6 ème - 5 ème Calculs

POUR PRENDRE UN BON DÉPART – Rappel

1) Additions, multiplicationsDéfinition 1: Le résultat d’une addition s’appelle une somme Ex : 73,45 + 94,73 = 168,18 ; 73,45 et 94,73 sont les termes de la somme; 168,18 est la somme

Attention: à l’alignement des chiffres et de la virgule. Ne pas oublier les retenues

Propriété 1: Dans une somme , l’ordre des termes peut être changé (cela peut simplifier les calculs)

Définition 2: Le résultat d’une multiplication s’appelle un produit Ex : 7 x 9 = 63 7 et 9 sont les facteurs 63 est le produit

Propriété 2: Dans le calcul d’un produit, l’ordre des facteurs peut être changé (pour simplifier les calculs)

2) Soustractions, divisions

Définition : Le résultat d’une soustraction s’appelle une différenceEx : 121,45 – 42,5 = 78,95 121,45 et 42,5 sont les termes de la différence

168,18 est la différence

Attention: à l’alignement des chiffres et de la virgule. Ne pas oublier les retenues

Propriété: Dans une différence l’ordre des termes NE PEUT PAS être changéLes calculs s’effectuent de la GAUCHE vers la DROITE

La différence 66,2 - 26 est le nombre manquant dans l'égalité : 26,7 + ...... = 66,2. On a donc : 66,2 - 26,7 = 39,5 parce que : 26,7 + 39,5 = 66,2.

Définition : Le résultat d’une division s’appelle le quotientEx : 9 : 2 = 4,5 9 est le diviseur et 2 est le dividende 4,5 est le quotient exact

3°) Calculs sans parenthèse

Règle 1: Pour effectuer une suite d’opérations sans parenthèses on suit l’ordre suivant1) effectuer les multiplications et les divisions de GAUCHE à DROITE2) effectuer les additions et soustractions dans l’ordre où elles sont écrites de GAUCHE à

DROITE

4°) Calculs avec parenthèsesRègle 2: Pour effectuer une suite d’opérations avec parenthèses on suit l’ordre suivant

1) effectuer les calculs en commençant par les parenthèses les plus intérieures2) effectuer les multiplications et les divisions de GAUCHE à DROITE 3) effectuer les additions et soustractions dans l’ordre où elles sont écrites de GAUCHE à

DROITE

Règle 3: Dans une expression fractionnaire, on suit l’ordre a) On effectue les calculs au numérateur et au dénominateurb) On simplifie la fraction ou on calcule le quotient(un grand trait de fraction indique une parenthèse même si elle n’est pas écrite)

Distributivité la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.Règle 4 Quels que soient les nombres a, b et k non nul,

factoriser (passer d'un produit de facteur à une somme de termes)<------------

k x (a - b ) = k x a - k x b ou k(a + b) = ka + kbk x (a + b ) = k x a + k x b ou k(a + b) = ka + kb

------------->développer (passer d'une somme de termes à un produit de facteur)

ATTENTION : (a + b)k = k(a + b) et (a - b)k = k(a - b)

6 ème - 5 ème Quotients - Fractions

1) Ecriture fractionnaire des nombres 1) Rapppel

a) a et b deux nombres et b non nul (b ≠ 0) ; ab

est le quotient de a par b, c’est une écriture

fractionnaire si a et b sont des entiers on dit que est une fractionAttention : = a et = 0

b) Transformer une écriture fractionnaire en fraction signifie l’écrire avec un numérateur et un dénominateur entier

c) Avec des lettres (admis) : c x ab

= c x a

b =

cb

x a b non nul

2) Diviser

Écrire sous forme décimale le quotient sans utiliser la calculatrice. Règle : le résultat d’une division ne change pas si l’on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre

Commentaire

Selon les cas, on multiplie le numérateur et le dénominateur par 2, 5, 10, 100 ou 1000...

3) nombres en écriture fractionnaires égauxrègle : Le quotient de deux nombres reste inchangé si on multiplie (ou si on divise) le numérateur (dividende) ET le dénominateur (diviseur) par un même nombre non nul.

