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PhysiqueUE3

PACES

PhysiqueUE3

4e édition

Salah BelazregProfesseur agrégé et docteur en physique, il enseigne

au lycée Camille Guérin à Poitiers. Il a enseigné la biophysique en classes préparatoires aux concours de Médecine.

Il est aussi interrogateur en classes préparatoires scientifi ques.

PACES

© EdiScience, 2004, 2010, 2014

EdiScience est une marque deDunod Éditeur, 5 rue Laromiguière, 75005 Paris

ISBN 978-2-10-071226-7

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Table des matières

Avant-propos ............................................................................................ XIII

Partie 1 – Mesure des grandeurs

Chapitre 1. Grandeurs physiques. Équations aux dimensions .......................... 1

1. Les grandeurs physiques ................................................................. 12. Système international d’unités........................................................... 23. Équations aux dimensions ................................................................ 24. Analyse dimensionnelle ................................................................... 4Synthèse ............................................................................................ 5QCM................................................................................................. 5Corrigés............................................................................................. 6

Partie 2 – Mécanique

Chapitre 2. Cinématique du point ............................................................... 7

1. Référentiels et repères ..................................................................... 72. Vitesse et accélération ..................................................................... 113. Étude de quelques mouvements ......................................................... 144. Mouvements relatifs et absolus.......................................................... 16Synthèse ............................................................................................ 20Exercices et QCM ................................................................................ 20Corrigés............................................................................................. 23

Chapitre 3. Dynamique newtonienne ........................................................... 31

1. Les différentes actions auxquelles peut être soumis un système mécanique 322. Centre d’inertie. Quantité de mouvement............................................. 373. Le principe d’inertie (1re loi de Newton).............................................. 384. Les référentiels galiléens.................................................................. 385. Relation fondamentale de la dynamique (2e loi de Newton) ..................... 406. Principe des actions réciproques (3e loi de Newton) ............................... 417. Validité de la relation fondamentale.................................................... 418. Conservation de la quantité de mouvement .......................................... 43

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9. Moment cinétique .......................................................................... 44Synthèse ............................................................................................ 46Exercices et QCM ................................................................................ 46Corrigés............................................................................................. 50

Chapitre 4. Équilibre d’un solide – Solide en rotation autour d’un axe fixe....... 58

1. Les effets d’une force ...................................................................... 582. Moment d’une force ....................................................................... 613. Conditions générales d’équilibre d’un solide ........................................ 63Synthèse ............................................................................................ 64Exercices et QCM ................................................................................ 64Corrigés............................................................................................. 66

Chapitre 5. Travail. Puissance. Énergie ........................................................ 69

1. Travail et puissance d’une force......................................................... 702. Théorème de l’énergie cinétique ........................................................ 733. Énergie potentielle Énergie mécanique................................................ 75Synthèse ............................................................................................ 76Exercices et QCM ................................................................................ 77Corrigés............................................................................................. 80

Chapitre 6. Conservation de la quantité de mouvement –Choc entre deux particules ........................................................ 87

1. Définitions .................................................................................... 872. Chocs entre deux particules .............................................................. 88Synthèse ............................................................................................ 92Exercices et QCM ................................................................................ 92Corrigés............................................................................................. 94

Partie 3 – Électricité

Chapitre 7. Électrostatique ........................................................................ 98

1. Champ et potentiel électrostatique...................................................... 982. Le dipôle électrostatique .................................................................. 106Synthèse ............................................................................................ 108Exercices et QCM ................................................................................ 108Corrigés............................................................................................. 113

Chapitre 8. Électrocinétique des courants continus ....................................... 125

1. Le courant continu.......................................................................... 1262. Loi d’Ohm.................................................................................... 1283. Conductivité. Mobilité..................................................................... 1324. Énergie électrique........................................................................... 1345. Force électromotrice d’un générateur. Force contre électromotrice

d’un récepteur ............................................................................... 135Synthèse ............................................................................................ 138

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Exercices et QCM ................................................................................ 138Corrigés............................................................................................. 141

Chapitre 9. Électromagnétisme................................................................... 147

1. Le champ magnétique ..................................................................... 1472. Champ d’induction magnétique créé par un élément de courant ................ 1503. Flux d’induction magnétique ............................................................ 1524. Action d’un champ magnétique sur un élément de circuit parcouru

par un courant ............................................................................... 154

