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Mécanique 10

Mécanique Céleste et terrestre

I. Les référentiels

I.1. Référentiels de Copernic et de Kepler

I.1.1. Référentiel de Copernic RC

De centre C centre de masse du système solaire + trois étoiles assez éloignées pour être considérées comme fixes.

C'est, pour le système solaire, la meilleure approximation possible d'un référentiel galiléen

I.1.2. Référentiel de Kepler ou Héliocentrique RK

Se déduit du précédent par une translation d'origine de C vers S centre du Soleil.

Les axes peuvent être choisis parallèles à ceux d'un repère de Copernic.

C'est un référentiel galiléen avec une excellente approximation.

I.1.3. Mouvement de la Terre dans le référentiel de Kepler

Dans RK, le centre T de la Terre décrit une trajectoire elliptique, pratiquement circulaire, (excentricité

e = 0,01673, l'excentricité est le rapport entre la distance des foyers de l'ellipse et le grand axe, pour un cercle les foyers étant confondus e = 0). Le plan de cette trajectoire est le plan de l'écliptique, la distance

moyenne TS ≈ 1,51011 m (sert d'unité de longueur en astronomie : 1 UA = 149598600 km).

La durée de révolution de la Terre autour du Soleil est l'année sidérale et vaut 365,25 jours sachant qu'un jour est 1 d = 86400 s soit 24 heures de 3600 s.

La Terre est petite devant le rayon de son orbite (rayon RT = 6,4106 m << 1,51011 m). Elle peut être

considérée comme ponctuelle lorsque l'on étudie son mouvement autour du Soleil.

De ce fait, le référentiel de Kepler n'est pas le plus adapté pour étudier le mouvement de rotation de la Terre sur elle même.

I.2. Les référentiels liés à la Terre

I.2.1. Géocentrique RG

Centre de la Terre T, trois étoiles fixes → en translation circulaire uniforme dans le référentiel de Copernic d'accélération

€

a (T)/RC (par définition de la translation).

Par ailleurs il n'est lié qu'au centre de la Terre.

On peut calculer la norme de

€

a (T)/RC sachant que T décrit en gros un cercle de rayon 1,51011 m en

365,25 86400 s → a = STω2 ≈ 610-3 ms-2.

Pour les mouvements des véhicules terrestres, ce n'est pas énorme et on a pu négliger la force d'inertie d'entraînement, mais c'est décelable.

Le référentiel géocentrique n'est pas strictement galiléen et la RFD en référentiel géocentrique devra parfois être écrite en considérant la force d'inertie d'entraînement - m

€

a (T)/RC.

I.2.2. Terrestres RT

Centrés en un point O de la surface de la Terre, RT est animé par rapport à RG d'un mouvement de

rotation uniforme de vecteur Ω porté par l'axe des pôles (qui pointe en gros vers l'étoile polaire). Cet axe est

incliné de 23 ° par rapport à la normale au plan de l'écliptique.

La période de révolution de la Terre autour de cet axe dans RG, est Tsid = 86164 s. Elle est appelée jour

sidéral qui est donc plus court que le jour d.

Le référentiel terrestre a été considéré comme galiléen en première approximation pour des mouvements de courte durée et de faibles distances.

Mais il n'est pas galiléen et il sera nécessaire de considérer les forces d'inertie pour appliquer la seconde loi de Newton dans ce référentiel.

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II. Champ de gravitation

II.1. Champ de gravitation d'une masse ponctuelle

II.1.1. Interaction gravitationnelle

Rappel de la Loi de Newton :

€

F 1/2 = -

€

G ⋅m1 ⋅m2

r 2

€

e 12.

C'est une des interactions fondamentale de la nature dont le domaine de validité va de l'échelle microscopique à l'échelle intergalactique.

II.1.2. Masses inertielle et gravitationnelle

Remarque : dans cette loi, les termes m1 et m2 représentent des masses gravitationnelles. Ces masses

sont proportionnelles aux masses inertielles (celles de

€

F = m

€

a ) comme le vérifient les expériences les plus

modernes et les plus précises (à 10-13 près). Dans le système d'unités international, elles s'expriment avec le même nombre, car elles ont été identifiées par le choix de la valeur numérique de la constante G = 6,6710-11 Nm2kg-2.

