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MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 05 Oscillateur forcé ds - 16 janvier 2012 page 1 / 5

Mécanique 5

Oscillateurs mécaniques forcés

I. Réponse à une excitation

I.1. Régimes excités Soit un oscillateur constitué d'un point mobile M de masse m relié à un ressort, pour exercer sur ce

pendule une excitation il suffit de déplacer le point d'ancrage A du ressort. On suppose le référentiel terrestre galiléen.

I.1.1. A l'équilibre A est en A0 et M est en M0.

La longueur du ressort est le = A0M0.

L'équilibre de M s'écrit : mg = k(le - l0).= k(A0M0 - l0)

I.1.2. En dehors de l'équilibre

RFD → ma = mg - k(l - l0) - hv et la longueur du ressort est l = AM

Soit : ma = k(A0M0 - l0) - k(AM - l0) - hv = k(A0M0 - AM) - hv

Or A0M0 - AM = A0A + AM0 - AM0 - M0M = A0A - M0M

La position de A est repérée à tout instant par xA(t) = A0A sur un axe vertical descendant. La position de M à tout instant sera repérée par x(t) = M0M → A0A - M0M = xA - x

On obtient donc l'équation m

€

˙ ̇ x = k(xA - x) - h

€

˙ x que l'on traduit par l'équation différentielle :

€

˙ ̇ x + 2λ

€

˙ x +

€

ω02 x =

€

ω02 xA où 2λ =

€

hm

et

€

ω02 =

€

km

I.2. Différents types d'excitation La fonction xA(t) peut être :

I.2.1. Un échelon de déplacement

On appelle fonction d'échelon la fonction

€

α t 0( ) =1# $ %

. L'échelon de déplacement est caractérisé par

xA = XAα(t).

La solution de l'équation est somme de la solution générale de l'équation à second membre nul et d'une solution particulière de l'équation complète qui est x = XA (pour t ≥ 0).

Avec un amortissement faible cela donne : x(t) = e-λt[Acos(ωnt) + Bsin(ωnt) + XA

Si les conditions initiales sont x(0) = 0 et

€

˙ x (0) = 0 → 0 = A + XA → A = - XA et

€

˙ x = - λx + e-λtωn[-Asin(ωnt) + Bcos(ωnt)] soit à t = 0 :

€

˙ x = 0 = - λx0 + Bωn → B =

€

λωn

x0

Donc finalement x(t) = XA(1 - e-λt)[cos (ωnt) +

€

λωn

sin(ωnt)].

I.2.2. Une excitation sinusoïdale

Dans ce cas xA(t) = XAcos ωt en choisissant convenablement l'origine des dates. ω est ici la pulsation de l'excitateur.

Comme toujours la solution de l'équation différentielle est somme de la solution générale x1(t) de l'équation à second membre nul (que nous connaissons déjà) plus d'une solution particulière x2(t) de l'équation complète.

La solution x1(t) est évanescente : si t → ∞ , x1(t) → 0. Elle correspond à un régime transitoire.

l0 lel(t)

x

O

A0

M0

xA

M

A


Au bout de quelque temps, x se résume donc à la solution particulière x2(t) qui de ce fait constitue le régime permanent.

La solution transitoire est connue, intéressons nous à la solution permanente, autrement dit à la solution particulière de l'équation complète. Nous la cherchons de la même forme que le second membre, c'est à dire de forme sinusoïdale de pulsation ω, pulsation de l'excitateur : elle correspond à un régime d'oscillations forcées.

II. Oscillations forcées

Donc

€

˙ ̇ x + 2λ

€

˙ x +

€

ω02 x =

€

ω02 XAcos (ωt) où 2λ =

€

hm

et

€

ω02 =

€

km

C'est la même équation que celle du dipôle RLC série en régime forcé : nous cherchons une solution particulière du type x(t) = Xmcos(ωt + ϕx) où Xm est l'amplitude du mouvement de M et ϕx le déphasage de ce mouvement par rapport au mouvement de A. Nous pouvons utiliser les mêmes méthodes : méthode de Fresnel et méthode complexes.

