QUESTIONS POSEES AUX EXAMENS D’ADMISSION · ... dans laquelle n ≥1 est un nombre ... contenu...

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UNIVERSITE DE LIEGE

Faculte des Sciences Appliquees

QUESTIONS POSEESAUX

EXAMENS D’ADMISSION

2010 - 2014

Examens de 2010 3

EXAMENS DE 2010

JUILLET 2010

ALGEBRE

1. Demontrer l’egalite suivante, dans laquellen≥ 1 est un nombre entier :

1C1n+4C2

n+ · · ·+n2Cnn = n(n+1)2n−2 .

Suggestion: Developper(1+x)n et deriver deux fois.

2. Trouver dansC les racines du polynomeP tel que

P(z) = (1−z3)3 − (1−z)3 .

3. Le polynome√

2x4 − 2(2+√

2+√

6)x3 + 2(2+3√

2+4√

3+2√

6)x2

−2(6+3√

2+4√

3+3√

6)x+ 3(4+3√

2)

admet deux racines reelles doubles distinctesa et b.Determiner la paire{a,b}.

ANALYSE

1. A. Soit la fonctionf definie par

f (x) = x

(ln

x1+a2

)3

ou a designe un parametre reel quelconque.

4 Examens de 2010

En discutant s’il y a lieu en fonction dea,

a) determiner le domaine de definition def ;

b) calculer les limites def aux frontieres de son domaine de definition etdeterminer les eventuelles asymptotes du graphe def ;

c) determiner et caracteriser les eventuels extrema ;

d) etudier la concavite du graphe et situer les eventuels points d’inflexion ;

e) dresser un tableau recapitulatif des proprietes def et esquisser son graphe.

B. En exploitant les resultats obtenus au point precedent,sans effectuer aucun calculsupplementaire, esquisser le graphe de

fa(x) = a x

(ln

x1+a2

)3

en discutant s’il y a lieu en fonction de la valeur du parametre reela.

2. On considere une fonctiong definie et deux fois derivable surR. On definit la fonctionh par

h(x) = g

(1x

)

a) Quel est le domaine de definition deh?

b) Que vauth′(x) ?

c) Que vauth′′(x) ?

3. On appelle “coefficients de Fourier” d’une fonctionf , les reelsa0, a1, a2. . . et b1,b2. . . definis par

ak =1π

∫ π

−πf (x)cos(kx)dx, k= 0,1,2, . . .

bk =1π

∫ π

−πf (x)sin(kx)dx, k= 1,2, . . .

(lorsque ces integrales existent).

a) Calculer les coefficients de Fouriera0, a1 et b1 de f (x) = x2.

b) Generaliser les resultats precedents en calculant les coefficientsak et bk (k ∈ N0)de f (x) = x2.

Examens de 2010 5

TRIGONOMETRIE ET CALCUL NUMERIQUE

1. Montrer que l’on a

4(cos6a−sin6a) = cos2a(4−sin2 2a)

2. Resoudre l’equationsin4x+cos4x= sinxcosx

3. Calculer l’angleA d’un triangle, sachant que les cotes adjacentsb et c sont de memelongueur et que l’aire du triangle vaut 3 fois celle du cercledont le troisieme cotea estle diametre.

4. Calculer la valeur de l’expression (sans l’aide de la calculatrice)

E = tg9◦− tg27◦− tg63◦+ tg81◦

GEOMETRIE ET GEOMETRIE ANALYTIQUE

Resoudre trois des cinq questions suivantes.

1. On considere un cercle passant par les extremitesB etC de l’hypotenuse d’un trianglerectangleABC. Ce cercle coupe la droiteAB en B et en un autre point noteB′. Dememe, il coupe la droiteAC enC et en un autre point noteC′. Les pointsB′ etC′ sontdistincts deA.Demontrer que la mediane issue deA du triangleABC est confondue avec la hauteurissue deA du triangleAB′C′.

2. On fixe un repere orthonorme du plan. Quel est le lieu des points du premier quadrantpar lesquels passe une et une seule droite determinant, avec les axes, un trianglecontenu dans le premier quadrant et d’aire egale a 4 ?

3. Un pointP appartient a la diagonaleBD d’un carreABCD. Demontrer l’egalite

−→BP.

−→DP= |AP|2−c2

6 Examens de 2010

ou c designe la longueur d’un cote du carre et ou|XY| represente la longueur dusegment[XY].

4. Un plan π coupe les aretes[AB], [AC] et [AD] d’un cube en trois points notesrespectivementB′, C′ et D′. Dans le triangleAB′C′, on noteH le pied de la hauteurissue deA.

a) Demontrer, en justifiant soigneusement toutes les etapesde votre raisonnement, quela droiteB′C′ est perpendiculaire au planAD′H.

b) En deduire que le planAD′H est perpendiculaire au planπ.

c) En deduire que la projection orthogonale deA sur le plan π coıncide avecl’orthocentre du triangleB′C′D′.

5. Dans un repere orthonorme de l’espace, on donne les droites da et db par leursequations cartesiennes

da :

{x−z−a= 0y+3z+1= 0

db :

{x+2y+z−2b= 03x+3y+2z−7= 0

ou a etb sont des parametres reels.

a) Montrer que ces droites ne sont pas paralleles, quels que soienta et b.

b) Determiner la condition necessaire et suffisante sura etbpour que les droites soientconcourantes.

c) Sous la condition determinee au point precedent, determiner alors l’equation duplan contenant ces droites.

SEPTEMBRE 2010

ALGEBRE

1. Resoudre et discuter le systeme suivant, dans lequela est un parametre reel :

(a+6)x+2y+a(a+4)z= 1−a2x− (a+1)y−2az= 17+a(a+10)x+(a2−15)y+a2z= 35+a

Examens de 2010 7

2. Resoudre dansC l’equationi(1+z)4 = 1.

3. Resoudre dansR\{a,−a−1} l’inequation parametrique

xx−a

+x+1

x+a+1≥ 0,

oua∈ [0 :+∞[.

ANALYSE

1. On considere la fonction

f (x) = sinx

1−x

En utilisant unecalculatrice graphique, on obtient larepresentation ci-contre.

-10 -5 5 10

-1.0

-0.5

0.5

1.0

a) Etudier le graphe de la fonctiong(x) =x

1−x:

– determiner le domaine de definition ;– determiner les asymptotes eventuelles ;– etudier la croissance/decroissance et determiner lesextrema eventuels ;– esquisser le graphique.

b) Determiner le domaine de definition def . Justifier.

c) Determiner l’ensemble des valeurs def . Justifier.

d) Preciser le comportement def au voisinage dex= 1. Que vaut limx→1

f (x) ?

e) Determiner les asymptotes eventuelles du graphe def .

f) Calculer f ′(x).

g) Determiner tous les extrema locaux en precisant la naturede ceux-ci ainsi que lesabscisses et les ordonnees correspondantes.

