Les oscillateurs, généralités

Les oscillateurs, généralités

1 Introduction : motivation et définitions

Les systèmes oscillants sont d’une variété impressionnante et rares sont les domaines de laphysique dans lesquels ils ne jouent pas un rôle important.

En voici quelques exemples : la corde vocale, le cœur humain, la balançoire, le circuitélectrique oscillant, les électrons dans les atomes, les cordes en physique des particules . . .

En acoustique, la production, le transport, et la perception des sons mettent en jeu desoscillateurs mécaniques, acoustiques et électriques.

Nous allons étudier les oscillations de quelques systèmes oscillants simples, mécaniques etélectriques.

Un oscillateur est un système physique manifestant la variation d’une grandeur physiquede part et d’autre d’un état d’équilibre. Si les variations se reproduisent identiques à elles-mêmes, l’oscillateur est dit périodique.

Définition :

Un oscillateur est harmonique si la variation de la grandeur physique est une fonctionsinusoïdale du temps.

Dans ce chapitre, nous étudions d’abord les oscillateurs mécaniques avant de transposer lesrésultats aux autres types d’oscillateurs.

La figure ci-dessous montre quelques oscillateurs mécaniques.

Un oscillateur mécanique effectue un mouvement d’aller-retour de part et d’autre de saposition d’équilibre. En électricité, un circuit dans lequel circule un courant alternatif est unoscillateur électrique.

2 L’oscillation harmonique, introduction mécanique

2.1 L’oscillation harmoniqueQuand un objet est en oscillation, il passe continuellement d’un côtéà l’autre d’une position appelée la position d’équilibre. Ce pourraitêtre, par exemple, un pendule. Dans ce cas, la masse passealternativement d’un côté à l’autre de la position d’équilibre, qui estau point le plus bas du mouvement du pendule.

Si on pose que la position d’équilibre est à x = 0, cela signifie quela position prend alternativement des valeurs positives etnégatives. Le graphique de la position de l’objet en fonction dutemps pourrait donc ressembler au graphique suivant.

Le graphique peut prendre une multitude de formes. La seule chose qui indique qu’il y a uneoscillation c’est l’alternance entre les valeurs positives et négatives.

Il y a cependant un cas particulier très important : le mouvement d’oscillation décrit par unefonction sinusoïdale. On parle alors d’oscillation harmonique. Dans ce cas, la position estdonnée par la formule :

De façon plus correcte, on parle ici de mouvement harmonique simple. Dans le mouvementharmonique complexe, il faudrait plusieurs fonctions sinusoïdales additionnées pour décrire lemouvement.

Prenons un exemple pour illustrer un mouvement d’oscillation harmonique. Supposons que laposition soit donnée par :

Le graphique de ce mouvement est illustré sur la figure ci-dessous.

Dans ce clip, vous pouvez voir que le graphique de la position en fonction du temps pour unsystème masse-ressort (qui est un système qui fait une oscillation harmonique) est ungraphique identique à celui de la figure.

http://www.youtube.com/watch?v=T7fRGXc9SBI

Oscillation harmonique

Dans la formule, A est l’amplitude du mouvement.Elle permet d’ajuster la hauteur du sinus.Normalement, un sinus a une valeur maximale de1 et une valeur minimale de -1. En multipliant parA, le sinus aura alors une valeur maximale de A etune valeur maximale de –A. Cette amplitudeindique la plus grande distance qu’il peut y avoirentre l’objet et la position d’équilibre. Dans notreexemple, l’amplitude est de 3 cm.

T est la période du mouvement. Elle indique letemps que prend l’objet pour faire un cycled’oscillation. Normalement, un sinus a unepériode de 2π (en radians). En multipliant letemps par 2π/T, le sinus aura alors une périodede T. Dans notre exemple, la période est de 2secondes.

f est la fréquence. Elle indique le nombre d’oscillations fait par l’objet en une seconde. Elle estmesurée en Hertz (Hz), qui sont des s-1

Évidemment, il y a un lien entre la période et la fréquence puisque, plus l’objet ferad’oscillations par seconde, plus la période sera petite. Si l’objet fait 10 oscillations parsecondes, cela signifie que chaque oscillation dure 0,1 s (1 seconde / 10). Si l’objet fait 50oscillations par secondes, chaque oscillation dure 0,02 s (1 seconde / 50). On a donc :

On peut donc écrire la fonction sinusoïdale sous la forme :

La quantité 2πf revient continuellement dans l’étude des oscillations harmoniques. Lesphysiciens ont décidé d’utiliser un symbole pour la représenter. C’est la fréquence angulaire oupulsation.

La fréquence angulaire est en rad/s et elle représente le nombre de cycles d’oscillation effectué durant un temps de 2π secondes.

Notre fonction sinusoïdale peut donc s’écrire sous la forme :

Ce n’est toujours pas notre formule la plus générale pour décrire le mouvement d’oscillation,même si on peut ajuster l’amplitude et la période. On doit aussi pouvoir ajuster le début dumouvement. On n’est pas obligé de commencer le mouvement d’oscillation à x = 0 comme ondoit avoir avec un sinus. On pourrait commencer le mouvement d’oscillation à la positionmaximum comme illustré sur ce graphique.

Ce graphique ne correspond pas au graphique d’un sinus. On doit pouvoir changer quelquechose dans le sinus pour arriver à représenter cette fonction. En fait, la forme de la fonctionn’a pas changé, le sinus n’est que déplacé le long de l’axe du temps. On a donc une translationde la fonction.

Sur ce graphique, on déplace notre fonction sinus de ∆t vers la gauche. En pointillé, on voitles axes du départ qui se sont déplacés avec la fonction. Avec les axes en pointillé, nousavons toujours notre graphique du sinus. L’équation est donc :

Avec les axes en lignes continues, nous avons notre sinus qui ne commence pas à zéro. Onpeut déterminer l’équation de ce sinus en trouvant les lois de transformation entre lescoordonnées x’ et t’ et les coordonnées x et t. Comme on n’a pas changé de hauteur parrapport aux axes horizontaux lors du déplacement, on n’a pas changé les valeurs de x :

Les points du graphique ne sont cependant pas à la même distance des axes verticaux puisquel’axe x’ est ∆t plus à gauche. On a donc :

Si on met ces transformations dans notre formule du sinus, on obtiendra l’équation de cegraphique en fonction des axes x et t.

ωet ∆t étant des constantes, on peut les renommer en utilisant une autre constante φ, appeléeconstante de phase.

La constante de phase est en rad.Notre équation la plus générale pour le mouvement d’oscillation harmonique est donc :

Notez que tout ce qu’il y a à l’intérieur du sinus porte le nom de phase (c’est un terme généralen mathématiques et qui ne s’applique pas uniquement aux oscillations harmoniques.)

La constante de phase déplace notre sinus vers la gauche. Par exemple, il est déplacé d’unquart de cycle vers la gauche si la constante de phase est π/2 (qui est un quart de 2π), il estdéplacé d’un demi-cycle si la constante est et est déplacé de trois quarts de cycle si laconstante est 3π /2. Inutile d’utiliser une constante de phase de 2π, puisqu’on décale alors d’uncycle au complet et on revient à notre sinus du départ.

Si la constante de phase est négative, le graphique du sinus est déplacé vers la droite. Certainsd’entre vous ont peut-être déjà remarqué qu’avec une constante de π/2, on obtient alors legraphique d’un cosinus. Cela veut dire qu’on peut également décrire les oscillationsharmoniques avec un cosinus. C’est très correct de le faire et certains livres sur les oscillationstravaillent toujours avec un cosinus. On peut passer facilement d’un à l’autre avec l’identitétrigonométrique suivante :

La constante de phase est toujours π/2 plus petite avec le cosinus qu’avec le sinus.Les identités suivantes peuvent être aussi utiles à l’occasion :

L’amplitude du mouvement n’est jamais négative. S’il y a un signe négatif devant la fonction,c’est une constante de phase de π déguisé comme l’indique la deuxième identité.

2.1.1 Vitesse et accélérationAvec la position en fonction du temps, on peut facilement trouver la vitesse et l’accélération del’objet en fonction du temps. La vitesse est :

On obtient ainsi :

Comme le cosinus peut prendre des valeurs entre -1 et 1, la plus grande valeur que peutprendre la vitesse est :

L’accélération est :

On obtient ainsi :

Comme le sinus peut prendre des valeurs entre -1 et 1, la plus grande valeur que peut prendrel’accélération est :

Voici les graphiques de la position, de la vitesse et de l’accélération :

On remarque que quand la position et l’accélération sont maximales (positive ou négative), lavitesse est nulle et que quand la vitesse est maximale (positive ou négative), la position etl’accélération sont nulles. L’objet atteint donc sa vitesse maximale quand il est à la positiond’équilibre.

Vous pouvez admirer ces graphiques en action dans le clip suivant :

http://www.youtube.com/watch?v=eeYRkW8V7VgMouvement harmonique simple

2.1.2 Lien entre la position et la vitesseOn trouve un lien très utile entre la position et la vitesse d’un objet en oscillation harmoniqueen utilisant une propriété entre les sinus et les cosinus.

En utilisant :

On a :

En multipliant par A2 on a :

2.1.3 Lien entre la position et l’accélérationComme la position et l’accélération sont :

on remarque facilement que :

Et donc que :

2.1.4 Condition pour avoir une oscillation harmoniqueCette dernière équation est aussi la condition suffisante pour obtenir une oscillationharmonique. Quand on analyse un système et qu’on détermine les forces agissant sur un objetdans le but de déterminer son accélération, on saura que le mouvement de l’objet sera uneoscillation harmonique si on obtient un résultat de la forme :

De plus, la valeur de la constante nous donne ω², ce qui nous permet de connaître la fréquenceet la période d’oscillation. Nous appliquerons plus tard cette idée pour déterminer si certainssystèmes font une oscillation harmonique.

Si on avait un signe positif, il n’y aurait pasd’oscillations. À droite de la position d’équilibre, laforce serait vers la droite et à gauche de la positiond’équilibre, la force serait vers la gauche. Ces forceséloignent l’objet de la position d’équilibre plutôt quede le ramener. L’objet ne reviendra donc jamais à saposition d’équilibre, il s’en éloignera de plus en plus.

2.1.5 Comment trouver A et φ si on connait x et v à un certain moment?On a vu que la constante de phase nous permet d’utiliser le sinus, peu importe commentcommence le mouvement d’oscillation. Reste à déterminer les valeurs de cette constante dephase et de l’amplitude selon les valeurs initiales de position et de vitesse. En fait, on va faireencore mieux, on pourra trouver A et φ si on sait x et v à n’importe quel moment dumouvement, pas uniquement à t = 0.

Pour trouver A, on peut utiliser notre formule faisant le lien entre x et v, car l’amplitude estprésente dans cette équation.

Pour la constante de phase, nous allons utiliser :

Pour faire le raisonnement suivant :

Ce qui nous donne :

Attention :- La valeur de φ est en radians. Mettez votre calculatrice en radians pour obtenir la bonne valeur- Si la valeur de v est négative, il faut ajouter π radians à la réponse obtenue avec lacalculatrice.- Si la vitesse est nulle, vous devez faire l’arctangente de infini ou de – infini selon le signe de x. Ne paniquez pas, les réponses de ces arctangentes sont π/2 et –π/2.

2.2 Le système masse-ressort

Pour déterminer si un système masse-ressort sur une surface sans friction fait des oscillations harmoniques simples, on doit trouver la formule reliant l’accélération à la position et voir si elle répond à la condition pour avoir une oscillation harmonique, qui est :

Il y a trois forces sur le bloc : le poids (vers le bas), la normale (vers le haut) et la force duressort (horizontale). Le poids et la normale s’annulent et il ne reste que la force du ressort. Sil’objet n’est pas à la position d’équilibre (force nulle exercée par le ressort), on a :

On obtient bien la forme voulue. Ainsi, on sait que :

Comme la valeur de la constante (ce qui est entre parenthèses) doit aussi être égale au carréde la fréquence angulaire, on a :

À partir de cette équation, on peut trouver la période d’oscillation d’un système masse-ressort.

Elle est de :

On remarque un élément très important et un peu surprenant : la période d’oscillation d’unsystème masse-ressort ne dépend pas de l’amplitude. Que le système fasse de toutes petitesoscillations ou de grandes oscillations, le temps est le même! La plus grande distance à faire estexactement compensée par des vitesses plus grandes. Cela est un peu particulier et ne seproduit que pour les oscillations harmoniques. Pour tous les autres types d’oscillations, lapériode va dépendre de l’amplitude. Ce peut être d’ailleurs une façon de déterminer si on aaffaire à une oscillation harmonique : on mesure la période d’oscillation et si on remarquequ’elle ne dépend pas de l’amplitude, notre système fait une oscillation harmonique.

C’est Galilée qui remarqua ceci en premier en examinant l’oscillation d’un chandelier suspendulors d’une messe en 1583. À mesure que l’amplitude diminuait à cause de la friction, ilremarqua que la période d’oscillation restait la même.

Est-ce qu’on a toujours des oscillations harmoniques si le système est Vertical ? Dansce cas, la force de gravité vient-elle détruire nos oscillations harmoniques ? On doitpremièrement trouver où est maintenant située la position d’équilibre. On a uneposition d’équilibre quand la somme des forces sur l’objet est nulle. Le ressort seradonc étiré de y0 pour compenser la force de gravité.

On va maintenant vérifier si on a des oscillations harmoniques autour de cette positiond’équilibre. Comme spécifié auparavant, on doit mettre notre y = 0 à la position d’équilibre. Sion descend le ressort un peu plus que la position d’équilibre, on a donc (avec un axe positifvers le bas) :

Or, comme mg = ky0 (formule de la position d’équilibre), il ne reste que :

Cela respecte encore la condition pour le mouvement harmonique et lafréquence angulaire est la même. La période d’oscillation d’un systèmemasse-ressort vertical est donc identique à celle d’un système horizontalsans friction.

2.3 L’énergie mécanique de l’oscillation harmonique

2.3.1 Formules de l’énergieL’énergie peut prendre deux formes. L’énergie cinétique (Ek) et l’énergie potentielle (U)associée à la force qui cause le mouvement d’oscillation. Par exemple, dans le systèmemasse-ressort, on a l’énergie cinétique et l’énergie du ressort. L’énergie mécanique est lasomme de ces deux formes d’énergie.

L’énergie cinétique est évidemment, en utilisant la formule de la vitesse en fonction dutemps,

On peut trouver l’énergie potentielle avec :

On peut choisir ce qu’on veut comme constante d’intégration. Le choix le plus simple est biensûr une constante nulle. On a donc, en utilisant cette fois-ci la formule de la position enfonction du temps, la formule suivante pour l’énergie potentielle :

Dans le cas du système masse-ressort, on peut utiliser la valeur de ω² = k/m pour obtenir :

On reconnait la formule de l’énergie d’un ressort obtenue dans le cours de mécanique.

2.3.2 Preuve de la conservation de l’énergie mécaniqueOn peut montrer que l’énergie est conservée en montrant que la valeur de l’énergie mécaniquene dépend pas du temps. Additionnons l’énergie mécanique et l’énergie potentielle pourtrouver l’énergie mécanique pour voir si elle change.

