Livret de liaison 2de 1ère gale enseignement de spécialité ...

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1 Livret de liaison 2de 1 ère gale enseignement de spécialité Mathématiques Lycée Portes de l’Oisans – Vizille Rentrée septembre 2019 Les mathématiques sont une construction dont chaque étape est importante : afin de pouvoir comprendre et assimiler les nouvelles connaissances de première, il est indispensable de maîtriser les points essentiels du programme de seconde. Vous trouverez, dans ce document, le livret d'exercices et des liens vers des QCM complémentaires et rappels de cours qui vous aideront à préparer votre rentrée. L'objectif n'est pas de refaire le programme de seconde pendant vos vacances mais de réactiver vos connaissances durant les deux dernières semaines précédant la rentrée. Un corrigé succinct se trouve à la fin du livret et un contrôle de connaissance constitué de questions ou d’exercices semblables à ceux proposés dans ce livret aura lieu la première quinzaine de la rentrée Bon courage et bon travail! L'équipe des enseignants de mathématiques Besoin d’aide ? En plus de vos cours de 2de, vous pouvez utiliser le site internet « maths et tiques ». Ce site propose des vidéos (d’environ 5 min) relatives aux méthodes essentielles. Voici le lien : https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/cours-maths/niveau-seconde

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Livret de liaison 2de ⟶ 1ère

gale enseignement de spécialité Mathématiques

Lycée Portes de l’Oisans – Vizille

Rentrée septembre 2019

Les mathématiques sont une construction dont chaque étape est importante : afin de pouvoir comprendre et assimiler les nouvelles connaissances de première, il est indispensable de maîtriser les points essentiels du programme de seconde.

Vous trouverez, dans ce document, le livret d'exercices et des liens vers des QCM complémentaires et rappels de cours qui vous aideront à préparer votre rentrée.

L'objectif n'est pas de refaire le programme de seconde pendant vos vacances mais de réactiver vos connaissances durant les deux dernières semaines précédant la rentrée.

Un corrigé succinct se trouve à la fin du livret et un contrôle de connaissance constitué de questions ou d’exercices semblables à ceux proposés dans ce livret aura lieu la première quinzaine de la rentrée

Bon courage et bon travail!

L'équipe des enseignants de mathématiques

Besoin d’aide ? En plus de vos cours de 2de, vous pouvez utiliser le site internet « maths et tiques ». Ce site propose des vidéos (d’environ 5 min) relatives aux méthodes essentielles.

Voici le lien : https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/cours-maths/niveau-seconde

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I - Les fonctions 1) Généralités

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2) Equations et inéquations

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3) Fonctions de référence

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II - Expressions algébriques, équations et inéquations

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III - Probabilités

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IV - Géométrie 1) Repérage

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2) équations de droites

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3) Vecteurs

Exercice :

QCM complémentaires et facultatifs : http://www.qcmdemath.net/2nd.html Les calculs : tout Les nombres : inégalités et intervalles Equations et inéquations : tout sauf système Les fonctions : tout Les droites : tout La géométrie : les vecteurs et géométrie analytique Probabilités : tout

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11 I. Les fonctions 1) Généralités

QCM A : attention aux unités sur les axes 1. réponses b et d 2. réponses a et c 3. c (- 1,25 ; - 0,75 ; 2,25 ; 4 ,25) et d 4. b et d 5. b (maximum égal à 3 pour x = -3) et d (minimum égal à -2,5 pour x = 3)

QCM B

1. réponse c : 2( 2) 2 2 1 3 2 9 3 21g

2. réponses a, c et d (on remplace dans l’expression de g(x) et on calcule) 3. réponses b et c (on remplace dans l’expression de g(x) et il faut obtenir 11)

VRAI ou FAUX C 1. vrai : avec la ligne des x 2. vrai : vrai avec les variations de f 3. faux : f(5) est compris entre 1 et 3 4. faux : le minimum de f est atteint en 0 et est égal à 0 5. faux : 2,34 et 2,35 appartiennent à [2;6] sur lequel f est décroissante ; donc f(2,34) > f(2,35) 6. faux : f est croissante sur [0;2], puis décroissante sur [2;3]