Avec des lettres : ab

= a x kb x k

= a : kb :k

b ≠ 0 k ≠ 0

Définition : 1) Simplifier une fraction c’est trouver une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont des nombres plus petits2) Lorsqu’une fraction ne peut plus être simplifiée, on dit qu’elle est irréductible

Règles : 1) un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 82) un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0, 53) un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple par 34) un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 95) un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4

Calul rapide : multiplier par 0,5 revient à diviser par 2multiplier par 0,25 revient à diviser par 4

4) comparaison

Propriété 1 :1) Si le numérateur d'un nombre en écriture fractionnaire est supérieur à son dénominateur alors le nombre est supérieur à 1. 2) Si son numérateur est inférieur à son dénominateur alors le nombre est inférieur à 1. 3) Si deux nombres en écritures fractionnaires ont le même dénominateur alors le plus petit est celui qui a le plus petit numérateur 1/2

Pratique : 1) vérifier que les deux dénominateurs sont égaux 2) si c’est le cas --> utiliser la propriété

3) sinon : réduire les fractions au même dénominateur PUIS utiliser la propriété5) AdditionRègle: Pour additionner ou soustraire deux nombres en écritures fractionnaires IL FAUT QU’ILS AIENT LE MEME DENOMINATEUR

Pour additionner deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur :

1) on additionne les numérateurs

2) on garde le même dénominateur

avec des lettres 0 ≠+=+ bb

ca

b

c

b

a

avec des lettres 0 ≠−=− bb

ca

b

c

b

a

Rappel :

Dans une suite d’additions on peut changer l’ordre des termes et les regrouper pour simplifier les calculs

Dans une expression contenant des additions ET des soustractions on doit effectuer les calculs de GAUCHE à DROITE

Quand une expression contient des parenthèses, on effectue :1) Les calculs à l’intérieur des parenthèses en commençant par les plus intérieures2) Les calculs restants en respectant les deux premières règles

ATTENTION : Dans les calculs de nombres en écritures fractionnaires, avant d’effectuer les calculs PENSER à simplifier chacune des écritures fractionnaires si c’est possible

5) multiplication

Règle: Pour multiplier deux nombres en écritures fractionnaires, Ne pas réduire les fractions au même DENOMINATEUR1) multiplier les numérateurs entre eux2) multiplier les dénominateurs entre eux3) Penser à simplifier si c’est possible avant de terminer les calculs

Définition : un nombre décimal est un nombre qui a une écriture à virgule finiePour tronquer un résultat : on « coupe » au rang indiqué et on « laisse tomber » les chiffres à droite

Pour arrondir un résultat : on tronque d'abord le nombre au rang indiqué. Puis :* si le chiffre qui suit est supérieur ou égal à 5, on augmente de 1 le dernier chiffre du nombre tronqué * si le chiffre qui suit est inférieur à 5 , on garde le nombre tronqué.

Différence des 2 signes « = » et « .≈. » 2/

SIMPLIFIER UN QUOTIENT

Pour simplifier un quotient, on doit trouver un nombre qui divise à la fois son numérateur et son dénominateur.

• Vérifier si l'on peut tout de suite simplifier par 10, 100, 1000,...

Exemple : 2 0 0 0

5 0 0 0

2 1 0 0 0

5 1 0 0 0

2

5= =

x

x

• Vérifier si l'on peut simplifier par 2 ou par 5.

Un nombre divisible par 2 se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8

Un nombre divisible par 5 se termine par 0 ou 5.

Exemple : 1 4

1 6

2 7

2 8

7

8= =

x

x

• Vérifier si l'on peut simplifier par 3 ou par 9.

Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Exemple : 8 7

5 1

3 2 9

3 1 7

2 9

1 7= =

x

x

• Vérifier si numérateur et dénominateur ne figurent pas dans une même « table de multiplication ».

Exemple : 3 5

6 3

5 7

9 7

5

9= =

x

x

• Vérifier s’il est possible que plusieurs simplifications se succèdent

Exemple : 7 2 8

9 1 0

2 7 4 1 3

2 7 5 1 3

4

5= =

x x x

x x x

SAVOIR FAIRE

6 ème - 5 ème Nombres relatifs 1) Rappels

– Priorités opératoires - distributivité: A revoir

Définition : • Un nombre précédé ou non d’un signe + est un nombre positif• un nombre précédé d’un signe - est un nombre négatif• Le seul nombre positif et négatif est le nombre zéro +0 = - 0 = 0• Les nombres positifs ou négatifs s ‘appellent les nombres relatifs

Distance à zéro : nombres opposés

Définition : Un nombre relatif est déterminé par son signe et sa distance à zéro

Nombres relatifs négatifs nombres relatifs positifs

I I I I I I I I I I I i I I I I I I I I I I I I I-6 -3,5 0 3,5 6la distance à zéro de -6 est 6 La distance à zéro de +6 est 6on dit que +6 et –6 sont opposés, de même +3,5 et –3,5

Définition : Deux nombres relatifs sont opposés s’ils ont des signes contraires et la même distance à zéro

