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ALGE01 : Polynômes, fractions rationnelles Cours Octobre 2002

© Cycles Préparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

1

POLYNOMES, FRACTIONS RATIONNELLES

Dans tout le chapitre, K désigne soit l’ensemble R des réels, soit l’ensemble C des complexes.

1 Polynômes.

1.1 Généralités

On appelle monôme toute expression de la forme k

ka X , où ka est un élément de K appelé coefficient du monôme, et X une variable indéterminée.

On appelle polynôme à une indéterminée X sur K l'expression définie par

1 21 2 1 0

n nn nP( X ) a X a X ....... a X a X a , n N−

−= + + + + + ∈ où 0 1 na ,a ,......,a sont des éléments de K appelés coefficients du polynôme ( )P X , et X une variable indéterminée. On utilise aussi la notation

0

nk

kk

P( X ) a X=

= ∑

L’ensemble de tous les polynômes à coefficients dans K se note [ ]K X .

Si 0P ≠ , on appelle degré de P , et on note ( )deg P ou encore d°P, le plus grand entier naturel n tel que 0na ≠ . Le coefficient na est le coefficient du terme de plus haut degré. Une constante non nulle est un polynôme de degré 0. Le polynôme nul n'a pas de degré. Pour tout entier naturel n, l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n et à coefficients dans K se note [ ]nK X .

On appelle fonction polynôme associée au polynôme P l’application

( )K Kx P x→

!

On peut se permettre d’assimiler un polynôme à sa fonction polynôme, et ainsi par exemple dériver un polynôme. Nous le ferons dans ce chapitre.



2

On appelle racine ou zéro d’un polynôme P toute valeur de x telle que ( ) 0P x = .

Le trinôme du second degré à coefficients dans R. C’est un polynôme de la forme ( ) 2T x ax bx c= + + avec ( ) 2*a,b,c R R∈ × . Le coefficient a est donc non nul d’où « second degré » et en général il y a trois termes d’où « trinôme ». Rappelons les résultats essentiels : on pose 2 4b ac∆ = − :

• Si 0∆ > alors il y a deux racines : 1 2bx

a− − ∆

= et 2 2bx

a− + ∆

= : la somme

des racines vaut bSa

= − et le produit cPa

= .

• Si 0∆ = il y a une racine double 0 2bxa

= −

• Si 0∆ < alors on pose ′∆ = −∆ et on a deux racines complexes conjuguées :

1 2b iz

a′− − ∆

= et 2 2b iz

a′− + ∆

= .

1.2 Structure de l’ensemble des polynômes

La somme de deux polynômes, le produit de deux polynômes, et le produit d’un polynôme par un réel sont des polynômes. Plus précisément :

Soit [ ]K X l’ensemble des polynômes à une indéterminée, et pour tout entier naturel

n, [ ]nK X l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

• Si P et Q appartiennent à [ ]K X alors P Q+ appartient à [ ]K X et pour tout

[ ]R, P K Xλ λ∈ ∈

• Si P et Q appartiennent à [ ]nK X alors P Q+ appartient à [ ]nK X et pour tout

[ ]nR, P K Xλ λ∈ ∈ .

On dit alors que [ ]K X et [ ]nK X sont des espaces vectoriels sur K. Cette notion sera étudiée au chapitre suivant.

( ) ( ) ( )= + .deg PQ deg P deg Q

( ) ( ) ( )( )deg P Q max deg P ,deg Q+ ≤

Donc la deuxième propriété ne serait pas vraie si la définition de [ ]nK X était « ensemble des polynômes de degré égal à n ».



3

En effet : si ( ) 2 1P x x x= + + et ( ) 2 2 1Q x x x= − − + alors

( ) ( ) 2P x Q x x+ = − + et ( ) ( ) 4 3 23 2 1P x Q x x x x x= − − − − + , et on a bien

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 2 2deg P Q Max deg P ,deg Q Max ,+ = ≤ = = ,

( ) ( ) ( )=4= + =2+2.deg PQ deg P deg Q Donc :

Soit [ ]K X l’ensemble des polynômes à une indéterminée, et pour tout entier naturel

n, [ ]nK X l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

• Si P et Q appartiennent à [ ]K X alors PQ appartient à [ ]K X

• Si P et Q appartiennent à [ ]nK X alors PQ n’appartient pas nécessairement à

[ ]nK X

1.3 Division euclidienne ou division suivant les puissances décroissantes.

On dit que le polynôme B divise le polynôme A ( ou que A est divisible par B ) s’il existe un polynôme C tel que A BC= . Le polynôme nul est divisible par tout polynôme, mais il ne divise aucun polynôme.

Le polynôme 1( )

2P x x= − divise le polynôme ( ) 2 32 2

2Q x x x= + − car

( )2 3 12 2 2 32 2

x x x x⎛ ⎞+ − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Etant donnés deux polynômes A et B avec 0B ≠ , il existe un couple unique de polynômes ( )Q,R vérifiant :

A BQ R= + et ( ) ( )( )ou 0deg R deg B R< = .

Commençons par montrer l’existence. • Si d A d B<" " alors 0Q ,R A= = conviennent.

• Si d A d B≥" " on note nna X le monôme de plus haut degré de A et m

mb X celui

de B ; on pose 1

nn

mm

a XQb X

= et 1R A BQ= − . On a 1d R d A<" " .

• Si 1d R d B<" " alors 1 1Q Q ,R R= = conviennent.

• Si 1d R d B≥" "



4

Alors on appelle 2Q le quotient des monômes de plus haut degré de 1R et de B.

On pose 2 1 2R R BQ= − et on a 2 1d R d R<" " .

• Si 2d R d B<" " alors 2 2Q Q ,R R= = conviennent

• Si 2d R d B≥" " on recommence … on obtient une suite strictement

décroissante 1 2 3 nd R d R d R .... d R> > > >" " " " qui se termine

forcément par nR tel que nd R d B<" " . Montrons à présent l’unicité. Supposons qu’il existe deux couples ( )Q,R et ( )1 1Q ,R tels que

1 1 1 1

A BQ R,d R d B

A BQ R ,d R d B

= + <

= + <

" "

" "

On a alors ( ) ( )1 1 1B Q Q R R d R R d B− = − ⇒ − ≥" " ; or d’autre part

( ) ( )1 1d R R max d R ,d R d B− ≤ <" " " " contradiction. Donc le couple ( )Q,R est

unique.

A est le dividende, B est le diviseur. Le polynôme Q est le quotient de la division euclidienne de A par B. Le polynôme R est le reste de la division euclidienne de A par B. Si 0R = , alors A est divisible par B (ou encore B divise A).

