6 Chapitre 0 Notions fondamentales du transfert thermique Le concept dnergie est utilis en thermodynamique pour prciser ltat dun systme. Ilestbienconnulefaitquelnergienestnicrenidtruite,maisseulementtransforme dune forme lautre. La science de la thermodynamique tudie la relation entre la chaleur etdautresformesdnergiemaislobjectifdelasciencedutransfertdechaleur(dutransfert thermique) est lanalyse du taux de transfert thermique ayant lieu dans un systme. Lnergie transfrepartransfertdechaleurnestpasdirectementmesurablemaispeuttreapprcie parunequantitmesurableappelelatemprature.Onaconstatpardesobservations exprimentales que lorsque dans un systme il y a une diffrence de temprature, un flux de chaleur(fluxthermique)apparatetilestorientdelargionhautetempratureversla rgion basse temprature. Lorsquil y a un flux thermique dans un systme, un gradient de temprature y est prsent galement. La connaissance de la distribution de la temprature dans un systme est ncessaire dans ltude du transfert thermique.Lesproblmesdetransfertthermiquejouentungrandrledanslesapplications techniques, soit que les changes doivent tre importants et rapides, soit que, au contraire, on cherche obtenir un excellent isolement thermique, soit encore que lon veuille thermostater avecprcisionunsystme.Enlectrotechnique,parexemple,laconnaissancedela distributiondelatempraturedterminelescontraintesthermiques,dansunquipement lectrique, qui sont ncessaires au dimensionnement des diffrents lments (voies de courant, chambre de coupure, contacts lectriques, etc.) Dansl'tudedutransfertthermiqueondistinguetroismodesdetransmissiondela chaleur:laconduction,laconvectionetlerayonnement.Lepremierphnomne,la conduction, a lieu dans les solides. La convection se rencontre spcialement dans les fluides. L'apportdechaleurparrayonnementpeutavoirlieudanstouslesmilieuxtransparentsaux ondes lectromagntiques. En ralit la distribution de la temprature,dansun milieu, est la consquence des effets de ces trois modes de transfert thermique ; il est impossible d'isoler un modedetransfertthermiqued'unautremode.Pourtant,pourlasimplicitdel'tude,on considrecesmodesdetransfertthermiquesparment.Parexemple,onpeuttudierla conduction couple avec la convection et on nglige le rayonnement. Une grandeur souvent utilise dans l'tude du transfert thermique est la densit du flux thermique qui reprsente la chaleur traversant l'unit de surface et par unit de temps. 0.1 Conduction La conduction thermique est le phnomne de transport de la chaleur mis en jeu dans les solides ; elle est galement prsente dans les liquides immobiles et un moindre degr dans lesgaz.Lephnomnemicroscopique(lchelleatomique) intervenant dans laconduction thermiqueestlapropagationdelagitationthermiquedesparticulesdeszonespluschaudes verscellesdeszonesplusfroides.Lemcanismemicroscopiqueconsistedanslavibration molculaire ou atomique (liquides, gaz) et la vibration cristallin ainsi que dans le dplacement deslectronslibres(mtaux).Laconductionthermiqueestdonclephnomneparlequel lnergie est transfre des zones haute temprature vers des zones basse temprature.Chapitre 0 : Notions fondamentales du transfert thermique 7La loi de Fourier (pour un milieu isotrope, travers une surface isotherme) montre que lefluxthermique,parconduction,dansunedirectiondonneestproportionnellaireA normaleladirectiondufluxthermiqueetaugradientdetempraturecettedirection.Le flux thermique, dans la directionx , par exemple, conformement la loi de Fourier est donn par la relation : ] W[ AdxdTQx =(1) ou si lon exprime la densit du flux thermique : ] W/m [ 2dxdTAQqxx = = .(2) Lecoefficientdeproportionnalit ,appelcoefficientdeconductivitthermique, dpend de la substance (nature, structure, temprature, pression, densit, etc.) ; il se mesure en 1 1 K Wmet il est toujours positif car la chaleur se transmet des zones chaudes vers les zones froides.Silatempraturedcrotdansladirectionpositivex ,alorsdx dT / estngatif.Le fluxthermique xQ etladensitdufluxthermique xq tantdesquantitspositivesdansla direction positivex , alors il est ncessaire dintroduire le signe moins dans le membre droite desexpressions(1)et(2).Silemembredroitedesexpressions(1)et(2)estngatifalorsle fluxthermique(etgalementladensitdufluxthermique)estorientdansladirection ngativex . Dans le cas gnral, dans lespace plusieurs dimensions, la loi de Fourier est donne par la relation : A T Q

= ,(3) oA

est le vecteur normal laireA. La densit du flux thermique est : T q =

.(4) Engnrallaconductivitthermique varieenfonctiondelatemprature.des basses tempratures, cette variation peut tre nglige. Exemple 0.1 Dterminer la densit du flux thermiqueqet le flux thermiqueQ travers une plaque, ayantlairetransversale 2m 5 . 0 = A etlpaisseurm 02 . 0 = L (W/mK 70 = )quandses surfaces sont maintenues aux tempraturesC To160 =etC To220 =respectivement. Solution Si le gradient de tempraturedx dT /est constant alors la distribution de la temprature ) (x Tdans la plaque est linaire (fig.1). Si lon applique la relation (2), la densit du flux thermiqueqest : 2 1 2kW/m 14002 . 060 2070) (= = = =LT Tdxx dTq . Ladensitdufluxthermiqueestorientdansladirectionpositivex etlavaleurest aussi positive. En appliquant la relation (1) on obtient le flux thermique : MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 8 kW 70 5 . 0 140 = = = qA Q . 0.2 Convection Danslecasduncoulementdun fluide en contact avec une paroi solide,sil y a une diffrence de temprature entre la paroi et le fluide, il y a alors un transfert thermique entre le fluide et la paroi comme une consquence du mouvement du fluide par rapport la surface de laparoi.Cephnomnedetransfertdechaleurestappelconvection.Lapropagationdela chaleur est ralise par transport des particules. Il existe deux types de transport : naturel(libre),dauxdiffrencesdedensitquisontgnresparlesgradientsde temprature (si le fluide est isotherme, il ny a pas de mouvement) ; forc, d laction mcanique (ventilateur, etc.). Pour permettre ce type de transport, la matire doit donc se dplacer facilement. Lephnomnedeconvectionlibreserencontrecourammentlorsquelefluidestant chauffaucontactduncorpchaud,quislveetestremplacparlefluidefroid.Le Fig. 0.1 Conduction thermique dans une plaque. Fig.0.2Transfertthermiqueparconvection entre la paroi chaude et le fluide froide. Chapitre 0 : Notions fondamentales du transfert thermique 9mouvementdufluidealieucausedeladiffrencededensit.Lorsquelefluideestmis mcaniquement en mouvement, il y a convection force.La densit du flux thermiqueqest donn par la loi de Newton : ( )f p cT T h q = ,(5) o ch ,appelcoefficientdeconvection(voirlannexeF),enK2W/m ,dpenddungrand nombre de facteurs et en particulier de lcart de temprature f pT T T = entre le solide et le fluide. 0.3 Rayonnement Tous les corps mettent de lnergie cause de leur temprature et cette nergie mise sappelle le rayonnement thermique. Lnergie rayonne par un corps est mise dans lespace sous forme dondes lectromagntiques selon la thorie de Maxwell (la thorie classique des ondes lectromagntique) ou sous forme discrte de photons selon les hypothses de Planck. Lesdeuxconceptsonttutilisspourltudedutransfertthermiqueparrayonnement.On peutdonnerdesexemplesderayonnement:lerayonnementsolaire,lerayonnementdun radiateurinfrarouge,dunfilamentdunelampeincandescence,lerayonnementdelarc lectrique, etc.Lmissionoulabsorptiondelnergiederayonnementparuncorpsest un processus en bloc ; cest--dire, le rayonnement provenant de lintrieur du corps est mis par la surface. Rciproquement, lincident de rayonnement sur la surface dun corps pntre la profondeur dumilieuoilestattnusurunedistance trs courte de lasurface, on peut parler donc du rayonnementcommetantabsorboumisparlasurface.Parexemple,lerayonnement incidentsurunesurfaceenmtalestattnusurunedistancedequelquesangstrmsdela surface; par consquent les mtaux sont opaques du point de vue thermique au rayonnement. Touslescorpsquimettentdurayonnementabsorbentgalementceluiquilsreoivent. Certainscorpsabsorbentintgralementlerayonnementincident;ilssontappels"corps noirs"etconstituentdoncleradiateuridal.Dautrescorps,les"corpsgris",nabsorbent quune fraction du rayonnement incident. 0.3.1 Lmission du rayonnement La densit maximum du flux thermique mise par un corp la tempratureTest donn par la loi de Stefan-Boltzmann : 4T Pr = ,(6) oT estlatempratureabsolueenK , estlaconstantedeStefan-Boltzmann (4 2 8 W/m 10 6697 . 5 K = )et rP estappelelapuissancemissiveducorpnoir. Seulementunradiateuridaloulecorpnoirpeutmettreunfluxthermiqueen concordanceaveclarelation(6).Lefluxthermiquemisparunradiateurrel,la tempratureT estpluspetitquelefluxthermiquedonnparlarelation(6)etilsexprime ainsi : 4T P qr = = ,(7) o est lmissivit qui varie entre 0 et 1 (pour tous les corps relsest infrieure 1). MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 100.3.2 Labsorption du rayonnement Siunfluxthermiquederayonnement incq estincidentaucorpnoir,alorscelui-ciest totalementabsorb par lecorps noir. Pourtant si le flux de rayonnement incqest incidnt au corps rel, alors le flux absorb absqpar le corps est donn par la relation suivante : inc absq q = ,(8) o le coefficient dabsorptionvarie entre 0 et 1 (pour tous les corps relsest infrieur 1). Lecoefficientdabsorption duncorpsestengnraldiffrentducoefficient dmission. Pourtant, dans diffrentes applications pratiques on suppose gal .Quanddeuxcorpsauxdiffrentestempraturessetrouventfaceface,lachaleurest change entre elles par rayonnement. Si le milieu intervenant est rempli dune substance telle quel'airquiesttransparentaurayonnement,lerayonnementmisd'uncorpstraversele milieu intervenant sans l'attnuation et atteint l'autre corps, et vice-versa. Alors le corps chaud prouve un gain net de chaleur, en raison de l'change thermique par rayonnement. L'analyse de lchange de chaleur par rayonnement travers les surfaces est gnralement une question complique. la figure 3 on prsente une plaque chaude ayant laire de la surface 1Aet lmissivit 1 . Laplaqueayantlatemprature 1T estplacedansungrandenvironnementdelaire 2A( 0 /2 1 A A ) ayant la temprature 2T . Entre la plaque et lenvironnement il y a lair qui est transparentaurayonnementthermique.Lefluxthermiquemisparlasurface 1A estdonn par la relation suivante : 141 1 1A T Qe = .(9) Lenvironnementayantlasurface 2A peuttreapproximcommeuncorpsnoirpar rapportlapetitesurface 1A .Alors,ladensitdufluxthermiquemisparlenvironnement ayantlasurface 2A est 42T quiestunfluxthermiqueincidentlasurface 1A .Leflux thermique absorb par la surface 1Aest : 142 1 2A T Qa = .(10) Fig.3Transfertthermiqueparrayonnement entre la surface 1Aet son environnement. Chapitre 0 : Notions fondamentales du transfert thermique 11Les pertes nettes par rayonnement (le flux thermique net) sur la surface 1Areprsentent la diffrence entre le flux thermique mis et le flux thermique absorb : 142 1 141 1 1A T A T Qnet = .(11) Si 1 1 = pour le calcul du transfert de chaleur entre une petite surface ayant laire 1Aet son environnement qui a la temprature 2T , on obtient lexpression suivante : ( )14241 1 1A T T Qnet = . (12) Lavaleurpositivedu netQ1signifieunepertedechaleurdans la plaque de surface 1Atandis quune valeur ngative signifie un gain de chaleur. Onconsidremaintenantdeuxsurfacesfinies 1A et 2A illustreslafigure4.Les surfacessontmaintenuesauxtempraturesabsolues 1T et 2T respectivement,etontles missivits 1 et 2 .La situation physique implique qu'une part du rayonnement quittant la surface 1A atteintlasurface 2A tandisquelerestantestperduauxenvironnements.Les considrationssemblabless'appliquentpourlerayonnementdelasurface 2A .L'analysede l'changethermiqueparrayonnemententrelesdeuxsurfacespouruntelcasdevraitinclure les effets de l'orientation de la surface, de la contribution du rayonnement des environnements et de la rflexion du rayonnement sur la surface. Pour la gomtrie de la figure 4 on suppose que le flux de rayonnement thermique de lenvironnement est ngligeable par rapport au flux thermiquedessurfaces 1A et 2A .Danscesconditionslefluxnetmisparrayonnement thermique par la surface 1Apeut tre exprim sous la forme : ( )4241 1 1 1T T A F Qnet = ,(13) o 1Fest un facteur qui inclut les effets de lorientationdes surfaces et de leurs missivites. La dtermination de ce facteur est une question trs complique [16]. Fig.4Transfertthermiqueparrayonnement entre les surfaces 1Aet 2A . MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 120.3.3 Le coefficient de transfert thermique par rayonnement Poursimplifierlecalculdutransfertthermiqueparrayonnement,onpeututiliserdans certainesconditionsrestrictiveslecoefficientdetransfertthermiqueparrayonnement rh , similaire au coefficient de transfert thermique par convection : ( )2 1 1T T h qr = .(14) Ce concept peut tre appliqu lquation (12). Lquation (12) peut tre crite ainsi : ( )( )( )2 1 2 12221 1 1 1T T T T T T A Qnet + + = .(15) Si 1 2 1T T T 0 , Ea >0 et Wa 0 (contraire la rgle no 2). RgleNo4:Lesquationsdiscrtisesdoiventrestervalablesquandlavaleurdune variabledpendanteaugmenteavecunevaleurconstante.Mathmatiquementlarglepeut tre crite ainsi : = = 0siS a avs P ; (3.19) 0 Ssi vs Pa a . Dmonstration Si0 = S ,lquationmodleestunequationdiffrentiellenecontenantquedes drivesdeT ;T etC T + sontdessolutionsdelquationdiffrentielleduproblme continu et discontinu. Lquation discrtise pour les deux solutions scrit ainsi : + = b T a T avs vs P P ;(3.20) ( )+ + = + b C T a C T avs vs P P) ( .(3.21) En soustrayant lquation (3.20) de lquation (3.21) on obtient : =vs Pa a .(3.22) 44 Chapitre 4 Mthode des volumes finis applique auxproblmesde conduction thermique 4.1 Conduction thermique 1D stationnaire Lquation diffrentielle est la suivante : 0 = +||.|

