Exposé sur les volumes finis

7/22/2019 Expos sur les volumes finis

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Master 2 Math APPLIQUEE EDP ANNEE SCOLAIRE 2012 - 2013

THEME :

PRESENTE PAR

HAUDIE JEAN STEPHANE INKPE

Le 05 juin 2013

Approximation par lamthode des volumes finis


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Approximation par la mthode des volumes finis P a g e | 2

INTRODUCTION

La mthode des volumes finis est utilise pour rsoudre numriquement des quations aux

drives partielles, tout comme la mthode des diffrences finies et celle des lments finis.

Contrairement la mthode des diffrences finies qui met en jeu des approximations desdrives, les mthodes des volumes finis et des lments finis exploitent des approximations

d'intgrales. Toutefois, la mthode des volumes finis se base directement sur la forme dite

forte de l'quation rsoudre, alors que la mthode des lments finis se fonde sur

une formulation variationnelle de l'quation dite faible .

Aussi, les inconnues ou variables discrtes ne sont pas les extrmits des mailles comme le

prconise la mthode des diffrences finies, mais sont plutt situes l'intrieur des mailles.

Le principe des mthodes de volumes finis consiste dcouper le domaine

en des volumes

de contrle puis dintgrer lquation diffrentielle sur les diffrents volumes de contrle etenfin dapprocher les flux sur les bords des volumes de contrle par une technique de

diffrences finies.

En effet, l'quation aux drives partielles est rsolue de manire approche laide dun

maillage constitu de volumes finis (qui sont des petits volumes disjoints en 3D, des surfaces

en 2D, ou des segments en 1D) dont la runion constitue le domaine d'tude.

Les mthodes de volumes finis sont parfaitement adaptes la rsolution de lois de

conservation1. En effet, pour des quations aux drives partielles qui contiennent des

termes de divergence, en utilisant le thorme de flux-divergence ou de Green-Ostrogradski,les intgrales de volume d'un terme de divergence se transforment en des intgrales de

surface. Il devient donc plus ais dvaluer les termes de flux aux interfaces entre les volumes

finis. On utilise de ce fait une fonction de flux numrique pour laborer une approximation

des flux aux interfaces en tenant compte de la rgle de conservation des flux entrant et des

flux sortant entre deux volumes finis adjacents,

Un autre avantage de la mthode des volumes finis est qu'elle est facilement utilisable avec

des maillages non-structurs. En effet, pour mailler une gomtrie complexe, il est plus facile

dutiliser des triangles en 2-D et des ttradres en 3-D. Dans la mthode des diffrencesfinies, une telle approche est impossible car le maillage est bas sur une gomtrie simple

(rectangulaire en 2-D, paralllpipdique en 3-D).

La stabilit, condition suffisante pour assurer la convergence dun schma numrique et

permettant galement de justifier que ce schma puisse tre utilis, ne sera pas mise en

exergue dans cette prsentation. En effet, la stabilit L qui utilise la technique de

transforms de Fourier est difficilement applicable dans le cas dun schma conservatif non-

linaire.

Le plan suivant sera adopt :

1En physique, une loi de conservation exprime qu'une proprit mesurable particulire d'un systme physique reste

constante au cours de l'volution de ce systme. (Ex : Conservation de lnergie, conservation de la quantit de mouvement,conservation du moment angulaire et angulaire, conservation du flux magntique, etc.)


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I. Nous commencerons par dfinir ce quest un maillage et nous ferons un bref rappel

sur les espaces fonctionnels et leurs diffrentes normes ;

II. Ensuite, nous prsenterons les volumes finis en dimension un et deux

III. Enfin, nous appliquerons cette mthode un cas pratique de lois de conservation.


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Maillage dun domaine

Dfinition

Soit

un ouvert born polydrique de

associ l'quation aux drives partielles qui

nous intresse. On appelle volume de contrle, les d-simplexes, vrifiant : 1; est un ouvert de ,

On dfinit lensemble des volumes de contrle.Soit lensemble des p-faces pris sur chaque volume de contrle et soit ! . On aalors :

soit ! , , alors ! est alors une p-face intrieure soit ! $ , ! est alors une p-face du bordOn se donne une suite de points % &'& Le triplet ;;% ainsi dfini est un maillage de

Maillage 1D volumes finis

On prendra A(0) et B(1)

Figure 1: Maillage en 1D

0 & *+ - &. *+ & * - &2 * &2 * 1Soit 30; 14.


