Orthique encyclopedie 7 - jl.ayme.pagesperso-orange.fr

COLLECTION GÉOMÉTRIQUE

ΣΥΝΑΓΩΓΉ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΉ

AUTOUR

DU

TRIANGLE ORTHIQUE 7

Jean-Louis AYME 1

A

B C

H O

A' A1

A"

R

Résumé. L'auteur présente une collection de problèmes autour du triangle orthique d'un triangle et dont le contexte se réfère au titre ci-avant. Preuves souvent originales, commentaires et notes historiques accompagnent chaque problème.

Cette collection construite d'une façon linéaire par accumulation linéaire se poursuit… Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Avertissement. L'auteur rappelle que la vision triangulaire d'un résultat est laissée aux soins du lecteur. Un renvoi comme ''Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de la même section. Un renvoi comme ''12. Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de ''la section 12''. Un foot note précise une origine du problème, une signification ou une renvoie à un article de l'auteur.

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan indien, France), le 30/09/2019 ; [email protected]

2

2

Abstract. The author presents a collection of problems around the orthic triangle of a triangle and whose context refers to the above title. Often original proof, comments and historical notes accompany each problem.

This linearly collection builts by accumulation continues... The figures are all in general position and all cited theorems can all be demonstrated

synthetically.

Warning. The author recalls that the triangular vision of a result is left to the reader care.

A reference as ''Problem 5'' means that the reader refer to the ''Problem 5'' of the same section. A reference like ''12. Problem 5'' means that the reader refer to the ''Problem 5'' of ''section 12''. A foot note specifies an origin of the problem, a meaning or a refers to an article of the author.

3

3

Sommaire

A. Récapitulation 3

B. Thèmes des problèmes 8

C. Les problèmes résolus 9

1. Point sur une cévienne du triangle orthique 10 2. Un milieu 12 3. Une droite de Steiner 15 4. Droite de Steiner perpendiculaire à une cévienne 16 5. Une droite de Steiner 18 6. Parallèle à une hauteur du triangle 20 7. Milieu d'un côté du triangle orthique 23 8. Droite de Steiner parallèle à un côté du triangle orthique 25 9. Parallèle à un côté du triangle orthique 27 10. Droite de Steiner parallèle à un côté du triangle orthique 29 11. Cévienne se brisant sur côté du triangle orthique 32 12. Parallèle à un côté du triangle 33 13. Deux orthocentres et une symédiane 36 14. Une cévienne comme axe radical 38 15. Trois cercles coaxiaux 40 16. Un point comme orthocentre 43 17. Parallèle à un côté du triangle 47 18. Un point comme orthocentre 51 19. Droite Steiner perpendiculaire à une cévienne 53 20. Deux segments égaux 55 21. Droite de Steiner parallèle à un côté du triangle circumorthique 58 22. D'une médiane à une hauteur 60 23. Perpendiculaire à une médiane 63 24. Parallèle à un côté du triangle 64 25. Trois points alignés 65 26. Droite de Steiner perpendiculaire à une droite de Steiner 68 27. Un cercle passant par deux sommets 70 28. Trois points alignés 73 29. Intersection sur le cercle circonscrit 75 30. Un milieu 78 31. Deux parallèles 80 32. Un triangle isocèle 82 33. Trois céviennes concourantes 84 34. Intersection sur une hauteur 86 35. Une condition 90 36. Trois points alignés 93 37. Deux segments égaux 95 38. Perpendiculaires à un côté 97 39. Parallèle à une cévienne 101 40. Trois céviennes concourantes dans le triangle orthique 104

D. Lexique Français-Anglais

4

4

A. RÉCAPITULATION

1. Point sur une cévienne du triangle orthique 2. Un milieu

3. Une droite de Steiner 4. Droite de Steiner perpendiculaire à une cévienne

5. Une droite de Steiner 6. Parallèle à une hauteur du triangle

7. Milieu d'un côté du triangle orthique 8. Droite de Steiner parallèle à un côté du triangle orthique

A

B C D

H O

0

E

N

1

A

B C

H O

A' A1

A"

R

A

B C

H

0

P

Q

R

A

B C

F

D

E

H

X

K

P

M

N

A

B C

C'

B'

D

A'

0

X

A

B C

H O

M

N

K

P P

A

B C

C'

H

B'

D

A'

E

B*

0

A

B C

C'

B'

D

A'

E

0

A*

5

5

9. Parallèle à un côté du triangle orthique 10. Droite de Steiner parallèle à un côté du triangle orthique

11. Cévienne se brisant sur un côté du triangle orthique 12. Parallèle à un côté du triangle

13. Deux orthocentres et une symédiane 14. Une cévienne comme axe radical

15. Trois cercles coaxiaux 16. Un point comme orthocentre

A

B C

C'

B'

D

A'

0

X

B''

A

B C

C'

H

B'

D

A'

0 Y

U

A

B C

C'

B'

A'

0

P

A"

B"C"

Ta

Pb

A

B C

O

D

H1

0

Y

A

B C

F

D

E

H

U

V

1

2

A

B C

O

D H1

H2

S

0

1a

A

B C

R

Q

P

E

D

M

0

A

B C

F

D

E

H

1

P Q

2 3

X

6

6

17. Parallèle à un côté du triangle 18. Un point comme orthocentre

19. Droite de Steiner perpendiculaire à une cévienne 20. Deux segments égaux

21. Droite de Steiner 22. D'une médiane à une hauteur parallèle à un côté du triangle circumorthique

23. Perpendiculaire à une médiane 24. Parallèle à un côté du triangle

25. Trois points alignés 26. Droite de Steiner perpendiculaire à une droite de Steiner

A

B C

F

D

E

1a

M

X Y

Z

A

B C

Q

O P

A

B C

F

E

D M

H

A

B C

F

D

E

0

P

Q

A

B C M

D

E

F

N

A

B C

F

D

E

H

0

P

Q

X

A

B C D

P

Q E

F N

M

A

B C M D

F

E

A

B C

H

V

U N

B'a

Ba

A

B C

H

A*

A'

N

7

7

27. Un cercle passant par deux sommets 28. Trois points alignés

29. Intersection sur le cercle circonscrit 30. Un milieu

31. Deux parallèles 32. Un triangle isocèle

33. Trois céviennes concourantes 34. Intersection sur une hauteur

A

B C

F

D

E

H

B*

P

Q

A

B C

F

D

E

H

A*

M

X

A

B C

O

D

B'

L

K

M

N

P

0

A

B C

H

M

Q

R

Pm

A

B C

H

Q

O

Ma 0

A'

B"

A

B C

F

E

M

A

B C

H

M

L

N O

E

D

F

A

B C

H

E

D

F

0

M

P Q

8

8

35. Une condition 36. Trois points alignés

37. Deux segments égaux 38. Perpendiculaire à un côté

39. Parallèle à une cévienne 40. Céviennes concourantes dans le triangle orthique

A

B C

D

E

F

1

A

B C

F

E

M P

N

Q Pa

A

B C

F

E

O M

S

N

K

0

Pm Pn

A

B C

F

D

E

H

A*

A

B C

H

0

P

Pa

Q

R

P'a

A

B C

F

D

E

M

P

N

10

10

11

11

12

12

13

13

B. THÈMES DES PROBLÈMES 2

• Point sur une cévienne du triangle orthique 1 • Un milieu 2, 7, 30 • Une droite de Steiner 3, 5 • Droite de Steiner perpendiculaire à une cévienne 4, 19 • Parallèle à une hauteur du triangle 6 • Droite de Steiner parallèle à un côté du triangle orthique 8, 10 • Parallèle à un côté du triangle orthique 9 • Cévienne se brisant sur un côté du triangle orthique 11 • Parallèle à un côté du triangle 12, 17, 24 • Deux orthocentres et une symédiane 13 • Une cévienne comme axe radical 14 • Trois cercles coaxiaux 15 • Un point comme orthocentre 16, 18 • Deux segments égaux 20, 37 • Droite de Steiner parallèle à un côté du triangle circumorthique 21 • D'une médiane à une hauteur 22 • Perpendiculaire à une médiane 23 • Trois points alignés 25, 28, 36 • Droite de Steiner perpendiculaire à une droite de Steiner 26 • Un cercle passant par deux sommets 27 • Intersection sur le cercle circonscrit 29 • Deux parallèles 31 • Un triangle isocèle 32 • Trois céviennes concourantes 33 • Intersection sur une hauteur 34 • Une condition 35 • Perpendiculaire à un côté 38 • Parallèle à une cévienne 39 • Trois céviennes concourantes dans le triangle orthique 40 • •

2 Renvoi au numéro du problème

14

14

C. LES PROBLÈMES RÉSOLUS

15

15

PROBLÈME 1 3

Propuesto

por

Mihaela Berindeanu (profesora, Bucharest, Romania)

Point sur une cévienne du triangle orthique

VISION

Figure :

A

B C

H O

A' A1

A"

R

Traits : ABC un triangle acutangle, H, O l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit à ABC, A', A1 les points d'intersection de (BC) resp. avec (AH), (AO), A'' le milieu de [AA''] et R le cross-cevian point de H et O relativement à ABC. 4 Donné : (A'A'') passe par R.