\| Sx dT dx dd. (4.1) Lquation discrtise sur le volume de contrle prsent la figure 4.1 est la suivante : b T a T a T aW W E E P P+ + =; (4.2) ( ) ( )x S b a a axaxac W E PwwWeeE = + === xS -P. Fig. 4.1 Maillage unidimensionnel Engnral e wx x ,lemaillagepouvanttrenonuniforme.Leraffinementdu maillage est fait dans les zones de forts gradients. 4.1.1 Dtermination de la conductivit thermique aux interfaces des volumes de contrle Engnral w e ,laconductivitthermiquetantenfonctiondelatemprature, ) (T = , ou mme) (x =pour les matriaux composites. Laconductivitthermiquelinterface" "e peuttredtermineparlinterpolation linaire entre les pointsPetE: ( )xxfxxf f feeeee E e P e e= = + = +1 etavec 1 . (4.3) Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 45Si linterface" " e (fig. 4.2) est situe mi-distance dePetE , alors2 / 1 =efet on obtient : Fig. 4.2 Sur la dtermination de la conductivit yhermique. 2E Pe + = .(4.4) 4.1.2 Conservation du flux aux interfaces Si lon considre le flux linterface" "e (voir fig. 4.3) on peut crire : ( ) ( ) ( )+ = = = |.|

\| =eE e Eee P PeE P eee exT TxT TxT TdxdTq . (4.5) Fig. 4.3 Conductivit thermique linterface. La densit du flux thermique linterface peut, galement, tre crite ainsi : eeE PEePeE PexT Tx xT Tq=+=+ .(4.6) Delarelation(4.6)onsortlexpressiondelaconductivitthermiquelinterfacedu volume de contrle : EePeeex xx+= + (4.7) Si lon tient compte de la dfinition du coefficient ef , la relation (4.7) devient : MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUE Mtode des volumes finis 46 EePeef f+= 11. (4.8) Si lon considre le cas particulier avec2 / 1 =efla conductivit thermique linterface est : E PE Pe + = 2.(4.9) qui est la moyenne harmonique des conductivits thermiques des noeuds voisins du maillage. Remarque La formule (4.9) est plus recommande que la formule (4.4) : Si0 E (dans la formule (4.4)), ce qui signifie quon a un matriau isolant en +ex , ce qui implique0 eq ), alors0 P e Ef , et la densit du flux thermique est donne, la limite, par la relation suivante : ( )0 eE P P eexT T fq ,(4.10) ce qui ne convient pas. Si0 E (dans la formule (4.9), on obtient que0 eqce qui convient. Si0 / P E (dans la formule (4.4), ce qui signifie que E P >> ,( )E ef = , et que la temprature P eT T ) alors P e ef ce qui ne convient pas. Si0 / P E (dans la formule (4.9)), alors e E ef / et la densit du flux thermique linterface" "e , la limite, devient : ( ) ( )+ = eE P Ee eE P EexT Tx fT Tq ,(4.11) ce qui implique P eT T , et ce qui convient. 4.1.3 Traitement des non-linarits Si dans lquation (4.1)) (T =et) (T S S =alors on a dans lquation discrtise : ) () ( ) ( T a a T a a T b bvs vs P P= = = ,(4.12) donc lquation discrtise (4.2) est une quation non-linaire. Larsolutiondusystmedquationsalgbriques,danscecas,sefaitparuneprocdure itrative. Les tapes qui doivent tre parcourues sont les suivantes : 1.On donne des conditions initiales pour les iTpour tous les points" "idu maillage. 2.On calcule les coefficients( )i PT a ,( )i vsT aet( )iT b . 3.On rsout le systme dquations algbriques linaires pour obtenir les nouvelles valeurs des iT . Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 474.On itre (retour en 2.) jusqu ce que les valeurs de iTse stabilisent (convergence). 4.1.4 Linarisation du terme source Letermesource) (T S aunedpendancenonlinairedelatemprature.Ilfautquon linarise en T, pour obtenir un systme dquations algbriques linaires, ainsi : ( ) ( )P P P P cT T S T S T S* *) ( + = ,(4.13) o *PTest la temprature obtenue litration prcdente. En mme temps il faut respecter la rgle No 3, cest--dire0 ) (*P PT S . Lors de la linarisation de) (T Sen P P cT S S +on peut avoir : optimum PSdonn par la pente de la courbe) (T f S =en *PT(si cette pente est ngative) ; 0 >PS , on a la divergence du procesus itratif (la rgle No 3 nest pas vrifie) ; optimum P PS S > > 0 , il y a le risque de divergence ; 0 < optimum P PS S , convergence plus lente mais assure. En gnral, il y a plusieurs possibilits de linarisation du terme source, illustres par les exemples suivants, [50] : Exemple 1 SoitT S 4 5 =donn. Alors plusieurs linarisations sont possibles : 1.5 =cSet4 =PS , cest la forme optimum recommande ; 2. *4 5P cT S =et0 =PS , utile lorsque lexpression deSest plus complique, ce qui nest pas le cas ici ; 3. *7 5P cT S + = et11 =PS ,permetdavoirunepentengativeplusgrandeetde ralentirlaconvergence.Ceciestncessairesilyatropdenon-linaritsdansle problme, car assure la convergence. Exemple 2 SoitT S 7 3 + = . Dans ce cas, les linarisations suivantes sont possibles : 1.3 =cSet7 =PS , on a la divergence car la rgle No 3 nest pas assure ; 2. *7 3P cT S + =et0 =PS , recommand lorsquon a malgr tout0 PS; 3. *9 3P cT S + = et2 =PS ,lacrationartificiellede0 = = t L x T . La solution analytique est donne par la relation suivante [28] : ( )=+ =121) ( cos exp1 2) 1 ( 4) 0 , ( ) , (nn nnx tnx T t x T ,(4.96) o pnc Ln= = et 2) 1 2 (. On considre six points sur le domaine de calcul avecmm 004 . 0 = x(fig. 4.16). Fig. 4.16 Maillage pour le problme de lexemple 1. MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 68Pourunnoeudintrieur(lesnoeuds2,3et4)lquationdiscrtiseobtenuede lquation (4.87) pour0 = Sest la suivante : [ ]0 0 0 0P E W P E E W W P PT a a a T a T a T a + + = ,(4.97) o xaxatxc a aeEwW p P P== = =0. Pour le noeud 1 (noeud situ sur la frontire), la condition la limite impose dintgrer lquation (4.95) surun demi-volume de contrle. Lquation discrtise ainsi obtenue, pour le noeud 1, est la suivante : ( )0 0 0P E P E E P PT a a T a T a + = ,(4.98) o xatxc a aeE p P P= = =20. Pour le noeud 6 (noeud de frontire), la condition la limite tant de type Dirichlet, ce nestpasncessairedcrireunequationdiscrtisesupplmentaire.Onutiliselamme quationquepourunnoeudintrieur,maiscommelatempraturedupoint6estconnue ( = = 06T TcC) le terme qui contient la temprature du point 6 passe comme un terme source. Ainsi, on obtient lquation discrtise pour le noeud 5 : ( )C E P E W P W W P PT a T a a a T a T a + + =0 0 0,(4.99) o xaxatxc a aeEwW p P P== = = 0. Le pas dans le tempst doit satisfaire la condition de stabilit (4.90), donc : s 810 2) 004 . 0 ( 102) (2 72== x ctp. Parce ques 8 ton choisis 2 = tet on trouve : 200002004 . 010 2500004 . 0107= = = =txcxp ; 100002 2004 . 01027= = txcp. Aprs la substitution des valeurs numriques, dans les quations (4.97), (4.98) et (4.99) et simplifications, on obtient : 0 075 25 100 : 1 NoeudP E PT T T + =150 25 25 200: 4 2 Noeuds0 0 0P E W PT T T T + + = (4.100) c P W PT T T T 25 150 25 200 : 5 Noeud0 0+ + =Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 69 Dans le tableau 4.4 on prsente un exemple de calcul, en utilisant les quations (4.100) pour les deux premires pas de temps. Tableau 4.4 Temps Noeud 1 Noeud 2 Noeud 3 Noeud 4 Noeud 5 t= 0 s 20001= T 20002= T 20003= T 20004= T 20005= T1 200 75200 2510011 += T 200 150200 25200 2520012 + += T 200 150200 25200 2520013 + += T 200 150200 25200 2520014 + += T 0 25200 150200 2520014 + += T t=2 s 20011= T 20012= T 20013= T 20014= T 17515= T2 200 75200 2510021 += T 200 150200 25200 2520022 + += T 200 150200 25200 2520023 + += T 200 150175 25200 2520024 + += T 0 25175 150200 2520014 + += T t=4 s20021= T 20022= T 72 . 19823= T 87 . 19614= T 25 . 15625= T Les rsultats numriques de lexemple 1 sont prsents au tableau 4.5. Tableau 4.5 Numro du noeud 123456 Temps [s] 0 = x 004 . 0 = x 008 . 0 = x 012 . 0 = x 016 . 0 = x 02 . 0 = x0200200200200200200 22002002002001750 4200200200196.87156.250 6200200199.6192.18141.790 8200199.95198.73186.82130.370 10199.98199.8197.39181.25121.130 12199.94199.52195.67175.75113.50 14199.84199.09193.66170.46107.090 16199.65198.51191.44165.44101.630 18199.36197.77189.08160.7196.90 20198.96196.88186.62156.2892.760 Le tableau 4.6 montre les rsultats numriques et analytiques aux instants40 ,80ets 120 . la figure 4.17 on prsente la comparaison des rsultats numriques obtenus pour diffrents pasdetempsaveclasolutionanalytique(6noeuds).Lacomparaisondesrsultatsnumriquesetanalytiquesaux diffrents instants de temps est prsente lafigure 4.18 (21 noeuds). MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 70 Tableau 4.6 Temps [s]NoeudNumriqueAnalytiqueErreur % 1188.026189.8610.96 2182.196183.8140.88 3162.767163.7080.57 4125.662125.7120.039 569.40769.045-0.52 s 40 = t6000 1153.526154.4620.6 2146.467147.2650.54 3125.610126.0800.37 492.17792.3290.16 548.85148.850-0.002 s 80 = t6000 1121.015121.3610.28 2115.150115.4600.26 398.08098.3040.22 471.37671.5000.17 537.57437.6240.13 s 120 = t6000 Fig. 4.17 Comparaison des rsultats pour diffrents pas de temps. Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 71 Exemple 2 Rsoudreleproblmedelexemple1enutilisantleschmatotalementimpliciteet comparer les rsultats numriques obtenus avec la mthode implicite avec ceux obtenus avec la mthode explicite, pour un pas de temps des 8 . Solution Onutiliselemmemaillagedelafigure4.16.Lquationdiscrtise,enutilisantle schma totalement implicite, pour un noeud intrieur du domaine de calcul (les noeuds 2, 3, et 4) est celle dcrite par lquation (4.94) mais avec le terme source nul, cest--dire : 0 0P P E E W W P PT a T a T a T a + + = ,(4.101) o txc a a a a ap P E W P P = + + =0 0 ; xaxaeEwW==. Pourlesnoeudssitussurlafrontire1et5untraitementspcialsimpose.Ainsi,pourle noeud 1 lquation discrtise est la suivante : Fig. 4.18 Comparaison des rsultats numriques (maillage 21 noeuds) et analytiques aux diffrents instants de temps (mthode explicite). MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 72 0 0P P E E P PT a T a T a + = , (4.102) o xatxc a a a aeE p P E P P= = + =2 0 0. Pourlenoeud5lquationdiscrtise,entenantcompteque c ET T T = 6(connue), est la suivante : c E P P W W P PT a T a T a T a + + =0 0, (4.103) o xaxatxc a a a a awWeE p P P E W P== = + + = 0 0. Mme si la mthode implicite permet dutiliser un pas de temps quelqonque, par la suite nous allonsutiliserunpasdetempsraisonable,s 2 = t ,pourassurerunebonneprcisiondes rsultats. On a donc : 200002004 . 010 2500004 . 0107= = = =txcxp ; 100002 2004 . 01027= = txcp. Aprs la substitution des valeurs numriques dans les quations (4.101), (4.102) et (4.103) et aprs simplifications, on obtient : 0100 25 125 : 1 NoeudP E PT T T + =200 25 25 250: 4 2 Noeuds0P E W PT T T T + + = (4.104) c P W PT T T T 25 200 25 250 : 5 Noeud0+ + = En tenant compte que0 =cTle systme dquations algbriques rsoudre est : (((((((

