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Les mathématiques autrement

Calcul littéral• Réduire une somme algébrique

• La distributivité

• Factoriser

• La double distributivité mode d'emploi


Réduire une somme algébrique


On ajoute les termes en a² et on ajoute les termes en a.

+ 3a

Réduire une somme algébrique c’est l’écrire avec le moins de termes possibles

X = 7a² + 3a -5 + 2a - 3a²

= 7a²

- 3a²

- 3a²

+ 3a

+ 2a

+ 2a -5

-5

On regroupe les termes en a² et en a.

= 4a² + 5a -5

Y = 3a + 5 – 7a – 4a² + 6 + 3a - 7a + 5 + 6= - 4a²

On regroupe les termes

= -4a² - 4a + 11 en les ordonnant : les termes en a² puis en a .à copier


c’est à toi

A = 8 – a + a² + 5a

B = 3t + 7 – 2t² + 4t - 1

C = -3 + 4k – 3k² + 5 +k²

= a² - a + 5a + 8= a² + 4a + 8

= -2t² + 3t + 4t + 7 – 1= -2t² + 7t + 6

= - 3k² + k² + 4k - 3 + 5= -2k² + 4k + 2


La distributivité


88+12 = 100

(22 + 3) × 4 = 22 × 4 + 3 × 4

(22+3)×4 = 22×4 + 3×4 = 25 × 4 = 100

Les 2 résultats sont égaux donc

22 × 4+ 3 × 4

La distributivité

On admet que c’est vrai pour tous les nombres. On dit que la multiplication est distributive sur l’addition (ou sur la soustraction).

avec des nombres

observe


La distributivité

avec des lettres

(22 + 3) × 4 = 22 × 4 + 3 × 4+

avec des nombres

(a + b) × k = a × k + b × k+


La distributivité

(a + b) × k = a × k + b × k+

(2 + b) × 5 =

(a - 3) × 4 =

(k + 7) × k =

2 × 5+ b × 5

a × 4- 3 × 4= 10 + 5b

= 4a - 12

k × k+ 7 × k= k² + 7k

à copier

(3 + h) × (-5) = 3 × (-5)+ h × (-5)= -15 + (-5)h= -15 - 5h


c’est à toi

3 × (4 + a) =

8 × (1 - b) =

(5 + d) × (-3) =

(4 + f) × f =

g × (g -5) =

3 × 4 + 3 × a= 12 + 3a 8 × 1 - 8 × b= 8 – 8b

5 × (-3) + d × (-3) = -15 – 3d

4 × f + f × f= 4f + f² g × g + g × (-5)= g² - 5g

(a + b) × k = a × k + b × k+


A = 2 × (3 + a)

= 2 × 3 + 2 × a

= 6 + 2a + ( )

= 6 + 2a

= 7a – 14

Quand on a le signe + devant la parenthèse, on recopie le signe

de chacun des nombres de la

parenthèse.

(a + b) × k = a × k + b × k+

Plus difficile observe

+ 5 × (a – 4)

+ ( 5 × a – 5 × 4)

5a 20+ -+5a - 20


B = 3 × (2 - a)

= 3 × 2 + 3 × (-a)

= 6 - 3a – ( 2a 14)

= 6 - 3a = -5a - 8

Quand on a le signe - devant la parenthèse, on change le signe de tous les nombres

de la parenthèse.

(a + b) × k = a × k + b × k+


- 2 × (a + 7)

- ( 2 × a + 2 × 7)

+ +-2a - 14


C = 4 × (1 - a)

= 4 × 1 + 4 × (-a)

= 4 - 4a - ( 3a 6)

= 4 - 4a = -7a + 10


de la parenthèse.

(a + b) × k = a × k + b × k+


- 3 × (a - 2)

- ( 3 × a + 3 × (-2))

+ --3a + 6

à copier


c’est à toi

D = 3×(5+a) + 2×(4–a)

=3×5+3×a+(2×4–2×a)

= 15 + 3a + ( 8 – 2a)

= 15 + 3a + 8 – 2a

= 1a – 23 = a – 23

= 2×3+2×a-(5×a+5×(-1))

E = 2×(3 + a) - 5×(a-1)

= 6 + 2a – ( 5a – 5)

= 6 + 2a – 5a + 5

= -3a + 11


à suivre …

retour


Factoriser


a × k + b × k = k × (a + b)

(a + b) × k = a × k + b × kL’égalité

peut s’écrire aussi

a × k + b × k = (a + b) × k

observe

kou encore

× (a + b )× ×a + bOn a factorisé k

On souligne le facteur commun, on le recopie, puis dans la parenthèse on recopie tout ce qui n’est pas souligné.