VISUALISATION

A

B C

H O

A' A1

A"

R

K J

I

• Notons IJK le triangle médian de ABC.

3 Problema 919, Triangulos con Cabri ; http://personal.us.es/rbarroso/trianguloscabri/ Zaslavski A., A new theorem?, Message Hyacinthos # 10509 du 21/09/2004 ; https://groups.yahoo.com/neo/groups/Hyacinthos/conversations/messages/10509 4 Pour ETC, Q est le R-Ceva conjugate of P et P est le R-Ceva conjugate of Q

16

16

• Scolie : A'' est sur (IJ). • Conclusion : d'après ''The cross-cevian point'' 5, (A'A'') passe par R.

5 Ayme J.-L., The cross-cevian point, G.G.G. vol. 3, p. 2-8 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

17

17

PROBLÈME 2 6

2012 CWMO P5

Droite d'Euler * Un cercle ayant pour corde une hauteur

Un milieu

VISION

Figure :

A

B C D

H

O

0

E

N

1

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, N le milieu de [OH], E le point d'intersection de la médiatrice de [AO] et (BC), et 1 le cercle circonscrit à ADE. Donné : 1 passe par N.

VISUALISATION

6 through the midpoint of OH, AoPS du 30/09/2012 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=500433 A Right Triangle in a Circumcircle, AoPS du 26/09/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1145479_a_right_triangle_in_a_circumcircle

18

18

A

B C D

H

O

0

E

N

1

U La

• Notons La la parallèle à (OH) issue de A et U le second point d'intersection de La avec 1. • Conclusion partielle : le pinceau (A ; H, O, N, U) est harmonique.

A

B C D

H

O

0

E

N

1

U La

Ma

Y

X

• Notons Ma la médiatrice de [OA] et X, Y les points d'intersection de la médiatrice de [OH] resp. avec (BC), Ma. • D'après Autour du triangle orthique 1 7, N est le milieu de [XY]. • Scolie : (XY) // (EU).

7 Ayme J.-L., Autour du triangle orthique 1, Problème 16, G.G.G. vol. 49, p. 44-45 ; https://jl.ayme-pagesperso-orange.fr/

19

19

A

B C D

H

O

0

E

N

1

U La

Ma

Y

X

P

• Notons P la perpendiculaire à (AN) issue de E et P un point de P. • Par perpendicularité, le pinceau (E ; D, Y, P, U) étant harmonique, P passe par N. • Conclusion : d'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', 1 passe par N. Commentaire : en raisonnant par l'absurde et en notant N' le pied de la perpendiculaire à (AN) issue de E, nous conclurons que B, N' et N sont alignés ce qui est possible si N' et N sont confondus…

20

20

PROBLÈME 3 8

Un point variable sur le cercle circonscrit

*

Une droite de Steiner

VISION

Figure :

A

B C

H

0

P

Q

R

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, P un point de l'arc BC ne contenant pas A et Q, R les symétriques de P resp. par rapport à (AB), (BC). Donné : Q, R et H sont alignés.

VISUALISATION • Conclusion : d'après ''L'antipoint de Steiner'' 9, Q, R et H sont alignés.

8 Reflections and collinearity, AoPS du 09/07/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=597151 Geometry Problem, AoPS du 20/06/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1104116_geometry_problem 9 Ayme J.-L., La droite de Simson de pôle Fe, G.G.G. vol. 7, p. 7-12 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

21

21

PROBLÈME 4 10

Droite de Steiner perpendiculaire à une cévienne

VISION

Figure :

A

B C

F

D

E

H

X

K

P

M

N

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, DEF le triangle orthique de ABC, K un point de [BC], X, M les points d'intersection resp. de (AD) et (EF), (PX) et(AK), et N le point d'intersection de la perpendiculaire à (AK) en M avec (BC). Donné : M, N et H sont alignés.

VISUALISATION

A

B C

F

D

E

H

X

K

P

M'

1a

• Notons 1a le cercle de diamètre [AH] ; il passe par E, F et P ; et M' le second point d'intersection de (AK) avec1a. • Conclusion partielle : (BC) est la polaire de X. 11

10 Prove collinear, AoPS du 14/02/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=151&t=625230 11 Ayme J.-L., La réciprocité polaire de Philippe de La Hire, G.G.G. vol. 13 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

22

22

A

B C

F

D

E

H

X

K

P

M', M

1a

• K étant sur la polaire de X, P, X et M' sont alignés. • Conclusion partielle : M et M' étant confondus,

d'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (MH)⊥ (AK).

A

B C

F

E

H

X

K

P

M

N

• Conclusion : M, N et H sont alignés.

23

23

PROBLÈME 5 12

Une perpendiculaire à (AO) * Une droite de Steiner

VISION

Figure :

A

B C

H O

M

N

K

P

P

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, O le centre cercle circonscrit à ABC, P une perpendiculaire à (AO), M, N les points d'intersection de P resp. avec (AB), (AC), K le point d'intersection de (MC) et (NB), et P l'orthocentre du triangle AMN. Donné : K, H et P sont alignés.

VISUALISATION

A

B C

H O

M

N

K

P

C'

B'

Z

Y

12 orthocenters collinear, AoPS du 03/01/2008 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=181573

24

24

• Notons B', C' les pieds des B, C-hauteurs de ABC et Y, Z les points d'intersection resp. de (BB') et (CN), (CC') et (BN). • D'après Autour du triangle orthique 1 13, (B'C') ⊥ (AO) ; par hypothèse, (AO) ⊥ (MN) ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (B'C') // (MN). • Conclusion partielle : d'après ''Hexagone de Brianchon'' 14 appliqué à l'hexagone HZMANYH, (YZ) // (MN).

A

B C

H O

M

N

K

P

C'

B'

Z

Y

• Conclusion : d'après Desargues ''Le théorème faible'' 15

appliqué aux triangles homothétiques HYZ et PNM, K, H et P sont alignés.

13 Ayme J.-L., Autour du triangle orthique 1, Problème 22, G.G.G. vol. 49, p. 59-60 ; https://jl.ayme-pagesperso-orange.fr/ 14 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus, G.G.G. vol. 6, p. 35-36 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 15 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus, G.G.G. vol. 6, p. 40-43 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

25

25

PROBLÈME 6 16

L'auteur

Parallèle à une hauteur du triangle

VISION

Figure :

A

B C

C'

B'

D

A'

0

X

Traits : ABC un triangle acutangle, A'B'C' le triangle orthique de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, D le second point d'intersection de (AH) avec 0 et X le second point d'intersection de la parallèle à (B'C') issue de B avec 0. Donné : (DX) est parallèle à (BB').

VISUALISATION

16 Ayme J.-L., An interesting parallel, AoPS du 30/03/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1071786_an_interesting_parallel

26

26

A

B C

C'

H

B'

D

A'

0

X

1 P

• Notons H l'orthocentre de ABC, 1 le cercle de diamètre [AH] ; il passe par B' et C' ; et P le second point d'intersection de 0 et 1.

• Les cercles 0 et 1, les points de base A et P, la monienne (BAC'), les parallèles (BX) et (C'B'), conduisent au théorème 1' de Reim ; en conséquence, X, P et B' sont alignés. • Les cercles 0 et 1, les points de base A et P, les moniennes (DAH) et (XPB'), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (DX) // (HB'). • Conclusion : (DX) est parallèle à (BB').

