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23/09/2016

1

PACES

LE DOMAINE DE L’OPTIQUE

UE3 : Organisation des appareils et des systèmes :

bases physiques des méthodes d’exploration

Pr. D. MARIANO-GOULART

• Nature et propriétés de la lumière: dualité ondes-particules

• Lois de propagation, diffraction de la lumière

BO n°45 du 3/12/2009 p. 43

Cours 2016 - 2017

PACES

OBJECTIFS PEDAGOGIQUES

• Maîtriser les concepts physiques liés :• aux ondes électromagnétiques (nature, propagation, propriétés),

• à la mécanique ondulatoire (dualité onde-particule)

• Pour être capable• de fonder la chimie sur un modèle d’atome

• d’évaluer les intérêts et risques des rayonnements en santé :

• Physiologie de la vision (et de l’audition),

• Techniques diagnostiques : spectrométries et imagerie

• Thérapeutiques : Lasers et irradiations.

Pré-requis : programme de physique des classes scientifiques des lycées.Ce cours est lui-même un pré-requis pour les cours de PACES de chimie, pour ceux sur les

rayonnements X, g et particulaires et pour ceux de biophysique sensorielle et d’imagerie en L2-L3

PACES

PLAN DU COURS (I)

ASPECT ONDULATOIRE DE LA LUMIERE1. ONDE PROGRESSIVE

2. ONDE ELECTROMAGNETIQUE

3. LOIS DE PROPAGATION DE LA LUMIERE

• PRINCIPE DE MOINDRE ACTION

• LOIS DE SNELL-DESCARTES

• ONDES STATIONNAIRES

• DIFFRACTION et DIFFUSION

• ONDES COHERENTES

• INTERFERENCES

ASPECT CORPUSCULAIRE DE LA LUMIERE

ATOME DANS LE MODELE STANDARD

ONDES OEM PROPAGATION DUALITE ONDE CORPUSCULE ATOME

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2

PACES

ONDE PROGRESSIVE: DEFINITION

Source d’énergie

modification locale de position, pression, température,

champ électrique, magnétique,…

Propagation à la vitesse c (m/s)

Propagation d’une perturbation des caractéristiques physiques du milieu

x


PACES

Source d’énergie

déplaçant vers le haut un

élément de corde

ONDE PROGRESSIVE: EXEMPLES


Propagation à la vitesse c (m/s)de l’ordre de se déplacer verticalement (vibration)

corde rigide de

masse linéique m

T

PACES

Source d’énergie

modification périodiquede la position des points

de la corde dans la direction verticale

Propagation à la vitesse c (m/s)de l’ordre de mise en vibration



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3

PACES

Source d’énergie (HP)


x,0

d


air

PACES

x,t



x,0

d


PACES

x,2t

x,t



x,0

d


23/09/2016

4

PACES

x,2t

x,t


x,3t


x,0

d


PACES

x,2t

x,t


x,3t

Onde progressive

scalairede vibration longitudinale

(ou de surpression)de célérité c

exemple : son

x,4tc = d/t


x,0

d


PACES


x,2t

x, t =T/4

x,3t

x,4t =T

x,5t

Onde progressive vectorielle

transversale

f

f

T

t

2 avec

24

1

4

=

===

x,0

Ttπ.Eπ.f.tEE 2sin2sin00

==

d

c = d/t


23/09/2016

5

PACES

LA CELERITE PAR LES DIMENSIONS

La célérité c de l’onde doit dépendre :

- de la facilité avec laquelle le milieu se transforme

localement pour transmettre la perturbation

- de l’inertie que le milieu oppose à cette transmission

Dans le cadre d’une corde vibrante, c si T et si m :


1

2

.

..

=

=

LM

TLMT

m

2 2 122

.. cTLTLT

===

m

m

Tkc .=

Dans le cas d’un son, dans un solide et dans de l’air

Ec =

(on peut montrer que k =1)

PKc .=

PACES

ONDE PROGRESSIVE: MODELISATION

x)0,( =xtg ),( xtg

c

0

),( xtg)0,(tg

)0,(),(c

xtgxtg =

cxt

c

xt

)0,(tg )0,(tg

tt

x

)0,(),( tt gxc

xg =


PACES

ONDE PROGRESSIVE SINUSOIDALE

x?),( =xtg

c

tAgtg .sin)0,0()0,( =

=

c

xtAxgxtg .sin),0(),(

grandeur physique avant la perturbation

perturbation retardée de x/c

Définitions : (rad.s-1) = pulsation propre = 2..f = 2. /Tf (Hertz = Hz = s-1) : fréquenceT (s) : période (temporelle)


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6

PACES

EQUATION DE D’ALEMBERT

),(.),(

),(.),(

2

2

2

2

2

2

xtgt

xtg

xtgcx

xtg

=

=

),(1),(

2

2

22

2

t

xtg

cx

xtg

=

Equation de d’Alembert caractéristique

d’une onde progressive de célérité c

La dérivée partielle d’une fonction g(t,x) suivant

la variable x est la dérivée de g par rapport à x

calculée en supposant l’autre variable t constante.

La dérivée partielle seconde est notée :

x

xtg

),(

2

2

),(

x

xtg


Jean Le Rond d’Alembert

1717-1783

)](cos[.et )](cos[.)](sin[),(c

xtA

t

g

c

xtA

cx

g

c

xtAxtg =

=

=

PACES

NOTION D’IMPEDANCE


x

),( xtg cFy

T

qdx

dgà t fixé

On définit l’impédance Z par le rapport entre la force

qui crée la déformation (Fy) et la vitesse de vibration (v) :v

FZ

y

=

vc

T

t

g

c

T

c

xtA

c

TF

x

c

xtA

Tx

gTTF

y

y

. . )](cos[...

)](sin[

sin.

=

==

=

=

q

cT

TT

T

c

T

v

FZ

y

.. mm

mm

m

======

Pour un son dans l’air: ... PKcv

PZ ===

cc

T

v

FZ

y

.m===

PKc .où =

PACES

NOTION D’INTENSITE


22

2

222

2222

c

22

c

222

cpc

....2

/SP

....2P

....2E....E

.2

1.2..

2

1E

.2..et .

2

1

)](cos[.)](sin[),(

E.2EEE

AfcS

I

Afc

AfcAfc

Acc

mAv

c

xtA

t

gv

c

xtAxtg

m

m

mm

m

mm

==

=

==

====

=

==

==

2

22

..2

AZS

fI

=

L’intensité (puissance surfacique) transportée

par l’onde est proportionnelle au produit du

carré de l’amplitude par l’impédance.

S

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7

PACES

DECOMPOSITION EN OPS


T = 1/fg(t)

t

dans cet exemple :

T = 2 et = 1

PACES



(t)cos.3,11

1,6)t0,4.cos(3.

1,6)t0,4.cos(3.(t)cos.3,11

PACES



t)0,3.cos(5.1,6)t0,4.cos(3.(t)cos.3,11

t)0,3.cos(5.