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Les volumes de contrle , 1 5 5 , sont lintrieur des 1-simplexes de ,cest diredes intervalles ouverts nots 6& * ; &2 * 7. On dfinit lensemble des volumes de contrle.Soit l'ensemble des interfaces8&2 * 9:, cest dire les extrmits des volumes decontrle.On choisit dans chaque volume de contrle, un point & et On note% & &: 0; &2 1< .Le Maillage est ici la donne ;;%On dfinit = &2 * > & * et on pose =2 * &2 > &Soit = le pas (taille) du maillage et on pose = max=

Maillage 2-D volumes finisSoit un ouvert born polydrique de * (polygonale)Les volumes de contrle ,1 5 5 , sont lintrieur des2-simplexes c'est--dire lintrieur de triangles. On note lensemble des volumes de contrleLes 1-faces pris sur chaque volume de contrle sont les

cts des triangles et on note, lensemble des 1-facespris sur chaque volume de contrle.

On choisit dans chaque volume de contrle, un point- et on note % -Le triplet ;;% dfinit ici le maillage. En posantBCD maxE,FG B&;H, ondfinit le pas h max BCD


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Espaces fonctionnels et normes discrtes

Rappels (Espaces de fonctions)

Une fonction

I J

30; 14 admet une drive faible dans

J*

30; 14 sil existe une unique

fonction g L*30; 14 telle queN I&OP&: B& N Q&O&B&: ORST30; 14 . Onnotegx u&.On dfinit 30; 14,lensemble des I J30; 14tels queI admette une drive faible dansL*30; 14; Donc 30; 14 I J*30; 14,XYZI J*30; 14


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x ~

Z2jz& GwGGwj & 2j 3&; &24 1; ; > 1Zjz& j & j 3&:; &4

Zwjz& wj & 2j 3&; &24 qui est une fonction

constante sur chaque intervalle 3&; &24 et on peut dfinir sur J*30; 14 une norme commesuit : Zzoj3:;4 h =2 * {2j*: ij


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I Cas de la dimension 1

I.1 Problme modle, maillage volumes finis

On considre le problme suivant dit de Dirichlet homogne:

>IPP& && 30; 14I0 I1 0 1O 40;13.Cette quation modlise par exemple la diffusion de la chaleur dans un barreau

conducteur chauff (terme source) dont les deux extrmits sont plonges dans de laglace.

Dans le maillage volumes finis en 1-D ci-dessus, on considre pour chaque volume de

contrle , un point & puis on intgre lquation diffrentielle>IPP sur et on obtient: N >IPP&B& N &B&GG soit >IP8&2 * 9 IP8& * 9 N &B&G et en posant& G N &B&G on obtient>IP8&2 * 9 IP8& * 9 = 1, , On cherche donc approcher les flux>IP8&2 * 9 aux interfaces &2 * des mailles.On se donne alors une inconnue (variable discrte)

Ipar volume de contrle (maille)

qui devrait tre une bonne approximation deI&.On approche le flux numrique >IP8&2 * 9 par le quotient diffrentiel2 * > EGwEGGw j en I2 * et on a le schma numrique suivant :2 * > * ='I'> GwGGw j GGG j = , , > 1Pour la 1

reet la N

imequation, en tenant compte des conditions aux limites, on a :

IP8& * 9 IP0 EEf j j ;IP8&2 * 9 IP1 EwEw j > w j Donc * > j et 2 * w j et par suite nous avons :>I2 > I=2 * I > I= * = , 1, , Remarque : Si nous prenons un maillage uniforme, c'est--dire que le pas est constant,

(= = 1, , alors nous pouvons constater que les schmas desdiffrences finis et des volumes finis sont les mmes au second membre prs.

I.2 Schma matriciel associ


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Posons I, I*, ,I ; 1, , et , *, , alors le schma peut scrire sous la forme matricielle avec A la matrice creusetri diagonale reprsente ci-dessous.

On peut remarquer que si lon garde un pas constant (maillage uniforme) alors la

matrice est symtrique donc diagonalisable.