Considérons la division euclidienne du polynôme ( ) 3 1A x x x= + + par

( ) 2 1B x x x= + + . Le quotient ( )Q x est donné par ( ) 1Q x x= − et le reste ( )R x par

( ) 2R x x= + . On a donc

( ) ( ) ( )( )3 21 1 1 2A x x x x x x x= + + = + + − + +

Disposition pratique de la division :

3 1x x+ + 2 1x x+ +

3 2x x x− − − 1x −

2 1x− + 2 1x x+ +

2x +



5

Un polynôme est dit irréductible s’il est de degré au moins égal à 1 et s’il n’est divisible que par lui-même.

ALGE01E01A

Effectuer la division euclidienne de 3 2 3x x x+ − − par 2x − .

1.4 Racine d’un polynôme. Ordre de multiplicité.

Soit a un élément de K et P un polynôme de [ ]K X .

Alors a est une racine de P si et seulement si P est divisible par ( )x a− .

Soit k N∈ et P un polynôme de [ ]K X .

Un nombre a est racine d'ordre k de P si et seulement si ( )P x est divisible par

( )kx a− , mais pas par ( ) 1kx a +− . Le nombre entier k est l'ordre de multiplicité du zéro a de P. Une racine simple est une racine d'ordre 1. Une racine double est une racine d'ordre 2.

Le polynôme ( ) 2 6P x x x= + − admet 2 et –3 comme racines simples (d’ordre 1). Il

peut s’écrire sous la forme ( ) ( )( )2 6 2 3P x x x x x= + − = − + ; il est donc divisible

par ( )2x − et par ( )3x + .

Le polynôme ( ) 4 3 210 21 16 4P x x x x x= − + − + admet 1 et 2 comme racines doubles (d’ordre 2). Il peut s’écrire sous la forme ( ) ( ) ( )2 24 3 210 21 16 4 1 2P x x x x x x x= − + − + = − − ; il est donc divisible par

( )21x − et par ( )22x − .

Soit a K∈ et [ ]P K X∈ . Soit *k N∈ . Le nombre a est une racine d’ordre k de P si et seulement si les deux conditions suivantes sont réalisées : 1) ( )0 0hh N , h k ,P a∀ ∈ ≤ < =

2) ( ) ( ) 0kP a ≠ .



6

1) Si a est racine d’ordre k alors ( )kP x a Q= − avec ( ) 0Q a ≠ . On en déduit

( ) ( )1k kP k x a Q x a Q−′ ′= − + − qui est bien nul si x a= . Comme ( ) 0Q a ≠ et

( ) 0hx a− = lorsque 0h > , la dérivée d’ordre h s’annulera en a jusqu’à ce que

1h k= − . Ensuite on aura ( ) ( ) 0kP a ≠ . 2) Réciproquement, supposons le polynôme de degré n. La formule de Taylor

permet d’écrire

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )11

1

k k nk k nP a P a P a

P x x a x a ... x ak ! k ! n!

++= − + − + + −

+ et on peut

mettre ( )kx a− en facteur d’un polynôme ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1

1

k k kn kP a P a P a

Q x a ... x ak ! k ! k !

+−= + − + + −

+ qui ne s’annule pas en

a puisque ( ) ( ) 0kP ak !

≠ . Donc a est une racine d’ordre k de P.

( )( )( )

3

2

3 2

3 3

6

P x x x

P x x

P x x

= − +

′ = −

′′ =

On a ( ) ( )1 1 0P P′= = mais ( )1 0P′′ ≠ donc 1 est un zéro d’ordre 2 de P.

Un polynôme P est divisible par un polynôme Q si toutes les racines de Q sont aussi racines de P avec au moins le même ordre de multiplicité.

Le polynôme ( ) ( ) ( )21 2Q x x x= + + divise le polynôme ( ) ( ) ( )2 2

1 1 2P x x x= + +

mais pas le polynôme ( ) ( )( )32 1 2P x x x= + + .

ALGE01E02A

Soit le polynôme ( ) 4 3 25 13 19 10P x x x x x= − + − + .

Calculer ( )1P puis ( )2P .

En déduire la factorisation du polynôme dans [ ]R X puis [ ]C X .



7

1.5 Factorisation des polynômes à coefficients réels.

1.5.1 Théorème de D’Alembert.

Tout polynôme de [ ]C X de degré 1n ≥ admet au moins une racine complexe. On en déduit :

Tout polynôme ( )P x à coefficients complexes, de degré 0n > , admet exactement n racines complexes, chacune étant comptée avec son ordre de multiplicité et s'écrit

( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 1 2avecp

n p pP x a x x x x .... x x .... nαα α α α α= − − − + + + = .

Les valeurs 1 2 px ,x ,....x sont des nombres complexes tous distincts.

On a donc décomposé ( )P x en produit de polynômes irréductibles.

( ) ( )( ) ( )( )( )( )4 2 21 1 1 1 1P x x x x x x x i x i= − = − + = − + − +

Ces deux théorèmes sont admis.

1.5.2 Cas où les coefficients sont réels.

Si un polynôme ( )P x à coefficients réels admet le nombre complexe z C R∈ −

pour racine, alors le conjugué z de z est aussi racine, avec le même ordre de multiplicité.

Ecrivons ( ) 1

1 1 0...n nn nP x a x a x a x a−

−= + + + + avec des coefficients 0 1, ,..., na a a réels. Comme z est racine de P :

11 1 0... 0n n

n na z a z a z a−−+ + + + =

Prenons le conjugué de chacun des membres de l’égalité : 1

1 1 0... 0 0n nn na z a z a z a−

−+ + + + = =

Utilisons les propriétés des conjugués : ( ), ,nnz z z z zz zz z z′ ′ ′ ′+ = + = = ainsi que

a R a a∈ ⇒ = : il vient



8

( ) ( ) 1

1 1 0... 0n n

n na z a z a z a−

−+ + + + =

ce qui prouve que z est également racine de P.

Ce résultat serait faux dans [ ]C X : par exemple le polynôme

( ) ( )( )2 1 2 1 2x i x i x i x i+ − + + = − − + a deux racines complexes absolument pas conjuguées.

Le polynôme ( ) 2 2 5P x x x= − + à coefficients réels admet 1 2i+ et donc 1 2i− comme racines simples (d’ordre 1). Il peut s’écrire sous la forme ( ) ( )( )2 2 5 1 2 1 2P x x x x i x i= − + = − − − + .

On peut regrouper deux à deux les racines complexes non réelles de P. Tout polynôme à coefficients réels se factorise sous la forme ( ) ( ) ( ) ( )1 21

1 1 2rk m m mnn

k rP x ( x a ) ......( x a ) T x T x ...T x= − − où les iT sont des trinômes du second degré à discriminant strictement négatif. On en déduit aussi : • Les polynômes irréductibles de [ ]C X sont de degré 1.

• Les polynômes irréductibles de [ ]R X sont de degré 1 ou des trinômes de degré 2 à discriminant strictement négatif.