VRAI ou FAUX D 1. faux : x peut prendre toutes les valeurs de [0;5] car M varie de A à C et AC = 5 2. faux : en appliquant le théorème de Thalès dans CAB avec (MP) // (AB), on obtient MP = 2 3. vrai : en appliquant le théorème de Thalès dans CAB avec (MP) // (AB)

4. faux : 2( ) (5 ) 2 10 2aire QAMP AM MP x x x x

5. vrai : 2 2 210 5( ) ( ) 10 2 10 2 25 10 2

2 2c

AB ACA aire ABC aire QAMP x x x x x x

2) Equations et inéquations VRAI ou FAUX

1. vrai (a, b et c) : en développant chacune des formes, on retrouve f(x)

2. faux : en résolvant l’équation produit nul : 3 ( 2) 0x x , on obtient 2;0S

3. vrai : 2 2( ) 6 3 6 6 3 0 0f x x x x x x x

4. vrai (a, b et c) : en résolvant l’équation : 2 2 2 23 ( 1) 1 9 ( 1) 1 3 ( 1) 2 0

( 1 2)( 1 2) 0 1 ou 3

x x x

x x x x

5. vrai : voir résolution graphique d’équations VRAI ou FAUX B

1. vrai : en développant l’expression donnée pour f(x), puis les expressions 2 et 3 2. faux : c’est l’expression 1 ;

2 2( ) 7 8 7 7 8 0 ( 8) 0f x x x x x x x puis tableau de signes

3. vrai : 2 2 2( ) 5 ( 4) 9 5 ( 4) 2 0 ( 4 2)( 4 2) 0f x x x x x puis tableau de signes

4. vrai : tableau de signes avec l’expression factorisée 3. VRAI ou FAUX C

1. faux : la courbe bleue est au-dessus de l’axe des abscisses pour 2; 1 3x

2. vrai 3. vrai 4. vrai

5. vrai :

( )0 ( ) 0 et ( ) 0 ou ( ) 0 et ( ) 0

( )

2; 1 ou 1;3

2; 1 1;3 qui se note aussi 2;3 \ 1;3

g xg x f x g x f x

f x

x x

x

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12 3) Fonctions de référence

QCM A

1. réponse b : 1 2 2 1

( )3 3 3

xf x x

: c’est une fonction affine

le coefficient directeur 2

3a

est négatif donc la fonction est décroissante sur ℝ

2. réponses a et c 3. réponse a

Calcul de (1) (0) 5 3

21 0 1

f fa

et de (1) 1 5 2 1 3b f a ; d’où ( ) 2 3f x x

QCM B

1. réponse c :

2 2

2

2 2 2 22 1 2 1 2 1 0

2 2 2 4f

2. réponse b : en traçant la courbe représentative de la fonction carré

Sur 2;5 , le minimum est 0 (pour 0x ) et le maximum est 25 (pour 5x )

3. réponse c : en traçant la courbe représentative de la fonction f sur 0;

4. réponse a : la fonction inverse 1

xx

est décroissante sur 0;

VRAI ou FAUX C 1. faux : f est décroissante (d1 descend) 2. vrai : d2 est au-dessus de l’axe des abscisses pour 2x 3. vrai : les droites se coupent en 1x 4. faux : (1) 1f

5. faux : ( ) 2 1f x x

6. vrai VRAI ou FAUX D

1. faux : 2(3) 3 5 9 5 4f

2. vrai 3. vrai

4. faux : f est décroissante sur 0;

5. faux : (2) 3g

6. vrai : 3 3 2f g et 3 3 2f g

VRAI ou FAUX E

1. vrai : somme de 1 et de 1

x qui est strictement positif lorsque 0;x

2. vrai : avec la courbe représentative

3. faux : h est décroissante sur 0; ; donc 2 3h h

4. vrai : h est décroissante sur 0;1 ; donc ( ) (1)h x h et (1) 2h

5. faux

6. vrai : 1

0x pour tout 0;x ; donc

11 1

x

QCM A 1. réponse a 2. réponse c 3. réponse a

QCM B

On développe la forme factorisée : 2( ) 7 10f x x x

1. réponse c 2. réponse b : graphiquement (calculatrice) 3. réponse b : f admet un minimum (car 0a ) égal à ( ) (3,5) 2,25f f

