Cours probabilité

8/7/2019 Cours probabilit

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Table des matires

1 Dnombrer et sommer 51.1 Rappels ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Oprations ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Bections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Ensembles finis et dnombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Dnombrabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Rappels sur les sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.2 Sries termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.3 Sries termes de signe non constant . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.4 Oprations sur les sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5 Familles sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.6 Sries doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 vnements et Probabilits 512.1 Notion de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2 Modliser lalatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2.1 Notion dexprience alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2.2 vnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.3 Une question de ds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3 La probabilit comme mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5 Remarques sur le choix dun modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.6 Probabilits conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.6.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.6.3 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.7 Indpendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.7.1 Indpendance de deux vnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.7.2 Indpendance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.7.3 preuves rptes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

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3 Variables alatoires 893.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.2 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.2.1 Variables alatoires relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.2.2 Loi dune variable alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.2.3 Fonction de rpartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.2.4 Lois densit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.3 Lois discrtes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.3.1 Lois de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de rels . . . . . . . . . . . . . 1043.3.3 Lois binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.3.4 Lois hypergomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.3.5 Lois gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.3.6 Lois de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.3.7 Sur le caractre universel de la loi de Poisson . . . . . . . . . . . . 113

3.4 Lois densit classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.4.1 Lois uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.4.2 Lois exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.4.3 Lois gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.4.4 Lois de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4 Esprance 1254.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.2 Esprance dune variable alatoire positive . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.3 Esprance dune variable alatoire relle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.4 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5 Vecteurs alatoires et indpendance 1575.1 Vecteurs alatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.1.2 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.2 Indpendance de variables et vecteurs alatoires . . . . . . . . . . . . . . 1675.2.1 Suites indpendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.2.2 Indpendance des composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.2.3 Indpendance et esprance de produits . . . . . . . . . . . . . . . 180

6 Thormes limites 1856.1 Convergences de suites de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.1.1 Convergence presque sre et en probabilit . . . . . . . . . . . . . 1856.1.2 Convergence en moyenne dordre p . . . . . . . . . . . . . . . . . 1926.1.3 Bilan sur les convergences de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.2.1 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.2.2 Loi forte des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

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6.2.3 Laiguille de Buffon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

A Intgrale de Riemann sur [a, b] 207A.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207A.2 Riemann intgrabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

A.3 Proprits de lintgrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220A.3.1 Proprits de lensemble R[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220A.3.2 Proprits relatives lintervalle dintgration . . . . . . . . . . . 226

A.4 Interversion limite intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

B Intgrale gnralise 233B.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233B.2 Critre de Cauchy pour intgrales gnralises . . . . . . . . . . . . . . . 243B.3 Intgrales gnralises de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . 249B.4 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

B.4.1 Changements de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254B.4.2 Intgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257B.4.3 Comparaison des intgrales ordinaires et gnralises . . . . . . . 259

Tables de la loi normale standard 261

Ch. Suquet, Cours I.P.. 2008 3


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4 Ch. Suquet, Cours I.P.. 2008


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Chapitre 1

Dnombrer et sommer

Compter des objets et faire des additions, voil bien les deux activits les plus l-mentaires la base des mathmatiques. Et pourtant y regarder de plus prs, ce nest

pas si facile. Dj pour un ensemble fini, la mthode qui consiste regarder ses lmentslun aprs lautre et les compter (donc les numroter) nest applicable que pour de petits ensembles. Le plus souvent on sen sort en faisant une reprsentation de len-semble dnombrer laide dun autre ensemble plus familier. Cette reprsentation estce que lon appelle une bection. Elle est dailleurs la base du processus de comptagequi consiste simplement mettre en bection un ensemble avec un ensemble de nombresentiers. Cette notion de bection permet dtendre en un certain sens le dnombrementaux ensembles infinis.

Lextension de la notion de somme dune suite finie de nombres une suite infinieconduit naturellement la notion de srie que nous rviserons dans ce chapitre. Lathorie des probabilits utilise implicitement une notion plus gnrale, celle de famillesommable. Il sagit de dfinir la somme, si elle existe, dune famille de nombres indexepar un ensemble infini qui nest pas forcment N ou N. Nous prsentons cette thoriedans la dernire partie du chapitre.

Dans tout ce qui suit, la notation {1, . . . , n} pour n N dsigne lensemble de tousles entiers compris au sens large entre 1 et n. Lcriture un peu abusive i = 1, . . . , n signifie i {1, . . . , n} .

1.1 Rappels ensemblistes

1.1.1 Oprations ensemblistesSoit un ensemble; A est un sous-ensemble (ou une partie) de si tout lment

de A est aussi un lment de ( A, ). On note A . On appelle P()lensemble des parties de , ce que lon peut noter 1

P() = {A; A }.1. Dans toutes les critures densembles entre accolades, nous utilisons le point virgule au sens de

tel que .

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Chapitre 1. Dnombrer et sommer

Ainsi les critures A et A P() sont deux faons de dire la mme chose 2.Si A et B sont deux parties du mme ensemble , on dit que A est incluse dans

B (notation A B) si tout lment de A est aussi lment de B ( A, B),autrement dit, si lappartenance A implique lappartenance B :

A B signifie , ( A) ( B).Soit I un ensemble quelconque dindices (fini ou infini) et (Ai)iI une famille de

parties de . On dfinit son intersection iI

Ai et sa runion, iI

Ai par :

iI

Ai := { ; i I, Ai} et iI

Ai = { ; i I, Ai}. (1.1)

Remarque 1.1. La runion et lintersection dune famille de parties de sont dfiniesde faon globale, elles sobtiennent dun coup, sans passage la limite quand I est infiniet sans quun ordre ventuel sur lensemble dindices I nait dimportance.

Runion et intersection sont trs utiles pour la traduction automatique des quanti-ficateurs. Si I est un ensemble quelconque dindices, (i) une proprit dpendant delindice i et Ai lensemble des vrifiant (i), on a :

{ ; i I, vrifie (i)} = iI

Ai,

{ ; i = i() I, vrifie (i)} = iI

Ai.

Ainsi le quantificateur peut se traduire par une intersection et le quantificateur parune runion.

Lintersection et lunion sont distributives lune par rapport lautre, cest dire

B iI

Ai

= iI

(Ai B) B iI

Ai

= iI

(Ai B).

Le complmentaire de A (dans ) est lensemble Ac := { ; / A}. Loprationpassage au complmentaire (qui est une bection de P() dans lui-mme) vrifie (Ac)c =A, c = , c = et change runions et intersections grce aux trs utiles formules :

iI

Ai

c= iI

Aci

iI

Ai

c= iI

Aci .

On dfinit le produit cartsien de deux ensembles E et F, not E F par :E F := {(x, y); x E, y F}.

Attention, dans cette criture (x, y) ne dsigne en aucune faon un ensemble mais uncouple dlments (lordre dcriture a une importance). Pour viter toute confusion,

2. Noter cependant la diffrence de statut de A : dans la premire criture, A est considr commeun ensemble, dans la deuxime comme un lment dun ensemble dun type un peu particulier.



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1.1. Rappels ensemblistes

on utilise des accolades pour la description des ensembles et des parenthses pour lescouples dlments.

On dfinit de manire analogue le produit cartsien dune suite finie densemblesE1, . . . , E n par 3

E1 En := (x1, . . . , xn); i = 1, . . . , n, xi Ei.Lensemble E2 := E E = {(x1, x2); x1 E, x2 E} peut tre utilis pour

reprsenter lensemble de toutes les applications de {1, 2} dans E, le couple (x1, x2)correspondant lapplication f : {1, 2} E dfinie par f(1) = x1 et f(2) = x2. Ilpourrait de la mme faon, reprsenter les applications dun ensemble deux lmentsdans E (remplacer les chiffres 1 et 2 par nimporte quelle paire de symboles distincts :0 et 1, a et b, etc.).

Plus gnralement, pour n 2, En est lensemble des n-uplets ou listes de longueurn dlments de E. Dans un n-uplet (x1, . . . , xn), il peut y avoir des rptitions. On peut

aussi utiliser En pour reprsenter toutes les applications de lensemble {1, . . . , n} (ou denimporte quel ensemble n lments) dans E.

Soit I un ensemble quelconque, fini ou infini. Par analogie avec ce qui prcde, len-semble de toutes les applications f : I E sera not EI. Par exemple avec E = {0, 1}et I = N, on obtient lensemble {0, 1}N de toutes les suites de chiffres binaires indexespar N : {0, 1}N = {u = (ui)iN; ui = 0 ou 1}. Avec E = R et I = [0, 1], on obtientlensemble R[0,1] des fonctions dfinies sur lintervalle [0, 1] et valeurs dans R.

1.1.2 Bections

Dfinition 1.2 (injection). Une application f : E F est dite injective si deux l-ments distincts de E ont toujours des images distinctes dans F :

x E, x E, (x = x) (f(x) = f(x)).

Une formulation quivalente est :

x E, x E, (f(x) = f(x)) (x = x).

Une application injective f : E F est appele injection de E dans F.

Dfinition 1.3 (surjection). Une application f : E F est dite surjective si toutlment de lensemble darrive a au moins un antcdent par f :

y F, x E, f(x) = y.

Une application surjective f : E F est appele surjection de E sur F.3. Noter quici le quantificateur i ne se traduit pas par une intersection. Ne confondez pas i =

1, . . . , n, x Ei qui traduit lappartenance de x lintersection des Ei avec i = 1, . . . , n, xi Ei .



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Dfinition 1.4 (bection). Une application f : E F est dite bective si elle est lafois injective et surjective, autrement dit si tout lment de lensemble darrive F a ununique antcdent par f dans lensemble de dpart E :

y F, !x E, f(x) = y.Une application bective f : E F est appele bection de E sur F.Remarque 1.5. Si f : E F est une injection, en restreignant son ensemble darrive f(E) := {y F; x E; f(x) = y} la nouvelle application f : E f(E) est unebection. En effet cette opration prserve clairement linjectivit et rend f surjective.

Dfinition 1.6 (application rciproque). Soit f : E F une bection. Tout y Fadmet un unique antcdent x par f dans E. En posant f1(y) := x, on dfinit uneapplication f1 : F E appele application rciproque de f ou inverse de f. Cetteapplication f1 est bective.

Justification. Pour vrifier linjectivit de f1, soient y et y deux lments de F tels quef1(y) = f1(y). Cela signifie quils ont le mme antcdent x par f, donc que y = f(x)et y = f(x), do y = y.

