l

A

Les tenseurs de contrainte et de déformation sont donc respectivement :

σ =

σ 0 00 0 00 0 0

et ε =

∆ll

0 0

0 −ν∆ll

0

0 0 −ν∆ll

avec

σ =

NA

∆l =NlEA

7

5 Flexion

5.1 Flexion pure5.1.1 Contraintes

Contrainte normale : M fy =⇒ σ =M fy × z

Iydans la section considérée.

Contrainte tangentielle : Tz = 0 =⇒ τ = 0

y

z

σ

La contrainte maximale est atteinte à l’une des extrémités.

Elle prend la forme σmax =M fy

Wyavec Wy =

Iy

zmaxle module de résistance en flexion.

5.1.2 Moments quadratiques par rapport à l’axe y

Iy est le moment quadratique par rapport à l’axe y de la section. Comme la section est d’épaisseur nulle, il prend la forme :

Iy =∫A

z2dA

Rectangle : Iy =bh3

12 b

h Cercle : Iy =πd4

64d

Dans le cas de sections composées (forme complexe), il suffit de calculer le moment quadratique dans chaque section simple etde sommer l’ensemble par le théorème de Huygens :

IAy = IBy +A×(zB− zA)2

On prendra alors pour A et B les centres de gravité respectifs.

5.2 Flexion déviéeLa flexion n’est pas uniquement suivant y ou z. Cette sollicitation se décompose alors en deux sollicitations simples M fy et M fz .

y

z

σ ′

σ ′′

On a σ =M fy × z

Iy−

M fz × yIz

Pour un cercle, on aura simplement σ =M f × r

I

5.3 Flexion composée

A la flexion déviée s’ajoute la contrainte normale, on a alors dans le cas le plus général : σ =NA+

M fy × zIy−

M fz × yIz

5.4 Barres courbesL’axe neutre ne passe plus par le centre de gravité et se trouve à une excentration e. La distribution des contraintes sur la section n’estplus une distribution linéaire.

On considère que le centre de gravité se trouve à la distance R du centre de courbure et l’axe neutre à la distance r = R− eLa position de la fibre neutre en N (σ = 0) suivant z dans la section est donnée par :∫

A

zr− z

dA = 0 =⇒ e≈IG

A×R

La contrainte devient alors σ(z) =M fy

A× e×

zr− z

centrée sur l’axe neutre.

8

5.5 Sections compositesSi la section est composée de deux matériaux de sections et de modules respectifs A1,E1 et A2,E2, on aura des contraintes différentesdans chaque matériau.

La position de l’axe neutre est donnée par zN =A1z1E1 +A2z2E2

A1E1 +A2E2avec z1 et z2 les centres de gravité de chaque section.

Les deux contraintes seront σ1(z) =×M fy × z×E1

E1I1 +E2I2et σ2(z) =

M fy × z×E2

E1I1 +E2I2centrées sur l’axe neutre et limitées par les matériaux.

9

6 Cisaillement

6.1 Cisaillement simple

Pour un cisaillement simple, on retrouve τ =TA

6.2 Cisaillement en flexion simple6.2.1 Contrainte

Dans un cas de flexion simple, la variation du moment de flexion crée un cisaillement

Tz dont la contrainte est τ =Tz×Sy(z)

b(z) Iy

avec Sy(z) le moment statique suivant y de la section réduite A′

b(z) la largeur de la section par rapport à z

y

z

A′z

τ

On remarquera que la contrainte de cisaillement suit une forme parabolique par morceaux et atteint son maximum sur l’axeneutre.

6.2.2 Moments statiques

Le moment statique s’exprime comme suit pour la section réduite A′ :

Sy =∫A′

zdA

On peut aussi l’exprimer différemment grâce au centre de gravité de cette section homogène zG′ =Sy

A′

Ainsi, Sy = zG′A′. On peut donc simplifier le calcul de la contrainte en posant τ =Tz× zG′A′

b(z) Iyavec zG′ fonction de z

Pour un cercle, la contrainte maximale devient τmax =43

TA

. Pour un rectangle, elle est τmax =32

TA

.

10

7 Torsion

7.1 Contrainte7.1.1 Expression

Le cisaillement produit par un moment de torsion sur une section est τ =Mt × r

IG.

avec r la distance par rapport au centre de gravité de la section.IG le moment quadratique polaire de la section.

7.1.2 Moment quadratique polaire

Le moment quadratique polaire est défini comme suit :

IG =∫A

r2dA =∫A

(y2 + z2)dS

On a de même IG = Iy + Iz au même point.

