Probabilites Conditionnelles

7/28/2019 Probabilites Conditionnelles

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Probabilites ConditionnellesCours

1 Introduction aux probabilites conditionnelles : frequences

conditionnellesExemple 1.

Dans une classe de Terminale de 36 eleves pratiquant lAnglais ou lAllemand en premierelangue, on compte : 23 eleves faisant de lAnglais 29 eleves sont des filles 17 eleves sont des filles faisant de lAnglaisOn considere lexperience aleatoire consistant a choisir un eleve au hasard dans cet echantillon.Soit A levenement Leleve fait de lAnglaisSoit B levenement Leleve est une fille

On note A levenement Leleve fait de lAllemandOn note B levenement Leleve est un garcon

1. Resumer la situation en completant le tableau des effectifs suivant :

A A TotalB 17 29

B

Total 23 36

2. (a) Calculer la frequence fB de levenement B dans cette classe (ie. la proportion

de filles dans la classe)(b) Calculer la frequence conditionnelle de B sachant A notee fA(B) (ie. la propor-

tion de filles parmi les eleves faisant de lAnglais)

3. (a) Calculer P(A).

(b) On note A B levenement Leleve est une fille faisant de lAnglais. Calculer

P(A B) puisP(A B)

P(A).

4. Comparer fA(B) etP(A B)

P(A). Donner une explication.

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Probabilites Conditionnelles (cours) Terminales ES3, Lycee Alain

Solution 1

1.

A A TotalB 17 12 29

B 6 1 7Total 23 13 36

2. (a) f(B) =29

16(b) On se restreint a la colonne de A.

fA(B) =17

23

3. (a) On est dans une situation dequiprobabilite (il y a autant de chance de choisirun eleve quun autre). La probabilite de A est egale a leffectif des eleves faisantde lAnglais divise par leffectif total deleves :

P(A) =23

36(b) La probabilite de A B est egale a leffectif de A B divise par leffectif total

deleves :

P(A B) =17

36donc

P(A B)

P(A)=

17

23

4. On aP(A B)

P(A)= fA(B) car

P(A B)

P(A)=

nbAB

nbtotalnbA

nbtotal

=f(A B)

f(A)=

17

3623

36

. On simplifie

par leffectif total deleves.

Pour sentraner : http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/pourcentages/proportions/proportions9.jsp

2 Probabilites conditionnelles

Definition 2.1

Soient A et B deux evenements tels que A soit de probabilite non nulle (ie.P(A) = 0). Onappelle probabilite conditionnelle de B sachant A le nombre reel note PA(B) defini par :

PA(B) =P(A B)

P(A)

Exemple 2.

Dans un sac de dragees, 60% des dragees sont de couleur bleue, 30% des dragees sont de

couleur bleue et a lamande et 40% des dragees bleues sont au chocolat.On choisit une dragee au hasard dans le sac. On note :

D. Bediot http://www.carbone14.org/dbediot/

2
http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/pourcentages/proportions/proportions9.jsphttp://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/pourcentages/proportions/proportions9.jsphttp://www.carbone14.org/dbediot/http://www.carbone14.org/dbediot/http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/pourcentages/proportions/proportions9.jsphttp://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/pourcentages/proportions/proportions9.jsp


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A levenement La dragee est a lamandeB levenement La dragee est bleue

C levenement La dragee est au chocolat

1. Quelquun prend une dragee bleue, quelle est la probabilite quelle soit au chocolat ?

2. Quelquun prend une dragee bleue, quelle est la probabilite quelle soit a lamende ?

3. Quelle est la probabilite de prendre une dragee bleue et au chocolat ?

Solution 2

Traduisons les donnees de lenonce :P(B) = 0, 6

P(A B) = 0, 3PB(C) = 0, 4Ceci nous permet dobtenir :

1. (P(B) = 0 doncPB(C) est bien definie) la probabilite dobtenir une dragee au chocolatsachant quelle est bleue est donnee par lenonce : PB(C) = 0, 4

