Les bases du magnétisme application à la...

Année universitaire 2014/2015Université Joseph Fourier (UJF) Grenoble I - Tous droits réservés



Chapitre 4 :Les bases du magnétisme

application à la RMN

Dr. Hervé GUILLOU

UE 3-1: Physique

IV- Le magnétismeFinalité du chapitre

Une induction magnétique statique a vraisemblablement moins d’influence sur les fonctions biologiques que les champs électrostatiques. En effet les ions mobiles dont les processus vitaux dépendent sont tous directement sensibles aux champs électrostatiques alors qu’aucun effet notable n’est observé dans une cellule immergée dans un champ magnétique. On notera quelques exceptions:

1. Il existe des bactéries (ex: Aquaspirillum magnetotactitum) qui se déplacent le long des lignes de l’induction magnétique. Elles détectent grâce à des nanoparticules d’oxyde de fer une induction magnétique de l’ordre de 50 µT qui est l’ordre de grandeur de l’induction magnétique terrestre en France.

2. Certains animaux, notamment les oiseaux seraient capables d’utiliser le champ magnétique terrestre afin de s’orienter.

3. L’eau a des propriétés magnétiques particulières, elle est diamagnétique. Une des conséquences spectaculaire de cette propriété et de permettre la lévitation de petits animaux lorsque ceux-ci sont plongés dans une induction magnétique intense

0.5 µm


Bien que l’es effets du magnétisme sur le vivant soient moins importants que les effets électriques, il est important pour un médecin d’aborder les phénomène magnétiques pour les raisons suivantes:1.Des inductions magnétiques variables dans le temps génèrent des champs électriques, et donc ont un effet indirect.2.Les ondes électromagnétiques sont composées d’un champ électrique variable et d’une induction magnétique variable. Les champs électrique et magnétique sont indissociables. La théorie de l’électromagnétisme, développée au 19ième siècle est une partie très importante de la physique présente dans de multiples phénomènes:

– En optique, la lumière est une onde électromagnétique. – L’interaction de la lumière et de la matière définit toutes les méthodes de spectroscopie (X, UV, Visible,

IR).– La transformation de l’énergie mécanique en énergie électrique se fait grâce aux phénomènes

d’inductions.3. Une application fondamentale en médecine et science de la matière: la Résonance

Magnétique Nucléaire (RMN)– Spectroscopie– Imagerie (IRM)


7. Moment magnétique dans la matière8. Aspects quantiques9. Aspects phénoménologiques de la RMN

Lois fondamentales

1. Connaître l’action d’une induction magnétique sur une charge ou un courant électrique

2. Comprendre l’origine de l’induction magnétique et savoir comment elle est générée

3. Loi de l’induction.

Dipôles et moments magnétiques

4. Définition des dipôles et moments magnétiques5. Connaître l’action d’une induction magnétique sur un moment

magnétique6. Energie d’interaction moment-induction magnétique

Applications à la RMN

IV- Le magnétismeForce de Lorentz

L’unité pratique de l’induction magnétique est le Tesla (T) qui s’exprime selon le système international d’unité (m, Kg, s, A) comme:

L’existence d’une induction magnétique B et d’un champ électrique E en un endroit de l’espace est mesurée par son action sur une charge test q ayant une vitesse v. Son action est caractérisée par une force appelée force de Lorentz et qui s’exprime comme:

1. Une charge fixe (v=0) n’est pas sensible à la présence d’une induction magnétique.2. En l’absence de champ électrostatique (E=0), la force de Lorentz est orthogonale à la vitesse

et au champ magnétique (propriété du produit vectoriel)3. Si la vitesse est colinéaire à l’induction magnétique alors :

IV- Le magnétismeForce de Lorentz

L’induction magnétique B exerce sur un élément élémentaire de longueur dL d’un fil conducteur traversé par un courant électrique d’intensité I une force dF qui s’exprime comme:

ou sous forme vectorielle:

• Si le courant est inversé (I -> -I) la force est inversée• Pour une induction magnétique de B = 1 T, un conducteur linéaire orthogonal à l’induction B dans

lequel circule un courant d’intensité I = 1 A la force sur le conducteur est de F = 1 N. • Si l’induction magnétique est colinéaire au courant électrique l’effet de l’induction magnétique sur le

conducteur est nul.