27

27

PROBLÈME 7 17

L'auteur

2019 ELMO Shortlist G1

Milieu d'un côté du triangle orthique

VISION

Figure :

A

B C

C'

B'

D

A'

E

0

A*

Traits : ABC un triangle, A'B'C' le triangle orthique de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, D le second point d'intersection de (AH) avec 0, E le second point d'intersection de (DB') avec 0 et A* le point d'intersection de (BE) et (B'C'). Donné : A* est le milieu de [B'C'].

VISUALISATION

17 A nice midpoint, AoPS du 30/03/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1071781_a_nice_midpoint BQ bisects EF, AoPS du 27/06/2019 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1864641_bq_bisects_ef

28

28

A

B C

C'H

B'

D

A'

E

0

A* X

Y

• Notons H l’orthocentre de ABC, X le second point d'intersection de la parallèle à (B'C') issue de B avec 0

et Y le second point d'intersection de (BB') avec 0. • D'après Autour du triangle orthique 1 18, B' est le milieu de [HY]. • Une chasse de pinceau harmonique :

* (HY) étant parallèle à (DX), le pinceau (D ; A, Y, E, X) est harmonique * par changement d’origine, le pinceau (B ; A, Y, E, X) est harmonique.

• Conclusion : (B'C') étant parallèle à (BX), A* est le milieu de [B'C'].


29

29

PROBLÈME 8 19

L'auteur

Une droite de Steiner parallèle à un côté du triangle orthique

VISION

Figure :

A

B C

C'H

B'

D

A'

E

B*

0

Traits : ABC un triangle, A'B'C' le triangle orthique de ABC, H l'orthocentre de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, D le second point d'intersection de (AH) avec 0, E le second point d'intersection de (DB') avec 0 et B* le point d'intersection de (BE) et (C'A'). Donné : (B*H) est parallèle à (B'C').

VISUALISATION

19 Ayme J.-L., Two parallels (own), Mathlinks du 14/01/2011 ;

http://www.artofproblemsolving.com/forum/viewtopic.php?f=46&p=2146372

30

30

A

B C

C'H

B'

D

A'

E

B*

0

• Notons X le second point d'intersection de la parallèle à (B'C') issue de B avec 0. • D'après Problème 7, le pinceau (B ; A, Y, E, X) est harmonique. • Une chasse harmonique : * H étant le centre de A'B'C', le pinceau (C' ; B’, A', H, A) est harmonique * par permutation, le pinceau (C' ; H, A, B', A') est harmonique * par permutation, le pinceau (C' ; A, H, A', B') est harmonique. • Conclusion : les pinceaux d'origine B et C'

ayant un rayon en commun (AB) et deux rayons parallèles (BX) et (C'B'), (B*H) est parallèle à (B'C').

31

31

PROBLÈME 9 20

L'auteur

Parallèle à un côté du triangle orthique

VISION

Figure :

A

B C

C'

B'

D

A'

0

X

B''

Traits : ABC un triangle, A'B'C' le triangle orthique de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, D le second point d'intersection de (AA') avec 0, X le second point d'intersection de la parallèle à (B'C') issue de B avec 0 et B'' le point d’intersection de (DX) et (AC). Donné : (A'B'') est parallèle à (B'C').

VISUALISATION

20 Ayme J.-L., Two too easy parallels, AoPS du 31/03/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1072218_two_too_easy_parallels

32

32

A

B C

C'

B'

D

A'

0

X

B''

Ta

• Notons Ta la tangente à 0 en A. • Scolie : Ta, (B'C') et (BX) sont parallèles entre elles.

A

B C

C'

B'

D

A'

0

X

B''

Ta

1 2

3

4

5

6

• Conclusion : d'après Carnot-Pascal ''Pentagramma mysticum'' appliqué à l'hexagone dégénéré CBXDA Ta CB, (1) (A'B'') en est la pascale (2) (A'B'') est parallèle à (B'C').

33

33

PROBLÈME 10 21

L'auteur

Une droite de Steiner parallèle à un côté du triangle orthique

VISION

Figure :

A

B C

C'H

B'

D

A'

0

Y

U

Traits : ABC un triangle, H l'orthocentre de ABC, A'B'C' le triangle orthique de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, D le second point d'intersection de (AA') avec 0, Y le second point d'intersection de (BB') avec 0 et U le point d'intersection de (DY) et (AC). Donné : (HU) est parallèle à (B'C').

VISUALISATION

21 Ayme J.-L., Two too easy parallels 2, AoPS du 31/03/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1072225_two_too_easy_parallels_2

34

34

A

B C

C'H

B'

D

A'

0

Y

U

• D'après Autour du triangle orthique 1 22, (1) A' est le milieu de [HD]

(2) B' est le milieu de [HY].

• D'après Thalès ''La droite des milieux'' appliqué au triangle HDY, (A'B') // (DY).

A

B C

C'H

B'

D

A'

0

X

Y

B''

U

1

2 3

4 5

6

• Notons X le second point d'intersection de la parallèle à (B'C') issue de B avec 0 et B'' le point d’intersection de (DX) et (AC). • Scolies : (1) d'après problème 26, (DB'') // (HB')

(2) d'après Problème 9, (A'B'') // (B'C'). • Conclusion : d'après ''Le petit théorème de Pappus'' 23


35

35

appliqué à l'hexagone DB''A'B'HUD, (HU) est parallèle à (A'B') i.e. à (B'C').

23 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus, G.G.G. vol. 6, p. 3-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

36

36

PROBLÈME 11 24

L'auteur

Cévienne se brisant sur un côté du triangle orthique

VISION

Figure :

A

B C

C'

B'

A'

0

P

A"

B"C"

Ta

Pb

Traits : ABC un triangle, A'B'C' le triangle orthique de ABC, P le milieu de [B'C'], A''B''C’'' le triangle médian de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, Ta la tangente à (O) en A et Pb la parallèle à Ta issue de B. Donné : Pb, (AP), (A'B') et (A''C'') sont concourantes. Commentaire : a twin problem Une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur Crux Mathematicorum 25 et sur le site de l'auteur. 26

24 Ayme J.-L., A known problem, AoPS du 31/03/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1072226_an_known_problem 25 Ayme J.-L;, Crux Mathematicorum, (Canada) 8 (2003) 511-513 26 Ayme J.-L., Another unlikely concurrence, G.G.G. vol. 10 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

37

37

PROBLÈME 12 27

Parallèle à un côté du triangle

VISION

Figure :

A

B C

O

D

H1

0

Y

Traits : ABC un triangle acutangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, D le point d'intersection de (AO) et (BC), H1 l'orthocentre de triangle ABD et Y le point d'intersection de la perpendiculaire à (AD) en D avec (BC). Donné : (H1Y) est parallèle à (BC).

VISUALISATION

27 Ayme J.-L., A parallel to BC, AoPS du 02/04/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1073235_a_parallel_to_bc

38

38

A

B C

O

D

0

Y

T

A'

1

• Notons 1 le cercle de diamètre [AY] ; il passe par D ; T le second point d'intersection de 1 et 0, et A’ le second point d'intersection de (TY) avec 0. • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', A' est l'antipôle de A relativement à 0.

A

B C

O

D

H1, H'1

0

Y

T

A'

1

A"

• Notons A'' le second point d'intersection de (AH1) avec 0 et H'1 le second point d'intersection de (AA'') avec 1.

• (AH1) et (AO) étant deux A-isogonales de ABC, d'après Möbius ''Angle de deux cercles'' appliqué à 0 et 1, B, T et H'1 sont alignés.

39

39

A

B C

O

D

H1, H'1

0

Y

T

A'A"

1

• Les cercles 1 et 0, les points de base A et T, les monienens (DAA') et (H'1TB), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (DH'1) // (A'B). • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (A'B) ⊥ (AB) ; en conséquence, (DH'1)⊥ (AB) .

• Conclusion partielle : H'1 étant confondus avec H1, 1 passe par H1.

A

B C

O

D

H1

0

Y

T

A'A"

1

• D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (A'A'')⊥ (AA'') ; par hypothèse, (AA'') ⊥ (BC) ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaire , (A'A'') // (BC).