8 Examens de 2010

2. Soit

In =∫ 1

0xne−xdx, n∈ N

a) CalculerI0.

b) CalculerI1.

c) Etablir une relation de recurrence du typeIn = n In−1−α (valable pour toutn entier≥ 1) ouα designe une constante a determiner.

d) Sans calculer explicitement les integrales, montrer, en effectuant un changementde variable, que l’integrale ∫ β

1

(lnx)n

x2 dx

est egale aIn pour une valeur adequate deβ a determiner.

e) Montrer queIn ≤1

1+n.


1. Verifier quetg3a− tg2a− tga= tga tg2a tg3a

2. Resoudre l’equation

2 cos3x+2 sin2x cosx= 5sinx cos2x

Representer les solutions sur le cercle trigonometrique.

3. Soient trois nombres reels a, b, c qui sont des elementsconsecutifs d’une progressionarithmetique. Montrer que, en general, on a

sina+sinb+sinccosa+cosb+cosc

= tgb

Pour quelles valeurs de la raison la proposition est-elle endefaut ?

Etudier la reciproque.

Examens de 2010 9

4. Un avion s’approche de sa base. On suppose qu’il vole a unealtitude constante et unevitesse constante par rapport au sol de 800 km/h. L’angle d’´elevation de l’avion parrapport a la base est de 16◦. Une minute plus tard, il est percu par la base avec un anglede 37◦. Calculer l’altitude de vol de l’avion.

a=16° b=37°

h=?

FIGURE 1 Calcul de l’altitude d’un avion



1. On considere un triangleABC rectangle enA (c’est-a-dire, tel que l’angleBAC soitdroit). Le centre du cercle inscrit a ce triangle est noteO. Ce cercle rencontre les cotes[AB], [AC] et [BC] du triangle en trois points notes respectivementP, Q et R. Dans letrianglePQR, le pied de la hauteur issue deQ est noteH.

a) Determiner la valeur de l’anglePRQ.

b) Demontrer que les pointsO, C etH sont alignes.

2. On se place dans le plan muni d’un repere orthonorme d’origine O, et on considereles pointsP d’abscisse 1,Q d’ordonnee 1 tels que les droitesOP et OQ soientperpendiculaires. Determiner le lieu de la projection orthogonaleM de l’origine Osur la droitePQ.

3. Le centreO d’un cercle de rayonr est situe a l’intersection des diagonales d’unparallelogrammeABCD. Un pointP parcourt ce cercle.

a) Demontrer que la valeur de

|PA|2+ |PB|2+ |PC|2+ |PD|2,

10 Examens de 2010

ou |XY| represente la longueur du segment[XY], ne depend pas de la position deP sur le cercle.

b) Exprimer cette valeur en fonction der et des longueurs|AB| et |BC| des cotes duparallelogramme.

4. Dans un repere orthonorme de l’espace, on donne les plans Π1, Π2, Π3 et Π4 par leurequation cartesienne :

Π1 : x+y−1= 0, Π2 : y+z−1= 0,Π3 : z+x−1= 0, Π4 : x−y+z= 0.

On donne aussi le pointA de coordonnees(1,1,λ), ouλ est un parametre reel.

Determiner une condition necessaire et suffisante surλ pour que les projectionsorthogonales deA sur les plansΠ1, Π2, Π3 et Π4 soient coplanaires.

5. On considere un cubeABCDA′B′C′D′, avec−→AB=

−→DC =

−−→A′B′ =

−−→D′C′ et

−→BC=

−→AD =−−→

B′C′ =−−→A′D′, et un planπ perpendiculaire a la droiteAC′. La longueur d’une arete du

cube est noteeℓ.On note respectivementH1, H2, H3, H4, H5 et H6 les projections orthogonales dessommetsB, C, D, D′, A′ et B′ du cube surπ.

a) Demontrer que l’hexagoneH1H2H3H4H5H6 est regulier.

Suggestion: Utiliser les proprietes de symetrie du cube.

b) Determiner l’aire de cet hexagone en fonction deℓ.

Examens de 2011 11

EXAMENS DE 2011

JUILLET 2011

ALGEBRE

1. Sachant que les nombres reelsa et b verifienta4+b4 = 7 etab=−1, on demande demontrer que les nombresa2+b2, a6+b6, a8+b8 eta10+b10 sont tous entiers et d’encalculer les valeurs.Existe-t-il une technique simple pour calculerf (n) = a2n + b2n pour tout entiernatureln ?Est-ce quef (n) est toujours entier ?Peut-on determiner les reelsa2, b2, a etb ?

2. Resoudre dansC l’equationz4+ |z|= 0

3. Demontrer l’egaliten

∑k=1

C2k+1 = C3

n+2

valable pour tout entiern strictement positif.

ANALYSE

1. On considere la fonctionf (x) = lnx3

4−x2

a) Determiner le domaine de definition def .

b) Calculer

limx→−2

f (x), limx→0

f (x), limx→1

f (x) et limx→2

f (x)

c) Determiner les equations des eventuelles asymptotesdu graphe def .

12 Examens de 2011

2. On decoupe dans une feuille de papier un secteur circulaire de rayonRet d’ouvertureθcomme represente ci-contre. En appliquant l’un sur l’autre les points A et B, on formeensuite un cone de sommet O.

a) Montrer que le volume du cone est donne parune expression du type

V(θ) = αR3θ2√

4π2−θ2

ou α est une constante positive a determineret ouθ est exprime en radians.

b) Le rayonR etant fixe, determiner le volumemaximum du cone pouvant etre construit dela sorte.Justifier.

R

OA

B

θ

3. On pose

cn =∫ π

0(x+a)ncosx dx et sn =

∫ π

0(x+a)nsinx dx

ou n designe un entier positif ou nul eta est un reel quelconque.

a) Calculerc0 et s0.

b) Calculerc1 et s1.

c) Montrer que, pour toutn entier non nul,cn =−nsn−1.

d) Montrer que, pour toutn entier strictement superieur a 1,

sn = (π+a)n+an−n(n−1)sn−2

e) Montrer que, pour toutn pair superieur ou egal a 2,∫ π

0

[(x−π)n−xn]sinx dx= 0

Examens de 2011 13


1. Montrer que sia+b+c= π, on a

cosa−cosb+cosc+1 = 4 cosa2

sinb2

cosc2

2. Deux observateurs, B et C, distants de 1750 m sur une horizontale BC, observent aumeme instant un avion A dans le ciel (voir Fig.2). Cet avion est dans le plan verticalde la base d’observation BC et les angles d’elevation sontB = 70◦ etC = 84◦.Quelle est la hauteur|AD| de l’avion par rapport aux deux observateurs s’il se trouveentre ceux-ci ? (Arrondir au metre le plus proche).

