Probl�eme
Partie I
Pour tout entier naturel n; on d�e�nit le polynome Pn par :
Pn =X
0�2k�n
(�1)kC2k+1n+1 (1� x
2)kxn�2k =
E(n2)X
k=0
(�1)kC2k+1n+1 (1� x
2)kxn�2k
1. .
(a) V�eri�er que P0 = 1; P1 = 2x; P2 = 4x2 � 1:
(b) Calculer P3:
2. .
(a) Montrer que :
8n 2 N; 8t 2 R; sin(n+ 1)t = sin t:Pn(cos t) (1)
(On pourra developper (cos t+ i sin t)n+1 et �etudier la partie imaginaire)
(b) En d�eduire que :
8n 2 N; (n2+ 2n)Pn � 3xP 0n� (x2 � 1)P 00
n= 0 (2)
(On pourra d�eriver deux fois la relation (1)
3. .
(a) Montrer que :
8n 2 N; 8t 2 R; sin(n+ 2)t+ sinnt = 2 cos t sin(n+ 1)t
(b) En d�eduire que :
8n 2 N : Pn+1 � 2xPn + Pn�1 = 0 (3)
(c) Montrer ,en utilisant la relation (3),que Pn est un polynome de degr�e n et d�eterminer le
co�e�cient dominant ande P
n:
Partie II
Soit n 2 N; n � 2:On note E = Rn[X ] l'espace vectoriel r�eel des polynomes �a co�e�cients r�eels de
degr�e � n; et B0 = (1; x; : : : ; xn) la base canonique de E:
Soit � l'application qui,�a tout polynome P de E; associe le polynome �(P ) d�e�nie par :
�(P ) = 3xP 0 + (x2 � 1)P 00
1. V�eri�er que � est un endomorphisme de E:
2. .
(a) Pour tout entier k 2 [0; n]; d�eterminer �(xk):
(b) D�eterminer une base de Im�:
(c) D�eterminer une base de ker�:
3. On consid�ere les polynomes P0; : : : ; Pn d�e�nis dans la partie I.
(a) V�eri�er que la famille (P0; : : : ; Pn) est une base de E:
(b) Pour tout entier k 2 [0; n] , d�eterminer �(Pk):(On pourra utiliser la relation (2))
(c) D�eterminer les valeurs propres et les sous espaces propres de �:
(d) Pour tout entier k 2 [0; n]; d�eterminer l'ensemble Sk des polynomes P de E tels que :
�(P ) = Pk
Fin
http://membres.lycos.fr/taddist/index.htm - page 1
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