Ainsi on a :

− Pour un rectangle, IG =(h+b)b2h2

12

− Pour un cercle, IG =πd4

32

11

8 Ressort hélicoïdalConsidérons un ressort de rayon extérieur R et de n spires.

La section des spires est un cercle de diamètre d.

R

�d

P

P

8.1 SollicitationsL’application d’un effort tranchant P sur le ressort va créer deux sollicitations :

− Un moment de torsion Mt = PR =⇒ τ ′max =Mt ∗

d2

IG=

16PRπd3

− Un cisaillement T = P =⇒ τ ′′max =43

TA=

16P3πd2

La contrainte maximale devient τmax =16PRπd3

(1+

d3R

).

On peut remarquer que le cisaillement est une sollicitation négligeable devant la torsion. Le cisaillement n’influe réellement que pourles ressorts épais devant leur rayon de courbure.

8.2 Flèche du ressortA partir de :

− Le cisaillement maximal réduit à τmax =16PRπd3

− L’énergie élastique du ressort en torsion U =GIGθ 2

2=

GIG

2

(Mt

GIG

)2

[N = J/m]

− Le travail de la force W = P× f [J = Nm] avec f la flèche

− La longueur totale la fibre neutre : l = 2nπR

On obtient la relation suivante : f =64nPR3

Gd4 =1K×P

On peut remarquer que l’énergie élastique accumulée par la torsion est très grande, ce qui explique l’utilisation du ressort pour limiterles efforts sur les structures puisqu’une grande partie de ’énergie transmise va se retrouver absorbée par le ressort.

On a alors deux conditions de fonctionnement :

− τmax ≤ τa

− f ≤ fa

12

9 Calcul des structures : Théorèmes énergétiquesUn calcul de structures nécessite de prendre en compte contraintes et déformations. Les théorèmes énergétiques permettent le calculdes déplacements.

9.1 Effort unitaire fictifSi l’on considère une barre sollicitée par plusieurs groupes de forces, l’effort fictif unitaire est l’effort adimensionnel de valeur 1nécessaire pour reproduire un déplacement généralisé (déplacement ou rotation) δ équivalent.

9.2 Réciprocité du travailSi l’on applique successivement deux groupes d’efforts extérieurs F1 et F2, on peut décomposer le travail produit sur la barre.

On a alors le travail L = L11 +L12 +L22 avec W11 : le travail produit par F1 sur les déplacements issus de F1W22 : le travail produit par F2 sur les déplacements issus de F2 W12 : letravail produit par F1 sur les déplacements issus de F2

Cette décomposition étant possible en posant L21, on obtient la relation de réciprocité du travail :

W12 =W21

9.3 Réciprocité des déplacementsSi l’on considère cette même barre et que l’on cherche à calculer ses déplacements, on a le calcul de déplacement suivant :δ = δ11 +δ12 +δ22 avec δ11 : le déplacement produit par F1 au point d’application de F1

δ22 : le déplacement produit par F2 au point d’application de F2 δ12 : ledéplacement produit par F1 au point d’application de F2

On a lors la réciprocité suivant :

δ12 = δ21

9.4 Théorème de Mohr-MaxwellSoit un barre encastrée-libre sollicitée par des forces axiales dont on cherche le déplacement à l’extrémité libre, et dont la sollicitationaxiale est alors N(x).On va d’abord considérer cette barre subissant uniquement un effort fictif 1 donnant W21 = 1×δ .

L’effort fictif crée une sollicitation axiale n(x) et le déplacement associé ∆(dx) =n(x)dx

EA.

Le travail de N(x) avec le déplacement issu de l’effort fictif donne : dW12 = N(x)∆(dx) =N(x)n(x)dx

EAComme les efforts fictifs sont adimensionnels et les deux travaux réciproques, on a :

δ =∫l

N(x)n(x)EA

dx

Par extension, δ =∫l

NnEA

dx+∫l

M fy m fy

EIydx+

∫l

M fz m fz

EIzdx+

∫l

Mtmt

EIpdx+

∫l

kTtGA

dx

avec k un coefficient dépendant de la forme de la section (on travaille généralement avec les contraintes maximales)

9.5 Théorème de Castigliano

Le théorème de Castigliano donne le déplacement généralisé sous cette forme : δn =∂Ue

∂Xnavec Ue l’énergie de la structure

Xn l’effort extérieur généralisé

Le théorème de Menalbrea est son corollaire concernant les conditions aux limites :∂Ue

∂Vi= 0 si Vi est une réaction généralisée.