Tout polynôme de degré impair à coefficients réels admet au moins une racine dans R. En effet, la fonction polynôme st continue, 2 1nx + tend vers +∞ si x →+∞ et

2 1nx + tend vers −∞ si x →−∞ donc la fonction s’annule au moins une fois.

1.6 Division suivant les puissances croissantes.

Etant donné un entier naturel h et deux polynômes ( )A x et ( )B x avec ( )0 0B ≠ , il

existe un couple unique de polynômes ( ) ( )( )Q x ,R x vérifiant :

( ) ( ) ( ) ( )1hA x B x Q x x R x+= + et ( ) ( )( )ou 0deg Q h R x≤ = .

Le polynôme ( )Q x est le quotient de la division de ( )A x par ( )B x suivant les

puissances croissantes jusqu'à l'ordre h et le polynôme ( )R x le reste de la division

de ( )A x par ( )B x suivant les puissances croissantes jusqu'à l'ordre h.



9

Disposition pratique de l’opération.

Déterminons le quotient de la division du polynôme suivant les puissances croissantes jusqu'à l'ordre 2 du polynôme ( ) 5 4 3 22 4A x x x x x= + + + + par

( ) 3 2B x x= + .

2 3 4 54 2x x x x+ + + + 32 x+

34 2x− − 22 x+

2 3 4 52x x x x− + + 2 52x x− −

3 4x x− +

Le quotient ( )Q x est alors donné par ( ) 2 2Q x x= + et le reste ( )R x par

( ) ( )3 1R x x x= − . On a donc

( ) ( )( ) ( )5 4 3 2 3 2 32 4 2 2 1A x x x x x x x x x= + + + + = + + + − .

Cette division ne se termine jamais ! C’est pour cela qu’on indique « jusqu’à l’ordre n… » et on sait alors que le reste est constitué de monômes de degré au moins 1n + .

ALGE01E03A Effectuer la division suivant les puissances croissantes à l’ordre 3 de ( ) 22 3 2A x x x= + − par ( ) 2 31 2B x x x= + − .



10

2 Fractions rationnelles

2.1 Généralités

2.1.1 Définition

Considérons deux polynômes P et Q ( 0Q ≠ )

On appelle fraction rationnelle F le quotient de P par Q et on note PFQ

= .

On appelle fonction rationnelle ( )F x le quotient de la fonction polynôme ( )P x par

la fonction polynôme ( )Q x et on note ( ) ( )( )

P xF x

Q x= .

2.1.2 Pôle d'une fraction rationnelle.

Soit a un nombre réel ou complexe.

On dit qu'un nombre a est un zéro d'ordre k de ( ) ( )( )

P xF x

Q x= si et seulement si a est

un zéro d'ordre k de ( )P x et a n'est pas un zéro de ( )Q x .

On dit qu'un nombre a est un pôle d'ordre k de ( ) ( )( )

P xF x

Q x= si et seulement si a est

racine d'ordre k de ( )Q x .

1) ( ) ( )22

11

xF x

x−

=+

, 1 est zéro d’ordre 2 ; la fraction admet i et –i comme pôles dans

C, mais n’a pas de pôles réels.

2) ( )( )

2

21

1xF xx+

=−

, i et –i sont des zéros dans C, mais la fraction n’a pas de zéros

dans R ; 1 est pôle d’ordre 2.

3) La fraction rationnelle ( )2

33xF x

x−

= admet 3 et 3− comme zéros (simples)

et 0 comme pôle d’ordre 3.



11

2.1.3 Partie entière d'une fraction rationnelle.

Soit PFQ

= . Effectuons la division euclidienne de P par Q : il existe un couple

unique de polynômes ( )E,R tel que :

( ) ( )

P QE Rdeg R deg Q= +⎧⎪

⎨ <⎪⎩

Donc

( ) ( ) ( )( )

R xF x E x

Q x= +

( )E x est appelée la partie entière de ( )F x .

si ( ) ( )deg P deg Q< alors ( ) 0E x = .

1) La fraction rationnelle ( )5

33xF x

x−

= admet 2x comme partie entière ; elle peut

s’écrire sous la forme ( )5

23 3

3 3xF x xx x−

= = − .

3) ( )3 2

22 2 1

1x x xF x

x+ − +

=+

D’où ( )( )( )23 2

2 2 2

2 1 3 22 2 1 3 221 1 1

x x xx x x xF x xx x x

+ + − −+ − + += = = + −

+ + +

Nous allons dans la suite du cours essayer de décomposer F en somme de fractions plus simples. L’intérêt est de pouvoir • Calculer plus facilement des valeurs • Déterminer la dérivée, des primitives • Trouver les éventuelles limites au voisinage de réels ou de +∞ . Or, une fois la partie entière déterminée, on a écrit F comme la somme d’un

polynôme E et d’une fraction rationnelle RQ

avec ( ) ( )deg R deg Q< .

Donc il nous suffit de pratiquer cette décomposition sur des fractions dont le numérateur a un degré strictement inférieur au dénominateur. C’est ce que nous supposons désormais.



12

2.2 Décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples de première espèce.

On suppose que le dénominateur de la fraction rationnelle peut se factoriser sous la forme

( ) ( ) ( )1 21 2

pkk kpx a x a .... x a− − −

où 1 2 pa ,a ,...a sont des nombres complexes distincts et 1 2 pk ,k ,...k des entiers naturels non nuls. On va s’occuper séparément de chacun des pôles 1 2 pa ,a ,...a .

Considérons la fraction ( )( )

2

33

1xF xx+

=−

.

On souhaite écrire cette fraction comme une somme de fractions plus simples, de dénominateurs égaux à des puissances de ( )1x − avec des exposants 3≤ , et de numérateurs constants.

( )( ) ( )3 2 11 1

A B CF xxx x

= + +−− −

.

Un théorème permet d’affirmer l’existence, et l’unicité, de cette décomposition.

Soit F une fraction rationnelle et a un pôle de F d’ordre k, *k N∈ . On appelle partie principale de la fraction rationnelle F relative au pôle a d'ordre k, l'expression

1 11

k kk k

A A A........ x a( x a ) ( x a )

−−+ + +

−− − où 1 2 kA ,A ,.....,A sont des constantes de K.

Soit PF

Q= une fraction rationnelle dont le dénominateur se factorise en

( ) ( ) ( ) ( )1 21 2

pkk kpQ x x a x a .... x a= − − − et telle que d P d Q° °< .

Il existe une décomposition unique de F sous la forme 1 2 pF F F ... F= + + +

avec pour chaque iF la formule

( ) 1 11

k ki k k

ii i

A A AF x ........ x a( x a ) ( x a )

−−= + + +

−− −

On dit que l’on a décomposé F en éléments simples de première espèce. Cette décomposition est toujours possible dans C d’après le théorème de d’Alembert.

Admise.