La force totale qui s’exerce sur le fil est la superposition de toute les forces élémentaires. Pour la calculer on découpe le fil de forme quelconque en petits éléments dL linéaires, on calcule la force s’exerçant sur chaque élément puis on somme chacun de ces vecteurs. En pratique suivant la forme du fil et l’homogénéité de l’induction magnétique ce calcul peut être très complexe. Il ne représente un intérêt que pour les physiciens et ingénieurs qui vont concevoir des éléments magnétiques.

IV- Le magnétismeInduction magnétiquegénération par un fil

En dehors de la matière l’induction magnétique est générée par des charges électriques en mouvement, c’est à dire des courants électriques. Une charge fixe crée un champ électrique statique. Un courant constant crée une induction magnétique statique représentée par un vecteur ayant une direction, un sens et une intensité (norme).

L’élément le plus élémentaire qui permet de créer une induction magnétique correspond à un fil conducteur traversé par un courant I. La loi physique qui exprime la contribution dB à l l’induction magnétique B créée en un point M de l’espace par un courant électrique d’intensité I circulant dans un élément conducteur de longueur dl situé à un autre point de l’espace est la loi de Biot-Savart:

est la permittivité magnétique du vide dont les unités et la valeur sont précisées ci-dessous

Dans le schéma ci contre la contribution dB de l’élément dl sera dans le plan (xOy) et dirigée selon l’axe y. Le module de l’induction cette contribution sera:

IV- Le magnétismeInduction magnétique

loi de l’inductionUn courant électrique crée une induction magnétique et à l’inverse une induction magnétique qui traverse un circuit électrique génère un courant. Ce principe s’appelle induction, il est utilisé dans les systèmes d’IRM et de RMN.

Pour quantifier ce principe on considère une boucle circulaire de rayon a et plane qui forme un circuit ouvert. Une induction magnétique B(t) variant dans le temps traverse cette boucle comme représenté sur la figure. Une force électromotrice induite apparaît aux bornes de la boucle telle que:

1. Loi très importante: elle est utilisée dans les alternateurs pour transformer de l’énergie mécanique en énergie électrique

2. Il faut que l’induction ou la surface varient dans le temps, utile uniquement dans les régimes variables3. Si l’induction B est dans le plan de la boucle alors aucune fem n’est mesurée.4. Le courant induit qui circule dans le circuit est tel qu’il crée une induction magnétique qui s’oppose à

l’induction qui l’a créé.

IV- Le magnétismeLois fondamentales

Premier résumé sur les 3 principes fondamentaux

1. Force exercée sur une charge ou un conducteur dans lequel circule un courant2. Génération d’une induction magnétique par un courant circulant dans un fil3. Génération d’une tension par une induction magnétique variable traversant une boucle de

conducteur.


génération par une spire

Une spire correspond à un conducteur formant une boucle plane et circulaire de rayon a comme représenté sur la figure. C’est un élément essentiel qui forme la base d’autres structures utilisées pour générer une induction magnétique. En général le calcul de l’induction magnétique générée par un conducteur de forme quelconque est très complexe. Dans le cas ou le système de conducteur possède certaines symétries le calcul peut-être simplifié. Nous utilisons la spire afin d’illustrer cette propriété.