2. (P(B) = 0 doncPB(A) est bien definie) la probabite dobtenir une dragee a lamandesachant quelle est bleue :

PB(A) =P(A B)

P(B)=

0, 3

0, 6= 0, 5

3. (P(B) = 0 doncPB(C) est bien definie) la probabilite de prendre une dragee bleue etau chocolat :

P(B C) = PB(C) P(B) = 0, 4 0, 6 = 0, 24

Exercice resolu 1. Calcul dune probabilite conditionnelle

On a interroge des eleves de terminale sur leurs loisirs : 50% dentre eux declarent ai-mer la lecture et 75% declarent aimer le sport.De plus, 40% des eleves declarent aimer la lecture et le sport.On rencontre au hasard lun de ces eleves. On considere les evenements L : Leleve aimela lecture et S : L eleve aime le sport

1. Donner les probabilites des evenements L, S et L S

2. Quelle est la probabilite que leleve aime le sport sachant quil aime la lecture ?

3. Quelle est la probabilite que leleve aime la lecture sachant quil aime le sport ?

Solution de lexercice resolu 1

1. Cette question est une traduction des donnees de lexercice. On a : P(L) = 0, 5 ;

P(S) = 0, 75 ; P(L S) = 0, 4.


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http://www.carbone14.org/dbediot/http://www.carbone14.org/dbediot/


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2. (P(L) = 0 doncPL(S) est bien definie) PL(S) =P(L S)

P(L)=

0, 4

0, 5= 0, 8.

3. (P(S) = 0 doncPS(L) est bien definie) PS(L) =P(L S)

P(S)=

0, 4

0, 75 0, 53

Exercice resolu 2. Calcul de la probabilite de lintersection de deux evenements a laide

dune probabilite conditionnelle

Pierre possede un jeu electronique. Une partie est un duel entre Pierre et un monstrechoisi par la machine.Deux choix equiprobables sont possibles : la machine choisit soit le monstre M1 soit lemonstre M2. Donc les deux evenements A : Pierre combat le monstre M1 et B : Pierre

combat le monstre M2 ont la meme probabilite1

2.Les deux monstres sont de forces inegales et on admet que : si Pierre combat M1 alors la

probabilite quil gagne la partie est1

3; si Pierre combat le monstre M2 alors la probabilite

quil gagne la partie est1

4.

Pierre joue une partie. Soit G levenement : Pierre gagne la partie.

1. Calculer la probabilite des evenements A G et B G

2. En deduire la probabilite de G. On met de cote cette question a laquelle on pourra

repondre apres lexemple 3 du paragraphe 3.1


Traduisons les donnees de lenonce :

P(A) =1

2; P(B) =

1

2; PA(G) =

1

3; PB(G) =

1

4;

1. P(A G) = PA(G) P(A) =1

6

etP(B G) = PB(G) P(B) =1

8

2. (Expliquer avec un arbre)

A et B sont deux evenements contraires (B est levenement des resultats qui nerealisent pas A). DoncP(B) = 1 P(A).

A et B sont deux evenements incompatibles (A et B ne peuvent se realiser enmeme temps). DoncP(A B) = 0.


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donc A et B forment ce quon appelle une partition de lunivers , qui est lensemblede tous les resultats possibles (ce qui signifie que = A B et A B = ). On

en deduit que G A et G B forment aussi une partition de . On a materialiselevenement G par les branches bleues de larbre, ce qui nous donne :P(G) = P(G) = P (G (A B)) = P((GA) (GB)) = P(GA) + (GB) =1

6+

1

8=

7

24 0, 29

Exercice 1.

Dans une population, les individus sont repartis en quatre groupes sanguins : A, B, AB etO. A linterieur de chaque groupe sanguin, il y a deux rhesus (rhesus + ou rhesus -). Ona releve les pourcentages de la population dans le tableau suivant :

groupe A B AB Orhesus + 32,8 8,1 4,15 36rhesus - 7,2 1,9 0,85 9

Un individu est choisi au hasard. Calculer la probabilite :

1. quil soit du groupe O sachant quil a un rhesus -.

