ELE2611 Classe 8 - Circuits non-linéaires dynamiques, oscillateurs

Introduction

ELE2611 - Circuits Actifs

3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756

Cours 8 - Circuits non-lineaires dynamiques, oscillateurs

Instructeur: Jerome Le [email protected]

Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c©Le Ny, J. 1/47

https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756

Introduction

Motivation pour ce cours

I Jusqu’ici, nous avons rencontre seulement des circuits qui transformentdes signaux (filtres, comparateurs, etc.).

I Nous avons aussi besoin de circuits qui generent des signaux avec descaracteristiques donnees (frequence, amplitude, forme).

I Signaux d’horloge, porteuses de signal en communication, signaux de test,signaux audio, signaux d’excitation de capteurs, etc.

I Theoriquement, on peut generer des signaux periodiques sinusoıdaux avecun circuit lineaire dont les poles sont complexes conjugues sur l’axe desimaginaires. En pratique, un oscillateur purement lineaire n’est pasrealisable, il faut p. ex. un mecanisme (non-lineaire) de retroaction pourmaintenir les poles exactement sur l’axe des frequences. En bref, toutoscillateur necessite un element non-lineaire.

I Nous allons analyser dans ce cours divers circuits dynamiques permettantd’implementer des fonctions utiles qui necessitent des elementsnon-lineaires, en particulier des oscillateurs.


Introduction

Plan pour ce cours

Circuits lineaires par morceaux du premier ordreParcours dynamiqueAnalyse algebrique

Ciruits a resistance negative du premier ordre : multivibrateursOscillateur de relaxation (non sinusoıdal) ou multivibrateur astableFlip-Flop ou multivibrateur bistableMultivibrateur monostable (timer)Timer 555

Oscillateurs harmoniques (generateurs de sinusoıdes)Oscillateurs a resistance negative du second ordreOscillateurs harmoniques a retroaction


Introduction

Circuits lineaires par morceaux du premier ordre

Parcours dynamique

Plan pour ce cours





Introduction


Parcours dynamique

Circuits non-lineaires du premier ordre

F(i,v)=0

i+

-vC

i = Cdv

dt

F(i,v)=0

i+

-v

circuit statiquenonlinéaire

(actif ou passif)

circuit statiquenonlinéaire

(actif ou passif)v = L

di

dt

L

v

ii > 0 ) dv

dt< 0

i = 0 : Equilibre

i < 0 ) dv

dt> 0

(stable ou instable)

v > 0 ) di

dt< 0

v < 0 ) di

dt> 0

v = 0 : Equilibre

(stable ou instable)

v

i

eq.stable

eq.instables

eq.stables

eq. instable


Introduction


Parcours dynamique

Parcours dynamique

La technique d’analyse du parcours dynamique pour ces circuits du premierordre repose sur les principes suivants (cf. figure de la diapositive precedente) :

I Le point (i(t), v(t)) se deplace necessairement sur la caracteristiquecourant-tension F (i , v) = 0 du dipole statique au cours du temps.

I Le sens de parcours est determine par l’equation de l’element dynamique(condensateur ou bobine) qui donne le signe de dv

dtou de di

dt.

I Exemple : pour un condensateur, l’equation dvdt

= −i/C implique que si(i(t0), v(t0)) est un point sur la trajectoire pour lequel i(t0) > 0, alorsnecessairement la trajectoire doit se deplacer a ce point dans le sens destensions v decroissantes.

I Toujours pour un condensateur, si i(t0) = 0, alors dvdt

(t0) = 0, i.e., lesysteme est en equilibre (en l’absence de perturbation, v(t) ne changeplus, i(t) reste a 0). Pour une bobine, les equilibres correspondent auxpoints v = 0.

I Toutefois, ces equilibres peuvent etre stables ou instables (etudier unepetite perturbation de i). Un equilibre instable n’est pas observe enpratique car il n’est pas robuste aux perturbations.