• Les cercles 1 et 0, les points de base A et T, les monienens (H1AA'') et (YTA'), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (H1Y) // (A''A'). par transitivité de la relation //, (H1Y) // (BC). • Conclusion : (H1) est parallèle à (BC).

40

40

PROBLÈME 13 28

Deux orthocentres * Une symédiane

VISION

Figure :

A

B C

O

D

H1

H2

S

0

1a

Traits : ABC un triangle acutangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, D le point d’intersection de (AO) et (BC), H1, H2 les orthocentres resp. des triangles de ABD, ACD, 1a le cercle circonscrit au triangle H1H2D et S le centre de 1a. Donné : (AS) est la A-symédiane de ABC.

VISUALISATION

28 Nice symmedian property, AoPS du 02/04/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1073185_nice_symmedian_property

41

41

A

B C

O

D

H1

H2

S

0

1a

• le triangle DH1H2 étant orthologique au triangle ABC, S correspond à O ; en conséquence, (AOD)⊥ (DS). • Conclusion partielle : (AD) est la tangente à 1a en D.

A

B C

O

D

H1

H2

S

0

1a

Z

Y

• Notons Y, Z les points d’intersection de (DS) resp. avec (AC), (AB). • D’après Problème 12, (H1Y), H2Z) et (BC) sont parallèles. • S étant sur l’axe médian de la bande de frontières (H1Y) et (H2Z), S est le milieu de [YZ]. • Conclusion : (AS) est la A-symédiane de ABC.

42

42

PROBLÈME 14 29

L'auteur

Le cercle de diamètre [AH]

*

Une cévienne comme axe radical

VISION

Figure :

A

B C

F

D

E

H

U

V

1

2

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, DEF le triangle orthique de ABC, 1 le cercle de diamètre [AH] ; il passe par E et F ; 2 le cercle de centre B orthogonal à 1 et U, V les points d'intersection de 1 et 2. Donné : (UV) passe par C.

VISUALISATION

29 Ayme J.-L., Through a vertex, AoPS du 04/04/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1074141_through_a_vertex

43

43

A

B C

F

D

E

H

A*

U

V

1

3

4

• 2 étant orthogonal à 1, (BU), (CU) sont tangentes à 1 resp. en U, V • Notons A* le centre de 1 3 le cercle de diamètre [A*B] ; il passe par U et V ; et 4 le cercle de diamètre [AB] ; il passe par D et E.

• Conclusion : d'après Monge ''Le théorème des trois cordes'' 30, (UV) passe par C.

30 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

44

44

PROBLÈME 15 31

Proposed

by

Davood Vakili, Iran

IMO Shortlist 2008, Geometry problem 4, German TST 5, P3, 2009

Le cercle de diamètre [AH] * Trois cercles coaxiaux

VISION

Figure :

A

B C

F

D

E

H

1

P Q

2 3

X

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, DEF le triangle orthique de ABC, 1 le cercle de diamètre [AH] ; il passe par E et F ; 2, 3 les cercles passant par A et F, et tangents à (BC), P, Q les points de contact de 2, 3 avec (BC) et X le point d'intersection de (PE) et (QF). Donné : X est sur 1.

VISUALISATION

31 IMO Shortlist 2008, Geometry problem 4, AoPS du 10/07/2009 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h287866_imo_shortlist_2008_geometry_problem_4

45

45

A

B C

F

D

E

H

1

P Q

2 3

V

U 4

• Scolie : B est le milieu de [PQ]. • Notons 4 le cercle de diamètre [PQ] et U, V les points d'intersection de 4 et 1. • Scolie : 4 est orthogonal à 2 et 3. • 4 ayant son centre B sur l'axe radical (AF) de 2 et 3, est orthogonal à 1. • D'après Problème 14, (UV) passe par C.

A

B C

F

D

E

H

1

P Q

2 3

V

U 4

5

46

46

• D'après Monge ''Le théorème des trois cordes'' 32, A, E, P et Q sont cocycliques. • Notons 5 ce cercle.

A

B C

F

E

H

1

P Q

3

X

5

• Conclusion : d'après Miquel ''Le théorème du pivot'' 33 appliqué au triangle PQX avec les cercles 5, 3, 1 concourants en A, X est sur 1.

32 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 33 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

47

47

PROBLÈME 16 34

ARMO 2013, 9th grade, p2

Un point comme orthocentre * Triangle tangentiel

VISION

Figure :

A

B C

R

Q

P

E

D

M

0

Traits : ABC un triangle acutangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, PQR le triangle tangentiel de ABC, D, E les pieds des perpendiculaires à (AB), (AC) issue de P M le milieu de [BC] Donné : M est l'orthocentre de ADE.

VISUALISATION

34 Orthocentre of ADE is the midpoint of BC, AoPS du 20/05/2013 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=535000

48

48

A

B C

P

E

D

M

0

• D'après Michel Chasles ''Construction d'une symédiane'' 35, (AP) est la A-symédiane de ABC. • D'après Émile Vigarié ''Isogonale et perpendiculaires'' 36, (AM) est la A-hauteur de ADE.

A

B C

P

E

D

M

0

1

B'

B''

• Notons 1 le cercle de diamètre [PB] ; il passe par D et M ; B' l'antipôle de B relativement à 1 et B'' le second point d'intersection de 0 et 1. • Scolie : (DP) // (AB').

35 Ayme J.-L., Le point de l'académie Phillips Exeter, G.G.G. vol. 7, p. 21-23 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 36 Ayme J.-L., Mantel*…*Goormaghtigh, G.G.G. vol. 12, p. 29-31 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

49

49

• Les cercles 1 et 0, les points de base B et B'', la monienne (DBA), les parallèles (DP) et (AB'), conduisent au théorème 0' de Reim ; en conséquence, P, B'' et B' sont alignés.

A

B C

P

E

D

M

0

2

B'

C"

• Notons 2 le cercle de diamètre [PC] ; il passe par E et M. et C'' le second point d'intersection de 0 et 2. • Scolie : (PM) // (B'C). • Les cercles 2 et 0, les points de base C et C, la monienne (PCC), les parallèles (PM) et (B'C), conduisent au théorème 3' de Reim ; en conséquence, M, C'' et B' sont alignés.

A

B C

P

E

D

M

0

2

B'

C"

• Les cercles 2 et 0, les points de base C et C'', les moniennes (ECA) et (MC''B'),

50

50

conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (EM) // (AB') ; nous savons que (AB')⊥ (AD) ; en conséquence, (EM)⊥ (AD) ; ou encore, (EM) est la E-hauteur de ADE. • Conclusion : M est l'orthocentre de ADE.

51

51

PROBLÈME 17 37

XVIII Cono Sur Mathematical Olympiad (2007)

Le cercle de diamètre [AH]

*


VISION

Figure :

A

B C

F

D

E

1a

M

X

Y Z

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, DEF le triangle orthique de ABC, M le milieu de [BC], 1a le cercle circonscrit à AEF, X le second point d'intersection de (AM) avec 1a, Y le point d'intersection de (AM) et (CF), et Z le point d'intersection de (AD) et (BX). Donné : (YZ) est parallèle à (BC).

VISUALISATION

37 Parallel lines thru points on the altitudes of a triangle, AoPS du 10/08/2011


52

52

A

B C

F

D

E

1a

M

X

Y

Z

T Tf

1

2

3 4

5

Ta 6

• Notons T le second point d'intersection de (BX) avec 1a et Ta, Tf les tangentes à 1a resp. en A, F. • D'après Autour du triangle orthique 0 38Problème 39, Tf passe par M. • D'après MacLaurin-Pascal ''Tetragramma mysticum'' appliqué à l'hexagone dégénéré A Tf TXA Ta (1) (BM) en est la pascale (2) (FT) // (BMC).

A

B C

F

D

E

H

1a

M

X

Y

Z

T

1

6

Ta

1

2

3

5

4

• Notons H l'orthocentre de ABC. • Scolie : H est sur 1a. • D'après Carnot-Pascal ''Pentagramma mysticum'' appliqué à l'hexagone dégénéré XA Ta HFTX, (1) YZ) en est la pascale


53

53

(2) (YZ) // (FT). • Conclusion : par transitivité de //, (YZ) est parallèle à (BC).