2. quil ait un rhesus - sachant quil est du groupe O.

Exercice 2.

Dans une ville V, le temps du matin suit les probabilites suivantes :

Temps Pluie Nuages Ciel bleuProbabilite 0,2 0,3 0,3

Julie prend son parapluie en partant le matin avec une probabilite de :1 sil pleut ; 0,6 sil y a des nuages ; 0,2 si le ciel est bleu.

1. Calculer la probabilite des evenements suivants :

(a) il pleut et Julie prend son parapluie

(b) il y a des nuages et Julie prend son parapluie

(c) le ciel est bleu et Julie prend son parapluie2. Calculer la probabilite que Julie prenne son parapluie le matin. On met de cote cette

question a laquel le on pourra repondre apres lexemple 3 du paragraphe 3.1

3 Formule des probabilites totales

3.1 Arbre de probabilite

Exemple 3.

Dans un melange de graines de fleurs roses et de fleurs jaunes, 60% sont des graines defleurs roses. On sait que :


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. 50 % des graines de fleurs roses germent correctement

. 80 % des graines de fleurs jaunes germent correctement

On seme une graine prise au hasard dans le melange. On considere les evenements : R :La graine est de fleur rose ; J : La graine est de fleur jaune ; G : La graine germecorrectement. La situation decrite dans lenonce est representee par larbre ci-dessous que

lon completera au fur et a mesure.

1. Branches au premier niveau de larbre

(a) Determiner P(R).

(b) Quel lien y a-t-il entre les evenements R et J? En deduire P(J).

(c) Reporter sur larbre la probabilite de J, manquant sur la branche au premierniveau.

2. Branches au second niveau de larbre

(a) A quelles probabilites conditionnelles correspondent les valeurs 0,5 et 0,8 ?

(b) Completer larbre par PR(G) et PJ(G) sur les branches au second niveau.

3. En parcourant les branches de larbre

(a) Decrire par une phrase chacun des evenements R G et JG.

(b) Calculer P(R G) en precisant le resultat du cours utilise. Comment visualiserce calcul sur larbre ?

(c) Calculer de meme P(JG).

(d) En deduire la probabilite que la graine prise au hasard germe correctement.

Solution 3 1. (a) Dapres lenonce, P(R) = 0, 6.

(b) R et J sont deux evenements contraires, doncP(R) = 1P(J) = 10, 6 = 0, 4

(c)

2. (a) On a : P(R) = 0 (question 1.a) donc PR(G) est bien definie.La valeur 0,5correspond a la probabilite conditionnelle de G sachant R : PR(G)

P(J) = 0 doncPJ(G) est bien definie. La valeur 0,8 correspond a la probabiliteconditionnelle de G sachant J : PJ(G).


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(b) Sachant que la graine est de fleur rose, levenement La graine ne germe pascorrectement est contraire a levenement La graine germe correctement, donc

PR(G) = 1PR(G) = 0, 5. On peut resumer par : la somme des probabilitesissues dun noeud dun arbre est egale a 1.De meme, PJ(G) = 1 PJ(G) = 0, 2.

3. (a) Levenement R G est La graine est de fleur rose et germe correctement.Levenement JG est La graine est de fleur jaune et germe correctement.

(b) Dapres la definition dune probabilite conditionnelle, P(R G) = PR(G) P(R) = 0, 5 0, 6 = 0, 3. Sur larbre, on a multiplie les probabilites associees achacune des branches de premier et second niveau donnant R puis G.

(c) P(JG) = PJ(G) P(J) = 0, 4 0, 8 = 0, 32.

(d) Pour que la graine prise au hasard germe correctement, ou bien el le est de fleurrose et germe correctement, ou bien elle est de fleur jaune est germe correcte-ment. DoncP(G) = P(R G) + P(JG) = 0, 3 + 0, 32 = 0, 62.

Exercice 3. Pour sentraner :Faire la question 2 de lexercice resolu 2 et la question 2 de lexercice 2 (laissees de cote)a laide dun arbre.