Introduction


Parcours dynamique

Points d’impasse

i = Cdv

dtv = L

di

dt

Condensateur + dipôle statiqueF (i, v) = 0

v

i

points d'impasse

saut(v constant)

Bobine + dipôle statiqueF (i, v) = 0

v

i

saut(i constant)

I Avec les circuits du premier ordre, l’analyse du parcours dynamique peutnous amener a des points d’impasse

I Plus de progres continu n’est possible sur la caracteristique F (i , v) = 0, ensuivant les regles precedentes.

I En meme temps, on n’est pas a un point d’equilibre (i 6= 0 pour uncondensateur, v 6= 0 pour une bobine) et donc la trajectoire doit continuera evoluer.

I Cela est du a une modelisation insuffisante. Malgre tout, la solutionmathematique, si elle est possible, est d’effectuer un saut instantane :

I Pour un condensateur, le saut doit s’effectuer a tension constante.I Pour une bobine, le saut doit s’effectuer a courant constant.


Introduction


Analyse algebrique

Plan pour ce cours





Introduction


Analyse algebrique

Analyse algebrique des temps de parcours

I Une fois le parcours dynamique determine, on calcule les temps deparcours sur la caracteristique.

I Cela n’est pratique analytiquement que si l’on a fait une approximationlineaire par morceaux de la caracteristique.

I Pour le temps de parcours sur chaque morceau, on remplace le dipolestatique par une source continue + une resistance (negative ou positive),comme discute au cours 7.

I On resout ensuite pour v(t) (condensateur) ou i(t) (bobine) : solutionvalide tant que l’on reste sur le meme segment de la caracteristique.

3.25 Vv (V)2.5 V

2 V

0

i (mA)

P0

P1

P2

F(i,v)=0+

-vC

i

R

C vs

i

+

-

v

v (V)0

i (mA)

P0

P1

P2

F(i,v)=0+

-v

i

L

L isR

+

-v

i

P3

10 I0


Introduction


Analyse algebrique

Rappels : equa. diff. lineaires d’ordre 1 a coeffs. constants

I Il faut savoir integrer ces equations differentielles, rapidement et sansaide : dx

dt= αx + C , x(t0) = x0.

I Solutions de forme exponentielles sauf pour α = 0.

I α < 0 : systeme stable, solution en regime permanent : x(t)→ − Cα

pourt → +∞ (prendre dx/dt = 0 dans l’EDO), x(t)→ ±∞ quand t → −∞.

I α > 0 : systeme instable, solution tend vers ±∞ quand t → +∞, vers −Cα

quand t → −∞ (prendre dx/dt = 0 dans l’EDO).

I α = 0 : instable (ou “marginalement stable”), x(t) = x0 + C(t − t0).

I Cas α 6= 0. Pour C = 0⇒ x(t) = eα(t−t0)x0.

I Pour C 6= 0 constante, on se ramene au cas precedent car

d

dt

(x +

C

α

)= α

(x +

C

α

)⇒x(t) =

(x0 +

C

α

)eα(t−t0) − C

α

En bref, la solution est de la forme M1 exp(α(t − t0)) + M2, et on ajusteM1,M2 pour satisfaire la condition aux limites +∞ (systeme stable) ou −∞(systeme instable), et la condition initiale.


Introduction


Analyse algebrique

Rappels : equa. diff. lineaires d’ordre 1 a coeffs. constants (resume)

L’equationdx

dt= αx + C , x(t0) = x0.

a pour solution

I Si α = 0 :x(t) = x0 + C(t − t0).

I Si α < 0 :

x(t) = (x0 − x∞) eα(t−t0) + x∞, avec x∞ = −C

α= lim

t→∞x(t).

I Si α > 0 :

x(t) = (x0 − x−∞) eα(t−t0) + x−∞, avec x−∞ = −C

α= lim

t→−∞x(t).

Toujours valider votre solution en verifiant que la condition initiale et a ±∞voulues sont satisfaites.