=(((((((

(((((((

050403020154321200200200200100250 25 0 0 025 250 25 0 00 25 250 25 00 0 25 250 250 0 0 25 125TTTTTTTTTT (4.105) On constate que lquation pour chaque point contient les tempratures inconnues des points voisins.Lamthodeimplicitencessitelarsolutionsimultanedusystmedquations (4.105).Lesvaleursdelatempraturedupasdetempsprcdentsontutilisesseulement pour le calcul du membre droit de lquation matricielle (4.105). Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 73Letableau4.7etlafigure4.19prsententlesrsultatsnumriquesencomparaisonavecla solution analitique(pour un maillage de 6noeuds). Le code source en Fortran est prsent lAnnexe G (THER1Di2) Tableau 4.7 Temps [s]NoeudNumriqueAnalytiqueEreur % 1187.419189.8611.28 2181.853183.8141.06 3163.162163.7080.33 4126.868125.712-0.91 570.60569.045-2.25 s 40 = t6000 1153.719154.4620.48 2146.754147.2650.34 3126.087126.080-0.005 492.73992.329-0.44 549.24148.850-0.8 s 80 = t6000 1121.524121.361-0.13 2115.656115.460-0.16 398.55998.304-0.25 471.76671.501-0.37 537.79737.624-0.45 s 120 = t6000 lafigure4.20onprsenteunecomparaison,desrsultatsnumriqueslinstant s 40 = t ,obtenusenutilisantlesschmasexpliciteetimplicite,aveclasolutionanalytique pour un pas de temps des 8 = t . On constate que le schma explicite, pours 8 = t , donne desoscillations,tandisqueleschmaimplicitedonnedesrsultatsenbonaccordavecla solution analytique. Ceci montre lavantage du schma implicite qui permet dutiliser un pas de temps plus grand. Il faut signaler toutefois quune bonne prcision sera obtenue en utilisant tout de mme un pas de temps plus petit. MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 74 Fig.4.19Comparaisondesrsultatsnumriques(maillagede21noeuds)et analytiques au diffrents instants de temps (mthode implicite). Fig. 4.20 Comparaison des solutions, en utilisant les mthodes explicite et impliciteChapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 754.3 Conduction thermique stationnaire en deux dimensions (2D) 4.3.1 Forme gnrale de lquation discrtise Lamthodologieutilisepourladiscrtisationdelquationdanslecas unidimensionnelpeut tre utilise facilement dans le cas bidimensionnel (2D). Pour illustrer cette technique on considre lquation de la conduction thermique 2D stationnaire : 0 = +||.|

\|+ |.|

\|SyTy xTx .(4.106) Le type de maillage utilis, dans ce cas, est reprsente la figure 4.21 De plus, par rapport au maillage 1D, aux noeuds voisins, East ( E ) et West (W ) du point Pon ajoute les voisins North ( N ) et South ( S ).Lintgration de lquation (4.106), sur le volume de contrle, donne : } } }= +||.|

\|+ |.|

\|VC VC VCSdV dy dxyTydy dxxTx0.(4.107) Si lon notey A Aw e = =etx A As n = = , on obtient : 0 = +(((

||.|

\| ||.|

\| +((

|.|

\| |.|

\| V SyTAyTAxTAxTAss snn nww wee e. (4.108) Lquation(4.108)reprsentelebilanentrelagnrationdeT danslevolumede contrle et les flux aux faces du volume de contrle. En utilisant la mme approximation que dans le cas 1D, cest--dire on suppose une variation linaire du gradient de temprature entre deux points voisins du maillage, on peut crire les flux aux faces du volume de contrle : WPW Ew www wxT TAxTA = = w" " face aufluxLe (4.109) Fig. 4.21 Maillage 2D. MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 76PEP Ee eee exT TAxTA = = e" " face aufluxLe ;(4.110) SPS Ps sss syT TAyTA = = s" " face aufluxLe ;(4.111) PNP Nn nnn nyT TAyTA = = n" " face aufluxLe .(4.112) En remplaant les relations des flux ci-dessus dans lquation (4.108), on obtient : 0 = + + V SyT TAyT TAxT TAxT TASPS Ps sPNP Nn nWPW Pw wPEP Ee e. (4.113) Si lon tient compte quey x V = et P P cT S S S + =et finalement en regroupant les termes, lquation (4.113) peut scrire ainsi : y x S TyATyATxATxAT y x SyAyAxAxAc NPNn nSSPs sEPEe eWWPw wP PPNn nSPs sPEe eWPw w +||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|+||.|

\|=||.|

\| +++(4.114) Lquation(4.114)peuttrecritedoncsouslaformegnralediscrtisepourun noeud intrieur : b T a T a T a T a T aN N S S E E W W P P+ + + + = ,(4.115) o PNn nNSPs sSPEe eEWPw wWyAayAaxAaxAa==== ; y x S b y x S a a a a ac P n S E W P = + + + = . Pour obtenir la distribution de la tempratureT (ou pour une autre variable dpendante ) dans une situation 2D on crit lquation discrtise pour chaque noeud du maillage. Aux frontiresdudomainedanalyseolatempratureoulefluxsontconnuslquation discrtiseestmodifiepourprendreencomptelesconditionsauxlimitesdanslamanire prsente aux exemples ci-dessous. 4.3.2 Exemples Exemple 1 Onconsidreuneplaquerectangulaire( m 4 . 0 x5 . 0 )dpaisseurm 01 . 0 (fig.4.22).La conductivit thermique du matriau de la plaque est W/mK 1000 = . La frontire West de laplaquereoitunfluxconstant 2kW/m 500 = q etlesfrontiresSouthetEastsont isoles. La frontire North est maintenue la temprature deC 100 . Calculer la distribution stationnaire de la temprature dans les noeuds 1, 2, 3, etc., en utilisant le maillage prsent la figure 4.22 ( m 0.1 y = = x ). Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 77 Solution Lquation de conduction thermique stationnaire 2D pour les conditions nonces est : 0 =||.|

\|+ |.|

\|yTy xTx . (4.116) Lquation discrtise pour un noeud intrieur (le noeud 16 par exemple) est la suivante : N N S S E E W W P PT a T a T a T a T a + + + = ,(4.117) o yAayAaxAaxAanNsSeEwW==== ; n S E W Pa a a a a + + + = . Lesvaleursdescoefficients,despointsvoisinsaveclepointP ,danslesconditions dun maillage uniforme, sont : 101 . 0) 01 . 0 1 . 0 ( 1000= = = = =S N E Wa a a a; 40 10 10 10 10 = + + + = + + + =n S E W Pa a a a a . Fig. 4.22 Maillage et conditions aux limites pour le problme de conduction thermique 2D. MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 78Finalement, les quations discrtises pour les noeuds intrieurs (le noeud 8-11, 14-17, 20-23) sont : 9 7 14 2 810 10 10 10 40 T T T T T + + + =10 8 15 3 910 10 10 10 40 T T T T T + + + = 11 9 16 4 1010 10 10 10 40 T T T T T + + + = 12 10 17 5 1110 10 10 10 40 T T T T T + + + = 15 13 20 8 1410 10 10 10 40 T T T T T + + + = 16 14 21 9 1510 10 10 10 40 T T T T T + + + = (4.118) 17 15 22 10 1610 10 10 10 40 T T T T T + + + = 18 16 23 11 1710 10 10 10 40 T T T T T + + + = 21 19 26 14 2010 10 10 10 40 T T T T T + + + = 22 20 27 15 2110 10 10 10 40 T T T T T + + + = 23 21 28 16 2210 10 10 10 40 T T T T T + + + = 24 22 29 17 2310 10 10 10 40 T T T T T + + + = PourlesnoeudssitussurlafrontireWest(lesnoeuds2,3,4et5)onobtient lquationdiscrtiseenintgrantlquationdeconductionthermique(4.116)surledemi-volume de contrle prsent la figure 4.23. } }=||.|

\|+ |.|

\|VC VCdy dxyTydy dxxTx2 / 1 2 / 10.(4.119) Lintgration de lquation (4.119) donne : Fig. 4.23 Demi-volume de contrle sur la frontire W. Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 790 =(((

||.|

\| ||.|

\| +((

|.|

\| |.|

\|ss snn nPP Pee eyTAyTAxTAxTA , (4.120) oy A AP e = = et2 / x A As n = = .Enremplaantlesgradientsdetempraturedans les pointss n P e et, , , on obtient : 0 = + +yT TAyT TA q AxT TAS Ps sP Nn n PP Ee e, o PPxTq |.|

\| =est le flux impos sur la frontire West. En regroupant les termes, on obtient lquation discrtise pour les noeuds intrieurs de la frontire West ainsi : b T a T a T a T aN N S S E E P P+ + + = ,(4.121) o Pn nNs sSe eEqA byAayAaxAa ====; N S E Pa a a a + + = . Les valeurs numriques des coefficients sont les suivantes : 101 . 0) 01 . 0 1 . 0 ( 1000= ==xAae eE51 . 001 . 021 . 01000=|.|

\| ==yAas sS ; 500 ) 01 . 0 1 . 0 ( 500000 51 . 001 . 020.11000= = = =|.|

\| ==Pn nNqA byAa; 20 5 5 10 = + + = + + =N S E Pa a a a . Finalement, les quations discrtises pour les noeuds 2, 3, 4 et 5 sont les suivantes : 500 5 5 10 203 1 8 2+ + + = T T T T500 5 5 10 204 2 9 3+ + + = T T T T (4.122) 500 5 5 10 205 3 10 4+ + + = T T T T500 5 5 10 206 4 11 5+ + + = T T T T PourlesnoeudssitussurlafrontireEast(lesnoeuds26,27,28et29)onobtient lquationdiscrtiseenintgrantlquationdeconductionthermique(4.116)surledemi-volume de contrle prsent la figure 4.24. MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 80 } }=||.|

\|+ |.|

\|VC VCdy dxyTydy dxxTx2 / 1 2 / 10 ;(4.123) 0 =(((

||.|

\| ||.|

\| +((

|.|

\| |.|

\|ss snn nww wPP PyTAyTAxTAxTA . (4.124) o1 = y Aw et1 2 / = = x A As n. En tenant compte que0 = |.|

\|PxT et en supposant une variation linaire du gradient de temprature, on obtient : 0 = + yT TAyT TAxT TAS Ps sP Nn nW Pw w.(4.125) En regroupant les termes de lquation (4.125) on obtient lquation discrtise pour un noeud intrieur sur la frontire East : N N S S W W P PT a T a T a T a + + = , (4.126) o yAayAaxAan nNs sSw wW=== ; N S W Pa a a a + + = . Les valeurs numriques des coefficients sont les suivantes : Fig. 4.24 Demi-volume de contrle sur la frontire E. Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 81101 . 0) 01 . 0 1 . 0 ( 1000= ==xAaw wW 51 . 001 . 021 . 01000=|.|

\| ==yAas sS ; 20 5 5 10 51 . 001 . 020.11000= + + = + + = =|.|

\| ==N S W Pn nNa a a ayAa . Finalement, les quations discrtises pour les noeuds 26, 27, 28, et 29 sont les suivantes : 27 25 20 265 5 10 20 T T T T + + = 28 26 21 275 5 10 20 T T T T + + = (4.127) 29 27 22 285 5 10 20 T T T T + + =30 28 23 295 5 10 20 T T T T + + = PourlesnoeudssitussurlafrontireSouth(lesnoeuds7,13,et19)onobtient lquationdiscrtiseenintgrantlquationdeconductionthermique(4.116)surledemi-volume de contrle prsent la figure 4.25. Lintgration de lquation (4.116) sur le demi-volume de contrle hachur de la figure 4.25 donne : 0 =||.|

\| ||.|

\| + |.|

\| |.|

\|PP Pnn nww wee eyTAyTAxTAxTA ,(4.128) o1 et1 2 / = = = x A y A An e w.Enrapprochantlesgradientsdetempratureparune variation linaire et en tenant compte de la condition la limite( ) 0 / = Py Ton obtient : 0 = + yT TAxT TAxT TAP Nn nW Pw wP Ee e(4.129) Enregroupantlestermesdanslquation(4.129)onobtientfinalementlaforme gnrale de lquation discrtise : Fig. 4.25 Demi-volume de contrle sur la frontire South. MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 82 N N E E W W P PT a T a T a T a + + = ,(4.130) oyAaxAaxAan nNe eEw wW=== ; N E W Pa a a a + + = . Les valeurs numriques des coefficients sont les suivantes : 51 . 001 . 021 . 01000 51 . 001 . 021 . 01000=|.|