Pour la surjectivit, soit x E quelconque. Posons y = f(x). Alors x est antcdentde y par f, donc f1(y) = x et ainsi y est antcdent de x par f1. Tout lment de Ea donc un antcdent dans F par f1. Autrement dit, f1 est surjective.

Remarque 1.7. Ainsi lexistence dune bection E F quivaut celle dune bectionF E. On dira que E est en bection avec F sil existe une bection E F (ouF E).Proposition 1.8. Soient f : E F et g : F G deux bections. Alors g f est unebection de E sur G. De plus (g f)

1

= f1

g1

.Preuve. Rappelons que (g f)(x) := g(f(x)) pour tout x E. Pour vrifier linjectivit,soient x et x dans E tels que (g f)(x) = (g f)(x). Cette galit rcrite g(f(x)) =g(f(x)) implique par injectivit de g lgalit f(x) = f(x), laquelle implique x = x parinjectivit de f. Pour la surjectivit de g f, soit z G quelconque. Par surjectivitde g, z a au moins un antcdent y dans F avec g(y) = z. son tour y F a unantcdent x E par la surjection f. Finalement y = f(x) et z = g(y), do z =g(f(x)) = (g f)(x), ce qui montre que z a pour antcdent x par g f. Comme ztait quelconque, la surjectivit de g f est tablie. Ainsi g f est une bection de Esur G. En conservant les notations on a (g f)1(z) = x. Dautre part x = f1(y) ety = g1(z), do x = f1(g1(z)) = (f1 g1)(z). On a donc pour z quelconque dansG lgalit (g f)1(z) = x = (f1 g1)(z), do (g f)1 = f1 g1.

1.2 Ensembles finis et dnombrement

Dfinition 1.9. Un ensemble E est dit fini sil est vide ou sil est en bection avec unensemble {1, . . . , n} pour un certain entier n 1. Un teln est alors unique et est appelcardinal de E (notation card E). Par convention le cardinal de lensemble vide est 0.



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1.2. Ensembles finis et dnombrement

La cohrence de la dfinition 1.9 repose sur le lemme suivant (pourquoi ?).

Lemme 1.10. Si n et m sont deux entiers distincts, il nexiste pas de bection entre{1, . . . , n} et{1, . . . , m}.Preuve. On peut toujours supposer sans perte de gnralit que 0

n < m. Dans le

cas o n = 0, lensemble {1, . . . , n} est lensemble des entiers j tels que 1 j 0, cestdonc lensemble vide. On prouve le rsultat par rcurrence sur n en adoptant commehypothse de rcurrence :

(Hn) m > n, il nexiste pas de bection {1, . . . , n} {1, . . . , m}.Initialisation. (H0) est clairement vraie, car on ne peut dfinir aucune application surlensemble vide donc a fortiori aucune bection.Induction. Montrons que si (Hn) est vrifie pour un certain n, alors (Hn+1) lest aussi.Pour cela on raisonne par labsurde : si (Hn+1) ntait pas pas vrifie, il existerait unentier m > n + 1 et une bection f :

{1, . . . , n + 1

} {1, . . . , m

}. Nous allons construire

partir de f une bection g : {1, . . . , n + 1} {1, . . . , m} telle que g(n + 1) = m.Notons j = f(n + 1). Si j = m, il suffit de prendre g = f. Si j = m, considronsla transposition : {1, . . . , m} {1, . . . , m} qui change j et m et laisse les autreslments inchangs. Cest une bection et lapplication compose g = f est unebection {1, . . . , n + 1} {1, . . . , m} vrifiant g(n + 1) = m.

La restriction g de g {1, . . . , n} est une bection de {1, . . . , n} sur {1, . . . , m 1}et comme m > n + 1, on a bien m 1 > n, ce qui contredit (Hn). Nous venons dtablirlimplication (Hn) (Hn+1), ce qui achve la rcurrence.Remarque 1.11. Si lensemble F est en bection avec un ensemble fini E, alors F est

fini et a mme cardinal que E. En effet en notant n = card E, il existe une bectionf : {1, . . . , n} E et une bection g : E F. La compose g f ralise alors unebection de {1, . . . , n} sur F.Proposition 1.12. Soient E et F deux ensembles finis.

Si E F = , card(E F) = card E+ card F. (1.2)Preuve. Dans le cas o lun des deux ensembles est vide, (1.2) est triviale. On supposedsormais que card E = n 1 et card F = m 1. Il existe alors des bections

f : {1, . . . , n} E, g : {1, . . . , m} F.

On prouve (1.2) en construisant une bection h de {1, . . . , n + m} sur E F. La trans-lation

t : {n + 1, . . . , n + m} {1, . . . , m}, i i nest une bection et lapplication g t ralise une bection de {n + 1, . . . , n + m} sur F.Dfinissons alors h par

h(i) :=

f(i) si i {1, . . . , n},(g t)(i) si i {n + 1, . . . , n + m}.



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Pour vrifier la surjectivit de h, soit z un lment quelconque de E F. Si z E,alors il a un antcdent i dans {1, . . . , n} par la surjection f et comme h(i) = f(i) = z,i est aussi antcdent de z par h. Si z F, il a un antcdent j dans {1, . . . , m} par lasurjection g et j a un antcdent i dans {n + 1, . . . , n + m} par la surjection t. Alorsh(i) = g(t(i)) = g(j) = z donc i est antcdent de z par h.

Pour vrifier linjectivit de h, notons i et i deux lments distincts de {1, . . . , n+m}.Sils sont lun dans {1, . . . , n} et lautre dans {n + 1, . . . , n + m}, leurs images h(i) eth(i) sont lune dans E et lautre dans F qui sont disjoints (EF = ) donc h(i) = h(i).sinon i et i sont tous deux dans {1, . . . , n} (resp. dans {n+ 1, . . . , n+m}) et h(i) = h(i)en raison de linjectivit de f (resp. de g t).Corollaire 1.13 (de la proposition 1.12).

a) Si E1, . . . , E d sont d ensembles finis deux deux disjoints, E1 Ed est unensemble fini et

card di=1 Ei =di=1

card Ei.

b) Si E et F sont des ensembles finis quelconques (pas forcment disjoints), E Fest fini et

card(E F) = card E+ card F card(E F).Preuve. Laisse en exercice.

Proposition 1.14. Soient E et F deux ensembles finis. Leur produit cartsien a pourcardinal

card(E

F) = card E

card F. (1.3)

Preuve. Le cas o lun des deux ensembles E ou F est vide tant trivial, on supposedsormais quaucun des deux nest vide. On fait une rcurrence sur n = card E, enprenant pour hypothse de rcurrence :

(Hn) si card E = n, alors card(E F) = n card F pour tout F fini non vide.

Initialisation. Si card E = 1, E na quun lment x1 et lapplication h : {x1} F F,(x1, y) y est clairement une bection donc card({x1} F) = card F et (H1) estvrifie.

Induction. Supposons (Hn) vraie pour un certain n et soit E un ensemble de cardinaln+1. Il existe une bection f : {1, . . . , n+1} E permettant de numroter les lments

de E en posant pour tout i {1, . . . , n + 1}, xi := f(i). La restriction de f {1, . . . , n}est une bection de {1, . . . , n} sur son image E = {x1, . . . , xn}. Ainsi E est de cardinaln et E est lunion de ses deux sous-ensembles disjoints E et {xn+1}. On en dduitimmdiatement que E F est lunion des deux produits cartsiens disjoints E F et{xn+1} F. Par la proposition 1.12 on a alors

card(E F) = card(E F) + card({xn+1} F).



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Dfinition 1.18 (arrangement). SiE est un ensemble de cardinaln etk un entier tel que1 k n, on appelle arrangement de k lments de E toutk-uplet(x1, x2, . . . , xk) dl-ments tous distincts de E. Un tel arrangement reprsente une injection de {1, . . . , k}dans E.

Proposition 1.19 (dnombrement des arrangements). Le nombre darrangements de klments de E (1 k n = card E) est

Akn = n(n 1)(n 2) (n k + 1) =n!

(n k)! . (1.4)

Akn est aussi le nombre dinjections dun ensemble I de cardinalk, par exemple {1, . . . , k},dans E. En particulier pour I = E (et donc k = n), on obtient le nombre de bectionsde E dans lui mme (appeles aussi permutations de E) :

nombre de permutations de E = Ann = n!

Preuve. On prouve (1.4) par rcurrence finie sur k, le cas k = 1 tant vident. Supposonsdonc (1.4) vraie pour un k < n et montrons qualors elle est aussi vraie pour k + 1. Uneapplication f : {1, . . . , k+1} Eest dtermine de manire unique par la donne de sarestriction f {1, . . . , k} et de f(k +1). Lapplication f est injective si et seulement si sarestriction f est injective et f(k +1) / f({1, . . . , k}). Comme le cardinal de f({1, . . . , k})est k, cela laisse n k choix possibles pour f(k + 1). On en dduit que

Ak+1n = Akn(n k) = n(n 1)(n 2) (n k + 1)(n k),

ce qui montre que (1.4) est vrifie au rang k + 1.

Dfinition 1.20 (combinaison). On appelle combinaison de k lments de E (1 k n = card E) toute partie de cardinal k de E. Une combinaison a tous ses lmentsdistincts comme un arrangement, mais lordre dcriture na pas dimportance.

Proposition 1.21 (dnombrement des combinaisons). Le nombre de combinaisons dek lments de E (1 k n = card E) est

Ckn =n(n 1)(n 2) (n k + 1)

k(k

1)

1

=n!

k!(n

k)!

. (1.5)

Preuve. Notons Ak(E) lensemble de tous les arrangements de k lments de E. Il estalors clair que lon a la dcomposition en runion densembles disjoints

Ak(E) =

BE, cardB=kAk(B). (1.6)

Autrement dit on a partitionn Ak(E) en regroupant dans une mme classe Ak(B) tousles arrangements forms partir des lments dune mme partie B de cardinal k. Il



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y a donc autant de classes distinctes dans cette dcomposition que de parties B decardinal k dans E, cest--dire Ckn classes. Dautre part chaque classe Ak(B) contientautant darrangements que de bections B B (ou permutations sur B), cest--direk!. Compte-tenu du corollaire 1.13 a), on dduit alors de (1.6) que :

cardAk(E) = BE, cardB=k

cardAk(B) = Cknk!.

Or cardAk(E) = Akn par la dfinition des Akn, do A

kn = C

knk!, ce qui donne (1.5).

Les nombres Ckn sont appels aussi coefficients binomiaux en raison de leur rle dansla formule du binme de Newton, que nous retrouverons ci-dessous (corollaire 1.24)comme cas particulier de la formule du multinme. Avant de nous y attaquer, il nestpeut-tre pas inutile de faire un rappel sur le dveloppement dun produit de sommesfinies.