13

En reprenant la forme du théorème de Mohr-Maxwell, le déplacement causé par l’effort unitaire généralisé Pi devient :

δi =∫l

N∂N∂Pi

EAdx+

∫l

M fy∂M fy

∂PiEIy

dx+∫l

M fz∂M fz

∂PiEIz

dx+∫l

Mt∂Mt

∂PiEIp

dx+∫l

kT

∂T∂Pi

GAdx

9.6 Méthode grapho-analytique9.6.1 Enoncé

On cherche à calculer les intégrales de Mohr-Maxwell sans passer par la lourdeur de l’intégrale. Cette méthode ne marche que surdes barres droites puisqu’elle nécessite des sollicitations n(x) issues de l’effort fictif linéaires.

Soit :

− m est une fonction linéaire (de coefficient directeur tan(α))

− AM l’aire sous la courbe de M

− xG le centre de gravité de l’aire AM

I =∫l

M(x)m(x)dx = AMm(xG)

9.6.2 Aires simples

Triangle

0 l

M0

AM =12

M0l

xG =23

l

Parabole convexe

0 l

M0

AM =M0l

3

xG =3l4

Parabole concave

0 l

M0

AM =2M0l

3

xG =5l8

Trapèze

0 l

M2

M1

AM = A1 +A2 =(M1 +M2) l

2

14

10 Systèmes hyperstatiques

10.1 DéfinitionUn système de barres est dit hyperstatique si, après avoir écrit les équations d’équilibre, on reste incapable de calculer les effortsintérieurs.On peut distinguer deux catégories dans l’hyperstatisme :

− les systèmes extérieurement hyperstatiques : les liaisons qui maintiennent le système amènent plus d’inconnues que le PFSne peut en résoudre (dans un problème plan, 4 inconnues suffisent). On peut par exemple les retrouver dans un problèmed’encastrement double ou de poutre continue (chemin de fer), etc.

− les systèmes intérieurement hyperstatiques : les réactions sont toutes déterminées sans aucun problème grâce au PFS maisil est impossible de calculer les efforts intérieurs. Ces problèmes se retrouvent par exemple pour des systèmes composites etdes systèmes fermés empêchant de "couper" la barre en deux, etc.

Les systèmes hyperstatiques sont résolus grâce à des conditions données par le théorème de Menalbrea.

10.2 Degré d’hyperstatismeLe degré d’hyperstatisme N correspond au nombre d’efforts intérieurs qui ne peuvent être connus en ayant posé les équationsd’équilibre. ce nombre dépend :

− du nmobre total de réactions (inconnues externes)

− du nombre total d’équations d’équilibre (2D:3 ; 3D:6)

− des articulations intérieures

− des contours plans fermés (chaque contour introduit trois inconnues internes)

− des symétries géométriques

Dans le cas de symétries géométriques, trois cas se distinguent :

− Efforts symétriques :N(x) et M(x) sont des fonctions symétriquesT (x) est une fonction antisymétrique : annulation au plan de symétrie

− Efforts symétriques :N(x) et M(x) sont des fonctions antisymétriques : annulation au plan de symétrieT (x) est une fonction symétrique

− Efforts quelconques : aucune réduction de l’hyperstatisme n’est possible

10.3 Méthode de résolutionLa méthode la plus courante consiste à transformer le système hyperstatique par un système de base ou fondamental qui a des con-ditions aux limites modifiées dans le sens de la réduction du nombre d’inconnues. Cette réduction du nombre d’inconnues passegénéralement par la considération des déformations et des déplacements totaux du système.

En utilisant la superposition des déplacements, on peut définir le déplacement total et le décomposer en fonction des effortsappliqués au point considéré pour calculer les inconnues manquantes.

15

11 Critères de résistance

11.1 Quantités limites usuellesLes critères de résistance sont établis à partir de l’étude des structures de différents matériaux. En fonction de la nature des différentsmatériaux, on peut constater que l’on atteint l’état limite quand l’une ou plusieurs quantités atteignent leurs limites :

Quantité Sollicitation générale (3D)sollicitation équivalenteen traction-compression

uniaxiale (1D)contrainte normale σ σ1 σe = σ1

allongement spécifique ε ε1 =σ1−ν (σ2 +σ3)

Eεe =

σ1

E

contrainte tangentielle τ τ2 =σ1−σ3

2τe =

σ1

2

énergie spécifique de déformation We We =σ2

1 +σ22 +σ2

3

2E+

ν

E(σ1σ2 +σ2σ3 +σ1σ3) We =

σ21

2E

énergie spécifique déviatrice Wd Wd =1+ν

6E

((σ1−σ2)

2 +(σ1−σ3)2 +(σ2−σ3)

2)

Wd =1+ν

3Eσ2

1

11.2 CritèresL’état limite est obtenu, dans le cas d’une sollicitation générale, lorsque la quantité A devient égale à la quantité B dans le cadre d’unesollicitation équivalente de traction-compression.