II.1.3. Champ gravitationnel

Donc au voisinage d'un point de masse m1, une masse m2 placée en M est soumise à un champ de

force ne dépendant que de la position de M.

€

F (M) = m2

€

G (M) où

€

G (M) = -

€

G ⋅m1

r 2

€

e 1M est le champ

gravitationnel crée par m1 en M.

II.2. Cas des astres

II.2.1. Problème de dimension

Un astre n'est pas un point matériel : si l'on s'intéresse par exemple à la mécanique terrestre, on est conduit à considérer les forces de gravitation exercées par la Terre sur un point M de masse m situé au voisinage de sa surface. Et d'un point M au voisinage de la Terre il est difficile d'admettre que la Terre est un point.

Le théorème de Gauss, que nous aurons l'occasion de démontrer en électromagnétisme, permet de déterminer le champ radial

€

G (M) crée par une répartition de masse à symétrie sphérique.

Soit un corps, sphérique de centre O et de rayon R, a pour masse M =

€

V∫∫∫ ρdτ où ρ est la masse

volumique. Si ρ ne dépend que de la distance r au centre O, le corps est à répartition de matière à symétrie sphérique.

A l'extérieur de ce corps, mais à l'extérieur seulement, donc pour tout r > R, le champ radial

€

G (M) peut

être calculé en assimilant la sphère à une masse M concentrée en son centre O.

Autrement dit, vu de l'extérieur, on peut assimiler l'astre à un point confondu avec son centre et ayant la masse de l'astre.

II.2.2. Problème de pluralité

Un point matériel situé au voisinage de la Terre est également soumis aux interactions de gravitation des autres astres de l'Univers. Donc le champ de gravitation en M est :

€

G (M) =

€

G T(M) +

€

G L(M) +

€

G S(M) + etc.… =

€

G T(M) +

€

A (M)

Le terme

€

A (M) regroupant tous les champs en M des autres astres est dit champ "extra-astral". Si on est

au voisinage de la Terre, on peut considérer

€

A (M) comme quasi uniforme →

€

A (M) ≈

€

A (T).

En général, pour les véhicules terrestres, ces termes sont négligeables. On peut calculer que les moins négligeables sont les champs créés en M par la Lune ou le Soleil dont on constate l'effet sur les marées.

II.2.3. Problème de référentiel

Les astres sont en mouvement, ils ne constituent pas des référentiels galiléens. Il faudra donc considérer les forces d'inertie pour écrire la RFD.

Soit un point M au voisinage de la Terre, dont on étudie le mouvement dans le référentiel géocentrique RG. Ce référentiel étant en translation par rapport à RC galiléen, seule la force d'inertie d'entraînement

€

F e = - m

€

a T/RC est à considérer (pas de force d'inertie de Coriolis puisque

Ω =

€

0 ).

On peut calculer

€

a T/RC en écrivant la RFD pour la Terre assimilée à son centre T car RT est petit devant

les dimensions de la trajectoire. MT

€

a T/RC = MT[

€

G L(T) +

€

G S(T) + …] →

€

a T/RC = [

€

G L(T) +

€

G S(T) + …], que l'on reporte dans

l'expression de la RFD pour M : m

€

a M/RG =

€

F a + m

€

G T(M) + m[

€

G L(M) -

€

G L(T) +

€

G S(M) -

€

G S(T) + …]

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€

F a représente les forces vraies et le terme entre crochet, [

€

A (M) -

€

A (T)] =

€

C (M), s'appelle terme

résiduel ou différentiel ou terme de marée → m

€

a M/RG =

€

F a + m

€

G T(M) + m

€

C (M).

