Formulaire de trigonométrie 2013-2014

O.KELLER – TSI1 Lycée Louis Vincent Metz

Quelques formules de trigonométrie pour la physique …

 

1. Définition des fonctions trigonométriques :

Considérons un triangle rectangle en B. Alors :

sinα = ABAC

= opposéhypothénuse

cosα = BCAC

= adjacenthypothénuse

tanα = sinαcosα

= ABBC

= opposéadjacent

2. Valeurs remarquables.

Angles  en  radians   0   π 6   π 4   π 3   π 2  

Angles  en  degrés   0   30   45   60   90  

sin x   0   1 2   2 2   3 2   1  

cos x   1   3 2   2 2   1 2   0  

tan x   0   3 3   1   3  Non  défini  

3. Propriétés des fonctions trigonométriques.

cos −x( ) = cos x( )   cos π + x( ) = −cos x( ) = cos π − x( )   cos π2− x⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = sin x( ) = −cos π

2+ x⎛

⎝⎜⎞⎠⎟  

sin −x( ) = −sin x( )   sin π + x( ) = −sin x( ) = −sin π − x( )   sin π2− x⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = cos x( ) = sin π

2+ x⎛

⎝⎜⎞⎠⎟  

tan −x( ) = − tan x( )   tan π + x( ) = tan x( ) = − tan π − x( )   tan π2+ x⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = − 1

tan x( ) = −sin π2− x⎛

⎝⎜⎞⎠⎟  

4. Formules de base :.

Pour tout x ∈ℜ , cos2 x( )+ sin2 x( ) =1 Pour tout x ∈ −π2;π2

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

, 1+ tan2 x( ) = 1cos2 x( )

Pour tout x ∈ −π2;π2

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

, cos x( ) = 1− sin2 x( ) Pour tout x ∈ 0;π] [ , sin x( ) = 1− cos2 x( )

5. Formules d’addition :.

cos a + b( ) = cosacosb − sinasinb       cos a − b( ) = cosacosb + sinasinb  

sin a + b( ) = sinacosb + cosasinb       sin a − b( ) = sinacosb − cosasinb  

Cas particuliers : sin 2a( ) = 2sinacosa cos 2a( ) = cos2 a − sin2 a = 2cos2 a −1=1− 2sin2 a

A  

B   C  α

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O.KELLER – TSI1 Lycée Louis Vincent Metz

6. Développement de produits :.

cosacosb = 12cos a + b( )+ cos a − b( )⎡⎣ ⎤⎦     sinasinb = 1

2cos a − b( )− cos a + b( )⎡⎣ ⎤⎦  

7. Formules de linéarisation :

cos2 a = 121+ cos 2a( )⎡⎣ ⎤⎦         sin2 a = 1

21− cos 2a( )⎡⎣ ⎤⎦  

8. Equations trigonométriques :

cos x = cosa⇔ x = a + 2kπx = −a + 2kπ

⎧⎨⎩⎪

  sin x = sina⇔ x = a + 2kπx = π − a + 2kπ

⎧⎨⎩⎪

  tan x = tana⇔ x = a + kπ  

k ∈Ζ  

9. Trigonométrie et nombres complexes :

exp ix( ) = eix = cos x + isin x         exp −ix( ) = e−ix = cos x − isin x  

cos x = eix + e−ix

2           sin x = e

ix − e−ix

2i  

10. Cas des petits angles :

Si x <<1rad alors cos x ≈1 sin x ≈ x tan x ≈ x

Ces relations seront valables en physique pour des angles <20°

11. Fonctions réciproques :

Pour tout y∈ −1;1[ ] et x ∈ 0;π[ ] , y = cos x( )⇔ x = Arccos y( )

Pour tout y∈ −1;1[ ] et x ∈ −π 2;π 2[ ] , y = sin x( )⇔ x = Arcsin y( )

Pour tout y∈ℜ et x ∈ −π 2;π 2] [ , y = tan x( )⇔ x = Arc tan y( )

12. Conversions :

Conversion de degrés vers radians : θ rad( ) =θ °( )× π180

Conversion de radians vers degrés : θ °( ) =θ rad( )× 180π