Les cinq critères précédents nous permettent notamment de calculer, de telle sorte à avoir σe ≤ σa

Premier critère : σeI = σ1

Deuxième critère : σeII = σ1−ν (σ2 +σ3)

Troisième critère - critère de Tresca : σeIII = σ1−σ3

Quatrième critère : σeIV =√

σ21 +σ2

2 +σ23 +2ν (σ1σ2 +σ2σ3 +σ1σ3)

Cinquième critère - critère de Von Mises : σeV =

√12

((σ1−σ2)

2 +(σ1−σ3)2 +(σ2−σ3)

2)

11.3 Etats particuliersPour ν = 0,3

Etat plan Barres Torsion Flexion + Torsion

σ1 ,σ2 σ1,2 =σ

2±

12

√σ2 +4τ2 τ M f ,Mt

σeI = σ1 σeI =σ

2+

12

√σ2 +4τ2 σeI = τ M f eI =

M f

2+

12

√M2

f +M2t

σeII = σ1−νσ2 σeII =

(σ

2+

12

√σ2 +4τ2

)−ν

(σ

2−

12

√σ2 +4τ2

)σeII = 1,3τ M f eII = 0.35M f +0.65

√M2

f +M2t

σeIII = σ1−σ2 σeIII =√

σ2 +4τ2 σeIII = 2τ M f eIII =√

M2f +M2

t

σeIV =√

σ21 +σ2

2 +2νσ1σ2 σeIV =√

σ2 +3τ2 σeIV = 1.73τ M f eIV =

√M2

f +34

M2t

σeV =√

σ21 +σ2

2 −σ1σ2 σeV =√

σ2 +2,6τ2 σeV = 1.61τ M f eV =

√M2

f +2,64

M2t

Pour le cas de la sollicitation composée en flexion-torsion, on a :

σmax =M f

Waxavec Wax =

Iax

zmax

τmax =Mt

Wpavec Wp =

I0

rmax; I0 = 2Iax et zmax = rmax =⇒ τmax =

Mt

2Waxd’où la relation exprimée directement en terme des moments.

16

12 Sollicitation par choc

12.1 EnoncéUne sollicitation par choc est caractérisée par l’application de forces extérieurs avec des variations brusques.

h

δ

P

On considère une poutre verticale de longueur l comme ci-contre.Une charge de poids P va tomber sur la poutre depuis une hauteur h. La poutre subissant le choc vaalors se déformer de δ .

Le travail de P est alors L = P(h+δ )

L’énergie de déformation de la poutre donne We =EAδ 2

2l

Dans un cas sans choc, la force P n’aurait produit qu’un travail Lstat = Pδstat

Dans le modèle élastique, tout le travail L de la force est absorbé par la déformation de la poutre.On a L =We

Ceci implique δ 2−δstatδ −δstath = 0 avec δstat =2PlEA

obtenu par Lstat =We,stat

Comme δ > 0, la solution est alors δ =

1+

√1+

hδstat

δstat = Ψδstat

Le multiplicateur de choc Ψ peut s’exprimer dans le cas où une vitesse et non pas une hauteur est considérée :

Ψ = 1+

√1+

Ec

Ep= 1+

√1+

v2

gδstat

On a de même la relation σ = Ψσstat

On peut remarquer que Ψ > 2 et que son effet diminue avec l’amplitude de δstat . Ainsi, les contraintes dynamiques sont au moinsdeux fois supérieures aux contraintes statiques. Si l’on souhaite réduire ce coefficient, il faut faire en sorte d’agrandir l’amplitude deδstat , notamment en utilisant des ressorts.

12.2 Méthode de résolutionConsidérant la relation obtenue, il suffit de calculer δstat en se ramenant à un système statique (la charge P en chute sur la poutre estremplacée par un effort statique P déjà appliqué).

De fait, δstat se calcule avec les théorèmes énergétiques, de la même manière que dans les cas hyperstatiques.