Introduction


Analyse algebrique

Analyse algebrique, temps de parcours : cas du condensateur

3.25 Vv (V)2.5 V

2 V

0

i (mA)

P0

P1

P2

F(i,v)=0+

-vC

i

R

C vs

i

+

-

v

v (V)0

i (mA)

P0

P1

P2

F(i,v)=0+

-v

i

L

L isR

+

-v

i

P3

10 I0

R = 0 : Is = Cdv

dt(prendre une source de courant Is)

R 6= 0 : v = vs + Ri = vs − RCdv

dt,

i .e.,dv

dt= − 1

RC(v − vs)

Temps ∆t = t1 − t0 pour passer de v(t0) a v1 = v(t1) :

I Cas R = 0 : ∆t = CIs

(v1 − v0)

I Cas R > 0 : v(t) = vs + (v(t0)− vs)e−(t−t0)/τ , τ = RC > 0, v(t)→ vs

quand t → +∞∆t = τ ln

vs − v(t0)

vs − v1

I Cas R < 0 : v(t) = vs + (v(t0)− vs)e(t−t0)/τ , τ = |RC | > 0, v(t)→ vs

quand t → −∞∆t = τ ln

vs − v1

vs − v(t0)


Introduction


Analyse algebrique

Exemple avec un condensateur

3.25 Vv (V)2.5 V

2 V

0

i (mA)

P0

P1

P2

F(i,v)=0+

-vC

i

R

C vs

i

+

-

v

v (V)0

i (mA)

P0

P1

P2

F(i,v)=0+

-v

i

L

L isR

+

-v

i

P3

10 I02.5V

2V

P0

P1

t

3.25V

v

31.9 μs

v(t) = 3.25 0.75 exp

t (en µs)

62.5

v(t) = 2 exp

t 31.9 (en µs)

100

I La caracteristique F (i , v) = 0 est donnee ci-dessus. Pour v(0) = 2.5V ,C = 0.5 µF , re-determiner et tracer v(t) pour t ≥ 0.

I Trajectoire P0 → P1 : v(0) = 2.5V , relation v = 3.25 + R1i ,R1 = − 1.25

0.01= −125 Ω.

I Trajectoire P1 → P2 : v(t1) = 2V , relation v = R2i , R2 = 20.01

= +200 Ω.

I N.B. : si on avait un segment horizontal, on utiliserait une source decourant.


Introduction


Analyse algebrique

Exemple avec une bobine

3.25 Vv (V)2.5 V

2 V

0

i (mA)

P0

P1

P2

F(i,v)=0+

-vC

i

R

C vs

i

+

-

v

v (V)0

i (mA)

P0

P1

P2

F(i,v)=0+

-v

i

L

L isR

+

-v

i

P3

10 I0

I Pour le circuit ci-dessus, la caracteristique du dipole statique (controle encourant) est donnee a droite. En supposant i(0) = I0 A (= −iL(0)),determiner i(t) pour tout t ≥ 0 (introduisez les parametres de lacaracteristique dont vous aurez besoin).

I N.B. : Dans ce cas (pour R 6= 0), on utilise le circuit de Norton equivalentau dipole statique au lieu du circuit de Thevenin.


Introduction

Ciruits a resistance negative du premier ordre : multivibrateurs

Oscillateur de relaxation (non sinusoıdal) ou multivibrateur astable

Plan pour ce cours





Introduction



Oscillateur de relaxation (non sinusoıdal)

I Condensateur + res. neg. type S, oubobine + res. neg. type N

I Regime lineaire instable, transitoire simode initial

I Tant que v0 = +Vsat , iin < 0 et vinaugmente

I Quand vin atteint v+ = βVsat , latension d’entree de l’AO s’inverse et vodevient −Vsat

I Lors du saut, vin est constant et iins’inverse

I vin se met alors a diminuer, jusqu’aatteindre a nouveau v+ = −βVsat , et lecycle recommence