I.3 Analyse mathmatique du Schma

Proposition :

Si

40; 13et la solution exacte

I *

40; 13alors le schma volumes finis admet

une solution uniqueI.Preuve :Le schma scrit :

>I2 > I=2 * I > I= * = , 1, , acI: I2 0Multiplions par I et sommons de 1;'C

GjGGw

Gw j

GjGG

G j I=1

Et en effectuant un changement dindice dula seconde somme, on obtient : GjGGwGw j Gwj GwGGw j I=: Ce qui nous donne :jw j j j Gwj *GGw2GjGw j I=1

Soit GwGjGw j: I=1 pour i=1, . , N.Pour

0, i=1, .. , N on a

GwGj

Gw j: 0

et par suite on a :

I2 > I 0 0, , , do I 0 0, ,


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A est donc une matrice carre dordre N dont le noyau est rduit 0IP8&2 * 9 le fluxexact en &2 * et 2 * > GwEGGw j le quotient diffrentiel qui approche ladrive premire>IP8&2 * 9.Le flux est dit consistant sil existe une constante S 0 ne dpendant que de u pourlaquelle lerreur de consistance sur le flux dfinie par 2 * 2 * > 2 * ,vrifie 2 * 5 S=Preuve :

I& I8&2 * 98& > &2 * 9IP8&2 * 9 1 8& > &2 * 9*I"; 7&; &2 * 6I&2 I8&2 * 98&2 > &2 * 9IP8&2 * 9 1 8&2 > &2 * 9*I"; 7&2 * ; &26I&2 > I& &2 > &IP8&2 * 9 1 8&2 > &2 * 9*I" > 1 8& > &2 * 9*I"2 * 1 8&1>&1 9&1>& I"89 > 8&>&1 9&1>& I"89 .En posant I" maxI"; I" et enremarquant que

8&2 > &2 * 9*

8& > &2 * 9*

5 &2 > &*on a :

2 * 5 1 &1 > &|I"| 5 =|I"| 5 S=CzS |I"|car&2 > & 8&2 > &2 * 98&2 * > &9 5 ='= max=Dfinition : (Conservativit des flux)

Un schma est dit conservatif si lorsque lon considre une interface &2 * entre deuxmailles X2 , le flux entrant est gal au flux sortant.Thorme :

Soit I *40; 13 la solution de (1).On pose I& > I ; i=1,,N.: 2 0.Il existe S 0 ne dpendant que de I tel que : p GwGjGwj: r

j 5 S= ; =2j 5 S=: ; h =2j*: ij 5 S=;zmax, 5 S=Preuve :

Comme I& > I on a GwGGwj EGwEGGwj > GwGGwj et donc on en dduitque GwGGwj >2j 2j >2j et on rappelle que = =1.


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Ecrivons le schma volumes finis 2 * > * = et lquation exacte intgresur la maille ; 2 * > * = ;. En soustrayant on obtient :

>2j 2

j+

j >

j 0

Et en introduisant

2j

on a :

>2j j GwGGwj > GGGj Et en multipliant par puis en sommant sur i, on a :> 2j j GGwGjGwj > GjGGGj

Puis en faisant unchangement de variable dans la deuxime somme de chaque membre, on obtient :

> 2j 22j: GGwGjGwj > GwjGwGGwj

: et en

rordonnant, on a : 2 > 2j: > GwGj

Gwj: donc> GwGjGwj: 5 |2 > |: 2j 5 S= |2 > |: En crivant : |2 > |: 'IC'D h=2jij |GwG|Gwj

j: Et en appliquant lingalit de

Cauchy-Schwarz (CS), on obtient : GwGjGwj: 5 S= h =2j: ij p GwGjGwj: r

j

Par simplification on a :

p GwGjGwj: rj 5 S= h =2j: ij Ce qui conclut la dmonstration de (i)

Justifions (iv)

Pour

1, , 1||=

| > :| 5 > 5 > 52 h=jij jj2

.

Par Cauchy-Schwarz on a || 5 =>111 1 p 8>>19=>111 r

1puis par changement de

variable, on a : || 5 h =2j: ij p 8w9jj: rj 5 S= domax,,|| 5 S=

Justifions (ii)

=2j 5 max,,|| =2

j

: 5 S=

:

Justifions (iii) h =2j*: ij 5 h8max,,||9* =2j: i 5 max,,|| 5 S=


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En posant & X et en utilisant les normes dfinies sur- ona :

>

oj3:;4

5 S=et

>

os3:;4

5 S=; nous pouvons conclure la

convergence du schma volumes finis dans

J*30; 14XBCJ30; 14 lordre 1.


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II Cas de la dimension 2 (stationnaire)

II.1 Prsentation de la mthode volumes finis

On considre toujours lquation elliptique modle

>I I; J*

.