Si cas hyperstatique il y a, il faut commencer par poser le système statique. On résout ensuite le système hyperstatique par lesméthodes usuelles avant de calculer δstat .

Une fois δstat connu, on peut calculer Ψ et toutes les grandeurs dynamiques qui nous intéressent.

17

13 Treillis

13.1 Enoncé du problèmeUn treillis est un système de barres articulées. On retrouve ce type de structures dans le génie civil et l’architecture : ponts, aéroports,gares, etc. Ces bâtiments comptent alors des nœuds par centaines ou milliers, qu’il faut alors résoudre. Même si ce calcul est lourdsans outil informatique, l’intérêt du treillis est la suppression des flexions.

Les articulations des treillis peuvent être des soudures, des boulons ou des systèmes à bagues. On peut négliger les contrainteset déformations en flexion, et donc modéliser les encastrements par des articulations, grâce à la rigidité du système : considérant unensemble de poutres, le moment d’inertie global devient très important.

13.2 Méthode usuelle de résolutionLes moments étant négligés, seules subsistent les forces axiales. La résolution se "réduit" alors au calcul des forces axiales à chaquenœud.

Ainsi, on isole chaque articulation pour y poser les deux équations statiques qui la concernent. Au niveau global, ce sont les troiséquations planes du PFS que l’on retrouve.Pour que le système soit statique, avec nbarres barres et nnoeuds nœuds, on a alors cet équilibre pour le nombre d’inconnues :

nbarres +3 = 2nnoeuds

Dans le cas où des forces s’appliquent sur les poutres et non les nœuds du treillis, il suffit de les répartir :

al blP

V1 =Pb

a+bV2 =

Paa+b

Pba+b

Paa+b

13.3 Méthode de RitterSi les réactions sont calculées et que l’on cherche des efforts intérieurs particuliers, on va sectionner plusieurs barres dans le treillis,qu’on va alors isoler.

18

14 Flambement

14.1 PhénomèneLe flambage est une perte de l’équilibre stable d’une structure en compression qui survient dans certaines conditions dues à troistypes de facteurs :

− la géométrie de la pièce

− les efforts appliqués

− les propriétés du matériau

Le flambage n’est pas une sollicitation, c’est un phénomène assimilé à une rupture en RDM, notamment car il implique des grandsdéplacements. Lors du flambement, la ligne moyenne d’une barre droite cesse d’être une droite et devient sensible à d’autressollicitations.

14.2 Flambement élastique

P P

On a pour les barres droites, l’expression de la déforméeEIv′′(x) =−M(x) avec V (x) la flèche.Or, M(x) = Pv(x)

Ainsi, on a l’équation différentielle EIv′′+Pv = 0

On a alors la solution v(x) =C1 sin(αx)+C2 cos(αx) avec α2 =PEI

Ici, les conditions aux limites (v(0) = 0, v(l) = 0) donnent :

− v(x) =C2 sin(αx)

− P =k2π2EI

l2 avec P la valeur pour laquelle se produit le flambement

On pose alors la force critique au premier mode de flambement (k = 1) : Pcr =π2EImni

l2f

avec ici l f = l

On en déduit la contrainte de compression au flambement : σ f =Pcr

A=

π2Eλ 2 avec λ =

l f

iminle coefficient de sveltesse

et iy =

√Iy

Ale rayon d’inertie

14.3 Modèle complet

Le cas élastique nous donne σ f =π2Eλ 2 .

Ceci n’est vrai que pour le cas élastique, donc pour σ f 6 σe, c’est à dire pour λ > λ0 = π

√Eσe

Jusqu’à la rupture, on peut montrer que le cas plastique s’approxime par σ f = a+bλ (b < 0).

La rupture est atteinte à σ f = σr, c’est-à-dire λ = λ1 =σr−a

bσ f

λλ1 λ0

σr

σe

rupture plastique élastique

19

14.4 Flambement et conditions aux limites

Reprenons l’expression de la force critique : Pcr =π2EImin

l2f

.

La longueur l f exprimée ici dépend des conditions aux limites de la poutre. On l’exprime par l f = β l

l

P

P

β = 1

P

P

β = 2

P

P

β =12

P

P

β =

√2

2Il est à noter que si l’on décide de bloquer le premier flambement en rajoutant une condition supplémentaire, le flambement

n’apparaîtra que sur son deuxième mode.De plus pour k = 2, on a Pcr2 = 22×Pcr = 4Pcr. Ceci permet d’éloigner le risque de flambement de manière significative.

20