5. Action d’un champ magnétique−→B sur un circuit fermé ........................... 157

Synthèse ............................................................................................ 159Exercices et QCM ................................................................................ 160Corrigés............................................................................................. 163

Chapitre 10. Mouvement d’une particule chargée dans un champ uniforme ...... 171

1. Action d’un champ électrique uniforme sur une particule chargée ............. 1712. Action d’un champ magnétique uniforme sur une particule chargée........... 175Synthèse ............................................................................................ 179Exercices et QCM ................................................................................ 180Corrigés............................................................................................. 184

Chapitre 11. Courants transitoires .............................................................. 193

1. Réponse d’un circuit R,C à un échelon de tension.................................. 1932. Applications.................................................................................. 1993. Réponse d’un circuit R,L à un échelon de tension .................................. 202Synthèse ............................................................................................ 205Exercices et QCM ................................................................................ 205Corrigés............................................................................................. 208

Partie 4 – Fluides et thermodynamique

Chapitre 12. Mécanique des fluides ............................................................ 215

1. Généralités sur les fluides................................................................. 2152. Fluide en équilibre.......................................................................... 2183. Fluide en mouvement (ou dynamique des fluides).................................. 2214. Dynamique des fluides réels ............................................................. 225Synthèse ............................................................................................ 228Exercices et QCM ................................................................................ 228Corrigés............................................................................................. 234

Chapitre 13. Les phénomènes de surface ..................................................... 244

1. Tension superficielle des liquides ....................................................... 2442. Ascension capillaire ........................................................................ 250Synthèse ............................................................................................ 251Exercices et QCM ................................................................................ 252Corrigés............................................................................................. 254

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Chapitre 14. Thermodynamique .................................................................. 259

1. Le gaz parfait. Théorie cinétique........................................................ 2602. Premier principe ou principe de la conservation de l’énergie .................... 2653. Second principe ou principe d’évolution.............................................. 2684. Équilibre d’un corps pur sous deux phases ........................................... 269Synthèse ............................................................................................ 272Exercices et QCM ................................................................................ 272Corrigés............................................................................................. 278

Partie 5 – Optique

Chapitre 15. Ondes ................................................................................... 290

1. Généralités sur les ondes .................................................................. 2902. Ondes stationnaires......................................................................... 2973. Exemples d’ondes progressives ......................................................... 2994. Vitesse du son................................................................................ 3045. L’effet Doppler-Fizeau..................................................................... 3066. Notions sur les ondes électromagnétiques ............................................ 310Synthèse ............................................................................................ 313Exercices et QCM ................................................................................ 313Corrigés............................................................................................. 315

Chapitre 16. Interférences. Diffraction ........................................................ 319

1. Interférences de deux ondes .............................................................. 3192. Diffraction .................................................................................... 327Synthèse ............................................................................................ 332Exercices et QCM ................................................................................ 332Corrigés............................................................................................. 335

Chapitre 17. Le photon ............................................................................. 342

1. L’effet photoélectrique..................................................................... 3422. L’effet Compton ............................................................................. 345Synthèse ............................................................................................ 349Exercices et QCM ................................................................................ 349Corrigés............................................................................................. 352

Chapitre 18. Niveaux d’énergie dans un atome ............................................. 355

1. Spectres d’émission et d’absorption.................................................... 3562. L’atome de Bohr. Niveaux d’énergie des électrons ................................. 3573. Spectres des atomes. Cas de l’atome d’hydrogène ................................. 3614. L’atome de Sommerfeld................................................................... 3645. Notion de nombre quantique ............................................................. 366Synthèse ............................................................................................ 368Exercices et QCM ................................................................................ 368Corrigés............................................................................................. 371

Table des matières

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Chapitre 19. Mécanique ondulatoire............................................................ 376

1. Les aspects de la lumière ................................................................. 3762. Onde associée à une particule ........................................................... 3773. Principe d’incertitude de Heisenberg .................................................. 3784. Probabilité de présence .................................................................... 3795. Équation de Schrödinger .................................................................. 380Synthèse ............................................................................................ 381Exercices et QCM ................................................................................ 382Corrigés............................................................................................. 383

Chapitre 20. Le laser. Oscillateur à fréquence optique ................................... 387

1. Caractéristiques d’un faisceau laser .................................................... 3872. Principe de fonctionnement .............................................................. 3903. Quelques applications du laser .......................................................... 396Synthèse ............................................................................................ 398Exercices et QCM ................................................................................ 398Corrigés............................................................................................. 403

