abdoulaziz95.files.wordpress.com · Web viewPARTIE I : PROPAGATION DES ONDES....

ANNALE TERMINALE S PHYSIQUE/OBLIGATOIRE

1 yahya MOHAMED MAHAMOUD


PARTIE I : PROPAGATION DES ONDES._____________________________Les ondes mécaniques progressivesLes ondes sont omniprésentes dans le monde qui nous entoure. Qu’elles soient sonores, sismiques ou encore électromagnétiques, elles constituent un phénomène physique dont la nature semble insaisissable. Une onde est capable de transporter des informations mais comment peut-on la caractériser ? Quelles grandeurs physiques peut-on lui associer ?

1. Qu’est-ce qu’une onde mécanique progressive ? Quelles sont ses propriétés ?

Toute variation d’une propriété mécanique en un point d’un milieu matériel est appelée perturbation. Par exemple, lorsqu’on lance une pierre dans un plan d’eau parfaitement calme, celle-ci crée à sa surface une perturbation qui modifie la position et la vitesse de chaque molécule d’eau à son passage.On appelle onde mécanique, le phénomène de propagation d’une perturbation dans un milieu élastique sans transport de matière. Une onde mécanique est dite progressive si elle se propage dans l’espace. La perturbation se transmet de proche en proche ; il y a transfert d’énergie sans transport de matière. Par exemple, les ondes sonores sont des ondes mécaniques progressives ; leur propagation engendre des zones de compression-dilatation qui se transmettent de proche en proche.Une onde se propage à partir de sa source, dans toutes les directions qui lui sont offertes. Précisons que deux ondes peuvent se croiser sans se perturber.Une onde qui se propage dans une seule direction (par exemple, une onde se propageant le long d’une corde tendue) est qualifiée d’onde progressive à une dimension. Une onde qui se propage dans deux directions (par exemple, une ride circulaire à la surface de l’eau) est qualifiée d’onde progressive à deux dimensions. Une onde qui se propage dans trois directions (par exemple, le son dans l’air) est qualifiée d’onde progressive à trois dimensions.

2. Comment différencier une onde longitudinale d’une onde transversale ?

Une onde mécanique est transversale lorsque la direction de la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation.Prenons l’exemple d’une ride qui se propage à la surface de l’eau pour atteindre une bille de polystyrène. L’onde se propage horizontalement mais la bille se déplace verticalement au passage de la perturbation. On qualifiera l’onde à la surface de l’eau d’onde transversale.Une onde mécanique est longitudinale lorsque la perturbation se fait dans la même direction que la propagation.Par exemple, si l’on place une boule de polystyrène devant une source sonore, elle vibrera dans la même direction que la direction de propagation de l’onde. On qualifiera l’onde sonore d’onde longitudinale.



3. Quels paramètres modifient la célérité d’une onde ?

La célérité d’une onde (ou vitesse de propagation) est une propriété du milieu. Elle est égale au quotient de la distance d parcourue par l’onde, en mètres (m), par la durée Δt, en secondes

(s) : La célérité v est donc exprimée en mètres par seconde (m.s-1).La célérité d’une onde diminue avec l’inertie du milieu. Par exemple, une ride se propage plus rapidement à la surface de l’eau qu’à la surface du pétrole.La célérité d’une onde augmente avec la rigidité du milieu. La célérité d’une onde sonore (à 0 °C) est de 330 m.s-1 dans l’air, 1,5 km.s-1 dans l’eau et 20 km.s-1 dans le diamant.

4. Comment calculer un retard ?

Dans un milieu non dispersif, la perturbation en un point M du milieu, à l’instant t, est celle qu’avait la source S au temps t’ = t - ; l’intervalle de temps est nommé retard.

Le retard en un point M varie avec la célérité v de l’onde et la distance d parcourue depuis la

source selon la relation : À retenir

Une onde mécanique se propage dans toutes les directions qui lui sont offertes en transportant de l’énergie.

Une onde est progressive à une dimension si elle se propage dans une seule direction.

La vitesse d’une onde est nommée célérité ; elle dépend de la nature du milieu de

propagation et est donnée par la relation : Le retard est le temps mis par une perturbation pour aller de la source à un point

de l’espace, celui-ci se trouvant, à une date t, dans le même état vibratoire que la source à la date t - .