54

54

PROBLÈME 18 39

Problem 4, Iberoamerican Olympiad 2011

Un point comme orthocentre

VISION

Figure :

A

B C

Q

O

P

Traits : ABC un triangle acutangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0 et P, Q deux points tels que les quadrilatères BOAP, COPQ soient des parallélogrammes Donné : Q est l'orthocentre de ABC.

VISUALISATION

A

B C

Q

O

P

• D'après ''Le théorème de la médiatrice'', le parallélogramme AOBP ayant ses quatre côtés égaux, (AB)⊥ (OP) ; par hypothèse, (OP) // (CQ) ; en conséquence, (AB)⊥ (CQ). • Conclusion partielle : (CQ) est la C-hauteur de ABC.

39 Problem 4, Iberoamerican Olympiad 2011, AoPS du 02/10/2011 ;


55

55

A

B C

Q

O

P M

• Notons M le point d'intersection de (OP) et (AB). • Scolie : M est le milieu de [AB]. • Nous avons : 2.OM = OP COPQ étant un parallélogramme, OP = CQ par transitivité de =, 2.OM = CQ. • Conclusion : d'après Autour du triangle orthique 2 40, Q est l'orthocentre de ABC.


56

56

PROBLÈME 19 41

Georges Papelier

La droite (MH)

VISION

Figure :

A

B C

F

E

D M

H

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, E, F les pieds des B, C-hauteurs de ABC, D le point d'intersection de (EF) et (BC), et M le milieu de [BC]. Donné : (MH) est perpendiculaire à (AD).

VISUALISATION

A

B C

F

E

D M

H

1a

• Notons 1a le cercle de diamètre [BC] ; il passe par E et F.

41 Papelier G., Exercices de Géométrie Moderne, Pôles et polaires n° 34 (1927) 24, Eds J. Gabay (1996) ; MH perpendicular at, Mathlinks du 26/01/2006 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=72094 Segment orthogonal to median, AoPS du 22/01/2011 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=387683 Concurrent perpendiculars, USA TSTST 2012, Problem 4, AoPS du 20/07/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=489747

57

57

• D'après Philippe de La Hire 42, relativement à 1a

(AD) est la polaire de H ou encore H est le pôle de (AD).

• Conclusion : par définition, (MH) est perpendiculaire à (AD).

Scolie : (DH) est perpendiculaire à (AM).

42 Ayme J.-L., La réciprocité polaire, G.G.G. vol. 13 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

58

58

PROBLÈME 20 43

Proposed

by

Christopher Bradley, United Kingdom

IMO Shortlist 2010 - Problem G1

Deux segments égaux

VISION

Figure :

A

B C

F

D

E

0

P

Q

Traits : ABC un triangle acutangle, DEF le triangle orthique de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, P l'un des deux points d'intersection de (EF) avec 0 et Q le point d'intersection de (BP) et (DF). Donné : AP = AQ.

VISUALISATION

43 IMO Shortlist 2010 - Problem G1, AopS du 17/07/2011 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h418633p2361970

59

59

A

B C

F

D

E

0

P

Q

1b

2

• Notons 1b le cercle de diamètre [AC] ; il passe par D et F ; et 2 le cercle passant par F, P et Q. • D'après Miquel ''Le théorème du pivot'' 44 appliqué au triangle QDB et aux cercles 2, 1b et 0, 2 passe par le pivot A.

A

B C

F

D

E

H

P

Q

3

4

2

• Notons H l'orthocentre de ABC, 3 le cercle de diamètre [AH]

et 4 le C-cercle de Carnot ; il passe par A, H et B. • D'après Miquel ''Le théorème du pivot'' 45 appliqué au triangle BEP et aux cercles 4, 3 et 2, 4 passe par Q.

44 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 45 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

60

60

A

B C

F

D

E

0

P

Q

4

• Conclusion : les cercles 0 et 4 étant égaux, relativement à la monienne (PBQ), AP = AQ.

61

61

PROBLÈME 21 46

L'auteur

Droite de Steiner parallèle à un côté du triangle circumorthique

VISION

Figure :

A

B C

F

D

E

H

0

P

Q

X

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, DEF le triangle orthique de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, P le point d'intersection de (EF) avec 0 tel que E soit entre F et P, Q le point d'intersection de (BP) et (DF), et X le second point d'intersection de (AH) avec 0. Donné : (XP) est parallèle à (HQ).

VISUALISATION

46 Deux parallèles, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1079425

Two parallels, AoPS du 10/04/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1076315_two_parallels

62

62

A

B C

F

D

E

H

0

P

Q

X

1c

• Notons 1c le C-cercle de Carnot ; il passe par A, H et B. • D'après Problème 20, 4 passe par Q. • Conclusion : les cercles 0 et 4, les points de base A et B, les moniennes (XAH) et (PBQ), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (XP) est parallèle à (HQ).

63

63

PROBLÈME 22 47

D'une médiane à une hauteur

VISION

Figure :

A

B C M

D

E

F

N

Traits : ABC un triangle A-rectangle, D un point de (AM), M le milieu de [BC], E, F les points d'intersection de la perpendiculaire à (AM) en D resp. avec (AC), (AB) et N le milieu de [EF]. Donné : (AN) est la A-hauteur de ABC.

VISUALISATION

47 Two easy geometry problems, AoPS du 17/09/2014 ;


64

64

A

B C M

D

E

F

N

0

Ta

1

• Notons 0 le cercle circonscrit à ABC ; il a pour centre A ; et Ta la tangente à 0 en A. • Scolie : Ta // (EF). • Le cercle 0, les points de base B et C, les moniennes naissantes (ABF) et (ACE), les parallèles Ta et (EF), conduisent au théorème 1 de Reim ; en conséquence, B, C, E et F sont cocycliques. • Notons 1 ce cercle. • Conclusion : d'après ''Le théorème de Brahmagupta'' 48, (AN) est la A-altitude de ABC.

48 Ayme J.-L., Le théorème de Brahmagupta, G.G.G. vol. 7 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

65

65

PROBLÈME 23 49

Perpendiculaire à une médiane

VISION

Figure :

A

B C M D

F

E

Traits : ABC un triangle A-rectangle, D le pied de la A-hauteur de ABC, E, F les pieds des perpendiculaires à (AC), (AB) issues de D et M le milieu de [BC]. Donné : (EF) est perpendiculaire à (AM).

VISUALISATION

A

B C M D

F

E

1b

1c

1a

49 Geometry, AoPS du 17/09/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=151&t=606624

66

66

• Notons 1b, 1c les cercles de diamètre resp. [BD], [CD]. • Scolie : (AD) est la tangente commune intérieure de 1b et 1c. • D'après Gaspard Monge ''Le théorème des trois cordes'' 50, B, F, E et C sont cocycliques. • Notons 1a ce cercle. • Conclusion : d'après ''Le théorème de Brahmagupta'' 51, (EF) est perpendiculaire à (AM).

50 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 51 Ayme J.-L., Le théorème de Brahmagupta, G.G.G. vol. 7 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

67

67

PROBLÈME 24 52

Romanian National Olympiad 2012 - Grade IX - problem 1


VISION

Figure :

A

B C D

P

Q

E

F N

M

Traits : ABC un triangle A-rectangle, D le pied de la A-hauteur de ABC, E, F les pieds des B, C-bissectrices intérieures de ABC, P, Q les points d'intersection de (AD) resp. avec (BE), (CF) et M, N les milieux resp. de [PE], [QF]. Donné : (MN) est parallèle à (BC).

VISUALISATION

A

B C D

P

Q

E

F N M

• Par une chasse angulaire, nous montrerions que (1) le triangle APE est A-isocèle (2) le triangle AQF est A-isocèle. • M étant le milieu de [PE], (AM)⊥ (BPE) ; N étant le milieu de [QF], (AN)⊥ (CQF).

52 Right triangle parallel lines, AoPS du 20/05/2013 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h535098p3068344 Romanian National Olympiad 2012 - Grade IX - problem 1, AoPS du 05/04/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=473473

68

68

A

B C D

P

Q

E

F

N M Z

Y

• Notons Y, Z les milieux respectifs de [AC], [AB]. • D'après Thalès ''La droite des milieux'' appliqué à ABC, (YZ) // (BC). • D'après Arthur Lascases 53, (YZ) passe par M et N. • Conclusion : (MN) est parallèle à (BC).