I Aussi appele multivibrateur astable

vin

iin

- Satu

ration

+ Satu

ration

Vsat

Vsat

pente R1

R2Rf

1/Rf

1/Rf

=R2

R1 + R2

Montage résistance négative type S

-+

vin

1+

-

vo

Rf

R1R2

iin

vo

t

+Vsat

-Vsat

C

C


Introduction



Oscillations : solution algebrique

iin+

-

vinCVsat

Rf

Région +SatVo=+Sat

vin = Vsat+Rf iinvin: -β Vsat +β Vsat

iin+

-

vinC

Vsat

Rf

Région -SatVo=-Sat

vin = -Vsat+Rf iinvin: +β Vsat -β Vsat

t

vin

t1βVsat

-βVsat

t2

! = Rf C

vin(t2) = Vsat,d

dt(vin + Vsat) = 1

(vin + Vsat),

) vin(t) = Vsat

1 R1 + 2R2

R1 + R2e

tt2

vin(t1) = Vsat,d

dt(vin Vsat) = 1

(vin Vsat),

) vin(t) = Vsat

1 R1 + 2R2

R1 + R2e

tt1

Après phase transitoire, vo oscille entre -Vsat et +Vsat, et vin entre +βVsat et -βVsat,

avec β=R2 / (R1+R2).

vo est constante par morceaux, vin est exponentielle par morceaux.

Analyse du circuit avec les modèles linéaires équivalents dans chaque région.


Introduction



Periode des oscillations

I Par symmetrie, T = 2×∆t[P1→P2]

I Sur le segment P1 → P2, on avin = Vsat + Rf iin

I le circuit statique est equivalent a unesource +Vsat en serie avec uneresistance Rf

I D’apres la diapositive 12, on a

∆t[P1→P2] = (Rf C) lnVsat − vP1

Vsat − vP2

⇒ T = 2Rf C ln1 + β

1− β

T = 2Rf C ln

(1 +

2R2

R1

)I La periode se regle sur un instrument

en commutant entre valeurs de C et enfaisant varier R de maniere continue

vin

iin

- Satu

ration

+ Saturat

ion

VsatVsat

pente R1

R2Rf

1/Rf

1/Rf

=R2

R1 + R2

Vsat

Vsat

P1

P2

P3

P4


Introduction



Formes des oscillations a l’entree

I Les oscillations de vC (ou iL pour un montage avec bobine) sont presquetriangulaires si T est suffisamment petite par rapport a τ = Rf C (ouτ = L

Rf), c’est-a-dire β suffisamment petit : on exploite la quasi-linearite

du debut de la courbe exponentielle


Introduction



Un autre point de vue sur l’oscillateur de relaxation

vin

vo

Rf

C vovin

t

vint1

βVsat

-βVsatt2

vo

t

+Vsat

-Vsat

VsatVsat

Vsat

Vsat

I Connection en retroaction d’une bascule inverseuse et d’un circuit RCI vo = +Vsat ⇒ vin tend exponentiellement vers Vsat, jusqu’a atteindre le

seul de bascule +βVsat

I Alors vo = −Vsat ⇒ vin tend exponentiellement vers −Vsat, jusqu’aatteindre le seul de bascule −βVsat


Introduction



Generation de signaux triangulaires de meilleure qualite

vin

vo

vovin

vo

t

+Vsat

-Vsat

Vsat

Vsat

VthVtl

-+

RC

t

vin

t1

Vth

Vtlt2

I On remplace le passe-bas RC precedent par un integrateur inverseur(notez la bascule, non-inverseuse).

I Analysez ce circuit. Montrez que t1 = (t2 − t1) = RC Vth−VtlVsat

.


Introduction


Flip-Flop ou multivibrateur bistable

Plan pour ce cours





Introduction



Flip-flop

I Echangeons le condensateur avec un bobine,+ res. neg. type S (autre realisation possible :condensateur + resistance negative type N)

I Pour l’instant vs ≡ 0

I Regime lineaire instable, transitoire si present

I vs ≡ 0⇒ ddtiin = − vin

L

I Pour vs = 0, suivant la condition initiale iin(0),le circuit atteint un des deux equilibres stables(et vo = ±Vsat)

I Signal vs permet de changer l’etat du circuitd’un equilibre a l’autre (prochaine diapositive)

I Equilibre instable (0, 0) jamais observe enpratique

I Flip-flop = multivibrateur bistable

vin

iin

- Sat

+ Sat

Vsat

Vsat

pente R1

R2Rf

1/Rf

1/Rf

=R2

R1 + R2

Montage résistance négative type S

-+

vin

1+

-

vo

Rf

R1R2

iin

L

L

=+vs(t)