II.1. Amplitudes complexe

A la fonction x = Xmcos (ωt + ϕx) on associe le complexe x = Xmejϕxejωt. On appelle amplitude

complexe de x le terme indépendant du temps : X = Xmejϕx. Donc x = Xejωt.

De même à la fonction xA = XAcos (ωt) on associe le complexe xA = XAejωt dont l'amplitude

complexe XA est ici un réel par choix de l'origine des dates (ϕA = 0).

L'amplitude du mouvement du mobile est le réel Xm = ⏐X⏐ et ϕx est l'argument de X. L'élongation du mouvement de M est le réel x(t) = ⏐X⏐cos (ωt + arg(⏐X⏐) = Re[x(t)].

Rappel : Pour déterminer complètement l'argument de x = [Ré(x) + jIm(x)] il faut deux fonctions

trigonométriques : tan ϕx =

€

Im x( )Ré x( )

et cos ϕx =

€

Ré x( )Ré x( ) + j ⋅Im x( )

ou sin ϕx =

€

Im x( )Ré x( ) + j ⋅Im x( )

La relation entre la fonction sinusoïdale et sa représentation complexe se conserve dans toutes les opérations linéaires (addition, multiplication par une constante, intégration et dérivation). Mais elle ne se conserve pas dans un produit, ce qui posera des problèmes pour l'énergie.

⇒ L'amplitude complexe de la vitesse

€

˙ x (t) est V = jωX et celle de l'accélération

€

˙ ̇ x (t) est -

€

ω02 X.

II.2. Solutions de l'équation différentielle

On en déduit : - ω2Xejωt + 2jλωXejωt +

€

ω02 Xejωt =

€

ω02 XAejωt

soit (- ω2 + j2λω +

€

ω02 )X =

€

ω02 XA.

• l'amplitude complexe du mouvement du mobile : X =

€

ω02 ⋅XA

ω02 −ω2 +2 ⋅ j ⋅ω ⋅ λ

=

€

XA

1−ω2

ω02 +

2 ⋅ j ⋅ω ⋅ λ

ω02

.

On peut utiliser les notations 2λ =

€

ω0Q

et u =

€

ωω0

→ X =

€

XA

1−ω2

ω02 +

jQ⋅ωω0

=

€

XA

1−u 2 +jQ⋅u

→

⇒ l'amplitude du mouvement : Xm est le module de X : Xm =

€

XA

1−u 2( )2 +u2

Q2

⇒ le déphasage de x par rapport à xA : ϕx = arg

€

XA

1−u 2 +jQ⋅u

$

%

& & & &

'

(

) ) ) )

=

€

1−u 2 −jQ⋅u

$

% &

'

( ) . On explicite ϕx

avec : tan ϕx = -

€

u

Q ⋅ 1−u 2( ) = -

€

2 ⋅ λ ⋅ωω0

2 −ω2 et sin ϕx = -

€

uQ ⋅Xm

toujours négatif → - π < ϕx < 0 : la réponse

en élongation est toujours en retard sur l'excitation.


• L'amplitude complexe de la vitesse V = jωX =

€

j ⋅ω ⋅XA

1−u 2 +jQ⋅u

de module Vm =

€

ω ⋅XA

1−u 2( )2 +u2

Q2

et

d'argument ϕV = ϕx +

€

π2

. La vitesse est en quadrature avance sur l'élongation.

III. Analyse fréquentielle On cherche à donner une représentation graphique des amplitudes réelles et des phases de x(t) et de

v(t) en fonction de ω ou de u =

€

ωω0

puisque Xm et ϕx dépendent de ω de même que Vm et ϕV.

III.1. Réponse en élongation

III.1.1. Amplitude : Xm =

€

XA

1−u 2( )2 +u2

Q2

Quand u → 0, pour toute valeur de Q, l'amplitude de la réponse de l'oscillateur tend vers Xm = XA. C'est l'amplitude statique. Si u = 0, ω = 0, ce qui veut dire xA = XA constante, on est ramené au cas de la réponse à un échelon de déplacement : au bout d'un temps assez grand pour que le régime transitoire soit terminé, M prend une position de repos en xA = XA.

Quand u → ∞ pour tout Q, Xm → 0 . Autrement dit, si ω est trop grand, M ne bouge pas.