53 Ayme J.-L., An unlikely concurrence, Revisited and Generalized, G.G.G. vol. 4, p. 3-5 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

69

69

PROBLÈME 25 54

Droite passant par un point d'Euler

Trois points alignés

VISION

Figure :

A

B C

H

A*

A'

N

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, A* le A-point d'Euler de ABC, N le centre du cercle d'Euler de ABC et A' le milieu de [BC]. Donné : A*, N et A' sont alignés.

VISUALISATION

A

B C

H

A*

A'

N

D

1

• Notons D le pied de la hauteur de ABC et 1 le cercle d'Euler. • Scolie : 1 passe par A*, D et A'. 54

70

70

• D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (A*A') est un diamètre de 1. • Conclusion : A*, N et A' sont alignés.

71

71

PROBLÈME 26

Arnold Droz-Farny

Deux droites de Steiner perpendiculaires

VISION

Figure :

A

B C

H

V

U

N

B'a

Ba

Traits : ABC un triangle, H l’orthocentre de ABC, Ba, B'a les A-bissectrices intérieure et extérieure de ABC, U, V les pieds des perpendiculaires abaissées de H resp. sur Ba, B’a, et N le centre du cercle d'Euler à ABC. Donné : (UV) passe par N. 55 Commentaire : sur une idée d'Arnold Droz-Farny 56.

VISUALISATION

A

B C

H

V

U

N

B'a

Ba

O

55 Ayme J.-L., A quickie, AoPS du 03/01/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=569545 56 Droz-Farny A., Educational Times 16 (1894) 42-43

72

72

• Notons O le centre du cercle circonscrit à ABC. • O étant l'isogonal de H relativement à ABC, Ba et B'a sont resp. les A-bissectrices intérieure et extérieure du triangle AHO. • D'après Karl Feuerbach ''Le centre du cercle d'Euler'' 57, N est le milieu de [HO]. • Conclusion : d'après Arthur Lascases 58 , (UV) passe par N. Archive :

Scolie : South African MO 2008 Q5 59

A

B C

H

V

U

N

B'a

BaA*

A'

• Notons A* le milieu de [AH] ; il est sur (UV) ; A' le milieu de [BC]. • D'après problème 25, A*, N et A' sont alignés. • Conclusion : d'après l'axiome d'incidence Ia, U, V, A*, N et A' sont alignés.

Note historique : ce résultat de Droz-Farny a été proposé en 1894 dans le Journal de Mathématiques

Élémentaires. 60

57 Feuerbach K.. Eigenschaften einiger merkwurdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks, und mehrerer durch sie bestimmten Linien

und Figuren (1822) 58 Lascases Arth., Question 477, Nouvelles Annales 18 (1859) 171 Ayme J.-L., An unlikely concurrence, G.G.G. vol. 4, p. 1-3 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 59 Perpendiculars from the orthocentre to angle bisectors,, AoPS du 27/05/2012 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=481340 60 Droz-Farny A., Journal de Mathématiques Élémentaires (1894) 214

73

73

PROBLÈME 27 61

Proposed

by

Matko Ljulj

European Mathematical Cup 2012, Senior Division, Problem 2

Un cercle passant par deux sommets du triangle

VISION

Figure :

A

B C

F

D

E

H

B*

P

Q

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, DEF le triangle orthique de ABC, P le point d'intersection de (DF) et (BH), B* le milieu de [BH] et Q le symétrique de P par rapport à (AC). Donné : A, B*, C et Q sont cocycliques.

VISUALISATION

61 Yet another cyclic quadrilateral, AoPS du 27/07/2013 ;


74

74

A

B C

F

D

E

H

B*P

Q

1b

• Notons 1b le cercle de diamètre [BH] ; il passe par D et F. • D'après Philippe de La Hire 62, la polaire de A relativement à 1b passe par P et C ; • Conclusion partielle : (PC)⊥ (AB*). • Mutatis mutandis, (AC)⊥ (CB*).

A

B C

F

D

E

H

B*P

Q

1b

• Notons 1b* le B*-cercle de Carnot du triangle B*CA. • P étant l'orthocentre de B*CA, 1b* passe par Q. • Conclusion : A, B*, C et Q sont cocycliques.

62 Ayme J.-L., La réciprocité polaire, G.G.G. vol. 13 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

75

75

PROBLÈME 28 63

Un point remarquable sur une droite de Droz-Farny

Droite passant par un point d'Euler


VISION

Figure :

A

B C

F

D

E

H

A*

M

X

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, A*, M les milieux resp. de [AH], [BC], DEF le triangle orthique de ABC et X le point d'intersection des B, C-bissectrices intérieures resp. des triangles BEF, CFE. Donné : X est sur (MA*).

VISUALISATION

A

B C

F

D

E

H

A*

M

Y

• Notons Y le milieu de [EF].

63 Orthocenter, AoPS du 28/10/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=504417 Collinearity, may be easy, AoPS du 15/05/2013 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=534381

76

76

• D'après ''La ponctuelle de Gauss-Newton'' 64 appliqué au quadrilatère complet AEHF, A*, Y et M sont alignés.

A

B C

F

D

E

H

A*

M

X', X

Y

1a

1'a

• Notons 1a le cercle de diamètre [BC] ; il passe par E et F ; X' le point d'intersection de [MA*] avec 1a et 1'a le cercle de diamètre [EF] ; il passe par E et F. • D'après ''Le théorème de la médiatrice'', (MA*) est la médiatrice de [EF]. • X' étant le milieu de l'arc EF ne contenant pas B, (1) (BX') est la B-bissectrice intérieure de BEF (2) (CX') est la C-bissectrice intérieure de CFE (3) X' et X sont confondus. • Conclusion : X est sur (MA*).

64 Ayme J.-L., La droite de Gauss…, G.G.G. vol. 4, p. 1-4 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

77

77

PROBLÈME 29 65

Intersection sur le cercle circonscrit

VISION

Figure :

A

B C

O

D

B'

L

K

M

N

P

0

Traits : ABC un triangle acutangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, D le pied de la A-hauteur de ABC, B' le milieu de [AC], L, K le point d'intersection de (OB) et (B'D), (OB') et (BC), M, L le second point d'intersection resp. de (AL), (AO) avec 0 P le point d'intersection de (MD) et (NK). Donné : P est sur 0.

VISUALISATION

65 intersect on circle, AoPS du 16/08/2014 ;


78

78

A

B C

O

D

B'

L

K

M

N

P, X

0

1

• Notons 1 le cercle de diamètre [AK] ; il passe par B' et D ; et X le second point d'intersection de 1 et 0. • Scolie : (CN) // (B'K). • Conclusion partielle : les cercles 0 et 1, les points de base A et X, la monienne (CAB'),

les parallèles (CN) et (B'K), conduisent au théorème 0' de Reim ; en conséquence, N, X et K sont alignés.

A

B C

O

D

B'

L, Y

K

M

N

P, X

0 2

3

• Notons 2 le cercle de diamètre [AO], 3 le cercle de diamètre [AB] ; il passe par D ; et Y le second point d'intersection de 2 et 3. • D'après Miquel ''Le théorème du pivot'' 66

appliqué au triangle B'CD et aux cercles 2, 0 et 3, B', Y et D sont alignés • [AO] et [AB] étant deux diamètres resp. de 2 et 3, O, Y et B sont alignés.

66

79

79

• Conclusion partielle : Y et L sont confondus.

A

B C

O

D

B'

L

K

M

N

P, X

0 2

• Les cercles tangents 0 et 2, le point de base A, les moniennes (CAB') et (MAL), conduisent au théorème 7 de Reim ; il s'en suit que (CM) // (B'LD).

A

B C

O

D

B'

L

K

M

N

P, X

0

1

• Le cercle 0 et1, les point de base A et X, la monienne (CAB'), les parallèles (CM) et (B'D), conduisent au théorème 0' de Reim ; en conséquence, M, X et D sont alignés ; en conséquence, X et P sont confondus. • Conclusion : P est sur 0.

