Geometry &nbsp Géométrie &nbsp Geometria - jl.ayme.pagesperso- 1.pdf 12...

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  • SIMPLICITY 1

    Dans chaque château,

    il y a un donjon où réside une princesse. La Haute Dame de ce château a ravi mon cœur

    et est devenue la source de mon inspiration.

    Jean-Louis AYME 1

    A

    B C S

    P

    Q

    D

    M

    Pb

    Résumé. L'auteur présente Simplicity où une figure simple appelle une solution simple… Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

    Abstract. The author presents Simplicity where a simple figure called a simple solution...

    The figures are all in general position and all cited theorems can all be shown synthetically.

    1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 17/02/2017 ; [email protected]

  • 2

    2

    Resumen. El autor presenta Simplicity donde una simple figura llama una solución simple... Las figuras están en posición general y todos los teoremas mencionados pueden todos

    ser demostrados sintéticamente.

    Avertissement. L'auteur rappelle que la vision triangulaire d'un résultat est laissée aux soins du lecteur. Un renvoi comme ''Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de la même section. Un renvoi comme ''12. Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de '' Simplicity 12''. Un foot note précise une origine du problème, une signification ou renvoie à un article de l'auteur.

    Warning. The author recalls that the triangular vision of a result is left to the reader care.

    A reference as ''Problem 5'' means that the reader refers to the ''Problem 5'' of the same section. A reference like ''12. Problem 5'' means that the reader refers to the ''Problem 5'' of ''Simplicity 12''. A foot note specifies an origin of the problem, a meaning or refers to an article of the author.

    Advertencia. El autor recuerda que la visión triangular del resultado queda al cuidado del lector. Una referencia como ''Problema 5'' significa que el lector consulte la sección "Problema 5" de la misma. Una referencia como "12. Problema 5" significa que el lector consulte "Problema 5" de "Simplicity 12". Una nota especifica un origen del problema, un significado o se refiere a un artículo del autor

    Sommaire

    1. Un milieu 3 2. Deux segments égaux 6 3. Un cercle passant par le centre d'un cercle 1 9 4. Un cercle passant par le centre d'un cercle 2 11 5. Un triangle isocèle 13 6. Une parallèle à la base d'un triangle 15 7. Cinq points cocycliques 17 8. Isotome du pied d'une hauteur 19 9. Un triangle isocèle de Ferdinand Möbius 22 10. Un cercle passant par le centre d'un cercle 3 24 11. Un point sur le cercle circonscrit 27 12. Une hauteur 29

    Lexique Français-Anglais 33

  • 3

    3

    1. UN MILIEU 2

    VISION

    Figure :

    A

    B C S

    P

    Q

    D

    M

    Pb

    Traits : ABC un triangle, M le milieu de [BC], S un point de [BC], P, Q deux points resp. de (AB), (AC)

    tels que le quadrilatère APSQ soit un parallélogramme, Pb la parallèle à (PQ) issue de B et D le point d'intersection de Pb et (SQ). Donné : (AD) passe par M.

    VISUALISATION

    2 Lemma of parallels, AoPS du 13/02/2017 ;

    https://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1382807_lemma_of_parallels

  • 4

    4

    A

    B C S

    P

    Q

    D

    M

    1

    2

    3

    4

    5

    X

    6

    • Notons X le point d'intersection de (AD) et (PS). • D'après Pappus d'Alexandrie ''La proposition 139'' 3 appliqué à l'hexagone sectoriel QADBSPQ de frontières (AB) et (QS), (1) (CX) en est la pappusienne (2) (CX) // (BD).

    A

    B C S

    P

    Q

    D

    X

    1 2

    3 4

    5

    6

    • D'après Pappus d'Alexandrie ''Le petit théorème'' 4 appliqué à l'hexagone sectoriel BXSDCAB de frontières (AB) et (ADX), (1) (BX) en est la pappusienne (2) (BX) // (CQ).