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Les ondes mécaniques progressives périodiques3 yahya MOHAMED MAHAMOUD


Parmi les ondes mécaniques progressives, certaines ont la particularité de propager une perturbation qui se répète périodiquement dans le temps. C’est ce type d’onde que l’on nomme onde mécanique progressive périodique. Les vagues qui déferlent sur la plage, le « la » du diapason ou encore une corde mise en mouvement par un vibreur sont des exemples d’ondes progressives périodiques.

1. Comment reconnaître une onde progressive périodique ?

Une onde progressive est périodique si la perturbation qu’elle propage se reproduit identique à elle-même et de façon régulière dans le temps.Par exemple, si l’on fixe l’extrémité d’une corde tendue à un vibreur animé d’un mouvement périodique, la corde sera parcourue par une onde progressive périodique.Les ondes progressives périodiques présentent une double périodicité : temporelle et spatiale.

2. Comment mesurer la période temporelle d’une onde périodique ?

La période temporelle T, en secondes (s), d’une onde progressive sinusoïdale est la durée séparant deux perturbations identiques en un point donné.Un stroboscope est un appareil qui émet des flashs lumineux à intervalles de temps réguliers. Il permet de déterminer la période temporelle d’un mouvement périodique. Prenons l’exemple d’une roue à rayons en rotation éclairée par un stroboscope ; lorsque la période des flashs coïncide avec celle du mouvement de rotation, la roue paraît immobile.La fréquence f d’un phénomène périodique est le nombre de fois où se répète ce phénomène

par seconde. La fréquence est donnée par l’inverse de la période : ; elle s’exprime en hertz (Hz).

3. Comment déterminer la période spatiale d’une onde périodique ?

La période spatiale λ nommée longueur d’onde, représente la distance la plus courte séparant deux points soumis simultanément à des perturbations identiques (en phase).Prenons l’exemple de vagues s’échouant sur une plage. Dans cet exemple, la longueur d’onde λ, en mètres (m), est mesurée entre deux crêtes de vagues à l’aide d’un décamètre. La période temporelle T, en secondes (s), est mesurée entre l’échouage de deux vagues successives à l’aide d’un chronomètre.

La longueur d’onde λ, en mètres (m), est liée à la période T par la relation λ = v.T, dans laquelle v, en mètres par seconde (m.s-1), représente la célérité de l’onde.

4. Qu’est ce qu’un milieu dispersif ?

Un milieu est dispersif si, dans ce milieu, la célérité d’une onde dépend de sa fréquence.Par exemple, l’eau est un milieu dispersif. Si un bateau passe à grande vitesse devant moi sur une eau calme, il crée un ensemble d’ondes sous forme de vagues de différentes fréquences. Les vagues les plus espacées me parviennent en premier ; ces vagues ont une longueur d’onde



élevée et donc une faible fréquence. Ensuite arrivent les vagues plus rapprochées de longueur d’onde plus petite et, par conséquent, de fréquence plus élevée.

5. Comment se produit le phénomène de diffraction ?

On nomme diffraction, le phénomène observé après le passage d’une onde dans une fente ou un obstacle dont la dimension est du même ordre de grandeur que la longueur d’onde.L’exemple ci-dessous illustre le phénomène de diffraction à la surface de l’eau. Après le passage d’une fente de dimension égale à sa longueur d’onde, l’onde plane se transforme en onde circulaire.

La diffraction ne modifie ni la longueur d’onde, ni la fréquence d’une onde. C’est un phénomène caractéristique des ondes périodiques.À retenir

Les ondes progressives périodiques présentent une périodicité spatiale et temporelle.

La longueur d’onde se calcule à partir de la relation :

La fréquence est donnée par l’inverse de la période : Dans un milieu dispersif, la célérité d’une onde varie avec sa fréquence. Une onde périodique qui rencontre un obstacle ou une fente, de dimension

comparable à sa longueur d’onde, subit le phénomène de diffraction.

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Le modèle ondulatoire de la lumièreLorsqu’un faisceau de lumière rencontre un obstacle de petite dimension, il subit le phénomène de diffraction, comme les ondes mécaniques progressives. Cette observation a été à l’origine de la découverte du caractère ondulatoire de la lumière. La lumière peut donc être caractérisée comme toutes les ondes, par sa célérité, sa fréquence et sa longueur d’onde.