Proposition 1.22. Soient J1, . . . , J n des ensembles finis non vides dindices et pouri = 1, . . . , n, j Ji, des nombres rels ou complexes xi,j. En notant Kn := J1 Jn,on a

ni=1

jJi

xi,j

=

(j1,...,jn)Kn

ni=1

xi,ji

=j1J1

. . .jnJn

ni=1

xi,ji

. (1.7)

Voici une traduction sans formules de cet nonc : le produit de n sommes finies estgal la somme de tous les produits de n facteurs que lon peut former en slectionnantun facteur parmi les termes de chacune des n sommes . La figure 1.1 illustre lapplicationde cette rgle au dveloppement de (a + b + c)(d + e)(s + t + u + v). Ici J1 = {1, 2, 3},x1,1 = a , . . . , x1,3 = c, J2 = {1, 2}, x2,1 = d, x2,2 = e, J3 = {1, . . . , 4}, x3,1 = s , . . . , x3,4 =v. La proposition 1.22 se dmontre facilement par rcurrence sur n.Proposition 1.23 (formule du multinme). Pour tous entiers d 2, n 2 et tousnombres rels ou complexes a1, . . . , ad,

a1 + + adn

=

(k1,...,kd)Ndk1++kd=n

n!

k1! . . . kd!ak11 . . . a

kdd . (1.8)

Preuve. On commence par appliquer la formule (1.7) avec J1 = = Jn = {1, . . . , d}pour obtenir :

a1 + + adn

=

a1 + + ad a1 + + ad n parenthses

=

(i1,...,in){1,...,d}nai1 . . . ain.

(1.9)Parmi les n facteurs du produit ai1 . . . ain, il peut y avoir des rptitions et il peut aussimanquer certains des ai. En regroupant les facteurs identiques, on peut toujours crirece produit sous la forme ak11 . . . a

kdd , o pour j = 1, . . . , d, on a not kj le nombre de

facteurs gaux aj dans ce produit (ventuellement kj = 0 si aj ne figure pas dans le



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ads

adt

adu

adv

aesaet

aeu

aev

bds

bdt

bdu

bdv

bes

betbeu

bev

cds

cdt

cdu

cdv

ces

cet

ceu

cev

Fig. 1.1 Arbre de dveloppement de (a + b + c)(d + e)(s + t + u + v)

produit). Comme il y a n facteurs, les kj vrifient k1 + + kd = n. Notons maintenantM(n, k1, . . . , kd), le nombre dapparitions du produit a

k11 . . . a

kdd dans le dveloppement

de (a1 + + ad)n. Avec cette notation, on peut rcrire (1.9) sous la forme

a1 + + adn

= (k1,...,kd)Ndk1++kd=n

M(n, k1, . . . , kd) ak11 . . . a

kdd . (1.10)

Il ne nous reste plus qu faire un peu de dnombrement pour expliciter le coefficientM(n, k1, . . . , kd) pour k1, . . . , kd entiers fixs tels que k1 + + kd = n. Cela revient compter de combien de faons on peut choisir les k1 parenthses fournissant a1, les k2parenthses fournissant a2,.. ., les kd parenthses fournissant ad, pour former le produitak11 . . . a

kdd . Commenons par choisir les k1 parenthses dont la contribution est a1, ceci

peut se faire de Ck1n faons. Parmi les n k1 parenthses restantes, on choisit ensuite les



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k2 parenthses qui fournissent a2, ce qui nous laisse Ck2nk1 possibilits. Et ainsi de suite,

jusquau choix de kd parenthses parmi les n k1 kd1 dernires 5 pour obtenirad. On en dduit que

M(n, k1, . . . , kd) = Ck1n

Ck2n

k1

Ck3n

k1

k2

Ckdn

k1

kd1

=n!

k1!(n k1)! (n k1)!

k2!(n k1 k2)! (n k1 k2)!

k3!(n k1 k2 k3)!

(n k1 kd1)!kd!(n k1 kd)!

=n!

k1! . . . kd!,

aprs simplifications et en notant que (n k1 kd)! = 0! = 1.Les nombres M(n, k1, . . . , kd) sont appels coefficients multinomiaux. On peut aussi

les interpter commea) le nombre de faons de rpartir les lments dun ensemble de cardinal n en dsous-ensembles de cardinal respectif k1, . . . , kd ;

b) le nombre dapplications f de {1, . . . , n} dans {1, . . . , d} telles que chaque i dans{1, . . . , d} ait exactement ki antcdents dans {1, . . . , n} par f.

Notons en passant que daprs linterprtation b), le nombre total dapplications de{1, . . . , n} dans {1, . . . , d}, soit dn daprs la proposition 1.17 a), doit tre gal lasomme de tous les M(n, k1, . . . , kd), ce qui scrit :

dn =

(k1,...,kd)Ndk1++kd=nM(n, k1, . . . , kd).

Cest bien ce que donne la formule du multinme en prenant tous les ai gaux 1dans (1.8).

Corollaire 1.24 (formule du binme). Pour tous rels ou complexes a etb et tout entiern 2,

(a + b)n =

(k,l)N2k+l=n

n!

k!l!akbl =

nk=0

Cknakbnk. (1.11)

Preuve. Il suffit dapplique la formule du multinme avec d = 2, a1 = a, a2 = b.Remarque 1.25. Dans le calcul des M(n, k1, . . . , kd) ci-dessus, il peut sembler que lonait avantag les a1 en commenant par les choisir en premier et pnalis les ad en lesgardant pour la fin. Vous pourrez vous convaincre quil nen est rien en refaisant ce calculen plaant les ai dans lordre qui vous convient, par exemple en commenant par ad, oupar a3,....

5. Comme n k1 kd1 = kd, il ny a quun seul choix possible ce stade : prendre toutes lesparenthses restantes.



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Voici dailleurs une suggestion pour une preuve alternative qui pourrait tre dvelop-pe en exercice. On considre lensemble Sn de toutes les permutations de {1, . . . , n}. Soncardinal est n!. Fixons k1, . . . , kd entiers de somme n. On pose Ei = {1 + ki1, . . . , ki},avec k0 := 0 et i = 1, . . . , d. Si (F1, . . . , F d) est un d-uple de parties de {1, . . . , n}, deux deux disjointes et de runion

{1, . . . , n

}, combien y a-t-il de bections f

Sn vrifiant

f(Ei) = Fi pour tout i = 1, . . . , d ? En dduire que n! = M(n, k1, . . . , kd)k1! . . . kd!.

1.3 Dnombrabilit

On peut comparer les ensembles finis par leur nombre dlments. Cette notion naplus de sens pour des ensembles infinis. Nanmoins on peut gnraliser cette comparaisonen disant que deux ensembles ont mme cardinal sils sont en bection. Ceci permet decomparer les ensembles infinis. Il convient de se mfier de lintuition courante base surles ensembles finis. Par exemple si A et B sont finis et A est inclus strictement dans

B, alors card A < card B et il nexiste pas de bection entre A et B. Ceci nest plusvrai pour les ensembles infinis. Par exemple N est strictement inclus dans N mais esten bection avec N par lapplication f : N N, n n + 1, donc N et N ont mmecardinal. Nous nous intressons maintenant aux ensembles ayant mme cardinal que N.

Dfinition 1.26. Un ensemble est dit dnombrable sil est en bection avec N. Il estdit au plus dnombrable sil est fini ou dnombrable.

Exemple 1.27. Lensemble 2N des entiers pairs est dnombrable. Pour le voir, il suffitde considrer lapplication f : N 2N, n 2n qui est clairement une bection. Onvrifie de mme que lensemble des entiers impairs est dnombrable.

Exemple 1.28. Lensemble Z est dnombrable. On peut en effet numroter lesentiers relatifs par les entiers naturels en sinspirant du tableau suivant.

Z . . . 4 3 2 1 0 +1 +2 +3 +4 . . .N . . . 8 6 4 2 0 1 3 5 7 . . .

Plus formellement, dfinissons lapplication f : N Z par

n N, f(n) =n+12

si n est impair,n2

si n est pair.

Pour vrifier que f est une bection, montrons que pour tout k Z donn, lquationf(n) = k a une solution unique. Si k > 0, il ne peut avoir dantcdent pair par fpuisque f envoie lensemble des entiers pairs dans Z. Lquation f(n) = k se rduitdonc dans ce cas n+1

2= k qui a pour unique solution n = 2k + 1. Si k 0, il ne peut

avoir dantcdent impair par f et lquation f(n) = k se rduit n2

= k qui a pourunique solution n = 2k. Ainsi f est bien une bection puisque tout lment k de Z aun antcdent n unique par f. La bection inverse est donne par

k Z, f1(k) =

2k + 1 si k > 0,2k si k 0.



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1.3. Dnombrabilit

Exemple 1.29. Lensemble N2 est dnombrable. Cet exemple relve de la proposi-tion 1.34 ci-dessous, mais la vrification directe est instructive. Voici une faon deconstruire une bection f : N2 N. Lide est de fabriquer une numrotation descouples de N2 par les entiers en sinspirant du schma de la figure 1.29. Un peu de

i

j

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Fig. 1.2 Une numrotation des couples (i, j) de N2

dnombrement nous conduit proposer la dfinition 6

(i, j) N2, f(i, j) := (i + j)(i + j + 1)2

+ j.

Preuve. La vrification de la bectivit de f repose sur la remarque suivante. Dfinissonsla suite (uk)kN par

k N, uk := k(k + 1)2

.

Il sagit clairement dune suite strictement croissante dentiers, de premier terme u0 = 0.On a donc

l N, !k = kl N, uk l < uk+1. (1.12)De plus,

si l = f(i, j), kl = i + j et l = ukl + j. (1.13)

Surjectivit de f. Soit l quelconque dans N et k = kl dfini par (1.12). Posons j = l uket i = k j. Alors

f(i, j) =(i + j)(i + j + 1)

2+ j =

k(k + 1)

2+ j = uk + l uk = l.

Le couple (i, j) ainsi dfini partir de l est donc antcdent de l par f et comme l taitquelconque, f est surjective.

6. Justification laisse en exercice.



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Injectivit de f. Soient (i, j) et (i, j) tels que f(i, j) = f(i, j) et notons l cette valeurcommune. Daprs (1.13), on a kl = i +j = i +j et l = ukl +j = ukl +j

. On en dduitimmdiatement que j = j, puis que i = i, do (i, j) = (i, j), ce qui tablit linjectivitde f.

Lemme 1.30. Toute partie infinie de N est dnombrable.