On voit que le résultat est une constante, ce qui signifie que l’énergie mécanique estconservée.

2.3.3 La valeur de l’énergie mécaniqueAvec cette preuve, nous avons également obtenu, comme par enchantement, une formulepour l’énergie mécanique.

Dans le cas du système masse-ressort, on peut utiliser ω² = k/m pour obtenir :

Dans les deux cas, on voit que l’énergie mécanique est égale à la valeur maximale de l’énergie potentielle, car la valeur maximale de x est A.

De plus, comme ωA est la vitesse maximale, on peut écrire :

On peut ainsi constater que l’énergie mécanique est aussi égale à la valeur maximale del’énergie cinétique. Vous pouvez admirer ici-bas les graphiques des énergies en fonction dutemps.

Supposons que ce soit un système masse-ressort. On voit très bien l’énergie qui passealternativement de l’énergie cinétique à l’énergie du ressort. Au départ ici, l’objet est à saposition maximale et sa vitesse est nulle. L’énergie mécanique est alors entièrement sousforme d’énergie du ressort puisque le ressort est étiré au maximum. À mesure que l’objet sedirige vers la position d’équilibre, l’énergie du ressort diminue et l’énergie cinétique augmentede telle sorte qu’à la position d’équilibre, toute l’énergie mécanique est sous forme d’énergiecinétique. Puis l’objet s’éloigne de sa position d’équilibre ce qui fait augmenter l’énergie duressort et diminuer l’énergie cinétique. Quand l’objet atteint sa plus grande distance de laposition d’équilibre, l’énergie cinétique est redevenue nulle et toute l’énergie cinétique estrevenue sous forme d’énergie du ressort. Puis tout se répète sans fin.

On peut voir dans cette vidéo comment l’énergie passe d’une forme à l’autre dans un système masse-ressort :

http://www.youtube.com/watch?v=PL5g_IwrC5U

Conservation de l‘énergie

http://www.walter-fendt.de/ph14e/springpendulum.htm

file:///C:/applets%20de%20physique/ph14f/springpendulum_f.htm

2.4 Le pendule

2.4.1 Preuve que le pendule est un mouvement harmonique (pour une petite amplitude)Il faut vérifier que le pendule respecte la condition pour avoir un mouvement harmonique.Cependant, le mouvement du pendule est plus un mouvement de rotation qu’un mouvementde translation. Sans en donner de preuve, cette condition pour le mouvement de rotation est :

dans laquelle la constante vaut toujours ω².

Examinons si le pendule respecte cette condition. On va en faitfaire un cas plus complexe qu’une simple masse au bout d’unecorde. On va faire le calcul pour un objet suspendu en oscillation.Il y a deux forces sur le pendule : la gravitation et la force exercéepar l’axe. Cette dernière force s’exerce sur l’axe de rotation et nefait donc pas de moment de force. Seule la force de gravitationfait un moment de force sur un pendule. (On met la directionpositive dans ce sens pour que le déplacement soit positif.) On adonc :

où d est la distance entre l’axe de rotation et le centre de masse de l’objet.

Si on isole l’accélération angulaire, on a :

Malheureusement, on n’obtient pas le résultat désiré à cause du sinus. On répondrait à lacondition si, à la place de sin θ, on avait simplement θ.

Cela signifie que le mouvement du pendule n’est pas un mouvement d’oscillation harmonique.C’est un mouvement d’oscillation, mais il n’est pas harmonique, il est décrit par une autrefonction plus complexe qu’une simple fonction trigonométrique (la solution exacte est fortcomplexe et fait appel à des fonctions elliptiques, que vous ne connaissez pas).

Mais tout n’est pas perdu, car si l’angle est petit (plus petit que 15° environ), on peut fairel’approximation suivante :

On obtient alors :

qui est la condition pour avoir une oscillation harmonique. Cela veut dire que pour desoscillations de faibles amplitudes, l’oscillation du pendule ressemble beaucoup à une oscillationharmonique. On obtient même la fréquence angulaire, car on doit avoir :

2.4.2 La fréquence angulaire d’un pendule simpleLe pendule simple est une masse ponctuelle au bout d’une corde de masse négligeable. Lecentre de masse du pendule est donc au centre de la masse ponctuelle et d est donc égal à lalongueur de la corde :

Comme toute la masse est concentrée dans la masse ponctuelle, le moment d’inertie est :

La fréquence angulaire est donc :

En simplifiant, on a :

La période du pendule est donc :

On remarque encore une fois que la période ne dépend pas de l’amplitude. C’est normal, c’estce qui se produit avec toutes les oscillations harmoniques. Ici, il y a une autre curiosité : lapériode ne dépend pas de la masse du pendule !

En y réfléchissant bien, ce n’est pas tellement surprenant puisque le mouvement est fait par laforce de gravité et que la chute gravitationnelle donne la même accélération à tous les objets.

On peut bien voir au début du clip suivant que la période est plus petite pour les pendulesavec des cordes plus petites. Les effets produits dans le reste du clip sont très jolis.

http://www.youtube.com/watch?v=yVkdfJ9PkRQ

Onde de pendules

2.4.3 Description du mouvement d’un pendule simpleSachant que le mouvement est une oscillationharmonique, on peut décrire la position à l’aide d’unefonction sinusoïdale. On a cependant deux possibilités icipour décrire cette position. On peut la faire avec laposition x (mesurée le long de l’arc de cercle) ou avecl’angle θ que fait le pendule avec la verticale.

On a donc :

On peut donner l’angle θen degrés ou en radians, c’est au choix. S’il est en degré, inutile demettre votre calculatrice en degré, car cet angle n’est pas à l’intérieur d’une fonctiontrigonométrique. En fait, vous devez la laisser en radians, car ω est toujours en radians parseconde, ce qui fait que ce qui est à l’intérieur de la fonction trigonométrique est toujours enradians.On peut d’ailleurs passer facilement de x à θ en se rappelant qu’un angle (en radians) est lalongueur de l’arc de cercle divisé par le rayon du cercle. On a donc ici :

Ce qui fait qu’avec les valeurs maximales de x (A) et θ(θmax), on obtient :

2.4.4 Énergie gravitationnelle du pendule simpleL’énergie potentielle est ici l’énergie gravitationnelle :

En utilisant la formule de ω pour le pendule, on peut aussi obtenir :

ou, en utilisant aussi x = θ(rad)L,

Ces formules peuvent sembler un peu bizarres puisqu’on avait vu que l’énergie gravitationnelle est mgy. On peut montrer qu’à partir de cette formule, on obtient effectivement nos formules de l’énergie gravitationnelle.

Il faut premièrement se rappeler le lien entre y et θ dans un pendule. Ce lien est :

Ici, les oscillations du pendule sont petites, ce qui nous permet d’utiliser la série de Taylor ducosinus :

On a alors :

En remplaçant dans mgy, on a :

qui est la formule obtenue précédemment.

2.5 Oscillations harmoniques, résumé

2.5.1 Grandeurs caractéristiques des oscillateurs harmoniques : période et fréquence

Certaines grandeurs sont communes à tous les phénomènes périodiques, comme la périodeet la fréquence.

Dans le cas des oscillations, la période T est le temps pour une oscillation. C’est la plus courtedurée après laquelle le phénomène oscillatoire se reproduit identique à lui-même. L’unité de lapériode est la seconde (s).

La fréquence f est le nombre de fois que le phénomène oscillatoire se reproduit par seconde.L’unité de la fréquence est le hertz (Hz).

La période et la fréquence sont reliées par :

2.5.2 Équation horaire

Considérons les oscillations d’un oscillateur harmonique. La variation d’une grandeur x dusystème est sinusoïdale.

Cette grandeur est par exemple :

la mesure algébrique de l’écart par rapport à la position d’équilibre, appelée élongation ; l’intensité du courant électrique dans le cas d’un oscillateur électrique.

La forme la plus générale de l’équation horaire de l’oscillateur harmonique est :

où les constantes a, b et c sont les paramètres de l’oscillation qui dépendent du systèmeconsidéré. Les constantes a et b sont choisies positives.

Remarque : on peut également remplacer le sinus par un cosinus !

La grandeur x prend des valeurs entre −a et +a ; la constante a est la valeur maximale de x,appelée amplitude xm. L’unité de l’amplitude est égale à celle de x.

La valeur de x à l’instant t = 0 est donnée par :

La constante c tient compte de la valeur initiale de la grandeur x et du sens initial de savariation ; elle est notée ϕ et appelée phase initiale.

Il reste à déterminer la constante b. Elle s’exprime en fonction de la période T de sorte que lacondition de périodicité pour la grandeur x soit vérifiée. Lorsque le temps t augmente d’unepériode T :

l’argument du sinus augmente de 2π de sorte que :

Cette condition est vérifiée à tout instant t si la constante b satisfait à la relation :

La constante b est notée ω et est appelée pulsation :

L’unité de la pulsation est le hertz (Hz).

L’équation horaire d’un oscillateur harmonique s’écrit finalement :

L’argument du sinus, est la phase de l’oscillation à l’instant t.

L’amplitude et la phase initiale sont déterminées par les conditions initiales, tandis que lapulsation dépend des caractéristiques de l’oscillateur.

3.1.1 Mouvement circulaire uniformePour commencer progressivement, nous allons ici décrire le simplemouvement de rotation à vitesse constante d'un objet autour d'unpoint fixe (mouvement circulaire uniforme).L'objet (une tige) représenté ci-contre est un pendule en rotationlibre autour de son point fixe. On suppose qu’il n’y a ni forcegravitationnelle, ni de force de frottement, de sorte que sa vitesse derotation soit constante. Sa position est repérée par l’angle θ que faitla tige avec l'axe x.

Comme la vitesse de rotation est constante, l'angle θ est une simple fonction linéaire dutemps, soit, θ =ω0 t , où le coefficient ω0 s'appelle la « pulsation » ou la « fréquence angulaire» du mouvement. Quand le temps s'écoule de t = 0 à 0 t = 2π/ω0, l'angle θ augmente de 2π ,c'est-à-dire qu'il fait un tour complet et que l'objet revient dans la position qu'il avait au tempst = 0. Le mouvement est dit périodique.

Bien sûr, pour tout temps multiple de 2π/ω0, l'objet revient à la même position. Ce tempscaractéristique de retour à la position initiale est appelé la période du mouvement et il estnoté T = 2π/ω0.

3 Introduction aux oscillateurs mécaniques (non nécessairementharmoniques)3.1 Mouvement circulaire uniforme et mouvement harmonique

Les coordonnées de la masse du pendule tournant sont donnéespar :

x = l cos θ et y = l sin θ ,

ce qui donne en fonction du temps :

x = l cos (ω0t) et y = l sin(ω0t).

La fonction x(t) est représentée en rouge sur le schéma ci-contre.

L'évolution de cette coordonnée reproduit ce que l'on appelle lemouvement harmonique.

file:///C:/applets%20de%20physique/ph14f/circmotion_f.htm

3.1.2 Mouvement harmonique

Il est possible d'imprimer à un objet le mouvementharmonique de la coordonnée x de l'extrémité du penduleen rotation.

Le dispositif qui permet cela est représenté ci-contre. Ils'agit de l’« attelage écossais ».

C’est une simple roue qui tourne à vitesse constante autourde son axe. Elle est munie d'un ergo qui entraîne une piècemécanique munie d'une glissière verticale de façon à netransmettre que le mouvement de la coordonnéehorizontale de l’ergot :

x = l cos(ω0t).

La pièce métallique effectue donc un mouvementharmonique de translation horizontale.

Un attelage écossais pour produire des oscillations sinusoïdales verticales.

La vitesse du mouvement harmonique est donnée par la dérivée temporelle de la position x =l cos(ω0t) , ce qui donne :

(notez que la dérivée temporelle est indiquée par un point sur la fonction qui est dérivée).

De même l'accélération du mouvement harmonique est donné par la dérivée de la vitessesoit :

On constate ainsi que l'accélération du mouvement harmonique est en tout tempsproportionnelle à la position x(t), en effet, on peut écrire l’accélération comme suit :

Cette relation entre la position et l'accélération est propre au mouvement harmonique.

Elle est illustrée sur le schéma ci-dessus où l’on voit les courbes de la position, de la vitesse etde l’accélération.

En raison de la relation de proportionnalité entre laposition et l'accélération qui le caractérise, le mouvementharmonique peut être obtenu de façon beaucoup plusnaturelle qu'avec l'attelage écossais représenté ci-contre.

En effet, puisque, d’une part, l'accélération multipliée parla masse m de la pièce mécanique donne la force :

qui est exercée sur cette pièce, et que, d’autre part,l’accélération est proportionnelle à la position x, on voit quela force exercée sur la pièce est une simple fonction linéairede la position x de la pièce, soit :

On peut simplifier cette écriture en posant ce qui donne

3.2 Mouvement harmonique naturel : l'oscillateur harmonique

http://www.suu.edu/faculty/penny/Phsc2210/Physlets/PhysletsForWeb/Semester1/c18_SHM_graphs.html

Il s'agit donc d'une force proportionnelle à la distance quisépare la masse de sa position centrale x = 0.

Son signe négatif indique qu'elle est de type attractive,c'est-à-dire que le vecteur force f est dirigé vers les xnégatifs quand x est positif et est dirigé vers les x positifsquand x est négatif (voir graphe ci-contre). C'est ce quel'on appelle une force de « rappel élastique » l’idée étantque la force « rappelle » la masse à sa position centrale(notez que la position centrale est la position de repos carla force y est nulle).

Le terme « élastique » provient du fait que cette forceexercée par la roue dans l'attelage écossais peut êtreobtenue naturellement par la déformation élastique d'unobjet.

Ceci est illustré avec le dispositif représenté ci-contre.

Ce dispositif est simple, il s'agit d'un ressort au bout duquel est fixéune masse m.

L'expérience (et la théorie de la physique de l'état solide) montre quela force exercée par un ressort lorsqu'on modifie sa longueur (encompression ou en élongation) est une force de rappel élastique :

f = −κ.x

où κ est une constante appelée constante de rappel et où xreprésente la position de l'extrémité du ressort par rapport à saposition de repos.

Notez que ceci n’est vrai que si l'autre extrémité du ressort est fixée, voir schéma ci-dessus.

De même cette loi de « force de rappel élastique » n'est valable que si la modification delongueur du ressort est beaucoup plus petite que la longueur du ressort lui-même.

Le mouvement de la masse m fixée à l'extrémité du ressort peut s'étudier facilement à partirde la seconde loi de Newton :(notez que ceci ne peut se faire que si on néglige la masse du ressort lui-même car celui-ci estaussi en mouvement et sa masse devrait donc être prise en compte dans la loi de Newton).On voit que l'accélération est égale à qui, en posant conduit à la relation:

Cette relation nous montre que la loi du mouvement de la masse m est identique à celle d’unattelage écossais qui tournerait avec une vitesse angulaire ω0, ce qui était bien sûr attendupuisque nous avons reproduit la force de l’attelage écossais avec le ressort.