A

B C

D

FIGURE 2 Quelle est la hauteur de l’avion ?

3. Dans le trapeze isocele ABCD, on donne les bases a et b et la hauteur h (voir Fig.3).

On demande

a) La longueur l des cotes[AD] et [BC].

b) Les anglesA et D en radians, avec 4 chiffres apres la virgule.

c) Le rayon R du cercle circonscrit.

On rappelle que, dans un triangle quelconque XYZ, on a

x

sinX=

y

sinY=

z

sinZ= 2R

14 Examens de 2011

b

a

h

l

A B

CD

H

FIGURE 3 Trapeze isocele ABCD

4. Resoudre l’inequation

sin3x sin(π

2−3x

)+ cos3x cos

(π2−3x

)≥ 3

√3

8

Dessiner l’ensemble des solutions sur le cercle trigonometrique.



1. On considere un parallelogrammeABCD et une droited issue deA qui coupe ladiagonale[BD] en un pointP, le cote[BC] en un pointQ et la droiteCD en un pointR.

Demontrer que l’on a|AP|=

√|PQ|.|PR|,

ou |XY| designe la longueur du segment[XY].

2. On se place dans un repere orthonorme du plan. Pour toutλ∈R, on considere le cercleCλ de centre(λ,0) tangent a l’axeY et le cercleΓλ de centre(λ,λ) tangent a l’axeX.Demontrer que le lieu des points d’intersection deCλ et Γλ est une union de deuxdroites et donner les equations cartesiennes de celles-ci.

Examens de 2011 15

3. Soient deux cercles concentriquesC (interieur) etC ′ (exterieur). Un pointP fixe estsitue surC . Une droite mobiled issue deP rencontreC ′ en deux points notesA et B.La droite perpendiculaire ad issue deP rencontreC enP et en un autre point noteC.Demontrer que la position du centre de graviteG du triangleABCest independante duchoix ded.

Suggestion: calculer le vecteur−→OG, ouO est le centre deC et deC ′.

4. Dans un repere orthonorme de l’espace, on considere ladroited1, passant par les pointsA etB respectivement de coordonnees(1,2,3) et (−1,0,2), et la droited2, passant parles pointsC,D respectivement de coordonnees(0,1,7) et (2,0,5).

a) Determiner l’equation cartesienne du planΠ parallele a la droited1 et contenantla droited2.

b) Determiner la distance entre la droited1 et le planΠ .

c) Determiner des equations parametriques et des equations cartesiennes de la droited3 passant parC et orthogonale ad1 et d2.

d) Determiner un pointP1 ded1 et pointP2 ded2 tels que le vecteur joignantP1 aP2 soit orthogonal ad1 et ad2.

5. On considere une pyramide droite a base carreeSABCD(en d’autres termes, la baseABCDde cette pyramide est un carre et le piedH de la hauteur issue deSest le centrede ce carre). Cette pyramide est telle que|AB|= |SH|, ou |XY| designe la longueur dusegment[XY]. Cette pyramide est egalement inscrite dans une sphere (c’est-a-dire queles pointsA, B, C, D et Ssont situes a la surface de cette sphere). SiV etV ′ designentrespectivement le volume de la pyramide et de la sphere, calculer la valeur du rapportV ′

Vet en donner une expression independante du rayon de la sph`ere et du cote de la

base de la pyramide.

16 Examens de 2011

SEPTEMBRE 2011

ALGEBRE

1. Resoudre le systeme suivant, dans lequela est un parametre reel

2x+3y+(a−1)z= 24x+3ay+az= 4(6−3a)y+(a−2)z= 0

2. Resoudre dansR l’equation

2(logx)3+log

(x20

)

10−

[log

(x√

20)]2

4= 0

La notation log designe le logarithme en base 10.

3. Resoudre dansR l’inequation

x+

√x+1

2√x+1

2

≤ x+1

ANALYSE

Introduction.

L’installation d’une eolienne sur un site particulier estgeneralement precedee d’uneetude de longue duree destinee a recueillir les statistiques decrivant la variation du vent acet endroit. Ignorant l’information sur la direction du vent, puisque les eoliennes peuventpivoter autour de leur axe vertical pour s’aligner avec celui-ci, la distribution statistique dela vitesse du vent est generalement decrite par uneloi de Weibullde la forme

f (v) = αv exp

(−v2

λ2

)

Examens de 2011 17

ouv designe la vitesse du vent et ouα etλ sont des parametres constants strictement positifsdetermines en fonction des mesures effectuees a l’endroit considere. La fonctionf (v) est ladensite de probabilite. Elle permet d’exprimer la probabilite que le vent souffle `a une vitessecomprise entreva etvb par

P(va ≤ v≤ vb) =∫ vb

va

f (v)dv

1. Etudier le graphe de la fonctionf (v) sur le domaine utile constitue des valeurs dev≥ 0. En particulier,

a) determiner les asymptotes eventuelles ;

b) etudier la croissance/decroissance et determiner les extrema eventuels ;

c) etudier la concavite et determiner les points d’inflexion eventuels ;

d) determiner les equations des tangentes au graphe def en l’abcissev = 0 ainsiqu’aux eventuels extrema et points d’inflexion du graphe def ;

e) esquisser le graphique def et les tangentes determinees ci-dessus.

2. a) Sachant que (condition de normalisation)

P(0< v≤+∞) =∫ +∞

0f (v)dv= 1

montrer que

α =2λ2

Dans la suite, on utilisera cette valeur deα.

b) Calculer en fonction deu (et deλ) la probabiliteF(u) que la vitesse du vent soitinferieure a une valeuru> 0 fixee.

c) Montrer que les moments successifs

µn =

∫ ∞

0vn f (v)dv (n≥ 0)

verifient une relation de recurrence du type

µn = β n µn−2 pour toutn≥ 2

ou β designe une constante a determiner.

18 Examens de 2011

d) Sachant que (integrale de Poisson)

∫ ∞

0e−ax2

dx=12

√πa

(a> 0)

calculer la moyenneµ1 de la vitesse du vent

µ1 =

∫ +∞

0v f(v)dv

e) Calculer la puissance moyenne theoriqueP

P = η Cp µ3 = η Cp

∫ +∞

0v3 f (v)dv

(ouη etCp sont des parametres fixes,η ≈ 0.59 designant le rendement theoriquemaximum de l’eolienne etCp etant le coefficient de puissance) pouvant etreproduite par une eolienne placee a cet endroit.