\| = =|.|

\| =E Wa a; ( )20 10 5 5101 . 001 . 0 1 . 0 1000= + + = = =P Na a; Les quations discrtise pour les noeuds 7, 13 et 19 sont : 8 13 1 710 5 5 20 T T T T + + = 14 19 7 1310 5 5 20 T T T T + + = (4.131) 20 25 13 1910 5 5 20 T T T T + + = Lesnoeuds1et25sonttraitsaussidefaonparticulire.Ainsi,pourlenoeud1on intgre lquation (4.116) sur le volume de contrle hachur prsent la figure 4.26. } }=||.|

\|+ |.|

\|VC VCdy dxyTydy dxxTx4 / 1 4 / 10 ,(4.132) 0 =||.|

\| ||.|

\| + |.|

\| |.|

\|PP Pnn nPP Pee eyTAyTAxTAxTA ,(4.133) Fig. 4.26 Quart de volume de contrle (le coin W-S).Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 83o1 ) 2 / ( = = y A AP eet1 ) 2 / ( = x An.Entenantcompteque PPxTq |.|

\| = et 0 =||.|

\|PyT, on obtient : 0 = + +yT TA q AxT TAP Nn n PP Ee e.(4.134) En regroupant les termes, on obtient la forme gnrale de lquation discrtise pour le noeud de coin 1 : b T a T a T aN N E E P P+ + = ,(4.135) oq A b a a ayAaxAaP N E Pn nNe eE= + === . Les valeurs numriques des coefficients sont les suivantes : 51 . 001 . 021 . 0100051 . 001 . 021 . 01000=|.|

\| == =|.|

\| ==yAaxAan nNe eE ; 250 10 500 01 . 021 . 0 10 5 53= |.|

\| = = = + = + = q A b a a aP N E P. Lquation rsoudre est la suivante : 250 5 5 102 7 1+ + = T T T .(4.136) Pour obtenir lquation discrtise pour le noeud 25 (noeud de coin E S) on intgre lquation (4.116) sur le quart de volume de contrle hachur la figure 4.27. } }=||.|

\|+ |.|

\|VC VCdy dxyTydy dxxTx4 / 1 4 / 10 . (137) Fig. 4.27 Quart de volume de contrle (le coin E-S). MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 84Aprs lintgration on a : 0 =||.|

\| ||.|

\| + |.|

\| |.|

\|PP Pnn nww wPP PyTAyTAxTAxTA , (4.138) o1 ) 2 / ( = y Awet1 ) 2 / ( = x An.Entenantcompteque0 = |.|

\|PxTet 0 =||.|

\|PyT, on obtient : 0 = + yT TAxT TAP Nn nW Pw w.(4.139) Finalement on obtient lquation discrtise pour le noeud 25 (noeud de coin) : N N W W P PT a T a T a + = ,(4.140) oN W Pn nNw wWa a ayAaxAa + === . Les valeurs numriques des coefficients sont les suivantes : 51 . 001 . 021 . 0100051 . 001 . 021 . 01000=|.|

\| == =|.|

\| ==yAaxAan nNw wW; 10 5 5 = + = + =N W Pa a a . Lquation rsoudre est la suivante : 26 19 255 5 10 T T T + = (4.141) Finalement, le systme dquation rsoudre est le suivant : 250 5 5 102 7 1+ + = T T T500 5 5 10 203 1 8 2+ + + = T T T T500 5 5 10 204 2 9 3+ + + = T T T T500 5 5 10 205 3 10 4+ + + = T T T T500 5 5 10 206 4 11 5+ + + = T T T T8 13 1 710 5 5 20 T T T T + + = 9 7 14 2 810 10 10 10 40 T T T T T + + + =10 8 15 3 910 10 10 10 40 T T T T T + + + = 11 9 16 4 1010 10 10 10 40 T T T T T + + + =Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 85 12 10 17 5 1110 10 10 10 40 T T T T T + + + =14 19 7 1310 5 5 20 T T T T + + = 15 13 20 8 1410 10 10 10 40 T T T T T + + + = (4.142) 16 14 21 9 1510 10 10 10 40 T T T T T + + + = 17 15 22 10 1610 10 10 10 40 T T T T T + + + = 18 16 23 11 1710 10 10 10 40 T T T T T + + + = 20 25 13 1910 5 5 20 T T T T + + = 21 19 26 14 2010 10 10 10 40 T T T T T + + + = 22 20 27 15 2110 10 10 10 40 T T T T T + + + = 23 21 28 16 2210 10 10 10 40 T T T T T + + + = 24 22 29 17 2310 10 10 10 40 T T T T T + + + =26 19 255 5 10 T T T + = 27 25 20 265 5 10 20 T T T T + + = 28 26 21 275 5 10 20 T T T T + + =29 27 22 285 5 10 20 T T T T + + =30 28 23 295 5 10 20 T T T T + + = La solution numrique du systme (4.142) est prsente dans le tableau 4.8. On constate unebonnecorrespondance,pourpresquelemmenumrodenoeuds,entrelesrsultats obtenusaveclamthodedesvolumesfinisetcellesobtenusaveclamthodedeslements finis en utilisant le logiciel QuickField (Students QuickField TM 3.40a, Copyright 1993-97 Tera Analysis). Pour apprcier la prcision, il faut comparer les rsultats numriques avec la solution analytique. la figure 4.28 sont prsentes les courbes isothermes obtenues laide du logiciel QuickField. Tableau 4.8 La solution numrique du systme (4.142) (la mthode des volumes finis MVF, 30 noeuds et 546 noeuds, et la mthode des lements finis MEF, 31 noeuds et 485 noeuds) 12345678910111213 T1 T2 T3 T4 T5 T7 T8 T9 T10 T11 T13 T14 T15 319.8 312.9 291.8 254.7 196.3 276.7 270.0 249.8 215.3 165.3 246.9 240.7 222.1 320.6 311.9 289.4 250.8 190.3 277.3 270.2 249.9 216.0 167.4 246.8 240.6 221.6 321.2 314.5 293.7 257.6 201.5 278.0 271.4 251.3 216.9 166.5 247.9 241.6 223.0 321.2 314.5 293.8 257.6 201.6 278.0 271.4 251.2 216.8 166.5 247.9 241.6 223.0 MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 86141516171819202122232425 T16 T17 T19 T20 T21 T22 T23 T25 T26 T27 T28 T29 Noeud 191.4 149.7 229.5 223.7 206.4 178.6 141.9 223.8 218.2 201.4 174.6 139.6 M V F 30 noeuds 191.3 148.7 228.9 222.8 205.3 177.4 141.7 223.4 217.6 200.7 173.9 139.2 M E F 31 noeuds 192.0 149.9 230.3 224.4 206.9 178.9 142.0 224.5 218.7 201.8 174.7 139.6 M V F 546 noeuds 192.1 149.9 230.2 224.4 206.9 178.8 142.0 224.4 218.7 201.8 174.7 139.6 M E F 485 noeuds Enanalysantlesrsultatsdutableau4.8onconstateunetrsbonnecorrespondance entrelesrsultats obtenus avec la mthode des volumes finis (546 noeuds)et cellesobtenus aveclamthodedeslmentsfinis(485noeuds).Commelamatricedescoefficientsdu systmedquationsalgbriquesestune matrice de type bande, on peut utiliser lalgorithme de Thomas adapt au cas bidimensionnel (voir le code source lAnnexe G THER2Ds1). 4.3.3 Application de lalgorithme de Thomas aux problmes 2D (ou ligne par ligne) LalgorithmedeThomaspeuttreappliquitrativementpourrsoudrelesystme dquationsalgbriquesdanslecasdesproblmes2D.Oncombinelamthodedirectede lalgorithmedeThomasdansunedirectionetlamthodeitrativedeGauss-Seideldans lautre direction. Soit lexemple du maillage de la figure 4.29 Fig. 4.28 Les isothermes. Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 87 Les quations discrtises sur la ligne3 = j , par exemple, sont les suivantes : 32*42 42*22 22 33 33 31 31 32 32b T a T a T a T a T a + + + + = 33*43 43*23 23 34 34 32 32 33 33b T a T a T a T a T a + + + + = (4.143) 34*44 44*24 24 35 35 33 33 34 34b T a T a T a T a T a + + + + = . Sim j 1 ,onrsoutmproblmes1Ddansladirection x parleTDMA,enbalayant touslesindices] , 1 [ m j .Lestempratures *ijT sontlesderniresvaleursdelatemprature calcules (litration prcedente) sur les lignes voisines de la ligne o lon effectue le TDMA. Remarques La convergence de la mthode ligne par ligne est plus rapide que celle de Gauss-Seidel car linformationcontenuesurlesfrontiresdelaligneosappliqueleTDMAesttransmise instantanment lintrieur du domaine et cela quel que soit le nombre de noeuds sur la ligne. Lavitessedetransmissiondanslautredirectionestlammequepourlamthodede Gauss-Seidel. EnalternantlesdirectionsdapplicationduTDMA,onpeutacclrerlapropagationde linformation contenue sur toutes les frontires vers lintrieur du domaine. La gomtrie et le maillage peuvent donner des coefficients vsabeaucoup plus grands dans unedirectionquedanslautre.cemoment-l,ilfautprendrepourdirectionduTDMAla Fig. 4.30 Choix de la direction du TDMA. Fig. 4.29 Application du TDMA dans le cas 2D. MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 88direction des grands coefficients car cela acclre la convergence. Soit lexemple suivant de la figure 4.30. Les coefficients de l'quation discrtise sont les suivants : nnNssSeeEwwWyxayxaxyaxya = = = =, oy x y xn s e w >> >> ) ( ) ( . Ceciimpliqueque ) ( ) ( E W N Sa a >> etdonconprendpourdirectionduTDMAladirection y . Lquation discrtise est la suivante : b T a T a T a T a T aE E W W N N S S P P+ + + + =* *.(4.144) Danscertainscas,ladirectiondebalayagepourlesitrationsdelamthodedeGauss-Seidelestimposeparlesconditionsauxlimitesouparladirectiondelcoulement(de lamont vers laval). Exemple 2 Onconsidreuneplaquemtalliquerectangulaire( m 04 . 0 x05 . 0 ).Laconductivit thermique du matriau de la plaque est W/m/K 4 = . Toutes les frontires de la plaque sont maintenues la temprature deC 0 et le terme source est 3 6 W/m 10 40 = S . Calculerladistributionstationnairedelatempraturedanslaplaqueenutilisantle maillage de la figure 4.31 ( m 0.01 y = = x ). Solution Lquation rsoudre est la suivante : 0 = +||.|

\|+ |.|

\|SyTy xTx .(4.145) Lquation discrtise pour un noeud intrieur (le noeud 16 par exemple) est la suivante : b T a T a T a T a T aN N S S E E W W P P+ + + + = ,(4.146) o yAayAaxAaxAanNsSeEwW====, y x S b a a a a an S E W P = + + + =. Le terme source,Stant constant, ce nest pas ncessaire dtre linaris. Les valeurs des coefficients voisins, pour le maillage choisi, sont : 401 . 01 01 . 0 4= = = = =N S E Wa a a a; 16 4 4 4 4 = + + + = + + + =n S E W Pa a a a a; Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 894000 01 . 0 01 . 0 10 406= = = y x S b . Fig. 4.31 Maillage et conditions aux limites pour lexemple 2 Pourlesnoeudsdefrontire(noeuds30 29, 28, 27, 26, 25, 24, 19, 18, 13, 12, 7, 6, 5, 4, 3, 2, , 1 ) la temprature tant connue ce nest pas ncessaire dcrire les quations discrtises. Alors le nombre dquations rsoudre est gal 12, les quations discrtises sont les suivantes : 1000 49 14 8+ + = T T T1000 410 8 15 9+ + + = T T T T1000 411 9 16 10+ + + = T T T T1000 410 17 11+ + = T T T1000 415 20 8 14+ + + = T T T T1000 416 14 21 9 15+ + + + = T T T T T (4.147) 1000 417 15 22 10 16+ + + + = T T T T T1000 416 23 11 17+ + + = T T T T1000 421 14 20+ + = T T T1000 422 20 15 21+ + + = T T T T1000 423 21 16 22+ + + = T T T T1000 422 17 23+ + = T T T En regroupant les inconnues, le systme dquations rsoudre est le suivant : MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 90((((((((((((((((((

=((((((((((((((((((

((((((((((((((((((

1000100010001000100010001000100010001000100010004 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 01 4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 00 1 4 1 0 0 1 0 0 0 0 00 0 1 4 0 0 0 1 0 0 0 01 0 0 0 4 1 0 0 1 0 0 00 1 0 0 1 4 1 0 0 1 0 00 0 1 0 0 1 4 1 0 0 1 00 0 0 1 0 0 1 4 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 4 1 0 00 0 0 0 0 1 0 0 1 4 1 00 0 0 0 0 0 1 0 0 1 4 10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 42322212017161514111098TTTTTTTTTTTT(4.148) La solution du systme (4.148) est : ((((((((((((((((((