1,6)t0,4.cos(3.(t)cos.3,11

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8

PACES



1,6)t1,3.cos(7.t)0,3.cos(5.,6)1t0,4.cos(3.(t)cos.3,11g(t) =

t)0,3.cos(5.,6)1t0,4.sin(3.(t)cos.3,11

1,6)t1,3.cos(7.-

1,6)t1,3.cos(7.t)0,3.cos(5.,6)1t0,4.cos(3.(t)cos.3,11g(t) =

t)0,2.sin(7.1,6)t0,3.sin(5.)1,3t0,4.sin(3.1,6)(tsin.3,11g(t) =

=

=1

0)(cosg(t)

n

nntnAA

=

q

q cos)2

sin( :rappel =

PACES

SERIE DE FOURIER : CAS GENERAL

=

=1

0)(cosg(t)

n

nntnAA

n

n

n

nnn

a

btg

aAbaA

=

==

2 sauf 0

0

22

=

=

T

n

T

n

dttntgT

b

dttntgT

a

0

0

.sin).(2

.cos).(2

Pour toute fonction g(t) intégrable de période T=2/:

Les coefficients An et n se calculent suivant (ces formules ne sont pas à apprendre par cœur):

avec


Les composantes de cette somme sont les harmoniques de fréquence f =/(2)

Onde portant une fréquence unique: sinusoïdale = pure = monochromatique = radiation

Onde caractérisée par une somme d’harmoniques : Onde complexe = polychromatique

J FOURIER 1768-1830

PACES

SPECTRE D’UNE ONDE COMPLEXE

=

=1

0)(cosg(t)

n

nntnAA

harmonique n de fréquence fnfn =n./2 =n.f

amplitude del’harmonique

0 1 3 5 … 100 fn

0A

1A

3A

5A 100

A


fmax f

fA

Spectre discret Spectre continu

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9

PACES

CARACTERISTIQUES D’UNE RADIATION

• Célérité c,

dans ce cas, propagation dans la direction x positifs

• Amplitude = A (même unité que la grandeur g)

• Pulsation propre : en rad/s

• Fréquence f en Hertz (Hz = s-1) : =2f ou f déterminent la nature de l’onde et ses modes

d’interaction avec l’environnement…

=

c

xtAxtg sin.),(


PACES

• Périodes– Par rapport au temps : T = 1/f = 2/ en s

• Pour x fixé, g(t,x) = g(t+T,x)

– Par rapport à l’espace : longueur d’onde

=cT=c/f= 2 c /

est la distance parcourue par l’onde en T secondes.

λ)xg(t,c.T)xg(t,x)g(t, fixé,pour t

.sin.sin.sin.

==

=

=

c

xTctA

c

xTtA

c

xtA

=

c

xtAxtg sin.),(


T


PACES

• Phase : f = x/c = 2fx/c = 2x/

• Surfaces d’onde : surfaces connexes contenant

l’ensemble des points de même phase

S

S’

S’ S

Onde plane Onde sphérique


f =

= tA

c

xtAxtg sin.sin.),(


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10

PACES

Vecteur d’onde :

– perpendiculaire aux surfaces d’ondes

– de norme k = /c = f/x

k

S

k

k

k

S

kk



kxtAtAc

xtAxtg ==

= sin. sin.sin.),( f

Onde plane Onde sphérique

PACES

PRINCIPE DE HUYGENS-FRESNEL


Principe de Huygens-Fresnel :

chaque point d’une surface d’onde agit comme

une source ponctuelle émettant en phase

P

S S’

k

Propagation d’une onde plane Propagation d’une onde sphérique

P

PACES

ONDE SPHERIQUE PURE

Une source ponctuelle émettant de façon

isotrope produit une onde sphérique

(dans un milieu homogène).

Localement et loin de la source,

la surface d’onde peut être

approchée par un plan P : on

parle alors d’approximation en

onde plane

S

P

dP

dc

f =


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11

PACES

ONDE SPHERIQUE PURE

S=4d²

dP

Une source ponctuelle émettant de façon

isotrope produit une onde sphérique.

A une distance d de la source, la

puissance émise se répartit uniformément

sur la surface d’une sphère de rayon d :

La puissance surfacique reçue à la

distance d varie donc comme 1/d²

2

21

4)(

d

PWmI

=


radiation unepour ...2222

AfZP =

P

PACES

A distance d d’une source ponctuelle

isotrope :

Doubler la d diminue I d’un facteur 4

Radioprotection

LOI EN 1/d²

S

dP


2

21

4)(

d

PWmI

=

P

PACES

OBJECTIFS DU POINT D’ÉTAPE 1

• Savoir définir : onde progressive, onde pure,

onde complexe, harmonique, spectres

• Savoir manipuler les caractéristiques d’une

onde : , f, T, , f, Sonde,

• Savoir modéliser une onde pure :• g(t,x) = A.sin[2.f(t-x/c)]

• Savoir manipuler ce modèle

• Savoir utiliser le principe d’Huygens-Fresnel

• Savoir exploiter la loi en 1/d² à des fins de

radioprotection

k


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12

PACES

RAPPELS MATHÉMATIQUES

• PRODUIT SCALAIRE

Propriété: si , alors est la longueur

de la projection de sur la direction de

)v,u.cos(v.uv.uv,u

=

1v =

v.u

u

v

v

u

),(

vu

0 1 v.u


PACES

RAPPELS MATHÉMATIQUES

• PRODUIT SCALAIRE

Propriété: si , alors est la longueur

de la projection de sur la direction de

• PRODUIT VECTORIEL

)v,u.cos(v.uv.uv,u

=

1v =

v.u

u

v

v

u

),(

vu

0 1 v.u

direct )vu,v,u(

)v,u.sin(v.uvu

)v,uPLAN( vuv,u

=

x

yz

v

u

vu


PACES

Champs statiques = créés par des distributions de charges

ou de courants constants dans le temps = permanents.

• Charge ponctuelle permanente

Permittivité

CHAMPS ELECTRO ET MAGNETOSTATIQUES

E

-q’ q

EqF

.=

E

F

2r

1

4π

q'(r)E

=

112

0.10 . 85,8.

== mF

rr


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13

PACES

Exemples de champs statiques (créés par des distributions de

charges ou de courants électriques constants dans le temps)


• Circuit de courant permanent

Permittivité 112

0.10 . 85,8.

== mF

rr


-q’ q

EqF

.=

E

F

2r

1

4π

q'(r)E

=

B

qv

r

r

I

2π

μ(r)B =

Bvq.F

=

B

E

Perméabilité17

0.10.57,12.

== mH

rrmmmmI


PACES

Exemples de champs statiques (créés par des distributions de

charges ou de courants électriques constants dans le temps)


• Circuit de courant permanent

Permittivité112

0.10 . 85,8.

== mF

rr


-q’ q

EqF

.=

E

F

2r

1

4π

q'(r)E

=

B

qv

r

r

r

I

2π

μ(r)B =

I

Bvq.F

=

a

αsin2r

μ.I(r)B

3=

BB

E

Perméabilité17

0.10.57,12.

== mH

rrmmmm


PACES

LIEN ELECTRICITE / MAGNETISME (Romagnosi 1802, Ørsted 1820)

V

-eR

R’

Dans R, champdéplacement de charges dans un champ magnétique sans champ électrique

Dans R’, champ charges statiques , donc pas de force magnétique :

BV'E donc

=

B

BVe.F

=

F

)'B'v'E(-'F

)BvE(-F

=

=

e

e

)0'v(

=

)Vv(

=

'Ee.'F

=


)0E(

=

)B,E(

)'B,'E(

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14

PACES

DENSITES DE CHARGES ET DE COURANTS

Soient n particules par unité de volume,

de charge q et de vitesse v. On définit :

• la densité de charge = n.q en C.m-3

• la densité de courant j = n.q.v = .v en A.m-2

q

v

v

n par m3

Le principe de conservation de

la charge donne un lien entre

ces deux densités :

t

ρ

x

jej.j

x

=

=


PACES

COUPLAGE ELECTROMAGNETIQUE

• Si les densités de charges et de

courants j ne dépendent pas du temps,

alors E et B sont permanents et

indépendants l’un de l’autre.