On peut donc dire que l'évolution de la position dela masse m fixée à l'extrémité du ressort est lamême que celle de l'attelage écossais, c'est-à-dire,x=x0 cos(ω0 t) .

On peut vérifier facilement que ce mouvement périodique harmonique est solution del'équation du mouvement de Newton. En effet, en dérivant x deux fois par rapport au temps,on trouve :

3.2.1 Équation de l'oscillateur harmoniqueL'équation du mouvement de Newton correspondant à une force de rappel élastique serencontre dans un grand nombre de situations physiques dépassant largement le cadre de lamécanique considéré ci-dessus.

C'est pourquoi on considère cette équation comme une équation « générique » à caractèretransdisciplinaire. Les systèmes qui répondent à cette équation sont, bien sûr, des systèmesoscillants et puisque leur évolution est donnée par une fonction harmonique du temps, on lesappelle « oscillateurs harmoniques » et l'équation du mouvement correspondante (rappeléeci-dessous) s'appelle l'équation de l'oscillateur harmonique.

3.2.2 Solution généraleLa solution générale de cette équation peut s'écrire : x(t) = acos (ω0 t +ϕ) où a est l'amplitudedu mouvement, ω0 sa pulsation et ϕ son « déphasage ». Le terme déphasage provient du faitque l’argument du cosinus s’appelle la « phase » du mouvement harmonique. La pulsation ω0

correspond à une période T = 2π/ω0 et un déphasage ϕ correspond à décalage temporel de δt=ϕ/ω0 par rapport à la solution à déphasage nul. Ceci se comprend facilement si on réécrit lasolution en mettant ω0 en évidence x=a cos[ω0 (t+ϕ/ω0 )].

Cette expression de la solution générale de l'équation del'oscillateur harmonique est illustrée sur le schéma ci-contre.

L'amplitude et le déphasage constituent les deux constantesd'intégration de l'équation du mouvement (comme il s'agitd'une équation du deuxième degré, il y a bien deuxconstantes) ; elles sont déterminées par les conditionsinitiales du mouvement (la position et la vitesse initiales fixenta et ϕ ).

Par exemple, si ϕ est nulle, le mouvement commence en t = 0 avec une amplitude a et unevitesse nulle (la vitesse étant donnée par la dérivée temporelle de x(t) on voit effectivementque si ϕ = 0 la vitesse est nulle, car la pente du cosinus à l'origine est nulle).

Par contre, si le déphasage ϕ est non nul, la position initiale x(0) =acos(ϕ) (voir schéma ci-dessus) et la dérivée temporelle de x(t) en t = 0 est :

ce qui montre que le mouvement a une vitesse initiale non nulle.

3.2.3 Potentiel harmoniqueIl est intéressant d'analyser le mouvement de l'oscillateur harmonique en termes d’énergiecinétique et potentielle. Pour trouver l’énergie potentielle de l’oscillateur, calculons le travailqui est nécessaire pour déplacer l'extrémité libre du ressort d'une distance x à partir de laposition de repos x = 0 .

Pour déplacer l'extrémité, il faut y appliquer une force fa opposée à la force de rappel, c’est-à-dire fa= −f = κ.x. Le travail nécessaire est donné par l'intégrale de circulation de cette force de 0à x, ce qui donne :

Cette énergie fournie est emmagasinée dans le ressort sous forme de contraintes au sein dumatériau qui le constitue. A tout moment l'énergie emmagasinée peut être libérée enannulant la force appliquée. Dans ce cas, la masse m fixée à l'extrémité du ressort prendprogressivement de la vitesse et gagne de l'énergie cinétique. La réserve d'énergieemmagasinée dans le ressort a donc la nature d'une énergie potentielle pour la masse m, aumême titre que l'énergie potentielle gravitationnelle.

Si on appelle Ep l'énergie potentielle de la masse fixée au ressort dans la position x, on peutécrire :

L'énergie potentielle de l'oscillateur harmonique est donc une fonction parabolique de laposition x.

Bien entendu, puisque la fonction « énergie potentielle » Ep(x) est l'opposé de la primitive dela fonction « force » f (x) , la fonction f (x) est aussi l'opposé de la dérivée de la fonction Ep(x).

La fonction Ep « énergie potentielle » s’appelle le « potentiel » del'oscillateur harmonique. On dit également plus simplement le« potentiel harmonique ». Il est représenté graphiquement ci-contre àl’aide de la courbe rouge.

On peut étudier le mouvement de l'oscillateur harmonique enappliquant le principe de conservation de l'énergie. Supposons quel'on éloigne la masse m de sa position de repos jusqu'à une positionx=x0 et qu'une fois arrivé en ce point on lâche la masse au temps t = 0avec une vitesse nulle. Au point x0 l'énergie potentielle, égale à :

représente l'énergie totale vu qu’elle n’a pas d'énergie cinétique puisque sa vitesse est encorenulle. En vertu du principe de conservation de l'énergie, la masse conserve cette énergietotale en tout temps.

Puisqu'on a une force de rappel, la masse accélère vers les x négatifs à partir du temps t = 0 .Elle acquiert donc une énergie cinétique EC dont la valeur sera donnée en tout point x par ladifférence entre l'énergie totale et l'énergie potentielle, soit :

On voit ainsi, en particulier, que la vitesse est maximale en x = 0, c’est-à-dire, à la position derepos de l'oscillateur.

On peut dire que le mouvement harmonique est caractérisé par un échange périodique etprogressif entre les deux formes d'énergie de la masse m : son énergie potentielle et sonénergie cinétique.

Avec cette approche énergétique du mouvement, une simple inspection du potentiel danslequel la masse est plongée permet de comprendre son mouvement. Ici en l’occurrence, lemouvement périodique est dû à un échange incessant énergies potentielle et cinétiqueinhérent à la courbure partout positive du potentiel.

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/oscillateur_horizontal.html

Oscillateur harmonique

Pour le comprendre, analysons la force que subitla masse fixée au bout du fil (ou de la tige, dansle cas d'un pendule rigide d'horloge parexemple). Cette force résulte de la somme de laforce gravitationnelle et de la force de tension dufil. La force de tension du fil équilibre exactementla composante de la force gravitationnelle qui estparallèle au fil.

3.2.4 Le pendule simple

Le pendule, dans la limite des petits mouvements, constitue un autre exemple d'OHmécanique.

L'autre composante de la force gravitationnelle est parallèle à la trajectoire de la masse etc'est elle qui est responsable du mouvement oscillant du pendule. C'est donc cettecomposante de force parallèle qu'il faut considérer pour obtenir l'équation du mouvement àpartir de la loi de Newton. Il est facile de voir sur le schéma de droite ci-dessus que lacomposant de la force gravitationnelle qui est parallèle à la trajectoire est donnée par :

f = − mg sinθ

où θ est l'angle que fait le pendule avec la verticale.

Si on considère seulement les petits angles, on peut approcher le sinus par son argument (cequi revient à approcher le sinus par son développement de Mac Laurin dont on néglige lestermes de puissance supérieure à 1).

On peut donc dire que la force vaut en première approximation f = − mgθ . Pour repérer laposition de la masse du pendule, on choisit la distance le long de la trajectoire à partir de laposition de repos θ = 0 (voir schéma de gauche ci-dessus). Si on appelle x cette distance onpeut écrire x = l.θ où l est la longueur du pendule. En remplaçant θ par x/ l dans l'expression dela force, on obtient f = − m g x / l , ce qui constitue une force de rappel élastiquecaractéristique de l'OH. On peut donc en conclure que, dans la limite des petits angles, lependule constitue un OH.

L’expression de la force nous permet de retrouver ci-dessous les paramètres standards del'OH, en l'occurrence, la constante de rappel κ et la pulsation ω0.

On constate en particulier que la pulsation propre du pendule est indépendante de la massedu pendule.

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/periode_pendule.html

Période du pendule pesant

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/pend_pesant1.html

Pendule pesant

3.2.5 Les molécules

Les molécules constituent également des exemples d'OH. Pour comprendre cela il fautconsidérer la structure des molécules. Le schéma ci-dessous montre une moléculed'hydrogène. Elle est constituée de deux atomes d'hydrogène qui mettent en commun leurélectron. S'ils étaient seuls les deux protons se repousseraient en vertu de la loi de Coulomb.Si on considère le mouvement d'un proton (celui de droite) en supposant que l'autre est fixédans l'espace (c'est une vue de l'esprit) celui-ci est régi par le potentiel Coulombien répulsifreprésenté par la ligne bleue sur le graphe ci-dessous). Pour des raisons qui relèvent de lamécanique quantique, les électrons qui tournent autour des deux protons créent une sorte depotentiel attractif qui vient se rajouter au potentiel Coulombien répulsif (ce potentiel attractifest représenté en rouge sur le graphique). La somme des deux potentiels est un potentiel Ep(x)en forme de U présentant un minimum à une certaine distance x0. Ce minimum de potentielcorrespond à la position de repos des protons, en d'autres termes, x0 détermine la taille de lamolécule. Ceci est une vue fortement simplifiée de la notion de liaison chimique mais elle al'avantage de donner une image simple des liaisons chimiques responsables de la formationdes molécules.

Lorsque les molécules subissent des chocs entre elles (agitation thermique), la distanceentre protons est modifiée et x ne vaut donc plus x0. Lorsque x s'écarte de x0, le potentielEp(x) a une pente non nulle correspondant à une force de rappel vers x0 et un mouvementd'oscillation comparable à celui de l'OH commence.

Pour voir que la molécule constitue un véritable OH, considérons le potentiel en U Ep(x) etdéveloppons le en série de Taylor autour du point de repos. Dans ce développement, le terme(x−x0) représente l'élongation de la molécule. Si on suppose que l'élongation est très petitepar rapport à la taille de la molécule, on peut négliger les puissances de (x−x0) supérieures à2 dans ce développement.

On peut faire le changement de variable x′ =x−x0, c'est-à-dire que l'on décrit le mouvement duproton de droite à partir de sa position d'équilibre x′ = 0. On voit alors que l'on obtient lepotentiel parabolique caractéristique de l'OH.

La force de rappel qui lie les protons entre eux est donnée par l’opposé de la dérivée dupotentiel Ep(x) . On retrouve bien sûr une force de rappel élastique dont le coefficient κ estdonné par la dérivée seconde de la fonction potentiel à la position de repos x′ = 0 , soitEn conclusion, les molécules diatomiques constituent des OH et sont donc sujettes à desoscillations.

3.3 Un oscillateur non harmonique

Un ressort de raideur k est fixé en un point P d'un axe vertical. Son autre extrémité est reliée àune masse m susceptible de glisser sans frottement sur un axe horizontal.

Le système possède un seul degré de liberté, la variable de position étant l'élongation x de lamasse m.

Il est possible de faire varier la hauteur du point P ou la position initiale de m. Un cercle roseindique la position de P telle que le ressort ne soit pas tendu lorsque la masse est au centre.Lorsque P est au centre du dispositif, on suppose qu'il ne gêne pas le mouvement de m.

Un bouton permet d'effacer les graphes, un second bouton permet de réinitialiser lespositions de P et m.

3 graphes permettent d'observer :

la position x en fonction du temps la vitesse v en fonction de la position (portrait de phase) les différentes formes d'énergie en fonction de la position

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/ressort_bifur.html

Oscillateur anharmonique et bifurcation

Observer et interpréter les différents graphes. Comparer avec l'oscillateur harmonique

1.Les oscillations ne sont pas sinusoïdales.2.Le portrait de phase n'est pas elliptique : il peut se déformer en une sorte de 8 couché, etmême se décomposer en deux lobes : c'est la « bifurcation ».3.Le profil d'énergie potentielle n'est pas parabolique, et peut même présenter un maximum(équilibre instable). Lorsque P est au centre du dispositif, le profil d'énergie potentielle estformé de deux « cuvettes » paraboliques : on retrouve à droite ou à gauche le cas del'oscillateur harmonique.

Sans intervention de l‘opérateur, l'énergie mécanique se conserve. Comment faut-il faire pouraugmenter ou diminuer cette énergie ?

3.4 L'oscillateur linéaire amortiJusqu'à présent, nous avons considéré des systèmes oscillants qui ne présentent pasd'amortissement, c'est-à-dire, des systèmes qui ne présentent pas de mécanisme dedissipation d'énergie.

Les termes « dissipation d'énergie » signifient que la somme de l'énergie cinétique et del'énergie potentielle de l'oscillateur n'est pas conservée en raison d'un transfert de cesénergies vers une troisième forme d'énergie qui n'entre pas dans le mécanisme d'oscillation.

En pratique tous les dispositifs que nous avons vus ci-dessus présentent des pertesd'énergie. Par exemple, le pendule mécanique présente toujours un peu de frottement auniveau de son axe ou au niveau des frottements dans le milieu dans lequel la masse sedéplace. Ces mécanismes de dissipation d'énergie provoquent une diminution de l'énergiede l'oscillation et l'oscillateur tend naturellement vers son état de repos, c'est le phénomèned'amortissement.

Il est, bien entendu, important dans la pratique de tenir compte de la dissipation dans ladescription des phénomènes oscillatoires. Les mécanismes de dissipation d'énergie sontdivers et leur description mathématique peut être parfois très ardue. Puisque nous allonssurtout nous attacher aux aspects qualitatifs de l'amortissement, nous allons considérer unseul modèle de mécanisme de dissipation énergétique. Il s’agit d’un modèle à la fois simple etreprésentatif d'un grand nombre de situations physiques. Ceci nous permettra de limiter lesdéveloppements mathématiques au strict nécessaire.

3.4.1 Equation de l’oscillateur linéaire amortiLe modèle mathématique d’amortissement que nous considérons est utilisé par exemplepour décrire l'oscillateur mécanique lorsque sa masse se déplace dans un milieu visqueux telque l'air ou l'eau. L'expérience montre que la viscosité du milieu provoque une forceproportionnelle à la vitesse de déplacement de la masse et, bien sûr, dirigée dans le sensopposé à cette vitesse, soit,

C'est la force de frottement visqueux. Ce mécanisme de dissipation d'énergie est représenté ci-dessous avec l'exemple de l'oscillateur mécanique dont la masse subit un frottement sur sonsupport (en réalité dans ce cas le modèle du frottement visqueux n'est valable que si lasurface du support est enduite d'un fluide visqueux, si ce n'est pas le cas, on a affaire à uneforce de frottement « sec » dont le module est indépendant de la vitesse).

Dans cette situation, l'énergie de l'oscillation est transformée en énergie thermique.

A titre d'exemple, le modèle mathématique du frottement visqueux s'appliquetrès bien à la description des amortisseurs de voiture dont le schéma deprincipe est représenté ci-contre.

En introduisant la forme mathématique de la vitesse la force de frottement visqueuxs'écrit :En ajoutant cette force à la force de rappel du ressort on obtient la force totaleexercée sur la masse de l'oscillateur, son module vaut :

L'équation du mouvement de l'oscillateur est obtenue en introduisant cette expression de laforce dans la seconde loi de Newton.

