Probl�eme

Partie I

Pour tout entier naturel n; on d�e�nit le polynome Pn par :

Pn =X

0�2k�n

(�1)kC2k+1n+1 (1� x

2)kxn�2k =

E(n2)X

k=0

(�1)kC2k+1n+1 (1� x

2)kxn�2k

1. .

(a) V�eri�er que P0 = 1; P1 = 2x; P2 = 4x2 � 1:

(b) Calculer P3:

2. .

(a) Montrer que :

8n 2 N; 8t 2 R; sin(n+ 1)t = sin t:Pn(cos t) (1)

(On pourra developper (cos t+ i sin t)n+1 et �etudier la partie imaginaire)

(b) En d�eduire que :

8n 2 N; (n2+ 2n)Pn � 3xP 0n� (x2 � 1)P 00

n= 0 (2)

(On pourra d�eriver deux fois la relation (1)

3. .

(a) Montrer que :

8n 2 N; 8t 2 R; sin(n+ 2)t+ sinnt = 2 cos t sin(n+ 1)t

(b) En d�eduire que :

8n 2 N : Pn+1 � 2xPn + Pn�1 = 0 (3)

(c) Montrer ,en utilisant la relation (3),que Pn est un polynome de degr�e n et d�eterminer le

co�e�cient dominant ande P

n:

Partie II

Soit n 2 N; n � 2:On note E = Rn[X ] l'espace vectoriel r�eel des polynomes �a co�e�cients r�eels de

degr�e � n; et B0 = (1; x; : : : ; xn) la base canonique de E:

Soit � l'application qui,�a tout polynome P de E; associe le polynome �(P ) d�e�nie par :

�(P ) = 3xP 0 + (x2 � 1)P 00

1. V�eri�er que � est un endomorphisme de E:

2. .

(a) Pour tout entier k 2 [0; n]; d�eterminer �(xk):

(b) D�eterminer une base de Im�:

(c) D�eterminer une base de ker�:

3. On consid�ere les polynomes P0; : : : ; Pn d�e�nis dans la partie I.

(a) V�eri�er que la famille (P0; : : : ; Pn) est une base de E:

(b) Pour tout entier k 2 [0; n] , d�eterminer �(Pk):(On pourra utiliser la relation (2))

(c) D�eterminer les valeurs propres et les sous espaces propres de �:

(d) Pour tout entier k 2 [0; n]; d�eterminer l'ensemble Sk des polynomes P de E tels que :

�(P ) = Pk

Fin

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