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13 VRAI ou FAUX C

1. vrai : en développant, on obtient : 2 2 2x x

2. faux : en développant, on obtient : 2 29 1 9 6 1 6 2x x x x (fonction affine)

3. faux : 3 0a : la fonction admet un minimum

4. vrai : 3 0a et 1 : la fonction est décroissante sur ;1 donc sur ; 1

5. faux : 2 0a et 3 : la fonction admet un maximum pour 3x 6. vrai

II. Expressions algébriques, équations et inéquations QCM

1. réponse c : avec l’identité remarquable (a-b)²=a²-2ab+b² 2. réponse a : facteur commun (x-2)

3. réponse c : 1 3( 2) 1 3( 2) ( 1) 3 6 1 2 7

32 2 2 2 2 2

x x x x x x x x

x x x x x x

4. réponse c : en développant chacune des expressions 5. réponse c : en testant les nombres proposés

6. réponse b : 2 3 3

0 2 3 0 et 2 0 et 22 2

xx x x x

x

7. réponse a : x est le poids du bouchon et y le poids de la bouteille

110 2 10 5100 110

100 100 105100

x y x xx x

y x y x yy x

8. réponse b N°16

2( ) 2 9 2A x x x 2( ) 16 40 25B x x x

2( ) 2 4 6C x x x 2( ) 2 7 13D x x x

2( ) 13 23 10E x x x 2( ) 3 16 1F x x x

N°19 ( ) (2 3)( 7) (2 3)( 4 5)

( ) (2 3)( 7 4 5)

( ) (2 3)( 3 2)

A x x x x x

A x x x x

A x x x

( ) ( 1)(2 4) ( 1)( 5) 2( 1)

( ) ( 1) 2 4 ( 5) 2

( ) ( 1)(2 4 5 2)

( ) ( 1)( 1)

B x x x x x x

B x x x x

B x x x x

B x x x

2( ) (3 1) (3 1)(2 4)

( ) (3 1)(3 1 2 4)

( ) (3 1)(5 3)

C x x x x

C x x x x

C x x x

( ) (5 3)(4 2) 2(5 3)( 3)

( ) (5 3) 4 2 2( 3)

( ) (5 3)(4 2 2 6)

( ) (5 3)(2 4)

D x x x x x

D x x x x

D x x x x

D x x x

2( ) ( 3) 3( 3)( 2 4)

( ) ( 3) 3 3( 2 4)

( ) ( 3)( 3 6 12)

( ) ( 3)(7 9)

E x x x x

E x x x x

E x x x x

E x x x

N°20 2( ) (2 1)F x x : identité remarquable 2 2 22 ( )a ab b a b avec 2a x et 1b

( ) (3 13)(3 13)G x x x : identité remarquable 2 2 ( )( )a b a b a b avec 3a x et 13b 2( ) (2 4)H x x : identité remarquable 2 2 22 ( )a ab b a b avec 2a x et 4b

( ) (2 1)(2 3)I x x x : identité remarquable 2 2 ( )( )a b a b a b avec 2 1a x et 2b

( ) (3 1)(3 7)J x x x : identité remarquable 2 2 ( )( )a b a b a b avec 3( 1) 3 3a x x et 4b

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14 QCM A

1. réponse b 2. réponse b 3. réponse c : en testant 4. réponse b : avec un tableau de signes pour étudier le signe du produit ( 3)(4 2 )x x

5. réponse c : avec un tableau de signes pour étudier le signe du quotient 1,5

4

x

x

6. réponse c : la somme d’un carré (x² est positif) et de 1 est toujours strictement positive 7. réponse c : en testant ou équation 3(11 ) 45x x où x est le nombre d’années

III. Probabilités QCM A

1. réponses a et c : 2;4;6A et ( ) 0,1 0,25 0,1 0,45P A

2. réponse c : 1;2;3;6B et ( ) 0,1 0,1 0,3 0,1 0,6 0,5p B

3. réponses a et c : 1;2C et ( ) 0,1 0,1 0,2p C

QCM B

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2( ; );( ; );( ; );( ; );( ; );( ; )A R R R R R R R R R R R R