• Si les densités de charges et de

courants j varient au cours du temps,

les champs électriques et magnétiques

sont couplés: E variable B variable JC Maxwell

1831-1897


PACES

LES EQUATIONS DE MAXWELL

• Charges électriques champ électrique

• Pas de « charge » magnétique

• Couplage électro-magnétique

0=

z

B

y

B

x

Bzyx

=

z

E

y

E

x

Ezyx

Nb : Ces équations de Maxwell seront rappelées dans les énoncés du concours au besoin.

Un champ électromagnétique est caractérisé par un couple

de vecteurs satisfaisants: zyxzyx

E,E,EEet B,B,BB


=

z

y

x

z

y

x

xy

zx

yz

j

j

j

μ

E

E

E

tεμ

y

B

x

Bx

B

z

B

z

B

y

B

et ,

B

B

B

t

y

E

x

Ex

E

z

E

z

E

y

E

z

y

x

xy

zx

yz

=

Variation de dans le temps B

E

Variation de dans le temps

ou courant permanentB

E

23/09/2016

15

PACES

• Soit une onde électrique

• 1° relation de couplage de Maxwell :

)sin,0,0(),(0

=

nc

xtExtE

LES EQUATIONS DE MAXWELL DANS LE VIDE

=

z

y

x

xy

zx

yz

B

B

B

t

y

E

x

E

x

E

z

E

z

E

y

E

t

B

x

Eet 0BB

B

B

B

t0

x

E

0

yz

zx

z

y

x

z

=

==

=

APPLICATION :

x

xtE ,

z y

uccn

=


PACES

Maxwell Bx = Bz = 0 et

)sin,0,0(),(0

=

nc

xtExtE

LES EQUATIONS DE MAXWELL DANS LE VIDE

=

=

=

nn

y

nn

zy

c

xtE

cB

c

xtE

cx

E

t

B

sin1

cos.1

0

0

)0,sin,0(),(0

=

nc

xtBxtB

00

1E

cB

n

=avec

Généralisation : Euc

1B

n

=

x

xtE ,

z y

xtB ,

uccn

=


PACES

CELERITE DE LA LUMIERE

0

0

0

0 ...](sin[](sin[ Eεμc

E

cc

xtE

tεμ

c

xt

c

E

xt

Eεμ

x

Bzy

=

=

=

Dans notre cas particulier

]0),(sin[,0(),(

)](sin[,0,0(),(

0

0

c

xt

c

ExtB

c

xtExtE

=

=

εμc

1=

4° équation de Maxwell :

t

Eεμ

x

B

Et

εμ

x

Bj

j

j

μ

E

E

E

tεμ

y

B

x

B

x

B

z

B

z

B

y

B

zy

zy

z

y

x

z

y

x

xy

zx

yz

=

=

=

0

0

0

0


23/09/2016

16

PACES

ONDE ELECTRO-MAGNETIQUE

ncBE

BE

et

m1=n

c

F/m .4

10

H/m 10.4

ms 10.998,21

2

7

0

0

7

0

0

18

00

c

c

r

r

m

mmm

m

=

=

=

=

==

éPermitivit

téPerméabili

OP vectorielle transversale


1==rr

nc

cn m

Impédance :B

EZ

0

0

0

0m

m==

•

• en phase, même f

• B=E/cn

•

• indice de réfraction :

PACES

POLARISATION

Si la direction de (donc de ) est :

– fixe : polarisation rectiligne

– tourne à vitesse angulaire constante • en décrivant un cercle : polarisation circulaire

• en décrivant une ellipse: polarisation elliptique

E

tE

tE tE

c

B

c

c

rectiligne elliptique circulaire

tB

tB

tB


PACES

1020 1017 1016 1014 1011 108 106 105

CLASSIFICATION SIMPLIFIEE

F (Hz)

1 pm 1 nm 10 nm 400-800 nm 1mm 1 m 100 m 1km

R. cosmique U.V visible IR micro hertzien

X, g ondes TV, radio

radar téléphone

Wifi IRM


23/09/2016

17

PACES

• Savoir définir : une OEM et une polarisation

• Connaître : • la classification des OEM

• longueurs d’onde limites entre

– (X,g) : < 10 nm

– (visible) : 400 nm < < 800 nm

– (hertzien) : > 1 mm

• Savoir manipuler• Les équations de Maxwell (qui seront rappelées)

• Les déterminants de la célérité d’une OEM

, m, R, mR, n)

OBJECTIFS DU POINT D’ ÉTAPE 2


PACES

LOIS DE PROPAGATION DE LA LUMIERE

y

tEi

x

z

tBi

ik

miroir plan conducteur

e-

)(, tBtErr

r

k

0(t)B

0tE

=

=


PACES

• Conséquence des équations de Maxwell

• Conséquence du principe de Fermat

– Principe de moindre action pour les ondes

– Entre deux points de l’espace, le vecteur d’onde suit la

trajectoire la plus rapide (ce principe a trouvé une justification avec

les travaux de R. Feynman en mécanique quantique1).

REFLEXION ET REFRACTION

Ces phénomènes peuvent être abordés de deux façons

équivalentes. La première correspond à une approche « optique

physique », la seconde à une approche « optique géométrique ».

1Pour une introduction, voir R. Feynman, « lumière et matière, une étrange histoire », Points Sciences


23/09/2016

18

PACES

CHEMIN OPTIQUE

• Principe de Fermat : La lumière suit la

trajectoire qui minimise le temps de parcours tn

entre deux points A et B dans un milieu d’indice de réfraction n :

• Chemin optique L entre deux points d’un milieu d’indice n

),(.),(..),(

BAdistnBAdistc

ctc

c

BAdistt

n

n

n

n===

A B)( BAL u


où ..),(.)(

AB

ABuABunBAdistnBAL ===

PACES

VARIATION DE CHEMIN OPTIQUE

A B)( BAL u

dB

..

..'

.. ..'

.. '..'

dBundL

dBunLL

dBunABunL

dBABunABunL

=

=

=

==

dL

.. BdundL

=

Si B subit un déplacement dB, L varie de :

usur Bd de

projection

B’

Supposons un petit déplacement de B en B’ et calculons la petite

variation de chemin optique (on néglige la modification de )u

L’=L+dL


PACES

LOIS DE SNELL -DESCARTES

Quelles sont les directions du rayon réfléchi et du

rayon transmis par rapport au rayon incident ?

n

n1 n2

P

i

René Descartes

1596-1650


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19

PACES

ri

ri

MdunMdun

BMAdL

ri

=

=

=

=

sinsin

0 .. ..

0)(

11

iu

ru

n

n1 n2

i

r

M

A

B

P

Rayons incidents et réfléchis dans le même plani = r

LOIS DE SNELL –DESCARTES (REFLEXION)

dM


scoplanaire uet u

0)(

ri

= BMAdL

PACES

iu

tu

n

n1 n2

i

t

M

AP

C

Rayons incidents et transmis dans le même plann1 sin i = n2 sin t

tnin

MdunMdun

CMAdL

ti

sinsin

0 .. ..