1. Dans un triangleABC, on a la relation suivante entre les anglesB etC

1+cotgB2+cotg

C2= cotg

B2

cotgC2

Que vaut l’angleA?

2. Resoudre l’equationsin23x−cos2x= 1

3. On se donne un cercle de rayonr. Par le centre, on fait passer des rayons de gauchea droite, distants chacun d’un angleα, 0< α < 90◦. Soit A0 le point de concours dupremier rayon avec la circonference. A partir de ce point, on trace le segment[A0A1]perpendiculaire au deuxieme rayon enA1. A partir deA1, on trace le segment[A1A2]perpendiculaire au troisieme rayon enA2, et ainsi de suite (voir Fig.4).

a) AppelonsLn la longueur |A0A1| + |A1A2| + . . . + |An−1An|. Que vaut cettelongueur ?

Examens de 2011 19

FIGURE 4 Construction de la ligneA0 . . .A6

b) Montrer que la limite pour une infinite de segments est donnee par

L∞ = r1+cosα

sinα.

c) Dans le cas ouα = 30◦, montrer queL∞ est la somme du diametre du cercle etdu cote du triangle equilateral inscrit a ce cercle.

4. On considere le pentagone irregulier ABCDE represente a la figure Fig.5. On placeen A un systeme d’axes orthonormes XY avec l’axe X selon l’horizontale AE et l’axevertical Y pointant vers le point B.

On donne les longueurs et les angles suivants

(i) l1 = 40 cm,l2 = 35 cm,l3 = 50 cm,l4 = 30 cm

(ii) α = 70◦, β = 84◦, γ = 62◦

On demande de calculer, avec quatre chiffres apres la virgule, les donnees suivantes

a) Les coordonnees X et Y des points A, B, C, D.

b) La longueurl5, distance le long de l’axe des X entre A et E.

c) Les anglesδ et ε.

20 Examens de 2011

B

C

D

EAx

y

l =401

l =352

l =503

l =304

l =?5

a=70°

b=84°g=62°

d=?

e=?

FIGURE 5 Pentagone irregulier ABCDE



1. On considere un triangleABC et trois pointsA′, B′ et C′ tels que−→CA′ = −1

3−→CA,

−→AB′ = −1

3−→AB et

−→BC′ = −1

3−→BC. Demontrer que l’aire du triangleA′B′C′ vaut les sept

tiers de celle du triangleABC.

2. On se place dans un repere orthonorme du plan et on donne les pointsA(−a,0) etB(a,0) (aveca> 0). On considere un cercleC variable passant parA etB. On demandede determiner le lieu des points deC en lesquels la tangente aC est parallele a l’axedes ordonnees (c’est-a-dire l’axeY).

3. On donne quatre pointsA,B,C et D.

a) Montrer que le vecteur

4−→MA+3

−→MB−5

−→MC−2

−−→MD

est independant du pointM.

Examens de 2011 21

b) Notonsv le vecteur dont il est question au point precedent. Montrer que si celui-ciest nul, alors le nombre reel

4‖−→MA‖2+3‖−→MB‖2−5‖−→MC‖2−2‖−−→MD‖2

est independant du pointM.

4. Dans un repere orthonorme de l’espace, on considere lepoint P de coordonnees(1,1,1) et la droited d’equations cartesiennes

{2x+y= 5y+2z=−3

a) Montrer que le planΠ d’equation cartesienne

3x+2y+z−6= 0

passe parP et contient la droited.

b) Determiner l’equation generale des plans orthogonaux a Π qui passent parl’origine du repere.

c) Parmi les plans evoques au point precedent, determiner celui dont l’intersectionavecΠ est parallele a la droited.

d) Determiner la distance entreP et d.

5. Dans un tetraedreABCD, on nommehA, hB, hC et hD les hauteurs respectivementissues des sommetsA, B, C et D.

a) Demontrer, en justifiant soigneusement toutes les etapes, que, si les droiteshA ethB sont secantes, alors les aretes[AB] et [CD] du tetraedre sont orthogonales.

b) Demontrer la reciproque de cette propriete.

c) En deduire que, si les droiteshA et hB sont secantes, alors les droiteshC et hD lesont egalement.

22 Examens de 2011

Examens de 2012 23

EXAMENS DE 2012

JUILLET 2012

ALGEBRE

1. Resoudre dansC l’equation

4z5−12z2+9z= 0.

On donnera la forme algebrique et la forme trigonometrique de chaque solution.

2. La suitef et la matriceΦ de Fibonacci sont definies par les egalites

f0 = 0, f1 = 1, fn = fn−1+ fn−2 pourn= 2,3, . . . ; Φ =

(1 11 0

).

Demontrer que, pour tout entier natureln> 0, on a

Φn =

(fn+1 fnfn fn−1

).

En deduire l’egalitef2n+1 = f 2

n+1+ f 2n .

3. Determiner la valeur dek sachant que le polynome

x4−2√

2x3+kx2+(

2+5√

2)

x−2√

2

admet quatre racines reellesx1,x2,x3,x4 telles quex1+x2 = x3+x4 ; on calculera aussiles racines.

Remarque: On peut souvent simplifier√

a±b√

2 en cherchantx,y tels que

(x±y

√2)2

= a±b√

2.

24 Examens de 2012

ANALYSE

1. On considere la fonctionf (x) = 2

3√

x2−2β (x+1)

ou β designe un parametre reel non nul en fonction duquel les proprietes def serontdiscutees.


b) Calculer les limites def aux frontieres de son domaine de definition et determinerles eventuelles asymptotes.

c) Identifier et caracteriser les eventuels extrema locaux de f .

d) Etudier la concavite du graphe et situer les eventuels points d’inflexion.

e) Dresser un tableau recapitulatif des proprietes def et esquisser son graphe.

f) Determiner toutes les valeurs deβ pour lesquellesf ≤ 0 sur[0,+∞[.

2. A partir d’une fonction f0 continue sur l’intervalle]0,1[, on definit la sequence defonctions f1, f2, . . . , elles-memes definies sur]0,1[, par la relation de recurrence

fn(x) =1x

∫ x

0fn−1(t)dt ∀n∈ N0

a) On considere d’abordf0(t) = t2.

i. Calculer f1 et f2.

ii. Donner l’expression generale defn.

b) Calculer f1 dans le cas ouf0(t) = t exp(t) (ce qui peut aussi etre note sous laforme f0(t) = t et).

c) Montrer que, quelle que soit la fonctionf0 choisie pour initier la sequence defonctions, on a

fn′(x) =

fn−1(x)− fn(x)x

∀n∈ N0

d) Si la fonction f1 est strictement croissante sur]0,1[, situer les graphes desfonctions f0 et f1 l’un par rapport a l’autre sur cet intervalle.