2 × 3 + 3 × a =+ a 3 × (× ×22 + a )

a × 4 - 3 × 4 = 4 ×× × (-aa - 33 )

à copier

On souligne le facteur commun, on le recopie puis dans la parenthèse on recopie tout ce qui n’est pas souligné.

a × k + b × k = k × (a + b)k × (a + b )× ×a


2 × 3 + 3 × a = 2 + a+ a 3 × (× ×22 + a )

a × 4 - 3 × 4 = a - 34 ×× × (-aa - 33 )

On souligne le facteur commun, on le recopie puis dans la parenthèse on recopie tout ce qui n’est pas souligné.

2 × 5 + c × 5 =

8 × d + 8 × 5 =

e × 7 - 2 × 7 =

2 × f + g × 2 =

h × 3 - 3 × i =

5 × (2 + c)

8 × (d + 5)

7 × (e - 2)

2 × (f + g)

3 × (h - i)

a × k + b × k = k × (a + b)k × (a + b )× ×a

c’est à toi


a × (3 + b) a × (3 + b)a + ab =3 × a + a3a + ab =

a × k + b × k = k × (a + b)k × (a + b )× ×aPlus difficile observe

×3 ×b =


× b = a (3 + b)

a × k + b × k = k × (a + b)k × (a + b )× ×aPlus difficile observe

3 ×a + a

On peut simplifier l’écriture

en ak + bk = k(a + b)

a × k + b × k = k × (a + b)


24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6

2 × 7 + 7a

5a² + ba² =

14 + 7a =

D’autres exemples plus difficiles

ak + bk = k(a + b)

a²(5 + b)

3 + 3a = 3 × 1 + 3a= 3(1 + a)

14 = 2 × 7 = 7(2 + a)

3(

3 = 3 × 1

4a + 24 = 4a + 4 × 6= 4(a + 6)

On choisit 24 = 4 × 6 car dans l’autre

terme de la somme on a le facteur 4 à copier


gd² + 3d² =

15 + 3f =

d²(g + 3)

5 + 5k = 5 × 1 + 5k= 5(1 + k)

3 × 5 + 3f = 3(5 + f)

2u + 30 = 2u + 2 ×15= 2(u + 15)

c’est à toi

5j - 45 = 5j - 5 × 9= 5(j - 9)

7h² - s²h² =

15y - 30 =

h²(7 – s²)

18 + 6t = 6 × 3 + 6t= 6(3 + t)

7 - 7p = 7 × 1 – 7p= 7(1 - p)

20z - 4 = 4 × 5z - 4 ×1= 4(5z - 1)

15y - 2×15= 15(y – 2)


5ab - 5ac =

12a + 4ab =

3r² + 3rj =

a² + 3a =a² = a × a

a × a + 3a= a(a + 3)

Attention, on ne souligne qu’un seul « a » par terme !

D’autres exemples plus difficiles

ak + bk = k(a + b)

5a(b - c)

3 × 4a + 4ab = 4a(3 + b)

3r × r + 3rj = 3r(r + j)

à copier


3tv + 3at =

5rv + 20r =

6dc + 6c² =

g² - 5g = g × g - 5g= g(g - 5)

5rv + 4 × 5r = 5r(v + 4)

3t(v + a)

6dc + 6c × c = 6c(d + c) 5tv + vat =

3r²v + 6r² =

15c + 5c² =

3h² + 5h = 3h × h + 5h= h(3h + 5)

3r²v+2×3r² = 3r²(v + 2)

3×5c+5c×c = 5c(3 + c)

tv(5 + a)

c’est à toi


à suivre …

retour


La double distributivité


Calculons

(70 + 6) × (40 +7) = 76 × 47 = 3 572

70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 = 2 800+490+240+42= 3 572

Les 2 résultats sont égaux donc

(70 + 6) × (40 +7) = 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7

Observe

70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7 70×40 + 70×7 + 6×40 + 6×7

On admet que c’est vrai pour tous les nombres.