Preuve. Soit E une partie infinie de N. On construit une bection f de N sur E parrcurrence en utilisant le fait que toute partie non vide de N admet un plus petit lment.On initialise la rcurrence en posant :

E0 := E, f(0) := min E0.

Ensuite, pour n 1, si on a dfini f(k) et Ek pour k = 0, . . . , n 1, on pose

En := E\ f({0, . . . , n 1}), f(n) := min En.

Lensemble f({0, . . . , n1}) = {f(0), . . . , f (n1)} est fini donc En est non vide puisqueE est infini. On peut donc bien construire ainsi de proche en proche tous les f(n) pourn N. De plus il est clair par construction que pour tout n 1, f(n 1) < f(n).Lapplication f est donc strictement croissante, ce qui entrane son injectivit. Pour voirquelle est surjective, soit m un lment quelconque de E. Comme m est un entier, il nya quun nombre fini dentiers strictement infrieurs m, donc a fortiori quun nombrefini n dlments de E infrieurs strictement m (ventuellement aucun). Ainsi m est le(n + 1)-ime plus petit lment de E, do f(n) = m (comme on commence 0, n est le(n + 1)-ime plus petit entier de N). Nous venons de montrer quun lment quelconquede E a au moins un antcdent par f, autrement dit que f est surjective.

Proposition 1.31. Toute partie infinie dun ensemble dnombrable est elle-mme d-nombrable.

Preuve. Soit A une partie infinie dun ensemble dnombrable B. Il existe alors unebection g : B N. Sa restriction g A est une bection de A sur g(A). Lensembleg(A) est une partie infinie de N, car si elle tait finie, il en serait de mme pour A. Par lelemme 1.30, il existe une bection f de g(A) sur N. Lapplication f g : A N est unebection comme compose de deux bections. Lensemble A est donc dnombrable.

Remarque 1.32. La proposition 1.31 nous permet de caractriser les ensembles au plus

dnombrables comme ceux qui sont en bection avec une partie de N, ou encore commeceux qui sinjectent dansN. De mme, les ensembles dnombrables sont les ensemblesinfinis qui sinjectent dans N.

Remarque 1.33. Il rsulte immdiatement de la proposition 1.31 que si lensemble Bcontient une partie infinie A non dnombrable, B est lui mme infini non dnombrable.

Proposition 1.34. Le produit cartsien dune suite finie densembles dnombrables estdnombrable.



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Corollaire 1.37. P(N) nest pas dnombrable. Le segment [0, 1] de R nest pas dnom-brable. R nest pas dnombrable, C nest pas dnombrable. Un intervalle de R est soitinfini non dnombrable, soit rduit un singleton, soit vide.

Preuve. Comme P(N) est en bection avec

{0, 1

}N par lapplication A

1A, P(N)

est infini non dnombrable. Daprs la remarque 1.33, la non dnombrabilit de R oude C rsulte immdiatement de celle de [0, 1]. Pour vrifier cette dernire, nous utili-sons nouveau la remarque 1.33 en construisant une partie de [0, 1] en bection avec{0, 1}N. La premire ide qui vient lesprit pour une telle construction est dutiliser ledveloppement des nombres rels en base 2. Mais pour viter les difficults techniqueslies lexistence de dveloppements propre et impropre pour les nombres de la formek2n, nous utiliserons plutt la base 3 en ne conservant que les chiffres binaires 0 et 1.Dfinissons donc 7

f :

{0, 1

}N

[0, 1], u = (uk)k

N

f(u) :=

+

k=0uk

3k+1

.

Comme les uk ne peuvent prendre que les valeurs 0 ou 1, la srie termes positifsdfinissant f(u) converge puisque son terme gnral vrifie lencadrement 0 uk3k1 3k1. Sa somme f(u) vrifie donc

0 f(u) +k=0

1

3k+1=

1

3

1

1 13

=1

2.

Ainsi f est bien une application de {0, 1}N dans [0, 1] et daprs la remarque 1.5, ilsuffit de vrifier son injectivit pour quelle ralise une bection de

{0, 1

}N sur son image

A := {f(u); u {0, 1}N}. Par la proposition 1.36, on en dduira la non dnombrabilitde A.

Pour montrer linjectivit de f, supposons quil existe deux suites u = u lments de{0, 1}N telles que f(u) = f(u). Comme u = u, lensemble des entiers k tels que uk = ukest non vide et a donc un plus petit lment que nous notons j. On a ainsi uk = ukpour tout k < j et uj = uj. Quitte permuter u et u, on ne perd pas de gnralit ensupposant que uj = 1 et uj = 0. Lgalit f(u) = f(u

) implique alors :

1

3j+1=

+

k=j+1uk uk

3k+1.

Comme uk uk ne peut prendre que les valeurs 1, 0 ou 1, il est major par 1, do :

1

3j+1

+k=j+1

1

3k+1=

1

3j+21

1 13

=1

2 3j+1 ,

7. La lecture de ce qui suit requiert la connaissance des sries dont les principales proprits sontrappeles section 1.4 ci-aprs, voir notamment les sries gomtriques (exemple 1.49).



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Pour f(0) on prend la suite ne comportant que des 0 et pour f(1/2) la suite necomportant que des 1.

r

12

r

14dddr1

8

eee

r

38

eee

d

dddddddd

r

34

r 7

8

eee

r

58

eee

Fig. 1.3 Arbre binaire des dyadiques de ]0, 1[

Le mcanisme de construction de f sur les dyadiques autres que 0 et 1/2 peut tredcrit de manire informelle laide de larbre binaire de la figure 1.3. Chaque indi-vidu de cet arbre hrite un dveloppement binaire de son ascendant direct et engendrelui mme deux enfants et deux dveloppements binaires. Lenfant de gauche hrite dudveloppement impropre et celui de droite du dveloppement propre.

La comprhension de la dfinition de f demandant plus deffort que la vrificationde sa bectivit, ce dernier point est laiss au lecteur.

Proposition 1.40.SoitJ un ensemble au plus dnombrable dindices et pour tout j J,soit Aj un ensemble au plus dnombrable. Alors A :=

jJAj est au plus dnombrable.

Preuve. Le cas J = est trivial puisqualors A = . Si tous les Aj sont vides, A lestaussi (quel que soit J). On suppose dsormais que J nest pas vide et quau moins undes Aj est non vide. On va montrer que A est au plus dnombrable en construisant uneinjection h de A dans N.

On peut traduire les hypothses en crivant quil existe une injection 8 f : J N etque pour tout j tel que Aj = , il existe une injection gj : Aj N. Admettons pour uninstant que lon peut construire une famille (Aj)jJ densembles deux deux disjointstels que pour tout j

J, Aj

Aj et que

A = jJ

Aj = jJ

Aj.

On dfinit alors lapplication h : A N comme suit. Si x A, il existe un unique j Jtel que x Aj. On pose alors :

h(x) := pgj(x)

f(j) ,

8. Toute injection dun ensemble dans N peut se transformer en injection du mme ensemble dansN par composition avec la bection N N, n n + 1.



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1.3. Dnombrabilit

o pk dsigne le k-ime nombre premier. Remarquons que h(x) 2 puisque f(j) 1, lasuite (pk) est croissante de premier terme p1 = 2 et gj(x) 1.

Pour vrifier linjectivit de h, soient x et y dans A tels que h(x) = h(y). En notantl lunique indice tel que y Al, cette galit scrit

pgj(x)f(j) = pgl(y)f(l) .

En raison de lunicit de la dcomposition dun entier n 2 en facteurs premiers, cecientrane f(j) = f(l) et gj(x) = gl(y), puis par injectivit de f, j = l et gj(x) = gj(y).Comme gj est injective, on en dduit que x = y. Linjectivit de h est ainsi tablie.

Il reste justifier la construction de la famille (Aj)jJ. On commence par transporterlordre de N sur J via lapplication f en crivant pour j, l J, que j l signifieque f(j) f(l). Ceci nous permet de noter les lments de J en suivant cet ordreJ = {j0, j1, . . .}, o j0 j1 . . . . Ensuite on construit Aj par rcurrence en posant

Aj0 := Aj0, Bj0 := Aj0Aj1 := Aj1 (A \ Bj0), Bj1 := Bj0 Aj1Aj2 := Aj2 (A \ Bj1), Bj2 := Bj1 Aj2. . . . . . . . . . . .

Les dtails de la vrification sont laisss au lecteur.

Proposition 1.41 (dnombrabilit par image surjective). SoientA etB deux ensemblestels quil existe une surjection f de A sur B. Alors si A est dnombrable, B est au plusdnombrable. Si A est fini, B est fini et card B

card A.

Il est possible que A soit infini et B fini, un exemple vident tant fourni par lap-plication nulle f : x 0 de A = N dans B = {0} qui est clairement une surjection.

Preuve. Supposons A dnombrable. Dfinissons sur A la relation dquivalence x xsi f(x) = f(x). Les classes dquivalences pour cette relation ralisent une partitionde A. Dans chaque classe dquivalence, choisissons un reprsentant particulier 9. SoitA0 la partie de A forme de tous les reprsentants ainsi choisis. Si x et x sont deuxlments distincts de A0, ils sont dans deux classes c et c disjointes, donc f(x) = f(x).La restriction de f A0 est donc injective. Par ailleurs, puisque f est surjective, tout

y B a au moins un antcdent x dans A. Si c est la classe de x, il y a dans cetteclasse un (unique) lment de A0 qui a lui aussi y pour image par f. Donc la restrictionde f A0 reste surjective et cest finalement une bection de A0 sur B. Lensemble Best en bection avec une partie A0 de lensemble dnombrable A, il est donc au plusdnombrable.

Le cas A fini est une adaptation facile de ce qui prcde.

9. Par exemple en fixant une numrotation de A par les entiers (k xk) et en dcidant de prendredans la classe c llment xk dindice k minimal. On vite ainsi linvocation de laxiome du choix. . .



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1.4 Rappels sur les sries

Dans cette section nous rappelons sans dmonstrations les points essentiels de lathorie des sries numriques vue en deuxime anne. Nous dtaillerons seulement laquestion de la convergence commutative en raison de son rle dans la thorie des familles

sommables.

1.4.1 Gnralits

Dfinition 1.42. Soit(uk)kN une suite de nombres rels ou complexes. Pour toutn N,on appelle somme partielle de rang n le nombre

Sn :=nk=0

uk.

Si Sn tend vers une limite finie S quand n tend vers +

, on dit que la srie determe gnral uk converge et a pour somme S, ce que lon crit

S =+k=0

uk := limn+

Sn.

Dans ce cas, Rn := S Sn est appel reste de rang n de la srie. Si Sn na pas de limite finie (i.e. tend vers ou + ou na pas de limite du

tout), on dit que la srie diverge.