80

80

PROBLÈME 30 67

Oleg Faynsteyn

La droite (MH) * Deux droites de Steiner perpendiculaires

Un milieu

VISION

Figure :

A

B C

H

M

Q

R

Pm

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, M le milieu de [BC], Pm la perpendiculaire à (MH) en H et Q, R les intersection de Pm resp. avec (AC), (AB). Donné : H est le milieu de [QR].

VISUALISATION

67 Faynsteyn O., Elemente der Mathematik, problème 1180

81

81

A

B C

H

M

Q

R

F

E

1

Pm

• Notons E, F les pieds des B, C-hauteurs de ABC et 1 le cercle de diamètre [BC] ; il passe par E et F. • Conclusion : d'après "Le papillon de Howard W. Eves" 68

appliqué au quadrilatère cyclique BECF, croisé en H, H est le milieu de [QR]. Commentaire : la solution69 proposée dans la revue suisse Elemente der Mathematik est trigonométrique. Note historique : Oleg Faynsteyn est originaire de Leipzig (Allemagne).

Rappelons que cette question avait déjà été posée aux Olympiades Mathématiques de Saint-Petersbourg (Russie) en 1995-96.

68 Ayme J.-L. A new metamorphosis of the butterfly theorem, G.G.G. vol. 7, p.10-14 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 69 Elemente der Mathematik, 1 (2003) 58

82

82

PROBLÈME 31 70

L'auteur

Deux parallèles

VISION

Figure :

A

B C

H

Q

O

Ma 0

A'

B"

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, B'' la circumtrace de la B-hauteur de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, Ma la médiatrice de [AH], Q le point d'intersection de Ma avec (AC)

et A' l'antipôle de A relativement à 0. Donné : (A'B'') est parallèle à (OQ).

VISUALISATION

70 Ayme J.-L., two parallels, AoPS du 15/04/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1078110_two_parallels

83

83

A

B C

H

Q

O

0

A'

B"

A"

Y

1

2

3

4

5

6

• Notons Y le point d'intersection de (A'B'') et (AC), et A'' la circumtrace de la A-hauteur de ABC. • (AO) étant la A-isogonale de (AH) relativement à ABC, (BC) // (A'A''). • D'après Blaise Pascal ''Hexagramma mysticum'' 71 appliqué à l'hexagone A'B''BCAA''A', (1) (YH) en est la pascale (2) (HY) // (A'A'').

A

B C

H

Q

O

Ma 0

A'

B"

Y

• Notons A* le milieux de [AH]. • D'après Thalès ''La droite des milieux'' appliqué au triangle AHA', (OA*) // (A'H). • D'après Girard Desargues ''Le théorème faible'' appliqué aux triangles perspectifs OQA* et A'YH, de centre A, (OQ) // (A'Y).

71 Ayme J.-L., Hexagramma mysticum, G.G.G. vol. 12, p. 4-8 ; http://jl.ayme pagesperso-orange.fr/

84

84

• Conclusion : (A'B'') est parallèle à (OQ).

85

85

PROBLÈME 32 72

Point milieu d'un côté

*

Un triangle isocèle

VISION

Figure :

A

B C

F

E

M

Traits : ABC un triangle acutangle, DEF le triangle orthique de ABC et M le milieu de [BC]. Donné : le triangle MEF est M-isocèle.

VISUALISATION

A

B C

F

E

M

1a

• Notons 1a le A-cercle de Thalès de ABC ; il passe par B, C et a pour centre M. • Conclusion : le triangle MEF est M-isocèle. Scolie : la médiatrice de [EF] passe par M.

72 Geometry, AoPS du 21/12/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=453253

86

86

PROBLÈME 33 73

Trois céviennes concourantes

VISION

Figure :

A

B C

H

M

L

N O

E

D

F

Traits : ABC un triangle acutangle, O le centre du cercle circonscrit à ABC, H l'orthocentre de ABC, L, M, N les symétriques de H relativement à (BC), (CA), (AB) et D, E, F les points d'intersection de (OL) et (BC), (OM) et (CA), (ON) et (AB). Donné : (AD), (BE) et (CE) sont concourantes.

VISUALISATION

73 Prove that AD,BE,CF, AoPS du 27/08/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=604076

87

87

A

B C

H

L

O

D

0

D'

Bo

• Notons 0 le cercle circonscrit à ABC, Bo la O-bissectrice intérieure du triangle OAL et D' le point d'intersection de (AO) et (BC). • OAL étant O-isocèle, Bo // (BC) ; en conséquences, (1) le triangle ODD' est O-isocèle (2) D es l'isotome de D' relativement à [BC]. • Conclusion partielle : (AD) est l'isotomique de (AO) relativement à ABC. • Mutatis mutandis, nous montrerions que (AE) est l'isotomique de (BO) relativement à ABC (AF) est l'isotomique de (CO) relativement à ABC. • Conclusion : d'après Gohierre de Longchamps 74,

(AD), (BE) et (CE) concourent à l'isotomique de O relativement à ABC.

74 Ayme J.-L., Gohierre de Longchamps…, G.G.G. vol. 5, p. 14-17 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

88

88

PROBLÈME 34 75

Intersection sur une hauteur

VISION

Figure :

A

B C

H

E

D

F

0

M

P Q

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, DEF le triangle orthique de ABC, M le milieu de [BC], 0 le cercle circonscrit à ABC, P le point d'intersection de (MH) avec 0 tel que H soit entre M et P et Q le point d'intersection de (PE) et (AB). Donné : (MQ), (AH) et (EF) sont concourantes.

VISUALISATION

75 nice concurrence, AoPS du 04/06/2012 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=482329

89

89

A

B C

H

E

F

0

M

P Q

1a

Tf

• Notons 1a le cercle de diamètre [AH] ; il passe par E et F ; et Tf la tangente en 1a en F. • D'après Autour du triangle orthique 0 76, 1a passe par P. • D'après Autour du triangle orthique 0 77, Tf passe par M.

A

B C

H

E

F

0

M

P Q

R

1a

Tf

1 2

3

4 5

6

• Notons R le point d'intersection de (EF) et (AH). • D'après Carnot ''Pentagramma mysticum'', (QRM) est la pascale de l'hexagone dégénéré FAHPEF Tf.

76 Ayme J.-L., Autour du triangle orthique 3, Problème 17, G.G.G. vol. 49, p. 39-40 ; https://jl.ayme-pagesperso-orange.fr/ 77 Ayme J.-L., Autour du triangle orthique 0, Problème 4, G.G.G. vol. 49, p. 16-17 ; https://jl.ayme-pagesperso-orange.fr/

90

90

• Conclusion : (MQ), (AH) et (EF) sont concourantes.

91

91

PROBLÈME 35 78

EGMO 2015, Problem 1

Une condition * Tangente au cercle circonscrit

VISION

Figure :

A

B C

D

E

F

1

Traits : ABC un triangle acutangle, D le pied de la C-hauteur de ABC, Bb la B-bissectrice intérieure de ABC, E le point d'intersection de Bb et (CD), 1 le cercle de diamètre [AE] et F le second point d'intersection de (BE) avec 1. Donné : si, <ADF = 45° alors, (CF) est la tangente à 1 en F.

VISUALISATION

• Hypothèse : <ADF = 45°

78 EGMO 2015, Problem 1, AoPS du

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1078551_egmo_2015_problem_1

92

92

A

B C

D

E

F

1

2

• Scolie : F est le B-excentre de BCD. • Notons 2 le B-cercle de Mention de BCD ; il a pour droite diamétrale (BEF). • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (EF)⊥ (AF) ; en conséquence, (AF) est tangente à 2 en F. • Les cercles 1 et 2, les points de base D et F, les moniennes (EDC) et (AFF), conduisent au théorème 3 de Reim ; il s'en suit que (EA) // (FC).

A

B C

D

E

F

1

Tf

93

93

• Notons Tf la tangente à 1 en F • (DF) étant la D-bissectrice intérieure du triangle DAE, Tf // (AE) ; par transitivité de //, Tf // (FC) ; en conséquence, Tf = (FC). • Conclusion : (CF) est la tangente à 1 en F.

94

94

PROBLÈME 36 79


VISION

Figure :

A

B C

F

E

M

P

N

Q Pa

Traits : ABC un triangle acutangle, DEF le triangle orthique de ABC, M, N, P les milieux resp. de [BC], [ME], [MF], Pa la parallèle à (BC) issue de A et Q le point d'intersection de Pa avec la médiatrice de [AM]. Donné : N, P et Q sont alignés.