On peut évaluer le terme de marée pour un corps situé au voisinage de la surface de la Terre (r ≈ RT) : on trouve qu'il est de l'ordre de 10-7G0 si G0 est le champ gravitationnel de la Terre seule au

voisinage du sol. Donc il est, en général, négligeable devant

€

G T(M).

On en déduit que m

€

a M/RG =

€

F a + m

€

G T(M) et donc que :

⇒ le référentiel géocentrique est galiléen avec une assez bonne approximation,

⇒ il suffit de considérer le champ gravitationnel dû à la Terre.

On pourra dire de même pour tous les référentiels Pcentriques des autres planètes.

II.3. Le problème des marées

On ressent l'incidence du terme de marée quand on s'intéresse aux océans, portion déformable de la planète.

Calcul de

€

C (M) =

€

G L(M) -

€

G L(T) +

€

G S(M) -

€

G S(T) en se limitant aux termes lunaires et solaires et

dans le cas où M et T sont alignés avec L ou S (→ C maximum).

Données : MT = 61024 kg ; ML = 7,41022 kg ; MS = 21030 kg ; TL = 3,84108 m ; ST = 1,51011 m

Gi(T) = G

€

Mi

Pi T( )2 et Gi(M) = G

€

Mi

Pi T −RT( )2 ≈ G

€

Mi

Pi T( )2[1 + 2

€

RTPi T

]

→ GL(M) - GL(T) ≈ 2G

€

Mi

Pi T( )2

€

RTPi T

On trouve 10-6 pour la Lune et 510-7 pour le Soleil. L'influence de la Lune est prépondérante, mais celle du Soleil n'est pas négligeable. Donc

II.3.1. Si on ne tient compte que de la Lune,

Elle fait un tour autour de la Terre en 28 jours, donc, sur 24 h, elle est presque fixe et chaque point de la Terre - océan (qui tourne sur elle même en 24 h) passe deux fois par jour dans l'alignement Terre – Lune donc se déforme deux fois par jour → deux marées par jour. Si on tient compte de la rotation de la Lune autour de la Terre, cela donne un décalage de 24 h/28 j = 50 minutes par jour.

II.3.2. Si on tient compte aussi du Soleil

Lorsque T, L et S sont alignés, (nouvelle Lune ou pleine Lune), le Soleil accentue l'effet de la Lune : marées de vives-eaux.

Lorsque TS est perpendiculaire à TL, (premier et dernier quartier de la Lune), le Soleil déforme l'océan dans une direction perpendiculaire à l'effet de la Lune, donc il minimise l'effet de la Lune : ce sont les marées de mortes-eaux.

III. Loi de Newton dans un référentiel lié à la Terre

Cette fois le référentiel est en mouvement de rotation de vecteur

Ω dans le référentiel galiléen (le plus proche)

géocentrique.

III.1. Statique dans le référentiel terrestre

Soit un point M de masse m accroché à un fil. A l'équilibre, un tel système constitue un fil à plomb.

Dans RT, M est immobile et

€

v RT =

€

0 . La condition d'équilibre

de M dans RT non galiléen doit être écrite en tenant compte de la force d'inertie centrifuge (axifuge)

€

F e. La

force de Coriolis est nulle puisque la vitesse du mobile est nulle.

M, soumis à la force gravitationnelle que la Terre exerce sur lui : m

€

G , et à la tension du fil, est en équilibre

si : m

€

G +

€

T +

€

F e =

€

0 .

Par définition : le poids d'un corps est égal à la force subie par le fil (à plomb) ; sa direction définit la verticale du lieu. Donc

€

P est défini par :

€

P +

€

T =

€

0 .

λ

ϕ

θ

r e ϕ est

e θ

sud

e rz

y

x

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Ce qui montre que le poids

€

P = m

€

G +

€

F e = m

€

G + mΩ2

€

HM n'est pas seulement gravitationnel mais

comporte une composante inertielle.

Dans le cas où le terme de marée n'est pas négligeable,

€

P = m

€

A +

F e = m

€

A + mΩ2

€

HM

On définit le champ de pesanteur

€

g M au point M considéré par

€

P = m

€

g M →

€

g M =

€

A + Ω2

€

HM , qui

se résume à

€

A aux pôles seulement.