Remarque 1.43. Par un abus dcriture courant, on dsigne la srie (convergente oudivergente) par la notation +k=0 uk , mais on ne peut faire intervenir cette expressiondans des calculs que si elle reprsente vraiment un nombre, i.e. si la srie converge.Remarque 1.44. Si les uk sont complexes, posons xk := Re uk et yk := Im uk, Sn :=Re Sn et Sn := Im Sn. La suite Sn converge dans C vers S si et seulement si S

n et

Sn convergent dans R vers respectivement S := Re S et S := Im S. On en dduit

immdiatement que la srie de terme gnral complexe uk = xk + iyk converge si etseulement si les sries de terme gnral xk et yk convergent dans R et que dans ce cas

+k=0

(xk + iyk) =+k=0

xk + i+k=0

yk.

Remarque 1.45. La dfinition 1.42 se gnralise immdiatement au cas o les uk sontlments dun espace vectoriel norm E, la convergence dans E de Sn vers le vecteur Ssignifiant limn+ S Sn = 0.Proposition 1.46. Si une srie converge, son terme gnral un tend vers 0 quand ntend vers linfini.

Remarque 1.47. La rciproque de la proposition 1.46 est fausse. Un contre exemplebien connu est la srie harmonique de terme gnral uk = 1/k pour k 1 (et u0 = 0).



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1.4. Rappels sur les sries

Remarque 1.48. La contrapose de la proposition 1.46 snonce : si un ne tend pasvers 0 quand n tend vers linfini, alors la srie diverge. On parle dans ce cas de divergencegrossire de la srie.

Exemple 1.49 (sries gomtriques). Soit q un nombre rel ou complexe. La srie

gomtrique standard +k=0 qk converge si et seulement si |q| < 1. Dans ce cas, sasomme est donne par

+k=0

qk =1

1 q (|q| < 1).

Cette formule permet de calculer la somme de nimporte quelle srie gomtrique conver-gente (donc de raison q vrifiant |q| < 1). Il suffit de mettre en facteur le premier terme.Si (uk)kN est une suite gomtrique de raison q (i.e. uk+1 = quk pour tout k avec q nedpendant pas de k), vrifiant |q| < 1, on a pour tout j N,

+k=j

uk =

+k=j

ujqkj = uj+l=0

ql = uj1 q .

Thorme 1.50 (critre de Cauchy). La srie termes rels ou complexes+k=0 uk

converge si et seulement si

> 0, N N, n, m N, |Sn Sm| < .

Ce thorme nest que lapplication du critre de Cauchy la suite des sommespartielles Sn =

nk=0 uk. Il se gnralise immdiatement au cas o les termes uk sont

des lments dun espace vectoriel norm complet10, en remplaant|Sn

Sm

|< par

Sn Sm < .Corollaire 1.51 (convergence absolue). Si la srie

+k=0 |uk| converge, alors la srie+

k=0 uk converge aussi. On dit quelle est absolument convergente.

Le rsultat stend immdiatement aux sries termes dans un espace vectoriel normcomplet en remplaant |uk| par uk. On parle alors de convergence normale.Remarque 1.52. La rciproque du corollaire 1.51 est fausse. Un contre exemple bienconnu est la srie alterne de terme gnral uk = (1)k/k (k 1) qui converge alorsque la srie des valeurs absolues est la srie harmonique qui diverge.

1.4.2 Sries termes positifs

Si tous les uk sont positifs, (Sn)nN est une suite croissante car pour tout n 1,Sn Sn1 = un 0. Il ny a alors que deux cas possibles :

ou bien Sn a une limite finie S dans R+, la srie converge et a pour somme S;

10. Cest le cas en particulier pour les sries valeurs dans Rd. Un espace vectoriel norm completest appel espace de Banach.



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ou bien Sn tend vers + et la srie diverge.La divergence dune srie termes positifs quivaut donc la convergence vers + dela suite de ses sommes partielles. Il est commode dans ce cas de considrer que la srie converge dans R+ et que sa somme vaut +. Ainsi lorsque les uk sont tous positifs,lcriture +k=0 uk a toujours un sens comme reprsentant un lment S de R+ : S tantun rel positif si la srie converge au sens de la dfinition 1.42, S = + sinon.

Il importe de bien comprendre que ceci est particulier aux sries termes positifs.Une srie termes de signe quelconque 11 peut trs bien diverger sans que la suite dessommes partielles tende vers + ou . Un exemple vident est la srie de termegnral uk = (1)k.Thorme 1.53 (comparaison). On suppose quil existe un k0 N tel que pour toutk k0, 0 uk vk. Alors

a) la convergence 12 de+k=0 vk implique celle de

+k=0 uk ;

b) la divergence de +k=0 uk implique celle de

+k=0 vk.

Parmi les applications du thorme de comparaison figure la comparaison une sriegomtrique qui a donn naissance aux rgles dites de DAlembert et de Cauchy (basesrespectivement sur ltude du comportement asymptotique de un+1/un et de u

1/nn ). Ces

rgles nont dautre utilit que de rsoudre des exercices ad hoc et on peut facilementsen passer.

Thorme 1.54 (rgle des quivalents). On suppose que uk et vk sont quivalents13

quand n tend vers linfini et qu partir dun rang k0, vk 0. Alors les sries+k=0 uk

et+k=0 vk sont de mme nature (toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes).

Attention, lhypothse dquivalence de uk et vk nimplique pas elle seule que les

deux sries soient de mme nature si le signe de vk nest pas constant partir duncertain rang. Comme contre exemple on peut proposer uk = (1)kk1/2 et vk = uk+ 1/k(exercice).

Thorme 1.55 (comparaison srie-intgrale). Soit f continue sur [k0, +[, dcrois-sante et positive sur cet intervalle. La srie

+k=k0

f(k) converge si et seulement sink0

f(t) dt a une limite finie quand n tend vers +.La dmonstration repose sur lencadrement

n > k0,

n1

k=k0 f(k + 1) n

k0

f(t) dt

n1

k=k0 f(k)illustr par la figure 1.4. Cet encadrement a son intrt propre pour contrler le restedune srie laide dune intgrale gnralise (ou vice versa).

En appliquant le thorme 1.55 avec f(t) = t, > 0 et k0 = 1, on obtient lacaractrisation de la convergence des sries de Riemann.

11. Plus prcisment une srie dont la suite des termes prsente une infinit de changements de signe.12. La convergence et la divergence dans cet nonc sont entendues au sens de la dfinition 1.42.13. Ce qui signifie que lon peut crire uk = ckvk avec limk+ ck = 1.



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y

t0 k k + 1

1

f(k)f(k + 1)

Fig. 1.4 Comparaison srie-intgrale : f(k + 1) k+1k

f(t) dt f(k)

Corollaire 1.56 (sries de Riemann).

La srie+k=1

1

kest

convergente pour > 1,

divergente pour 0 < 1.

La srie est aussi divergente pour 0, puisqualors son terme gnral ne tend pasvers 0.

Corollaire 1.57 (sries de Bertrand).

La srie+

k=21

k(ln k)

est convergente pour > 1,

divergente pour 0 < 1.Remarque 1.58. Pour = 1 (ou pour = 1 et 0), la nature de la srie de Bertrand+k=2 k

(ln k) sobtient directement par comparaison avec une srie de Riemann.

1.4.3 Sries termes de signe non constant

Aprs avoir vu que la convergence de+k=0 |uk| implique celle de

+k=0 uk, on peut

se demander sil existe des sries qui convergent sans converger absolument.Remarquons dabord que si le signe de uk est constant partir dun certain rang k0,

ltude de la convergence de +k=0 uk se ramne celle dune srie termes positifs. Eneffet, +k=0 uk et +k=k0 uk sont de mme nature et si uk 0 pour k k0, il suffit deconsidrer

+k=k0

(uk). Ainsi pour une srie termes de signe constant partir duncertain rang, la convergence quivaut la convergence absolue et la divergence ne peutse produire que si Sn tend vers + ou vers . Les seules sries susceptibles dtreconvergentes sans ltre absolument sont donc celles dont le terme gnral change designe une infinit de fois.

Par exemple, la srie+k=1(1)k/k converge mais pas absolument. Cest une appli-

cation du thorme des sries alternes.



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Thorme 1.59 (des sries alternes). Soit (uk)kN une suite alterne (i.e. pour tout k,uk et uk+1 sont de signes contraires) telle que |uk| dcroisse et tende vers 0. Alors

a) la srie+k=0 uk converge,

b) pour tout n

N, les sommes partielles conscutives Sn et Sn+1 encadrent14 la

somme S et le reste Rn = +k=n+1 uk vrifie|Rn| |un+1|.

Exemple 1.60. Pour 0 < 1, la srie +k=1(1)kk converge mais pas absolument.Pour > 1 elle est absolument convergente.

Exemple 1.61. La srie+k=1(1)k/ ln k converge mais pas absolument.

Remarque 1.62. Mme si une srie alterne est absolument convergente, le b) duthorme reste intressant pour le calcul numrique de la somme S.

1.4.4 Oprations sur les sries

La somme des sries de terme gnral uk et vk est la srie de terme gnral (uk + vk).Le produit de la srie de terme gnral uk par la constante a est la srie de terme gnralauk. Le produit de deux sries sera tudi plus tard laide des familles sommables.

Proposition 1.63. Les affirmations suivantes sont vrifies pour des sries termesrels ou complexes ou dans un espace vectoriel norm.

a) La somme de deux sries convergentes+k=0 uk et

+k=0 vk est une srie conver-

gente et +k=0

(uk + vk) =+k=0

uk ++k=0

vk.

b) Le produit de la srie convergente+k=0 uk par la constante a est une srie conver-

gente et+k=0

auk = a+k=0

uk.

c) La somme dune srie convergente et dune srie divergente est une srie diver-

gente.d) La somme de deux sries divergentes peut tre convergente ou divergente.

Dans une somme dun nombre fini de termes, les proprits de commutativit etdassociativit de laddition permettent

de changer lordre des termes sans changer la valeur de la somme, de faire des groupements de termes sans changer la valeur de la somme.

14. Attention, une fois sur deux on aura Sn+1 Sn.



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Que deviennent ces proprits pour les sries considres comme sommes dune infinitde termes? En gros la rponse est : si la srie est absolument convergente, tout se passebien, sinon on peut avoir des situations trs pathologiques.

Le seul cas o lon nait pas besoin de convergence absolue pour retrouver une si-tuation conforme aux proprits des sommes dun nombre fini de termes est celui de lasommation par paquets de taille finie fixe.