On considère un repère dont l’axe z passe par le centre de la spire et est perpendiculaire à celle-ci. Les propriétés de symétries vous faire que l’expression de l’induction magnétique sur l’axe z est relativement simple. En particulier l’orientation des axes x et y n’a aucune importance. Nous considérons la contribution dB1 à l’induction générée sur l’axe à l’abscisse z par un élément dl1 de la spire représentée en rouge sur la figure. L’application de la formule précédente nous donne l’expression de dB1:


génération par une spireLa figure représente l’orientation de la contribution de l’élément dl1 de la spire à l’abscisse z. Cette contribution dB1 fait un angle theta avec l’axe z et est orthogonale à r1 et dl1. Comme on se situe sur l’axe de la spire r1 et dl1 sont aussi orthogonaux. La norme dB1 s’exprime donc simplement comme:

On considérant l’élément dl2 symétrique de dl1 par rapport au centre de la spire on évalue sa contribution dB2 à l’induction magnétique totale de la même manière. dB1 et dB2 se trouvent être de même norme mais symétrique l’un de l’autre par rapport à l’axe z.


génération par une spire

En considérant les contributions de chaque élément de la demi spire on obtient l’expression de l’induction magnétique sur l’axe:

En additionnant les deux contributions dB1 et dB2 la contribution totale sera alignée sur l’axe z comme représenté en rouge sur la figure. La norme de la contribution des deux éléments dl1 et dl2 s’exprime comme:

À l’aide des formules de trigonométrie on exprime le cos(theta) comme:

L’expression du champ magnétique sur l’axe de la spire est donc en conclusion:


génération par un solénoïdeUn solénoïde correspond à l’enroulement d’un fil conducteur autour d’un cylindre de rayon a, de longueur 2L et dont l’axe est dirigé suivant l’axe z. On supposera que le diamètre du fil conducteur est négligeable devant les autres dimensions de l’objet. Un tour du fil conducteur forme une spire. Le nombre de spires du solénoïde est 2N. Un solénoïde génère une induction magnétique très homogène à son centre. En utilisant les résultats précédents, nous allons évaluer l’intensité de l’induction magnétique le long de l’axe du solénoide.

Solénoïde à spires non jointives

Solénoïde à spires jointives

Dans le cas du solénoïde à spire jointive, schématiquement représenté sur la figure à gauche, en plus des dimensions géométriques, la densité de spires par unité de longueur, notée n est un paramètre important. Dans la géométrie représentée elle vaut:


génération par un solénoïdeL’induction créée par une spire sur l’axe s’exprime comme:

La contribution au point d’abscisse z des spires contenues dans un angle dtheta autour du vecteur r s’exprime comme:

Le nombre de spire s’exprime en fonction de n comme:

En utilisant la formule de trigonométrie:

On exprime la contribution des spires contenues dans un angle dtheta autour du vecteur r au point d’abscisse z comme:


génération par un solénoïde

Afin de connaître la contribution de toutes les spires au point z on additionne les contributions de chacune des spires.Mathématiquement cela s’écrit symboliquement sous la forme d’une intégrale:



• L’induction est approximativement égale à la moitiée de l’induction maximale aux extrémités du solénoïde

• Pour des rayons petits devant la demi longueur du solénoïde l’induction est très homogène à l’intérieure du solénoïde (pour a<0.1 L0)

Profil de l’induction magnétique le long de l’axe du solénoide pour différentes géométries du solénoide.



A proximité du centre du solénoide le champ est relativement homogène. Son expression approximative en fonction de l’abscisse z est:

ou

Dans la limite ou a<<L0 l’induction magnétique au centre du solénoïde est:

Ex1: Un solénoide d’une longueur L = 1 m comportant 10 épaisseurs de spires jointives dont le diamètre du fil est de 1 mm génère une induction magnétique de l’ordre de 0.012 T/A en son centre:

Ex2: Un solénoïde d’une longueur L0 = 2 m avec un rayon de a=1 m génère une induction telle que:

Afin de connaître la zone d’homogénéité de l’induction à 3/2 10-2 (1.5 %) on cherche l’abscisse z telle que:

avec

VII- Le magnétismeInduction magnétique


En pratique et notamment pour des applications d’imagerie, on cherche à obtenir des inductions magnétique intenses (plusieurs Tesla) et uniformes sur un volume de l’ordre du volume corporel. La géométrie du solénoide est beaucoup trop volumineuse pour parvenir à cela et une autre géométrie est utilisée: les bobines de Helmholtz.

L’arrangement de deux enroulements identiques de rayon R, ayant le même axe, la même densité de spire n et disposés de manière à ce que leur centres soient séparés par une distance R égale au rayon constitue un système de bobine de Helmholtz.