Chapitre 21. Optique géométrique .............................................................. 410

1. Quelques notions de base de l’optique géométrique ............................... 4102. Notion d’objet et d’image ................................................................ 4153. Dioptres ....................................................................................... 4174. Systèmes centrés ............................................................................ 4235. Les lentilles .................................................................................. 424Synthèse ............................................................................................ 427Exercices et QCM ................................................................................ 427Corrigés............................................................................................. 431

Chapitre 22. Œil et instruments d’optique ................................................... 437

1. Aberrations ................................................................................... 4372. L’œil ........................................................................................... 4403. Les instruments d’optique ................................................................ 442Synthèse ............................................................................................ 447Exercices et QCM ................................................................................ 447Corrigés............................................................................................. 450

Index ....................................................................................................... 457

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Avant-propos

« Pour qui réfléchit, le comble du bonheur est d’avoir compris ce qui est compréhen-sible et de respecter ce qui ne l’est pas. »

Goethe (Johann Wolfgang von).

Cet ouvrage est la 4e édition du manuel de physique, de la collection PACES (pre-mière année commune aux études de santé), paru en janvier 2004. Il est complètementrevu, corrigé et rehaussé par deux nouveaux chapitres : un chapitre traitant l’équilibred’un solide ainsi que sa rotation autour d’un axe fixe et un chapitre sur la mécaniqueondulatoire. Deux autres chapitres, « Théorème de Gauss-Condensateurs, capacité »et « les lois de Kirchhoff », sont en complément sur le web.Il est le fruit d’une longue expérience et de nombreuses années d’enseignement de laphysique dans le secondaire et le supérieur. Il s’adresse principalement aux étudiantsde 1re année santé pour la préparation des concours Médecine-Pharmacie-Dentaire-Sage femme, mais il intéressera aussi les étudiants en classes préparatoires bio-véto,agro ainsi que les étudiants en 1re et 2e année de Licence scientifique (L1 et L2).Son but est de présenter de façon claire et progressive l’ensemble des notions àconnaître par les étudiants de première année santé (PACES) et son usage supposeque l’étudiant ait une connaissance complète du programme actuel des premières etterminales scientifiques.La forme a été améliorée par la présentation. En effet, chaque chapitre indique claire-ment les objectifs à atteindre et comporte, en plus du cours et d’une synthèse finale,des exercices et des QCM de difficulté progressive.Il présente de nombreux sujets d’adaptation progressive aux programmes et aux exi-gences de ces concours et examens difficiles.

– Les cours, exposés de façon détaillée, présentent les résultats fondamentaux ainsique des compléments sur des notions plus délicates.

– Les exercices, classés par niveaux de difficultés, sont tous suivis de leurs solutionsdétaillées. Ils permettront ainsi aux étudiants de tester leurs connaissances et tirer lemaximum de profit de chaque mise en situation.

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De plus, certains nécessitant une réflexion plus approfondie exciteront et comblerontla curiosité des plus audacieux.

– Les QCM, en fin de chaque chapitre, sont de véritables exercices de réflexion.Ainsi, avant de proposer des solutions rapides et sans démarches rigoureuses, il im-porte de bien connaître la totalité du cours, et pas seulement les formules. Une résolu-tion approfondie vous permettra de vous entraîner à ce type d’épreuve afin de gagnercompétence et rapidité.

Comme pour les précédentes éditions, j’espère que cet ouvrage constituera pour lesétudiants un outil précieux pour la préparation de ces concours et examens difficiles,et leur souhaite bon courage.

RemerciementsJe remercie très sincérement Marc Violino, Professeur de chaires supérieures, pour salecture attentive de la totalité de l’ouvrage et les corrections apportées. Ses remarquesjudicieuses et ses nombreux conseils m’ont été très utiles.Mes remerciements vont également à l’équipe du Professeur Rémy Perdrisot du ser-vice de biophysique et médecine nucléaire de la faculté de médecine et de pharmaciede Poitiers pour les annales qu’il m’a fournies.Merci à mon épouse, le Docteur Frédérique Belazreg, pour son aide, sa relecture desdifférents chapitres, ses conseils pour les exemples et les applications médicales citésdans ce manuel. Merci à mes enfants pour leur patience et compréhension.Je remercie également les éditions Dunod pour le soin et la présentation apportés à laréalisation de cet ouvrage.Merci enfin à tous les étudiants qui ont donné une place à ce manuel et au succèsqu’il a jusqu’alors rencontré.Que les lecteurs, collègues enseignants et étudiants, qui voudront bien me formulerleurs remarques constructives et critiques ou me présenter leurs suggestions succep-tibles d’améliorer cet ouvrage en soient par avance remerciés.