3. On considere les courbes

x2−y2 = γ et xy= δ

ou γ et δ designent des constantes strictement positives.

Examens de 2012 25

a) Sur base de l’etude des pentes des tangentes a leur intersection, montrer que cescourbes se coupent a angle droit dans le premier quadrant dans le cas particulierou γ = 1 etδ =

√2.

b) Les courbes se coupent-elles a angle droit dans le premier quadrant quelles quesoient les valeurs strictement positives deγ etδ ? Justifier.


1. Montrer que1+sinx1−sinx

= 2

(1+ tg x

2

1− tg x2

)2

.

2. Resoudre1

cosx+

1sinx

= 2√

6.


3. Deux bateaux initialement situes enA1 et B1 naviguent en direction du point C (voirFig.6). On mesure la distanceA1B1 = 50 km et les anglesα1 = 85◦ et β1 = 65◦.Au tempst2, les deux bateaux se trouvent enA2 et B2 ayant parcouru respectivementA1A2 = 30 km etB1B2 = 50 km. On mesure les anglesα2 etβ2 entre les trajectoires etle segment de droite entre les bateaux.

a) Demontrer que les angles satisfontα1 + β1 = α2 + β2.b) Determiner l’angle C et les distancesA1C et B1C.

c) Calculer la distanceA2B2 entre les bateaux ent2 et les anglesα2 et β2.Donner les resultats numeriques avec 4 chiffres apres lavirgule.

A1

B1

C

A2

B2

a2

b1

b2

a1

FIGURE 6 Deux bateaux

26 Examens de 2012



1. On considere un quadrilatere convexeABCD inscrit dans un cercle de centreO. OnnoteP, Q, R et S les points symetriques aO par rapport aux cotes respectifs de cequadrilatere. Demontrer que le quadrilaterePQRSest un parallelogramme.

2. Dans un repere orthonorme du plan, on considere les trois pointsA(1,1), B(0,0),C(2,0). Pour tout pointP de la droiteBC, on noteQ la projection orthogonale deP sur la droiteAB etR la projection orthogonale deP sur la droiteAC.

a) En fonction de l’abscisse deP, evaluer le rapport de l’aire du trianglePQRa celledu triangleABC.

b) Pour quelle(s) valeur(s) de cette abscisse ce rapport est-il egal a14

?

3. On considere un triangleABC isocele enA (c’est-dire que l’on a|AB|= |AC|, ou |XY|designe la longueur d’un segment[XY]). Soit P un point situe sur le cote[AB] de cetriangle. Demontrer que l’on a

|PC|2−|PB|2 = |AP||AB| |BC|2.

4. Dans l’espace muni d’un repere orthonorme, on considere les pointsA, B et Crespectivement de coordonnees

(0,2,4), (2,0,−2), (1,−1,3).

a) Determiner l’equation du plan mediateurπ du segment[AB].

b) Determiner les coordonnees de la projection orthogonale P du pointC sur ladroiteAB.

c) Determiner le cosinus de l’angleBAC.

d) Determiner l’aire du triangleABC.

5. On considere un tetraedreABCD et un plan parallele a sa baseABC, qui coupe lesaretes[AD], [BD] et [CD] en des points notes respectivementA′, B′ et C′. Dans letriangleABC, les milieux des cotes[BC], [AC] et [AB] sont respectivement notesP, Qet R.Demontrer que les droitesA′P, B′Q etC′R sont concourantes.

Examens de 2012 27

SEPTEMBRE 2012

ALGEBRE


x2n+2xncosα+1= 0

si n est un parametre entier strictement positif etα un parametre reel.

2. Soita un reel non nul etP(x) un polynome surR tel que le reste de la division deP(x)par 2x+1 esta et le reste de la division deP(x) parax+1 est 2.Peut-on determiner le reste de la division deP(x) par (2x+1)(ax+1)? Si oui, quelest-il ?

3. Resoudre dansR l’inequation√

3x2+5x+7−√

3x2+5x+2> 1.

ANALYSE

1. On considere la famille de fonctions

f (x) = αx

x+βarctgx+ γ

ouα, β et γ designent trois parametres reels.Le graphique donne en fin de question a ete obtenu par logiciel en choisissant desvaleurs particulieres non nulles pour les parametres.

a) Retrouver les valeurs particulieres deα, β et γ utilisees pour tracer ce graphiquesachant que le graphe def presente• une asymptote horizontaley= π en+∞ ;• une asymptote horizontaley= 0 en−∞ ;• des extrema locaux enx= 0 et enx= 1.

b) Pour les valeurs des parametres identifiees au point pr´ecedent, determinerl’equation de l’asymptote verticale visible sur le graphique.

28 Examens de 2012

c) De facon generale, determiner pour quelles valeurs des parametres le graphepresente un maximum local enx= 0.

1 x

f (x)

AH : y= π

AH : y= 0

2. a) Determiner toutes les primitives des deux fonctions ci-dessous et en preciser lesdomaines de definition :

• x2

1−x• xex

b) Calculer les deux integrales suivantes :

•∫ 3

2

x1−x2dx

•∫ π/4

0

sinx cosx1−sinx

dx

3. On determine experimentalement la deformationd d’un absorbeur de chocs enfonction de la vitessev de l’impact. Les mesures etant realisees a differentes vitessesnon nulles, on dispose d’un ensemble den points experimentaux(vi ,di) (i = 1, . . . ,n).

Suspectant une dependance quadratique de la deformationpar rapport a la vitesse, onsouhaite ajuster le parametreα pour representer aussi bien que possible les donneesexperimentales par une loi theorique de la forme

d = αv2.

Examens de 2012 29

Pour ce faire, on determine la valeur deα permettant de minimiser l’erreur quadratique

e(α) =n

∑i=1

[di −αv2

i

]2

calculee en sommant les carres des ecarts entre les donn´ees experimentales et lesvaleurs predites par le modele theorique.

v

d

(vi ,di)d = αv2

××

×

×× ×

×

×

×

a) Dans le cas ou on dispose seulement de deux mesures (n = 2), determiner,en fonction des donnees experimentales (v1, d1, v2 et d2), la valeur deαcorrespondant au minimum de l’erreur quadratique

e(α) =[d1−αv2

1

]2+[d2−αv2

2

]2.

b) Determiner la valeur optimale deα dans le cas general ou on dispose d’un nombren> 0 quelconque de points experimentaux.


1. Soient A, B et C, les angles d’un triangle. Montrer que le triangle ABC est rectanglesi et seulement si

sin2A + sin2B + sin2C = 2.