2) comparaison

a) Symboles: > signifie « est strictement supérieur à » ; ≤ signifie « inférieur ou égal à »< signifie « est strictement inférieur à » ; ≥ signifie « supérieur ou égal à »

Propriété : Si un nombre est positif alors il est supérieur à zéroSi un nombre est négatif alors il est inférieur à zéro

Si deux nombres relatifs ont des signes différents alors le plus petit est le nombre négatifSi deux nombres relatifs sont …négatifs. alors le plus petit est celui qui a la ……. …grande distance à zéro.. (le plus petit est le plus à gauche sur la droite graduée dans le sens positif)

b) Comparaison des décimauxComparons 9,354 et 12,354 : 9,32 et 9,302: En premier on compare les parties entières :

* Soit elles sont différentes Cas 1

* soit elles sont égales Cas 2

9,354 et 12,354 9,32 et 9,302Parties entières9 < 12 donc a 9,354 < 12,354

Parties entières9 et 9 on a 9 = 9Il faut regarder les parties décimales 32 et 302

Si nécessaire en second on compare les parties décimalesOn compare les dixièmes : 3 et 3 égalité --> On continuePuis les centièmes : 2 et 0 on a 2 > 0 Donc 9,32 > 9,302

Si nécessaire continuer

4) Opérations

a) SommeRègle 1 : Si les deux nombres relatifs à additionner sont de même signe alors il faut :

1) …ajouter les distances à zéro.2) …mettre le signe des 2 nombres.

1/2

Règle 2 : Si les deux nombres relatifs à additionner sont de signes contraires alors il faut :3) …soustraire les distances à zéro.4) …mettre le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.

Règle 3: Si les deux nombres relatifs à additionner sont opposés alors leur somme est égale à 0

b) DifférenceRègle 3 : Soustraire deux nombres relatifs revient à ajouter …son opposé…..

a - b = …a + ( - b)

c) Simplification d’écriture Convention: Pour écrire plus simplement la somme ou la différence de 2 nombres relatifs, on convient de : 1) Transformer les soustractions en …addition2) Supprimer les …opposés… et les …parenthèses.3) ne plus écrire le signe + devant le …premier. terme s’il est positif

3) Repèresa) droite Définition : Une droite graduée ou axe est une droite sur laquelle on a choisi une origine (le zéro) et une unité (la distance du 0 au 1) . En général, il vous faut choisir le point origine et l'unité B D O C A I I I I I I I I I I I i I I I I I I I I I I I I I -5 -3,5 0 1 2,5 4

On dit le point A a pour abscisse 4 , le point B a pour abscisse –5La longueur OI est l’unité choisie pour graduer la droiteDéfinition : Chaque point de la droite graduée peut être repérée par un nombre relatif appelé abscisse du point

b) repèreUn repère orthogonal est constitué de deux axes perpendiculaires de même origine (l’axe des abscisses , « horizontal » et l’axe des ordonnées, « vertical ») axe des ordonnées A

D axe des abscisses

B

C

Point CoordonnéesA (4 ; 2)B (-4 ; -1)C (3 ; - 2)D (- 2 ; 3)O (0 ; 0)

Définition : Chaque point du plan peut-être repéré par deux nombres relatifs appelés coordonnées du point.Le premier nombre est toujours l’abscisse et le deuxième toujours l’ordonnée

Attention : le point C(3 ; -2) est différent du point D(-2 ; 3)

Un repère orthogonal est constitué de deux axes perpendiculaires de même origine (l’axe des abscisses , « horizontal » et l’axe des ordonnées, « vertical »)

c) Distance entre 2 points

Définition :Soit (OI) une droite graduée (unité OI) Si A(a) et B(b) alors la distance entre A et B est : AB = BA = abscisse la plus grande – abscisse la plus petiteAttention : une distance est toujours un nombre …positif… 2/2

6 ème - 5 ème Calcul littéral

I) Simplification d'écriture

Définition : Une expression littérale est une expression dans laquelle certains nombres sont représentés par des lettres

Convention : Le signe multiplié ( x ) peut être supprimé dans certaines écritures.• entre un nombre et une lettre• entre deux lettres• entre un nombre (une lettre) et une parenthèse

Par contre, dans l'écriture 5 x 4 il est interdit d'omettre le signe x (il ne faut pas confondre avec le nombre 54).

À connaîtrePour tout nombre a, on peut écrire : a × a = a ² (qui se lit « a au carré »)

a × a × a = a3 (qui se lit « a au cube »).

II) Remplacer des lettres par des nombres

Règle : Pour calculer une expression littérale pour une certaine valeur des lettres,il suffit de remplacer les lettres par ces valeurs.