Poitiers, mai 2014 Salah Belazreg

Pour les QCM, chaque question comporte une ou plusieurs réponses exactes. Vousdevez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie (en cochant la proposition)ou fausse.

Avant-propos

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Grandeurs physiquesÉquations aux dimensions

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Cours1. Les grandeurs physiques2. Système international d’unités3. Équations aux dimensions4. Analyse dimensionnelleSynthèseExercices et QCMCorrigés

• Savoir établir une équation aux dimen-sions

• Retrouver l’unité d’une grandeur phy-sique dans le système S.I.

Cours

La physique a pour but de décrire des phénomènes et étudier leurs propriétés : leursétudes nécessitent la définition de grandeurs physiques. À chaque grandeur physiquecorrespond une unité et l’ensemble des unités est regroupé dans un système universel,le système international.

1. LES GRANDEURS PHYSIQUES

La physique est une science basée sur l’observation de phénomènes physiques, etl’étude de ces phénomènes nécessite la définition de grandeurs physiques.

On appelle grandeur physique toute propriété physique mesurable.

Une grandeur physique est mesurable si on sait définir l’égalité, la somme et le rap-port de deux grandeurs de son espèce.

La mesure de la grandeur s’obtient donc par comparaison entre deux grandeurs phy-siques de même nature dont l’une est choisie comme unité.

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Exemple

Il est possible d’exprimer la masse d’un solide en fonction de la masse d’un so-lide de référence de notre choix. Pour cela, il faut choisir le solide de référence etl’unité de masse.

L’unité légale de masse (S.I.) est le kilogramme, de symbole kg. C’est par définition,la masse d’un cylindre de platine irridié déposé au bureau international des poids etmesures (pavillon de Breteuil à Sèvres).Toute masse se mettra donc sous la forme : m = x kg.

2. SYSTÈME INTERNATIONAL D’UNITÉS

Des grandeurs fondamentales ont été choisies : elles sont au nombre de sept (tableauci–dessous). L’ensemble des unités est regroupé dans un système cohérent et univer-sel d’unités, appelé le système international (S.I.).Toute grandeur physique peut donc s’exprimer sur la base de ces unités fondamen-tales.

Grandeurs fondamentales Unités SymbolesMasse kilogramme kg

Longueur mètre m

Temps seconde s

Intensité du courant électrique ampère A

Température kelvin K

Quantité de matière mole mol

Intensité lumineuse candéla cd

Unités supplémentairesAngle plan radian rad

Angle solide stéradian sr

3. ÉQUATIONS AUX DIMENSIONS

Le principe des équations aux dimensions consiste à ramener les différents para-mètres qui interviennent dans une formule aux grandeurs fondamentales du systèmeinternational d’unités.Le tableau ci-après donne quelques grandeurs physiques et leur dimension.

1 • Grandeurs physiques. Équations aux dimensions

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Grandeur physique Dimension UnitéMasse M kg

Longueur L m

Temps T s

Intensité du courant électrique I A

Exemples

• Unité d’une accélération.

Comme a =dvdt=

d2x

dt2(cas d’un mouvement rectiligne), alors

[a] =[x][t2] ([a] : se lit dimension de a).

Or [x] = L et [t] = T , donc

[a] =L

T 2= LT−2

Dans le système (S.I.), une accélération s’exprime donc en m.s−2.

• Unité d’une force.

Comme F = ma, alors [F] = [m] [a], soit

[F] = MLT−2

Dans le système (S.I.), une force s’exprime en kg.m.s−2.

Le tableau ci-dessous donne quelques grandeurs dérivées (elles dérivent des unitésfondamentales) ainsi que leurs unités.