13

Comment déterminer pratiquement la partie principale relative à un pôle ?

Supposons que la fraction rationnelle ( ) ( )( )

P xF x

Q x= admette un pôle a d'ordre k.

( )Q x est donc de la forme ( ) ( ) ( )1kQ x x a Q x= − , ( )1 0Q a ≠ .

Pour obtenir la partie principale relative au pôle a, on pose h x a x a h= − ⇔ = + et on effectue la division suivant les puissances croissantes de ( )P x a− par ( )1Q x a− jusqu’à l’ordre 1k − .

( )( )

2

33

1xF xx+

=−

Il y a un seul pôle d’ordre 3 qui est 1a = . On pose 1 1h x x h= − ⇔ = + et on transforme la fraction :

( )2

34 2h hF x

h+ +

=

Ensuite on effectue la division de 24 2h h+ + par 3h suivant les puissances croissantes. On repasse ensuite à la variable x :

( )( ) ( )

2

3 3 2 3 24 2 4 2 1 4 2 1

11 1h hF x

h xh h h x x+ +

= = + + = + +−− −

Il existe une autre méthode très sympathique : l’identification. On sait que la décomposition sera de la forme

( )( ) ( )3 2 11 1

a b cF xxx x

= + +−− −

24 2h h+ + 3h

-4 3 2

4 2 1h h h+ +

22h h+ 2h−

2h



14

On réduit la somme des fractions au même dénominateur et on identifie le nouveau numérateur avec 2 3x + pour déterminer a, b et c.

Ici ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2

3 3 3

1 1 2 31 1 1

a b x c x cx b c x a b c xF xx x x

+ − + − + − + − + += = =

− − −

On en déduit 12 0

3

cb ca b c

=⎧⎪ − =⎨⎪ − + =⎩

et finalement 4, 2, 1a b c= = = .

( )( ) ( ) ( )

2

3 3 23 4 2 1

11 1 1xF x

xx x x+

= = + +−− − −

2.3 Décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples de seconde espèce.

Supposons maintenant que le polynôme soit à coefficients dans R, et que le dénominateur ne se factorise plus aussi simplement que

( ) ( ) ( )1 21 2

pkk kpx a x a .... x a− − −

Il peut en effet apparaître des facteurs irréductibles du second degré, c’est-à-dire des polynômes 2x px q+ + avec 2 4 0p q∆ = − < . On va d’abord envisager le cas où il n’y a que des facteurs du second degré au dénominateur.

Soit F une fraction rationnelle dont le dénominateur se factorise en ( ) 12 2

1 1mll

m mQ x ( x p x q ) ....( x p x q )= + + + + Il existe une décomposition unique de F sous la forme

1 2 mF G G ... G= + + + avec pour chaque iG la formule

( ) 1 1 1 12 2 1 2

k k k ki k k

A x B A x B A x BG x ........ ( x px q ) ( x px q ) x px q

− −−

+ + += + + +

+ + + + + +

On dit que l’on a décomposé F en éléments simples de deuxième espèce.

Admise.

( )( )

4 3 2

32

2 2 4 3

1

x x xF xx

− + +=

+



15

Ici la partie entière est nulle car le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur. On sait d’après le théorème que la fraction va se décomposer en

( )( ) ( ) ( )

3 3 2 2 1 13 2 22 2 11 1

A x B A x B A x BF xxx x

+ + += + +

++ +

Pour déterminer les coefficients i iA ,B on effectue les divisions euclidiennes

successives de ( )F x par 2 1x + .

4 3 22 2 4 3x x x− + + 2 1x + 4 22 2x x− − 22 2 2x x− + 2 1x +

22 2x− − 2 3 22 2 3x x− + +

22 2x x+ 2x−

22 2 3x x+ + 22 2x− −

2 1x + La première division euclidienne se traduit par

( )( ) ( )4 3 2 2 22 2 4 3 1 2 2 2 2 1x x x x x x x− + + = + − + + + Et comme ensuite ( )2 22 2 2 2 1 2x x x x− + = + − , en injectant cette égalité dans la précédente on obtient

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )24 3 2 2 2 2 22 2 4 3 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1x x x x x x x x x x x⎡ ⎤− + + = + + − + + = + − + + +⎣ ⎦

On divise à présent par ( )32 1x + :

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22 24 3 2

3 3 2 2 32 2 2 2

2 1 2 1 2 12 2 4 3 2 2 2 111 1 1 1

x x x xx x x x xF xxx x x x

+ − + + +− + + += = = − +

++ + + +

Autre méthode possible On effectue la décomposition en éléments de première espèce sur C, puis on regroupe les termes conjugués pour revenir dans R.

( )( ) ( ) ( )

3 3

2 2 22

2 2

1

x x x xF xx i x ix

+ += =

− ++

On peut écrire la décomposition dans C sous la forme



16

( )( ) ( ) ( ) ( )2 2

a b c dF xx i x ix i x i

= + + +− +− +

Pour obtenir la partie relative au pôle i on pose h x i x i h= − ⇔ = + et on effectue la division suivant les puissances croissantes à l’ordre 2 de ( ) ( )3 2i h i h+ + + par

( )22i h+ : on obtient ....4 2i h

− + + donc 1,4 2ia b= − = .

Pour trouver c et d on peut recommencer une division ou remarquer que –i est le

conjugué de i : donc 4ic a= = et 1

2d b= = .

Finalement ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 14 2 4 2i i

F xx i x ix i x i

−= + + +

− +− +

On regroupe ensuite les fractions en ( )2x i− et ( )2x i+ ensemble, ainsi que les

fractions en ( )x i− et ( )x i+ :

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

2 2

2 2

1 14 4 2 2i ix i x i x i x i

F xx i x ix i x i

− + + − + + −= +

− +− +

ce qui après simplification s’écrit

( )( )2 22 11

x xF xxx

= +++

.

Finalement, dans le cas général on admet que :

Soit F une fraction rationnelle dont le dénominateur se factorise en ( ) 1 12 2

1 1 1n mk lk l

n m mQ x ( x a ) ......( x a ) ( x p x q ) ....( x p x q )= − − + + + + Il existe une décomposition unique de F sous la forme

1 2 1 2n mF F F ... F G G ... G= + + + + + + + avec pour chaque iF la formule

( ) 1 11

k ki k k

ii i

A A AF x ........ x a( x a ) ( x a )

−−= + + +

−− −

et pour chaque iG la formule

( ) 1 1 1 12 2 1 2

k k k ki k k

A x B A x B A x BG x ........ ( x px q ) ( x px q ) x px q

− −−

+ + += + + +

+ + + + + +

Cette décomposition est unique.