En introduisant la pulsation propre de l'oscillateur :et le coefficient d'amortissement :on obtient ce que l'on appelle l'équation de l'oscillateur linéaire amorti (OLA). Cette équationest, au même titre que l'équation de l'OH, une équation « générique » qui s'applique à unemultitude de situations physiques.

3.4.2 Solution généraleLa solution générale de cette équation n'est pas simple à établir et requiert desdéveloppements relevant du cours d'analyse. Nous donnons en annexe un outilmathématique appelé « phaseur » qui permet de résoudre cette équation relativementfacilement mais qui repose sur l’utilisation des nombres complexes. Contentons-nous ici dedonner cette solution sans la démontrer. Limitons-nous de plus, dans un premier temps, aucas d'un « amortissement faible ». L'amortissement est dit « faible » quand le coefficientd'amortissement α est plus petit que la pulsation propre de l'oscillateur ω0.

Dans cette situation, la solution générale de l'équation de l'OLA est une fonction harmoniquemultipliée par une exponentielle décroissante du temps de coefficient α .

Remarquez que la pulsation ωa du mouvement de l'OLA n'est pas égale à la pulsation proprede l'oscillateur ω0. Elle est donnée par la relation ci-dessus à droite qui montre qu'elle esttoujours plus faible que ω0.

Le mouvement de l'OLA est représenté sur le graphique ci-dessous.

On définit la pseudo-période Ta du mouvement comme étant deux fois le temps qui séparedeux zéros consécutifs de la position x(t).

Ce temps est bien sûr fixé par la pulsation ωa au travers de la relation, quimontre qu’il est toujours supérieur à la période de l'OH que l'on obtiendrait si on annulait lefrottement visqueux.

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/ressort.html

Oscillateur amorti

4 Les oscillateurs mécaniques, présentation générale

On rencontre trois composants principaux dans les oscillateurs mécaniques :

un élément amortisseur, un élément de masse, un élément élastique.

Si on applique une force F(t) à un élément, on observe une variation de la position x(t) (undéplacement) de celui-ci. La variation de position de l’élément par rapport au temps définitune vitesse de déplacement v(t)=dx/dt.

Détaillons, pour chaque composant de l’oscillateur mécanique la relation entre la cause etl’effet.

La force mécanique est la CAUSE de la variation, la vitesse de la masse est l’EFFET.

4.1 élément amortisseur (ou résistant)

Un élément amortisseur est un composant mécanique qui présente un frottement fluide (d’unsolide dans un fluide, par opposition au frottement solide/solide), comme par exemple unpiston se déplaçant dans un cylindre d’huile ou une masse en mouvement dans l’air.

Nous le symboliserons par l’élément :

Pour un amortisseur, la relation entre cause et effet est donnée par la loi du frottement fluide :

« la force de frottement créée par le déplacement du système est proportionnelle à la vitessede déplacement »:

Le facteur de proportionnalité (f) est appelé résistance mécanique ou coefficient de frottementfluide.

Il se mesure en ohm mécanique (Ω ou N.s.m-1).

.

( ) . ( ) ( )f

dxF t f v t f f x t

dt= = =

Si la vitesse de déplacement de l’oscillateur est une fonction sinusoïdale (v=vmax.sinωt), laforce de frottement sera aussi une fonction sinusoïdale (Ff=f.vmax.sinωt = Fmax.sinωt) en phaseavec la vitesse.

Un amortisseur est un élément de dissipation d’énergie mécanique. À cause du frottement, ily a une perte d’énergie mécanique sous forme de chaleur. La puissance moyenne dégagée enchaleur vaut :

(où l’on a utilisé la valeur efficace de la vitesse).

2

.P f v=

Résumé :

La force d’amortissement est proportionnelle à la vitesse du déplacement et est donc enphase avec la vitesse ; cette force dissipe l’énergie mécanique du système.

Un élément de masse est une quantité de matière, présentant une certaine inertie vis-à-visdu mouvement.


Lors du mouvement, la relation de cause à effet est donnée par le principe fondamental dela dynamique :

« la force appliquée à une masse inertielle en mouvement est proportionnelle à sonaccélération » :

4.2 élément de masse

. ..

( ) ( ) ( )i

dvF t ma m mv t m x t

dt= = = =

Le facteur de proportionnalité (m) est appelé masse inerte ou inertance de l’élément et semesure en kilogramme (kg).

Si la vitesse de déplacement de l’oscillateur est une fonction sinusoïdale (v=vmax.sinωt), laforce d’inertie sera aussi une fonction sinusoïdale, mais en avance de π/2 sur la vitesse(Fi=m.ω.vmax.cosωt = Fmax.cosωt = Fmax.sin[ωt+ π/2]).

La masse est un élément d’accumulation de l’énergie mécanique sous forme réactive. Ellerestitue entièrement l’énergie mécanique qui a été emmagasinée en la mettant enmouvement. La masse est donc un facteur d’inertie, qui s’oppose aux changements deposition.

L’énergie mécanique instantanée accumulée dans une masse en mouvement est sous formecinétique et vaut : 2

2m

mvW =

Résumé :

La force d’inertie est proportionnelle à l’accélération du déplacement et est donc en avancede 90° sur la vitesse ; cette force ne dissipe pas l’énergie mécanique du système mais lastocke sous forme cinétique.

4.3 élément élastique

Un composant élastique est un matériau présentant une certaine capacité de déformation(ressort, caoutchouc, mousse, etc.).


Si on écarte un ressort de sa position d’équilibre, la relation entre la cause et l’effet dumouvement est donnée par la loi de Hooke :

« le ressort est ramené vers sa position d’équilibre par une force proportionnelle à l’élongationx appelée force de rappel » :

. ( )kF k x t=Le facteur de proportionnalité (k, en N/m) est appelé raideur, mais on utilise souvent soninverse 1/k=Cm qui est alors appelé élasticité ou encore compliance mécanique. Lacompliance se mesure en mètre par Newton (m.N-1).

Si la vitesse du déplacement est une fonction sinusoïdale, la force de rappel sera aussi unefonction sinusoïdale mais en retard de π/2 sur la vitesse.

En effet :

Un composant élastique est un élément d’accumulation d’énergie mécanique sous formeréactive. Lors de sa détente, l’élément libère entièrement l’énergie potentielle d’élasticitéqu’on y a emmagasiné en le tendant ou le comprimant.

L’énergie potentielle d’élasticité instantanée accumulée dans un élément élastique vaut :2 2

2 2k

m

kx xW

C= =

( ) ( )

max

maxmax

( ) sin

cos sin / 2

kF kx k v t dt kv tdt

kvt F t

ω

ω ω πω

= = =

= − = −

∫ ∫

Résumé :

La force de rappel d’un élément élastique est proportionnelle au déplacement et est donc enretard de 90° sur la vitesse ; cette force ne dissipe pas l’énergie mécanique du système maisla stocke sous forme potentielle.

5 Système non dispersif : mouvement oscillatoire harmonique (MOH)Un oscillateur idéal ne présente pas de frottement. On parle de système conservatif (ou nondispersif) car son énergie mécanique est conservée.

L’équation du mouvement de la masse est donnéepar le principe fondamental de la dynamique :

c’est-à-dire ici :

.F m a=∑2

2

d xm kx

dt= −

C’est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constantsdont l’inconnue est l’élongation x(t).

Sa solution générale est de la forme :

( )0( ) cosmx t x tω ϕ= +

avec :

et donc :

0

1

.m

k

m m Cω = =

00

1 1 1

2 2 2m

kf

m mC

ωπ π π

= = =

En conclusion, un oscillateur harmonique, mis enmouvement par une impulsion unique, vibrenaturellement, sinusoïdalement, avec unefréquence qui lui est propre et qui ne dépend quedes caractéristiques de masse et d’élasticité dusystème.

La fréquence du mouvement est indépendante de lafaçon dont il a été initié. Elle vaut :

00

1 1 1

2 2 2m

kf

m mC

ωπ π π

= = =

Une masse oscillant librement à l’extrémité d’un ressort ou un pendule simple sont dessystèmes proche de cette situation idéale.

Illustration : le pendule simple idéal, un oscillateur harmonique

6 Systèmes dispersifs : oscillations amortiesLe mouvement oscillatoire harmonique n’existe pas dans la réalité : tout système mécaniqueréel présentant un frottement, une partie de l’énergie mécanique est dissipée en chaleur, et lesoscillations du système sont amorties.

L’équation du mouvement de la masse est donnée par leprincipe fondamental de la dynamique :


ou encore :

.F m a=∑2

2

d x dxm kx f

dt dt= − −

2

20

d x dxm f kx

dt dt+ + =

C’est à nouveau une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficientsconstants, mais elle est complète dans ce cas. L’inconnue est toujours l’élongation x(t).

Sans discuter la résolution de cette équation, on peut noter qu’il existe trois types de solutions,selon le signe du discriminant de l’équation caractéristique de l’équation différentielle :

2 4f km∆ = −

6.1 Amortissement sous-critique 24 0f km− <

Ce cas correspond aux valeurs faibles du frottement. Le mouvement n’est pas périodique, (onne repasse jamais par les mêmes points avec la même vitesse) mais il présente encore uncaractère oscillant autour de la position d’équilibre. L’amplitude des oscillations est toutefoisdécroissante, elle est pondérée au fil du temps par un facteur exponentiel décroissantdépendant du frottement f.

On appelle pseudo-période le temps nécessaire pour que le système parcoure un cycle. Elleest plus longue que la période propre de l’oscillateur non amorti.

Ce type de mouvement oscillant correspond à celui des portes de saloon d’un western oud’un amortisseur de voiture usagé.

Illustration : le pendule simple réel, un oscillateur amorti en régime sous-critique

6.2 Amortissement sur-critique 24 0f km− >

Dans le cas d’un frottement fort, le mouvement ne présente plus de caractère oscillant. Lesystème revient lentement (d’autant plus lentement que le frottement est fort) à saposition d’équilibre sans effectuer autour de celle-ci des oscillations. Le mouvement estdonc apériodique.

Ce type de mouvement est illustré par les systèmes de fermeture automatique des portes.

6.3 Amortissement critique 24 0f km− =

C’est le cas intermédiaire entre les deux cas précédents ; pour cette valeur particulière dufrottement, le retour à l’équilibre est le plus rapide possible. Le système ne présente pasnon plus d’oscillations, mais revient très rapidement à sa position d’équilibre.

De nombreux instruments de mesure (balances, galvanomètres, etc.) sont configuréspour avoir un amortissement critique. On utilise aussi ce type d’amortissement enélectroacoustique (microphones, haut-parleur, etc.).

Comme mentionné plus haut, les oscillateurs présentent, pour la plupart, un processusd'amortissement et, en conséquence, pour maintenir leur oscillation il faut en pratique unesource d'énergie extérieure.

7 Systèmes dispersifs : oscillations forcées, notion d’impédancemécanique et phénomène de résonance

On peut illustrer ceci à l'aide de plusieurs exemples. Leballon qui rebondit sur le sol peut être vu comme unoscillateur. En raison des frottements dans l'air et sur lesol, la hauteur des rebonds diminuent avec le temps. Pourmaintenir l'oscillation, il faut exercer une force périodiquerégulière de fréquence identique à celle de l'oscillationnaturelle du ballon. C'est ce que réalise le joueur debasketball. Il en est de même pour le pendule de l'horlogequi, en raison des frottements de son axe et desfrottements dans l'air, verrait l'amplitude de sonmouvement diminuer s’il n'était pas poussé de façonpériodique par une force extérieure.

La balançoire constitue un exemple bien connu etlargement expérimenté d'oscillateur amorti et forcé. Dansce cas, c'est le mouvement du corps qui provoque la forcepériodique qui permet d'entretenir l'oscillation.

Tous ces dispositifs constituent ce que l'on appelle des oscillateurs linéaires amortis et forcés.Pour étudier la physique de l'OLA forcé ou OLAF, nous allons considérer un problèmed'oscillateur mécanique de type masse-ressort sur lequel s'applique une force extérieureharmonique F.cos (ωt) ; ce modèle de force est loin de s'appliquer au problème du ballon debasket ou du pendule mais il est tout à fait valable pour l'exemple de la balançoire.

Si l’on soumet un oscillateur non plus à une impulsion unique, mais à une action extérieurepériodique qui le force à osciller, on constate que cet oscillateur ne vibre plus avec safréquence propre mais, après une courte période transitoire, il oscille avec la fréquence del’action externe.

Ce régime d’oscillations forcées se retrouve notamment dans les microphones, les haut-parleurs, et le tympan.

L’équation du mouvement de la masse est donnée par le principe fondamental de ladynamique :


ou encore :

.F m a=∑2

2cos( )

d x dxm x F t

dt dtκ λ ω= − − +

2

2cos( ) ( )

d x dxm x F t F t

dt dtλ κ ω+ + = =

Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre à coefficients constants, complète avecsecond membre (équation inhomogène).

Cette équation est relativement complexe et le calcul de sa solution générale demande delongs développements. Nous ne nous y intéresserons pas ici.

De plus, un théorème général sur les équations différentielles affirme que la solution généralede cette équation est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre(c’est-à-dire la solution générale de l’oscillateur amorti) et d’une solution particulière del’équation avec second membre.

Comme la solution générale de l’équation sans second membre s’amortit, au bout d’uncertain temps, la solution générale de l’équation avec second membre se ramène à la solutionparticulière. Comment construire une solution particulière ?

Nous considérons seulement les solutions de type périodique représentant un mouvementharmonique (c'est-à-dire de pulsation et d'amplitude constante). Bien entendu c’est la forceextérieure qui impose sa pulsation ω au système. On doit donc rechercher des solutionsharmoniques de pulsation ω de la forme générale donnée ci-dessous :

Pour calculer l'amplitude x0 et le déphasage ϕ, il faut substituer cette forme de la solutiondans l'équation du mouvement. On effectue les dérivées et on essaye ensuite de calculer lesvaleurs de x0 et ϕ qui satisfont l’équation trigonométrique résultante.

On se rend vite compte en essayant cette substitution que le calcul est d'une grande lourdeur,en particulier, en raison du caractère non homogène de l’équation et du grand nombre deparamètres qui y apparaissent. On sait effectivement que x0 et ϕ seront tous deux fonctionsdes paramètres apparaissant dans les trois termes du membre de droite de l’équation, soit :

Pour éviter cette lourdeur calculatoire, nous allons utiliser un outil mathématique d'une trèsgrande importance dans l'étude des systèmes oscillants et plus généralement des systèmespériodiques. Il s’agit du concept de phaseur construit sur le formalisme des nombrescomplexes.

Une solution particulière peut être trouvée par la méthode des vecteurs tournants deFresnel :

on essaie de trouver une solution particulière sous la forme d’une solution oscillanteharmonique :

où x0 et v0= x0.ω sont définis positifs.

chaque terme de l’équation de la dynamique est alors une fonction oscillanteharmonique de même pulsation.

on associe à chaque force un vecteur tournant de Fresnel.

la force excitatrice externe est la somme vectorielle des forces d’inertie, d’amortissement,et de rappel.

par rapport à la vitesse qui sert de vecteur de référence, la force d’inertie est en avancede π/2, la force d’amortissement est en phase, et la force de rappel est en retard de π/2.

la force excitatrice est déphasée d’une quantité ε par rapport à la vitesse.

le déphasage entre la cause (la force externe périodique) et l’effet (la vitesse del’oscillation forcée) est donc donné par ϕ.