Proposition 1.64 (sommation par paquets de taille finie fixe). Soit (un)nN une suitetendant vers0 linfini. Fixons un entier p 2 et dfinissons les paquets de p termesconscutifs

vj =

p1i=0

ujp+i, j N.

Alors les sries

+k=0 uk et

+j=0 vj sont de mme nature et ont mme somme lorsquelles

convergent.

Remarque 1.65. Sans lhypothse de convergence vers 0 de la suite (un), le rsultatdevient grossirement faux, contre exemple un = (1)n.

Remarque 1.66. Si+k=0 uk est absolument convergente, la srie des paquets

+j=0 vj

lest aussi. La rciproque est fausse, comme on peut le voir en groupant deux par deuxles termes de la srie

+k=0(1)k/(k + 1), obtenant ainsi la srie de terme gnral positif

vj = (2j + 1)1(2j + 2)2 quivalent 4j2.

Dfinition 1.67 (convergence commutative). La srie +k=0 uk est dite commutative-ment convergente et de somme S si pour toute bection f : N N la srie +k=0 uf(k)converge et a pour somme S. Dans ce cas nous pouvons utiliser la notation

S =kN

uk au lieu de S =+k=0

uk,

puisque la somme de la srie ne dpend pas de lordre dans lequel on effectue la somma-tion. Lcriture avec indexation par k N ne prsuppose aucun ordre dcriture destermes15.

Thorme 1.68. La convergence absolue dune srie termes rels ou complexes, im-plique sa convergence commutative.

Nous allons dmontrer le thorme en examinant successivement les cas des sries termes positifs, rels et complexes.

15. Par analogie avec lcriture

iIui, o I est un ensemble fini dindices. Dans ce cas le rsultatde laddition des ui pour i I ne dpend pas de lordre des termes et dailleurs lensemble I na nulbesoin ici dtre ordonn.



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Preuve du th. 1.68, cas dune srie termes positifs. Nous traitons dabord le cas dunesrie termes positifs pour laquelle la convergence absolue se rduit la convergence etsignifie que la suite croissante des sommes partielles Sn a une limite finie S dans R+.Soit f une bection N N. Dfinissons les deux suites dentiers (pn)nN et (qn)nNcomme suit. Pour pn nous prenons le plus petit entier p tel que

{f(k); k

p

}recouvre

{0, . . . , n}. Lexistence de tels p et donc de pn dcoule clairement de la surjectivit de f.Pour qn on prend max{f(k); 0 k pn}. Autrement dit pn sert recouvrir {0, . . . , n}de la manire la plus conomique par les premiers termes de la suite des f(k) et qn sert boucher les trous de la suite dentiers ainsi forme. On a ainsi

n N, {0, . . . , n} {f(k); k pn} {0, . . . , qn}. (1.15)On a clairement n pn et n qn donc pn et qn tendent vers linfini avec n. De plus cesdeux suites sont croissantes de par leur construction. Posons

Sn :=

nk=0

uk, Tn :=

nk=0

uf(k).

En raison de la positivit des uk et de (1.15), nous disposons de lencadrement

n N, Sn Tpn Sqn . (1.16)Si Sn converge vers S, la sous-suite (Sqn) converge aussi vers S et (1.16) implique alorsla convergence de (Tpn) vers S. En raison de la positivit des uk, la suite (Tn) estcroissante. Nous venons de voir quelle a une sous-suite qui converge vers S, cest donctoute la suite (Tn) qui converge vers S. Nous venons dtablir que

+k=0 uf(k) converge

et a pour somme S = +k=0 uk. Comme la bection f est quelconque, ceci achve lapreuve du thorme 1.68 dans le cas dune srie termes positifs.Remarque 1.69. Pour tablir (1.16), nous navons pas utilis lhypothse de conver-gence de la srie de terme gnral uk, mais seulement la positivit des uk. Par consquent(1.16) reste valable si la srie termes positifs

+k=0 uk diverge. Dans ce cas Sn tend vers

+, donc aussi Tpn et la suite croissante (Tn) ayant une sous-suite tendant vers +,cest toute la suite (Tn) qui tend vers linfini. Ainsi on a

+k=0 uf(k) = + =

+k=0 uk.

Pour la commodit de rfrence et en raison du rle essentiel jou par les sries termes positifs dans ce cours, nous rassemblons dans lnonc suivant les rsultats

obtenus dans la preuve du thorme 1.68 (cas uk 0) et dans la remarque 1.69 .Proposition 1.70. Si (uk)kN est une suite de rels positifs, on a pour toute bectionf : N N,

+k=0

uk =+k=0

uf(k),

cette galit ayant lieu dansR+. Ainsi si les uk sont positifs, la notationkN uk est

toujours lgitime et reprsente la somme S R+ de la srie.



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Dans la preuve du thorme 1.68, le cas dune srie termes rels de signe quelconqueva se ramener celui dune srie termes positifs en utilisant la dcomposition dunrel en partie positive et partie ngative. Ceci requiert une digression pralable (de ladfinition 1.71 la remarque 1.74).

Dfinition 1.71 (parties positive et ngative). Pour toutx rel, sa partie positive notex+ et sa partie ngative note x sont les rels positifs dfinis par

x+ := max(0, x), x := max(0, x).On a alors pour tout x rel

x = x+ x, (1.17)|x| = x+ + x. (1.18)

Par exemple si x = 3,12, x+ = 3,12 et x = 0, si x =

2,3, x+ = 0 et x =

2,3. Il importe de bien noter que la partie ngative dun rel est un nombre positif ounul. Voyons dabord comment intervient cette dcomposition pour une srie absolumentconvergente.

Lemme 1.72. Si+k=0 uk est une srie termes rels absolument convergente et de

somme S, les sries termes positifs+k=0 u

+k et

+k=0 u

k sont convergentes et on a

+k=0

uk =+k=0

(u+k uk ) =+k=0

u+k +k=0

uk . (1.19)

Preuve. Par (1.18), on a 0

u+k |

uk|

et 0

uk |

uk|

. Les sries de terme gnral u+ket uk sont donc convergentes par le thorme de comparaison. La premire galit dans

(1.19) rsulte alors de (1.17) applique x = uk. La deuxime galit sobtient par laproposition 1.63 a) et b).

Remarque 1.73. La rciproque est vraie : si les sries termes positifs+k=0 u

+k et+

k=0 uk sont convergentes, la srie

+k=0 uk est absolument convergente et on a (1.19)

grce la proposition 1.63. Ceci montre que lon ne peut pas se passer de lhypothsede convergence absolue dans le lemme 1.72. Il est dautre part facile dexhiber un contreexemple : la srie de terme gnral uk = (1)k/k.

Remarque 1.74. Lgalit +k=0 u+k = +k=0 uk+ est grossirement fausse! Ellenest mme pas vraie pour des sommes finies. Comparez (a + b)+ et a+ + b+ pour a = 1

et b = 2 pour vous en convaincre.

Preuve du th. 1.68 dans le cas dune srie termes rels. Soit+k=0 uk une srie abso-

lument convergente termes rels et f une bection quelconque N N. On utilise ladcomposition uf(k) = u+f(k)uf(k). Par le lemme 1.72, la convergence absolue de la sriede terme gnral uk implique la convergence des sries termes gnraux positifs u+ket uk . La preuve du thorme 1.68 dans le cas des termes positifs nous fournit alors la



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convergence des sries+k=0 u

+f(k) et

+k=0 u

f(k) et lgalit de leurs sommes avec

+k=0 u

+k

et+k=0 u

k respectivement. Par la remarque 1.73, on en dduit la convergence absolue

de+k=0 uf(k). Compte-tenu du lemme 1.72, on a de plus

+k=0

uf(k) =

+k=0

u+f(k) +k=0

uf(k) =

+k=0

u+k +k=0

uk =

+k=0

(u+k uk ) =+k=0

uk.

Preuve du th. 1.68 dans le cas dune srie termes complexes. Pour des uk complexes,notons xk := Re uk et yk := Im uk. Grce aux ingalits 0 |xk| |uk| et 0 |yk| |uk|,les sries de terme gnral rel xk et yk hritent de la convergence absolue de la srie determe gnral complexe uk. On conclut alors en combinant la preuve du th. 1.68 dans lecas rel et la remarque 1.44.

Remarque 1.75. Largument utilis ci-dessus dans le cas complexe se gnralise auxsries valeurs dans un espace vectoriel norm E de dimension finie, disons pour sim-plifier E = Rd. En effet sur cet espace toutes les normes sont quivalentes et on peutdonc choisir la norme donne par x = max1id |xi| pour x = (x1, . . . , xd). La conver-gence dune suite dans (E, ) quivaut la convergence composante par composanteet la convergence de

+k=0 uk implique la convergence absolue des d sries de terme

gnral uk,i, en posant uk = (uk,1, . . . , uk,d). Ladaptation de la preuve ci-dessus est alorsimmdiate. Par contre si E est de dimension infinie, ce raisonnement nest plus valable.

Thorme 1.76. La convergence commutative dune srie termes rels ou complexes,implique sa convergence absolue.

Preuve. Il est clair quil suffit de traiter le cas des sries termes rels. Nous allons d-montrer la contrapose de lnonc, cest--dire que la ngation de la conclusion impliquela ngation de lhypothse. Dans ce but nous supposons que la srie de terme gnral ukconverge vers le rel S mais pas absolument, autrement dit que :

+k=0

uk = S R et+k=0

|uk| = +. (1.20)

Nous allons construire une bection f : N N telle que

+k=0 uf(k) ne converge pas

vers S.On commence par noter que (1.20) implique que

+k=0

u+k = + et+k=0

uk = +. (1.21)

En effet si ces deux sommes sont finies, la srie+k=0 uk est absolument convergente

par la remarque 1.73. Si lune est finie et lautre infinie, la srie+k=0 uk diverge par la

proposition 1.63 b) et c).



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Nous allons montrer que lon peut construire une bection f pour laquelle les sommespartielles

nk=0 uf(k) oscillent indfiniment entre 1 et 1 et donc nont pas de limite.

Lcriture explicite de la dfinition de f tant assez lourde, nous nous contenterons dedonner lide de sa construction. Le point cl est le lemme suivant.

Lemme 1.77. Soit v = (vk)kN une suite de rels positifs telle que+k=0 vk = +.