La conception des bobines de Helmholtz implique que pour des abscisses z<<R l’induction magnétique sur l’axe des bobines s’exprime comme:

avec


génération par des bobines de Helmholtz

1m

L’induction magnétique au centre des bobines de Helmholtz vaut:

IV- Le magnétismeInduction magnétiquegénération conclusion

Nous avons considéré la génération d’induction magnétique dans l’air ou le vide par 2 systèmes différents:1.Le solénoïde qui permet de générer une induction uniforme à son centre au prix d’un fort encombrement. Nous avons démontré la formule obtenue.2.Les bobines de Helmholtz qui permettent de générer une induction très uniforme en leur centre.

Afin de poursuivre vers des applications concrètes nous allons considérer le magnétisme dans la matière. Pour cela nous revenons sur la spire.

La génération d’une induction magnétique intense et homogène sur un grand volume reste un défi technologique et industriel. Cela implique des intensités de courant très importantes qui nécessitent l’utilisation de matériaux supraconducteurs plongés dans un bain cryogénique d’hélium liquide à T=4,2K. Les matériaux supraconducteurs ont une résistance électrique nulle et donc le courant ne dissipe aucune énergie lorsqu’il circule dans ces matériaux. Sans cela l’énergie dissipée par effet Joule est très importante car proportionnelle à I2 alors que l’induction magnétique est proportionnelle à I.

IV- Le magnétisme2ième partie

Dipôles et moments magnétiques

4. Définition des dipôles et moments magnétiques5. Connaître l’action d’une induction magnétique sur un moment

magnétique6. Energie d’interaction moment-induction magnétique

IV- Le magnétismeLa spire comme

dipole magnétique

Nous reconsidérons la spire plane circulaire de rayon a. Nous nous intéressons à l’induction magnétique générée par le courant circulant dans la spire en dehors de l’axe de la spire. De par la symétrie cylindrique de la spire l’induction magnétique possèdera également la symétrie cylindrique.

On définit le moment magnétique m associé à la spire comme:ou k est le vecteur unitaire selon l’axe z. Le moment magnétique est orienté orthogonalement à la surface. Son sens dépend du signe du courant.

On se place dans un système de coordonnées polaire et dans une limite ou r>>a. Au point M(r,theta) l’induction magnétique possède deux composantes Br(r,theta) et Btheta(r,theta) qui s’expriment comme:


dipole magnétique

En utilisant la définition du moment magnétique l’expression de l’induction au point M s’écrit:

Ces expressions sont identiques aux expressions trouvées pour les dipôles électrostatiques1.Les dipôles magnétiques peuvent être générés par des boucles de courant macroscopiques comme la spire que nous avons considérée. Il peuvent aussi exister de manière intrinsèque aux atomes, aux électrons ou au noyaux. 2.Il n’existe pas de monopole ou « charge » magnétique.


dipole magnétique

Lignes de champ d’un dipôle électrostatique Lignes d’induction d’un dipôle magnétique


dipole magnétique

Loin des sources (charges pour le champ électrostatique, courants pour l’induction magnétique) les lignes se superposent

IV- Le magnétismeInteraction d’un dipôle magnétique avec une

induction B

On considère la spire rectangulaire centrée en O de côté dx et dy dans laquelle un courant d’intensité I circule. Cela constitue un dipôle magnétique dont le moment est dirigé selon l’axe z et vaut m = Idxdy.L’induction B exerce des forces sur les portions bc et da qui se compensent exactement et qui n’induisent aucun effet sur la spire.L’induction B exerce une force sur les portions ab et cd de la spire d’après le formule vue au début du cours:

Ces deux forces sont égales et opposées en direction aussi aucun déplacement de la boucle n’est possible. En revanche elles vont induire une rotation de la boucle.

On définit le moment ou couple que l’induction B exerce sur le dipôle au point O par:

Si le couple est différent de 0 alors le dipôle aura tendance à tourner de manière à annuler le couple.

ou le vecteur i représente le vecteur unitaire le long de l’axe x.