Cherchons s'il existe une valeur remarquable de u (autre que 0). Par exemple, cherchons un maximum de Xm. Il a lieu, s'il existe, lorsque le dénominateur de Xm est minimum. On peut donc chercher ce maximum

en déterminant s'il existe une valeur de x pour laquelle la dérivée de (1 - u2)2 +

€

u 2

Q2 est nulle.

On trouve : - 4u(1 - u2) + 2u

€

1Q2

= 0 → Xm est extrémale pour u = 0 (ce que nous savions déjà) et

pour u2 = 1 -

€

1

2 ⋅Q2 → u =

€

1 −1

2 ⋅Q2 soit ω = ωr =

€

ω02 −2 ⋅ λ2 à condition que Q >

€

12

donc dans le

cas d'un amortissement faible.

Autrement dit avec un fort amortissement (Q <

1

2 ), l'amplitude diminue si la fréquence de l'excitateur

augmente, donc le mobile ne réagit qu'aux basses fréquences : la réponse en élongation est un "filtrage passe bas"

Avec un faible amortissement (Q >

€

12

), il existe un maximum d'amplitude pour ωr =

€

ω02 −2 ⋅ λ2 . On dit

que l'oscillateur est en résonance d'élongation pour ω = ωr . La pulsation de résonance en élongation, quand elle existe, est toujours inférieure à la pulsation propre, mais elle en est d'autant plus proche que l'amortissement est faible. Ici M réagit surtout aux pulsations voisines de ωr : la réponse en élongation est un filtrage passe bande.

A la résonance Xm(ωr) =

€

ω02 ⋅XA

2 ⋅ λ ⋅ ω02 − λ2

=

€

Q ⋅XA

1−1

4 ⋅Q2

= Xmr c'est le maximum de la fonction Xm(ω).

III.1.2. Déphasage

ϕx = arctan

€

2 ⋅λ ⋅ωω2 −ω0

2

&

' ( (

)

* + + et sin ϕx < 0.

Pour ω → 0, ϕx(0) → 0, et pour ω → ∞, ϕx → - π → ϕx est une fonction décroissante de ω.


III.2. Réponse en vitesse

III.2.1. Amplitude de la vitesse avec ω = ω0u on a

• Amplitude complexe : Vm(ω) = jωX =

€

j ⋅ω ⋅XA

1−u 2 +jQ⋅u

=

€

j ⋅ω0 ⋅u ⋅XA

1−u 2 +jQ⋅u

=

€

Q ⋅ω0 ⋅XA

1+ j ⋅Q ⋅ u − 1u

%

& '

(

) *

• Amplitude réelle : Vm =

€

Q ⋅ω0 ⋅XA

1+Q2 ⋅ u − 1u

%

& '

(

) * 2

module de Vm

L'amplitude de la vitesse Vm → 0 pour ω → 0 ou ω → ∞. Il existe donc un maximum de Vm pour une fréquence comprise entre 0 et ∞. Autrement dit : il existe toujours une fréquence de résonance en vitesse. Vm est maximale quand son dénominateur est minimal soit pour u = 1. On a alors Vm(ω0) = ω0QXA.

Il y a résonance de vitesse pour ω = ω0, et ce quelque soit l'amortissement. La résonance en vitesse est d'autant plus aiguë que le système est moins amorti (Q grand).

III.2.2. Déphasage de la réponse en vitesse

ϕv(ω) = arg

€

ω0 ⋅XA1

j ⋅u+ j ⋅u +

1Q

$

%

& & & &

'

(

) ) ) )

= arg

€

j ⋅1u

−⋅u$

% &

'

( ) +

1Q

*

+ ,

-

. / → tan ϕV = Q

€

1u

−⋅u$

% &

'

( ) et cos ϕv > 0.

Donc -

€

π2

< ϕv <

€

π2

. Pour ω → 0 on a ϕv → +

π2

et pour ω → ∞ on a ϕv → -

π2

. Ce qui confirme que la

vitesse est en avance sur l'excitation quand ω < ω0 et en retard dans le cas contraire. A la résonance en vitesse, donc pour ω = ω0, ϕv est nulle.