=+vs(t)

vin

+

-

iin Equilibresstables

Parcours dyn.pour vs=0

-

-

Q1

Q2

+

-

vL


Introduction



Changement d’etat du flip-flop

iin

- Sat

+ Sat

VsatVsat

Q1

Q2

P0

P1

P2

P3P4

v

F(iin,vin)=0 F(iin,vin+E)=0

E VE

T

t

vs

0 t1 t2

(t = t+1 )

(t = t+2 )(t = t2 )

I Un signal de commutation vs permet de passer d’un etat a l’autreI La bobine voit la tension vL = vs + vinI Illustration pour le passage de Q1 a Q2. Conditions pour le changement

d’etat : E > βVsat suffisamment grand pour que P1 soit dans le demi-plandroit, et duree d’impulsion T suffisamment longue pour passer le point P2

I Pour passer de Q2 a Q1, on donne une impulsion opposee −E : translationde la caracteristique F (iin, vin) = 0 vers la gauche au lieu de la droite.


Introduction



Comparaison avec une bascule de Schmitt simple

I Notez qu’une bascule de Schmitt permet aussi de realiser un flip-flop (etest aussi appele multivibrateur bistable).

I Pour la bascule de Schmitt, il y a seulement une condition sur l’amplitudede l’impulsion a l’entree pour basculer d’un etat a l’autre (vin > βVsat ouvin < −βVsat).

I Le montage precedent ajoute une condition sur la duree minimum del’impulsion pour effectuer le basculement. Peut permettre de filtrer desperturbations de grande amplitude mais de courte duree.


Introduction


Multivibrateur monostable (timer)

Plan pour ce cours





Introduction


Multivibrateur monostable (timer)

Multivibrateur monostable ou generateur d’impulsion

I Sur une impulsion d’entree, le multivibrateur monostable passe dans unetat instable pendant une duree bien determinee (controlee typiquementpar une constante RC), avant de revenir dans son etat stable de depart.

I Permet d’obtenir une fonction de minuteur (timer) en reponse a unevenement.

[Sedra et Smith, ch. 17]


Introduction


Timer 555

Plan pour ce cours





Introduction


Timer 555

Timer 555

http://en.wikipedia.org/wiki/555_timer_IC

I Invente en 1971 par Hans Camenzind (Signetics, rachete par PhilipsSemiconductors, maintenant NXP). Un des circuits integres les plusrepandus, > 1 milliards d’unites produites chaque annee.

I 3 modes d’operation suivant le circuit externe utilise :I astable (oscillateur)I bistable (flip-flop)I monostable (one-shot pulse generator)


http://en.wikipedia.org/wiki/555_timer_IC

Introduction

Oscillateurs harmoniques (generateurs de sinusoıdes)

Plan pour ce cours





Introduction


Approches pour la generation de signaux sinusoıdaux

I Les signaux sinusoıdaux sont probablement les plus importants et les plusfrequemment utilises en electronique.

I Souvent (audio, comms), on a besoin de generer des sinusoıdes les pluspures possibles (c’est-a-dire, le contenu frequentiel du signal ne contientquasiment qu’une frequence). Purete mesuree par le THD (TotalHarmonic Distortion, ou taux de distortion harmonique), idealement 0.

3 approches principales pour la generation de sinusoıdesI Mise en forme d’un signal triangulaire par quadripole statique non-lineaire.

I Cf. cours 7. Le signal triangulaire peut etre genere par un oscillateur derelaxation. Approche simple et couramment utilisee, mais THD eleve.

I Oscillateurs a retroaction (quelquefois appeles “oscillateurs lineaires”). Lesplus courants pour un bon THD. Boucle de retroaction maintenue a lalimite de la stabilite par un limiteur d’amplitude (composant non-lineaire).

I Oscillateurs harmoniques a resistance negative. Ajout d’un secondcomposant dynamique aux oscillateurs de relaxation. Plutot utilises auxhautes frequences (RF) lorsque les oscillateurs a retroaction nefonctionnent plus bien. Implementations a base de transistors plutotqu’avec des AO comme ici, mais principes de fonctionnement identiques.