VISUALISATION

A

B C

F

E

M

P

N

Q Pa

1a

• Notons H l'orthocentre de ABC et 1a le cercle de diamètre [AH] ; il passe par E et F.

• Scolie : Pa est tangente à 1a en A. • D'après Autour du triangle orthique 0 80, (ME), (MF) sont tangentes à 1a resp. en E, F.

79 Collinear, AoPS du 25/09/2011 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=433134


95

95

A

B C

F

E

M

P

N

Q, Q'Pa

1a

• Notons Q' le point d'intersection de Pa et (PN). • (NP) étant l'axe radical de 1a et du cercle point M, Q'A = Q'M. • Le triangle Q'AM étant Q'-isocèle, la médiatrice de [AM] passe par Q' ; en conséquence, Q' et Q sont confondus. • Conclusion : N, P et Q sont alignés.

96

96

PROBLÈME 37 81

Un point d'Euler * Un triangle isocèle

Deux segments égaux

VISION

Figure :

A

B C

F

D

E

H

A*

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, DEF le triangle orthique de ABC Et A* le A-point d'Euler de ABC. Donné : le triangle A*EF est A*-isocèle.

VISUALISATION

A

B C

F

D

E

H

A* 1

• Notons 1 le cercle d'Euler de ABC ; il passe par D, E, F et A*. • D'après Autour du triangle orthique 3 82, H est le centre de DEF ; en conséquences, (1) DH) est D-bissectrice intérieure de DEF

81 82 Ayme J.-L., Autour du triangle orthique 3, Problème 6, G.G.G. vol. 49, p. 20-21 ; https://jl.ayme-pagesperso-orange.fr/

97

97

(2) A* est le milieu de l'arc EF ne contenant pas D. • Conclusion : le triangle A*EF est A*-isocèle.

98

98

PROBLÈME 38 83

Perpendiculaire à un côté

VISION

Figure :

A

B C

F

E

O

M

S

N

K

0

Pm Pn

Traits : ABC un triangle acutangle, DEF le triangle orthique de ABC, M, S, N les milieux resp. de [BF], [FE], [EC], Pm, Pn les perpendiculaires à (BS), (CS) issues resp. de M, N K le point d'intersection de Pm et Pn, 0 le cercle circonscrit à ABC et O le centre de 0. Donné : (OK) est perpendiculaire à (BC).

VISUALISATION

83 OK is perpendicular to BC, AopS du 11/11/2013 ;


99

99

A

B C

F

E

O

M

S

N

K

0

Pm Pn

• D'après Thalès ''La droite des milieux'' appliqué au triangle FBE, (MS) // (BE) ; par hypothèse, (BE) ⊥ (AC) ; en conséquence, (MS)⊥ (AC). • Mutatis mutandis, nous montrerions que (NS)⊥ (AB). • Conclusion partielle : S étant l'orthocentre du triangle AMN, (AS)⊥ (MN).

A

B C

F

E

O

M

S

N

K

Pm Pn

T

• Notons T le milieu de [BC]. • Scolie : A est le centre d'orthologie du triangle SBC relativement au triangle TNM. 84

• Conclusion : la relation d'orthologie étant symétrique, TNM est orthologique à SBC ;

84 Ayme J.-L., A propos de deux triangles orthologiques, G.G.G. vol. 6, p. 2-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

100

100

en conséquence, (OK) est perpendiculaire à (BC).

101

101

PROBLÈME 39 85

David Monk's New Problems in Euclidean Geometry

Parallèle à une cévienne

VISION

Figure :

A

B C

H

0

P

Pa

Q

R

P'a

Traits : ABC un triangle acutangle, H l'orthocentre de ABC, 0 le cercle circonscrit à ABC, P un point de 0, Pa la parallèle à (BP) issue de A, Q le point d'intersection de Pa et (CH), P'a la parallèle à (CP) issue de A et R le point d'intersection de P'a et (BH). Donné : (QR) est parallèle à (AP).

VISUALISATION

85 Circle and Parallel Lines in a triangle, AoPS du 28/05/2014 ;


102

102

A

B C

H

0

P

Pa

Q

R

P'a S

1

• Notons S le point d’intersection de la parallèle à (AB) issue de Q avec la parallèle à (AC) issue de R.

• Scolies : (SQ)⊥ (CH) et (SR)⊥ (BH). • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', Q et R sont sur le cercle de diamètre [HS]. • Notons 1 ce cercle. • Par une chasse angulaire, nous montrerions que A est sur 1.

A

B C

H

0

P

Pa

Q

R

P'a

1a

S

F

E

1

• Notons F le pied de la C-hauteur de AB et 1a le cercle de diamètre [AH] ; il passe par F. • Le cercle 1a et 1, les points de base H et A, la monienne (FHQ), les parallèles (FA) et (QS), conduisent au théorème 3' de Reim ; en conséquence, (AS) est tangente à 1a en A.

103

103

• Conclusion partielle : (AS) // (BC).

A

B C

P

Pa

Q

R

P'a

S

• Considérons (1) ABC et les céviennes (AP), (BP), (CP) concourantes en P (2) le triangle AQR et les céviennes (AS), (QS), (RS) concourantes en S. • Conclusion : par parallélogie, (QR) est parallèle à (AP).

104

104

PROBLÈME 40 86

Céviennes concourantes du triangle orthique

VISION

Figure :

A

B C

F

D

E

M

P

N

Traits : ABC un triangle acutangle, DEF le triangle orthique de ABC et M, N, P les pieds des perpendiculaires à (EF), (FD), (DE) issues resp. de A, B, C. Donné : (DM), EN) et (FP) sont concourantes.

VISUALISATION

A

B C

F

D

E

H

M

P

N

O

• Notons O le centre du cercle circonscrit à ABC et H l'orthocentre de ABC.

86 Lying incircle of orthic triangle, AoPS du 19/01/2011 ;


105

105

• D'après Autour du triangle orthique 1 87, (AM), (BN) et (CP) sont concourantes en O. • Conclusion : d'après Johann Döttl ''The cevian nests theorem'' 88 appliqué aux triangles ABC, DEF et MNP, (DM), EN) et (FP) sont concourantes.

87 Ayme J.-L., Autour du triangle orthique 1, Problème 22, G.G.G. vol. 49, p. 59-60 ; https://jl.ayme-pagesperso-orange.fr/ 88 Döttl J., Neue merkwürdige Punkte des Dreiecks (1886) n° 39

Ayme J.-L., The cevian nests theorem, G.G.G. vol. 3, p. 2-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

106

106

E. LEXIQUE

FRANÇAIS - ANGLAIS A aligné collinear annexe annex axiome axiom appendice appendix adjoint associate a propos by the way btw acutangle acute angle axiome axiom B bissectrice bisector bande strip C centre incenter centre du cercle circonscrit circumcenter cercle circonscrit circumcircle cévienne cevian colinéaire collinear concourance concurrence coincide coincide confondu coincident côté side par conséquence consequently commentaire comment D d'après according to donc therefore droite line d'où hence distinct de different from E extérieur external F figure figure H hauteur altitude hypothèse hypothesis I intérieur internal identique identical i.e. namely incidence incidence L lemme lemma lisibilité legibility M mediane median médiatrice perpendicular bissector milieu midpoint

N Notons name nécessaire necessary note historique historic note O orthocentre orthocenter ou encore otherwise P parallèle parallel parallèles entre elles parallel to each other parallélogramme parallelogram pédal pedal perpendiculaire perpendicular pied foot point de vue point of view postulat postulate point point pour tout for any Q quadrilatère quadrilateral R remerciements thanks reconnaissance acknowledgement respectivement respectively rapport ratio répertorier to index S semblable similar sens clockwise in this order segment segment Sommaire summary symédiane symmedian suffisante sufficient sommet (s) vertex (vertice) T trapèze trapezium tel que such as théorème theorem triangle triangle triangle de contact contact triangle triangle rectangle right-angle triangle

Orthique encyclopedie 7 - jl.ayme.pagesperso-orange.fr

Documents

Transcript of Orthique encyclopedie 7 - jl.ayme.pagesperso-orange.fr