On constate donc que le poids n'a pas rigoureusement la direction de

€

G donc la verticale d'un lieu n'est

pas dirigée vers le centre de la Terre(sauf à l'équateur et aux pôles), mais fait avec TM un petit angle ε qu'on ne peut pas calculer avec le modèle du champ gravitationnel habituel car l'approximation habituelle (corps à symétrie sphérique) ne convient pas.

On ne peut que donner les résultats expérimentaux : au pôle g(90) = 9,83 ms-2, à l'équateur

g(0) = 9,78 ms-2. L'angle ε est maximum pour une latitude de 45 °, il vaut alors 11 minutes d'angle.

De ce fait, lorsque l'on écrit l'équilibre d'un pendule par

€

P +

€

T =

€

0 , dans le référentiel terrestre, on tient

compte du fait que ce référentiel n'est pas galiléen. Par contre, pour un système en mouvement, il manque la force de Coriolis.

III.2. Dynamique dans le référentiel terrestre Supposons maintenant le point M mobile au voisinage de O de latitude λ. Sa vitesse dans RT est

€

v /RT .

III.2.1. Repère local

Soit le repère local

€

e x vers l'Est,

€

e y vers le Nord et

€

e z verticale ascendante. Le vecteur rotation de la

Terre Ω = Ωcos λ

€

e y + Ωsin λ

€

e z.

Pour des déplacements inférieurs au kilomètre, on peut considérer le champ de pesanteur

€

g = - g

€

e z

comme uniforme.

Ici, il faut également prendre en compte la force d'inertie de Coriolis

€

F C = - 2m

Ω ∧

€

v /RT, la force

d'inertie d'entraînement centrifuge due à la rotation de la Terre étant prise en compte dans le poids de M.

Remarque : la force de Coriolis a pour norme Fc ≤ 2mΩv. Même avec v = 700 ms-1 la force de

Coriolis n'atteint pas 1 % du poids.

III.2.2. Effets de la force de Coriolis

• Cas d'un mouvement horizontal

La force

€

F C = - 2m

Ω ∧

€

v /RT = - 2m(Ωcos λ

€

e y + Ωsin λ

€

e z) ∧

€

v /RT a une première

composante en

€

e y ∧

€

v /RT colinéaire à

€

e z qui représente une modification (infime) du poids, et une

composante en

€

e z ∧

€

v /RT horizontale vers la droite de

€

v /RT .

Application numérique : une voiture de 1 tonne allant à 50 ms-1 (180 km/h) au pôle (sin λ ≈ 1) F ≈ 10 N. Ce qui est infime devant le poids de la voiture, et justifie que dans ce cas on considère le référentiel terrestre comme galiléen.

• Mouvement vertical

Exemple : chute libre sans vitesse initiale.

€

a =

€

g - 2

Ω ∧

€

v /RT avec

€

g = - g0

€

e z si on néglige les variations de g avec l'altitude.

→

€

˙ x = - 2 Ω(

€

˙ z cos λ -

€

˙ y sin λ)

€

˙ y = - 2 Ω

€

˙ x sin λ

€

˙ z = - g0 + 2 Ω

€

˙ x cos λ.

En première approximation, on néglige la perturbation, donc :

€

˙ x = 0 →

€

˙ x = 0 et

€

˙ y = 0 →

€

˙ y = 0,

€

˙ z = - g0 →

€

˙ z = - g0t, seul

€

˙ z n'est pas nul, donc le mouvement est dévié vers l'est.

• Autres manifestations observables

⇒ le mouvement des vents

⇒ le sens de rotation autour d'une dépression (cyclones) dépend de l'hémisphère

⇒ l'usure inégale des rails de chemin de fer du fait de la différence de pression des roues (ce ne sont pas les mêmes voies dans les deux sens de parcours)

⇒ l'expérience du pendule de Foucault, dont le plan d'oscillation fait un tour complet en 31 h 47 min (celui du Panthéon).