2. Resoudre √3cos2x + sin2x = 2.


30 Examens de 2012

3. Soit le triangle ABC. On designe parα, β et γ la mesure des angles respectivementaux sommets A, B et C et par a, b et c, la mesure des longueurs descotes opposes. Onappelle m la mesure de la mediane AM,θ la mesure de l’angle AMB et S la mesure dela surface du triangle ABC.

a) Dessiner une esquisse de la situation.

b) Demontrer les relations

4m2−a2 = 4b ccosα et S =a m2

sinθ

c) Si on donne les valeurs numeriques suivantes

c= 3,45m α = 48◦ et β = 73◦

que valent a, b, m,θ et S ?

Donner les resultats numeriques avec 4 chiffres apres lavirgule.



1. On considere un quadrilatere convexeABCDinscrit dans un cercle, dont les diagonalesAC etBD sont perpendiculaires. On noteO le point d’intersection de ces diagonales etP, Q, RetS les projections orthogonales respectives du pointO sur les droitesAB, BC,CD et DA.

a) Demontrer que la droiteOQ est bissectrice de l’anglePQR.

b) Demontrer que le quadrilaterePQRSest inscriptible dans un cercle.

2. SoientABC un triangle rectangle enA et d une droite passant parA. On noteG laprojection orthogonale deB surd et E la projection orthogonale deC surd. On noteegalementd1 la droite parallele aAC menee parG etd2 la droite parallele aABmeneeparE.

a) Demontrer que les droitesd1,d2 et BC sont concourantes.

b) Determiner le lieu geometrique du point d’intersection ded1 etd2 lorsqued varie.

Examens de 2012 31

3. On considere deux triangles equilaterauxABC et ABD partageant le meme cote[AB](les pointsC etD etant situes de part et d’autre de la droiteAB) et un point quelconqueP du plan.Demontrer la relation

|PC|2+ |PD|2 = |PA|2+ |PB|2+ |AB|2,


4. On considere une droited de l’espace et un pointP n’appartenant pas ad. Pour toutplanπ contenantd, on designe parQ la projection orthogonale du pointP sur le planπ. Determiner le lieu geometrique decrit par le pointQ lorsqueπ varie.

5. Soit un tetraedreABCD dont les aretesAD, BD et CD sont perpendiculaires deux adeux. Demontrer que la projection orthogonale du sommetD sur le planABCcoıncideavec l’orthocentre du triangleABC.

32 Examens de 2012

Examens de 2013 33

EXAMENS DE 2013

JUILLET 2013

ALGEBRE

1. Soit un polynome a coefficients reelsP(x) = ax2+bx+c tel quec< 0< a.

a) Prouver que le discriminant∆P = b2 − 4ac est strictement positif et que lepolynome admet deux racines reellesu et v telles queu< 0< v.

b) Soite= v2 et Q(x) =−x2P(e+ 1

x) = a′x2+b′x+c′.Etablir quec′ < 0< a′ et ∆Q = ∆P.

c) Pour quelles valeurs dee∈ {0, u3,

u+v4 ,− b

10a,√−u,

√v,√−uv} le point b) reste-

t-il vrai ?

2. Resoudre dansR l’inequation suivante, dans laquellea est un parametre reel :

a+√

x−a≤ x

a−√

x−a

Quand a-t-on l’egalite ?

3. Resoudre dansC le systeme suivant, dans lequelmest un parametre complexe :{

mx+y=−iix+(im+2)y=−m

Pour quelles valeurs dem le systeme admet-il au moins une solution(x,y) telle quex,y∈ R?

34 Examens de 2013

ANALYSE

1. Soit la fonctionf (x) = xα lnx

a) En considerant d’abord le casα = 2,

i. determiner le domaine de definition def ;

ii. determiner les eventuelles asymptotes du graphe def ;

iii. etudier la croissance/decroissance def et caracteriser les eventuels extrema ;

iv. etudier la concavite du graphe et situer les eventuels points d’inflexion ;

v. esquisser le graphe def .

b) Dans un cas plus general, determiner toutes les valeurs entieres du parametreαpour lesquelles le graphe def presente l’allure ci-dessous. Justifier.

x

f (x)

2. Determiner les dimensions (rayon de la baseR et hauteurh) d’une canette, assimileea un cylindre parfait, devant contenir un volumeV donne et pouvant etre realiseeen utilisant le minimum d’aluminium, c’est-a-dire presentant l’aire totale minimale.Justifier.Que vaut l’aire minimale ?

Examens de 2013 35

3. a) Calculer les trois integrales suivantes :

i)∫ 1

0

x1+x2 dx ii)

∫ 1

0

x2

1+x2 dx iii )∫ e

1xlnx dx

b) Montrer que ∫ π/2

0

sinx dxsinx+cosx

=

∫ π/2

0

dxtgx+1


1. Verifier l’identite suivante :

sin2a+sin5a−sinacos2a+cos5a+cosa

= tg2a

2. Resoudre l’equation suivantesans calculatrice:

tg2x−4tgx+1= 0

3. Demontrer que, si dans un triangle l’identite suivanteest verifiee,

1sinβ

+cotgβ =a+c

b

alors ce triangle est rectangle (a, b et c designent les longueurs des cotes opposes auxanglesα, β et γ respectivement).

4. On connaıt les distances ci-dessous entre les villes ainsi que leur situationgeographique. On suppose une Terre plane.

Calculer la longueur a vol d’oiseau du parcours du tour de France partant de Pariset passant successivement par les villes de Lille, Strasbourg, Lyon, Montpellier,Bordeaux, Nantes et Paris. Utiliser 4 chiffres apres la virgule dans les calculs.

36 Examens de 2013

Paris - Lille 200 kmNantes - Lille 505 km

Montpellier - Lille 780 kmParis - Strasbourg 400 km

Strasbourg - Nantes 713 kmParis - Lyon 394 km

Nantes - Lyon 518 kmParis - Montpellier 596 kmParis - Bordeaux 500 km

Strasbourg - Bordeaux 761 kmParis - Nantes 343 km



1. Par un pointP interieur a un cercleC de centreO, on trace deux droitesperpendiculaires. Les intersections de ces droites avecC forment les sommets d’unquadrilatere convexeABCD.

a) Demontrer que les anglesAOBetCODsont supplementaires.

b) Par les pointsA, B, C et D, on mene quatre tangentes aC , qui forment lescotes d’un nouveau quadrilatere convexe. Demontrer que ce quadrilatere estinscriptible.