Grandeur Équations aux dimensions Unités de base NomsForce MLT−2 kg.m.s−2 newton : N

Pression ML−1T−2 kg.m−1.s−2 pascal : Pa

Travail ML2T−2 kg.m2.s−2 joule : J

Puissance ML2T−3 kg.m2.s−3 watt : W

Charge Q = IT A.s coulomb : C

Potentiel ML2T−2Q−1 kg.m2.s−3A−1 volt : V

Capacité M−1L−2T 2Q2 kg−1m−2s4A2 farad : F

Résistance ML2T−1Q−2 kg.m2.s−3A−2 ohm : Ω

Conductance M−1L−2T Q2 kg−1.m−2.s3A2 siemens : S

Champ magnétique MT−1Q−1 kgs−2A−1 tesla : T

Inductance ML2T−2I−2 kgm2s−2A−2 henry : H

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4. ANALYSE DIMENSIONNELLE

L’analyse dimensionnelle permet :

• de vérifier l’homogénéité d’une formule ;

• de rechercher les relations entre les différentes grandeurs physiques liées entreselles.

ExempleL’étude du mouvement d’un pendule montre que sa période Tp dépend à priori dela masse m, de la longueur l du fil et de la valeur de g (accélération de la pesanteurdu lieu de la mesure).

Supposons que la période Tp s’exprime par une relation de la forme :

Tp = Cste.mαlβgγ

La relation doit être homogène, donc[Tp

]= [m]α [l]β

[g]γ

Comme [m] = M, [l] = L et[g]= LT−2, alors[

Tp

]= T = MαLβ(LT−2)γ = MαLβ+γT−2γ

L’identification des exposants des différentes dimensions conduit à :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩α = 0

β + γ = 0

−2γ = 1

d’où

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

α = 0

β =12

γ = −12

La période du pendule simple s’écrit donc :

Tp = Cste.l12 g−

12 = Cste

√lg


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SynthèseJe sais définir• Une grandeur physique• Le système international d’unités

Je connais• Le principe des équations aux

dimensions• Les unités de base des grandeurs

physiques usuelles

Je sais• Établir une équation aux dimensions• Retrouver l’unité d’une grandeur physique dans le système S.I.

Questions à choix multiples

1 Un corps solide, en mouvement dans un fluide visqueux, reçoit de la part du fluide

une force de frottement−→f .

Dans le cas d’un écoulement laminaire et pour un corps sphérique de rayon r,−→f = −6πηr−→v où η représente le coefficient de viscosité du fluide et −→v le vecteur

vitesse du solide.La dimension de η est :

❒ 1. L−1.T−1

❒ 2. M.L−1.T−1

L’unité de η dans le système S.I. est :

❒ 3. N.m−2.s

❒ 4. Pa.s

❒ 5. kg.s−1.m−1

2 La valeur de la force d’interaction entre deux corps ponctuels, séparés d’une distancer et portant respectivement les charges q1 et q2, est donnée par la loi de Coulomb :

f =1

4πε0

|q1q2|r2

❒ 1. La dimension de f est M.L−1.T−2,

❒ 2. L’unité de f est le kg.m.s−2.

3. La dimension de ε0 est :❒ a) M.L−3.T4.A❒ b) M−1.L−3.T4.A2.

❒ 4. L’unité de ε0 est kg−1.m−3.s4.A2.

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Corrigés

Questions à choix multiples

1 ❒ 1.❒✗ 2.❒ 3.❒ 4.❒✗ 5.

2 ❒ 1.[f]= M.L.T−2

❒✗ 2.3. ❒ a)

❒✗ b)❒✗ 4.


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Cinématique du point 2

Cours1. Référentiels et repères2. Vitesse et accélération3. Étude de quelques mouvements4. Mouvements relatifs et absolusSynthèseExercices et QCMCorrigés

• Savoir repérer un mobile dans lesdifférents systèmes de coordonnées

• Savoir établir l’expression d’une vitesseet d’une accélération dans lesdifférents systèmes de coordonnées

• Savoir calculer une vitesseet une accélération

• Déterminer l’équation d’une trajectoiredans un référentiel donné

• Savoir faire une décompositionde vitesse et d’accélération

Cours

La cinématique est l’étude du mouvement d’un corps indépendamment des actionsqui le produisent et qui sont capables de le modifier. Dans ce chapitre, on s’intéresseau mouvement d’un point matériel, objet de dimensions négligeables par rapport auxdistances parcourues. Dans le cas d’un solide (ensemble de points matériels), on s’in-téressera au mouvement d’un point particulier : le centre d’inertie G du solide. Lemobile désignera donc, soit le point matériel M, soit le centre d’inertie G du solide.

1. RÉFÉRENTIELS ET REPÈRES

1.1. La relativité du mouvementUn objet est en mouvement par rapport à un autre objet (celui qui sert de référence)si sa position change au cours du temps par rapport à cet objet de référence.