III) D évelopper une expression littérale

Définition : Développer signifie passer d’un produit de facteur à une somme ou une différence de termes

Règle : Soient k, a et b trois nombres positifs. Pour développer une expression, on distribue le facteur ( k ) à tous les termes entre parenthèses : -----------> -----------> k (a + b) = k a + k b k (a – b) = k a – k b k × (a + b) = k × a + k × b k × (a – b) = k × a – k × b

IV) Factoriser une expression littérale

Définition : Factoriser signifie passer d’une somme ou une différence de termes à un produit de facteur

Règle : Soient k, a et b trois nombres positifs. Pour factoriser une expression, on repère le facteur commun à chaque terme et on le multiplie par la somme ou la différence des autres facteurs : < ----------- <----------- k (a + b) = k a + k b k (a – b) = k a – k b k × (a + b) = k × a + k × b k × (a – b) = k × a – k × b

IV) Réduire une expression avec des lettres

Définition : Réduire une expression signifie regrouper et simplifier les termes identiques

V) Equation

Définition : a. Une égalité dans laquelle figure un nombre à trouver (représenté par une lettre) s’appelle une équationb. Le nombre cherché s’appelle une inconnuec. Trouver ce nombre signifie résoudre l’équationd. Le(s) nombres pour le(s)quel(s) l’égalité est vérifiée s’appelle(nt) l(es) solutions de l’équation

Tester uné égalité: a. On calcule d'une part le membre de gauche pour la valeur donnéeb. Puis d'autre part le membre de droitec. On compare les deux résultats trouvés et on conclut

6 ème - 5 ème Proportionnalité

1) Reconnaître la proportionnalité

Il y a proportionnalité dans un tableau, lorsque les termes d’une ligne s’obtiennent en multipliant ou en divisant par un même nombre ceux de l’autre ligne.

Définition : Dire que 2 grandeurs sont proportionnelles revient à dire que les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul,appelé coefficient de proportionnalité

2) La quatrième proportionnelleDéfinition : Lorsqu’une situation de proportionnalité est représentée dans un tableau à 4 cases dont 3 sont connues, la 4ème valeur est appelée la quatrième proportionnelle

Nombre de SMS 6 12

Prix payé en € 1,2

4ème

proportionnelleRègles de calculs

Plusieurs solutionsNombre de SMS 6 12 Solution 1 : 6 x 2 = 12 donc 1,2 x 2 = 2,4

Prix payé en € 1,2 P = 4ème

proportionnelle

Solution 2 : 6 x 0,2 = 1,2 donc 12 x 0,2 = 2,4

Comme 0,2 = on a 12 x = flèches

3) Représentation graphique

Définition : Deux grandeurs sont proportionnelles signifie que les points de la représentation graphique des valeurs d’une grandeur en fonction des valeurs de l’autre grandeur sont alignés sur une droite passant par l’origine du repère

4) Mouvement uniformea- unités de temps 1h = 60min 1min = 60s 1h = 3600s

Pour transformer des heures en secondes on multiplie par 3600, et pour passer des secondes en heures on divise par 3600

b- Mouvement uniforme

Définition : Dire qu’un mouvement est uniforme signifie que la distance (d) parcourue au cours de ce mouvement est proportionnelle à la durée du parcours (t) . Le coefficient de proportion- nalité est la vitesse v . d = vt t = d/v v = d/t

5) échelle:

Définition : Lorsqu’on réalise une reproduction (carte, dessin, maquette) les longueurs de la reproduction (sur le papier) et les longueurs réelles sont proportionnellesL’échelle de la reproduction est le coefficient de proportionnalité par lequel il faut multiplier les dimensions réelles pour obtenir les dimensions de la reproduction (exprimées dans la même unité)

6) Pourcentage: Dire qu'il y a 85 % de jus d'orange dans une boisson signifie que dans 100 L de boisson, il y a 85 L de jus d'orange.