( ) ( ) ( )0 0 0cos , sin sinx x t v x t v tω ϕ ω ω ϕ ω ϕ= + = − + = − +

On définit l’impédance mécanique Zm del’oscillateur forcé par :

0

cause

effetm

FZ

v= =

( )22 2

22 2 2 2 2

02

1m

m

mZ m m

C m

κ λλ ω λ ω ω ω ωω ω ω

= + − = + − = + −

2 2

0

1

tan m

mC m

ωω ω ωε

λ λ ω

−−

= =

A l’aide du diagramme vectoriel, on trouve pour l’impédance :

et pour le déphasage ε entre la force et la vitesse :

L’élongation est en retard sur l’excitation d’un angle - ϕ qui vaut bien sûr ε+π/2.

L’amplitude du mouvement oscillatoire forcé vaut :

0

m

v FA

Zω ω= =

Fi

Fk=

Ff

Fi+Fk

Fm=

Ff(t)=λ.v(t)

F(t)=Zm.v(t)

Fi(t)=m.ω.v(t)

1( ) ( ) ( )

k

m

F t v t v tC

κω ω

= =

Résumé :

Pour une force excitatrice périodique du type :

L’oscillation forcée se fait selon :

où le facteur est appelé impédance mécanique de l’oscillateur forcé et vaut :

Pour un système mécanique donné, le coefficient de frottement visqueux, la masse, etl’élasticité sont constants. La pulsation ω0 est la pulsation propre de l’oscillateur.

Par conséquent, l’impédance Zm(ω) est fonction uniquement de la fréquence de l’actionextérieure.

( ) cos( )F t F tω=

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0( ) cos cos cos sin2

( ) sin sin cos2

m m m

m m m

F F Fx t x t t t t

Z Z Z

F F Fv t t t t

Z Z Z

πω ϕ ω ϕ ω ε ω εω ω ω

πω ϕ ω ε ω ε

= + = + = − − = −

= − + = − − − = −

( )22 2

22 2 2 2 2

02

1m

m

mZ m m

C m

κ λλ ω λ ω ω ω ωω ω ω

= + − = + − = + −

La vitesse est en retard par rapport à l’excitation d’un angle ε, et l’élongation est en retardpar rapport à l’excitation de - ϕ = ε+π/2 avec ε donné par :

2 2

0

1

tan m

mC m

ωω ω ωε

λ λ ω

−−

= =

Et donc l’avance de la force sur l’élongation ϕ est telle que :

c’est-à-dire finalement :

2 2

0

costan tan tan cot

12 2 sin

m

mm

C

π π ε λ λ ωϕ ε ε εε ω ωω

ω

= − − = − + = − = = = − − −

2 2

0

tanm

λ ωϕω ω

=−

Une manière simple d’exercer une force périodique externe sur l’oscillateur mécanique estde mettre en oscillation le point d’attache du ressort, en lui donnant un mouvementharmonique du type :

La force d’excitation exercée sur le système vaut alors :

Lorsque la pulsation de l’excitateur ω est petite par rapport à la pulsation propre ω0 del’oscillateur, l’impédance se réduit à Zm≅m ω0

2 /ω, l’amplitude de l’oscillation forcée x0=F/ωZm

≅F/(mω02) est presqu’égale à l’amplitude de l’oscillation de l’excitateur [définie ici par

Aext=F/κ=F /(mω02)].

De plus, le déphasage entre la force et l’élongation est alors quasi nul (force excitatrice etélongation sont en phase, donc la vitesse de l’oscillation forcée est en avance de π/2 surl’excitation).

En effet, on a alors tan ε→-∞, ε→-π/2, tan ϕ→0 et ϕ→0 ; l’excitation est donc donnée par :

qui est bien en phase avec l’élongation de l’oscillation forcée, la vitesse étant en avance deπ/2 sur l’excitation :

( )( ) cosF t F tω=

( )0 0 0cos sin cos2

x x t v x t x tπω ω ω ω ω = = − = +

( )( ) cosext extx t A tω=

( )( ) ( ) cosextF t x t F tκ ω= =

Lorsque la pulsation de l’excitateur ω est grande par rapport à la pulsation propre ω0 del’oscillateur, l’impédance vaut Zm=m ω, l’amplitude de l’oscillation forcée vaut x0=F/(mω2) etest donc plus petite que celle de l’excitateur Aext=F/κ=Fm /(mω0

2) ; de plus, elle diminuequand ω augmente, et tend rapidement vers zéro.

De plus, le déphasage entre la force et l’élongation tend alors vers π (force excitatrice etélongation sont en opposition de phase, donc la vitesse de l’oscillation forcée est en retard deπ/2 sur l’excitation).

En effet, on a alors tan ε→+∞, donc ε→+π/2 et donc ϕ=-ε-π/2→-π ; l’excitation est doncdonnée par :

qui est bien en opposition de phase avec l’élongation de l’oscillation forcée, la vitesse étanten retard de π/2 sur l’excitation :

( ) cosF t F tω=

( ) ( )0 0 0 0cos = - cos sin cos2

x x t x t v x t x tπω π ω ω ω ω ω = − = = −

2 2 /m

km m C

λ λβ = =

Voici, pour différentes valeurs du coefficient de frottement, les courbes donnant l’amplitudeA=x0 de l’oscillation forcée en fonction de la fréquence.

On a posé :

On peut vérifier toutes les déductions précédentes sur ces courbes.

Évolution du déphasage entre la force excitatrice et l’élongation pour des amortissementsdifférents. L’angle -ϕ du graphique vaut ε+π/2 du texte et donne donc le retard de l’élongationpar rapport à l’excitation ; le facteur λ du graphique est l’équivalent de β dans le texte et estdonc proportionnel au coefficient de frottement.

On voit, sur les formules générales précédentes ou sur les courbes que lorsque la fréquencede l’excitateur externe ω est égale à la fréquence propre ω0 de l’oscillateur, l’impédance a savaleur minimale.

C’est le phénomène de résonance. L’amplitude de l’oscillation forcée peut alors devenir trèsgrande.

Lors de la résonance, tan ε=0, ε=0, ϕ=-π/2 et l’élongation est donc en retard de π/2 sur laforce excitatrice (quadrature de phase), et la vitesse d’élongation (la conséquence) est enphase avec la force excitatrice (la cause) :

En fait, à la résonance, seul le terme de frottement fixe l’impédance, et par conséquent, lemouvement de l’oscillateur sera non amorti, peu amorti, amorti, ou très amorti selon lavaleur de λ (et donc de β ici). La résonance associée est alors infinie, aiguë, large ou nulle.

Si, pour une même cause, on veut obtenir un effet maximal, il faut que l’impédance soitminimale.

( )0 0 0

0

( ) cos ;

cos cos( / 2) sin( )

cos

F t F t

x x t x t x t

v x t

ωω ϕ ω π ω

ω ω

=

= + = − =

=

Illustration des phénomènes d’oscillation forcée et de résonance

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Oscillateurs/ressort_rsf.html

Observations :

Q est l’inverse du facteur de frottement f ; Q grand correspond donc à un petit ffrottement et réciproquement.

Dans cette animation, l’excitation résulte du mouvement oscillant imprimé au pointd’attache du système masse-ressort. Elle est donc décrite par une excitation en élongationde la forme :

La force externe qui s’exerce sur le système masse ressort est de la forme :

On a représenté ici sur les diagrammes l’élongation de l’oscillation forcée, et non savitesse. Pour l’oscillateur forcé, l’oscillation en élongation est en retard de π/2 sur la vitessed’élongation. Il faut tenir compte de ce décalage supplémentaire pour relier les résultats desobservations sur l’animation aux équations générales de l’oscillateur forcé écrite plus haut.

Lors de la mise en route de l'excitation ou de toute variation de l’excitation, la masseoscille de manière plus ou moins chaotique (d'autant plus que le facteur d’amortissement Qest grand), puis son mouvement se « stabilise » à une oscillation sinusoïdale de mêmepulsation que l'excitation, mais d'amplitude différente, et déphasée. On observe un régimetransitoire chaotique, qui ne dure que peu de temps, suivi d'un régime sinusoïdal forcé.

( )cosextx A tω=

( )cosF F tω=

En faisant varier la fréquence, on constate que les deux oscillations diffèrent dans le temps(elles ne sont pas en phase), tout en restant de même fréquences. L'amplitude et la phase dumouvement forcé de la masse dépendent de la fréquence de l’excitateur.

Lorsque l'excitation est de fréquence très basse, les deux oscillations en élongation sontidentiques en amplitude et sont aussi en phase.

Lorsque l'excitation est de fréquence « grande », l'oscillation en élongation de la masse aune petite amplitude, et elle est en opposition de phase avec celle de l'excitation.

Lorsque le facteur d’amortissement Q est « grand » (supérieur à 0,7) il existe une fréquence(1,3 Hz) pour laquelle l'amplitude de la masse passe par un maximum, les deux oscillationsd’élongation sont alors déphasées de ππππ/2 (plus précisément l’élongation de l’oscillateur forcéest en retard de π/2 sur celle de l’excitation). La cause de l’excitation (l’élongation du pointd’attache) et l’effet (la vitesse de l’oscillateur forcé, en avance de π/2 sur l’élongation) sontdonc en phase.

On constate que cette fréquence correspond à la fréquence propre du régime d’oscillationlibre de la masse. C’est le phénomène de résonance, l’élongation et la vitesse de la massedeviennent grandes.

Résumé :

L'amplitude et la phase du mouvement forcé de la masse dépendent de la fréquence del’excitateur.

Lorsque la pulsation de l’excitateur ω est petite par rapport à la pulsation propre ω0 del’oscillateur, l’amplitude de l’oscillation forcée est presqu’égale à l’amplitude de l’oscillationde l’excitateur ; force excitatrice et élongation sont en phase, donc la vitesse de l’oscillationforcée est en avance de π/2 sur l’excitation.

Lorsque la pulsation de l’excitateur ω est grande par rapport à la pulsation propre ω0 del’oscillateur, l’amplitude de l’oscillation forcée tend rapidement vers zéro ; force excitatrice etélongation sont en opposition de phase, donc la vitesse de l’oscillation forcée est en retard deπ/2 sur l’excitation.

Lorsque la fréquence de l’excitateur externe ω est égale à la fréquence propre ω0 del’oscillateur, l’impédance a sa valeur minimale et on obtient l’effet maximal (l’amplitude del’oscillation forcée peut alors devenir très grande) ; C’est le phénomène de résonance..

Lors de la résonance, l’élongation est donc en retard de π/2 sur la force excitatrice et lavitesse d’élongation (la conséquence) est en phase avec la force excitatrice (la cause).

http://perso.ensc-rennes.fr/jimmy.roussel/meca_simu1.php

file:///C:/applets%20de%20physique/ph14f/resonance_f.htm

Illustration du phénomène de résonance pour des ondes mécaniques : le pont de Tacoma

Illustration du phénomène de résonance pour des ondes acoustiques : le verre brisé

Verre brisé

8 Analogie électro-mécano-acoustiqueBien que les phénomènes mécaniques, électriques et acoustiques soient de natures trèsdifférentes, ils sont régis par une formulation mathématique identique : il existe uneprofonde analogie entre ces trois phénomènes et le regard s’un l’un peut éclairer les autres.

8.1 éléments constitutifs des systèmes électriques

Dans un circuit électrique, les trois composants principaux que l’on rencontre sont lesrésistances, les selfs et les condensateurs. Ce sont ces éléments qui vont respectivementjouer le rôle de l’élément amortisseur, de l’élément de masse et de l’élément élastique.

Si aux bornes d’un de ces composants on applique une différence de potentiel U(t), la chargeélectrique q(t) qui traverse le composant va être modifiée. La variation instantanée de chargeélectrique par rapport au temps dq/dt correspond à un courant électrique i(t).

La différence de potentiel est la CAUSE. Le courant électrique est l’EFFET.

Détaillons pour chaque composant du circuit électrique, comme nous l’avons fait pourchaque composant de l’oscillateur mécanique, la relation entre la cause et l’effet, c’est-à-dire entre la tension et le courant.

si le composant est une résistance électrique (conducteur qui laisse passer plus ou moinsbien le courant ou s’y oppose), la relation entre cause et effet est donnée par la loi d’Ohm : ladifférence de potentiel aux bornes d’une résistance est proportionnelle au courant électriquequi la traverse :

( ) . ( )R

U t R i t=

Le facteur de proportionnalité est appelé résistance du composant (R) et se mesure en Ohmélectrique (Ω).

Elle est symbolisée par : ou par :

La résistance électrique est un élément de dissipation de l’énergie électrique en chaleur (effetJoule). La puissance électrique moyenne (P) dissipée par une résistance vaut :

(où l’on a utilisé la valeur efficace du courant).

2

RP Ri=

Le facteur de proportionnalité est appelé coefficient de self-induction, ou inductance (L) dela bobine. Il se mesure en Henry (H).

La self est un élément d’accumulation d’énergie électrique sous forme réactive. Elle restitueentièrement l’énergie qui y a été emmagasinée. La self est donc un facteur d’inertie,s’opposant aux variations (de courant ici). L’énergie emmagasinée dans une self est unevéritable énergie cinétique électrique dont la valeur est :

si le composant est une self (c’est-à-dire un conducteur électrique bobiné), la relation decause à effet est donnée par la loi de l’induction électrique : la différence de potentiel auxbornes d’une sels est proportionnelle à la dérivée par rapport au temps du courant électriquequi la traverse : ( )

( )L

di tU t L

dt=

2

2L

LiW =

Elle est symbolisée par :

si le composant est un condensateur (élément constitué de deux conducteurs séparés parun isolant), on montre que le condensateur se charge lorsqu’on applique à ses deux armaturesune différence de potentiel, et que la charge emmagasinée est proportionnelle à la différencede potentiel (U) appliquée entre ses bornes :

( ) . ( )q t C U t=Le facteur de proportionnalité est la capacité du condensateur (C) qui se mesure en farad (F).

Pour un condensateur, puisque i(t)=dq(t)/dt, la relation entre cause et effet devient : ladifférence de potentiel est proportionnelle à l’intégrale de la différentielle de la chargeélectrique dq(t)=i(t)dt, et donc :

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )CU t q t dq t i t dt

C C C= = =∫ ∫

Le condensateur est un élément d’accumulation de l’énergie électrique sous forme réactive.Lors de sa décharge, il restitue entièrement l’énergie qu’il a emmagasinée lors de sa charge. Ilse comporte donc comme un élément élastique qui rend en se détendant l’énergiepotentielle d’élasticité qu’on y avait accumulée en le tendant. L’énergie électriqueinstantanée accumulée dans un condensateur vaut :

2 2

2 2C

CU qW

C= =

Il est symbolisée par :

8.2 éléments constitutifs des systèmes acoustiques

Dans un système acoustique, les trois composants principaux sont les résistancesacoustiques, les masses acoustiques et les cavités acoustiques. Ce sont ces éléments quivont respectivement jouer le rôle de l’élément amortisseur, de l’élément de masse et del’élément élastique.