0)(

21

21

=

=

=

scoplanaire uet u

0)(

ti

= CMAdL

LOIS DE SNELL–DESCARTES (REFRACTION)

dM


PACES

n1 n2 > n1

i

r=i t

P

Conséquence : (n1/n2) sin i = sin t 1 sin i n2/n1

n2 < n1 réflexion totale si i > arc sin (n2/n1)

LOIS DE SNELL -DESCARTES

n1 n2 < n1

i

r=i t

P

Rayons incidents réfléchis et transmis dans le même plan

i = rn1 sin i = n2 sin t


23/09/2016

20

PACES

• Dioptre = espace transparent d’indice de réfraction n’ placé dans un milieu transparent d’indice n n’

• Système optique = milieu transparent contenant des miroirs ou des dioptres

• Pas de miroirs = système dioptrique

• Miroirs = système catadioptrique

• Système optique centré = admettant un axe de révolution

DEFINITIONS

n n’ n’’

DIOPTRE 1

DIOPTRE 2


PACES

Approximation de Gauss :

• système optique centré,

• dont les rayons lumineux s’écartent peu de l’axe

Dans l’approximation de Gauss, le système optique est

• stigmate : l’image d’un point A est un point A’

• aplanétique : l’image d’un segment AB

perpendiculaire à l’axe est un segment A’B’

perpendiculaire à l’axe

APPROXIMATION DE GAUSS

SYSTEME

OPTIQUEA

A’

B’

B

aa << 1


PACES

DIOPTRE SPHERIQUE

On se place dans l’approximation de Gauss.

CAA’

n sin i = n’ sin tGauss n . i = n’ . t

n n’

i

t

Triangle (APC) = i+a+- i = -aTriangle (A’PC) = t+a’+- t = -a’ n . i = n’ . t n . (-a ) = n’ . (-a’ ) (n’- n) = n’a’-na

aa’

P

Dioptre sphérique

S


23/09/2016

21

PACES

DIOPTRE SPHERIQUE

On se place dans l’approximation de Gauss.

(n’- n) = n’a’–na

SA

SP

SA

SP

SC

SPω

'

'=== aa

SA

n-

SA

n

SC

nn

'

''

= FORMULE DE CONJUGAISON

DU DIOPTRE SPHERIQUE :

BASE DE L’OPTIQUE GEOMETRIQUE

CAA’

n n’

i

t

aa’

P

Dioptre sphérique

S

0 : =SC

xxSCNb


PACES

DIOPTRE SPHERIQUE

CAA’

n n’

Formule de conjugaison du dioptre sphérique :

Définitions : Puissance (ou vergence) du dioptre :

P > 0 dioptre convergent

P < 0 dioptre divergent

Dioptre sphérique

S

SA

n-

SA

n

SC

nn

'

''

=

(Dp) dioptrieen SC

nn'

=P

objet

image

B

B’F’


PACES

EXEMPLE: AMETROPIES SPHERIQUES

C

A

A’

n =1 n’=1,34

Œil réduit normal

= 4 dioptres (cornée et cristallin)

S

objet à image sur

la rétine

Dp 60'

=

=PSC

nn

22,2 mm

Cristalin :

P 22 Dp + d

Cornée :

P 42 Dphumeur vitrée

rétine

cristallin

cornée


23/09/2016

22

PACES


C

A

A’

n =1 n’=1,34

Œil réduit normal

= 4 dioptres (cornée et cristallin)

S

objet à image sur

la rétine

Dp 60'

=

=PSC

nn

22,2 mm

C

A

n n’

S

objet à

P

L

MYOPE :

R ou L

HYPERMETROPE :

R ou L


PACES


C

A

n n’

S

objet à

P

L

HYPERMETROPE

- - - - non corrigé______ corrigé

C

A

n n’

S

objet à

P

LMYOPE

- - - - non corrigé______ corrigé

verre

divergent

verre

convergent


PACES

REFLEXION NORMALE

)].(sin[),(1

c

xtAxtg

ii= P

x0

n2n1


)].(sin[),(2

c

xtAxtg

tt=

)].(sin[),(1

c

xtAxtg

rr=

triAAA =

tritriA

c

cAAA

cA

cA

c2

1

211

==

)0,()0,()0,( tx

gt

x

gt

x

gtri

=

ttritgtgtg )0,()0,()0,( =

12

12

2

1

2

1

2

1 11cc

cc

A

A

A

A

c

c

A

AAA

c

cA

c

cAA

i

r

i

r

i

r

ritri

=

===

g représente par exemple E et B d’une OEM

23/09/2016

23

PACES

REFLEXION NORMALE


21

21

12

12

nn

nn

n

c

n

c

n

c

n

c

A

A

i

r

=

=

i

i

i

r

n

cc

cc

cc

A

A

=

=

12

12

2

21

212

22

..2

==

=

nn

nn

I

IrAZ

S

fI

i

r

ik

rk t

k

n

P

x0

n2n1

Ex: lentille en verre (n2=1,5) dans de l’air (n1=1) : r= 4%Conséquence: réflexion totale si n2 (soit n2 >> n1)

rI

It

i

t == 1

PACES

ik

rk

0

=t

kn

=

=

=

=

c

xt

c

xtExtE

xtExtExtE

c

xtExtE

c

xtExtE

ri

r

i

sinsin),(

),(),(),( : cesinterféren

sin),(

sin),(

0

0

0

x0

n2

REFLEXION NORMALE TOTALE

n1

P (x=0)


PACES

ik

rk

0

=t

kn

P (x=0)

x0

REFLEXION NORMALE TOTALE

=

c

xt

c

xtExtE sinsin),(

0

donc :

= t

c

xExtE

cossin2),(

0

).cos().

sin(2),(0

tEc

xxtE

=

n2n1


2cos

2sin2sinsin

qpqpqp

=or:

23/09/2016

24

PACES

ONDE STATIONNAIRE

P

0.2)( ExA

= 0)(

=xA

).cos().

sin(2),(0

tEc

xxtE

=

Pas de déphasage

Amplitude

variable avec x

0)

.sin(2)( E

c

xxA

=


PACES

).cos(.)().cos().

sin(2),(0

txAtEc

xxtE

=

=

=== ,...2

3,,2

,0..2.2

0).

sin(

xN

x

cT

x

c

x

ONDE STATIONNAIRE

P

/20.2)( ExA

= 0)(

=xA

Pas de déphasage

Amplitude A(x) variable avec x

Df = 0


PACES

P

/2

L Multiple de /2

).cos().

sin(2),(0

tEc

xxtE

=

ONDE STATIONNAIRE

L ou ne peuvent

prendre que

certaines valeurs

discrètes :

L = /2, , 3 /2,

2,…

=2L, L, 2L/3,

L/2,…

On dit que ces

grandeurs sont

quantifiées


23/09/2016

25

PACES


• Savoir définir:• dioptre, système optique centré, stigmate,

aplanétique, approximation de Gauss.

• onde stationnaire.

• Connaître et savoir manipuler :• Le principe de Fermat

• Les lois de Descartes

• La formule de conjugaison d’un dioptre

sphérique

• Les coef. de réflexion/transmission normaux

• Savoir expliquer : pourquoi une réflexion totale

aboutit à une onde stationnaire et à une quantification.


PACES

INTERFERENCES & DIFFRACTION


PACES

ONDES COHERENTES

• Deux ondes de différentes ou dont la

phase dépend du temps ne peuvent pas

superposer leurs extrema de façon stable • Pour ces sources incohérentes, seules les intensités s’ajoutent

• Exemple : lampe à incandescence

• Définition d’une onde cohérente :• Même longueur d’onde et déphasage constant dans le temps

• Particularité : Peuvent s’additionner algébriquement.