=((((((((((((((((((

479 . 746000 . 1028000 . 1028479 . 746746 . 957000 . 1338000 . 1338746 . 957479 . 746000 . 1028000 . 1028479 . 7462322212017161514111098TTTTTTTTTTTT(4.149) Fig. 4.32 Les courbes isothermes (obtenues laide du logiciel QuickField) Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 91La solution analytique du problme pour un quart du domaine danalyse (fig. 4.34) est la suivante, [28] : ( ) ( )( ) ( )=|.|

\| + +|.|

\| + |.|

\| + =0332 2 221 2 cosh 1 221 2 cosh21 2 cos ) 1 (162) () , (nnabn naynaxnSa x a Sy x T(4.150) Fig. 4.34 Le domaine de calcul analytique Fig. 4.34a Les courbes isothermes (solution analytique) MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 92lafigure4.34-aonprsentelasolutionanalytiqueobtenuelaidedelexpression (4.150) pour le domaine de calcul hachur de la figure 4.34. la figure 4.34-b on prsente la solution numrique. On constate une trs bonne correspondance entre la solution numrique et la solution analytique (mais il faut tenir compte que mme la solution analytique est le rsultat duncalculnumriquedvaluationdunesrietronque).Dansletableauci-dessouson prsenteune comparaison des rsultats obtenus en utilisant la mthode des volumes finis (le programme THERM2D2), la solution analytique et laide du logiciel QuickField. Fig.4.34b Les courbes isothermes (solution numrique) x = 0 ] [mm y] [K TQuickField ] [K TAnalytique ] [K Tnumrique MVF Erreur [ % ] 11429.101430.0001428.260.12 31413.701416.0001414.270.12 51386.801388.0001385.970.14 71341.601345.0001342.710.17 91281.601286.0001283.490.19 111206.501209.0001206.970.16 131113.301113.0001111.470.14 15996.47996.558994.920.16 17852.53856.310854.900.16 19683.60689.757688.630.16 21486.86493.798493.010.16 23259.76265.067264.660.15 485 noeuds546 noeuds Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 93 Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 934.4 Conduction thermique instationnaire en deux dimensions (2D) 4.4.1 Forme gnrale de lquation discrtise Lquation de conduction thermique instationnaire pour un problme 2D est la suivante SyTy xTx tTcp+||.|

\|+ |.|

\|= .(4.151) Lintgrationdelquation(4.151)surlevolumedecontrleschmatislafigure 4.35 donne : } } } } } } } } + + + ++||.|

\|+ |.|

\|=t tt VCt tt VCt tt VCt tt VCpdt dy Sdx dt dx dyyTydt dy dxxTxdt dy dxtTc (4.152) ( )}} } + + + + ||.|

\|||.|

\|||.|

\|+ ||.|

\||.|

\| |.|

\|= t tt0dt y x St ttt tt ssnnwwee P P pdt xyTyTdt yxTxTy x T T c En remplaant les gradients de temprature on obtient : ( )}}} + + + + ||.|

\|||.|

\| ||.|

\|+ ||.|

\|||.|

\| ||.|

\| = t ttsS PsnP Nt ttwW PweP Ee P P pdt y x Sdt xyT TyT Tdt yxT TxT Ty x T T c

t ttn0(4.153) Fig. 4.35 Volume de contrle en deux dimensions. MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 94En utilisant le schma totalement implicite, on obtient : ( )y x S xyT TxyT TyxT TyxT Tty xT T csS PsnP NnwW PweP Ee P P p + ||.|

\| ||.|

\|+ ||.|

\| ||.|

\| = 0 (4.154) Enregroupantlestermesdanslquation(4.154)onobtientlaformegnralede lquation discrtise : b T a T a T a T a T aN N S S E E W W P P+ + + + = ,(4.155) o nn nNss sSee eEww wWyAayAaxAaxAa==== ; ty xc a a a a a a ap P P N S E W P = + + + + =0 0 ; 0 0P PT a y x S b + = . Tableau 4.9 wA eA sA nA1 y 1 y 1 x 1 x Silonpeutexprimer P P cT S S S + = (linarisationdutermesource)alorsles coefficientsb aPet, de lquation discrtise, sont les suivants : y x S a a a a a aP P N S E W P + + + + =0 ; 0 0P P cT a y x S b + = . Remarque Lquation(4.155)estvalablepourunnoeudintrieurdudomainedecalcul.Pourles noeuds situs sur la frontire (dans le cas des conditions aux limites de type flux impos, de type convection ou de type Neumann) ou voisins avec la frontire (dans le cas des conditions auxlimitesdetypeDirichlet)lesquationsdiscrtisessontobtenuesentenantcomptedes conditions aux limites. Le traitement des diffrentes conditions aux limites est illustr dans les exemples qui suivent. Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 954.4.2 Exemples Exemple 1 Onconsidreuneplaquemtalliquerectangulaire( m 04 . 0 x05 . 0 ).Laconductivit thermique du matriau de la plaque est W/m/K 10 = . linstant0 = tla frontire North delaplaqueestmiseencontactavecuneparoimaintenuelatempratureconstante K 1000 =pT . Les autres frontires de la plaque sont maintenues la temprature deK 300 . Le terme source est constant et distribu de faon uniforme. 3 6 W/m 10 40 = S . linstant 0 = tla plaque se trouve la temprature deK 300 . Calculerladistributiontransitoiredelatempraturedanslaplaqueenutilisantle maillage prsent la figure 4.31 ( m 0.01 y = = x ). On connatK J/m 103 6= pc . Solution Lquation rsoudre est la suivante : SyTy xTx tTcp+||.|

\|+ |.|

\|= . (4.156) Lquation discrtise pour un noeud intrieur (le noeud 16 par exemple) est la suivante : b T a T a T a T a T aN N S S E E W W P P+ + + + = ,(4.157) o yAayAaxAaxAanNsSeEwW==== ty xc a a a a a a ap P P n S E W P = + + + + =0 0

0 0P PT a y x S b + = Le terme sourceStant constant, il nest pas ncessaire dtre linaris. Les valeurs des coefficients voisins, pour le maillage choisi ( 01 . 0 = = y x ), sont : 1001 . 01 01 . 0 10= = = = =N S E Wa a a a; 10001 . 001 . 0 01 . 0106 0== =ty xc ap P ; 1040 1000 10 10 10 100= + + + + = + + + + =P n S E W Pa a a a a a; 0 0 6 0 01000 4000 1000 01 . 0 01 . 0 10 40P P P PT T T a y x S b + = + = + = . Pour les noeuds situs sur la frontire ( les noeuds 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 18, 19, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30) la temprature tant connue, il nest pas ncessaire dcrire les MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 96 quationsdiscrtises.Alors,lenombredquationsrsoudreestgal12,lesquations discrtises sont les suivantes : 09 14 81000 4000 10 300 10 10 300 10 1040PT T T T + + + + + = 010 8 15 91000 4000 10 10 10 300 10 1040PT T T T T + + + + + = 011 9 16 101000 4000 10 10 10 300 10 1040PT T T T T + + + + + = 010 17 111000 4000 1000 10 10 10 300 10 1040PT T T T + + + + + = 015 20 8 141000 4000 10 300 10 10 10 1040PT T T T T + + + + + = 016 14 21 9 151000 4000 10 10 10 10 1040PT T T T T T + + + + + =(4.158) 017 15 22 10 161000 4000 10 10 10 10 1040PT T T T T T + + + + + = 016 23 11 171000 4000 1000 10 10 10 10 1040PT T T T T + + + + + = 021 14 201000 4000 10 300 10 300 10 10 1040PT T T T + + + + + = 022 20 15 211000 4000 10 10 300 10 10 1040PT T T T T + + + + + = 023 21 16 221000 4000 10 10 3000 10 10 1040PT T T T T + + + + + = 022 17 231000 4000 1000 10 10 300 10 10 1040PT T T T + + + + = En regroupant les inconnues, le systme dquations rsoudre est le suivant : 08 14 9 81000 10000 10 10 1040 T T T T + = 09 15 10 9 81000 7000 10 10 1040 10 T T T T T + = + Fig. 4.36 Maillage 2D pour lexemple 1. Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 97010 16 11 10 91000 7000 10 10 1040 10 T T T T T + = + 011 17 11 101000 14000 10 1040 10 T T T T + = + 014 20 15 14 81000 7000 10 10 1040 10 T T T T T + = + 015 21 16 15 14 91000 4000 10 10 1040 10 10 T T T T T T + = + 016 22 17 16 15 101000 4000 10 10 1040 10 10 T T T T T T + = + (4.159) 017 23 17 16 111000 14000 10 1040 10 10 T T T T T + = + 020 21 20 141000 10000 10 1040 10 T T T T + = + 021 22 21 20 151000 7000 10 1040 10 10 T T T T T + = + 022 23 22 21 161000 7000 10 1040 10 10 T T T T T + = + 023 22 23 171000 17000 10 1040 10 T T T T + = + Sous la forme matricielle le systme dquations rsoudre est le suivant : ((((((((((((((((((

++++++++++++=((((((((((((((((((

((((((((((((((((((

023022021020017016015014011010090823222120171615141110981000 170001000 70001000 70001000 100001000 140001000 40001000 40001000 70001000 170001000 70001000 70001000 100001040 10 0 0 10 0 0 0 0 0 0 010 1040 10 0 0 10 0 0 0 0 0 00 10 1040 10 0 0 10 0 0 0 0 00 0 10 1040 0 0 0 10 0 0 0 010 0 0 0 1040 10 0 0 10 0 0 00 10 0 0 10 1040 10 0 0 10 0 00 0 10 0 0 10 1040 10 0 0 10 00 0 0 10 0 0 10 1040 0 0 0 100 0 0 0 10 0 0 0 1040 10 0 00 0 0 0 0 10 0 0 10 1040 10 00 0 0 0 0 0 10 0 0 10 1040 100 0 0 0 0 0 0 10 0 0 10 1040TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT(4.160) MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 98Pour la rsolution du systme (4.160) on applique lalgorithme de Thomas, adapt aux problmes2D,prsentauparagraphe4.3.3.Pourcela,lquationdiscrtisedoittremise sous la forme : 0 0 * *P P E E W W N N P P S ST a y x S T a T a T a T a T a + + + = + .(4.161) Aux figures 4.37 et 4.39 sont prsentes les solutions numriques obtenues laide du programmeTHERM2Di(AnnexeG),auxdiffrentsmomentsdetemps,pourunpasde tempss 1 . 0 = t . lafigure4.38onprsenteunecomparaisonentrelasolutionnumriqueobtenue laide du programme THERM2Di, en utilisant la mthode des volumes finis, et celles obtenue laidedulogicielQuickField(QuickField4.2Tversion4.2.2.2,Copyright1993-2001 Tera Analysis) en utilisant la mthode des lments finis. Lacomparaisonestprsentelelong dela droitemm 20 = x . cause du fait que la version du logiciel QuickField utilise est limite 200 noeuds les erreurs sont assez grandes. VerslafrontireNortholesgradientsdetempraturesontgrandsilfaututiliserun maillage trs dense (fig. 4.40). On constate que, pour le maillage (fig. 4.41), les erreurs dans lazonedefortsgradientssonttrsgrandes,ladistributiondelatempratureayantun comportementnonraliste.Aucontrairesilemaillagedevientplusdensedanslazonedes forts gradients, mais plus grossire dans le reste du domaine (fig. 4.40), les erreurs diminuent, maisaugmentedanslazonemm 15 0 = y .Onconstateaussiquepourlamthodedes volumesfinislasolutionestpresquelammesilonpassedunmaillage208noeudsau maillage 546 noeuds ce qui nous permet de tirer la conclusion que pour un mme nombre de Fig. 4.37 Distribution du champ thermique linstants 10 = t . Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 99noeudsetpourlemmepasdansletempslamthodedesvolumesfinissembletreplus prcise que la mthode des lments finis dans le cas des problmes de conduction thermique instationnaire. Cette analyse est plutt qualitative parce quune analyse correcte doit tre faite pourlemmetypedemaillage,pourlemmenombredenoeudsetpourlemmeschma dans le temps.En ce qui concerne le pas de discrtisation dans le temps, mme si le schma utilis est totalementimplicite,ilfautnoterquepouravoirunebonneprcisiondelasolution,lepas dansletempsdoittretrspetit.Leschmadediscrtisationestdupremierordrecomme prcision dans le temps, tandis que dans lespace est de second ordre. Dansletableauci-dessousonprsentelvolutiondeladistributiondelatempraturepour diffrents pas de temps linstants 10 = t . Fig. 4.38 Comparaison des distributions spatiales de temprature (x = 20,y) linstants 10 = t ,obtenuelaideduprogrammeTHERM2Dietlaide du logiciel QuickField 4.2T (version Student).MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 100Tableau 4.10 Lvolution de la temprature pour diffrents pas de temps [s] t [mm] y10.50.10.050.01 4436.22437.74438.95439.10439.23 8524.93527.71529.95530.24530.46 12581.01584.69587.69588.06588.37 16616.87621.15624.68625.13625.49 20642.46647.25651.27651,78652.20 24665.80671.29675.98676.59677.08 28693.73700.27705.90706.63707.22 32732.07739.89746.55747.40748.10 36784.83793.59800.88801.81802.55 40851.86860.37867.26868.12868.82 44925.12931.48936.51937.13937.63 48984.83987.21989.06989.29989.47 Daprs les rsultats prsents au tableau 4.1 on constate quune bonne prcision est obtenue pour un pas de tempss 1 . 0 t . Fig. 4.39 Distribution du champ thermique linstants 50 = t .Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 101 Fig.4.40 Maillage A - obtenu laide du logiciel QuickField 4.2T (version Student) (densit du maillage avec spacing 0.8/16.65 dfini par les cercles). MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 102 Fig.4.41MaillageBobtenulaidedulogicielQuickField4.2T(versionStudent) (densit du maillage avec spacing 1.38/10 dfini par les cercles).

Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 103 Exemple 2 Onconsidreunebarretrslongueayantlasectiontransversalerectangulaire ) 1 . 0 x08 . 0 (2m .linstant0 = t lasectiontransversale,delabarre,aunedistribution uniforme de la temprature,C To0425 = . La barre est mise en contacte avec un fluide ayant la temprature uniformeC To25 =. Le coefficient de transfert thermique par convection, sur la surface de sparation entre la barre et le fluide, estK W/m 1002= h .Dterminerlvolution,dansletemps,deladistributiondelatempraturesurla section transversale de la barre, en utilisant un pas de tempss 1 . 0 = t . On connat les suivantes proprits du matriau de la barre : -la conductivit thermique, W/mK 35 = ; -la densit de masse, 3kg/m 1000 = ; -la chaleur spcifique,J/kgK 3500 =pc . Solution En profitant de la symtrie, on calcule la distribution de la temprature sur un quart de la section transversale (fig. 4.42). Le domaine de calcul dcoup sur la fig. 4.42 est prsent la fig. 4.43. On considre un maillage 30 noeuds comme dans lexemple 1 ( m 01 . 0 = = y x ). Lquation diffrentielle qui gouverne le rgime transitoire de la barre est la suivante : ||.|

\|+ |.|

\|=yTy xTx tTcp. (4.162) Fig. 4.42 Section transversale par la barre rectangulaire. MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 104 Pour obtenir lquation discrtise pour un noeud intrieur du domaine de calcul (lenoeud16parexemple)onintgrelquation(4.162)surlevolumedecontrlehachur autourdunoeud16(fig.4.43).Enutilisantleschmatotalementimpliciteonobtient(voir lobtention de lquation (4.155)) : b T a T a T a T a T aN N S S E E W W P P+ + + + = , (4.163) onn nNss sSee eEww wWyAayAaxAaxAa====, 0 0 0 0 P p p P P N S E W PT a bty xc a a a a a a a = = + + + + =, 1 1 = = = = x A A y A An s e w, le terme sourceStant nul dans notre exemple. Lesvaleursnumriquesdescoefficientsdelquation(4.163),danslesconditions dun maillage uniforme, sont : 3501 . 0) 1 01 . 0 ( 35= = = = =N S E Wa a a a; 35001 . 001 . 0 01 . 03500 10000= = =ty xc ap P ; Fig. 4.43 Maillage 2D pour le domaine de calcul. Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 105 3640 3500 35 35 35 35 = + + + + =Pa; 03500PT b = . Lquation(4.163)sappliquesuccessivementpourlesnoeudsintrieursdudomaine de calcul (les noeuds 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22, et 23) et on obtient les quations suivantes : 08 9 7 14 2 83500 35 35 35 35 3640 T T T T T T + + + + = 09 10 8 15 3 93500 35 35 35 35 3640 T T T T T T + + + + = 010 11 9 16 4 103500 35 35 35 35 3640 T T T T T T + + + + = 011 12 10 17 5 113500 35 35 35 35 3640 T T T T T T + + + + = 014 15 13 20 8 143500 35 35 35 35 3640 T T T T T T + + + + = 015 16 14 21 9 153500 35 35 35 35 3640 T T T T T T + + + + =(4.164) 016 17 15 22 10 163500 35 35 35 35 3640 T T T T T T + + + + = 017 18 16 23 11 173500 35 35 35 35 3640 T T T T T T + + + + = 020 21 19 26 14 203500 35 35 35 35 3640 T T T T T T + + + + = 021 22 20 27 15 213500 35 35 35 35 3640 T T T T T T + + + + = 022 23 21 28 16 223500 35 35 35 35 3640 T T T T T T + + + + = 023 24 22 29 17 233500 35 35 35 35 3640 T T T T T T + + + + = PourunnoeudintrieursurlafrontireWest,lenoeud4parexemple,on intgre lquation (4.162) sur le demi-volume de contrle hachur et prsent la fig. 4.44. } } } } } } + + +||.|

\|+ |.|

\|=t tt VCt tt VCt tt VCpdt dy dxyTydt dy dxxTxdt dy dxtTc2 / 1 2 / 1 2 / 1 (4.165) Lintgration de lquation (4.165) donne : Fig. 4.44 Demi-volume de contrle sur la frontire W. MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 106 ( )} } + +||.|

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\|+ ||.|

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\| |.|

\|= t ttt tt ssnnPPee P P pdtxyTyTdt yxTxTyxT T c2 20 Entenantcompteque( ) 0 / = Px T (condition la limite sur la frontire West),en supposantunevariationlinairedugradientdetempratureetenutilisantleschma totalement implicite pour lintgration dans le temps, on obtient : ( )sS Ps snP Nn neP Ee e P P pyT TAyT TAxT TAty xT T c + = 20,(4.166) oy Ae =et2 / x A An s = = . Enregroupantlestermes,danslquation(4.166),onobtientlaformegnralede lquation discrtise : b T a T a T a T aN N S S E E P P+ + + = , (4.167) o nn nNss sSee eEyAayAaxAa===; 0 0 0 0 2 P p p P P N S E PT a bty xc a a a a a a = = + + + = . Les valeurs numriques des coefficients pour lquation (4.167) sont les suivantes : 3501 . 0) 1 01 . 0 ( 35= =Ea 5 . 1701 . 0) 1201 . 0( 35= = =N Sa a; 17501 . 0 201 . 0 01 . 03500 100020= = =ty xc ap P ; 1820 1750 5 . 17 5 . 17 35 = + + + =Pa01750PT b = . LesquationsdiscrtisespourlesnoeudsintrieurssurlafrontiresWest(les noeuds 2, 3, 4 et 5) sont : 02 3 1 8 21750 5 . 17 5 . 17 35 1820 T T T T T + + + = 03 4 2 9 31750 5 . 17 5 . 17 35 1820 T T T T T + + + = 04 5 3 10 41750 5 . 17 5 . 17 35 1820 T T T T T + + + =(4.168) 05 6 4 11 51750 5 . 17 5 . 17 35 1820 T T T T T + + + = PourunnoeudintrieursurlafrontireSouth,lenoeud13parexemple,on intgre lquation (4.162) sur le demi-volume de contrle hachur et prsent la fig. 4.45 et on obtient : Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 107 ( )} } + +||.|

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\| |.|

\|= t ttt tt PPnnwwee P P pdt xyTyTdtyxTxT yx T T c 2 20. (4.169) En tenant compte que( ) 0 / = Py T (condition la limite sur la frontire South), en remplaantlesgradientsdetempratureauxpointsn etw, e, etenutilisantleschma totalement implicite pour lintgration dans le temps, on obtient lquation discrtise sous la forme gnrale : b T a T a T a T aN N E E W W P P+ + + = , (4.170) o nn nNee eEww wWyAaxAaxAa=== ; 0 0 0 0 2 P p p P P N E W PT a bty xc a a a a a a = = + + + =; 12= =yA Aw e et1 = x An. Les valeurs des coefficients, de lquation (4.170), sont : ( )3501 . 01 01 . 0 355 . 1701 . 01201 . 035= = =|.|

\| = =N E Wa a a; 17501 . 0 201 . 0 01 . 03500 100020= = =ty xc ap P ; 1820 1750 35 5 . 17 5 . 17 = + + + =Pa01750PT b = . Les quations discrtise pour les noeuds 7, 13 et 19 sont les suivantes : 07 8 13 1 71750 35 5 . 17 5 . 17 1820 T T T T T + + + =Fig. 4.45 Demi-volume de contrle sur la frontire S MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 108 013 14 19 7 131750 35 5 . 17 5 . 17 1820 T T T T T + + + =(4.171) 019 20 25 13 191750 35 5 . 17 5 . 17 1820 T T T T T + + + = Lquationdiscrtisepourlenoeud1estobtenueenintgrantlquation(4.162) surlequartdevolumedecontrlehachurprsentlafig.4.46.Aprslapremire intgration on obtient : ( )} } + +||.|

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\| |.|

\|= t ttt tt PPnnPPee P P pdtxyTyTdtyxTxT y xT T c2 2 2 20 (4.172) Delammefaon,onobtientlquationdiscrtisepourlenoeud1souslaforme gnrale suivante : b T a T a T aN N E E P P+ + = , (4.173) o ty xc ayAaxAap Pnn nNee eE ===4

0 ; 0 0 0 P p P N E PT a b a a a a = + + =; ( ) 1 2 / = y Ae et( ) 1 2 / = x An. Les valeurs des coefficients de lquation (4.173) sont : 5 . 1701 . 01201 . 035=|.|

\| =Ea 5 . 1701 . 01201 . 035=|.|

\| =Na; 8751 . 0 401 . 0 01 . 03500 10000= =Pa 910 875 5 . 17 5 . 17 = + + =Pa; 0875PT b= . Fig. 4.46 Quart de volume de contrle (le coin W-S). Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 109 On obtient ainsi lquation discrtise pour le noeud 1 : 01 2 7 1875 5 . 17 5 . 17 910 T T T T + + =(4.174) PourunnoeudintrieursurlafrontireEast,lenoeud28parexemple,on intgre lquation (4.162) sur le demi-volume de contrle hachur et prsent la fig. 4.47. Aprs lintgration dans lespace et dans le temps pour la part gauche de lquation et dans lespace pour la part droite, on obtient : ( )} } + +||.|

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\| |.|

\|= t ttt tt ssnnwwPP P P pdtxyTyTdt yxTxTyxT T c2 20 . (4.175) En tenant compte que sur cette frontire la condition la limite est : ( )PPPT T hxT =, (4.176) et en intgrant avec le schma totalement implicite, on obtient, en remplaant les gradients de temprature, lquation suivante : ( ) ( )sS Ps snP Nn nwW Pw w P P P P pyT TAyT TAxT TA A T T hty xT T c + = 20.(4.177) Enregroupantlestermesdanslquation(4.177)onobtientlaformegnralede lquation discrtise : b T a T a T a T aN N S S W W P P+ + + = , (4.178) o nn nNss sSww wWyAayAaxAa===ty xc ap P =20 ; Fig. 4.47 Demi-volume de contrle sur la frontire E. MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 110 + = + + + + = T hA T a b hA a a a a aP P P P P N S W P0 0 0; 1 = y AP,1 = y Aw et( ) 1 2 / = = x A An s Les valeurs des coefficients de lquation (4.178) sont : ( )3501 . 01 01 . 0 355 . 1701 . 01201 . 035= = =|.|

\| = =W N Sa a a; 17501 . 0 201 . 0 01 . 03500 100020= = =ty xc ap P ; ( ) 1821 1 01 . 0 100 1750 5 . 17 5 . 17 35 = + + + + =Pa; ( ) 25 1750 25 1 01 . 0 100 17500 0+ = + =P PT T b; Les quations rsoudre pour les noeuds intrieurs de la frontire East (les noeuds 26, 27, 28 et 29) sont les suivantes : 25 1750 5 . 17 5 . 17 35 1821026 27 25 20 26+ + + + = T T T T T25 1750 5 . 17 5 . 17 35 1821027 28 26 21 27+ + + + = T T T T T25 1750 5 . 17 5 . 17 35 1821028 29 27 22 28+ + + + = T T T T T(4.179) 25 1750 5 . 17 5 . 17 35 1821029 30 28 23 29+ + + + = T T T T T Pour un noeud situ sur la frontire North, le noeud 18 par exemple, on intgre lquation (4.162) sur le demi-volume de contrle hachur et prsent la fig. 4.48. ( )} } + +||.|

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\|= t ttt tt ssPPwwee P P pxdtyTyTdtyxTxT yx T T c 2 20 (4.180) En tenant compte que sur cette frontire la condition la limite est : Fig. 4.48 Demi-volume de contrle sur la frontire N. Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 111 ( )PPPT T hyT =. (4.181) Aprslintgrationdelquation(4.180),onobtientlaformegnraledelquation discrtise : b T a T a T a T aS S E E W W P P+ + + = , (4.182) ss sSee eEww wWyAaxAaxAa===ty xc ap P =20; + = + + + + = T hA T a b hA a a a a aP P P P P S E W P0 0 0