2. On donne un cercleC de centreO et on considere trois pointsA, B et C de ce cercletels queA et B sont fixes et diametralement opposes. On construit alorsle pointD detelle sorte que les vecteurs

−→DC et

−→CB soient egaux. On demande de

a) trouver le lieu du pointD lorsqueC parcourtC ;

b) trouver le lieu du pointM, defini comme l’intersection des droitesAC et OD,lorsqueC parcourtC .

(Dans les deux cas, on demande de decrire avec precision lanature du lieu.)

Examens de 2013 37

3. Dans un triangleABC, on note respectivementA′, B′ etC′ les milieux des cotes[BC],[AC] et [AB]. Demontrer que, si les droitesAA′ et BB′ sont perpendiculaires, alors on a

|AA′|2+ |BB′|2 = |CC′|2,


4. On se place dans un repere orthonorme de l’espace. On donne les droitesd1, d2, d3

par les equations cartesiennes suivantes,a etb etant des reels non simultanement nuls :

d1

{y= 0z= x

d2

{y= 2z= 1−x

d3

{y= 1ax+bz= 1

On considere alors une droited incluse dans un plan d’equationz= λ, ou λ est unparametre reel, telle qued s’appuie a la fois surd1 et surd2. On demande de

a) donner des equations cartesiennes ded, en fonction des donnees et du parametreλ ;

b) determiner les valeurs dea et b pour lesquellesd s’appuie sur la droited3.

5. a) Demontrer que, si un pointP de l’espace est equidistant de deux droites secantesen un pointA, alors les projections orthogonales deP sur ces deux droites sontequidistantes deA.

b) En deduire que si les six aretes d’un tetraedreABCDsont tangentes a une memesphere, alors on a

|AB|+ |CD|= |AC|+ |BD|= |AD|+ |BC|


38 Examens de 2013

SEPTEMBRE 2013

ALGEBRE


(a−1)x+(a−2)y+az= 2a+1ax+2az= 6a−2x+(2−a)y+az= 4a−3

2. SoitP le polynomeP(x) = x4−6x3+14x2+αx+β

Calculer les nombresα et β ainsi que les quatre racines deP, sachant que la sommede deux des racines vaut 2 et que le produit des deux autres racines vaut 3.

3. Resoudre dansR l’inequation suivante :

log2(x+1)+4log4(x)< 1

ANALYSE

1. On considere la famille de fonctions

f (x) = arctgx2β

1−x

ou β designe un parametre entier strictement positif.

En discutant s’il y a lieu en fonction de la valeur deβ,

a) determiner le domaine de definition def ;

b) determiner les eventuelles asymptotes du graphe def ;

c) etudier la croissance/decroissance def , determiner et caracteriser les eventuelsextrema ;

d) esquisser le graphe def .

Examens de 2013 39

2. La resistance en flexionr d’une poutre de sectionrectangulaire est proportionnelle au produit de lalargeurℓ de la poutre et du carre de sa hauteurh,i.e.

r = γ ℓ h2

ou γ est une constante strictement positive.

R

ℓ

h

Determiner les dimensions (ℓ et h) de la section de la poutre pouvant etre decoupeedans un tronc d’arbre (parfaitement circulaire) de rayonRet presentant la resistance laplus grande.

3. a) Calculer les deux integrales suivantes :

i)∫ π/2

0sinx dx ii)

∫ π/2

0sin2x dx

b) Calculer les trois primitives suivantes :

i)∫

11+

√x

dx ii)∫

xsinx dx iii )∫

1

(4−x2)3/2dx


1. Verifier l’identite et preciser les conditions d’existence :

tg(a+b)+ tg(a−b)tg(a+b)− tg(a−b)

=tga

(1+ tg2b

)

tgb(1+ tg2a)

2. Verifier l’identite et preciser les conditions d’existence :

tg(a+b) =sin2a−sin2b

sinacosa−sinbcosb

40 Examens de 2013

3. Un des angles d’un trapeze rectangleABCDvaut 35˚. La plus petite diagonale vaut 7centimetres et est perpendiculaire au cote oblique. Calculer le perimetre et l’aire dutrapeze. Utiliser 4 chiffres derriere la virgule dans lescalculs.

4. Soit l’equation suivante

√2tgx+1=

2cos2x

−2tg2x− tgx

a) Donner les conditions d’existence.

b) Resoudre l’equation.

c) Tracer les solutions entre[0,2π[ sur le cercle trigonometrique.



1. On considere un trianglePQRnon isocele inscrit dans un cercleC . Demontrer que labissectrice de l’anglePet la mediatrice du cote[QR] se coupent en un point appartenanta C .

2. Dans un repere orthonorme du plan, on considere la paraboleP d’equation cartesienney= ax2 (ou a est un reel non nul donne). On donne aussi le pointP0(x0,y0), differentde l’origine des axes. On note alorsP0 la parabole obtenue en translatantP de tellesorte que le sommet deP0 coıncide avec le pointP0.

a) Determiner l’equation cartesienne deP0.

b) On considere les droitesd passant par l’origine(0,0). On demande de trouver lelieu des milieux des segments dont les extremites sont lesintersections ded et deP0.

Examens de 2013 41

3. On considere deux pointsA et B appartenant a un cercleC de centreO, et un pointPsitue sur la droiteAB. Demontrer l’egalite

−→PA.

−→PB= ℓ2− r2,

ou ℓ et r designent respectivement la longueur du segment[PO] et le rayon deC .

4. Dans l’espace muni d’un repere orthonorme, on donne le plan Π d’equationcartesienneax+by+ cz= 2, oua,b,c sont des reels non simultanement nuls, et ondonne egalement les points

A(2,0,0), B(0,2,0), C(1,1,0), D(0,0,1).

Determiner les valeurs possibles dea,b,c pour queΠ passe parC et D et qu’il soitequidistant deA etB.

5. On noted1, d2 etd3 trois droites paralleles de l’espace distinctes et non coplanaires, etπ, π′ etπ′′ trois plans secants a ces droites. Les points de percee ded1 dansπ, π′ etπ′′

sont respectivement notesA, A′ et A′′. De meme, les points de percee ded2 et d3 dansces plans sont respectivement notesB, B′, B′′ etC, C′, C′′. Demontrer que les centresde gravite des trianglesABC, A′B′C′ etA′′B′′C′′ sont alignes.

42 Examens de 2013

Examens de 2014 43

EXAMENS DE 2014

AvertissementLes modalites de l’examen sont modifiees : chaqueepreuveecrite se trouve reduitea une

duree de 2h30.

JUILLET 2014

ALGEBRE

1. Pour quelles valeurs du parametre reelm le polynome

X2+(2m−1)X+m2

admet-il deux racines positives dont l’une est le triple de l’autre ? Quelles sont lesracines ?