• Exemples :• Ondes stationnaires après réflexion (laser)

• Ondes sphériques après diffraction par une ou deux fentes

• Source de lumière séparée au moyen de miroirs, de prismes…


23/09/2016

26

PACES

ONDES COHERENTESONDES COHERENTES

Image virtuelle

dans le miroir 2

Image virtuelle

dans le miroir 1

INTERFERENCES

face argentée

INT

ER

FE

RE

NC

ES

INTER-

FERENCES


PACES

INTERFERENCES

• Définition : Addition algébrique d’ondes

progressives pures cohérentes

• Attention : il ne s’agit pas simplement de l’addition des intensités des

ondes (qui a lieu même avec des ondes incohérentes)

• Exemples :

• Onde stationnaire après réflexion normale

• Ondes sphériques après diffraction

• Onde fractionnée avec décalage de phase


PACES

INTERFERENCES: un exemple simple


qqb

qsin.bD =

écran éloigné

M

λ

b.sin θ2πφ

Dλ

2πD

c

ωφ

=

==

)(où

)2

.sin(.)2

cos(..2),(

)2

cos().2

2.2sin(.2),(

).sin().sin(),(

0

0

0

c

r

tErtE

tErtE

ttErtE

r

r

r

rr

f

f

ff

f

=

=

=

=

r

indépendant du temps t

2cos

2sin2sinsin:Rappel

qpqpqp

=

23/09/2016

27

PACES

INTERFERENCES: un exemple simple


b

écran éloigné

M

θb

λk.sinθk.π

λ

b.sin θπ.

2

φ===

Succession de bandes claires et sombres mesures de petits déplacements, astronomie

d

Amplitude (donc intensité) maximum si |cos(f/2)| maximum, soit si f/2 multiple de

λ

b.sin θ2πφ =

)2

φ.sin(ω)

2

φ.cos(E2.r)(t,E

r0

= t

PACES

DIFFRACTION


Rappel du principe de Huygens-Fresnel : chaque point

d’une surface d’onde agit comme une source ponctuelle

émettant en phase

k

P

S S’

k

P

S S’

k

P

S S’

PACES

Après l ’écran :

une ou plusieurs

ondes sphériques

se propagent.

un déphasage

apparaît entre les

rayons émis dans

une direction

DIFFRACTION


23/09/2016

28

PACES

INTERFERENCES APRES DIFFRACTION

S

qqx

qsin.xdD =

k

k

écranéloigné

0

x

y

Θ.xxλ

.sin2dφ

dDλ

2πdD

c

ωdφ

==

==

q

b

Calcul du déphasage entre deux rayons distants

de x, diffractés sous un angle q :

Dans la direction q, l’onde

observée après diffraction est la

somme de toutes les ondes

déphasées ayant passé

l’obstacle entre –b/2 et +b/2 et

ayant été diffractées dans la

direction q: .dxΘxω.tsin

b

AE

b/2

b/2

0

=


PACES

DETAIL DU CALCUL

tb

cAE

b

btAt

b

b

AE

qpqpqp

bt

bt

b

AE

xtb

Adxxt

b

AE

b

b

b

b

. sinsin..

sin.

sin2 avec

2

2 sin. sin. sin

2 sin

2

2sin

2sin2coscosor

2. cos

2. cos

1

. cos1

.. sin

0

0

0

0

2/

2/

0

2/

2/

0

q

q

=

=

=

=

=

=

==

NB: il est inutile d’apprendre par cœur le détail de ce calcul qui n’est donné

ici que pour les candidats les plus curieux (et qui ont raison de l’être).


Amplitude 𝐴

PACES


S

qk

k

entier N , sin0) λ

θsin b π .sinc(AA

min0b

N

q ===

0

x

y

b

ω.t.sin AE

=


23/09/2016

29

PACES

2/b /b 0 /b 2 /b

I/I0

sin q



qmin

qmin

minminsin θ

b

λ θ =

q

q D=Db

sin

est aussi la largeur à mi-hauteur du maximum principal

PACES

d

λN. ., θ

N

221sin min =

N entier positif

DIFFRACTION PAR DES ECRANS

ORIFICE CARRE DE COTE b

ORIFICE CIRCULAIRE DE DIAMETRE d

b

λN. θ

N

=minsin


PACES

LA DIFFRACTION LIMITE LA RESOLUTION

Sf.qmin

x > f.qmin : 2 objets vusx f.qmin : fusion des 2 objets

L’optique sépare les images de 2 objets distants de x si x > LMH = f,qmin = 1,22..f/d

S’f

qmin

f.qmin

x x

f.qmin

Rm : f/d = nombre d’ouverture des objectifs photographiques

x

23/09/2016

30

PACES


a

q

aaa

sin

.61,0..22,1.

sin2

1

2

2sin

min=

==

d

ff

d

f

f

d

f

d

tg

Sf.qmin

S’f

qmin

a

L’optique sépare les images de 2 objets distants de x > LMH = f.q min

LMH = R = pouvoir séparateur = résolution

Pouvoir séparateur d’un instrument d’optique:

si le milieu image est d’indice nαn.

.λ,

R

sin

610ou

sin

.61,0

d

f ..22,1

a

==

d

Cf. cours d’UE2 sur la microscopie optique

x

PACES


• Pupille d = 5 mm, = 500 nm qmin = 0.1 mrad.

R = f.qmin = 22.10-3. qmin = 3 mm

• Microscope d = 1 cm, = 500 nm, n.sin a = 1,5

qmin = 61 mrad et R = 0,2 mm

• Intérêt des optiques (télescopes) de grand diamètre

• intérêt des faibles (rayons X ou g, …)

• Intérêt d’un milieu de n élevé entre la lame et le microscope


Résolution angulaire = 1,22 . /d = qmin

Résolution spatiale = 1,22 . f/d = 0,61. /(n.sin a)

f = 22 mm

3 mm

Dq

PACES

RESOLUTION ET NUMERISATION


R+

R

R = f.q min

R/2

RR Numérisation sans perte d’information

Dimension du pixel = R/2

Théorème d’échantillonnage de Shannon:

Exemple: diamètre optimal des

cônes de la rétine: 3/2 = 1,5 mm

Données histologiques :

Entre 0,5 et 4 mm

Nb: la diffraction n’est pas la seule à limiter la résolution, cf. DFGSx2

23/09/2016

31

PACES

• Holographie

• Détermination des structures moléculaires• sin q /d donne l’ordre de grandeur de d

• La symétrie de la figure de diffraction reflète celle de l’objet diffractant

• Rayons X : Å, adaptés à sonder les structures moléculaires

• L’analyse de Fourier des figures de diffraction générées par des molécules biologiques cristallisées permet d’en déduire la structure

ADN

INTERET LIE A LA DIFFRACTION

RE Franklin & R Gosling.

Nature. 171,740. 1953


PACES


EXEMPLE DES FENTES D’YOUNG

INT

ER

FE

RE

NC

ES

) λ

θsin D π ).cos(

λ

θsin b π .sinc(AA

0

=

Le calcul pour cet exemple donne :

D

b

D

b

On associe diffraction, sommation des rayons diffractés et

interférences de ceux issus de chacun des deux trous

PACES


• Savoir définir et caractériser : • Ondes cohérentes,

• Interférence,

• Diffraction.

• Savoir :• Évaluer si des interférences sont possibles

• Calculer un déphasage et une interférence dans des cas simples.

