CHAPITRE V Traction simple / Compression simple

Cours de Tronc CommunHautes Etudes dIngnieur13, rue de Toul59046 Lille CedexRsistance des Matriaux

IntroductionCes deux sollicitations simples sont distinctes et un certain nombre de matriaux ont un comportement diffrent en traction et en compression (fonte, bton). Cependant, dans les deux cas, nous arriverons aux mme relations de contraintes et de dformations.Dans le repre (Gxyz) li la section, traction et compression se diffrencieront par le signe de leffort normal N > 0 traction, N < 0 compression.

I. HypothsesLe solide est compos dun matriau homogne et isotrope,Sa ligne moyenne est rectiligne,La section droite est constante sur toute la longueur,La rsultante des actions extrieures au c.d.g. des sections extrmes na quune composante dirige selon la ligne moyenne.

II. DfinitionsUne poutre est sollicite la traction simple lorsqu'elle est soumise deux forces directement opposes qui tendent l'allonger et appliques au c.d.g des sections extrmes. Dans ce cas, les forces de cohsion se rduisent une composante normale N>0.

II. DfinitionsUne poutre est sollicite la compression simple lorsqu'elle est soumise deux forces directement opposes qui tendent le raccourcir et appliques au c.d.g des sections extrmes. Dans ce cas, les forces de cohsion se rduisent une composante normale N

III. Contraintes dans une section droitePour les deux sollicitations, traction et compression, elles s'expriment de la mme faon : En traction, N > 0 s > 0.En compression, N

IV. Etude des dformationsIV.1 Dformations longitudinalesOn se place dans le domaine lastique (petites dformations, rversibles), la loi de Hooke est donc valable : s = E.eComme nous lavons vu prcdemment, e est lallongement unitaire et vaut:Or on a :On obtient donc :DL : allongement de la poutre (mm)L0 : longueur initiale de la poutre (mm): contrainte normale (MPa)N: effort normal en NS: aire de la section droite en mm2E : module de Young (MPa)

IV. Etude des dformationsIV.1 Dformations longitudinalesEn traction, la poutre sallonge DL>0En compression, la poutre raccourcit DL

IV. Etude des dformationsEffet thermiqueSi la poutre est libre de se dilater, la variation de longueur se fait sans contrainte.Si la dilatation est empche, il y a apparition dune contrainte normale de traction ou de compression en fonction du signe de DT.

IV. Etude des dformationsIV.2 Dformations transversalesLorsquune poutre sallonge dans la direction longitudinale sous leffet de N, on observe une contraction dans la direction transversale.On a :On constate une proportionnalit entre les dformations transversales et les dformations longitudinales.n : Coefficient de Poisson (entre 0.1 et 0.5, 0.3 pour les aciers)

V. DimensionnementV.1 Condition de rsistanceAfin de tenir compte dincertitudes concernant les charges appliques au solide, les conditions dutilisation ou les caractristiques mcaniques du matriau, on introduit un coefficient de scurit s.Le dimensionnement des pices mcaniques se fera en limitant la valeur de la contrainte normale une valeur note Rpe (rsistance pratique lextension) dfinie par :On doit ainsi vrifier linquation (dquarrissage) suivante:En compression, on doit vrifier :Avec, Rpc la rsistance pratique la compression :

V. DimensionnementV.2 Condition de dformationPour des raisons fonctionnelles, il est parfois important de limiter lallongement une valeur DLlim. On obtient donc linquation:

VI. Concentration de contraintesLorsquune poutre possde une variation brusque de sa section, la rpartition de la contrainte normale nest plus uniforme proximit de la discontinuit de section. Il y a concentration de contrainteLa contrainte maximale vaut :Avec : Kt : coefficient de concentration de contraintesnom : contrainte nominale

VI. Concentration de contraintes

Remarque : Kt est fonction de la forme de la pice et de la nature du changement de section. Les valeurs de Kt sont obtenues exprimentalement et sont prsentes sous forme dabaques.

VII. Les treillisVII.1 DfinitionsOn appelle treillis (ou systme triangul ou structure rticule) un ensemble dlments assembls les uns aux autres leurs extrmits par des articulations.Ces lments sont appels barres.Le point de rencontre des barres dun treillis sappelle un nud.VII.2 Hypothses Les assemblages sont gomtriquement invariables. Les forces sont ponctuelles et contenues dans le plan de la structure. Le poids des barres est nglig. Les forces agissent aux nuds qui sont des articulations.

Compte tenu des hypothses, les barres sont soumises soit de la traction, soit de la compression.

VII. Les treillisVII.3 Stabilit dun treillisConsidrons les deux cas suivants:Un treillis rectangulaire nest pas stable.3 barres formant un triangle forment une structure stable qui ne peut saplatir. Le triangle est donc la cellule de base dun treillis.

VII. Les treillisVII.4 Isostatisme dun treillisLes inconnues de notre problme sont les b efforts normaux dans les barres et les r ractions dappuis.Ltude dun treillis se fait par lquilibre de chaque nud. Les quations dquilibre de la statique sont au nombre de deux (rsultantes sur x et sur y, pas dquation de moments puisque les barres sont concourantes au nud). Lquilibre des n nuds du treillis donne donc 2n quations.Soit h, le degr dhyperstatisme du treillis, dfini de la manire suivante: h=b+r-2nSi h=0, le treillis est isostatique.Si h>0, le treillis est hyperstatique.Si h

VII. Les treillisVII.5 Rsolution dun treillisDterminer h le degr dhyperstatisme de la structure,Si h=0, structure isostatique, on peut la rsoudre,Calcul des ractions dappuis,Dtermination des efforts et de la nature des sollicitations dans toutes les barres. On pourra employer la mthode des nuds ou celle de Ritter.On pourra rcapituler les rsultats dans un tableau.

VII. Les treillisVII.6 Mthode des nudsOn peut rsoudre un treillis en procdant progressivement, nud par nud, cest dire en crivant lquilibre dun nud pralablement isol.

VII.7 Mthode de RitterCette mthode consiste raliser une coupe dans le treillis qui ne sectionne que trois barres dont deux sont concourantes en un point appel point de Ritter. On isole ainsi le treillis en deux parties.Il suffit disoler une de ces deux parties et dexprimer lquilibre de ce systme soumis laction des forces qui le sollicitent directement et aux efforts normaux qui naissent dans les barres coupes.