Introduction


Oscillateurs a resistance negative du second ordre

Plan pour ce cours





Introduction



Perturbation de l’oscillateur de relaxation

-+

vin

1+

-

vo

Rf

R1R2

iin

C

L

+-

vin

1+

-

vo

Rf

R1R2

iin

LCt t

T = 2RfC ln

1 + 2

R2

R1

T = 2

L

Rfln

1 + 2

R1

R2

+

-

vc

iL

I osc. de rel. precedents → ondes carrees pour vo , ondes ∼ dents de scie outriangulaires pour vc ou iL suivant le cas et valeur de τ .

I Saut dans le parcours dynamique peut en fait s’expliquer comme la limited’un meilleur modele avec un deuxieme element dynamique formant uncircuit LC.

I Pour determiner si l’element parasite est en serie ou parallele, le fairetendre vers 0. On doit alors retrouver les montages precedents. Ex : L enparallele de C pour le montage de gauche ci-dessus court-circuiterait Cquand L→ 0.

I Si le L ou C additionnel est plus grand, on peut en fait generer des ondesa peu pres sinusoıdales pour vC ou iL.


Introduction



Exemple

I Les oscillateurs harmoniques a resistance negative emploient un circuitresonnant connecte a un circuit montrant une resistance negative etfournissant de l’energie.


Introduction



Analyse de l’osc. harmonique a resistance negative

I L’analyse mathematique rigoureuse de l’oscillateur harmonique aresistance negative n’est pas particulierement facile. On ne donnera quequelques idees qui peuvent guider la conception.

I On voit sur la simulation precedente qu’initialement l’AO travaille dansson regime lineaire.

I Dans ce mode, la partie statique (AO,R1,R2,Rf ) du circuit se comportecomme une resistance negative RN = −Rf

R2R1

. On a alors

|RN |C

L r

bobine (avec r parasite)

I Si RN + r ≤ 0, i.e., Rf ≥ R1R2r , alors le circuit RLC ci-dessus est instable

(Q < 0, polynome du 2nd degre avec changement de signe, montrer qu’ily a un pole a droite), ce qui permet initialement de faire grandir lesoscillations spontanement a partir d’un bruit quelconque (il faut aussi|Q| > 1/

√2 pour avoir des oscillations).


Introduction



Analyse de l’osc. harmonique a res. negative (cont.)I Les oscillations vont finir par arreter de grandir, parce que le montage de

res. neg. ne fournit plus assez d’energie (remarquer que viniin devient > 0,passif, pour |vin| ou |iin| grands).

I Une fois les oscillations etablies a vo , on peut voir le montage comme uncircuit RLC qui filtre ce signal vo , pour tenter de ne conserver qu’uneharmonique.

C

L r

bobine

=+

Rf

vo

I La frequence de l’oscillation ∼ sinusoıdale vC est alors ∼ ω0 = 1√LC

.I La purete de la sinusoıde aux bornes de C est liee au facteur de qualite

Q = 1Rf

√LC

. Une bonne sinusoıde demande donc Rf faible. Mais Rf trop

faible tuerai les oscillations en pratique car on doit respecter Rf ≥ R1R2r .

I Autre point de vue : il ne faut pas prendre RN trop grand, sinon le circuitest initialement trop instable et on n’obtiendra pas un signal sinusoıdal.

I On peut aussi prendre LC 1 mais C et surtout L sont des parametres

moins flexibles, en particulier avec ω0 specifie.


Introduction



Analyse de l’osc. harmonique a res. negative II

I “L’analyse” precedente peut etre une source d’intuition pour guider lechoix des composants.