Si à un système acoustique on applique une pression acoustique p(t), on observe unevariation du volume V(t) de la masse acoustique. La variation instantanée de ce volume parrapport au temps correspond à un débit D(t)=dV/dt qui est égal au produit de la section Spar la vitesse v (D(t)=S.v).

La pression acoustique est la CAUSE. Le débit est l’EFFET.

Détaillons pour chaque composant du système acoustique, comme nous l’avons fait pourchaque composant de l’oscillateur mécanique, la relation entre la cause et l’effet, c’est-à-dire entre la pression acoustique et le débit.

si le système est une résistance acoustique (c’est-à-dire un milieu à caractère visqueux,fibreux ou poreux comme de la laine de verre), la propagation de l’onde acoustiques’accompagne d’une dissipation de l’énergie acoustique. La résistance acoustique derayonnement est un cas particulier où l’énergie acoustique n’est pas transformée en chaleurmais rayonnée à l’extérieur du système.

La résistance acoustique est souvent représentée par un réseau de fentes fines et parallèles :

La loi du frottement fluide montre que la force de frottement créée par le déplacement dufluide dans le réseau de fentes de la résistance acoustique est proportionnelle à la vitesse dedéplacement du fluide : .fF f v=Si dans cette relation on fait apparaître la pression acoustique (p=Ff/S) et le débit (D=v.S),on obtient pour une résistance acoustique la relation directe entre cause et effet :

2 2. . donc c'est-à-dire ( ) . ( ) avec a a

D f fp S f p D p T R D t R

S S S= = = =

Pour une résistance acoustique, la pression acoustique est proportionnelle au débit.Le facteur de proportionnalité entre pression acoustique et débit est la résistance acoustiquede l’élément. Elle se mesure en Ohm acoustique (Ω ou N.s.m-5).

La résistance acoustique est un élément de dissipation de l’énergie acoustique.La puissance moyenne dissipée en chaleur vaut :

(où l’on a utilisé la valeur efficace du débit).

2

aP R D=

si le système est une masse acoustique (c’est-à-dire un tube ou un conduit de longueur l etde section S, où le fluide en mouvement oscillatoire se comporte comme un solideindéformable), on considère que le fluide en mouvement est incompressible et que tous lespoints de la masse acoustique ont la même vitesse.

Une masse acoustique est symbolisée par :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse d’air m=ρ.S.l contenue dans lamasse acoustique donne :

Si dans cette relation, on fait apparaître la pression acoustique (p=F/S) et le débit (D=v.S) onobtient pour la masse acoustique la relation directe entre cause et effet :

. .dv

F ma S ldt

ρ= =

. . ( ) .. et donc ( ) avec a a

S l dD dD t lp S p t m m

S dt dt S

ρ ρ= = =

Pour une masse acoustique, la pression acoustique appliquée à la masse acoustique estproportionnelle à la dérivée du débit par rapport au temps.Le facteur de proportionnalité est appelé inertance acoustique (ma=ρ.l/S) et se mesure enkilogramme par mètre à la puissance quatre (kg.m-4).

La masse acoustique est un élément d’accumulation d’énergie acoustique sous formeréactive. La masse acoustique restitue entièrement l’énergie qui a été emmagasinée pour lamettre en mouvement. La masse acoustique est donc un facteur d’inertie, qui s’oppose auxvariations de position. Il s’agit d’une véritable énergie cinétique acoustique, dont la valeurinstantanée est : 2

2

aa

m DW =

si le système est une cavité acoustique de section fixe S (c’est-à-dire une cavité quelconqueremplie de fluide comme une bouteille, un caisson de baffle), une variation de pressionacoustique engendre une variation relative de volume de la cavité qui lui est proportionnelle(loi de la compressibilité d’un fluide) :

où χ est le module de compressibilité en volume du fluide et s’exprime en Pa-1.

Une cavité acoustique est symbolisée par :

dVdp

Vχ− =

Comme la variation de volume se produit uniquement dans le sens du déplacement , lavariation de volume dV de la cavité est égale au produit de la section S par l’élongation x dela particule de fluide : dv=S.x. Il s’ensuit, en faisant apparaître la pression acoustique (p=F/S)et le débit (D=v.S) que pour la cavité acoustique, on peut écrire :

et par conséquent, la relation directe entre cause et effet pour la cavité acoustique est :

2 2. ( ). . . ( )

dV S x S S D tF dp S S S v t dt dt

V V V V Sχ χ χ χ= = = = =∫ ∫

1 1( ) ( ) avec a a

a

p t k D t dt kC Vχ

= = =∫

Pour une cavité acoustique, la pression acoustique appliquée à la cavité est proportionnelle àl’intégrale de la différentielle du volume dV=D(t)dt.

Le facteur de proportionnalité est la raideur ka=1/χV mais on utilise souvent son inverse Ca

appelé élasticité de la cavité ou capacitance acoustique ; la capacitance acoustique semesure en mètres cubes par pascal (m3Pa-1).

La cavité acoustique est un élément d’accumulation d’énergie acoustique sous forme réactive.Lors de sa décompression, la cavité restitue entièrement l’énergie qu’elle a emmagasinée lorsde sa compression. La cavité se comporte donc comme un élément élastique qui restitue, ense détendant, l’énergie potentielle d’élasticité qu’il a accumulée lorsqu’il a été tendu.L’énergie acoustique instantanée accumulée dans la cavité acoustique vaut :

2 2

2 2

aa

a

C p VW

C= =

9 Oscillations harmoniques des oscillateurs électrique et acoustiqueComme pour l’oscillateur mécanique harmonique, lorsqu’il n’y a pas d’énergie électrique ouacoustique dissipée, la présence d’un composant générateur d’inertie en couplage avec uncomposant générateur d’élasticité engendre pour une cause linéaire, un effet périodique.

9.1 oscillateur harmonique électrique : circuit LCIl est important de réaliser que l'OH existe également dans des domaines qui ne relèvent pasde la mécanique. Par exemple, un simple circuit électrique composé d'un condensateur etd'un inducteur constitue un OH. Ainsi, si on couple une self et un condensateur chargé, ladécharge du condensateur dans la self va provoquer la charge du condensateur en sensinverse. L’énergie potentielle contenue dans le condensateur va se transformer en énergiecinétique dans la self qui, à son tour, va la rendre sous forme d’énergie potentielle aucondensateur. Le circuit électrique présente donc des oscillations harmoniques.

Ce circuit est représenté sur le schéma ci-dessous.

Pour obtenir l'équation du circuit il nous suffit de nous baser sur les lois de comportement deséléments qui le constituent. Si pour le courant qui circule dans le circuit on choisit commesens conventionnel le sens horlogique, la charge Q de la plaque de gauche du condensateuraugmente avec un courant I positif et sa croissance est donnée par le courant lui-même, I =dQ/ dt .

Aux bornes du condensateur la différence de potentiel (dans le sens opposé à celui ducourant, selon la convention) est Q/C alors qu’aux bornes de l’inducteur elle vaut L.dI/dt.

L’équation qui régit l’évolution de ce circuit électrique s’obtient au départ de la loi d’Ohm quiexprime le fait que la somme des différences de potentiel sur un tour complet du circuit estnulle :

c’est-à-dire ici : LdI/dt+Q/C=0. Comme i(t)=dq/dt, cette équation peut être réécrite en termede la charge électrique q(t) :

0U Ri= =∑

( ) 1( ) 0

di tL i t dt

dt C+ =∫

2

2

1( ) 0

d qL q t

dt C+ =

Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre, dont la solution générale est :

qui est une oscillation harmonique de fréquence propre :

( ) 1( ) cos avec

.mq t q t

L Cω ε ω= + =

1 1

2 .f

L Cπ=

Puisque la charge Q donne le courant quand elle est dérivée, on peut encore écrire cetteéquation sous la forme dI/dt = −Q/(LC) et il suffit de dériver cette dernière équation parrapport au temps pour obtenir une équation ne contenant que le courant et le temps commevariable.

L'équation résultante est l'équation du circuit exprimée pour le courant. Cette équation (ou laprécédente, concernant la charge électrique) a la structure habituelle de l'équation de l'OH. Eton voit de cette manière que le circuit LC constitue un OH dont la pulsation caractéristiquevaut :

On sait dès lors que le courant du circuit LC subit une évolution harmonique d’amplitudearbitraire appelée ici I0 (c’est la valeur maximale que prend le courant, elle est déterminée parles conditions initiales de fonctionnement du circuit).

Ce qui, en vertu de la loi courant-tension de l'inducteur V = LdI /dt, donne la tension suivanteaux bornes du condensateur et de l'inducteur :

On voit ainsi que courant et tension évoluent en quadratureexactement comme la position et la vitesse de l'oscillateurharmonique mécanique. L’évolution de la tension a été rajoutéesur le graphe ci-contre à l’aide de la courbe rouge.

Pour s'expliquer l'origine de l'oscillation harmonique dans le circuit LC, il est éclairant depousser un peu plus loin l'analogie avec l'OH mécanique. Pour se faire, il est naturel d'associerau courant la vitesse de la masse de l'OH mécanique puisque le courant représente un flux departicules chargées possédant une certaine vitesse. De plus, on montre en électromagnétismeque le courant dans l'inducteur présente une énergie qui a la forme mathématique del'énergie cinétique, il s'agit de l'énergie magnétique Wm=(1/2)mLI2. Cette énergie magnétiqueoscille avec une pulsation égale à 2ω0. En plus de cette énergie magnétique, il y a dans lecircuit l'énergie électrique du condensateur We=(1/2)CV2.

Comme l'énergie est conservée dans le circuit (il n'y a pas de dissipation Joule), l'énergietotale du circuit ne peut être qu’une constante, Wm+We=constante .

Le bref développement ci-dessous montre qu'effectivement l'énergie totale du circuit estune constante donnée par l'énergie magnétique maximale (1/2)LI0

2. Il suffit pour y arriver dese rappeler que la pulsation propre des oscillations est donnée par

Dans l'analogie à la mécanique, on peut donc dire que l'énergie magnétique représentel’énergie cinétique et que l’électrique représente l'énergie potentielle de l'OH. L'oscillationdans le circuit LC est donc due à un échange périodique entre énergie magnétique et énergieélectrique.

9.2 oscillateur harmonique acoustique

Si on couple un tuyau (masse acoustique) et une cavitéacoustique où l’air est comprimé, une détente de l’airdans la cavité va provoquer (à cause de l’inertie de lamasse acoustique), une recompression de l’air dans lacavité.

Il s’ensuit une oscillation acoustique où l’énergie potentielle contenue dans la cavitéacoustique se transforme en énergie cinétique dans la masse acoustique qui, à son tour, larestitue sous forme d’énergie potentielle à la cavité acoustique : le système acoustiqueoscille.

L’équation qui régit ce système acoustique est :


ou, comme le débit est relié au volume V(t) de la cavité par D(t)=dV/dt :

Il s’agit d’une équation différentielle du second ordre, dont la solution générale est :

Il s’agit donc d’une oscillation harmonique, et le système oscille avec la fréquence propre :

a

dDp m

dt=∑

1 ( )( ) a

a

dD tD t dt m

C dt− =∫

2

2

1

a a

d VV

dt m C= −

( ) 1( ) cos avec

m

a a

V t V tm C

ω ε ω= + =

1 1 . 1 puisque , , et

2 2 .a a

a a

c S lf C V m c

l V Sm C

ρχπ π χρ

= = = = =

Résumé : oscillateurs harmoniques électrique, mécanique et acoustique

10 Oscillations amorties des systèmes électriques et acoustiquesComme dans le cas mécanique, il n’existe pas de système électrique ou acoustique qui nedissipe pas une partie de l’énergie. Pratiquement, on observe une diminution progressive de lavaleur maximum du courant électrique et du débit acoustique (comme on observait unediminution progressive de la vitesse mécanique de l’oscillateur mécanique).

10.1 Oscillateur électrique amorti : circuit RLC (cf. annexe 1)

2

2

10

d q dqL R q

dt dt C+ + =

L’équation qui régit ce circuit est la loi d’Ohm :

qui se ramène à l’équation différentielle :

U Ri=∑

10.2 Oscillateur acoustique amorti

Soit un circuit comprenant un condensateur chargé, une self, et unerésistance.

Soit un système mécanique comprenant une cavitéacoustique, une masse acoustique et une résistanceacoustique.L’équation qui régit ce système est : a

dDp m

dt=∑

Cette équation se ramène à l’équation différentielle :

2

2

10

a a

a

d V dVm R V

dt dt C+ + =

Ces équations différentielles sont analogues à l’équation décrivant l’évolution de l’oscillateurmécanique amorti. La solution générale du problème correspond donc à l’un des trois régimesd’amortissement étudiés.

Circuit RLC série : un exemple d’oscillateur amorti

11 Oscillateurs électrique et acoustique forcés : calcul des impédancesAu lieu d’étudier les systèmes oscillants librement (avec ou sans amortissement), on peutétudier l’évolution de ces systèmes sous l’action d’une action extérieure périodique. Il s’ensuit,après une courte période transitoire, des oscillations forcées, dont la périodicité est celle del’action extérieure, mais pour lesquelles les oscillations du système (l’effet) ne sont pas enphase avec l’action extérieure (la cause).11.1 Oscillateur électrique forcé : circuit RLC avec générateur (cf. annexe 3)

Si on connecte un générateur délivrant une tension alternativeU=Umsin(ωt+ε) à un circuit composé d’une résistance, d’une selfet d’un condensateur, le circuit va être parcouru après lestransitoires par un courant alternatif i=imsin ωt. L’équation quirégit le circuit est :

2

21 1 avec

e

e

i U Z R LZ C

ωω

= = + −

Le déphasage entre la tension aux bornes du circuit et le courant est donné par la relation :

1

tan

LC

R

ωωε

− =

À nouveau, le phénomène de résonance se produit lorsque la fréquence de l’action extérieureest égale à la fréquence propre du circuit. Le déphasage cause-conséquence est alors nul.

( )( ) 1( ) ( ) sin

m

di tL Ri t i t dt U t

dt Cω ε+ + = +∫

En appliquant les résultats obtenus pour l’oscillateur mécanique forcé, on peut directementécrire :

Circuit RLC : étude de la résonance

11.2 Oscillateur acoustique forcé : résonateur de Helmholtz

Si on soumet à une pression acoustiqueextérieure périodique p=pmsin(ωt+ε) unsystème acoustique composé d’unerésistance acoustique, d’une masseacoustique et d’une cavité acoustique, il vase produire après une période transitoiredes oscillations forcées de débit D=Dmsin ωt.

L’équation qui régit ce système acoustique est :

( )( ) 1( ) ( ) sin

a a m

a

dD tm R D t D t dt p t

dt Cω ε+ + = +∫

En appliquant les résultats obtenus pour l’oscillateur mécanique forcé, on peut directementécrire la solution après la période transitoire :

2

21 1 avec a a a

a a

D p Z R mZ C

ωω

= = + −

Le déphasage entre la pression extérieure exercée sur le système et le débit est donné par larelation : 1

tan

a

a

a

mC

R

ωω

ε

−

=

À nouveau, le phénomène de résonance se produit lorsque la fréquence de l’actionextérieure est égale à la fréquence propre du système. Le déphasage cause-conséquence estalors nul.

