Rappels

Un rgime oscillatoire est une volution dans e temps caractris par une fonction priodique.

Condensateur i = Aqdt

dqA= = - Bq

uC

= CqA

EC = . C.u2 = CQ 2

.

21

Bobine u bob = uL = L dt

di + r i

EL ou Ebob = . L.i2

1- Dcharge du condensateur dans une bobine

1.1 Mise en vidence exprimentale

Observations :

i

uC

A B

A

M

D i

La tension uc prend alternativement des valeurs positives et ngatives la dcharge est oscillante. Toutefois uc max et uc min ne reprennent pas la mme valeur intervalles de temps gaux. Lamplitude dcrot au cours du temps : la dcharge est oscillante amortie. La tension uc sannule des instants spars par des intervalles de temps gaux la dcharge est pseudo-priodique.

1.2 Influence de lamortissement On ralise le mme montage que prcdemment en faisant varier la valeur de R. Pour R = 10

Pour R = 100

Pour R = 500

Lorsque R augmente, les oscillations sont plus rapidement amorties.

Pour R = 1000

Les oscillations disparaissent. La tension uC dcrot sans jamais changer de signe. La dcharge est apriodique .

Pour R et r bob ~ 0 Les oscillations sont non amorties : le rgime est priodique. Le circuit de dcharge ne comporte aucun gnrateur : le circuit RLC est le sige doscillations libres.

1.3 Interprtation

En rgime pseudo-priodique, la dcharge est oscillante : il y a transfert dnergie du condensateur vers la bobine , une partie de lnergie est dissipe par effet Joule au niveau du conducteur ohmique de rsistance R. Puis la bobine restitue lnergie au circuit : une partie est emmagasine par le condensateur et une partie dissipe par effet Joule au niveau du conducteur ohmique. Et ainsi de suite Lnergie totale ( Econdensateur + E bobine) diminue au cours du temps.

En rgime apriodique : il y a transfert dnergie du condensateur vers la bobine mais la rsistance du circuit est telle que toute lnergie est dissipe par effet Joule.

En rgime priodique ( r = 0) : il ny a aucune perte par effet Joule . Il y a transfert intgral de lnergie du condensateur vers la bobine puis de la bobine vers le condensateur et ainsi de suite .Lnergie totale est alors constante.

2- Oscillations dun circuit RLC damortissement ngligeable

Lamortissement dun circuit RLC est d aux pertes par effet Joule. Si lamortissement est ngligeable : la rsistance du circuit est ngligeable, le rgime est alors priodique. 2.1. Tension aux bornes du condensateur

Equation du circuit : uC + uL = 0 Or u bob = uL = L . dt

di et i = C Cu

A

M

i

V

Amplitude en V

Phase lorigine En rad

Pulsation propre en rad.s-1

Rappel maths : [cos ( 0.t + )] = - 0 . sin (0.t + ) [sin ( 0.t + ) ] = + 0 . cos ( 0.t + )

Do ubob = L.C Cu

Lquation du circuit devient : uC + L.C Cu = 0

La solution de lquation diffrentielle est de la forme :

UC (t) = Um. cos ( 0.t + )

Note : En classe, nous avons montr que lon peut aussi considrer UC (t) = Um. sin ( 0.t + ) solution de lquation diffrentielle, auquel cas la valeur de la phase lorigine na pas la mme valeur que si lon considre UC (t) = Um. cos ( 0.t + ). La vrification est base sur le mme principe et lexpression de 0 est rigoureusement la mme.

Vrification :

uC (t) = Um. cos ( 0.t + ) Cu = Um . [- 0 . sin (0.t + )]

Cu = - 0 Um . [0 . cos ( 0.t + )] soit Cu = - 02 . uC que lon peut crire : Cu + 02 . uC = 0 ou encore uC + 2

10

Cu = 0

Identification de 0 : Equation du circuit Cu + CL

1 uC = 0

Equation diffrentielle Cu + 02 . uC = 0 partir de la solution propose On doit avoir , chaque instant : Cu + CL

1 uC = 0 = Cu + 02 . uC

Ce qui impose : CL1

= 02 cest dire : 0 = CL

1

2.2 Priode propre des oscillations : T0

Par dfinition : 02

..0 Tpi = do T0 = 2.pi. CL.

En rad.s-1

L en H

C en F

Avec un tel dispositif on peut crer une tension sinusodale de priode donc de frquence souhaite ( en ajustant L et C).

Analyse dimensionnelle

[ L.C ] = [ R.C] x [ L/R] = [ RC ] x [ RL] = [T]2 CL. est donc bien homogne un temps

2.3. Intensit du courant i

Par dfinition i = C. Cu Or Cu = Um . [- 0 . sin (0.t + )] Rappel maths : - sin = cos ( + 2

pi )

Soit i = C.Um 0 . cos (0.t + + 2pi )

Do i = Im . cos (0.t + + 2pi )

Lintensit, comme la tension aux bornes du condensateur, est une fonction sinusodale du temps. Lintensit i est en quadrature ( dphase de 2

pi ) avec la tension uC.

3- Entretien des oscillations

Lamortissement des oscillations est d aux transferts thermiques ( effet Joule, en raison de la rsistance du circuit ) . Pour entretenir les oscillations, il faut compenser, en moyenne chaque priode, les pertes par effet Joule . Puissance dissipe par effet Joule PJ = R.i2 Puissance apporte par le dispositif dentretien ( donc par une source externe dnergie = gnrateur, auquel on applique la convention gnrateur) : doit tre gale lnergie dissipe par le circuit par effet Joule . Le dispositif dentretien doit se comporter comme loppos dune rsistance , on parle de montage rsistance ngative .

Les oscillations entretenues sont une fonction Sinusodale du temps de priode t gale la priode propre T0 du circuit RLC.

Les oscillations entretenues sont sinusodales de priode T = T0 priode propre doscillations dun circuit RLC srie damortissement ngligeable. T = T0 = 2.pipipipi. CL.

Comme lnergie dissipe par transfert thermique est Compense exactement par le dispositif dentretien alors : - il ny a pas damortissement des oscillations - il y a change continuel dnergie entre le condensateur et la bobine

E totale = E condensateur + E bobine = constante.