2. Resoudre l’inequation suivante :

(x−1)√

x+4< 2−4x

ANALYSE

1. La fonction th, appelee tangente hyperbolique, est definie par

th(x) =ex−e−x

ex+e−x

Determiner le domaine de definition de la fonction th, ses ´eventuelles asymptotes ainsique les eventuels extrema et points d’inflexion de son graphe. Sur base des resultatsobtenus, esquisser le graphe de th(x).

44 Examens de 2014

2. On considere les integrales

In =∫ 1

0

xn

1+x2dx, n∈ N

a) CalculerI0, I1, I2 et I4.

b) Montrer queIn = f (n)− In−2, n≥ 2

ou f (n) est une fonction den a determiner.

3. Une base de tir se trouve a l’origine du plan(x,y). Un missile est lance au tempst = 0avec une vitesse initialev0 et une inclinaison d’angleθ par rapport a l’horizontale. Latrajectoire du missile est donnee par

x(t) = v0t cosθ

y(t) =−12

gt2+v0t sinθq=p/4

q=p/6

q=p/3

x

y

Ce missile a la particularite d’exploser lorsqu’il atteint sa hauteur maximale dans leciel.

a) Determiner (en fonction dev0, g et θ) le momentt⋆ auquel le missile explose.

b) Determiner (en fonction dev0 etg) l’angleθ⋆ qui permet de maximiser la distanceentre la base de tir et l’endroit de l’explosion. Que vaut la distance maximale ?

Justifier chacun des resultats obtenus. Les constantesv0 etg sont strictement positives

et θ ∈]0,

π2

[.


1. Montrer que

sin4 π8+sin4 3π

8+sin4 5π

8+sin4 7π

8=

32

Examens de 2014 45

2. Resoudre l’equationcos3x + cos7x = 1 + cos10x

Representer les solutions entre 0 et 2π sur le cercle trigonometrique.

3. Deux eglises sont situees de part et d’autre d’une placehorizontale. Les clochers deces deux eglises sont representes respectivement par les segmentsABetCD. Les basesde ces clochers sont separees d’une distancek. Un observateur place au pointC voitle sommetB du clocher oppose sous un angleBCA. De meme, un observateur situe aupoint A voit le sommetD du clocher oppose sous un angleDAC valant la moitie del’angleBCA. La somme des anglesBEAetDECsous lesquels un observateur place aupoint E voit respectivement les sommetsB et D est egale a 90◦. Si la distancek vaut60 m, determiner la hauteur des deux clochersAB etCD.

A

B

C

D

E

k

k/2

Suggestion: exprimer d’abordDC et ABen fonction dek.


1. Soit un cercleC de centreO. Par un pointP exterieur aC , on mene deux tangentes ace cercle, qui le rencontrent aux points de tangenceQ et R.

a) Demontrer que, dans le trianglePQR, la bissectrice issue deQ rencontre la droiteOP en un point qui appartient aC .

b) On considere un cercleC ′ de centre exterieur aC , et ne possedant aucun pointcommun avecC .

Si le pointP parcourt le cercleC ′, le cercleC restant fixe, determiner le lieu ducentre du cercle inscrit au trianglePQR.

46 Examens de 2014

2. Dans un repere orthonorme de l’espace, on donne les droites da et db par leursequations cartesiennes

da :

{x−z−a= 0y+3z+1= 0

db :

{x+2y+z−2b= 03x+3y+2z−7= 0

ou a etb sont des parametres reels.

a) Montrer que ces droites ne sont pas paralleles, quels quesoienta et b.

b) Determiner la condition necessaire et suffisante sura et b pour que les droitessoient concourantes.

c) Sous la condition determinee au point precedent, determiner alors une equationdu plan contenant ces droites.

SEPTEMBRE 2014

ALGEBRE


(1+z2)3 = (1−z2)3 .


ax+y+z= 1x+ay+z= 1x+y+az= 1

ANALYSE

1. On considere la fonctionf (x) = ln(x+

√x2+α2)

ou α > 0 est un parametre reel.

Examens de 2014 47


b) Identifier les eventuels extrema locaux def .

c) Identifier les eventuels points d’inflexion du graphe def .

d) Determiner toutes les valeurs deα pour lesquellesf est une fonction impaire.

2. Compte tenu de la resistance de l’air, la vitesse de chuted’un corps de masseminitialement abandonne sans vitesse est donnee par

v=mgc

[1−exp

(−ct

m

)]

ou g designe l’acceleration de pesanteur,t est le temps etc est le coefficient defrottement fluide. Tous les parametres sont strictement positifs.

a) Calculer la vitesse limite de chute, soitv∞ = limt→+∞

v (en considerantm, g et c

fixes).

b) Calculer la vitesse de chute lorsque la resistance de l’air devient negligeable, soitv0 = lim

c→0v (en considerantm, g et t fixes).

c) Calculer la vitesse de chute d’un corps tres lourd, soitvm = limm→+∞

v (en

considerantc, g et t fixes).

3. Calculer les expressions suivantes :

a)∫ 4

0

√2x+1 dx

b)∫ e

1

lnxx

dx

c)∫ 1

0arctgx dx

d)∫

dx(1+

√x)√

xpourx> 0.

48 Examens de 2014


1. Montrer que

sinπ12

sin7π12

=14

2. Montrer que, si la relation suivante liant les trois angles A, B et C d’un triangle estverifiee :

sinA=sinB+sinCcosB+cosC

alors, le triangle est rectangle enA.

3. Pour determiner la distance entre 2 points inaccessibles A et B, on choisit une based’operationCD longue de 150m et on mesure les anglesBCD= 40◦, ACD= 69◦,ADC= 38.5◦ et BDC= 70.5◦. Calculer la distanceAB (le dessin ci-dessous n’est pasa l’echelle !).

A

B

CD150m

40°

69°

38,5°

70,5°

?


1. On considere deux cerclesC1 et C2 tangents en un pointA, tels queC1 est interieura C2. Une droite issue deA rencontreC1 et C2 en deux points (distincts deA) notesrespectivementP et Q. La tangente aC1 issue deP rencontreC2 en deux points notesR et S.

a) Demontrer que la droiteRSest parallele a la tangente aC2 issue deQ.

b) En deduire que la droiteAQ est bissectrice de l’angleRAS.

Examens de 2014 49

2. Dans un repere orthonorme du plan, on donne la parabole d’equation cartesienne

y= (x+1)2.

Determiner le lieu des milieux des cordes decoupees par la parabole sur les droitescomprenant l’origine des axes.

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Universite de LiegeFaculte des Sciences AppliqueesGrande Traverse, 12 (Bat. B37)

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QUESTIONS POSEES AUX EXAMENS D’ADMISSION · ... dans laquelle n ≥1 est un nombre ... contenu...

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