Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques

Leçon n°15 : Etude énergétique d’une corde, réflexion

et transmission, impédance

Etude énergétique d’une corde

Densité d’énergie cinétique•Un élément de masse dm=dx de vitesse y/t possède l’énergie

cinétique :

• La densité d’énergie cinétique s’écrit :

2

c tydx

21dE

2

cc t

y2dx

dEe

Densité d’énergie potentielle

• Pendant le mouvement, la longueur de la corde serait L, supérieure à sa longueur au repos ℓ.

• Le travail d’un opérateur faisant passer la corde de la situation décrite par y(x,t) s’écrit :

où T est le module de la force exercée par l’opérateur.

0

2

0

2

0

222

dxxy

21L

1xycardx

xy

211dx

xy1LSoit

dydxdsavecdsL

0

2

dxxy

2TLTW

Densité d’énergie (2)

• Ce travail s’identifie à la variation d’énergie potentielle de la corde

• La densité d’énergie potentielle ep s’écrit donc :

• La densité d’énergie de la corde s’écrit alors :

0

2

p dxxy

2TE

2

p

p xy

2T

dxdE

e

Tvavec

xy

2T

ty

2eee 2

22

pc

Densité d’énergie (3) • La densité d’énergie de la corde peut être transformée de la manière

suivante :

• Le crochet représentant l’équation de d’Alembert étant nul, il reste :

qui est l’équation locale de la conservation d’énergie où S représente le flux d’énergie à travers la corde en un point et un instant donnés.

ty.

xyT

xty

v1

xy

tyT

ty.

xy

ty.

xy

xT

ty.

ty

vT

txy.

xyT

ty.

ty

te

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ty.

xyTSavec0

te

xS

Densité d’énergie (4)

• Le terme est la réduction sur l’axe des x de div S.

•Nous avons vu précédemment que

il est donc possible de retrouver l’équation de d’Alembert à partir de la conservation de l’énergie d’une corde fixée aux deux bouts.

xS

2

2

22

2

ty

v1

xy

tyT

te

xS

Réflexion et transmission sur une discontinuité simple d’une corde

• Sur une corde très longue composée de deux tronçons, avec les masses linéiques 1 et 2, on suppose que du côté x<0 arrive un ébranlement :

• Cette onde incidente donnera une onde réfléchie et une onde transmise :

1vxtft,xy

2t

1r v

xtfty;vxtfry

Réflexion et transmission

• Continuité de la déformation :

• Continuité de la tension en x=0, c’est à dire de l’angle avec l’axe ox.

• En utilisant f’ comme la dérivée de f par rapport à on peut écrire :

t,0yt,0yt,0y tri

x

t,0yt,0xyt,0

xy tri

x

y

0vxt

'fv1t,0

xfet'ft,0

tf

i

Réflexion et transmission

• En simplifiant par f’, on trouve

•On définit

•On trouve :

21

2

21

12

211

vvv2tet

vvvvr

vt

vr

v1

tr1

i

i

1

2

2

1 Tvavecvv

1

2tet11r

Réflexion et transmission

• Les limites de r et t sont :

• Cas →0 : qui est le cas de la réflexion sur une corde très simple (2<< 1), à la limite 2=0, on peut considérer l’extrémité de la première corde comme libre, on a r=1 et t=2, il y’a réflexion totale sans changement de signe.

• Cas → : c’est le cas de la réflexion sur une corde très dense (2>>1), à la limite 2=, on peut considérer l’extrémité de la première corde comme rigidement fixée on a r=-1 et t=0

Il n’y a plus d’onde transmise mais réflexion totale avec changement de signe.

2t0et1r1

•

•

•

• On remarque que, e+=et et e-=ei+er, et que

La densité d’énergie est discontinue, elle dépend de la nature de la corde.

Densité et flux d’énergie sur une discontinuité d’une corde

22

xy

2T

ty

2e

22

2

2

2

22

2

t

'ft'tfv1

2T'tf

2e,0xen

vxtftt,xyt,xy,0xPour

22

1

2

11

21

11

ri

'fr1'fvr'f

v1

2T'rf'f

2e,0xen

vxtfr

vxtft,xyt,xyt,xy,0xpour

2

1

2

2

1

2

2

2

1 'f112'f

111'f

12ee

•

•

•

Le flux d’énergie est une grandeur continue à travers x=0 ce qui traduit la conservation de la puissance. St=Si+Sr

•

Ce qui traduit la conservation de l’énergie : flux incident = flux réfléchi + flux transmis

Densité et flux d’énergie

ty.

xyTS

2

1

2

11

2

2

2

2

'fv

r1T'rf'f'fvr'f

v1TS;'f

vtT'tf'f

vtTS

0'fv

1rvtr1T'f

v1r

vtTSS 2

12

2

1

2

2

2

TR1

11r

SS

Ret

14t

vtv

SSTSi

2

2

2

i

r

22

2

2

1

i

t

•

• 1=R+T → 0 R → 1 et T → 0 → R → 1 et T → 0 dans les deux cas, c’est la réflexion totale → 0 t → 2, cette onde d’amplitude double ne transporte pratiquement pas d’énergie

