1

Rappels de Probabilités

DéfinitionsProbabilités conditionnelles et théorèmede BayesVariables aléatoires, loi binomiale

3

Définitions

Événement aléatoire: événement qui peut ounon se réaliser au cours d’uneexpérience/observation

pile ou face d’une pièce de monnaie1 à 6 sur un déAccident d’avion

La « probabilité » est une valeur numériquequi quantifie la possibilité de réalisationde l'événement

4

Définitions: probabilité

Probabilité subjective: exprime lacroyance dans l’occurrence d’unévénement.Fréquence avec laquelle l’événement seréalise au cours d’un nombre croissantd’observations (loi des grands nombres).

5

Calcul des probabilitésPropriétés et notations:

P(A) : Probabilité que l’événement A se produise.

P( ) : Probabilité que A ne se produise pas ( :événement complémentaire de A)

Probabilité que se réalise l’un ou l’autre de deuxévénements:

Probabilité que se réalise l’un et l’autre de deuxévénements

6

Probabilités totales

La probabilité que se réalise l’un ou l’autrede deux événements est la somme de leursprobabilités diminuée de la probabilitéqu’ils surviennent simultanément:

Si X et Y sont disjoints (incompatibles):

7

Probabilités conditionnelles

Probabilité d’un événement selon qu’un autreévénement s’est déjà produit ou en fonction d’uncontexte (ex: probabilitié qu’il pleuve s’il y a desnuages)Notation: P(X|Y) = probabilité que l’événement Xse produise sachant que Y s’est produit:

Indépendance en probabilité: deux événementssont indépendants (en probabilité) sid’où:

8

Théorème de BayesProbabilités conditionnelles:

Symétriquement:

D’où:

et:

Le théorème de Bayes permet de mettre à jour laprobabilité d’un événement, d’une hypothèse,compte tenu d’indices observés.

9

Théorème de BayesOn peut écrire que la probabilité de Y est la sommedes probabilités de deux événements disjoints

D’où:

Et:

Le dénominateur de la dernière formule est uneconstante de normalisation.

(Y et X ) (Y et X)et

10

Variables aléatoires

Variable (discrète ou continue) dont lavariation ne suit pas une une loidéterministe.La valeur réelle est inaccessible. On peuten connaître la probabilité.Une loi probabiliste permet de caractériserl’évolution de la variable: probabilités del’ensemble des valeurs possibles, oudistribution de probabilités (densité dansle cas des variables continues).

11

Variables aléatoiresMoyenne ou espérance mathématique oumoment d’ordre 1:

V.a. X discrète prenant n valeurs, de probabilitésp(xi) :

V.a. X continue sur un intervalle [a, b], de densitéde probabilité p(x):

Noté

12

Variables aléatoires

Dispersion: distribution autour de lamoyenne

Variance de X : moyenne des carrés des écartsà la moyenne (moment d’ordre 2):

Ecart-type:

13

Loi de Gauss

p(x) =1

2e

1

2( x µ) 2

p( x µ ) 0,68

p( x µ ) 2 0,95

p( x µ ) 3 0,997

x ~ N(µ, 2)