IV- Le magnétismeInteraction d’un dipôle magnétique avec une

induction B

Position d’équilibre stable, l’énergie est minimale

Position d’équilibre instable, l’énergie est maximale

L’énergie potentielle Um d’interaction entre le dipôle magnétique et l’induction est égale au travail du couple soit:

L’énergie potentielle Um d’interaction entre le dipôle magnétique et l’induction est minimale lorsque theta = 0 et est maximale lorsque theta = pi. Les dipôles magnétiques comme tout système mécanique cherchent à minimiser leur énergie et à s’aligner sur l’induction magnétique.

IV- Le magnétisme3ième Partie

7. Moments magnétiques dans la matière8. Aspects quantiques9. Aspects phénoménologiques de la RMN

Applications à la RMN

IV- Le magnétismemagnétisme de la matière

Nous savons qu’il existe des matériaux magnétiques. Les aimants sont peut-être parmi les matériaux les plus commun. Les aimants à base de Fer ou d’autre éléments comme le Nickel peuvent développer des inductions magnétique indépendamment de l’existence d’un courant électrique. Ces matériaux sont dit ferromagnétiques. A cause de la complexité du phénomène nous ne développerons pas plus les propriétés des matériaux ferromagnétiques. Les aimants permanents développant une induction très intense (plusieurs Tesla à proximité immédiate de leur surface) sont aujourd’hui à bas de Néodyme de Fer et de Bore.

En plus des matériaux ferromagnétiques il existe deux autre types de matériaux magnétique. Ces matériaux ne génèrent aucune induction magnétique propre mais lorsqu’ils sont mis en présence d’une induction générée par un courant ils sont:•Soit repoussés, on parle alors de matériaux diamagnétiques. L’eau et le graphite sont deux exemples communs.•Soit attirés, on parle alors de matériaux paramagnétiques. L’aluminium est un matériaux paramagnétique.

IV- Le magnétismechamp magnétique et aimantation

Ces propriétés magnétiques des matériaux, ferromagnétisme, diamagnétisme et paramagnétisme nous montrent que dans la matière la description des propriétés magnétique est bien plus complexe que dans le vide et qu’en particulier l’induction magnétique existe en l’absence de courant. Nous devons revoir notre définition de l’induction magnétique et la séparer en deux:

1. Une contribution due aux courants macroscopiques, cette contribution s’appelle le champ magnétique et qu’on note H

2. Une contribution due aux propriétés magnétiques intrinsèques des matériaux. Cette contribution s’appelle l’aimantation on la note M.

L’induction magnétique B s’écrit alors:

• En dehors de la matière M=0 et donc l’induction magnétique B et le champ magnétique sont proportionnels, par abus de langage on appelle souvent l’induction magnétique champ magnétique.

• B se mesure en Tesla, H et M en A.m-1 .• L’aimantation M correspond physiquement à la densité de moment magnétique par unité de volume

Nous allons introduire dans les diapositives suivantes l’origine de la présence de moments magnétiques dans la matière.

IV- Le magnétismemoments magnétiques dans la matière

On modélise un atome par un noyau de charge +e, massif et immobile autour duquel tourne un électron de masse me et de charge –e comme représenté sur la figure.L’électron tourne autour du noyau sur une orbite circulaire de rayon a, à une vitesse v et engendre un courant électrique d’intensité I. L’intensité du courant électrique est par définition:

Le signe – dans l’équation précédente indique que la direction du courant est opposée au mouvement de l’électron comme attendu.Le courant ainsi crée génère à son tour un moment magnétique m:

Nous allons illustrer dans cette diapositive la relation entre le mouvement orbital d’un électron dans un atome simpliste et le moment magnétique que cela génère. Notre approche sera phénoménologique.

Ce raisonnement à pour objectif d’illustrer la relation entre le mouvement des électrons constituant la matière et la génération d’un moment magnétique.