• Manipuler la relation sin qmin=N./b

• en déduire les caractéristiques de résolution angulaire d’instruments optiques.


23/09/2016

32

PACES

PLAN DU COURS (II)

ASPECT ONDULATOIRE DE LA LUMIEREONDE PROGRESSIVE, EM, PROPAGATION


1. APPROCHE EXPERIMENTALE

RADIOMETRE, EFFET PHOTOELECTRIQUE

2. DUALITE ONDE-CORPUSCULE

RELATION DE LOUIS DE BROGLIE

LE PHOTON: ENERGIE ET CARACTERISTIQUES

RELATIONS D’INCERTITUDES

EQUATION DE SCHRODINGER

ATOME DANS LE MODELE STANDARD


PACES

APPROCHE EXPERIMENTALE

Pression de radiation: lumière chocs de particules ?


X, g, UV (f > 1014 Hz)

1905: effet photo-électrique seulement avec UV, X ou g Lumière = Particules dont l’énergie dépend de f ?

PACES

DUALITE ONDE-CORPUSCULE

A B

trajectoire suivie

vmp

.=

Problème : modéliser ensemble les deux caractéristiques de la lumière :

• ondulatoires : réflexion, réfraction, diffraction, interférences…

• corpusculaires : chocs, effet photo-électrique, effet Compton…


uc

kn

=

Idée : Modéliser via le principe de moindre action et l’analogie entre :• ondulatoire : surface d’onde / vecteur d’onde• corpusculaire : masse / quantité de mouvement

k

p

23/09/2016

33

PACES

PRINCIPES DE MOINDRE ACTION

Aspect ondulatoire: principe de Fermat (1657)

=

B

A

n.dsC

A B

trajectoire suivies.dk

sd

chemin optique minimal

==

B

A n

n

n

B

A

dsc

c

c

cdsnC ..

nc

cn =car

1601-1665


uc

kn

=

PACES



=

B

A

n.dsC

A B


sd


nc

cn =car ==

B

A n

n

n

B

A

dsc

c

c

cdsnC ..


uc

kn

=

1601-1665

PACES



=

B

A

n.dsC

A B


sd


====

B

A

B

A n

B

A n

n

n

B

A

sdkc

dsc

cds

c

c

c

cdsnC

....


uc

kn

=

1601-1665

23/09/2016

34

PACES



A B

trajectoire suivie

k

s.dk

sd

=

B

A

s.dkA

minimale


1601-1665

PACES

Aspect corpusculaire: principe de Maupertuis (1744)

=

B

A

s.dpA

minimale

A B

trajectoire suivie

vmp

.=

s.dp

sd

1698-1769



PACES


A B

trajectoire non suivie

trajectoire suivie

k

ds

=

B

A

s.dkA

=

B

A

s.dpA'

p

Description ondulatoire et corpusculaire de la lumière A et A’ minimaux ensembles

Il suffit d’avoir proportionnels : k.p

=


ket p

23/09/2016

35

PACES

RELATION DE LOUIS DE BROGLIE

h

cpkp

n

====2

...

p

hλ =

1892-1987

Constante de Planckh = 6,62 10-34 J.s

quantité de mouvementde la particule (kg.m.s-1)

Longueur d’onde (m)

2πh=

ONDE PARTICULE


PACES

• Sujet de 70 kg se déplaçant à 10 km/h

• Électron accéléré sous 100 V

APPLICATION NUMERIQUE

(électron) m 10 m3,4.1060070.10000/3

6.62.10λ

18-36

34

==

atomiques dimensionsm1,2.105,4.10

6.62.10λ

10

24-

34

==

124222kg.m.s5,4.102.m.e.Vm.vpe.V.m2.vme.Vm.v

2

1 =====

Donc : comportement ondulatoire (diffraction) des électrons

Les électrons résolution des microscopes ( /d )mais ce comportement ne peut pas se manifester pour un humain …


PACES

• Relation du quantum d’Einstein

• Relations d’incertitudes d’Heisenberg

• Quantification des grandeurs physiques

3 CONSEQUENCES DE LA DUALITE O.C


23/09/2016

36

PACES

RELATION DU QUANTUM

1879-1955

Problème :Comment appliquer =h/p à une particule se déplaçant à la vitesse de la lumière ?

Solution: la relativité restreinte (A. Einstein 1905) généralise la notion de quantité de mouvement suivant * :

42222.. cmcpE =

Donc, pour une particule de lumière : (m=0 car v=c)

cpE .=


* Les étudiants les plus curieux peuvent consulter à ce sujet les articles (hors du programme PACES)

« Transformation de Lorentz » et « Relativité restreinte » sur Wikipedia

PACES

RELATION DU QUANTUM

Pour la particule associée à une onde électromagnétique, appelée PHOTON :

ch

EcpE

mcv

==

==

.

0

.ωhfλ

hcE ===

E : énergie du photon, f et : pulsation, fréquence et longueur de l’OEM associéec: célérité des OEM dans le vide; h: constante de Planck

2π

h

DEF

=


PACES

2π

hoù .ωhf

λ

hcE ====

Électron-volt = énergie acquise par un électron accéléré sous 1 V :

E = q.V où q=e et V=1 1 eV = 1,602.10-19 J

919-

8-34

910..1,602.10

10.998,2.6,626.10)(

10..

.E(eV)

==

nmeVE

nme

ch

nmλ

1240eVE =

RELATION DU QUANTUM


-

- 1V +

23/09/2016

37

PACES

1020 1017 1016 1014 1011 108 106 105

CLASSIFICATION SIMPLIFIEE

F (Hz)

1 pm 1 nm 10 nm 400-800 nm 1mm 1 m 100 m 1km

R. cosmique U.V visible IR micro

X, g ondes Hertzien :

radar téléphone

Wifi TV, IRM

106 103 102 3,1 1,5 10-3 10-6 10-8 10-9E (eV)


PACES

RETOUR SUR LA DIFFRACTION

La même figure d’interférences est enregistrée sur une plaque photographique lorsque les photons sont émis un par un

Interprétation ?

qp

p

0

x

b

Dpx

b


PACES

qp

p

0

x

b

Dpx

b

Incertitude sur la position du photon : Dx = b

D 1 m

La direction de ladiffraction

est aléatoire



23/09/2016

38

PACES

qp

p

0

x

b

Dpx

b

Incertitude sur la position du photon : Dx = bIncertitude sur l’impulsion du photon : Dpx = p.sin q

D 1 m



PACES


qp

p

0

x

b

Dpx

b

Incertitude sur la position du photon : Dx = bIncertitude sur l’impulsion du photon : Dpx = p.sin q

si q petit et D 1m, alors p.sin q p.q p. /bAlors Dx. Dpx b. p. /b = p. = h ( h/2)

D 1 m


PACES

qp

p

0

x

b

Dpx

b

L’incertitude sur la direction de diffraction de l’OEM seretrouve dans l’impossibilité de connaître avec une absolueprécision à la fois la position et l’impulsion du photon

0Δx.Δpx



23/09/2016

39

PACES

RELATIONS D’INCERTITUDE D’HEISENBERG

ΔE.Δt

Δx.Δpx

DE : énergie échangée lors d’une interaction de durée Dt

Pour calculer une trajectoire à partir de la relation fondamentale de la

dynamique (Sf=ma), il faut connaître exactement les positions et impulsions

initiales, ce qui n’est pas le cas.