On suppose maintenant que est un ouvert polygonal de IR2, et on se donne unmaillage;;%, cest dire en gros, un dcoupage de en volumes de contrlepolygonaux K. Pour obtenir le schma volumes finis, on commence par tablir les bilans

par mailles puis on intgre lquation (2) sur chaque maille. Notons que ceci estpossible du fait que lquation est sous forme conservatrice, cest dire

(>BzI& On obtient :N >I& B& N &B& Ou encore N >BzI& B& N &B& Par la formule de Green-Ostrogradski ou de Stokes, on peut rcrire cette quation:

N >I& &B& N &B& O ds(x) dsigne lintgrale par rapport lamesure unidimensionnelle sur le bord de louvert , et o est le vecteur normalunitaire K extrieur K. Comme K est polygonal, $ ! peut tredcompos en artes qui sont des segments de droites, et o est lensemble desartes du volume de contrle K. on a donc :

N >I, B N &B& O , dsigne le vecteur normal unitaire larte extrieur K (noter que ce vecteur est constant sur ). Ce qui peut scrire :

N >I, B || Avec|| = diamtre de , et ||N &B& On crit une quation approche , || en cherchant approcher ladrive normale I, de manire consistante sur chaque arte . , est le fluxnumrique travers qui approche au mieux le flux exactN >I, B . Pourobtenir le schma numrique, nous devons exprimer le flux numrique , en fonctiondes inconnues discrtes

I

associes aux volumes de contrle et

I

associes aux artes (Ces dernires seront ensuite limines). Pour une arte

! J sparant les volumes de contrle K et L, il est tentant dapprocher la drive normaleI, par le quotient diffrentiel , o B, est la distance du point & larte!. Ainsi , > , |!| avec |!| la longueur de larte! . Cependant, cetteapproximation ne pourra tre justifie que si la direction du vecteur dfini par les deux

points & X&o est la mme que celle de la normale, , cest dire si le segment dedroite 4& , &o3 est orthogonal larte! . Pour un maillage triangulaire anglesstrictement infrieurs /2, ceci est facile obtenir en choisissant les points

&comme

intersection des mdiatrices du triangle K, voir Figure ci- dessous.


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Figure 2: Exemple de volumes de contrle pour la mthode des volumes finis en deux dimensions despace.

Le schma numrique volumes finis associ linconnue discrte I est : , || o les flux numriques , sont dfinis en tenant compte desconditions aux limites pour les artes du bord par :

, ~>|!|Io > IB,o ! J>|!| IB,o ! $X!

Les deux proprits essentielles du flux numrique

,pour que celui-ci soit une

bonne approximation de N >I, B , sont la conservativit et la consistance.II.3 Conservativit3 du fluxOn impose que pour toute interface interne, le flux entrant est gal l'oppos du flux

sortant, ce qui se traduit par : K L, , 0En effet, la conservativit des flux nous permet dliminer les inconnues associes aux

artes internes. Soit! J , on a : , o, do > I!>IB,! |!| > I!>IJBJ,! |!| c'est--direI

,

,

,

,

soit

I , ,,2,

,

,

ou

I ,2,,2,

et donc

, >Bo, I B, IoB, Bo, > IB, |!| >Bo, I B, Io > B, I > Bo, IB,8B, Bo,9 |!| > Io > IB, Bo, |!| >Io > IB,o |!|II.2 Consistance du flux

On appelle erreur de consistance associe au flux numrique volumes finis , > , |!| enI, lexpression , || , > ||N I, B o

, >EE

, |!|avec

&intersection de

4&; &o3avec larte

! Jet

I

la solution exacte du problme.

3Une grandeur X est dite conservative si elle nest jamais dtruite ou produite mais seulement change. En dautres termes, sa

circulation dans un domaine prcis ne dpend pas de la trajectoire choisie.


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Le flux numrique est dit consistant silm: max , 0; h tant le pas dumaillage.

Remarque :

- La consistance, la conservativit et l'unicit de la solution du schma n'impliquent

pas la convergence du schma. Nanmoins, on peut rendre ce schma convergent en

choisissant la solution I suffisamment rgulire et le vecteur de direction IIocolinaire la normale, . Ainsi, le schma devient consistant et en tenant comptede la conservativit, nous obtenons la convergence comme cela a t fait en

dimension 1.