1 2 1 3 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 2( ; );( ; );( ; );( ; );( ; );( ; );( ; );( ; )B R R R R R V R V V R V R V R V V

1. réponse c : 5 issues pour le 1ère boule et 4 issues pour la 2nde boule ( 5 4 20 )

2. réponses b et c : nb éléments de A 6 3

( )nb total éléments 20 10

P A

3. réponses b, c et d : 8

( ) 1 ( ) 1 0,620

P B P B ; B contient 8 issues donc B contient 12 issues

4. réponse a VRAI ou FAUX C

A « obtenir un carreau » contient 8 issues ; B « obtenir une dame » contient 4 issues 1. faux : A et B ont en commun la dame de carreau (intersection non vide) 2. vrai

3. vrai : 8 4 1 11

( ) ( ) ( ) ( )32 32 32 32

P A B P A P B P A B

4. faux : 8 3

( ) 1 ( ) 132 4

P A P A

VRAI ou FAUX D 1. vrai : situation d’équiprobabilité 2. vrai

3. vrai : (1;3);(2;2);(3;1)S et 3 1

( )36 12

P S

IV. Géométrie 1) Repérage

QCM A

1. réponse b : 2 2 2 2 2 2( ) ( ) (2 ( 1)) (1 0) 3 1 10B A B AAB x x y y

2. réponse a : 1 2 1

2 2 2

A BM

x xx

et

0 1 1

2 2 2

A BM

y yy

3. réponse b : si A’ symétrique de A par rapport à B alors B milieu de [AA’]

' '' ' '

12 2 2 1 4 1 5

2 2

A A AB A A A

x x xx x x x

' '' '

01 2 1 2

2 2

A A AB A A

y y yy y y

4. réponse b 5. réponse c 6. réponse c

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15 VRAI ou FAUX B

1. faux : la formule s’applique uniquement lorsque le repère est orthonormé 2. vrai 3. vrai : (1;0)I ; (0;1)J et formule du milieu

4. faux : 2 2 2 2 2 2( ) ( ) (1 0) (0 1) 1 ( 1) 2J I J IIJ x x y y

5. faux : I est sur la médiatrice de [AB] 6. vrai : dans le repère (F,G,E), on a : (0;0)F , (1;0)G et (0,1)E

7. faux : le symétrique de I par rapport à J a pour coordonnées ( 1;2)

8. faux : c’est le repère (A,B,D) qui est orthonormé 9. faux : dans le repère (A,B,D), on a : (0;0)A , (1;0)B et (0,1)D ; d’où (1;1)C

VRAI ou FAUX C 1. vrai : formule du milieu 2. faux :

DO = DA (à calculer) ; donc O appartient au cercle de diamètre [AB] et O est sur l’axe des abscisses

3. vrai : O appartient au cercle et (OC) est perpendiculaire à (OD) ( 2 2 2OD OC DC ) 2) Equations de droites

QCM A Attention aux unités sur les axes (repère non orthonormé)

1. réponse c 2. réponse b 3. réponse b

QCM B 1. réponse c : on remplace et on teste 2. réponse b : on résout le système

2 7 2 7 2 7 2 ( 1) 7 5( 1;5)

4 2 7 4 1 1

y x y x y x yN

y x x x x x

3. réponse a : on résout le système

2 7 7 2 7 2 7 2 7 2 1 5

3 2 7 3 2(7 2 ) 7 7 7 1 1

x y y x y x y x y

x y x x x x x

VRAI ou FAUX C 1. vrai : les droites (AB) et (CD) ont le même coefficient directeur

( )

2 ( 3)1

2 3

A BAB

A B

y ym

x x

et

( )

0 41

2 ( 2)

C DCD

C D

y ym

x x

2. vrai : la droite (AD) est parallèle à l’axe des ordonnées car les abscisses de A et D sont égales alors que la droite (BC) est sécante avec l’axe des ordonnées 3. faux : les côtés [AD] et [BC] ne sont pas parallèles 4. vrai : les côtés [AB] et [CD] sont parallèles