Réflexion et transmission, conclusion

1

2tet11r

en supposant une onde harmonique d’amplitude Aei(x-k1

x) arrive du côté x<0, on peut écrire :

Réflexion et transmission sur une discontinuité double (1)

Lxkti

L3

Lxkti

L

xkti

02

xkti

0

xkti

1

3

22

11

Aett,xyAerAett,xy

AerAet,xy

Les conditions de continuité donnent quatre équations à quatre inconnues r0, t0, rL et tL (les paramètres k1, k2, k3 et L sont donnés)

• en x=0

• en x=L

Lik

L0201

Lik

L002

2

ertkr1kertr1

L3L

Lik

02

LL

Lik

0

tkretktret

2

2

Réflexion et transmission sur une discontinuité double (2)

Impédance d’une corde (1)

• Soit F(x,t) la composante sur oy de la force exercée sur une corde et la vitesse de la corde en x

La célérité des ondes est

•

L’impédance Z de la corde est constante (le signe - signifie que F et V sont en opposition de phase).

tytx,V

Tc

μTZcT

VFZ

f'tyV

f'cT

xyTF

cxtftx,ysi;

xyTTtgαTsinαF

Impédance d’une corde (2)

• Exemple d’un point matériel S de masse m attaché à deux ressorts identiques de raideur k ; l’impédance de la corde est

Cette force entraîne un amortissement du mouvement de m.

• Relation fondamentale de la dynamique (ou à travers l’équation de Lagrange) :

du type

L’impédance de la corde agit comme un amortisseur ou une résistance électrique.

ss

s

s yμTFμTyF

t0,Vt0,FZ

02kyyμTym

yμT2kyym

sss

ss

0kyαym eqeqeq y

•

• A.N. : m=0,5kg ; k=104N.m-1 ; µ=0,1kg.m-1 ; T=10 Nà t=0, ys=0=1mm ; et

(constante d’amortissement) ; =200 rad/s

régime pseudopériodique (peu amorti)

•

• est grand devant donc peu d’énergie est perdue pendant une période T, l’amplitude reste pratiquement constante sur une période T.

Impédance d’une corde (3)

0yωymμT

y02kyyμTym s2

sssss

12smμT

22

2

4ω4ωmμT

Δ

0ys

s1T

m2avectcosaety /ts

ms4,312T

• Relation entre une OPPS et une OS à un mode : Prenons une onde stationnaire à un mode et transformons ce produit en somme :

L’O.S peut être considérée comme la superposition des 2 OPPS de même pulsation et de même amplitude se propageant un sens inverse.

• Inversement, prenons une OPPS, en développant le cosinus :

Elle peut ainsi être considérée comme la superposition de deux OS en quadrature (spatiale et temporelle).

Onde plane progressive sinusoïdale (OPPS) et onde stationnaire (OS) à un mode

tcoskxcosAtx,y

kxtcos2Akxtcos

2Atx,y

tsinkxsinAtcoskxcosAkxtcosAtx,y

• Une corde vibrante est dans le mode stationnaire n, c’est-à-dire que :

• Calculer l’énergie totale En de la corde en fonction de n, An, l et T.• Considérons à présent la corde comme un assemblage de petits éléments (de

longueur dx) qui effectuent chacun autour de sa position de repos respective sur l’axe Ox un mouvement sinusoïdal d’amplitude Ansin knx.Quelle serait l’énergie mécanique totale E’ de cet ensemble d’oscillateurs? (on rappelle que l’énergie mécanique totale d’une masse m effectuant des oscillations harmoniques d’amplitude à la pulsation est m22/2).

Comparer l’expression obtenue à En. Commentaire.

Exemple : Energie d’une corde (1)

l

nk,xksintsinAtx,y nnnnnn

Exemple : Énergie d’une corde (2)

• Énergie de la corde en fonction de n, An, l et T.

d’où par la somme, avec

il s’agit bien d’une constante (indépendante du temps).

nn22

n2n

p

1

0

2/1

1

0 n2

nn22

n2n

2nn

p

nn2l

n2n

nc

1

0

2/1

1

0 nnn22

n2n2

2nn

c

tsinlksin4TE

xdxkcostsinkA2Tdx

xy

2TE

tcoskA4TE

xdxksintcosA2Tdx

ty

2E

2n

22

nn Anl4TE

lnk

Exemple : Énergie d’une corde (3)• L’élément de masse µdx effectuant des oscillations harmoniques

d’amplitude Ansin knx à la pulsation n possède l’énergie mécanique totale :

Avec

l’analogie est tout à fait valable.

2/1

n

21

0

2n

2n

'n

2nn

'n xdxksinA

21EsoitxksinAdx

21dE

n2n

22

'n2

2222n EAn

l4TET.

ln

lvn