IV- Le magnétismemoments magnétiques dans la matière

Le moment cinétique L d’un électron en orbite circulaire de rayon a autour du noyaux est définit classiquement par:

On peut donc associer dans le cas simpliste considéré ici le moment cinétique et le moment magnétique à l’aide de la formule suivante:

est le rapport gyromagnétique de l’électron

Généralisation: •on peut généraliser la relation entre le moment cinétique orbital et le moment magnétique même pour des systèmes comme les atomes ou les molécules plus complexes que le modèle que nous avons présenté.•Les électrons, les neutrons, les protons et les molécules possèdent un moment cinétique intrinsèque appelé spin, qui n’a aucun équivalent classique et qui est une grandeur purement quantique, mais qui lui aussi génère un moment magnétique.

Nous avons donc une explication pour l’existence de moments magnétique dans la matière. La manière dont ces divers moments magnétiques répondent à la présence d’un champ magnétique H engendré par des courants détermine les propriétés magnétiques du matériaux.

IV- Le magnétismeIntroduction à la RMN

Nous avons vu qu’il existait des moments magnétiques dans la matière. A la fois au niveau des électrons en combinant le moment cinétique orbital et le moment cinétique de spin. Il en existe aussi au niveau des noyaux qui peuvent aussi posséder un spin.

Un noyaux d’hydrogène, c’est un dire un proton possède un spin ½. Le spin étant une grandeur quantifiée le moment cinétique de spin d’un proton le long d’un axe z arbitrairement orienté de la même manière que le champ magnétique ne peut prendre que deux valeurs:

Le moment magnétique du proton peut donc prendre également deux valeurs (g = 5,586 pour les protons):

En présence d’une induction magnétique extérieure B ces deux configurations magnétiques vont avoir des énergies potentielles différentes à cause de l’interaction entre l’induction magnétique et le moment dipolaire:

Les niveaux d’énergie du spin du proton immergé dans une induction magnétique B vont être séparés de:


Les niveaux d’énergie du spin du proton immergé dans une induction magnétique vont être séparés de:

En l’absence d’induction magnétique, il n’y a pas d’avantage énergétique à privilégier une orientation par rapport à une autre. Les moments magnétiques sont orientés arbitrairement et en moyenne l’aimantation est nulle.

Si Bz est non nulle alors à l’équilibre thermique les moments magnétiques des spins des protons vont être en majorité dans l’état de plus faible énergie, c’est à dire alignés avec l’induction B. Il en résulte une aimantation nette le long de l’axe du champ (axe z) non nulle


1. La première étape consiste à irradier l’échantillon avec un rayonnement de fréquence nu telle que son énergie h nu soit exactement la différence d’énergie entre les deux configurations possibles des spins des noyaux le long de l’axe z. Si cette condition est observée, il y a résonance et une partie des noyaux qui se trouvaient dans la configuration d’énergie minimale absorbent l’énergie du rayonnement et sont excités dans la configuration d’énergie maximale.

2. Une fois excité, l’aimantation macroscopique dont la résultante se trouve généralement selon l’axe x ou y.

3. Les noyaux se désexcitent et relaxent vers leur état configuration d’énergie minimale en échangeant l’excés d’énergie sous forme de chaleur avec l’environnement. Se faisant l’aimantation change et ce changement induit un flux magnétique variable dans une bobine et donc est détecté électriquement. Ils existent deux temps de relaxation dont les origines physiques sont différentes. En imagerie le contraste dépend de la variation spatiale de ces temps de relaxations.Constante de Planck h = 6,62606957 × 10-34 J.s


• Magnets = aimant, génère l’induction magnétique Bz, fixe la sensibilité.

• Radio Frequency Coils, excitent et mesurent le signal magnétique

• Gradient Coils, utilisées pour la résolution spatiale (imagerie)

IV- Le magnétismeConclusion

Nous avons introduit dans ce cours les lois fondamentales du magnétismeLes phénomènes magnétiques sont très complexes et les concepts sont difficiles à saisirLeur description exacte implique des notions avancées de mécanique quantiqueIl faut retenir les ordres de grandeur et les descriptions qualitatives ainsi qu’avoir compris le sens des formules basiques.

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