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ExempleObservons le mouvement d’une personne assise dans un train. Pour un observa-teur (A) situé dans le même wagon, cette personne peut apparaître immobile ; maispour un observateur (B) situé sur le quai d’une gare, et qui voit passer le train, lapersonne assise se déplace bien sûr en même temps que celui-ci (Fig. 2.1).

(B)(A)

Figure 2.1

Ainsi, pour repérer la position d’un point mobile M, il est donc nécessaire de préciserle référentiel. Dans toute la suite, le référentiel sera supposé fixe et non déformable aucours du temps. Lorsque le référentiel est choisi, on doit définir un repère d’espace,lié au référentiel, pour déterminer chaque position du mobile. De même, il faut définirune chronologie et un repère de temps.

1.2. RepèresAu référentiel choisi, on associe un repère. Le repère sera fixe par rapport auréférentiel.

En coordonnées cartésiennes

Tout point M peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes (x,y,z). Si O est l’ori-gine du repère, le vecteur position s’écrit :

−−→OM = −→r = x

−→i + y

−→j + z−→k

où (−→i ,−→j ,−→k ) est une base orthonormale directe liée au référentiel (Fig. 2.2).

O

X

Y

Z

M

ijk

H

Figure 2.2

2 • Cinématique du point

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En coordonnées polaires (cas d’un mouvement plan)

On définit un axe Ox, axe polaire, et une origine O ou pôle.

Un point mobile M peut être repéré par ses coordonnées polaires (r,θ) où r = OM et

θ = (−→Ox,−−→OM) (Fig. 2.3).

O x

y

M

uru

r

i

jθ

θ

Figure 2.3

Le vecteur position s’écrit donc :−−→OM = −→r = r−→ur .

où −→r est appelé rayon vecteur et θ l’angle polaire,

et (−→ur,−→uθ) est une base locale mobile, orthonormée directe, liée à M.

En coordonnées cylindriques

Le mobile sera repéré par ses coordonnées cylindriques (r,θ,z) et le vecteur

position s’écrit :−−→OM = −→r = −−→OH +

−−−→HM = r−→ur + z−→uz.

où (−→ur ,−→uθ,−→uz) est une base orthonormée directe mobile liée à H (Fig. 2.4).

O

X

Y

Z

M

z

H ur

uθ

uzθr

Figure 2.4

Cinématique du point •2c ©

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En coordonnées sphériquesLe mobile sera repéré par ses coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) et le vecteur position

s’écrit−−→OM = −→r = r−→ur (Fig. 2.5).

O

M

ur

uθ

uϕ

ϕ

r

x

y

z

θ

Figure 2.5

Les vecteurs −→ur,−→uθ et −→uϕ sont définis à partir du point M.

Dans la base cartésienne, les coordonnées des vecteurs de base s’écrivent :

−→ur

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝sin θ cos ϕsin θ sin ϕ

cos θ

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ −→uθ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

cos θ cos ϕcos θ sin ϕ− sin θ

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ −→uϕ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝− sin ϕcos ϕ

0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠La correspondance entre coordonnées cartésiennes et coordonnées sphériques est :⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = r sin θ cos ϕy = r sin θ sin ϕz = r cos θ

avec

{θ ∈ [0, π]ϕ ∈ [0, 2π]

En coordonnées curvilignesSi on choisit sur la trajectoire un sens de parcours positif, un point mobile M peutêtre repéré sur sa trajectoire C par son abscisse curviligne s =

�AM où A est un point

origine fixe de la trajectoire (Fig. 2.6).

MA

+C

Figure 2.6


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2. VITESSE ET ACCÉLÉRATION

2.1. Vitesse

Définition

Soit un point M mobile dont la position dans un référentiel (R) est repérée par lescoordonnées cartésiennes (x,y,z).La trajectoire du mobile M relativement à (R) est l’ensemble des points de l’es-pace occupés successivement par le mobile M au cours du temps.

Soient deux points M et M′, les positions occupées par le mobile aux instants t et

t′. La vitesse moyenne du mobile entre les dates t et t′ est le vecteur −→vm =

−−−−→MM′

t′ − t(Fig. 2.7).