Donc, il n’y a pas de trajectoire définie à l’échelle des particules

élémentaires, mais seulement des probabilités de présence p

1901-1976


PACES

QUANTIFICATION

P

/2

L =N./2 N entier

Dualité Onde-particule L. d’onde =2.L/N quantifiée fréquence f=c/=N.c/(2L) quantifiée Énergie = hf =N.h.c/(2L) quantifiée

Les grandeurs physiques ne varient pas continûment, mais par multiples d’une grandeur élémentaire: elles sont quantifiées.


PACES


• Savoir expliquer pourquoi une modélisation

duale ondulatoire et corpusculaire entraîne :

– = h/p et E= hc/ pour les particules de masses nulles

– Dx.Dpx borné inférieurement et la perte du concept de trajectoire

– La quantification des grandeurs physiques

• Savoir manipuler :

– Les relations = h/p et E= hc/

– Et les conséquences de E= hc/ sur la classification des REM

• Connaître: les ordres de grandeur limites en énergie des photons :

– (X,g) : E > 10-100 eV ; (visible) : E = 1-3 eV; (Hertzien) : E < 1 meV


23/09/2016

40

PACES

PLAN DU COURS (II)

ASPECT ONDULATOIRE DE LA LUMIEREONDE PROGRESSIVE, EM, PROPAGATION


ATOME DANS LE MODELE STANDARD :

1. FERMIONS ET BOSONS

2. UNITES

3. MODELES ATOMIQUES

4. ATOME DE BOHR

5. QUANTIFICATION DES ELECTRONS ET DES NUCLEONS


PACES

LE MODELE STANDARD

6 quarks 6 leptons

u c t 2e/3

d s b -e/3

e m t -e

ne nm nt0

FERMIONS (MATIERE)BOSONS DE JAUGE

(INTERACTIONS)

6 anti-quarks 6 anti-leptons

+

e = 1,6 10-19 Cb


paires/triplets :

HADRONS ELECTRON

proton = (uud)

neutron = (udd)

eeq =

= .

3

1

3

2

3

2

0.3

1

3

1

3

2=

= eq

INTERACTION BOSON CIBLEPORTEE

fmI/If

FORTE8

GLUONSHADRON 1 1

ELECTRO-

MAGNETIQUEPHOTON CHARGEE 10-3

FAIBLEZ°

W+, W -TOUTE 10-3 10-5

GRAVITATION(GRAVITON)

? MASSIQUE 10-38

ATOME = (p,n,e)

PACES

• Modèle atomique de Thomson

• Expérience d’E. Rutherford (1911)

Animation sciencesphy.free.fr


MODELES ATOMIQUES

-

+- -

--

10

-10

m

or

Z électrons

de charge -e

charge +Ze

uniforme

Atome neutre

1-2° suivant le modèle

de Thomson

uranium210

84 Po

a

THOMSON

RUTHERFORD

23/09/2016

41

PACES


• Modèle atomique d’E. Rutherford (1911)



MODELES ATOMIQUES

uranium

a

or

21084 Po

-

+- -

--

10

-10

m

Z électrons

de charge -e

charge +Ze

uniforme

Atome neutre

PACES


• Modèle atomique d’E. Rutherford (1911)



MODELES ATOMIQUES

uranium

a

or

21084 Po

-

+- -

--

10

-10

m

Z électrons

de charge -e

charge +Ze

uniforme

Atome neutre

PACES

UNITES EN PHYSIQUE ATOMIQUE

• Energie : électron-volt (eV)• 1 eV = énergie cinétique acquise par un électron qui

passe, dans le vide, d'un point à un autre ayant un

potentiel supérieur de 1 volt

• 1 eV = e.V = 1,6 10-19 J

• Masse : • Unité de masse atomique = u

• 1 u = masse d’un atome de carbone 12:

• Au repos: E = m.c² m = E/c² en MeV ou MeV/c²

-

- 1V +

kg1,66.106,022.10

12.10.

12

1u 1

27

23

3

==

MeV 931

1,602.10

458 792 299.1,66.10u 1

19

227

==

12

1


23/09/2016

42

PACES

MODELE ATOMIQUE DE RUTHERFORD

• Atome : AZ X

• Z = numéro atomique = Nb d’électrons et de protons

• A = nombre de masse = Nb de nucléons (A=Z+N)

• me=9,109 10-31 kg << mp=1,673 10-27 kg < mn=1,675 10-27 kg

• ISOTOPE : même Z exemple : 11 H et 21 H

• ISOBARE : même A exemple : 4019 K et 40

20 Ca

• ISOTONE : même N exemple : 2612 Mg et 27

13 Al

• Dimensions des nucléons r 1,4 fm

• Dimension du noyau R /• R < 2571/3 . 1,4 < 10 fm interaction forte dans le noyau

--

+p

n

e


r .A R r π3

4A R π

3

4333

PACES

• Défaut de masse :Le défaut de masse correspond à une énergie

de liaison nucléaire par interaction forte

++ +

0XM.mZAZ.mc

ΔEΔM

A

Znp2==

np

A

Z.mZA Z.m XM



Courbe d’Aston

PACES


ENERGIES DE FISSION ET FUSION

Fournir

7,5 x 235 MeV

pour isoler

235 nucléons

Libérer

8,4 x 235 MeV

créer94Sr + 139Xe

Libérer

0,9 x 235 MeV pour

la fission d’un 235U

235 x 0,9=211 MeV

Q = 211 106x e x N

Q 20.1012 J/mol

C + O2 CO2 +Q’

Q’ = 418 kJ/mol

Q/Q’ = 48 106

94Sr + 139Xe

23/09/2016

43

PACES

• Un électron en orbite s’écraserait sur le noyau• mouvement accéléré (circulaire, de période T)

• donc rayonne une onde électromagnétique f=1/T (antenne)

• donc perd de l’énergie et T diminue f

• et émettrait des fréquences continûment variables.


-

+

e


lumière

blancheHg

Na

Spectres d’émission

Spectres d’absorption

Expérimentalement, un atome donné

absorbe et émet

des fréquences fixes

et déterminées

Hg

Na

PACES


• Savoir définir :

– 4 interactions + hadrons (p,n) + leptons (e, n)

– Le modèle de Rutherford et ses limites

– Isotope, isotone, isobare

• Savoir manipuler

– Les unités atomiques de masse et d’énergie

– Le défaut de masse DM


PACES

MODELE ATOMIQUE DE BOHR

• Dualité onde-électron quantification

• Quantification :

-e

+Ze

r

hydrogénoïde : 1e-

nλrπ

mv

hλ

=

=

2

impairk entier

λkrπ

2 2 =

nk

nrπ

.2

2

=

=

v

m


23/09/2016

44

PACES



• D’où la quantification du Mt cinétique de l’e- :

-e

+Ze

r

1,2,... n avec ====

nrmvrpL


nλrπ

mv

hλ

=

=

2

2

hoù

2

==

=

nrmv

mv

nhr

m

v



PACES



• D’où la quantification du Mt cinétique de l’e- :

• RFD :

1,2,... n avec ====

nrmvrpL

-e

+Ze

r

k/r²

mv²/r

Z28

0

2

10.3,24π

Z.ek

==

2

2

2

2

2

mais

=

==

r

nmv

r

kmmv

r

mv

r

k

0

2

2

2.rn

kmnr ==

mZ

r10

010

53,0 =

quantification de rayon orbital


nλrπ

mv

hλ

=

=

2

2

hoù

2

==

=

nrmv

mv

nhr



PACES

• Energie cinétique de l’e- :

• Energie potentielle de l’e- :• En prenant Ep()=0

r

kmmvRFD

mvEc

=

=

2

2

2

1

r

kE

c2

=

-e

+Ze

r

k/r²

mv²/r

Z28

0

2

10.3,24π

Z.ek

==


r

keVE

p==

rπε

Z.eV

1

40

=



23/09/2016

45

PACES

• Energie cinétique de l’e- :

• Energie potentielle de l’e- :• En prenant Ep()=0

• Energie de l’électron :

r

kmmvRFD

mvEc

=

=

2

2

2

1

r

kE

c2

=

r

keVE

p==

r

kEEE

pc2

==

==

2

22

2 1

2 n

kmE

kmnr

2

2

2

0

2

4

8 n

Z

h

meE

=

2

2

.6,13)(n

ZeVE =

-e

+Ze

r

k/r²

mv²/r

Z28

0

2

10.3,24π

Z.ek

==




PACES

-

+Ze

Pour un atome hydrogénoïde (i.e à un électron)

r

2

2

.6,13)(n

ZeVE

n=2

2.