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III Application la loi de conservation

III.1 Situation du problme

On s'intresse ici aux lois de conservation, dont la forme gnrale est la suivante :

Bz Q,&, X 2S'BX'XCS'BX'CI'B (4)O :

OCBXYIXI'I I&C' QXD'I

unutbn

De plus, est de la forme x,t,, . On citera par exemple :a. Lluxdadctn/cnctn z&, X=O,

z&, X uncamdctutdnn =

b. Lluxddun >&, XO, &, X danlcaclau

&, X danctanca

c. Lluxdcnctn/dun z&, X=O>&,XO .La mthode des volumes finis est utilise pour discrtiser la partie spatiale des lois deconservation (semi discrtisation), la partie temporelle est quant -elle discrtise par la

mthode des diffrences finies (discrtisation totale).

Soit le maillage ;;% de. La mthode des volumes finis est base sur l'intgration del'EDP sur tous les volumes de contrle du maillage. On a, par le thorme de Stokes on a :

, Bz

BDo N x, t dx N n d N gx,tdx On sait que tlPnmbldatdulumdcntlK d'oN x, t dx N n, d N Qx,tdx o n, est la normale de KOn obtient le schma volumes finis en faisant une approximation de la dernire galit, ce

qui donne: |K| w , |K|g avec t t2 > t

OIC'&DCX'B ||N O&, X B&

44L'advection correspond au transportd'une quantit (scalaire ou vectorielle), par un champ vectoriel.

5La convection est un mode de transfert qui implique un dplacement de matire dans le milieu


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, IC'&DCX'B N ,!! B Q IC'&DCX'B ||N Q1&,XB&

Les flux numriques

,s'expriment en fonction des

Io. On remplace alors tous les

I , Io CI&, I&o o I est la solution exacte du problme ; On obtient alors,E .Pour qu'on ait la consistance des flux, il suffit que :lm: 1|| ,E > 1|| n, d 0III.2 Cas en dimension 2 (volutif)

Soit par exemple le systme de lois de conservation en dimension deux despace en

considrant : hi, O &,H, XXQ 0 ; Lquation Bz Qdevient : E F 0On se donne un maillage du plan selon le modle ci-dessous. Les mailles sont notes , leurmesure de surface est . La normale sortante est 8E; F9 . Pour un maillageconstitu de polygones, deux mailles voisines ont une interface qui est un segment not

et de longueur . La normale sortante du ct est note > . Lamesure de longueur au bord estB!. On pourra confondre la maille et son numro j. Il ensera de mme pour linterface jk.

Figure 3: les mailles peuvent tre triangulaire, quadrangulaire ou autre

On commence par intgrer lquation (5) dans le volume de contrle j. on a :

N X,& ,HB- N hE F i B- 0 Soit,


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N X,& ,HB- N 8E QF9B! 0 Ce qui nous donne pardcomposition sur les bords voisins : N X,& ,HB- N

E

QF

B! 0 . Si la maille k nest pas

voisine de la maille j, on a . Et une discrtisation de type Euler explicite en temps etvolumes finis en espace est : 2 > X q8E QF 9 01Ainsi, la conservativit du flux se traduit par :E QF >8E QF 9Ce qui induit la proprit suivante :

Lemme (Conservativit du schma) :

Le schma Volumes Finis (8.1-8.2) est conservatif, c'est--dire : 2 Aux termes de bords prs6.Preuve :

ZPC1'C 1 > X 8E QF 9 Soit: 2 > X h& QH i, 'I' 2 > X h& QH i Il ne reste plus qu construire le flux numrique discret prcdent en fonctions des

inconnues discrtises.

On dfinit les inconnues comme suit :

,X E N N X ,&,H B&BHEGw jE jFw jF j

Cz& > 1 &, H > 1 HXX XUn ensemble discret de pointspour lquation hyperbolique$$X $$& $Q$H 0. Nous choisissons de faire une semi-discrtisation en espace en intgrant lquation sur le volume de contrle6& * ; &2 * 7.N ,E,FEGw jEG j B& N 8,E,F9EEGw jEG j 8,E,F9F B& 0 puis en intgrant nouveau maiscette fois-ci sur le volume de contrle

6H *

; H2 *

7on obtient :

&H $,X$X h8X, &2 * , H9i > h8X,& * ,H9iFw jF j BH Qh8X,&,H2 * 9i >Q h8X,&, H * 9iEGw jEG j B& 06

On entend par l`a que les mailles aux bords du domaine dans lequel on discrtise nont pas de vis--vis.