M

M'

vm= MM't'-t

O

M0r r'

C

°

Figure 2.7

M

M0

C

°

v

u

°

Figure 2.8

La vitesse instantanée du mobile, à l’instant t, est un vecteur −→v porté par la tangenteà la trajectoire au point M (Fig. 2.8), dirigé suivant le sens du mouvement, et quis’écrit :

−→v = d−−→OMdt=

d−→rdt

où −→r = −−→OM (2.1)

Expression de la vitesse dans différents systèmes de coordonnéesEn coordonnées cartésiennes

Soit (−→i ,−→j ,−→k ) une base orthonormale directe liée au référentiel (R).

Le vecteur position s’exprime : −→r = −−→OM = x−→i + y

−→j + z−→k .


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Ainsi :

−→v = dxdt−→i +

dydt−→j +

dzdt−→k car

−→i ,−→j et−→k sont des vecteurs constants.

Si on pose x =dxdt

, y =dydt

et z =dzdt

, alors −→v a pour coordonnées

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x =dxdt

y =dydt

z =dzdt

(2.2)

En coordonnées polaires (cas d’un mouvement plan)

Le point M est repéré par ses coordonnées polaires (r,θ) « mais ici, la base employée(−→ur,−→uθ) est mobile par rapport au repère ».

Le vecteur position −→r = −−→OM s’écrit donc −→r = r−→ur.

Le vecteur vitesse est : −→v =−→drdt=

ddt

(r−→ur

), soit

−→v = drdt−→ur + r

d−→ur

dt= r−→ur + rθ−→uθ (2.3)

card−→ur

dt= θ−→uθ (voir exercice 2.4)

Les composantes de −→v sont donc :

{rrθ

Dans le repère de Frenet (Cas d’une trajectoire plane)

On introduit un repère mobile (−→τ ,−→n ) (Fig. 2.9), lié au mobile M tel que :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩−→τ : vecteur unitaire porté par la tangente à la courbe et orienté dans le sens du

mouvement ;−→n : vecteur unitaire orthogonal à −→τ et dirigé vers la concavité de la trajectoire.

On a alors −→v = v−→τ .ρ représente le rayon de courbure de la trajectoire : c’est le rayon du cercle tangent àla trajectoire sur une petite portion autour du point M (Fig. 2.9).

• Si la trajectoire est un cercle de rayon R, ρ = R.

• Si la trajectroire est une droite, le rayon de courbure ρ tend vers l’infini.


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M

M0

C°

°τ

ρ

n

+O

+

°M τ

n

ρ

O+

Figure 2.9


Le point M est repéré par ses coordonnées cylindriques (r,θ,z).

Le vecteur position−−→OM s’écrit donc

−−→OM =

−−→OH +

−−−→HM = r−→ur + z−→uz.

Ainsi −→v =−−−−→dOM

dt= r−→ur + rθ−→uθ + z−→uz.

2.2. AccélérationDéfinition

L’accélération du mobile, à l’instant t, est la dérivée dans (R) par rapport autemps, du vecteur vitesse, soit :

−→a =−→dvdt=

d2−→rdt2

(2.4)

Expression de l’accélération dans différents systèmes de coordonnéesEn coordonnées cartésiennes

Comme −→v = dxdt−→i +

dydt−→j +

dzdt−→k , alors

−→a = d−→vdt=

d2 x

dt2

−→i +

d2y

dt2

−→j +

d2z

dt2

−→k = x

−→i + y

−→j + z−→k (2.5)

En coordonnées polaires

−→a =−→dvdt=

ddt

(r−→ur + rθ−→uθ

)= r−→ur + rθ−→uθ + rθ−→uθ + rθ−→uθ − rθ2−→ur, soit

−→a = (r − rθ2)−→ur + (rθ + 2rθ)−→uθ

avecd−→ur

dt= θ−→uθ et

d−→uθdt= − θ−→ur.


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Dans le repère de Frenet

−→a = aτ−→τ + an

−→n avec

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩aτ =

dvdt

an =v2

ρ


−→a =−→dvdt= (r − rθ2)−→ur + (rθ + 2rθ)−→uθ + z−→uz

3. ÉTUDE DE QUELQUES MOUVEMENTS

3.1. Les mouvements rectilignes

Figure 2.10

Le mobile M se déplace le longd’une droite sur laquelle sera choisi

un vecteur unitaire−→i (Fig. 2.10).

La trajectoire rectiligne sera orien-tée selon un axe x′Ox.Le vecteur position s’écrit donc

−−→OM = x

−→i .

