Mesure, Integration, Probabilites

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Transcript of Mesure, Integration, Probabilites

  • MESURE, INTEGRATION, PROBABILITES

    Thierry Gallouet Raphae`le Herbin

    February 19, 2009

  • Contents

    1 Motivation et objectifs 51.1 Integrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Insuffisance de lintegrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Les probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2 Tribus et mesures 162.1 Introduction... par les probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.1.1 Cas dun proble`me discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2 Exemple continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2 Tribu ou alge`bre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Mesure, probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 mesure signee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 La mesure de Lebesgue sur la tribu des boreliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6 Independance et probabilite conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.6.1 Probabilite conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.2 Eve`nements independants, tribus independantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6.3 Probabilites sur (R,B(R)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7.3 Probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3 Fonctions mesurables, variables aleatoires 503.1 Introduction, topologie sur R+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2 Fonctions etagees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3 Fonctions mesurables et variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4 Mesure image, loi dune v.a., v.a. independantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5 Convergence p.p., p.s., en mesure, en probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    4 Fonctions integrables 734.1 Integrale dune fonction etagee positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Integrale dune fonction mesurable positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3 Theore`me de convergence monotone et lemme de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    1

  • 4.4 Mesures et probabilites de densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4.2 Exemples de probabilites de densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    4.5 Lespace L1 des fonctions integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.6 Lespace L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.7 Theore`mes de convergence dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    4.7.1 Convergence presque partout et convergence dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.7.2 Convergence dune serie absolument convergente et consequences . . . . . . . . . . 90

    4.8 Continuite et derivabilite sous le signe

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.9 Esperance et moments des variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.10 Espace L1C(E, T,m) et espace L

    1RN (E, T,m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    4.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.11.1 Integrale des fonctions mesurables positives et espace L1 . . . . . . . . . . . . . . . 984.11.2 Lespace L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.11.3 Esperance et moments des variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    5 Mesures sur la tribu des boreliens 1115.1 Lintegrale de Lebesgue et lintegrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2 Mesures abstraites et mesures de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.3 Changement de variables, densite et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.4 Integrales impropres des fonctions de R dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    6 Les espaces Lp 1296.1 Definitions et premie`res proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    6.1.1 Les espaces Lp, avec 1 p < + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.1.2 Lespace L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.1.3 Quelques proprietes des espaces Lp, 1 p + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    6.2 Analyse hilbertienne et espace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.2.1 Definitions et proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.2.2 Projection sur un convexe ferme non vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.2.3 Theore`me de Representation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.2.4 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

    6.3 Dualite dans les espaces Lp, 1 p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.3.1 Dualite pour p = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.3.2 Dualite pour 1 p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.3.3 Theore`me de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

    6.4 Convergence faible, faible-?, etroite, en loi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.4.1 Convergence faible et faible-? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.4.2 Convergence etroite et convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.4.3 Lois des grands nombres, theore`me central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

    6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.5.1 Espaces Lp, 1 p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.5.2 Espaces de Hilbert, Espace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.5.3 Theore`me de Radon-Nikodym et Dualite dans les espaces Lp . . . . . . . . . . . . 1796.5.4 Convergence faible, faible-?, etroite, en loi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

    2

  • 7 Produits despaces mesures 1937.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.2 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.3 Theore`mes de Fubini-Tonelli et Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987.4 Mesure de Lebesgue sur la tribu des boreliens de RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2027.5 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057.6 Formules de changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

    7.7.1 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2107.7.2 Fubini-Tonelli et Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.7.3 Mesure de Lebesgue sur B(RN ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127.7.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157.7.5 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

    8 Densite, separabilite, et compacite dans les espaces Lp() 2208.1 Theore`mes de densite pour les espaces Lp() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

    8.1.1 Densite des fonctions Cc(,R) dans Lp() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208.1.2 Regularisation par convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2218.1.3 Densite de Cc (,R) dans Lp() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

    8.2 Separabilite de Lp() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2248.3 Compacite dans les espaces Lp() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2248.4 Propriete de compacite faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2258.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

    9 Vecteurs aleatoires 2299.1 Definition, proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.2 Independance . . . . . . . . . . . . . . . . . .