Rappel du chapitre 1 + correction exemen (Probabilité)

7/23/2019 Rappel du chapitre 1 + correction exemen (Probabilité)

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1. Rappel & Correction des examens de Probabiblité

1 Rappel des types de questions de 1er Chapitre :

Dans le 1er chapitre, on se base sur la façon de calculer la probabilité d’unévénements en utilisant les lois et leurs fonctions de répartition.

Les lois que vous avez rencontré dans ce chapitre sont :

1. Loi Uniforme d’un intervalle [a; b] : U [a; b]:

2. Loi Exponnentielle du paramétre : E ():

3. Loi Normale N (m; ):

4. Loi Normale Centrée Réduite N (0; 1)

De plus, il y a le (TCL) : Théorème Limite Centrale, ce théorème aide àrendre n’importe quelle loi une loi N (0; 1), c’est-à-dire :

8L(X )!L(X ) = N (0; 1)

avec

Y = X E (X )p

V ar(X )

On dit qu’on a centré et réduit le variable aléatoir X:

1.1 Calcul de P ( < X < ) :

On sait que :

P ( < X < ) = ( ) ()

avec la fonction de répartition de la loi de X:

1



1 Rappel des types de questions de 1er Chapitre : 2

1. de Loi Uniforme d’un intervalle [a; b] (U [a; b]):

( ) =

a

b a et () =

a

b a

Exemple : L(X ) = U [1; 5]

P (2 < X < 3) = (3) (2)

(3) = 3 1

5 1 =

1

2 et (2) =

2 1

5 1 =

1

4

) P (2 < X < 3) = 1

2 1

4 =

1

4

2. Loi Exponnentielle du paramétre : E ():

( ) = 1 e

et () = 1 e

3. Loi Normale N (m; )

Pour la loi normale on cherche à centrer et réduire la variable et puison cherche les valeurs dans la table standart 0 N (0; 1):

Exemple : Soit X un variable aléatoir qui suit une normale de moyennem = 25 et ecart-type = 4 ( Faites Attention : on peut donner au lieude l’ecart-type la variance donc =

p V ar(X ))

Calculons P (20 < X < 34) :

P (20 < X < 34) = P (

20

m

<

X

m

<

34

m

)

= P (20 25

4 < Y <

34 25

4 )

= P (1:25 < Y < 2:25)

= (2:25) (1:25)

= (2:25) [1 (1:25)] car dans la loi N (0; 1) : ( ) = 1 (

= 0:9878 [1 0:8944] = 0:8822

1.2 Calcul de P (X < ) & P (X > )

On applique juste les relations suivantes :

P (X < ) = ()



2 Correction des examens : 3

P (X > ) = 1 ()

Avec la même méthode ci-dessus.

2 Correction des examens :

2.1 Examen 2011/2012 :

(J’ai pas l’ennoncé mais je vais essayer de me rappeller mais une fois je l’aurai je vais déposer les app numériques.)

1. Exercice 1 :

1)- La moyenne de l’echantillon est :

x = 1

n

XX i =

66; :: + 65; :: + :::::::

10 (ces valeurs c’est juste comme exemple p

2)- La variance de l’echantillon est :

e = 1

n

X(X ix)2 =

XX 2i

n x2 (Utiliser la formule qui vous convient)

3)- La bonne estimation de la moyenne est x car c’est un estimateure¢cace et sans biais.

4)- La bonne estimation de l’ecart-type est s (l’ecart-type corrigé)car e n’est pas un un estimateur e¢cace et sans biais et on doit lecorriger pour qu’il le soit

avec

s =

r n

n 1:e

5)- Sachant que (l’ecart-type de la population) est connu, donc :

IC = [x

e ; x + e]

avec e =

U 1 + con…ance

2

:

p n

: et con…ance = 0.95.




6)- La taille de l’echantillon :

n =0@U 1 + confiance

2

e :

1A2

7) a)- L’hypothése est :

H 0 : = 6H 1 : 6= 6

b)- Dans le test bilatéral on utilise la zone ou l’intervalle d’acceptation

et

1 + con…ance2

= 1

2

:

I accept = [6 e ; 6 + e]

avec e =

U 1 + con…ance

2

:

p n

: et con…ance = 0.95.

c)- La décision : On cherce si x appartient ou n’appartient pas à I accept:

2. Exercice 2 :

On a f = 20; 7% = 0:207

1)- Les Intervalles de Con…ance :

IC 95% = [f

e ; f + e]

avec e =

U 1 + 0.95

2

r f (1 f )

n = (U 0:975)

r 0:207(1 0:207)

120 = 1:96

0:037 = 0:072

Donc

IC 95% = [0:207 0:072 ; 0:207 + 0:072]

= [0:135;0:279] = [13:5% ; 27:9%]

De même pour I C 90%:

2)- La taille de l’echantillon :

n =

0@U 1 + confiance

2

e

1A

2

:(f (1 f )):




et j’applique sur les deux con…ance 95% et 90%:

3)- Puisque qu’on cherche s’il y a une augmentation dans le taux de

chômages dans c’est un test Unilatéral droit.4)- L’Hypothése sera :

H 0 : p = 19% = 0:19H 1 : p > 19% > 0:19

5)- Dans un test Unilatéral, on utilise la zone ou l’intervalle de rejet et(1 = con…ance).

I rejet = ]0:19 + e ; 1]

avec e = (U con…ance)r f (1 f )

n6)- Vous allez trouver que f =2 I rejet ) On accepte H 0 ) Le taux dechômage reste stable.

7)- Le test nous à donner que Le taux de chômage reste stable (H 0)mais en réalité il a augmenté (H 1), c’est à dire on accepte H 0 sachantque H 0 est fausse et ça c’est l’erreur de deuxiéme espece :

= P (H 0=H 1) = P (accepter H 0=H 0 est fausse):

2.2 Autres examens ( Ils seront publier une prochaine fois).

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