On déduit donc −→v = x−→i et −→a = x

−→i .

Mouvement rectiligne uniforme

Suivant l’axe x′Ox la vitesse instantanée est −→v = −→v0 = v0−→i =−−→cste.

Comme −→v = −−→cste alors −→a = d−→vdt=−→0 .

De plus, comme v =dxdt= v0 alors, x =

∫ t

0v0dt = v0t + x0 où x0 est l’abscisse du

point M à la date t = 0.Pour un mouvement rectiligne uniforme, on a donc :⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩v = v0 = cste

x = v0t + x0(2.6)

Remarque

Dans l’écriture v =dxdt

, v ne représente pas la norme de la vitesse.


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Mouvement rectiligne uniformément varié

Le mouvement est rectiligne uniformément varié si −→a = −→a0 = a0−→i =−−→cste.

• Le mouvement est accéléré si −→a .−→v > 0.

• Le mouvement est décéléré si −→a .−→v < 0.

Comme −→a = d−→vdt

alors v =∫ t

0a0dt = a0t + v0 où v0 est la vitesse du mobile à t = 0.

Ainsi x =12

a0t2 + v0t + x0 (x0 abscisse du mobile à t = 0 ).

Pour un mouvement rectiligne uniformément varié, on a donc⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩(1) a = a0 = cste

(2) v = a0t + v0

(3) x =12

a0t2 + v0t + x0

(2.7)

En éliminant t entre les équations (2) et (3) de la relation (2.7), on obtient (voir dé-monstration, exercice 2.1) :

v2 − v20 = 2a0(x − x0) (2.8)

Mouvement rectiligne sinusoïdal

Un mobile est animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal si sa trajectoire est unedroite et sa loi horaire est une fonction sinusoïdale du temps, soit :

x(t) = xm sin(ωt + φ)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣xm : amplitude du mouvement en mω : pulsation en rad.s−1

φ : phase à l’origine en radωt + φ : phase à la date t en rad

Le mobile M se déplace entre deux positions extrêmes M1 et M2 d’abscisses xm et−xm.

La vitesse du mobile

Comme v =dxdt

alors v = x = ωxm cos(ωt + φ).

L’accélération du mobile

Comme a =dvdt

alors a = x = −ω2xm sin(ωt + φ) = −ω2x,

soit x + ω2x = 0. On retrouve l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique.


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3.2. Mouvement circulaire

O x

y

M

ur

uθθ

R

A

i

j

+

x

y

Figure 2.11

On dit qu’un mobile M a un mouvement circu-laire lorsqu’il se déplace sur un cercle fixe parrapport au repère d’espace choisi (Fig. 2.11).Le repérage de la position du mobile peut être :

• en coordonnées cartésiennes : on choisit uneorigine O, centre du cercle de rayon R ;

• en coordonnées curvilignes : on prendracomme origine le point A, le point de co-ordonnées (x = R, y = 0) et comme senspositif le sens direct ;

• en coordonnées polaires : le mobile M est re-péré par ses coordonnées polaires (r,θ) avec

θ = (−−→OA,−−→OM).

Remarques

• si s représente l’abscisse curviligne, on a s = Rθ,

• −→ur = cos θ−→i + sin θ

−→j ,

• −→uθ = cos(θ +π

2)−→i + sin(θ +

π

2)−→j = − sin θ

−→i + cos θ

−→j .

Vitesse et accélération du mobile

• −→v = d−−→OMdt=

ddt

(R−→ur

)= R

d−→ur

dt= Rθ−→uθ = Rω−→uθ, avec ω = θ (vitesse angulaire).

• −→a =−→dvdt=

ddt

(Rθ−→uθ)= Rθ−→uθ − Rθ2−→ur

comme v = Rθ alors Rθ2 =v2

Ret Rθ =

dvdt

ainsi −→a = −Rθ2−→ur + Rθ−→uθ = −v2

R−→ur +

dvdt−→uθ.

Cas particulier du mouvement circulaire uniforme

Dans ce cas, on a : ω = θ = ω0 = cste et v = v0 = cste.Ainsi −→v = Rω0

−→uθ et −→a = −Rω20−→ur.

L’accélération −→a est centripète et le mouvement est périodique de période T =2πω0.

4. MOUVEMENTS RELATIFS ET ABSOLUSLa trajectoire, la vitesse et l’accélération du mobile dépendent du référentiel (R) au-quel est rapporté le mouvement.


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