Pour tout intervalle born I de R+, dfinissons

T(I, v) :=kNI

vk,

avec la convention T(, v) := 0. On a alors

i N, x R+, !j = j(i,x,v) N; T([i, j[, v) x < T([i, j], v). (1.22)

Preuve du lemme. Notons ti,j := T([i, j[, v). On remarque que pour tout i

N fix, la

suite (ti,j)ji est croissante cause de la positivit des vk et tend vers + quand j tendvers +. Ce dernier point rsulte de lhypothse +k=0 vk = + et du fait que lon nechange pas la divergence de cette srie en supprimant ses i premiers termes. De pluson a ti,i = 0 car [i, i[= . Il est alors clair que lon obtient (1.22) avec j := max{l i;ti,l x}.

Partageons maintenant N en les deux sous-ensembles complmentaires :

A+ := {l N; ul 0}, A := {l N; ul < 0}.

Il rsulte immdiatement de (1.21) que ces deux ensembles sont infinis (donc dnom-brables comme parties infinies de N). Dfinissons alors les suites v = (vk)kN et w =(wk)kN en prenant pour vk (resp. wk) le terme de rang k dans la numrotation crois-sante des ul indexs par A+ (resp. A).

En appliquant le lemme 1.77 alternativement avec les suites v et w, on peutconstruire f par rcurrence de faon ce que les sommes partielles Tn =

nk=0 uf(k)

se trouvent gauche de 1 pour une infinit de n et droite de +1 pour une infinit den. Voici le dbut de la construction. On applique dabord le lemme avec i = 0, x = 1 etv. On obtient alors Tn1 1 pour n1 = j(0, 1, v) donn par(1.22). Ensuite on revient enarrire en appliquant le lemme avec w, i = 0 et x = 1+Tn1. Pour n2 = n1+j(0, x, w),on a alors Tn2 0, n0 N, n n0, Sn S < . (1.23)

Si on veut gnraliser ceci une famille de vecteurs (ui)iI o I est un ensemble infiniquelconque, on se heurte immdiatement une difficult, cest quune criture comme i i0 , na en gnral pas de sens dans I qui na aucune raison dtre muni dunerelation dordre total. Essayons alors de traduire lide exprime par (1.23) sans faireappel la structure dordre de N. On remarque pour cela que Sn ralise une approxima-tion de S par la somme dun nombre fini de termes de la famille (uk)kN avec une erreur

Sn S infrieure . Cette approximation peut tre ralise par une somme finieindexe par nimporte quel ensemble Kn := {0, 1, 2, . . . , n} dentiers conscutifs entre 0et n pourvu que n n0. Pour se dbarrasser de la relation dordre intervenant danscette dernire criture on la reformule en Kn Kn0. Rcrivons maintenant (1.23) laide des ensembles embots Kn.

> 0, Kn0 = {0, . . . , n0}, Kn Kn0,kKn

uk S < . (1.24)

Au risque dinsister lourdement, notons que dans lcriture, Kn Kn0 , Kn d-signe non pas nimporte quelle partie finie de N, mais un ensemble fini de la forme

{0, 1, 2, . . . , n}. Avons nous russi ainsi expurger (1.23) de la relation dordre sur N ?En fait non, nous avons seulement russi la cacher dans la dfinition des ensembles Kndentiers conscutifs entre 0 et n. Si on veut vraiment gnraliser un ensemble din-dexation I quelconque, on est donc condamn renoncer cette structure particuliredes Kn et ne retenir que leur finitude. On est ainsi amen introduire une nouvelle

17. Lexpos prsent ici est essentiellement une adaptation du chapitre XIV Sries dans les espacesvectoriels norms de louvrage de L. Schwartz,Topologie gnrale et analyse fonctionnelle, Hermann,Paris 1970.



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1.5. Familles sommables

notion de convergence pour la srie de terme gnral uk :

> 0, J fini N, K fini tel que J K N,kK

uk S < . (1.25)

Pourquoi avons nous pris la prcaution de qualifier cette convergence de nouvelle ? Parceque sil est clair que (1.25) implique (1.24) et donc (1.23), rien ne nous permet daffirmerque la rciproque soit vraie. Nous verrons dailleurs ci-dessous que cette rciproque estfausse pour les sries qui ne sont pas commutativement convergentes.

Aprs ce briefing, lanons nous rsolument dans laventure de la sommation dunefamille (ui)iI indexe par un ensemble quelconque, les ui tant des lments dun espacevectoriel norm E. Commenons par une notation. Si K est un sous-ensemble fini de I,on pose :

SK :=iK

ui.

Cette dfinition est cohrente puisque dans un espace vectoriel E la somme dun nombrefini dlments de E est encore un lment de E et ne dpend pas de lordre dcrituredes termes. Cette notation nest pas contradictoire avec celle utilise pour les sommespartielles Sn dune srie de terme gnral ui, i N, en considrant que Sn est uneabrviation de S{0,...,n} quil ne faut pas confondre avec S{n} = un. Dans le cas particuliero K = , on fait la convention S := 0 (vecteur nul de E). Dans tout ce qui suit, leslettres majuscules J, K dsigneront toujours des parties finies de I et nous omettronsparfois dcrire K I si le contexte lve toute ambigut.Dfinition 1.78 (famille sommable). Soit E un espace vectoriel norm, I un ensembledindices et (ui)iI une famille dlments de E. On dit que cette famille est sommable

de somme S E si > 0, J fini I, K fini J, SK S < . (1.26)

On crira alors S =iI

ui.

Insistons sur le fait que cette dfinition ne suppose aucune structure dordre surlensemble dindices I et donc aucun ordre privilgi dcriture des termes. Si I est fini,toute famille (ui)iI est trivialement sommable, il suffit de prendre S = SI et J = Idans (1.26) pour avoir SK S = 0. La dfinition 1.78 na donc dintrt que pour Iinfini. Nous verrons bientt quen fait, on peut se ramener un I au plus dnombrable

(prop. 1.85).Remarque 1.79. Si {ui, i I} est sommable, sa somme S est unique, cest--dire quesi les vecteurs S et S vrifient tous les deux (1.26), alors S = S. Bien sr, lensemblefini J associ S et par (1.26) na aucune raison dtre le mme que pour S, nousle noterons donc plutt J. Pour tout > 0, lensemble fini K = J J contient la foisJ et J, donc S SK et S SK . Par ingalit triangulaire, S S 2.Dans cette dernire ingalit, K qui dpendait de a disparu et le premier membre nedpend pas de . Lingalit tant vraie pour tout > 0, S S = 0 et S = S.



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La sommabilit est prserve par combinaison linaire. Lnonc prcis est le suivant.

Proposition 1.80 (sommabilit et combinaison linaire). Soient (ui)iI et (ui)iI deux familles sommables dans le mme espace vectoriel normE, ayant mme ensemble din-dexation I. Notons S et S les sommes respectives. Alors pour tous scalaires a et b, la

famille (aui + bui)iI est sommable dans E, de somme aS+ bS.

Preuve. Il est clair quil suffit de traiter les deux cas particuliers de (ui + ui)iI et de(aui)iI. Nous dtaillons seulement le premier, laissant lautre au lecteur. Par hypothsede sommabilit des familles (ui)iI et (ui)iI, on a pour tout > 0, deux parties finiesJ et J de I telles que pour tous K, K finis tels que J K I et J K I,S SK < /2 et S SK < /2. Ces deux ingalits sont vraies en particulier pourK = K = L o L est nimporte quelle partie finie de I contenant J J. Par ingalittriangulaire, on a alors (S+ S) (SL + SL) < . Par les proprits de laddition dansE et la finitude de L, on a

SL + SL =

iL

ui +iL

ui =iL

(ui + ui).

On a donc bien vrifi que (ui + ui)iI est sommable et a pour somme S+ S.

La sommabilit est prserve par permutation sur les indices.

Proposition 1.81 (invariance par permutation). Soit (ui)iI une famille sommable desomme S. Alors pour toute bection : I I, la famille (u(i))iI est sommable desomme S.

Preuve. Il sagit de montrer que (vi)iI est sommable de mme somme S que (ui)iI, lesvi tant dfinis par vi := u(i). Lhypothse de sommabilit de (ui)iI scrit

> 0, J fini I, K fini J, SK S < (1.27)

Posons J := 1(J) = {1(i); i J}. Lensemble J est fini car en bection aveclensemble fini J par 1. Pour tout K fini contenant J, lensemble fini (K) contient(J) et ce dernier ensemble est gal J. On a donc en appliquant (1.27) avec (K) aulieu de K, S(K) S < et ceci est vrai pour tout K fini contenant J. Dautre part

S(K) = (K) u

= iK u

(i) = iK v

i.

Nous avons donc montr que

> 0, J fini I, K fini J,iK

vi S < ,

autrement dit que (vi)iI est sommable de somme S.



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Remarque 1.82 (sommabilit dune srie). Plaons nous un instant dans le cas particu-lier I = N. Nous savions dj, cf. limplication (1.25) (1.23) vue en introduction, que lasommabilit de (uk)kN implique la convergence de la srie

+k=0 uk. La proposition 1.81

nous apprend en plus que cette convergence est ncessairement commutative. Dans lecas o les uk sont rels ou complexes, on peut donc dire que la sommabilit de (uk)k

N

implique la convergence commutative et absolue de la srie +k=0 uk, cf. thorme 1.76.Ainsi comme nous lavions annonc en introduction, limplication (1.23) (1.25) est fausse. Par exemple la srie de terme gnral uk = (1)k/(k + 1) est convergente,mais la famille (uk)kN nest pas sommable.

Il est facile de donner une caractrisation de la sommabilit pour les familles de relspositifs.

Proposition 1.83. Soit (ui)iI une famille dlments de R+.a) Si(ui)iI est telle que

M := supK finiISK < +, (1.28)alors elle est sommable de somme M.

b) Rciproquement, si (ui)iI est sommable de somme S, on a

S = supK finiI

SK, (1.29)

donc ce sup est fini.

Preuve du a). Soit > 0. Comme M est fini, M est strictement infrieur M. Parminimalit du supremum M parmi tous les majorants de lensemble {SK; K fini I},il existe une partie finie J de I telle que

M < SJ M.

De plus pour toute partie finie K de I, contenant J,

M < SJ SK M. (1.30)

En effet, SK SJ = SK\J est une somme de rels positifs, donc positive, ce qui justifiela deuxime ingalit dans (1.30). La troisime dcoule de la dfinition de M. Comme

(1.30) implique |M SK| < , nous avons ainsi tabli que {ui, i I} est sommable etde somme M.

Preuve du b). Supposons maintenant que (ui)iI est sommable dans R+, de somme S.Notons M le supremum dfini par (1.29), quil soit fini ou infini. On commence parremarquer que pour toute partie finie J de I, on a lgalit suivante dans R+ :

M := supL fini I

SL = supK fini, JKI

SK. (1.31)



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vraies pour tout n N. En crivant ui0 = (ui0 + SJn S) + (S SJn), lingalittriangulaire nous donne

n 1, ui0 2

n.