Résumé :

11.3 Illustration sonore des phénomènes d’ondes stationnaires et de résonance

Annexe 1 : le circuit RLC un oscillateur linéaire amorti

Comme mentionné ci-dessus, la plupart des oscillateurs harmoniques sont en réalité desoscillateurs linéaires amortis en raison de la présence de mécanisme de dissipation d'énergie.Le circuit RLC représenté ci-dessous constitue un exemple idéal d'oscillateur linéaire amorticar il a l'avantage de présenter un terme d'amortissement correspondant rigoureusement àune force de frottement visqueux. Comme son nom l'indique ce circuit est composé d'unerésistance, d'un inducteur et d'un condensateur.

Pour établir l'équation de ce circuit, il suffit d'exprimer le fait que la somme des différencesde potentiel aux bornes des 3 éléments est nulle. Les différences de potentiel aux bornes destrois éléments dans le sens contraire du courant (qui est le sens conventionnel de ladéfinition de la différence de potentiel dans un circuit) sont notées VC , VR et VL ci-dessous.

Leurs expressions mathématiquesen fonction de la charge et ducourant sont bien connues :

En remplaçant les différences de potentiel VC , VR et VL par leurs expressions ci-dessus, ontrouve :

Pour éliminer la charge et obtenir l'équation du circuit pour le courant, nous dérivons cetterelation par rapport au temps.

On divise ensuite par L pour obtenir l'équation standard de l'OLA. Si on introduit la pulsationpropre de l'oscillateur :

qui n’est autre que la fréquence propre de l'OH que l'on obtient quand la résistance R estnulle (voir le circuit LC) ainsi que le coefficient d'amortissement α =R/(2L), on retrouve laforme « canonique » de l'équation de l'OLA.

La solution de l'équation de l'OLA vue plus haut peut être utilisée ici pour caractériserl'évolution du courant dans le circuit sur base des conditions initiales. Si le courant vaut I0

au temps t = 0, on peut écrire :

La phase ϕ est déterminée par la dérivée du courant dI/dt au temps t = 0 mais nous ne nousattarderons pas sur ce détail ici.

La figure ci-contre montre simplement que lesoscillations de courant ont une amplitude décroissantelorsque la résistance R est non nulle, α =R/(2L).

Dans la limite de résistance nulle, l'amortissementn'existe plus, ce qui est physiquement compréhensiblepuisque la source d'amortissement est la dissipationJoule dans la résistance (les énergies électrique etmagnétique du condensateur et de l'inducteur,respectivement, sont progressivement dissipées dansla résistance sous forme de chaleur).

Annexe 2: les phaseursNous allons ici aborder l’étude d’un outil mathématique extrêmement puissant pour ladescription théorique des phénomènes oscillatoires. Il s’agit des phaseurs.

A2.1 Représentation complexe du mouvement harmoniqueL'astuce qui se cache derrière le concept de phaseur réside dansl'utilisation d'une nouvelle représentation mathématique dumouvement harmonique. Pour introduire cette représentation,rappelons que nous avons défini la notion de mouvementharmonique à partir du mouvement de rotation à vitesseconstante d'un pendule autour de son axe : on se rappelle grâceau schéma ci-contre que le mouvement harmonique était définicomme étant le mouvement de la coordonnée horizontale de lamasse du pendule,

La représentation mathématique dont il est question ici s'inspire de cette vision dumouvement harmonique, mais plutôt que de considérer la rotation d'un objet dans l'espace(la masse du pendule tournant), elle se base sur la notion de rotation dans le plan complexe(plan de Gauss).

Le plan complexe se prête particulièrement bien à la description de la rotation car on sait quel'argument θ d'un nombre complexe représente l'angle que ce nombre définitavec l'axe réel, tel que représenté ci-dessus à droite.

On en conclut que le mouvement harmonique est représenté par la partie réelle d'un nombrecomplexe tournant. On pourrait se demander à ce stade pourquoi on complique les choses enintroduisant une représentation complexe du mouvement mais nous verrons par la suite quecette représentation est extrêmement pratique pour la description des phénomènespériodiques en physique et plus généralement dans le domaine des sciences et techniques.

Le schéma ci-dessous montre le nombre complexe x0.eiθ et ses projections sur les axes réel etimaginaire. La projection sur l'axe réel vaut x0cosθ et la projection sur l'axe imaginaire vautx0sinθ.

Dès lors, si θ augmente linéairement avec le temps θ =ω0t, la projection sur l'axe réelreproduit le mouvement harmonique x(t) = x0 cos(ω0t).

Puisque θ =ω0t représente la phase de la variation harmonique, on l'appellera par la suite la «phase » du nombre complexe tournant plutôt que l'« argument ».

A2.2 Déphasages et phaseursLa représentation complexe permet de représenter la solution générale de l'équation de l'OHavec un déphasage quelconque (déphasage par rapport à la phase ω0t considérée ci-dessus). Ilsuffit pour comprendre cela de considérer la partie réelle non plus d’un nombre réel multipliépar exp(iω0.t), mais d'un nombre complexe X multiplié par exp(iω0.t) (la notation particulièrede ce nombre complexe avec la barre inférieure sera justifiée plus bas).

Cette partie réelle est facile à expliciter si on introduit le module X et l'argument ϕ dunombre complexe X. Nous obtenons une évolution harmonique d'amplitude X et dedéphasage ϕ, ce qui est bien la solution générale de l'équation de l'OH.

La représentation graphique de l'évolution du nombre complexe ξ(t) =Xexp iω0 t est donnéeci-dessous. Il s'agit, bien sûr, d'un nombre complexe tournant. Au temps t = 0 , ce nombre a unargument égal à ϕ, ce qui signifie que l'oscillation x(t) commence en t = 0 à la valeur deXcos(ϕ). De même, la dérivée temporelle de x(t) nous indique que la vitesse initiale est nonnulle en t = 0 , elle vaut :L'argument ϕ du nombre complexe X représente donc bien le déphasage de l'oscillation parrapport à la phase ω0t.

Ce qui est important à retenir de cette discussion c'est que le nombre complexe X contient lescaractéristiques du mouvement harmonique général dans la mesure où le module de Xreprésente l'amplitude du mouvement alors que son argument ϕ représente le déphasage dumouvement. Le mouvement harmonique général est donc entièrement caractérisé par lenombre complexe X et la pulsation ω0. Dans la suite, nous utiliserons les nombres complexespour décrire les mouvements harmoniques.

Quand un nombre complexe caractérise un mouvement harmonique, on l'appelle « phaseur »et pour mettre en évidence sa signification physique et ainsi le différencier d'un simple nombrecomplexe, on le notera toujours comme ici, à l’aide une lettre majuscule assortie d’une barreinférieure.

Le phaseur X, représentant un mouvement harmonique tout àfait général est représenté ci-contre.

Son module donne l'amplitude de l'oscillation et son argumenten donne le déphasage. Nous verrons plus loin que cettereprésentation du mouvement harmonique par un nombrecomplexe est très utile en pratique.

A2.3 Phaseurs et oscillateur harmoniqueNous allons voir ici que la notion de phaseur permet de simplifier fortement lesdéveloppements mathématiques liés à la résolution des équations différentielles.

Pour commencer progressivement, considérons l'équation de l'oscillateur harmonique.

Cette équation est simple et on en connaît déjà la solution générale mais on va faire commes'il s'agissait d'un problème nouveau dont on ne connaît pas la solution. Le but est alors decalculer cette solution sur base de la notion de phaseur. Notez que si on utilise la notion dephaseur c’est que l’on suppose implicitement que la solution de l’équation est harmonique. Lebut que nous nous fixons ici est donc simplement de trouver le mouvement harmonique quisatisfait l'équation de l'OH ci-dessous.

Si nous recherchons une solution harmonique x(t) nous pouvons l’écrire à l'aide du phaseur X,et de la fréquence ω, c’est-à-dire, x(t) = Re[X exp(iωt)].

Nous ne connaissons ni X ni la fréquence ω et notre but est de les calculer pour pouvoircaractériser complètement le mouvement décrit par l'équation de l'OH.

Pour trouver le phaseur X et la fréquence ω, il nous suffit de substituer l'expression de xdonnée ci-dessus dans l'équation différentielle de l'OH. L'opération de dérivée temporelle estsimple à effectuer puisque celle-ci peut être entrée dans la partie réelle (l'opération dedérivée est commutative avec l'opération « partie réelle »). On voit donc que la dérivéepremière de x(t) est égale à :

Notez que ceci revient à dire que la dérivée a pour phaseur iωX.

La dérivée seconde qui apparaît dans l'équation de l'OH est obtenue en calculant la dérivéede et on trouve :

On voit donc que le phaseur de l'accélération de l'oscillateur est −ω2X. Ceci permet deremarquer que l'opération de dérivée temporelle sur x(t) est équivalente à l'opération demultiplication par iω sur le phaseur correspondant X (la dérivée seconde qui est l'opération dedérivée appliquée deux fois est bien équivalente à deux fois la multiplication par iω, soit (iω)2=−ω2.Si on substitue dans l'équation de l'OH x et par leurs expressions en termes de phaseur,on trouve la relation suivante :

En regroupant les parties réelles à gauche, on trouve :

N'oublions pas que cette relation est équivalente à l'équation différentielle de l'OH (plusexactement, c'est l'équation de l'OH retreinte aux solutions harmoniques de fréquence ω). Enmettant l'exponentielle en évidence, on obtient la relation suivante où l’on voit apparaître lenombre complexe

Le nombre complexe Y peut être vu comme unphaseur. Il est représenté schématiquement ci-contreainsi que le nombre complexe tournant Yexp(iωt) .

La relation ci-dessus, qui est l'équivalent del'équation de l'OH pour le phaseur X, nous indiqueque la partie réelle de ce nombre complexe tournantest nulle pour toute valeur de t.

Il est clair que ceci n'est possible que si Y est nul. Lapartie réelle de Yexp(iωt) n’est effectivement nulleque si le module de Y est nul (le schéma necorrespond donc pas a une solution acceptable).

En remplaçant Y par sa valeur en fonction de X, on obtient une relation algébrique simple :

Cette dernière relation peut être vue comme l'équation de l'OH pour le phaseur X.

Remarque :Il est intéressant que comparer cette équation algébrique avecl'équation différentielle de l'OHcar on voit alors facilement que pour passer de l'équationdifférentielle à l'équation algébrique du phaseur, il suffit deremplacer x par son phaseur X et la dérivée temporelle par lamultiplication par iω.

L'équation algébrique du phaseur de l'OHest facile à résoudre. On voit immédiatement que la pulsation ωest égale à la pulsation propre de l'oscillateur, soit,De même, puisque X peut être simplifié à gauche et à droite, onvoit que X est indéterminé. En d’autres termes, l'amplitude X etle déphasage ϕ du mouvement sont indéterminés.

Ceci correspond bien à la solution générale de l'OH vue plus haut,où l'amplitude X et le déphasage ϕ sont les constantes d'intégration déterminées par lesconditions initiales du mouvement. La chose essentielle à retenir de ce développement estque l’introduction des phaseurs permet de transformer une équation différentielle en x(t) enune simple équation algébrique pour le phaseur associé X.

A2.4 Phaseurs et Oscillateur linéaire amorti forcéGrâce à l'introduction de la notion de phaseur, nous sommes maintenant à même de traiter leproblème de l'oscillateur linéaire amorti forcé. On avait vu plus haut que la force totaleexercée sur la masse de cet oscillateur est donnée par la somme de la force de rappelélastique, de la force de frottement visqueux et de la force extérieure (que l'on supposeharmonique pour simplifier les développements).

L'équation du mouvement de l'OLA forcé est donnée par la seconde loi de Newton :

En mettant tous les termes dans le membre de gauche et en introduisant les paramètres :

de pulsation propre

d'amortissement

de force extérieure

on obtient l'équation sous sa forme canonique.

Il est essentiel d’avoir à l’esprit que la pulsation ω de la force extérieure n'est pasnécessairement égale à la pulsation propre ω0 de l'oscillateur. La force extérieure impose sapulsation et celle-ci n’a aucune raison d’être prise égale à la pulsation propre de l’oscillateur.

A2.4.1 Solution harmonique, équation du phaseurNous allons maintenant nous servir de la représentation complexe pour calculer les solutionsharmoniques de l'équation de l'OLA forcé. Pour cela, nous introduisons le phaseur de x avec lafréquence ω de la force extérieure comme fréquence de référence. Le mouvementharmonique permanent ne peut, en effet, s'obtenir que si la fréquence du mouvement estégale à la fréquence de la force extérieure.

Dans la représentation complexe la dérivée par rapport autemps de la position x(t) devient la dérivée de la partie réellede X exp(iωt), soit Re[iω X exp(iω t)].

En faisant de même pour la dérivée seconde et en écrivant leterme de force extérieure a.cos (ωt) comme étant la partieréelle de a.exp(i ω t), on peut facilement transformerl'équation du mouvement de l'OLA forcé en termes dephaseur.

Après substitution de ces expressions dans l’équation du mouvement :

et après avoir exprimé que la somme des parties réelles est égale à la partie réelle de lasomme, on obtient l’égalité suivante :

Pour obtenir l'équation du phaseur du problème, il suffit de mettre exp(iωt) en évidence.

On obtient alors le nombre complexe : multiplié par exp(iωt).

Comme ce produit doit avoir une partie réelle nulle en tout temps, Y ne peut être que nul, cequi s'exprime par la relation suivante :

C'est l'équation du phaseur de l'OLA forcé.

Remarque : Notez que cette équation algébrique pouvait être obtenue toutde suite à partir de l'équation différentielleen remplaçant simplement x par le phaseur X et la dérivéetemporelle par iω et, bien entendu aussi, en remplaçant le termede forçage acos (ωt) par son phaseur a.

A2.4.2 RésonanceGrâce à la notion de phaseur nous avons transformé l'équation différentielle du mouvementen une équation algébrique dont la solution est extrêmement simple à calculer. Cetteéquation est réécrite ci-dessous. Elle va nous permettre d’étudier l’OLA forcé et, enparticulier, de décrire le phénomène de résonance qui y est associé.

Il suffit, en effet, de mettre le terme de forçage « a » dans le membre de droite et mettre X enévidence pour obtenir immédiatement l'expression de X :

Comme on l'a mentionné plus haut, le phaseur caractérise entièrement le mouvementharmonique x(t) au travers de la relation x(t) = Re[X exp(iωt)].

En particulier, son module donne l'amplitude du mouvement. Sur base de l'expression de X ci-dessus, on peut facilement voir que l'amplitude du mouvement dépend de la pulsation ω dela force extérieure.