17

2.4 Méthodes pratiques de décomposition.

2.4.1 Cas général.

Si ( ) ( )deg P deg Q≥ , on cherche la partie entière de ( ) ( )( )

P xF x

Q x= ; celle-ci

s'obtient en calculant le quotient de la division euclidienne de ( )P x par ( )Q x . Une

fois que ( )E x est calculée, ( ) ( )F x E x− est une nouvelle fraction rationnelle

( ) ( )( )

11

1

P xF x

Q x= avec ( ) ( )1 1deg P deg Q< .

2.4.2 Décomposition en éléments simples de première espèce.

• Pôle simple.

Si a est un pôle simple de ( )F x alors ( )Q x se met sous la forme

1 1avec 0Q( x ) ( x a )Q ( x ) Q ( a )= − ≠

et la partie principale relative à a se met sous la forme 1

avec P( a )x a Q ( a )λ λ =−

.

Ainsi, ( )F x est de la forme ( ) ( )1

B xF x

x a Q ( x )λ

= +−

.

De manière pratique, pour déterminer le coefficient λ , on multiplie les deux

membres de ( ) ( )( )

P xF x

Q x= par ( )x a− , c’est-à-dire

( ) ( ) ( )1

P xx a F x

Q ( x )− =

et on fait x a= .

Décomposer en éléments simples dans R la fraction rationnelle

( )2 1

1 2 3x xF x

( x )( x )( x )+ +

=+ + +

.

La partie entière est nulle, puisque le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur. Il n'y a que des pôles réels et donc des éléments simples de première espèce. La décomposition de ( )F x en éléments simples est de la forme :

( ) ( ) ( ) ( )2 1

1 2 3 1 2 3x x A B CF x

( x )( x )( x ) x x x+ +

= = + ++ + + + + +

où A, B et C sont des nombres réels à déterminer.



18

En considérant la fraction rationnelle associée et en remplaçant

x par −1 dans ( ) ( )1x F x+ , on obtient 12

A = .

En remplaçant x par −2 dans ( ) ( )2x F x+ , on obtient 3B = − .

En remplaçant x par −3 dans ( ) ( )3x F x+ , on obtient 72

C = .

La décomposition est donc :

( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 3 7

1 2 3 2 1 2 2 3x xF x

( x )( x )( x ) x x x+ +

= = − ++ + + + + +

.

Considérons la fraction rationnelle ( ) ( )( )3

1 2xF x

x x=

+ +.

La partie entière est non nulle, puisque le degré du numérateur 3 est supérieur au degré du dénominateur 2. On la détermine par division euclidienne : on développe ( )( ) 21 2 3 2x x x x+ + = + +

et ( )( ) ( )3 23 3 2 7 6x x x x x= − + + + + .

Donc ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )3 7 63 3

1 2 1 2 1 2x x A BF x x x

x x x x x x+

= = − + = − + ++ + + + + +

Calculons la partie principale relative au pôle simple –1.

On multiplie par ( )1x + et on fait 1x = − : alors ( )( )

311

1 2A

−= = −

− +.

On multiplie par ( )2x + et on fait 2x = − : alors ( )( )

328

2 1B

−= =

− +.

On a ainsi ( ) ( )( ) ( ) ( )3 1 83

1 2 1 2xF x x

x x x x= = − − +

+ + + +.

ALGE01E04A

Décomposer en éléments simples dans [ ]R X la fraction

( )3 2

22 3

3 2x x xF x

x x− − −

=− +

• Pôle multiple

Si 0 est pôle multiple d'ordre n alors ( ) ( )( )

( )( ) 1

1et 0 0n

P x P xF x Q ( )

Q x x Q x= = ≠ . Les

coefficients de la décomposition relative au pôle 0 sont ceux de la division suivant



19

les puissances croissantes de ( )P x par ( )1Q x à l'ordre 1n − (on obtient les coefficients à l'envers).

Décomposer en éléments simples dans R la fraction rationnelle ( ) 3

11

F xx ( x )

=−

.

La partie entière est nulle, puisque le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur. Le dénominateur de ( )F x admet deux pôles réels : 0 est un pôle triple et 1 pôle simple La décomposition de ( )F x en éléments simples est de la forme :

( ) 31 23 3 2

111

AA A BF xx xx ( x ) x x

= = + + +−−

où 1 2 3A ,A ,A et B sont des nombres réels à déterminer. En considérant la fraction rationnelle associée et en remplaçant x par 1 dans ( ) ( )1x F x− , on obtient 1B = . Le pôle triple étant le réel 0, il n'y a pas lieu d'effectuer de changement de variable. On forme la division suivant les puissances croissantes de 1 par 1 x− + jusqu'à l'ordre 2 ;

2 31 1 1( x )( x x ) x= − + − − − +

d’où par division par 3 1x ( x )− , on obtient

( ) 3 3 21 1 1 1 1

11F x

x xx ( x ) x x= = − − − +

−−

et donc 1 2 31 1 et 1A , A A= − = − = − (On retrouve la valeur 1B = ).

Si 0a ≠ est pôle multiple d'ordre 1n > , on effectue d'abord le changement de variable (on dit parfois la « translation ») h x a= − et on se ramène au cas précédent en effectuant la division suivant les puissances croissantes de P( h ) P( x a )= + par

1 1Q ( h ) Q ( x a )= + à l'ordre 1n − . Si l'ordre de multiplicité est 2 ou 3, on procède par identification en remplaçant x par une valeur particulière (en évitant les pôles) ou en multipliant par x et en faisant tendre x vers l'infini (ce n'est possible que si la partie entière est nulle).


( )2

2 31

1 1xF x

( x ) ( x )+

=− +

.

La partie entière est nulle. Le dénominateur de ( )F x admet deux pôles réels : 1 est un pôle double et −1 pôle triple.



20

La décomposition de ( )F x en éléments simples est de la forme :

( )2

31 2 1 22 3 2 3 2

11 11 1 1 1 1

Bx A A B BF xx x( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x )

+= = + + + +

− +− + − + +

où 1 2 1 2 3A ,A ,B ,B et B sont des nombres réels à déterminer. Pour le pôle réel double 1, on effectue la translation 1x h= + et on effectue la division suivant les puissances croissantes de

2 2 21 1 1 2 2x ( h ) h h+ = + + = + + par 3 3 2 31 2 8 12 6( x ) ( h ) h h h+ = + = + + + Le quotient de la division suivant les puissances croissantes de

2 2 3 12 2 par 8 12 6 à l ordre 1 est4 8

hh h h h h ′+ + + + + −

d’où par division par 2 32h ( h )+ , 2

2 3 22 2 1 1

82 4h h ......

hh ( h ) h+ +

= − ++

1 21 1et donc et4 8

A A= = −

Pour le pôle réel triple −1, on effectue la translation 1x k= − + et on effectue la division suivant les puissances croissantes de

2 2 21 1 1 2 2x ( k ) k k+ = − + + = − + par 2 2 21 2 4 4( x ) ( k ) k k− = − + = − + Le quotient de la division suivant les puissances croissantes de