Analyse mathematique :

I Equations du circuit L,C serie + res. neg. type S (vin = f (iin)). Puisquevin = f (iin) = −L diin

dt+ vc , en denotant i = iin, on obtient

di

dt=

vcL− 1

Lf (i),

dvcdt

= − i

C

0

Vsat

Vsat

RfRf

RfR2

R1

(1 )Vsat

Rf

(1 )Vsat

Rf

i

f(i)

=R2

R1 + R2

Vsa

t+

Rfi

V sat+

R fi

Vsat

Rf

Vsat

Rf


Introduction




I Dans la region autour de i = 0, f (i) = −RfR2R1i = −RN i donc

di

dt=

Rf R2

LR1i +

vcL,

dvcdt

= − i

C

⇒ d2i

dt2=

RN

L

di

dt+

1

L

−iC, i.e.,

d2i

dt2− RN

L

di

dt+

1

LCi = 0

I Equation caracteristique : X 2 − RNLX + ω2

0 = 0, ω20 = 1

LC, changement de

signe ⇒ au moins une solution instable.

I Coefficient d’amortissement : ζ = − 12

√CLRN . On a des oscillations (poles

complexes) pour |ζ| < 1, i.e., RN < 2√

L/C .

I Ces oscillations sont croissantes i(t) ∝ eαt cos(ωd t + φ), avec α = RN2L

,

ωd = ω0

√1− ζ2

I vc = v(0)−∫ t

0i(τ)C

dτ est aussi oscillant et croissant


Introduction




I Au bout d’un certain temps, i sort de la region ou f (i) = −RN i , puis sortde la region active ou i × f (i) < 0 (i.e., |i | > vsat/Rf ). Hors de cetteregion, le dipole non lineaire est passif et cesse donc de fournir del’energie.

I Ce mecanisme limite l’amplitude des oscillations, qui se stabilisentfinalement a une valeur independente des conditions initiales. Ladetermination analytique de cette amplitude exacte n’est pas simple.

I L’etude complete du systeme a 2 equations differentielles peut se visualiserpar son portrait de phase, qui presente un cycle limite.

I Distortion de la sinusoıde liee a la forme du cycle limite.

I Des analyses similaires peuvent etre faites pour L ‖ C connecte a uneresistance negative de type N. Le circuit RLC considere pour la resonanceet le filtrage de vo est alors un RLC parallele.


Introduction



Portrait de phase pour un oscillateur harmonique


Introduction


Oscillateurs harmoniques a retroaction

Plan pour ce cours





Introduction




I Aux frequences moderees (/ 500 MHz), les oscillateurs harmoniques aretroaction (feedback oscillators) sont les plus repandus. Ceux-cis peuventemployer des AO + circuits RC jusqu’aux frequences de l’ordre de 1 MHz.Au-dela, on utilisera des transistors + circuits LC ou crystaux.

I Ces oscillateurs sont formes d’une boucle de retroaction positive, avec Aun amplificateur (dont on controle precisemment le gain) et H(s) un filtreselectionnant la frequence des oscillations.

Ay

H(s)

+

+

u

u: bruit ou perturbation

t

Y (s) = A(U(s) + H(s)Y (s))

Y (s) =A

1 AH(s)U(s)

1 AH(s0) = 0 pour s0 + ± j!0

I On demarre les oscillations avec un bruit quelconque excitant un circuitinstable dont les poles sont complexes conjugues avec partie imaginaireproche de la pulsation ω0 desiree


Introduction



Oscillateurs harmoniques a retroaction : stabilisation d’amplitude

I Demarrage des oscillations

Ay

H(s)

+

+

u

u: bruit ou perturbation

t

Y (s) = A(U(s) + H(s)Y (s))

Y (s) =A

1 AH(s)U(s)

1 AH(s0) = 0 pour s0 + ± j!0

I Intuition par l’analyse lineaire : une fois l’amplitude des oscillationssuffisamment grande, un mecanisme non-lineaire de controle de gain reduitle gain A a la valeur A0 permettant de ramener les poles exactement a±jω0. Si les oscillations decroissent, ce mecanisme augmente de nouveaule gain. La condition (necessaire) sur A0 et H(jω0) pour avoir desoscillations a ω0 est le critere de Barkhausen

A0H(jω0) = 1

et en particulier si A0 ∈ R, il faut ∠H(jω0) = 0.I N.B. : pour analyser ces oscillateurs mathematiquement rigoureusement

dans le regime ou les oscillations sont etablies (cycle limite), il faudaitencore etudier le systeme non-lineaire avec le controle de gain.