1 = = x A As P et( ) 1 2 / = = y A Aw e. Les valeurs des coefficients de lquation (4.182) sont : 5 . 1701 . 01201 . 035=|.|

\| =Wa 5 . 1701 . 01201 . 035=|.|

\| =Ea; ( )3501 . 01 01 . 0 35= =Sa 17501 . 0 201 . 0 01 . 03500 10000= =Pa; ( ) 1821 1 01 . 0 100 1750 35 5 . 17 5 . 17 = + + + + =Pa; ( ) 25 1750 25 1 01 . 0 100 17500 0+ = + =P PT T b; Lesquationsrsoudre,pourlesnoeudsintrieurs,surlafrontireNorth(les noeuds 12, 18 et 24 sont : 25 1750 35 5 . 17 5 . 17 1821012 11 18 6 12+ + + + = T T T T T25 1750 35 5 . 17 5 . 17 1821018 17 24 12 18+ + + + = T T T T T(4.183) 25 1750 35 5 . 17 5 . 17 1821024 23 30 18 24+ + + + = T T T T T Pourobtenirlquationdiscrtisepourlenoeud30onintgrelquation(4.162) sur le quart du volume de contrle hachur et prsent la fig. 4.49, cest--dire }} }} }} + + +||.|

\|+ |.|

\|=t tt VCt tt VCt tt VCpdt dy dxyTydt dy dxxTxdt dy dxtTc4 / 1 4 / 1 4 / 1 .(4.184) Lintgration de lquation (4.184) donne : ( )} } + +||.|

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\| |.|

\|= t ttt tt ssPPwwPP P P pdtxyTyTdtyxTxT y xT T c2 2 2 20 (4.185) MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 112 En tenant compte de conditions aux limites sur les frontires North et East aprs lintgration, on obtient : ( ) ( ) ( )sS Ps s PwW Pw w P P P pyT TAxT T hxT TAyT T hty xT T c + = 2 2 40. (4.186) Enregroupantlestermes,danslquation(4.186),onobtientlaformegnralede lquation discrtise pour le noeud 30 : b T a T a T aS S W W P P+ + =; (4.187) ss sSww wWyAaxAa== ty xc ap P =40 ; |.|

\| + + = |.|

\| + + + + =2 20 0 0y xhT T a by xh a a a aP P P S W P ; 1 ) 2 / ( = x As et( ) 1 2 / = y Aw. Les valeurs des coefficients de lquation (4.187) sont : 5 . 1701 . 01201 . 035=|.|

\| =Wa 5 . 1701 . 01201 . 035=|.|

\| =Sa; 8751 . 0 401 . 0 01 . 03500 10000= =Pa 911201 , 0 01 . 0100 875 5 . 17 5 . 17 = |.|

\| + + + + =Pa 25 875201 . 0 01 . 025 100 8750 0+ = |.|

\| + + =P PT T b . Lquation rsoudre pour le noeud 30 est la suivante : Fig.4.49 Quart du volume de contrle (le coin N-E). Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 113 25 875 5 . 17 5 . 17 911030 29 24 30+ + + = T T T T(4.188) Pourobtenirlquationdiscrtisepourlenoeud6onintgrelquation(4.162) sur le quart du volume de contrle hachur et prsent la fig. 4.50. }} }} }} + + +||.|

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\|=t tt VCt tt VCt tt VCpdt dy dxyTydt dy dxxTxdt dy dxtTc4 / 1 4 / 1 4 / 1 .(4.189) Lintgration de lquation (4.189) donne : ( )} } + +||.|

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\||.|

\| |.|

\|= t ttt tt ssPPPPee P P pdtxyTyTdtyxTxT y xT T c2 2 2 20 (4.190) En tenant compte de conditions aux limites sur les frontires North et West aprs lintgration on obtient : ( ) ( )sS Ps s PeP Ee e P P pyT TAxT T hxT TAty xT T c + = 2 40. (4.191) Enregroupantlestermesdanslquation(4.191),onobtientlaformegnralede lquation discrtise pour le noeud 6 : b T a T a T aS S E E P P+ + =;(4.192) ss sSee eEyAaxAa==ty xc ap P =40 ; 2 20 0 0xhT T a bxh a a a aP P P S E P+ =+ + + = ; 1 ) 2 / ( = x As et( ) 1 2 / = y Ae. Les valeurs des coefficients de lquation (4.192) sont : Fig. 4.50 Quart du volume de contrle (le coin N-W). MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 114 5 . 1701 . 01201 . 035=|.|

\| =Ea 5 . 1701 . 01201 . 035=|.|

\| =Sa; 8751 . 0 401 . 0 01 . 03500 10000= =Pa 5 . 911201 . 0100 875 5 . 17 5 . 17 = + + + =Pa; 5 . 12 875201 . 025 100 8750 0+ = + =P PT T b; Lquation rsoudre pour le noeud 6 est la suivante : 5 . 12 875 5 . 17 5 . 17 5 . 91106 5 12 6+ + + = T T T T . (4.193) Pourobtenirlquationdiscrtisepourlenoeud25onintgrelquation(4.162) sur le quart du volume de contrle hachur et prsent la fig. 4.51. Enintgrantdelammefaonquepourlenoeud6onobtientlaformegnralede lquation discrtise : b T a T a T aN N W W P P+ + =;(4.194) nn nNww wWyAaxAa= = ty xc ap P =40; 2 20 0 0yhT T a byh a a a aP P P N W P+ =+ + + = ; 1 ) 2 / ( = x An et( ) 1 2 / = y Aw. Les valeurs des coefficients de lquation (4.194) sont : 5 . 1701 . 01201 . 035=|.|

\| =Wa 5 . 1701 . 01201 . 035=|.|

\| =Na; Fig. 4.51 Quart du volume de contrle (le coin S-E). Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 115 8751 . 0 401 . 0 01 . 03500 10000= =Pa 5 . 911201 . 0100 875 5 . 17 5 . 17 = + + + =Pa; 5 . 12 875201 . 025 100 8750 0+ = + =P PT T b . Lquation rsoudre pour le noeud 25 est la suivante : 5 . 12 875 5 . 17 5 . 17 5 . 911025 26 19 25+ + + = T T T T . (4.195) Lesquations(4.164),(4.168),(4.171),(4.174),(4.179),(4.183),(4.188),(4.193),et (4.195)formentlesystmedquationsrsoudre.Pourlarsolutiondecesystme,on applique lalgorithme de Thomas adapt aux problmes 2D comme lexemple 1. la figure 4.52 on prsente la solution numrique aprss 10 = tet la figure 4.53 aprss 1000 = t . Dans le tableau 4.11 on prsente une comparaison des solutions numriques obtenues parlamthodedesvolumesfinis(leprogrammeTHERM2Di_2)etcelleobtenueparla mthode des lments finis ( laide du logiciel QuickField 4.2T).lafigure4.54onprsenteunecomparaisondessolutionsnumriquesencequi concernelvolutiondansletempsdelatempraturedupointdecoordonnes ) 50 , 40 ( = = y x . On constate quil y a une trs bonne correspondance. Fig. 4.52 Distribution spatiale du champ thermique linstant s 10 = t . MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 116 Tableau 4.11 Comparaison des rsultats mm 40 = xs 10 = t s 100 = t[K] T [K] T [mm] yVolumes finisQuickFieldVolumes finisQuickField 0412.533412.515373.025373.063 3.333412.531412.460372.923372.905 6.666412.525412.437372.619372.578 9.999412.512412.444372.110372.078 13.332412.485412.442371.398371.388 16.665412.434412.357370.482370.476 19.998412.340412.266369.359369.331 23.331412.175412.139368.031368.012 26.664411.896411.849366.495366.474 29.997411.447411.349364.751364.718 33.333410.752410.674362.799362.790 36.663409.724409.630360.638360.621 39.996408.264408.083358.268358.228 43.329406.280406.044355.690355.641 46.662403.692403.502352.904352.877 50.000400.450400.411349.912349.928 Fig. 4.53 Distribution spatiale du champ thermique linstants 1000 = t . Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 117 4.5 Conduction thermique en trois dimensions (3D) 4.5.1 Forme gnrale de lquation discrtise en 3D stationnaire La conduction thermique 3D stationnaire est gouverne par lquation : 0 = + |.|

\|+||.|

\|+ |.|

\|SzTz yTy xTx .(4.196) LevolumedecontrlecontenantlenoeudP asixnoeudsvoisinsidentifiscomme les noeuds West, East, South, North, Bottom et Top (W, E, S, N, T, B). Comme danslecas2Dlesnotationset t b n, s, e, w, fontrfrenceauxfaceswest,est,sud, north, top et bottom respectivement. Onintgrelquation(4.196)surlevolumedecontrle,entroisdimensions ( dz dy dx dV = ), prsent la figure 4.55 : } } } }= + |.|

\|+||.|

\|+ |.|

\|VC VC VC VCSdV dz dy dxzTzdz dy dxyTydz dy dxxTx0 (4.197) Fig.4.54volutiondelatempraturedansletempspourlepointde coordonnesmm ) 50 , 40 ( (comparaison : volumes finis QuickField). MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 118 Silonnotez y A Aw e = = ,z x A As n = = ,y x A Ab t = = lintgrationci-dessus donne 0 = +((

|.|

\| |.|

\| +(((

||.|

\| ||.|

\| +((

|.|

\| |.|

\|V SzTAzTAyTAyTAxTAxTAbb btt tss snn nww wee e(4.198) En appliquant la mme procdure que pour le cas 2D on obtient lquation discrtise : 0 = +((

+((

+((

z y x SzT TAzT TAyT TAyT TAxT TAxT TABPB Pb bPTP Tt tSPs Ps sPNP Nn nWPW Pw wPEP Ee e(4.199) Enregroupantlestermesdanslquationci-dessusonobtientlaformegnralede lquation discrtise pour un noeud intrieur : b T a T a T a T a T a T a T aT T B B N N S S E E W W P P+ + + + + + = , (4.200) o NPn nNSPs sSPEe eEWPw wWyAayAaxAaxAa====; Fig. 4.55 Volume de contrle en trois dimensions. Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 119 z y x S a a a a a a azAazAaP T B N S E W PPTt tTBPb bB + + + + + = = = ; z y x S bc = Les conditions aux limites seront traites comme dans le cas 2D. 4.5.2 Forme gnrale de lquation discrtise en 3D instationnaire La conduction thermique 3D instationnaire est gouverne par lquation : SzTz yTy xTx tTcp+ |.|

\|+||.|

\|+ |.|

\|= (4.201) Lquationdiscrtiseobtenuedaprslaprocdureduparagraphe4.5.1avecle schma totalement implicite est la suivante : b T a T a T a T a T a T a T aT T B B N N S S E E W W P P+ + + + + + = ,(4.202) o NPn nNSPs sSPEe eEWPw wWyAayAaxAaxAa====; 0

P T B N S E W PPTt tTBPb bBa a a a a a a azAazAa + + + + + + ===; tz y xc ap P =0 0 0P PT a z y x S b + = . e wA A =s nA A =t bA A =z y z x y x Silonpeutlinariserletermesourceparlexpression P P cT S S S + = alorsles coefficients Paetb , de lquation discrtise, sont les suivants : z y x S a a a a a a a aP P T B N S E W P + + + + + + =0 ; 0 0P P cT a z y x S b + = . MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 1204.6 Application de la mthode des volumes finis en coordonns cylindriques 4.6.1 Forme gnrale de lquation discrtise en 1D stationnaire La mthode des volumes finis peut sappliquer tout type de maillages orthogonaux de lammefaonquepourlesmaillagescartsiens.Pourcelaonprendcommeexemple lquationdeconservationdelnergie(Elenbaas-Heller)valablepourunesection transversaledunplasmadarclectrique.Lquationdiffrentielle,encoordonnes cylindriques, est la suivante : ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) (12T P E T T S T SdrdTr Tdrdrr = = + |.|

\| , (4.203) o) (T est la conductivit lectrique,Eest le champ lectrique et) (T Pr est la puissance rayonne (3/ m W ) par la colonne de larc lectrique. En intgrant lquation (4.203) sur le volume de contrle autour du point i (fig. 4.56) on obtient : } }= + |.|

\|VC VCSdV dVdrdTrdrdr01(4.204) o1 2 = rdr dV . En remplaantdVdans lquation (4.204) on obtient : } }= + |.|

\|VC VCrdr S rdrdrdTrdrdr0 2 21. (4.205) Fig. 4.56 Maillage 1D en coordonnes cylindriques Lintgration (4.205) peut tre crite ainsi : } }++= + |.|

\|2 / 12 / 12 / 12 / 10iiiirSdr drdrdTrdrd.(4.206) Lintgration (4.206) donne : 022 / 12 / 122 / 1 2 / 1= + |.|

\| |.|

\|+ +iiii irSdrdTrdrdTr , (4.207) Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 121ou ( ) 0222 / 122 / 112 / 1 2 / 112 / 1 2 / 1= + + ++ + i ii i ii ii ii ir rSrT TrrT Tr . (4.208) En regroupant les termes, on obtient la forme tridiagonale de lquation discrtise : ( )1 2 ) (21 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 1 2 / 1 2 / 1 = = + + + + + + + N ir r S T r T r r T ri i i i i i i i i i i i i