IV. Etude énergétique

IV.1. Energie Reprenons l'équation différentielle du mouvement de l'oscillateur m

€

˙ ̇ x + h

€

˙ x + kx = kxA(t) et multiplions la par v =

€

˙ x , on obtient : m

€

˙ x

€

˙ ̇ x + hv2 + kx

€

˙ x = kxA(t)v

m

€

˙ x

€

˙ ̇ x + kx

€

˙ x est la dérivée

€

dEdt

de l'énergie mécanique E =

€

12m

€

˙ x 2 +

€

12kx2. On obtient donc :

€

dEdt

= kxA(t)v - hv2 = P puissance échangée par le système avec l'extérieur. P = Pf + PA où PA est la

puissance apportée par la force excitatrice f = kxA(t) et Pf. la puissance dissipée par frottements.

En moyenne sur une période < Pf > =

€

1T

€

0

T∫ - hv2dt =

€

1T

€

0

T∫ - hVm2cos2(ωt + ϕv)dt 1

< Pf > = -

€

h ⋅Vm2

T

€

0

T∫

€

12[1 + cos(2ωt +

2ϕv)]dt. Or cos (2ωt + 2ϕv) est une fonction périodique de

période

€

12T dont la primitive a même valeur à t = 0 et t = T → < Pf > = -

€

12hVm2

< PA > =

€

1T

€

0

T∫ kxAvdt =

€

1T

€

0

T∫ kXAcos(ω•t)•Vmcos(ωt + ϕv)dt = -

€

12kXAVmcos ϕv*.

On pose Fm = kXA → < PA >

€

12FmVmcos ϕv.

L'expérience montre que l'énergie mécanique de l'oscillateur forcé est constante puisque l'amplitude de ses oscillations est constante. Il nous faut donc montrer que < Pf > + < PA > = 0.

1 Avec cos2x =

€

12

•[1 + cos(2•x)] ou cos a•cos b =

€

12

•[cos(a + b) + cos (a – b)]


On peut reprendre l'expression de cos ϕv =

€

Ré V[ ]Vm

avec V =

€

j ⋅ω ⋅XA

1−u 2 +jQ⋅u

mais il y a plus simple.

IV.2. Analogies électromécaniques

IV.2.1. Grandeurs analogues

Mécaniques Electriques

élongation x charge q

vitesse v Intensité i

force f Tension u

masse m Inductance L

coefficient de frottement h Résistance R

raideur k inverse de la capacité

€

1C

IV.2.2. Impédance mécanique

L'impédance électrique est le rapport Z =

€

UI

. On appelle impédance mécanique du système la

grandeur Z égale au rapport des amplitudes de la force f et de la vitesse v.

Ainsi, soit un oscillateur soumis à une force excitatrice sinusoïdale f(t), pour calculer son impédance, il faut passer par le complexe associé Z dont Z est le module.

A f = kXAcos(ωt) on associe le complexe f = kXAejωt d'amplitude complexe F = kXA (réelle ici) dont le module Fm est l'amplitude (réelle) de la force excitatrice.

En complexe l'équation différentielle du mouvement s'écrit → F = (- mω2 + jhω + k)X et V = jωX

→ l'impédance complexe Z =

€

FV

= h + jmω +

€

kj ⋅ω

de module Z = ⏐Z⏐ =

€

h 2 + m ⋅ω−kω

%

& '

(

) *

2

et

d'argument ϕZ = arg

€

FV

"

# $

%

& ' avec ici F = kXA réelle donc ϕZ = - ϕv est l'opposé du déphasage de la réponse

en vitesse. On trouve tan ϕZ =

€

m ⋅ω−kω

h et cos ϕZ =

€

hZ

= cos ϕV.

Avec

€

ω02 =

€

km

et 2λ =

€

hm

=

€

ω0Q

→ tan ϕ Z = Q

€

ωω0

−ω0ω

$

% &

'

( ) = Q

€

u −1u

#

$ %

&

' (

IV.2.3. Bilan énergétique

Donc Fm = ZVm où Z est l'impédance mécanique et cos ϕv =

€

hZ

→ < PA > =

€

12hVm2 = - < Pf >.

On en déduit qu'en moyenne sur une période, la puissance apportée par l'excitateur compense la puissance dissipée par frottement, et la puissance échangée par le système avec l'extérieur est nulle.

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