    3 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 15-17 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 4 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 3-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

  • 5

    5

    A

    B C

    S

    P

    Q

    D

    M

    X

    • Le quadrilatère BCCD étant un parallélogramme, ses diagonales [DX] et [BC] se coupent en leur milieu. • Conclusion : (AD) passe par M.

  • 6

    6

    2. DEUX SEGMENTS ÉGAUX 5

    VISION

    Figure :

    A

    B C D

    M

    P Q

    K L

    X

    Traits : ABC un triangle, D le pied de la A-hauteur de ABC, M un point de [BC], P, Q les milieux resp. de [BD], [CD], K, L les pieds des P, Q-hauteurs resp. des triangles PBM, QCM et X le point d'intersection de (KP) et (LQ). Donné : XB = XC.

    VISUALISATION

    5 Midpoints and perpendiculars, AoPS du 14/02/2017 ;

    https://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1383527_midpoints_and_perpendiculars

  • 7

    7

    A

    B C D

    M

    P Q

    K L

    X

    B'

    C'

    • Notons B', C' les symétriques de B, C resp. par rapport à K, L. • D'après Thalès ''La droite des milieux'' appliqué au triangle DBB', (DB') // (PK) ; Par hypothèse, (PK) ⊥ (BM) En conséquence, (DB')⊥ (BM). • Mutatis mutandis, nous montrerions que (DC')⊥ (CM).

    A

    B C D

    M

    P Q

    K L

    X

    B'

    C'

    1

    Tm

    • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', B' et C' sont sur le cercle de diamètre [DM]. • Notons 1 ce cercle et Tm la tangente à 1 en M. • Scolie : Tm // (BC).

  • 8

    8

    A

    B C D

    M

    P Q

    K L

    X

    B'

    C'

    1

    Tm

    2

    • Le cercle 1, les points de base B' et C', les moniennes naissantes (MB'B) et (MC'C), conduisent au théorème 1 de Reim ; en conséquence, B, B', C' et C sont cocycliques. • Notons 2 ce cercle. • (PK) et (QL) étant les médiatrices resp. de [BB'], [CC'], X est le centre de 2. • Conclusion : XB = XC.

  • 9

    9

    3. UN CERCLE

    PASSANT

    PAR

    LE CENTRE D'UN CERCLE 1 6

    VISION

    Figure :

    A B

    O

    C

    D

    0

    1

    Traits : 0 un cercle,

    O le centre de 0, [AB] une corde de 0, C un point de [AB] 1 le cercle passant par A, O, C

    et D le second point d'intersection de 1 et 0. Donné : CB = CD.

    VISUALISATION

    6 Easy Geometry, AoPS du 22/04/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1080717_easy_geometry Un charmant exercice, Les-Mathematiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/list.php?8

  • 10

    10

    A B

    O

    C

    D

    0

    1

    E

    • Notons E le second point d'intersection de (DO) avec 0. • Les cercles 1 et 0, les points de base D et A, les moniennes (ODE) et (CAB), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (OC) // (EB). • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (EB)⊥ (BD) ; en conséquence, (OC)⊥ (BD). • Conclusion : (OC) étant la médiatrice de [BD], d'après ''Le théorème de la médiatrice'', CB = CD.

  • 11

    11

    4. UN CERCLE

    PASSANT

    PAR

    LE CENTRE D'UN CERCLE 7

    VISION

    Figure :

    A B

    O

    C

    E

    D

    0

    1

    Traits : 0 un cercle, O le centre de 0,

    [AB] une corde de 0, C un point de (AB) dans l'ordre A, B, C

    1 le cercle circonscrit au triangle BCO, D le second point d'intersection de 1 et 0, et E le second point d'intersection de (CD) avec 1. Donné : CE = CB.

    VISUALISATION

    7 Ayme J.-L., Two equal segments, AoPS du 18/02/2017 ;

    https://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1385528_two_equal_segments

  • 12

    12

    A B

    O

    C

    E

    D

    0

    1

    F

    • Notons F le second point d'intersection de (BO) avec 0. • Les cercles 1 et 0, les points de base B et D, les moniennes (OBF) et (CDE), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (OC) // (FE). • D'après Thalès ''Tri