Introduction



Exemple : oscillateur a pont de Wien

RR

CC

-+

v0

va

R1

R2

filtre passe-bande

H(s) =Va(s)

Vo(s)

gain A

Montage montre ici sans son mecanisme delimitation d’amplitude

H(s) =Zp

Zp + Zs=

1

1 + ZsYp

H(s) =1

1 + (R + 1/Cs)(Cs + 1/R)

H(s) =RCs

(RCs)2 + 3RCs + 1

ω0 =1

RC,H(jω0) =

1

3(∠H(jω0) = 0)

Pour avoir des oscillations a ω0, il faut

A0 = 3 = 1 +R2

R1.

Equation caracteristique : 1− AH(s) = 0⇔ (RC)2s2 + (3− A)RCs + 1 = 0Racines a droite pour A > 3, s0 = ±jω0 pour A = 3 et a gauche pour A < 3.


Introduction



Oscillateur a pont de Wien : exemple de stabilisation d’amplitude 1

R4158k

C1

1n

C2

1n

R5

158k

R110k

R2

22.1k

R3

100kD1

myD

D2

myDV1

5

U1

LTC1050

V2

-5

out

out2

V+-V

V+ V-

.lib opamp.sub

.model myD D(Ron=0.1 Roff=1G Vfwd=0.7)

.tran 5us 30ms 0ms 5us UIC

I Initialement, pas de courant dans R3 → Amplificateur non-inverseur :A = 1 + 22.1

10= 3.21.

I Quand l’amplitude de vout est suffisante, les diodes commence a etrepassantes, le gain commence a diminuer vers A = 1 + 22.1‖100

10= 2.8,

jusqu’a la stabilisation des oscillations.I La taille des oscillations depend des tensions de seuil des diodes, et des

valeurs des resistances de l’amplificateur.I On peut aussi prendre la sortie a out2, plus pure car filtree, mais necessite

un buffer si on a une charge.


Introduction



Oscillateur a pont de Wien : exemple de stabilisation d’amplitude 2

R4158k

C1

1n

C2

1n

R5

158k

R110k

R2

20.3kR31k

D1

myD

D2

myD5

V1

U1

LTC1050

-5

V2

R63k

R71k

R83k

V3

5

V4

5

V+-V

V+ V-

out

a

b

.lib opamp.sub

.model myD D(Ron=0.1 Roff=1G Vfwd=0.0)

.tran 5us 100ms 0ms 5us UIC

b

a

I Ajout d’un limiteur d’amplitude en sortie (cf. cours 7).I Necessite de demarrer les oscillations lentement (prendre R2 par trop

elevee) pour limiter la distortion introduite par le limiteurI Taille des oscillations : resoudre pour vout,max avec les equations

vout−vb ≈vb + 5

3(negliger courant dans D1), vb = v−+Vs,D1 , v− ≈ vout/3


Introduction



Conclusion

Voici un bref recapitulatif de ce coursI Etude des circuits dynamiques du premier ordre :

I Commencer par analyser le parcours dynamique, y compris la presence etnature des points d’equilibres.

I Les trajectoires sur un parcours lineaire par morceaux se calculent enresolvant des equations differentielles lineaires du premier ordre acoefficients constants.

I Oscillateurs de relaxation : realisable avec un circuit d’ordre 1 et uneresistance negative, en l’absence d’equilibre stable sur le parcoursdynamique.

I Flip-flop : realisable avec un circuit d’ordre 1 et une resistance negative, enpresence de deux equilibres stables sur le parcours dynamique (ou, plussimple, par une bascule de Schmitt).

I Oscillateurs harmoniques : necessitent des circuits d’ordre 2. On peut faireune etude locale pour le demarrage des oscillations et obtenir de l’intuitionavec l’analyse lineaire, mais l’analyse rigoureuse des oscillations en regimepermanent (cycle limite) necessite une analyse non-lineaire.


ELE2611 Classe 8 - Circuits non-linéaires dynamiques, oscillateurs

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