3.2 Enonce

Definition 3.1 Soit lensemble des evenements elementaires dune experience aleatoire.Soient A1, A2, . . . , An des evenements de . On dit que les evenements (Ai)1in formentun systeme complet de si :

Pour tout 1 i n,P

(Ai) = 0. les Ai sont deux a deux incompatibles, ie. pour tout i et j distincts, on a : Ai Aj = . leur reunion est egale a , ie. = A1 A2 . . . An.

Theoreme 3.2

Soit lensemble des evenements elementaires dune experience aleatoire. Soient A1, A2, . . . , Andes evenements formant un systeme complet de Alors la probabilite dun evenement Bquelconque est donnee par :

P(B) = P(A1 B) + . . . + P(An B)

cest a dire : P(B) = PA1 (B) P(A1) + . . . + PAn(B) P(An)


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Demonstration :

Les (Ai)1in forment un systeme complet de donc les (AiB)1in forment un systeme

complet de B. DoncP(B) = P(A1 B) + . . . + P(An B)

et pour tout 1 i n, P(Ai B) = PAi(B) P(B) donc

P(B) = PA1 (B) P(A1) + . . . + PAn(B) P(An)

Exemple dapplication

Reprenons lexemple 3. Dans la derniere question 3(d), on calcule P(G) par P(G) =P(R G) + P(J G) et on a calcule P(R G) et P(J G) dans les questions 3(b) et(c) en faisant P(R G) = PR(G) P(R) et P(JG) = PJ(G) P(J).En conclusion, on a P(G) = PR(G) P(R) + PJ(G) P(J) ce qui est la formule des pro-babilites totales avec B = G, A1 = R et A2 = J.

Exercice resolu 3.

Une etude statistique faite dans une region a montre que 53% des personnes pratiquant unsport sont des hommes, parmi lesquels 31% sont adherents a un club sportif, et que parmiles femmes pratiquant un sport, 22% sont adherentes a un club sportif.On rencontre au hasard une personne de la region pratiquant un sport.On designe par H levenement La personne est un homme, par F levenement Lapersonne est une femme et par A levenement La personne est adherente a un clubsportif.

1. Traduire les donnees en terme de probabilites.

2. Construire un arbre de probabilites decrivant la situation.

3. (a) Calculer la probabilite que la personne soit un homme et adhere a un clubsportif.

(b) Calculer la probabilite que la personne soit une femme et adhere a un clubsportif

4. En deduire P(A)


1. P(H) = 0, 53 ; PH(A) = 0, 31 ; PF(A) = 0, 22.

2.


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(a) P(H A) = PH(A) P(H) = 0, 31 0, 53 = 0, 1643

(b) P(FA) = PF(A) P(F) 1P(H)

= 0, 22 0, 47 = 0, 1034

3. P(A) = P(H A) + P(FA) = 0, 2677.

Exercice resolu 4.

Une maladie affecte un Francais sur 1000. On dispose dun test dont la fiabilite est lasuivante :

pour 99% des personnes malades, le test est positif pour 0,2% des personnes saines, le test est positifLobjectif est de savoir si ce test est un bon test.

On note A levenement La personne est atteinte du virus (A est levenement contrairede A), et T levenement Le test est positif.

1. Traduire les donnees de lenonce par des probabilites.

2. Construire un arbre de probabilites representant la situation

3. Calculer la probabilite de T

4. En deduire la probabilite detre malade sachant que le test est positif. Le test est-ilun bon test ?


On cherche la probabilite detre malade sachant que le test est positif PT(A)

1. P(A) =1

1000, PA(T) = 0, 99, PA(T) = 0, 002.

2.

3. Dapres la formule des probabilites totales,

P(T) = P(A) PA(T) + P(A) PA(T) =1

1000 0, 99 +

999

1000 0, 002 = 0, 002988.

4. PT(A) =P(A T)

P(T)=PA(T) P(A)

P(T)=

0, 99 0, 001

0, 002988= 0, 33 au dixieme pres. Donc

il ny a que 33% de chances detre atteint du virus sachant que le test est positif. Letest nest pas un bon test.