Analysons tout d'abord ce qui se produit lorsque la pulsation de la force extérieure s'annule ω= 0 . Cette situation particulière correspond à une force extérieure constante. Dans ce cas, leressort de l'oscillateur est étendu (ou comprimé) jusqu'à une position d'équilibrecorrespondant à l'égalité entre cette force extérieure F et la force de rappel (voirle schéma ci-contre dans lequel il faut considérer ω = 0 ).

La valeur de x correspondante est donc donnée parl'équilibre entre ces forces, soit F − κ x=0, ce qui donnex=F/κ.Si la théorie que nous venons de développer est exacte,cette coordonnée de la position de repos doitcorrespondre au module du phaseur X lorsque ω = 0(autrement dit, c'est l'amplitude du mouvement àfréquence nulle).

Ceci est très facile à vérifier. C'est illustrésur le graphe ci-contre où on voit qu'enω = 0 , le module du phaseur àfréquence nulle (noté XS) vaut F/κ (notezque c'est un cas particulier pour lequelle phaseur est réel).

Voyons maintenant ce qui se produit quand ω tend vers la pulsation propre de l'oscillateur ω0.

Quand ω = ω0 le dénominateur dans l'expression de X a une partie réelle nulle et on trouve

Le module du phaseur donnant l'amplitude du mouvement, celle-ci vaut donc :

En multipliant cette expression en haut et en bas par ω0, on y retrouve l'expression del'amplitude stationnaire ce qui nous permet d’écrire :

Dans le cas d'un amortissement faible,c'est-à-dire quand α<<ω0, on voit quel'amplitude à la pulsation ω0 est beaucoupplus grande que l'amplitude à pulsationnulle (cas stationnaire). On peut enconclure qu'en passant de la pulsationnulle à la pulsation propre de l'oscillateur,le mouvement subit une amplification.

Pour voir ce qui se passe au-delà de la pulsation propre, il suffit de faire tendre ω vers l'infini.On voit alors tout de suite que l'amplitude du mouvement diminue et tend vers zéro. Cephénomène d'amplification de l'amplitude du mouvement de l'oscillateur autour de safréquence propre s'appelle le phénomène de « résonance ».

A2.4.2.a Amortissement faiblePour étudier plus en détail le phénomène de résonance, nous allons introduire uneapproximation dans les calculs. Cette approximation est basée sur l'hypothèse de faibleamortissement, c’est-à-dire qu’elle se base sur l’inégalité α<<ω0.

Dans cette situation nous verrons que la résonance est très étroite, ce qui nous permet de ladécrire uniquement pour des valeurs de pulsation très proches de la pulsation propre del'oscillateur. Pour simplifier les notations, nous allons décrire la résonance en termes de l’écartδω entre la pulsation ω et la pulsation propre ω0, soit δω= ω-ω0.

Nous ferons donc le changement de variable ω= ω0+ δω dans l’expression du phaseur X desorte que, en faisant varier δω autour de zéro, on décrive toute la résonance. Si celle-ci estétroite on peut se contenter de petites valeurs de δω ; nous allons donc considérer dans lasuite l’inégalité δω << ω0 de façon à appliquer une approximation du premier ordre en δω/ω0

(on négligera les puissances de δω/ω0 supérieures à l’unité).

On peut donc étudier la résonance en analysant les valeurs de l'amplitude du mouvementX en fonction de δω en appliquant l’approximation du premier ordre en δω/ω0 et en α/ω0

en vertu de l’hypothèse d'amortissement faible α<<ω0.

Puisque le carré de la pulsation intervient dans l'expression du phaseur de l'OLA forcé, nouscommençons ci-dessous par calculer ω2 en fonction de δω. Comme δω << ω0, on peutnégliger le terme du deuxième degré en δω et ne conserver que le terme du premier degré.Sur cette base, le développement simple qui suit montre que le dénominateur du phaseur Xvaut

Notez que dans ce développement on néglige leproduit αδω qui est très petit puisque à la fois α et δωsont petits devant ω0. Le produit αδω est en fait dumême ordre de grandeur que δω2 que l'on a négligéquelques lignes plus haut.

Le phaseur de l'OLA forcé est donc donné en première approximation par l'expressionremarquablement simple suivante :

Les trois expressions qui suivent résument la démarche suivie. La solution harmonique del'équation du mouvement de l'OLA forcé a été calculée de façon algébrique grâce àl'introduction du concept de phaseur. Le phaseur résultant a été exprimé dans uneapproximation basée sur l'hypothèse de l'amortissement faible. La valeur de l'amplituderéelle du mouvement x(t) peut être retrouvée à partir de la définition du phaseur.

Le mouvement harmonique réel est entièrement caractérisé par le phaseur, en particulier,l'amplitude du mouvement est donnée par le module du phaseur et son déphasage est donnépar son argument.

Le module et l’argument du phaseur sont très simples à calculer, ils sont donnés ci-dessous.L'interprétation physique de l’argument ϕ est simple, il représente le déphasage (ou ledécalage temporel) entre la force extérieure F.cos(ωt) et le mouvement qui en résulte x(t) =X cos (ωt +ϕ).

L'expression du déphasage ϕ montre que celui-ci vaut π/2 lorsque l'on est à la résonanceδω= 0, c'est-à-dire, quand il y a égalité entre la pulsation de la force extérieure ω et lapulsation propre ω0 de l’oscillateur. On dit dans cette situation qu’il y a une quadrature dephase entre la position de l'oscillateur x(t) et la force extérieure Fcos (ωt).

Le module du phaseur est représenté sur legraphique ci-contre en fonction de l'écart parrapport à la résonance δω.

On peut facilement vérifier sur l'expressionmathématique du phaseur que l'amplitude à larésonance vaut :(ce qui est identique à l'expression exacte calculéeplus haut avant l'introduction de l'approximation).

A2.4.2.b Largeur de résonanceIl est intéressant de voir comment la largeur de la résonance varie avec le coefficientd'amortissement α. Pour cela, calculons la valeur de δω à laquelle l'amplitude du mouvementvaut la moitié de l'amplitude maximale de la résonance :

Si on appelle δω* cette valeur particulière de δω on a, par définition :

En substituant, l'expression approchée du phaseur dans cette dernière relation, on obtient :

On voit que pour avoir égalité, il faut que la racine de soit égale à 2α, ce quiconduit immédiatement à l'expression :

Ce résultat montre que la largeur de la résonance est simplement proportionnelle aucoefficient d'amortissement α. Plus l'amortissement est faible, plus la résonance est étroite(ce résultat est illustré avec la ligne bleue pointillée sur le graphe ci-dessus). Il est intéressantde noter que ce résultat valide l’approximation du premier ordre en δω utilisée pour l’étudede la résonance. Remarquez que lorsque la résonance s'affine en raison d'une diminution del'amortissement, l'amplitude maximale d'oscillation augmente (cette augmentation estinversement proportionnelle à l'amortissement,

Annexe 3 : le circuit RLCLe circuit RLC alimenté par une source de tension alternative est un exemple idéal d'OLAforcé car tous les termes de l'équation canonique de l'OLA forcé correspondent trèsrigoureusement à la physique en jeu dans ce circuit. En particulier, le terme de forceextérieure harmonique est fourni par la source de tension alternative qui a en général unevariation très proche de la variation harmonique idéale considérée dans la théorie ci-dessus.De même, le terme d'amortissement de type frottement visqueux est fourni rigoureusementpar la résistance du circuit.

A3.1 Equation du circuitPour obtenir l'équation du circuit, on procède comme d'habitude en exprimant les différences de potentiel aux bornes de chaque élément.

Comme il y a une source de tension V, il faut exprimer que cette tension équilibreexactement la somme des tensions des tous les éléments du circuit, soit, V=VC+VR+VL.Remarquez que l'on prend une fonction sinusoïdale pour la variation de tension de la sourceet non une fonction cosinusoïdale (ce choix est fait pour la commodité du calcul et n'aaucune incidence sur le résultat auquel on aboutira). On obtient donc :

Pour éliminer la charge Q et la remplacer par le courant I, on dérive cette relation par rapportau temps.

On divise ensuite par L les deux membres et on introduit les paramètres usuels de l'équationde l'OLA forcé.

Et on arrive ainsi aisément à la forme canonique de l'équation de l'OLA forcé.

On en conclut que le circuit RLC alimenté par une tension alternative est un OLA forcé. C'estdonc un dispositif qui présente le phénomène de résonance. Pour étudier la résonance ducircuit, nous n'allons pas nous baser sur cette équation mais nous allons plutôt formulerdirectement l'équation du circuit en termes de phaseurs. Ceci nous conduira à la notiond'impédance qui est centrale en théorie de l’électricité.

A3.2 Phaseurs et impédancesL'introduction des phaseurs de courant et de tension permet une analyse extrêmement simpledu circuit basée sur l’expression des lois courant-tension de chaque élément du circuit entermes de phaseur. Nous allons commencer ici par traiter en détail la loi courant-tension ducondensateur. Comme I = dQ/dt et que Q = CVC, on peut écrire directement la loi courant-tension suivante :

Si on exprime le courant et la tension en fonction de leur phaseur, on trouve les relationssuivantes :

En regroupant les termes dans le membre de gauche et en utilisant le fait que la somme desparties réelles est la partie réelle de la somme, on obtient la relation suivante :

Et comme cette relation doit être vérifiée pour tout temps t, on sait que le facteurmultiplicatif de l'exponentielle dans les crochets doit être nul, ce qui nous mène à l'égalité I =iω CVC. C'est la loi courant-tension du condensateur exprimée en phaseurs. Cette équationalgébrique aurait pu être obtenue directement en remplaçant la dérivée temporelle par iωdans la loi courant-tension du condensateur exprimée en grandeurs réelles I = CdVC /dt.

Pour faire l’analyse du circuit complet nous devons tout d'abordtraduire les lois courant-tension de tous les éléments du circuit.Nous l'avons déjà fait pour le condensateur et on a vu qu'ilsuffisait de remplacer la dérivée temporelle par iω pour passerde la loi réelle différentielle à la loi algébrique des phaseurs.Nous allons ici adopter cette procédure directement aux loiscourant-tension des autres éléments du circuit. Pour larésistance, la loi d'Ohm en termes de phaseur garde bien sûr lamême structure que la loi réelle puisqu'elle ne comporte pas dedérivée. Par contre la loi de l'inducteur devient simplement VL =iω LI.

De même, la relation d'équilibre des tensions dans la maille du circuit conserve la mêmeforme puisqu'aucune dérivée n'y intervient.

Dans cette dernière relation on substitue ensuite les phaseurs de tension par leur expression en termes du phaseur de courant donné par les trois lois courant-tension trouvées ci-dessus, ce qui donne :

RéactancesPour simplifier les notations, on introduit les réactances du condensateur et de l'inducteur. Leslois courant-tension prennent alors une forme analogue à la loi d'Ohm mais avec une nuancede première importance : les coefficients de proportionnalité entre courants et tensions sontcomplexes (c'est d'ailleurs pourquoi on parle de réactance et non de résistance).

Remarque : Notez que le facteur imaginaire « i » apparaissant dans la loi de l'inducteur peut être écritexp(iπ/2), ce qui montre que le phaseur tension dans l'inducteur a une phase supérieure deπ/2 à celle du courant.

En effet, la tension de l’inducteur peut être écritesoit encore, en faisant apparaître l’amplitude Im et la phase ϕI du courant,ce qui, en calculant la partie réelle, donne :alors que le courant est Ce qui correspond bien à une avance temporelle de la variation de tension d’un quart depériode par rapport au courant. Le même raisonnement appliqué à la relation courant-tensiondu condensateur mène à la conclusion que la tension est dans ce cas-là en retard d’un quartde période sur le courant car le facteur imaginaire − i est égal à exp(− iπ/2) .

Revenons à la relation d'équilibre des tensions. Avec l'introduction des réactances, celle-ciprend la forme suivante :

En mettant le courant en évidence, on voit apparaître une simple relation de proportionnalitéentre la tension appliquée au circuit et le courant qui y circule. A nouveau donc, on retrouve lastructure de la loi d'Ohm avec une « résistance » complexe. Tout ce passe comme si tout lecircuit RLC se comportait comme une résistance complexe. Pour ne pas confondre cetterésistance complexe avec une résistance réelle, on l'appelle « impédance » et on la note Z(notez que le terme réactance n'est utilisé que pour désigner la partie imaginaire del’impédance, il s’agit de ne pas les confondre). La loi courant-tension du circuit RLC se résumedonc à V = ZI .

L'impédance est un nombre complexe mais il est important de réaliser qu’elle ne constituepas un phaseur ; la raison de ceci est qu’il n'y a pas de mouvement harmonique associé à cenombre. Autrement dit, il n’y a pas de grandeur physique réelle oscillante associée à Z.L’impédance est représentée ci-dessous dans le plan de Gauss (plan complexe). Sa partieréelle est la résistance R et sa partie imaginaire est donnée par la différence des réactances :i(XL-XC).

L'argument de Z est, en toute généralité, différent de zéro puisqu'il dépend de la différencedes réactances qui elles-mêmes dépendent différemment de la pulsation ω. L'argument de Zreprésente le déphasage qui existe entre la tension et le courant dans le circuit RLC, en effet,

Plus précisément, l’argument de Z est l'avance de phase de la tension sur le courant (bien sûr,si arg (Z) est négatif l'avance de phase devient un retard de phase). Le décalage temporelcorrespondant est :

A3.3 Condition de résonancePour se convaincre de l'utilité de la représentation complexe des phaseurs, on va montrer icique le phénomène de résonance du circuit RLC peut s'étudier à partir des deux relationsalgébriques toutes simples données ci-dessous.

La tension représente le terme de force extérieure de l'OLA forcé que constitue le circuit. Enfonction de la fréquence de la tension, l’amplitude d’oscillation du courant prend des valeursplus ou moins grandes et sa valeur maximale est bien entendu obtenue à la résonance. Or,l’amplitude d’oscillation du courant est maximale lorsque le module del’impédance est minimal. On peut donc facilement calculer la pulsation de résonance enrecherchant la valeur de ω pour laquelle le module de l’impédance est minimum.

Puisque la partie réelle de l’impédance est indépendante de la pulsation, Re(Z) =R, il est clairque la valeur minimale du module de l'impédance est obtenue lorsque sa partie imaginaireest nulle. On voit cela très facilement sur la représentation graphique de l’impédance donnéeprécédemment. Le module de l'impédance apparaît comme l'hypoténuse d'un trianglerectangle dont l’un des cotés est la résistance indépendante de la fréquence. Par contre,l'autre coté du triangle à une longueur qui dépend de la pulsation ω. La pulsation pourlaquelle la longueur de ce coté s'annule correspond à la valeur la plus petite du module del'impédance puisque l'hypoténuse prend alors la longueur du coté indépendant de lafréquence, soit, R.

D'après l'expression de l'impédancecette valeur minimale du module de l'impédance est obtenue lorsque les réactances del'inducteur et du condensateur sont égales.

Sachant que XL =iωL et que XC = 1/iωC, nous obtenons la condition de résonance sous laforme suivante :

Comme on pouvait s'y attendre, ce résultat montre que la pulsation de résonance n'est rien d'autre que la pulsation propre ω0 de l’OLA forcé que constitue le circuit RLC.

Les oscillateurs, généralités

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