4

6,13)( ZeVE =

2

1.6,13)( ZeVE =

2

3.

9

6,13)( ZeVE =

0=

EN. Bohr



PACES

-

+Ze

Pour un atome à plus d’un électron (Z=1)

2

2

,

)(.6,13)(

n

ZeVE

n

=

- --

- -

- -

--

-

EFFET D’ÉCRAN :

la charge du noyau « vue »

par l’électron périphérique

semble diminuée de .e



23/09/2016

46

PACES

-

+e

Pour l’atome d’hydrogène

2

1.6,13)(n

eVEn

=

eV 13,6E1

=

eV 1,5E3

=

H1

1

eV 3,4E2

=

ABSORPTION

d’un photon

d’énergie Ef

1.12)(

19

1.6,13)(

13

=

=

===

eVE

eVE

EEhc

hfE

f

f

f

EMISSION

d’un photon de

fluorescence

d’énergie Ef

9,1)(

4

1

9

1.6,13)(

23

=

=

===

eVE

eVE

EEhc

hfE

f

f

f

-

Conforme à la formule de Balmer (1885):

et aux spectres d’absorption/émission

=

22

11.

1

pnK



PACES

ENERGIE D’IONISATION

-

+Ze

- --

- -

- -

--

-

0 ,0 == c

EE

,, n

i

nEEE ==

eV 6,131

=i

EPour l’hydrogène dans

son état fondamental

2

2

,

)(.6,13)(

n

ZeVE

n

=

σn,

i

σn,EE =

C’est l’énergie minimale nécessaire pour

soustraire un électron atomique à l’influence

électrostatique du noyau


PACES

ENERGIE D’IONISATION

-

+Ze

- --

- -

- -

--

-

== c

EE ,0

=i

nEE

,

eV 6,131

=i

EPour l’hydrogène dans

son état fondamental

v

σn,

i

σn,EE =

2

2

,

)(.6,13)(

n

ZeVE

n

=

C’est l’énergie minimale nécessaire pour

soustraire un électron atomique à l’influence

électrostatique du noyau


23/09/2016

47

PACES

LIMITES DU MODELE DE BOHR

• Le modèle de Bohr est semi-classique

• est validé expérimentalement

sur pour , mais pas pour

• notion de «trajectoire» de l’électron incohérente

• Du fait des inégalités d’Heisenberg :

• pas de trajectoires

• seulement des probabilités de présence de l’e-

• Comment déterminer cette probabilité p ? :

• hypothèse: p liée à une fonction y associée à l’e-

n.L

=2

n13,6/n(eV)E =H

1

1


PACES

FONCTION D’ONDE

• Interprétation de Copenhague (M. Born, 1926) :

La fonction d’onde y d’une particule

détermine sa probabilité de présence en

un lieu dV à l’instant t :

• On recherche y sous la forme d’une onde

progressive associée à la particule :

dVt)z,y,ψ(x,p2

=

x

y

z dV


0.2),(

,λ

2πk puisque soit,

0.),(

.sin.),(

.sinxt,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

==

=

=

=

y

y

yy

y

y

x

xt

c

kx

xtxktk

x

xtxkt

PACES



yy

yy

yy

y

y

2où 0..

2),(

0..2.4),(

.22

1.2mv

0.4),(

mv

h : Broglie De

0.2),(

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

hVE

m

x

xt

VEmhx

xtVEmmvm

h

mv

x

xt

x

xt

==

=

=

=

=

=

=

yyy

..),(

22

22

EVx

xt

m=

dVtzyxp2

),,,(yy =

23/09/2016

48

PACES


• La fonction d’onde y d’une particule

détermine sa probabilité de présence

en un lieu suivant:

• Équation de Schrödinger:

• Exemple pour un puit de potentiel 1D

dVz)y,ψ(x,p2

=

x

V

ψ V x

ψ

2m

h Eψ

2

22

=

2

2

2

8et .sin

2)( n

ml

hE

l

xn

lx

nn=

=

y

l

E. Schrödinger


PACES


• En 3D, y et E dépendent de trois

nombres entiers (n,l,m): nb. quantiques

• Pour un électron dans un atome, etr

V1

),,( mlny

nombre quantique… valeurs grandeur quantifiée

n principal 1,2,…(K,L,M,…)

couche,énergie

l secondaire 0,1,…,n-1(s,p,d,f) sous-couche, énergie (via )

m magnétique -l,…,0,…,l

s spin

)1(

== llrpL

.mLz

=

.sz

=2

1ou

2

1


PACES


• Principe d’exclusion de Pauli (1925) :

un seul électron par quadruplet (n,l,m,s)

• Pour la couche n :

• 0 l n-1 n sous-couches

• -l m l 2l+1 cases

• S = ± 1/2 2 électrons par case

• au plus 2.n² électrons sur la couche n

l

m

0 1 2s p d

K L L

M M M

21

0

-1-2n² cases

S. Haessler et al. Nature Physics 2010; 6:200-206

N2

n = 3


23/09/2016

49

PACES

MODELE ATOMIQUE

-

+Zeabsorption

d’un photon

d’énergie Ef

émission

d’un photon

d’énergie Ef

',', lnlnEE

hchfE

=

==

f

-

2

2

2

0

2

4

,

,

8 n

lnZ

h

meE

ln

=

1s

2s2p

3s3p

3d

-

--

--

-

--

- -

-

-

--

'','', lnlnEE

hchfE

=

==

f

EXCITATION

OU IONISATIONFLUO-

RESCENCE

ln,E

l',n'E

'l','n'E

ln,E


--

--

--

--

-

-

PACES

• Nucléons: ± même modèle en couches,

• E[n,l,j(m,s)], j demi-entier pour quantifier

les moments orbital et intrinsèque couplés des nucléons

• Un nucléon peut passer d’un niveau excité au niveau

fondamental en émettant un photon gamma (g)

MODELE NUCLEAIRE

142,6 keV

0 keV


PACES


• Connaître et savoir manipuler :

– Le modèle de Bohr-Sommerfeld

• Remplissage des couches électroniques

– Les énergies des électrons atomiques (hydrogénoïdes)

– Les énergies d’ionisation, d’excitation, de

fluorescence :

– Les niveaux d’énergie des nucléons

2

2

ln,n

ln,σZ13,6.(eV)E

=

ln,

i

ln,EE =

l',n'ln,

ln,

l',n'EEE =

l',n'ln,

ln,

l',n' EEEhf ==


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