Exercice 4. Faire lexercice R1 p. 284 du livre


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4 Independance de deux evenements

4.1 Exemple introductif

Exemple 4.

Une agence de tourisme propose 1000 tickets a gratter, tous gagnants. 990 dentre eux fontgagner une paire de lunettes de soleil et 10 font gagner un voyage, soit en Asie, soit enAfrique.Les tickets sont de couleur rose ou bleue.Le tableau ci-dessous donne la repartition des tickets :

Un client recoit au hasard un des 1000 tickets. On considere les evenements R : Le ticketrecu est rose et V : Le client gagne un voyage.

1. (a) Calculer P(V), PR(V) et PR(V).

(b) La probabilite de gagner un voyage depend-elle de la couleur du ticket recu ?

(c) Calculer P(R) et verifier que P(V R) = P(V) P(R).

2. On note A levenement Le client gagne un voyage en Asie.

(a) Calculer P(A), PR(A), et PR(A).

(b) La probabilite de gagner un voyage en Asie depend-elle de la couleur du ticketrecu ?

(c) Verifier que P(A R) = P(A) P(R).

Solution 4

1. (a) P(V) =10

1000= 0, 01

PR(V) =P

(R V)P(R)

=

6

1000600

1000

= 0, 01 (NB : cest bien egal a la frequence condi-

tionnelle de V sachant R)

PR(V) =P(R V)

P(R)=

4

1000400

1000

= 0, 01 (NB : cest bien egal a la frequence condi-

tionnelle de V sachant R).

(b) Sachant que le ticket est rose ou quil est bleu, la probabilite de gagner un voyage

reste la meme que si lon ne connat pas la couleur du ticket. Le probabilite degagner un voyage semble ne pas dependre de la couleur du ticket recu.


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(c) P(R) =600

1000=

3

5= 0, 6 ; P(V R) =

6

1000= 0, 006 (dapres le tableau) et

P(V)

P(R) = 0, 01 0, 6 = 0, 006 =

P(V R).

2. (a) P(A) =5

1000= 0, 005

PR(A) =P(R A)

P(R)=

4

1000600

1000

=1

150= 0, 0067 au dix millieme pres

etPR(A) =P(R A)

P(R)=

1

1000400

1000

=1

400= 0, 0025

(b) La probabilite de gagner un voyage en Asie nest pas la meme que la probabilitede gagner un voyage en Asie sachant que le ticket est rose ou sachant que leticket est bleu. Il semble donc que la probabilite de gagner un voyage en Asiedepende de la couleur du ticket recu.

(c) P(A R) =4

1000= 0, 004 etP(A) P(R) = 0, 005 0, 6 = 0, 003 = P(A R).

4.2 Definition, applications

Definition 4.1

On dit que deux evenements A et B sont independants si

P(A B) = P(A) P(B)

Propriete 4.2 Il y a equivalence entre :

1. A et B sont independants




Demonstration :

1. Supposons A et B independants (ie. P(A B) = P(A) P(B)).B = (B A) (B A) constitue une union disjointe de B. Donc

P(B) = P(B A) + P(B A) = P(B)P(A) + P(B A)

dou P(B A) = P(B)(1 P(A)) = P(B)P(A)

2. Pour montrer que si A et B sont independants alors A et B sont independants, onutilise le 1. de la demonstration en remplacant A par B et B par A.

3. Pour montrer que si A et B sont independants alors A et B sont independants, onutilise le 1. de la demonstration en remplacant B par B.


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4. Pour montrer que si A et B sont independants alors A et B sont independants, onutilise le 2. de la demonstration en remplacant B par B.

Lien avec les probabilites conditionnelles :

Soit A est un evenement de probabilite non nulle, on a : PA(B) =P(A B)

P(A).

Si A et B sont independants, on a : P(A B) = P(A) P(B), donc : PA(B) =P(A) P(B)

P(A)= P(B).

Si PA(B) = P(B), comme PA(B) =P(A B)

P

(A

)

, alors P(B) =P(A B)

P

(A

)

, cest a dire :

P(A B) = P(A) P(B). Donc A et B sont independants.