VRAI ou FAUX D 1. faux : les coefficients directeurs de (AB) et (AC) ne sont pas égaux

( )

1 ( 1) 1

3 ( 1) 2

A BAB

A B

y ym

x x

et

( )

1 3,5 5

3 7,5 9

A CAC

A C

y ym

x x

2. vrai : les coefficients directeurs de (AB) et (AI) sont égaux

( )

1

2ABm et

( )

1 0 1

3 1 2

A IAI

A I

y ym

x x

3. vrai : les trois points appartiennent à la droite d’équation 3x (parallèle à l’axe des ordonnées) 4. vrai : les coefficients directeurs de (DI) et (DJ) sont égaux

( )

2 01

3 1

D IDI

D I

y ym

x x

et

( )

2 11

3 0

D JDJ

D J

y ym

x x

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16 3) Vecteurs

QCM A 1. réponse c : les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu

2. réponse b :

ABCD parallélogramme

d'après la relation de Chasles

F et C sont confondus

AF AB AD

AF AB BC AD BC

AF AC

3. réponse b : E image de A par la translation de vecteur BD équivaut à BDEA parallélogramme

BDEA parallélogramme ⇔ ABDE parallélogramme AB ED

Or ABCD parallélogramme AB DC . Donc ED DC QCM B

1. réponse c : coordonnées du milieu

2. réponse b : 1 3 4

2 1 3

C B

C B

x xBC

y y

3. réponse b : 1

2

M

M

xAM

y

;

4

3BC

; d’où

41

33

1

BC

4 4 11 11 1

;13 3 33 3

2 1 1 2 1

M M

M M

x xAM BC M

y y

VRAI ou FAUX C I milieu de [BD] a pour coordonnées (0;3)I ; E milieu de [CD] a pour coordonnées (0;2)E

1. faux : 4

2CD

et 2 2 4

22 1 2

AB

2. vrai : 0

1AI

et 0

2AE

; d’où 0,5 0 0

0,50,5 ( 2) 1

AE

3. vrai : 4

4BD

; 2

1CE

et 0

1AI

; d’où 2

2CE AI

On voit que 2BD CE AI ; donc les vecteurs BD et CE AI sont colinéaires

4. vrai : 2

1AC

; 2

1AB

et

11( 2)

1 23

12( 3) 2

2

AD

; d’où

11

12

2

AB AD

On voit que 1

22

AC AB AD

; donc les vecteurs AC et 1

2AB AD sont colinéaires

5. faux : 2

1AB

et 2

1ED

ne sont pas égaux

6. vrai : 2

1AB

et 2

1EC

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17 VRAI ou FAUX D

1. vrai : 2

4AC

et 1

2BD

; les vecteurs sont colinéaires car 2AC BD

2. faux : 5

0DE

; c’est l’ordonnée de DE qui est nulle

3. faux : 2

1AB

et 2

1CE

; AB CE donc ABEC n’est pas un parallélogramme

4. vrai : 6

2EB

et 3

1CD

; les vecteurs sont colinéaires car 2EB CD ;

donc les droites (EB) et (CD) sont parallèles Exercice 106

1.

2. 6

3AC

3. 4

1

M

M

xMC

y

;

14 6

4 21 32;0

1 1 131 ( 3)

3

MM

MM

xx

MC AC My

y

4. ABCD parallélogramme si et seulement si AB DC

7

4AB

et 4

1

D

D

xDC

y

7 4 4 7

3; 54 1 1 4

D D

D D

x xAB DC D

y y

5. Avec la formule du milieu : (0,5; 3)I

1,5

3IM

et 4,5

9IB

sont colinéaires (car 3IB IM ) ; donc les points I, M et B sont alignés

6. Avec la formule du milieu : (1,5;4)J

4,5

9DJ

et 4,5

9BI

sont colinéaires (car DJ BI ) ; donc (DJ) et (BI) sont parallèles

7. 1,5

4

N

N

xJN

y

et

0,5

4JM

1,5 3 0,5 1,5 1,5

3 3; 84 3 ( 4) 12 4

N N

N N

x xJN JM N

y y

1

7BC

et 2

14BN

sont colinéaires (car 2BN BC ) ; donc les points B, C et N sont alignés