Les mathématiques autrement (a + b) (c +d) = ac + ad + bc + bd

Pour tous nombres relatifs a, b, c et d

(a + 3) (2 +d) = a×2 + ad + 3×2 + 3d= 2a + ad + 6 + 3d

(a + 4) (3 +a) = a×3 + aa + 4×3 + 4a= 3a + a² + 12 + 4a= a² + 7a + 12

On développe

On réduit

On développe

On réduit

On groupe et on ordonne

(7 + a) (3 - a) = 7×3 - 7a + a×3 - aa= 21 - 7a + 3a – a²= -a² - 4a + 21

On développe

On réduit

On groupe et on ordonneà copier


c’est à toi

(a + 3)(5 + a) = a×5 + aa + 3×5 + 3a= 5a + a² + 15 + 3a= a² + 8a + 15

(7 - b)(5 + b) = 7×5 + 7b - b×5 - bb= 35 + 7b – 5b – b²= -b² + 2b + 35

(c - 4)(c - 3) = cc - c×3 – 4c + 4×3= c² - 3c – 4c + 12= c² - 7c + 12


FIN


On ajoute les termes en a² et on ajoute les termes en a.

+ 3a

Réduire une somme algébrique c’est l’écrire avec le moins de termes possibles

X = 7a² + 3a -5 + 2a - 3a²

= 7a² - 3a² + 2a -5

On regroupe les termes en a² et en a.

= 4a² + 5a -5Y = 3a + 5 – 7a – 4a² + 6

+ 3a - 7a + 5 + 6= - 4a²

On regroupe les termes en les ordonnant : les termes en a² puis en a.

= -4a² - 4a + 11

1) Réduire une somme algébrique

retour

Calcul littéral


2) La distributivité

(a + b) × k = a × k + b × k(2 + b) × 5 =

(a - 3) × 4 =

(k + 7) × k =

2 × 5 b × 5

a × 4 3 × 4

= 10 + 5b

= 4a - 12

k × k 7 × k= k² + 7k

+

+

-

retour

(3 + h) × (-5) = 3 × (-5)+ h × (-5)= -15 + (-5)h= -15 - 5h


A = 2 × (3 + a)

= 2 × 3 + 2 × a

= 6 + 2a + ( )

= 6 + 2a + 5a - 20

= 7a – 14

Quand on a le signe + devant la parenthèse, on recopie le signe

de chacun des nombres de la

parenthèse.

+ 5 × (a – 4)

+ ( 5 × a – 5 × 4)

5a 20-


B = 3 × (2 - a)

= 3 × 2 + 3 × (-a)

= 6 - 3a – ( 2a 14)

= 6 - 3a = -5a - 8


de la parenthèse.

- 2 × (a + 7)

- ( 2 × a + 2 × 7)

+

-2a - 14


C = 4 × (1 - a)

= 4 × 1 + 4 × (-a)

= 4 - 4a - ( 3a 6)

= 4 - 4a = -7a + 10

- 3 × (a - 2)

- ( 3 × a + 3 × (-2))

-

-3a + 6

retour


3) Factoriser

a × k + b × k = k × (a + b)k

a × k - b × k = k × (a - b)k

2 × 3 + 3 × a = 3 × (2 + a)3

a × 4 - 3 × 4 = 4 × (a - 3)4

On souligne le facteur commun, on le recopie, puis dans la parenthèse, on recopie tout ce qui n’est pas souligné.


3a + ab = a(3 + b)

2 × 7 + 7a

5a² + ba² =

14 + 7a =

(5 + b)

3 + 3a = 3 × 1 + 3a= 3(1 + a)

= 7(2 + a)

4a + 24 = 4a + 4 × 6= 4(a + 6)

On choisit 24 = 4 × 6 car dans l’autre terme de la somme on a le facteur 4.

a²

On écrit 3 sous la forme du produit 3 × 1.

On écrit 14 sous la forme du produit 2 × 7.

retour


5ab - 5ac =

12a + 4ab =

3r² + 3rj =

a² + 3a = a × a + 3a= a(a + 3)

Attention, on ne souligne qu’un seul « a » par terme !

3 × 4a + 4ab = 4a(3 + b)

3r × r + 3rj = 3r(r + j)

5a(b - c)

retour


4) La double distributivité

(a + b) (c +d) = ac + ad + bc + bd

(a + 3) (2 +d) = a×2 + ad + 3×2 + 3d

= 2a + ad + 6 + 3d

On développe

On réduit

(a + 4) (3 +a) = a×3 + aa + 4×3 + 4a

= 3a + a² + 12 + 4a

= a² + 7a + 12

On développe

On réduit


(7 + a) (3 - a) = 7×3 - 7a + a×3 - aa

= 21 - 7a + 3a – a²

= -a² - 4a + 21

On développe

On réduit


Pour tous nombres relatifs a, b, c et d

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