Methode pour determiner si deux evenements A et B sont independants ou

non :

On calculedefinit ionde l

ind epe ndan ce - Ou bien : P(A), P(B) etP(A B) :. SiP(A B) = P(A) P(B), alors A et B sont independants.. Sinon A et B ne sont pas independants.

- Ou bien : P(B) etPA(B) (respectivementP(A) etPB(A))lie n avecproba

condition-

nelle. SiPA(B) = P(B), alors A et B sont independants (respectivement siPB(A) = P(A)).. Sinon A et B ne sont pas independants.

Exercice resolu 5. Determiner si deux evenements sont independants :Dans un sac comprenant 24 jetons numerotes de 1 a 24, on tire au hasard un jeton. Onconsidere les evenements T : Obtenir un multiple de trois, S : Obtenir au moins 15,et P : Obtenir un nombre pair.

1. Calculer P(T), P(S), et P(S T). Les evenements S et T sont-ils independants ?

2. Calculer PP(T). Les evenements P et T sont-ils independants ?


1. On est dans une situation dequiprobabilite (on a autant de chance de tirer lun oulautre jeton), donc

P(T) =nombre de resultats de T

nombre total de resultats=

8

24=

1

3

de meme :

P(S) = 1024

= 512


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et :

P(S T) =4

24=

1

6On a : P(S T) = P(S) P(T) donc T et S ne sont pas independants.

2. P est un evenement de probabilite non nulle (car on peut obtenir le jeton numero 2

par exemple), donc PP(T) est bien defini et vaut : PP(T) =4

12=

1

3. Or P(T) =

1

3donc P et T sont independants.

Exercice resolu 6. Calcul de la probabilite de lintersection de deux evenements independants :Deux voisines, Susie, secretaire medicale, et Chloe, commerciale, font le meme tra jet apresleur journee de travail. Chacune prend si possible le train de 18h, sinon, celui de 18h30.On considere que les contraintes horaires de fin de journee de travail des deux voisines sontindependantes.La probabilite davoir le premier train est de 0,9 pour Susie et 0,8 pour Chloe. Un soirdonne, quelle est la probabilite que les deux voisines se retrouvent :

1. dans le train de 18h ?

2. dans le train de 18h30 ?


Notons S levenement Susie a le premier train et C levenement Chloe a le premiertrain. S est levenement Susie a le deuxieme train et C est levenement Chloe a le

deuxieme train.Traduisons les donnees de lenonce : P(S) = 0, 9 etP(C) = 0, 8.

1. Dapres lenonce, les evenements S etC sont independants, doncP(SC) = P(S)P(C) = 0, 9 0, 8 = 0, 72.

2. Dapres la propriete du cours, S et C sont independants puisque S et C le sontegalement. Donc P(S C) = P(S) P(C) = 0, 1 0, 2 = 0, 02.

Pour sentraner : http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/probas/independance/independance1.jsp

Exercice 5. A savoir faire egalement : voir exercice 34 p. 293 du livre :a) Calcul de la probabilite dun evenement A connaissant la probabilite dun evenement Bindependant de A et celle de leur intersectionPour sentraner : http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/probas/independance/independance4.jsp

b) Calculer les probabilites associees a la reunion de deux evenements independantsPour sentraner : http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/probas/independance/independance2.jsp


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http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/probas/independance/independance1.jsphttp://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/probas/independance/independance1.jsphttp://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/probas/independance/independance4.jsphttp://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/probas/independance/independance4.jsphttp://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/probas/independance/independance2.jsphttp://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/probas/independance/independance2.jsphttp://www.carbone14.org/dbediot/http://www.carbone14.org/dbediot/http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/probas/independance/independance2.jsphttp://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/probas/independance/independance2.jsphttp://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/probas/independance/independance4.jsphttp://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/probas/independance/independance4.jsphttp://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/probas/independance/independance1.jsphttp://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/probas/independance/independance1.jsp

Probabilites Conditionnelles

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