.(4.209) 4.6.2 Conditions aux limites 1)Condition la limite de type Dirichlet au point 1. Si lon met2 = idans lquation (4.209) on obtient : ( )22 2 3 2 / 1 2 2 / 1 2 2 2 / 1 2 2 / 1 2 2 / 1 2 2 / 1 2 1 2 / 1 2 2 / 1 2) ( r S r T r T r r T r = + + + + + + . (4.210) Entenantcompteque 1T estconnueetdoncletermequilacontientpassecommeun terme source, on obtient : ( )1 2 / 1 2 2 / 1 222 2 3 2 / 1 2 2 / 1 2 2 2 / 1 2 2 / 1 2 2 / 1 2 2 / 1 2) ( T r r S r T r T r r + + + + = + + . (4.211) Lquation (4.211) est la forme gnrale de lquation discrtise pour le noeud 2 qui tient compte du fait que la temprature du noeud 1,1T , est connue. 2)Condition la limite de type Dirichlet au point N. Si lon met1 = N idans lquation (4.209) on obtient : ( )21 12 / 1 1 2 / 1 1 1 2 / 1 1 2 / 1 1 2 / 1 1 2 / 1 1 2 2 / 1 1 2 / 1 1) ( r S rT r T r r T rN NN N N N N N N N N N N = + + + + + + (4.212) En tenant compte que NTest connue et donc le terme qui la contient passe comme un terme source, on obtient : ( )N N N N NN N N N N N N NT r r S rT r r T r2 / 1 1 2 / 1 121 11 2 / 1 1 2 / 1 1 2 / 1 1 2 / 1 1 2 2 / 1 1 2 / 1 1) (+ + + + = + (4.213) Lquation (4.213) est la forme gnrale de lquation discrtise pour le noeud 1 N qui tient compte du fait que la temprature du noeud N ,NT , est connue. 3)Condition la limite de type Neumann au point 1. En intgrant lquation (4.204) sur le demi-volume de contrle prsent la figure (4.57) on obtient : } }+ += + |.|

\|2 / 1 112 / 1 110 rSdr drdrdTrdrd. (4.214) MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 122 Lintgration de lquation (4.214) donne : ( ) 022122 / 1 111 2 / 1 1= + |.|

\| |.|

\|++r rSdrdTrdrdTr . (4.215) En tenant compte de la condition la limite au point 1 qui sexprime( ) 0 /1= dr dT , et donc le deuxime terme de lquation (4.215) est nul, on obtient : ( )2122 / 1 11 1 22 / 1 1 2 / 1 12r rSrT Tr =+ + +. (4.216) En regroupant les termes, lquation discrtise pour le point 1 est la suivante : ( )1 2 / 1 1212 2 / 1 1 2 / 1 1 1 2 / 1 1 2 / 1 14) (r rr ST r T r + = + + + + + + (4.217) 4)Condition la limite de type Neumann au point N. Enintgrantlquation(4.204)surledemi-volumedecontrledelafigure4.58,on obtient : } } = + |.|

\|NNNNrSdr drdrdTrdrd2 / 1 2 / 10. (4.218) Lintgration de lquation (4.218) donne : ( ) 0222 / 122 / 1= + |.|

\| |.|

\|N NNN Nr rSdrdTrdrdTr .(4.219) En tenant compte de la condition la limite au point N qui sexprime( ) 0 / =Ndr dT , etdonclepremiertermedelquation(4.219)estnul,onobtientlaformegnralede lquation discrtise pour le noeud N : Fig. 4.57 Demi-volume de contrle autour du point 1. Fig. 4.58 Demi-volume de contrle autour du point N . Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 123( )2 / 122 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 14) ( + = N NNN N N N N Nr rr ST r T r . (4.220) 4.6.3 Application numrique Soitundomainedanalyseavecmm 008 . 0 = R , W/mK 20 = , 3 8W/m 10 2 = S et lemaillageprsentlafigure4.59.LesconditionsauxlimitessontdetypeNeumannau point 1 et Dirichlet au point 5 ( K 4005= T ). Lquation discrtise pour le noeud 1 en tenant compte que la conductivit thermique cste = etcste S =(voir lquation (4.217)) devient : ( )2 / 1 1 122 2 / 1 1 1 2 / 1 14) (+ + ++ = + r rr ST r T r . (4.221) Lquation discrtise pour les noeuds 2 et 3 devient (voir lquation (4.209)) : ( )223 2 / 1 2 2 2 / 1 2 2 / 1 2 1 2 / 1 2) (rr ST r T r r T r = + + + + . (4.222) ( )324 2 / 1 3 3 2 / 1 3 2 / 1 3 2 2 / 1 3) (rr ST r T r r T r = + + + + . (4.223) Lquation discrtise pour le noeud 4 en tenant compte que 5Test connue devient : ( )5 2 / 1 4 424 2 / 1 4 2 / 1 4 3 2 / 1 4) (T r rr ST r r T r+ + = + . (4.224) En remplaant les valeurs numriques dans les quations (4.221), (4.222), (4.223) et (4.224) on obtient le systme dquations algbriques rsoudre : 102 1 = + T T80 3 43 2 1 = + T T T(4.225) 160 5 8 34 3 2 = + T T T3040 12 54 3 = T T ou, sous la forme matricielle : Fig. 4.59 Maillage 1D en coordonnes cylindriques. MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 124 (((((

=(((((

(((((

3040160801012 5 0 05 8 3 00 3 4 10 0 1 14321TTTT (4.226) La solution du systme algbrique est : (((((

=(((((

4705205505604321TTTT, (4.227) cequicorrespondexactementaveclesvaleurscalculeslaidedelaformuleanalytique donne par la relation (fig. 4.60) : ||.|

\||.|

\|+ =2214) (Rr SRT r TR. (4.228) Fig. 4.60 Comparaison de la solution numrique avec la solution analytique. DanslecasdelquationElenbaas-Helller,laconductivitthermique, ,esten fonctiondelatemprature( ) (T ),laconductivitlectrique estaussienfonctiondela temprature ( ) (T ), et la puissance rayonne est en fonction de la temprature ( ) (T Pr). Ces fonctionssontprsentesauxfigures4.61,4.62et4.63pourlecasdunplasmadarc lectriqueenhexafluoruredesoufre(SF6),lapressiondeMPa 4 . 0 .Danscesconditions lquation rsoudre est fortement nonlinaire. Lalgorithme de rsolution doit respecter les tapes prsentes au paragraphe 4.1.3. Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 125 lafigure4.64sontprsenteslessolutionsnumriques,pourdiffrentesvaleursdu champ lectriqueE , obtenues laide dun programme ralis en Fortran. Comme la solution analytiquenexistepasdanslecasnonlinaire,ilfautvrifiersilecodenumriquefournie unesolutioncorrecteoupas.Pourcela,soitoncomparelasolutionnumriqueavecles donnes exprimentales, soit on fait une validation numrique des rsultats numriques. Fig. 4.61 Conductivit thermique du plasma de SF6. Fig. 4.62 Conductivit lectrique du plasma de SF6. MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis 126 4.6.4 Validation numrique Sidanslecodenumriqueonimposedesvaleursconstantespourlaconductivit thermique, , et pour le termesource,S , alors lquation (4.204) a une solution analytique Fig. 4.63 Puissance rayonne par le plasma de SF6. Fig. 4.64 Profil radial de temprature. Chapitre 4 : Mthode des volumes finis applique aux problmes de conduction thermique 127donneparlaformule(4.228).Silesrsultatsnumriques,obtenuspourdesvaleurs constantes des gandeursetS , correspondent (sauf les rreurs de calcul numrique) avec la solutionanalytiqueonditquonafaitlavalidationnumriqueducode.lafigure4.65est prsent le rsultat de la validation du code numrique pour deux valeurs du terme source et pourunevaleurconstantedelaconductivitthermique(W/m/K 20 = ).Onconstateune parfaite correspondance entre la solution numrique et la solution analytique. Remarques 1. cause du fait que lquation est fortement non-linaire, le processus itratif peut devenir instable.Ilnefautoublierquchaqueitrationlarsolutionestfaiteaveclescoefficients calculslaidedelasolutiondelitrationprcedente.Pourviter,danscertainscas,les instabilits il est ncessaire dutiliser la sous-relaxation. Soit, par exemple,Tla valeur de la temprature calcule litration courante et *Tla valeur calcule litration prcedente. La nouvelle valeur, nouvT , pour litration suivante peut tre crite ainsi : ( )*1 T T Tnouv + = ,(4.229) o1 0 < .DanscesconditionslargleNo2nestpasforcmentvrifieetlesrsultatssont dsastrueux, cest--dire on ne respecte pas la physique du phnomne.ExemplesSoit1 w eD D et4 w eF F alorsonobtientpourlescoefficientslesvaleurssuivantes :231 P W Ea a a .Premier cas : Si200 E,100 W alors on a50 P !Deuxime cas : Si100 E,200 W alors on a250 P !4.Si un des0 e P eF;(5.13)0 si < e E eF;(5.14)0 si > w W wF;(5.15)0 si < w P wF ;(5.16)Si lon introduit loprateur suivant :[ ] ( ) B A B A , max , ,(5.17)alors le schma dcentr scrit :[ ] [ ] ( )e e E e P e eu F F F 0 , 0 ,;(5.18)[ ] [ ] ( )w w P w W w wu F F F 0 , 0 , .(5.19)Chapitre 5 :Mthode des volumes finis applique aux problmes de convection-diffusion135Enutilisantleconceptdcritci-dessus,onobtientlquationdeconvection-diffusiondiscrtise sous la forme suivante :E E W W P Pa a a + ,(5.20)avec : [ ] 0 ,w w WF D a + ;[ ] 0 ,e e EF D a + ;[ ] [ ]w e E W e e w w PF F a a F D F D a + + + + + 0 , 0 , .Remarques1.Les coefficients Paet vsane sont jamais ngatifs ;2.Les solutions sont toujours physiquement acceptables ;3.Le critre de Scarborough, [50], est vrifi.5.2.3Solution exacte du problme de convection-diffusion 1D stationnaireLquation(5.6)peuttrersoluedefaonexactesilecoefficientestsupposconstant( u estaussiconstantconformementlquationdecontinuit(5.7)).Danscesconditions lquation rsoudre est :022dxd udxd .(5.21)Si lon utilise le domaineL x 0avec les conditions aux limites :0 en0 x;(5.22)L xL en;(5.22a)La solution analytique de lquation (5.21) est la suivante :( )( ) 1 exp1 / exp00 PL PxL,(5.23)oP estlenombredePclet(ilreprsentelerapportentrelesforcesdeconvectionetdediffusion) dfini par la relation :DF uLP (5.24)Remarques1.Si0 P (ilnyapasdelaconvection)onaladiffusionpureetonobtientunprofillinaire.pour) (x .2.Si1 >> Pon a linfluence prpondrante de 0 .3.Si1 PL e0si2 /< PL L eest exacte pourPtrs grand et inexacte siPest petit.6.LorsqueP estgrand,( ) 0 /2 / L xdx d ,doncladiffusionestnulle.Or,dansleschma upwind, on calcule le terme de diffusion partir dun profil linaire deentre0 etL ,cest--direquauxgrandsnombresdePclet,onsurestimeladiffusion(cequisappelle diffusion numrique).Fig. 5.3 Solution exacte pour le problme de convection/diffusion 1D stationnaire5.2.4Le schma exponentielLquation (5.6) peut tre rcrite ainsi :0dxdJou 0 ,_

dxdudxd,(5.25)avecdxdu J .Chapitre 5 :Mthode des volumes finis applique aux problmes de convection-diffusion137La forme discrtise de lquation (5.25) scrit :0 w eJ J .(5.26)Pour calculer les flux eJet wJon se sert de la solution exacte entrePetEpour eJ ,et aussi entre WetPpour wJ( )ee e e edxdu J ,_

,(5.27)avec ( )( )( )ee eeeeeeeP E Px uDFPPxx Px

,_

+ et 1 exp1 exp) ( ,( )ww w w wdxdu J ,_

,(5.28)avec ( )( )( )ww wwwwwwwP W Px uDFPPxx Px

,_

+ et 1 exp1 exp) ( .On trouve finalement les flux aux pointseetw:( )

,_

+ 1 expeE PP e ePF J;(5.29)( )

,_

+ 1 expwP WW w wPF J .(5.30)Remarque:Lesflux eJ et wJ nedpendentpasdelapositiondesinterfacese etwrespectivement.Enremplaantlesexpressions(5.29)et(5.30)danslquationdiscrtise(5.26)onobtient la forme gnrale habituelle de lquation discrtise :E E W W P Pa a a + ,(5.31)avec ( )w e W E PeeeEwwwwwWF F a a aDFFaDFDFFa + +

,_

,_

,_

1 exp

1 expexp.Remarques1.Pourunproblmestationnaire1DceschmapermetdobtenirlasolutionexactepournimportequellevaleurdunombrePcletetnimportequellevaleurdunombredenoeuds.MODLISATION NUMRIQUE DU TRANSFERT THERMIQUEMthode des volumes finis1382.Cependant, ce schma es