22 2 12 2 par 4 4 à l ordre 2 est

2 8kk k k k ′− + − + +

d’où par division par 3 22k ( k )− 2

3 2 32 2 1 1

82 2k k ......

kk ( k ) k− +

= + +−

1 2 31 1et donc 0 et2 8

B , B B= = =

Par conséquent,

( )2

2 3 2 31 1 1 1 1

8 1 8 11 1 4 1 2 1xF x

( x ) ( x )( x ) ( x ) ( x ) ( x )+

= = − + +− +− + − +

ALGE01E05A


( )( )( )3

271 2

F xx x

=+ −



21

2.4.3 Décomposition en éléments simples de seconde espèce.

Pour déterminer les éléments simples de la forme 2 1m mm

M x N , m( x px q )

+>

+ +, en

multipliant par 2 m( x px q )+ + et en remplaçant x par la racine complexe, en identifiant partie réelle et partie imaginaire des deux membres, on obtient un système de deux équations à deux inconnues sur m mM et N qui permet de calculer ces deux coefficients.

On considère alors la fraction rationnelle ( ) 2m m

mM x NF x

( x px q )+

−+ +

que l'on simplifie,

puisqu'il y a unicité de la décomposition en éléments simples.

On calcule alors les coefficients du terme 1 12 1

m mm

M x N( x px q )

− −−

+

+ + en utilisant la méthode

précédente, c'est la méthode de diminution du degré. Cas particulier : S'il n'y a que des pôles complexes, c'est-à-dire si la fraction rationnelle se présente

sous la forme ( ) ( )2 m

P xF x

( x px q )=

+ + , on effectue les divisions euclidiennes

successives de ( )P x (puis des différents quotients) par 2x px q+ +


( )6

2 22

1 1xF x

( x )( x )+

=− +

.

1 est pôle simple et i et i− sont pôles doubles. Comme le degré du numérateur est 6 et le degré du dénominateur 5, il existe une partie entière de degré 1 : on l’obtient par division euclidienne du numérateur par le dénominateur et vaut ( ) 1E x x= + . La décomposition est de la forme

( )6

2 2 2 2 22 1

11 1 1 1x A ax b cx dF x x

x( x )( x ) ( x ) x+ + +

= = + + + +−− + + +

Le coefficient A est obtenu en multipliant par 1x − et en faisant 1x = ; 34

A = .

La fraction 2 2 21 1ax b cx d

( x ) x+ +

++ +

peut être calculée par la différence

( ) ( )6

2 22 31

4 11 1x x

x( x )( x )+

− + −−− +

.

On trouve ainsi

( )3 2

2 2 2 22

7 7 9 91 1 4 1

ax b cx d x x x( x ) x x

+ + − − − −+ =

+ + +



22

La division de 3 27 7 9 9x x x− − − − par 2 1x + suivant les puissances décroissantes donne

( ) ( ) ( )3 2 27 7 9 9 1 7 1 2 1x x x x x x− − − − = + − + − +⎡ ⎤⎣ ⎦ .

On en déduit, en divisant par ( )224 1x + :

( ) ( ) ( )2 2 2 22 2

1 7 71 4 11 2 1

ax b cx d x xx xx x

+ + + ++ = − −

+ ++ +

d’où

( ) ( )6

2 2 2 2 22 3 1 7 71

4 11 1 2 1 4 1x x xF x x

x( x )( x ) ( x ) ( x )+ + +

= = + + − −−− + + +

.

ALGE01E06A


( )( )

5

32 1

xF xx x

=+ +

ALGE01 : Polynômes, Fractions rationnelles Exercices supplémentaires Mai 2003

Cycles Préparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL. Isabelle HENROT

ALGE01S01

1) Soit 3( m,n, p ) N∈ , montrer que 2 1X X+ + divise 3 2 3 1 3m n pX X X+ ++ + dans [ ]C X .

2) Factoriser dans [ ]R X le polynôme ( ) 5 4 3 23 4 4 3 1Q x x x x x x= + + + + + .

ALGE01S02 Décomposer en éléments simples dans [ ]R X la fraction

( )2

5 4 3 2

33 4 4 3 1

xF xx x x x x

+=

+ + + + +

ALGE01 : Polynômes, fractions rationnelles Exercices Mai 2003


ALGE01E01B

Soit P un polynôme dont le reste de la division euclidienne par 1( x )− est 4− et par 2( x )− est 3 . Quel est le reste de la division euclidienne de P par 1 2( x )( x )− − ?



ALGE01E01C Déterminer le reste de la division de

22 1 1n nA ( x ) ( x )= − + − +

par 21 2B ( x ) ( x )= − −



ALGE01E02B

Montrer que le polynôme 4 22 8 5P( x ) x x x= + − + admet une racine double. En déduire la décomposition en produit de polynômes irréductibles dans [ ]R X .



ALGE01E02C

Déterminer l'ordre de multiplicité de la racine 1 du polynôme P de [ ]R X

5 4 3 25 14 22 17 5P( x ) x x x x x= − + − + −



ALGE01E03B

Effectuer la division suivant les puissances croissantes à l’ordre 4 de ( ) 4A x = par

( ) ( )22B x x= − .



ALGE01E05B


( )( )22

4

1F x

x=

−



ALGE01E06B


( ) ( )2

4 3

11 1x

x x+

− +

ALGE01 : Polynômes, fractions rationnelles Solutions Mai 2003


1

ALGE01E01A

3 2 3x x x+ − − 2x −

3 22x x− + 2 3 5x x+ +

23 3x x− − 23 6x x− +

5 3x −

5 10x− + 7

( )( )3 2 23 2 3 5 7x x x x x x+ − − = − + + +

Le dividende est 3 2 3x x x+ − − , le diviseur est 2x − , le quotient 2 3 5x x+ + et le reste 7. Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de cliquer sur Exercice



2

ALGE01E01B ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )

1

2

1 4

2 3

1 2

P x Q x x

P x Q x x

P x Q x x x R x

= − −

= − +

= − − +

avec ( )R x ax b= + puisque 1d R ≤o .

( ) ( )( ) ( )1 1 4

2 2 2 3

P R a b

P R a b

= = + = −

= = + =

On résout le système ( )7 11 7 11a ,b R x x= = − ⇒ = −

Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de cliquer sur Exercice



3

ALGE01E01C

( ) ( )( ) ( )

2

2

2 1 1

1 2

n nA x x

B x x

= − + − +

= − −

Si 0n = ou si 1n = le polynôme est de degré 2 et le reste est A. Sinon, on écrit 0, 2A BQ R d R= + ≤ . Il faut donc trouver 3 réels a,b,c tels que 2R ax bx c= + + . ( ) ( )( ) ( )1 1 1

2 2 1

A R

A R

= =

= =

On dérive : ( ) ( )1 1 2A B Q BQ R A R n′ ′ ′ ′ ′ ′= + + ⇒ = = − On a donc le système :

24 2 22 2

a b ca b ca b n

+ + = + + = + = −

qui fournit 2 , 6 , 2 4a n b n c n= = − = + . Donc 22 6 2 4R nX nX n= − + + . Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de contacter votre tuteur



4

ALGE01E02A

( ) ( )1 0 2 0P ,P= = donc on peut diviser P par le produit ( )( ) 21 2 3 2x x x x− − = − + .