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nacant 8X, &1 , H9 BHCH2 h,X; 2,XiH1 H>1 X 8X, &, H1 9 B&C&Q2 h,X; ,2Xi&1 &>1 na&y $,X$X H 2 h,X; 2,Xi > 2 h,X; ,Xi & Q2 h,X; ,2Xi > Q2 h,X; ,Xi 0'I

$,X$X 1x 2 h,X; 2,Xi > 2 h,X; ,Xi 1y Q2 h,X; ,2Xi > Q2 h,X; ,Xi 0En faisant une intgration en temps de la formule prcdente entret t; t t2, on a :

$,X$X BXw

1x 2 h,X; 2,Xi > 2 h,X; ,XiBXw 1y Q2 h,X; ,2Xi > Q2 h,X; ,XiBX

w 0

En remplaant lintgrale en temps pour chaque terme, par une mthode de Euler explicite,

on obtient le schma suivant qui est totalement discret pour tous les, .

,2

> ,

E 72

8,

; 2,

9 > 2

8,

; ,

96

F 7Q2

8,

; ,2

9 > Q2

8,

; ,

96 0ou encore

,2 , > X& 728, ; 2, 9 > 28, ; , 96 > XH 7Q28, ; ,2 9 > Q28, ; , 969nant X& ; XH ; 2 *, 8, ; 1, 9XQ,1 Q28, ; ,2 9I=DCIDYIDIX ,2 , > h1 , > >1 , i > hQ,1 > Q,>1 i10 Consistance

On peut dfinir lerreur de troncature comme suit :

, ,1 > ,X 1, > >1,&

Q ,1 > Q,>1H

Cz~

, 8& , H , X921, 28, ; 2, 9C'IX'&CXB PYICX'

Q,21 Q28, ; ,2 9

Lemme : (Condition de consistance)

Un schma mis sous la forme conservative (9) est consistant avec lquation (5) si2U;U U Ctg2U;U gU CU 11Preuve :

Soit un schma de la forme :

,2 , > h1 , > >1 , i > hQ,1 > Q,>1 iCalculons son erreur de troncature


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, ,1 > ,X 1, > >1,=

Q ,1 > Q,>1

On a :

,1 > , X $,$X X*D, > , D=$,$& =*CzD 1,D > , D$,$H *

Si

X

h

X

idsignent les deux drives partielles de2Q2 ,

on a :

~28, ; 1, 9 28, ; , 9 $28, ;, 9$z = $,$& =*28>1, ; , 9 28, ; , 9 > $28, ;, 9$I = $,

$& =*

Et

Q28,

; ,1

9 Q28,

; ,

9 $Q2

8, ; ,

9$z

$,

$H

*Q28,>1 ; , 9 Q28, ; , 9 > $Q28, ; , 9$I $,$H *

Ainsi

,1 > ,X $,

$X X*21, > 1

,

= $2

8,

; ,

9$I $2

8,

; ,

9$z $,

$& =Q,21 > Q,1= $Q28, ; , 9$I $Q28,

; , 9$z $,

$H

Or$,$X >$8, 9$& > $Q8,

9$H Do

, $28, ;, 9$I $28, ;, 9$z $,$& > $8, 9$& $Q28, ;, 9$I $Q28, ;, 9$z $,$H > $Q8, 9$H 8= X9Le schma est donc consistant et au moins dordre 1 si :


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~

$2$I ; $2$z ; > P 0

$Q2

$I ; $Q$z ; > QP 0

Do lgalit (11).

Remarque :(Cas o les fonctions sont linaires).En supposant queI CI QI , avec C > 0 et en choisissant la constante =0, on a :$$X I C $$& I $$H I 0; YICX'BPCBzX'/'zX'

, 1 ,

> >1 ,

CI2j,

> CIj,

et

Q,1

> Q,>1

CI,2j

> CI,j

Et le schma numrique est le suivant :

I,2 > I,X CI2*, > CI*,=

CI,2* > CI,* 0CzCI2*, CI2,

A la suite 8I9,'C'I8&;X9 I pour &j & &jXXj X X2j; = X;&Thorme :

SI

a) Ios 5 SBBCDDXB=; XCXJb)I8&;X9 I&; X&; XYICB= 0c) QI; I II

Alors

I

XI'IX'CBI'

D/


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CONCLUSION

Il ressort de cette tude quun schma de diffrences finies peut tre considr comme un

schma de volumes finis. Ainsi, la dnomination de volumes finis fait plus rfrence un

mode de construction qu un type de schma. Il est donc possible de construire par ceprocd, des fonctions par morceaux qui approchent la solution rgulire. Toutefois, si un tel

schma est convergent sous des hypothses de stabilits J , on peut arriver prouverquune telle solution converge vers une solution faible (Cf. Thorme de Lax-Wendroff).

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