Définition : Pour calculer les a % d'un nombre, on multiplie ce nombre par a

100

Calculer un pourcentage: Calculer un pourcentage, c'est calculer la proportion sur 100.Exemple : Dans une classe de 25 élèves, il y a 15 filles. Quel est le pourcentage de filles ?

nombre de filles 15 60 15 x 100÷ 25 = 60total 25 100 Il y a 60% de filles dans la classe.

x 2

x0,

diagramme à barreshistogramme

0

2

4

6

8

10

12

moins de20 ans

de 20 à30 ans

de 30 à40 ans

de 40 à50 ans

de 50 à60 ans

effe

ctif

6 ème - 5 ème Statistiques

I) Vocabulaire

Définitions : 1) Lorsque l'on réalise une enquête, on est amené à étudier des caractères propres à chaque individu (personne ou objet). Caractère : critère étudié, qui permet de classer les personnes ( ou les objets) de la population selon différentes valeurs.2)La population est l’ensemble de tous les individus.3)Le caractère peut être qualitatif (la couleur des cheveux, les sports pratiqués ou le type de film préféré) ou quantitatif (la taille, l'âge, le temps passé devant la télévision, ...).4) L'ensemble des données collectées avant traitement est appelé série brute. Les données sont ensuite regroupées et présentées dans un tableau de données.5) Le nombre total d’individus de la population est appelé effectif total. 6) Le nombre d’individus qui possèdent un même caractère est appelé effectif du caractère.

Lorsque l'on traite une série brute de données quantitatives, pour limiter la taille du tableau de données, on est parfois amené à regrouper les données par classes.

Définition : 1) Une classe est un intervalle de valeurs que peut prendre le caractère quantitatif étudié.2) Regrouper par classes , c'est déterminer le nombre de caractères quiappartiennent à chaque classe.3) L'amplitude d'une classe est la longueur de l'intervalle de valeurs. Les classes

peuvent être d'amplitudes différentes.

II) Diagrammes - Histogramme

classes [0 ; 10] [11 ; 20] [21 ; 30] [31 ; 40] [41 ; 50] [51 ; 60]Nombre de jours 1 2 4 10 8 6Hauteur de la barre 1 2 4 10 8 6

Exemple :

Définition : Toutes les classes ont la même amplitude La hauteur de chaque rectangle est proportionnelle aux effectifsSur l’axe horizontal on indique les classes (1cm ou 2 carreaux), sur l’axe vertical le nombre de jours (hauteur en cm ou carreaux)

- Le diagramme circulaire - Définitions 1) L'angle de chaque secteur angulaire d'un diagramme circulaire (ou semi-circulaire) est proportionnel à l'effectif du caractère.2) L'effectif total correspond à un angle de 360° (180° pour les semi-circulaires).3) Si on connaît la fréquence du caractère, on obtient l'angle en la multipliant par 360 (ou 180). 1/2

diagramme circulaire

moins de 20 ans13%

de 20 à 30 ans33%

de 30 à 40 ans19%

de 40 à 50 ans16%

de 50 à 60 ans19%

Exemple

À toi de jouer À la fin de l’année scolaire 2002/2003, l’orientation des élèves de 3e a donné les résultats suivants (source INSEE) :3e (Doublement) ......................... 38 898 CAP ................................................ 36 6262nde ............................................ 362 573 Autres ................................................. 456BEP ............................................ 151 736Construis un diagramme semi-circulaire représentant ces données.

3è 2nde BEP CAP Autres TotalRésultats 38 898 362 573 151 736 36 626 456 590 289Angle ( ° ) 23,7 221,1 92,5 22,3 0,3 360

360 x 38 898/590 289 ≈ 23,722 soit 23,7°

c- Le diagramme en bâtonExercice: Lors d’un contrôle de mathématiques on a relevé les notes sur 22 suivantes : 10 6 8 12 18 10 14 10 12 16 12 18 6 8 12 6 12 8 14 12 16 12

a- Calcule la moyenne :(3x10 + 3x6 + 38 + 7x12 + 2x18 + 2x14 + 2x16)/22 ≈ 11,4545 environ 11,5

b- Complète le tableau : Note sur 20 6 8 10 12 14 16 18 Total

Effectifs 3 3 3 7 2 2 2 22

c- Construis un diagramme en bâtons des effectifs. ( 1cm pour 1 élève ) effectifs 7

3 2 1

6 8 10 12 14 16 18 notesd- Autres - * diagramme en tuyaux

* diagramme en bandes

IV) Effectifs et fréquences

Définitions :

La fréquence d’une valeur est le quotient (rapport) de l’effectif de cette valeur sur l’effectif total de la population. Ce quotient peut être écrit sous diverses formes : décimale (exacte ou approchée) ou fractionnaire.

Lorsqu'on exprime ce quotient sous la forme d'une fraction de dénominateur 100, onparle de fréquence en pourcentage.

Remarques :

d) La somme des fréquences vaut toujours 1e) La somme des fréquences en pourcentages vaut toujours 100

On travaille essentiellement avec les fréquences en pourcentage car elles permettent de comparer plusieurs populations différentes

Intérêt : Calculer la fréquence d'un caractère pour deux populations d'effectifs différents permet de comparer la répartition de ce caractère au sein des deux populations.

2/2