La division donne ( ) ( )( )2 23 2 2 5P x x x x x= − + − +

Le trinôme 2 2 5x x− + a un discriminant négatif donc il est irréductible dans [ ]R X .

En revanche on peut le factoriser dans [ ]C X : ( )( )2 2 5 1 2 1 2x x x i x i− + = − + − − . Donc : • Dans [ ]R X on a ( ) ( )( )( )21 2 2 5P x x x x x= − − − +

• Dans [ ]C X on a ( ) ( )( )( )( )1 2 1 2 1 2P x x x x i x i= − − − + − − . Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de cliquer sur Exercice



5

ALGE01E02B

( ) 34 4 8P x x x′ = + − a une racine évidente 1 qui est aussi racine de P donc au moins

racine double. On effectue la division euclidienne de P par ( )21x − : ( ) ( ) ( )2 21 2 5P x x x x= − + + .

Le polynôme 2 2 5x x+ + étant irréductible sur R, la décomposition sur [ ]R X est terminée. Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de cliquer sur Exercice



6

ALGE01E02C

( )1 0P =

( ) ( )4 3 25 20 42 44 17 1 0P x x x x x P′ ′= − + − + ⇒ =

( ) ( )3 220 60 84 44 1 0P x x x x P′′ ′′= − + − ⇒ =

( ) ( )260 120 84 1 0P x x x P′′′ ′′′= − + ⇒ ≠ On en déduit que 1 est racine triple de P. Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de contacter votre tuteur



7

ALGE01E03A

22 3 2x x+ − 2 31 2x x+ −

22 6 4x x− − + 2 32 3 4x x x+ − +

2 33 4 4x x x− +

3 43 3 6x x x− − +

2 3 44 6x x x− + + 2 4 54 4 8x x x+ −

3 4 510 10x x x+ −

3 5 62x x x− − +

4 5 610 9 2x x x− +

( )( ) ( )2 2 3 2 3 4 5 62 3 2 1 2 2 3 4 10 9 2x x x x x x x x x x+ − = + − + − + + − + Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de cliquer sur Exercice



8

ALGE01E03B

Il faut commencer par développer ( ) ( )2 2 22 4 4 4 4B x x x x x x= − = − + = − + .

4 24 4x x− +

24 4x x− + − 2 3 43 1 514 2 16

x x x x+ + + + 24x x−

2 34 4x x x− + −

2 33x x−

2 3 433 34

x x x− + −

3 432

4x x−

3 4 512 22

x x x− + −

4 55 1

4 2x x−

4 5 65 5 54 4 16

x x x− + −

5 63 5

4 16x x−

Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous conseillons de contacter votre tuteur



9

ALGE01E04A

On détermine la partie entière ( )E x , puisque le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur. On effectue la division euclidienne du numérateur

3 22 3x x x− − − par le dénominateur 2 3 2x x− + . ce qui donne 3 2 22 3 3 2 1 5x x x ( x x )( x )− − − = − + + −

D'où ( ) 2513 2

F x xx x

= + −− +

.

Puisque 2 3 2 1 2x x ( x )( x )− + = − − , on cherche A et B réels tels que

( ) 51 2 1 2

A BR x( x )( x ) x x

= − = +− − − −

En passant aux fonctions rationnelles associées et en remplaçant x par 1 dans 1( x )R( x )− on obtient 5A = . En remplaçant x par 2 dans 2( x )R( x )− , on obtient

5B = − . D’où

( )3 2

22 3 5 51

1 23 2x x xF x x

x xx x− − −

= = + + −− −− +

.




10

ALGE01E05A

Le degré du numérateur étant inférieur au degré du dénominateur, on sait que la décomposition sera de la forme

( )( ) ( ) ( )3 21 22 2

A B C DF xx xx x

= + + ++ −− −

Pour trouver A, on multiplie par ( )1x + et on fait 1x = − : on a ( )3

27 13

A = = −−

.

Pour déterminer les autres coefficients, on pose 2 2h x x h= − ⇔ = + et on divise le numérateur 27 par 1 3x h+ = + à l’ordre 2 : 27 3+h -27-9h 9-3h+h² -9h 9h+3h² 3h²

On en déduit ( ) ( )2

3 3 3 2

27 9 3 ... 9 3 1 ...3

h hF xh h h h h h

− + += = = − + +

+

Et en remplaçant par la variable x : ( )( ) ( ) ( )3 2

1 9 3 11 22 2

F xx xx x− −

= + + ++ −− −




11

ALGE01E05B

Comme la partie entière est nulle, la décomposition sera de la forme

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22

4 41 11 1 1 11

A B C DF xx xx x x xx

= = = + + +− +− + − +−

On peut comme pour l’exercice précédent effectuer le changement de variable 1h x= − et une division suivant les puissances croissantes pour trouver A et B, et le

changement de variable 1h x= + et une division suivant les puissances croissantes pour trouver C et D. Je vous propose ici une méthode plus astucieuse adaptée à la fonction qui possède la propriété d’être paire.

( ) ( ),x F x F x∀ = −

Comme la décomposition est unique, les coefficients de la décomposition de ( )F x

doivent correspondre à ceux de la décomposition de ( )F x− :

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 11 1 1 1A B C D A B C D

x x x xx x x x+ + + = + + +

− + − − − +− + − − − +

et on en déduit que ,A C B D= = − ce qui permet de n’avoir que deux coefficients à chercher. Pour obtenir A on multiplie par ( )21x − et on fait 1x = : 1 1A C= ⇒ = . Pour obtenir B et D on fait 0x = dans l’égalité : 4 1 1 4 2 2 1, 1B D B B D= + + − ⇔ = + ⇔ = = −

Finalement ( )( ) ( ) ( )2 2 22

4 1 1 1 11 11 11

F xx xx xx

= = + + +− +− +−




12

ALGE01E06A

La partie entière est nulle, et la décomposition se fera en éléments simples de seconde espèce. On fait la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.