Faisant tendre n vers linfini (noter que i0 est fix et ne dpend pas de n), on en dduitui0 = 0, do ui0 = 0. Ce raisonnement tant valable pour nimporte quel i0 I\ H,on en dduit que I est inclus dans H. Par consquent, I est au plus dnombrable.

Nous allons voir maintenant que pour I dnombrable, sommabilit de (ui)iI etconvergence commutative de la srie associe via une numrotation de I sont quiva-lentes.

Thorme 1.86. Si I est dnombrable, les proprits suivantes sont quivalentes :a) (ui)iI est sommable de somme S;b) pour toute bection f : N I, la srie

+k=0 uf(k) converge et a pour somme S.

Avant de dmontrer ce thorme, remarquons que la proprit b) implique que lasrie de terme gnral vk := uf(k) est commutativement convergente et ceci pour toutchoix dune bection f : N I. En effet, fixons une telle bection et donc la suite(vk)kN correspondante. Soit une bection quelconque de N sur N. On a pour toutk N, v(k) = uf((k)) = ug(k), o g := f est une bection de N sur I. Par b), la srie+k=0 ug(k) converge et a pour somme S. Or cette srie est exactement

+k=0 v(k). Par

arbitrarit de la bection on en dduit que+k=0 vk est commutativement convergente.

Rciproquement, supposons quil existe au moins une bection h : N I telle quela srie

+k=0 uh(k) converge commutativement et ait pour somme S. Alors (ui)iI vrifie

la proprit b). En effet toute bection f : N I peut scrire f = (h h1) f =h

(h1

f) = h

, o := h1

f est une bection de N sur N. Alors pour tout k

N,

uf(k) = uh((k)) = v(k), o lon a not vk := uh(k) le terme gnral de la srie +k=0 uh(k).La srie

+k=0 vk tant commutativement convergente de somme S, on en dduit que la

srie de terme gnral uf(k) = v(k) converge et a pour somme S.

Preuve de a) b). Avec les Jn choisis comme dans la preuve de la proposition 1.85, ona pour toute partie finie K de I contenant Jn, SK S 1/n. Puisque f est unebection de N sur I et Jn une partie finie de I, il existe pour chaque n N un entierk0(n) tel que

f{0, 1, 2, . . . , k0(n)} Jn.

Il suffit de prendre pour cela, k0(n) := max{f1(i); i Jn}. Alors pour tout entierl k0(n), K := f{0, 1, 2, . . . , l} est une partie finie de I, contenant Jn et doncS SK 1/n. Comme SK = lk=0 uf(k), nous venons ainsi dtablir que :

n N, k0(n), l k0(n), lk=0

uf(k) S 1

n,

ce qui quivaut la convergence vers S de la srie de terme gnral uf(k) (cest justece que lon obtient en discrtisant le > 0 en le remplaant par = 1/n dans ladfinition de cette convergence).



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Preuve de b) a). Nous allons prouver cette implication en dmontrant sa contrapo-se : non a) non b). La ngation de a) scrit

> 0, J partie finie de I, K fini, J K I et S SK > . (1.33)

Fixons une premire bection : N I. Posons k0 := 0 et J0 := {(0)}. Par (1.33)il existe une partie finie K0 de I, contenant J0 et telle que S SK0 > . On peutmaintenant choisir un entier k1 > k0 tel que J1 :=

{0, 1, . . . , k1} contienne strictementK0, il suffit pour cela de prendre k1 = 1+ max{1(i); i K0}. Une nouvelle invocationde (1.33) nous fournit une partie finie K1 de I, contenant J1 et telle que S SK1 > .Nous venons ainsi damorcer une rcurrence qui base sur lutilisation itre de (1.33),nous permet de construire une suite strictement croissante dentiers (kn), deux suites(Jn) et (Kn) de parties finies de I, vrifiant :

n N,

{0, 1, . . . , kn}

= Jn Kn Jn+1 et S SKn > . (1.34)

Par cette construction, la suite (Kn) est strictement croissante pour linclusion. Larunion de cette suite est exactement I. En effet elle est videmment incluse dans Ipuisque chaque Kn est une partie de I. Dans lautre sens, si i est un lment quelconquede I, 1(i) est un entier qui est major par kn pour n assez grand (la suite strictementcroissante dentiers (kn) tend vers linfini). Par construction de Jn, lingalit 1(i) knimplique lappartenance de i Jn, donc aussi Kn. Ainsi un lment quelconque i deI appartient toujours au moins un Kn, donc I

nNKn et finalement I =

nNKn.

Posant maintenant

I0 := K0 et n N, In := Kn \ Kn1,

il est clair quaucun des In nest vide (stricte croissance de (Kn)), quils sont deux deux disjoints (pour la mme raison) et que leur runion est I. La famille {In; n N}constitue donc une partition de I en sous-ensembles finis. Notons maintenant

n N, mn := card Kn 1.Comme (Kn) est strictement croissante pour linclusion, la suite dentiers (mn) est stric-tement croissante. On obtient alors une partition {An; n N} de N en posant :

A0 := {0, . . . , m0}, et n N, An := {mn1 + 1, . . . , mn}.Les An sont finis, card A0 = m0 + 1 = card K0 = card I0 et pour n

1,

card An = mn mn1 = card Kn card Kn1 = card In.Dire quAn et In ont mme cardinal cest dire prcisment quil existe une bectionfn : An In. En recollant ces bections fn entre ensembles finis, on construitune application f : N I : tout k N appartient un unique An (puisque les Anpartitionnent N) et on pose alors

f(k) := fn(k), (k An).



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Vrifions que f ainsi dfinie est une bection. Tout i I appartient un In (puisque lesIn partitionnent I). Il a alors pour antcdent par f lentier f1n (i) An. Ceci montreque chaque i I a au moins un antcdent par f, donc que f est surjective. Pour vrifierlinjectivit, soient k et l deux entiers distincts. Ou bien ils sont dans le mme An etalors f(k) = fn(k)

= fn(l) = f(l) par injectivit de fn. Ou bien k

An et l

An avec

n = n. Alors f(k) In et f(l) In et comme In et In sont disjoints, f(k) et f(l) sontforcment distincts. Nous avons finalement construit une suite strictement croissantedentiers mn (donc tendant vers linfini) et une bection f : N I telles que

n N, f{0, . . . , mn} = Kn.Au vu de (1.34), nous avons ainsi

n N,mn

k=0uf(k) S

> ,

ce qui interdit la convergence vers S de la srie de terme gnral uf(k). Lexistencedune bection f pour laquelle la srie de terme gnral uf(k) ne converge pas vers S estprcisment la proprit non b) .

Le prochain thorme est lanalogue du critre de Cauchy pour les familles som-mables. Il est surtout important par ses corollaires. Il sapplique avec E espace vectorielnorm complet donc en particulier avec E = R ou C.

Thorme 1.87 (critre de Cauchy pour la sommabilit). Soit E un espace vectorielnorm complet. La famille (ui)iI dlments de E est sommable si et seulement si

> 0, J fini I, H fini I\ J, SH < . (1.35)

Avant dattaquer la preuve du thorme, faisons un peu de recherche en paterniten comparant (1.35) avec le critre de Cauchy classique pour une srie. Supposons doncpour un instant que I = N. Le critre de Cauchy classique pour la srie de terme gnraluk scrit :

> 0, n0 N, p,q n0, Sp Sq < . (1.36)On peut toujours par confort dcriture supposer p q. Dfinissons les ensembles den-tiers conscutifs Hp,q := { p , . . . , q} = [p,q] N. Avec cette notation, on peut rcrire(1.36) sous la forme quivalente

> 0, H0,n0 N, Hp,q N \ H0,n0 ,SHp,q < . (1.37)

Cette criture tablit la filiation de (1.35) partir de (1.36) et nous permet de voir que(1.35) implique (1.36). La rciproque est fausse en raison de la remarque 1.82 et duthorme 1.87. Par exemple la srie de terme gnral uk = (1)k/(k + 1) est convergentedonc vrifie le critre de Cauchy (1.36). Pourtant elle nest pas sommable, donc ne vrifiepas (1.35).



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Preuve de sommabilit (1.35) . Supposons dabord (ui)iI sommable. Pour tout > 0, il existe une partie finie J de I telle que pour toute partie finie K de I contenantJ, SK S < /2. En appliquant cette ingalit avec K = J, puis K = J H, pour Hpartie finie quelconque de I\ J, on obtient :

SJ S < 2

et SJH S < 2

.

Les ensembles dindices J et H tant disjoints et finis, SJH = SJ + SH. En crivantSH = (SJH S) (SJ S), lingalit triangulaire nous donne SH < . Ceci tablit(1.35). Notons que nous navons pas utilis la compltude de E dans cette partie.

Preuve de (1.35) sommabilit . Pour tablir la rciproque, supposons que la fa-mille (ui)iI dlments de E vrifie (1.35).

Vrifions dabord que lensemble dindices I := {i I; ui = 0} est au plus dnom-brable 19. En appliquant (1.35) avec = 1/n, pour tout n

1, on obtient une suite de

parties finies Jn de I telles que si H I \ Jn est fini, SH < 1/n. Ceci est vrai enparticulier avec H = {i}, pour i / Jn. Donc si i / Jn, ui < 1/n. Ainsi si i /

n1Jn,

autrement dit si i n1

(I \ Jn), on a ui < 1/n pour tout n 1, do ui = 0,puis ui = 0. On en dduit que I est inclus dans

n1Jn. Ce dernier ensemble est au plus

dnombrable comme union dnombrable densembles finis, donc I est lui-mme au plusdnombrable.

Le cas I fini est immdiat : on pose J = I, S := SI (bien dfini comme somme dunnombre fini de vecteurs de E). Pour tout K fini contenant I, SK = SI + SK\I = SIpuisque pour les i

K

\I, ui = 0. On a donc SK = S pour tout K

I, donc a fortiori

SK S < pour tout > 0 (ici on a mme J indpendant de ). Ainsi (ui)iI estsommable de somme S.

Passons au cas I infini (donc ici dnombrable). Fixons une bection f : N I etdfinissons pour k N, vk := uf(k). Notons Tn = v0 + + vn la n-ime somme partiellede la srie de vecteurs

+k=0 vk. Vrifions que la suite (Tn)nN satisfait au critre de

Cauchy classique dans E. Pour > 0, choisissons lun des ensembles J associs par(1.35). Il est clair que lon peut remplacer J par J := J I puisque pour les i / I,ui = 0. J est fini donc par surjectivit de f, il existe

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