5x 2 1x x+ +

5 4 3x x x− − − 3 2 1x x− + 2 1x x+ +

4 3x x− − 3 2x x x− − − 2x − 4 3 2x x x+ +

22 1x x− − + 2x 22 2 2x x+ +

2 1x x− − − 3x +

1x− −

( ) ( )( ) ( ) ( )5 2 21 1 2 3 1x x x x x x x x = + + + + − + + + − −

( )( ) ( ) ( ) ( )

5

3 3 2 22 2 2

1 3 211 1 1

x x x xF xx xx x x x x x

− − + −= = + +

+ ++ + + + + +




13

ALGE01E06B

Factorisons le dénominateur : ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

4 43 2

1 11 1 1 1 1x x

x x x x x x+ +

=− + − + − +

La décomposition comporte donc deux éléments de première espèce dus au pôle simple –1, au pôle quadruple 1 et un élément de seconde espèce de dénominateur

2 1x x− + . Déterminons la partie principale relative au pôle –1 : on multiplie par ( )1x + et on

fait 1x = − : on obtient 18

A =

Déterminons la partie principale relative au pôle 1 en posant 1 1h x x h= − ⇔ = + et en effectuant la division suivant les puissances croissantes de 2 21 2 2x h h+ = + + par

3 2 31 2 3 3x h h h+ = + + + .

22 2h h+ + 2 32 3 3h h h+ + +

2 32 3 3h h h− − − − 2 351

2 4 8h h h

− − +

2 32h h h− − −

2 3 43 32 2 2h h hh + + +

2 3 4

2 2 2h h h

− + +

2 3 4 53 32 4 4 4h h h h+ + +

3 4 55 5

4 4 4h h h+ +

La partie principale relative au pôle simple 1 est donc

( ) ( ) ( ) ( )2 3

4 3 24 4 3 2

1 5 1 1 1 5 1 1 1 512 4 8 2 4 8 8 11 2 1 4 1h h h

h h h h h xx x x − − + = − − + = − − + −− − −

Déterminons l’élément de seconde espèce de la décomposition : ici les racines du trinôme 2 1x x− + sont simples, c’est j− et 2j− , donc on va choisir de décomposer dans C et de rassembler les conjugués pour obtenir la décomposition dans R.

La décomposition relative à j− et 2j− est de la forme 2x j x jα β

++ +

.



14

Pour calculer α on multiplie par x j+ et on fait x j= − :

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )2 22 2 2

4 2 2 922 8 8 2

1 1191 1 1 1 1

j j jj jjj j j j j j j j j j

α− − ×− + −

= = = =×− − − + − + × − − − −

Or 9 1j = et ( )2

22 1 3 3 3 1 3 3 3 31 32 2 2 2 2 2 2 2

ij j i i i

− = − + + = − + + = −

D’autre part 3β α= = −

Donc ( )( )

2

2 2 22

1 1 1 1 2 1 2 13 3 3 1

x j j xx j x j x j x j x xx j x jα β + + − + = − + = − = − + + + + + ++ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

4 3

4 3 2 2

11 11 1 1 5 1 2 1

8 1 24 1 3 11 2 1 4 1

x( x ) ( x )

xx x x xx x x

+− +

− += − − + + +

− + − +− − −


ALGE01 : Polynômes, fractions rationnelles Aides Mai 2003


ALGE01E01A Posez la division comme un division dans l’ensemble des nombres … Ecrivez les polynômes dans l’ordre décroissant des puissances.



ALGE01E01B Commencez par écrire ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )

1

2

1 4

2 3

1 2

P x Q x x

P x Q x x

P x Q x x x R x

= − −

= − +

= − − +

avec ( )R x ax b= + puisque 1d R ≤o . Et remplacez x par 1 puis 2 .



ALGE01E01C

( ) ( )( ) ( )

2

2

2 1 1

1 2

n nA x x

B x x

= − + − +

= − −

Si 0n = ou si 1n = le polynôme est de degré 2 et le reste est A. Sinon, on écrit 0, 2A BQ R d R= + ≤ . Il faut donc trouver 3 réels a,b,c tels que 2R ax bx c= + + . Remplacez x par 1 puis 2.



ALGE01E02A ( ) ( )1 0 2 0P ,P= = donc on peut diviser P par le produit ( )( ) 21 2 3 2x x x x− − = − + .



ALGE01E02B ( ) 34 4 8P x x x′ = + − a une racine évidente 1 qui est aussi racine de P donc au moins

racine double. On effectue la division euclidienne de P par ( )21x − .



ALGE01E02C On vérifie d’abord que ( )1 0P = , puis on calcule les dérivées successives de P en regardant celles qui s’annulent pour 1x = . Dès qu’une dérivée ne s’annule pas en 1 on s’arrête !



ALGE01E03A Contrairement à la division euclidienne, il faut écrire les polynômes dans l’ordre croissant des monômes donc commencer par les termes constants quand il y en a (c’est le cas ici).



ALGE01E03B Il faut commencer par développer ( ) ( )2 2 22 4 4 4 4B x x x x x x= − = − + = − + .



ALGE01E04A On détermine la partie entière ( )E x , puisque le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur. On effectue la division euclidienne du numérateur

3 22 3x x x− − − par le dénominateur 2 3 2x x− + . Ensuite on détermine les parties principales relatives aux deux pôles 1 et 2 qui sont

de la forme 1 2

A Bx x

+− −

: pour A on multiplie par ( )1x − et on fait 1x = , pour B on

multiplie par ( )2x − et on fait 2x = .



ALGE01E05A Le degré du numérateur étant inférieur au degré du dénominateur, on sait que la décomposition sera de la forme

( )( ) ( ) ( )3 21 22 2

A B C DF xx xx x

= + + ++ −− −

Pour trouver A, on multiplie par ( )1x + et on fait 1x = − . Pour déterminer les autres coefficients, on pose 2 2h x x h= − ⇔ = + et on divise le numérateur 27 par 1 3x h+ = + à l’ordre 2 .



ALGE01E05B Comme la partie entière est nulle, la décomposition sera de la forme

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22

4 41 11 1 1 11

A B C DF xx xx x x xx

= = = + + +− +− + − +−

On peut comme pour l’exercice précédent effectuer le changement de variable 1h x= − et une division suivant les puissances croissantes pour trouver A et B, et le

changement de variable 1h x= + et une division suivant les puissances croissantes pour trouver C et D : une autre méthode est proposée à titre d’exemple dans la solution.



ALGE01E06A La partie entière est nulle, et la décomposition se fera en éléments simples de seconde espèce. On fait la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.



ALGE01E06B

Factorisons le dénominateur : ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

4 43 2

1 11 1 1 1 1x x

x x x x x x+ +

=− + − + − +

La décomposition comporte donc deux éléments de première espèce dus au pôle simple –1, au pôle quadruple 1 et un élément de seconde espèce de dénominateur

2 1x x− + . Ensuite on utilise des techniques adaptées à la nature des éléments de décomposition (première ou seconde espèce) et au fait que les pôles sont simples ou multiples. Cet exercice récapitule les exercices précédents !

POLYNOMES, FRACTIONS...

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