1. Quels sont les différents types de lumière ?

Une lumière monochromatique (radiation monochromatique) est constituée d’une onde de fréquence bien définie.Une lumière polychromatique est un mélange de rayonnements monochromatiques.Le spectre visible est polychromatique : il commence à 400 nm par le violet et se termine à 800 nm par le rouge. Les ultraviolets sont des rayonnements de longueurs d’onde inférieures



à 400 nm, alors que les infrarouges sont des rayonnements de longueurs d’onde supérieures à 800 nm.

2. Comment caractérise-t-on une onde lumineuse ?

La lumière se propage dans le vide et dans les milieux transparents.Une radiation monochromatique est caractérisée par sa fréquence qui reste invariable lorsqu’elle passe d’un milieu transparent à un autre.La vitesse (ou célérité) de la lumière dans le vide est très élevée : c = 3.108 m.s-1.

Dans un milieu d’indice n, elle est donnée par la relation L’indice n s’exprime sans unité.

La fréquence f et la longueur d’onde λ de la lumière sont liées par la relation : , avec λ exprimée en mètres (m), f en hertz (Hz) et c en mètres par seconde (m.s-1).

3. Qu’observe-t-on quand la lumière est diffractée ?

La diffraction d’une radiation monochromatique par un objet de dimension de l’ordre du micromètre (dans le cas d’une radiation visible) produit des taches lumineuses de formes caractéristiques. L’ensemble de ces taches est appelé « figure de diffraction » :

si l’obstacle rencontré est une fente, on observe une série de taches alignées ; si l’obstacle est un trou circulaire, on observe une série de cercles concentriques.

4. Comment exploite-t-on une figure de diffraction ?

La largeur de la tache de diffraction est liée à la dimension de l’obstacle par la relation

dans laquelle :θ, en radians (rad), représente l’écart angulaire entre le milieu de la frange centrale et la première extinction,λ, en mètres (m), représente la longueur d’onde,a, en mètres (m), représente la largeur de la fente.

Pour de petits angles, on pourra utiliser l’approximation

5. Quel est l’effet d’un prisme sur la lumière ?

L’indice n d’un milieu transparent dépend de la fréquence de la radiation selon la relation

dans laquelle :c, en mètres par seconde (m.s-1), représente la célérité de la lumière dans le vide,



f, en hertz (Hz), représente la fréquence,λ, en mètre (m), représente la longueur d’onde.L’indice n est exprimé sans unité.Quand la lumière passe d’un milieu à un autre, elle est déviée de sa trajectoire : c’est le phénomène de réfraction. Le rayon réfracté est défini dans le plan par le rayon incident et par la normale à la surface de séparation entre les deux milieux.

L’angle d’incidence i1 et l’angle de réfraction i2 sont liés par la relation , où n1 et n2 (exprimés sans unité) représentent les indices de réfraction des milieux.La déviation est d’autant plus grande que la longueur d’onde du rayonnement monochromatique est petite. Cette propriété permet d’expliquer pourquoi un prisme sépare les différentes radiations monochromatiques d’un rayonnement polychromatique.

Les prismes sont taillés dans des milieux transparents plus ou moins dispersifs. Plus l’indice du milieu est élevé, plus la séparation des radiations monochromatiques est importante à la sortie du prisme.À retenir

La lumière peut se présenter sous une forme polychromatique, comme la lumière blanche, ou sous une forme monochromatique.

La fréquence d’une radiation monochromatique passant d’un milieu transparent à un autre reste inchangée mais la vitesse, la longueur d’onde et la direction de propagation sont modifiées.

L’indice n d’un milieu transparent est égal au quotient de la célérité de la lumière

dans le vide sur sa célérité dans le milieu considéré : Un faisceau lumineux traversant une fente, de dimension a proche de sa longueur

d’onde λ, est diffracté. L’écart angulaire θ d’une tache de diffraction est :

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PARTIE II : TRANSFORMATIONS NUCLEAIRES.

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La décroissance radioactiveL’émission radioactive d’un échantillon évolue dans le temps en suivant une loi de décroissance radioactive. Cette propriété permet aux archéologues de dater les vestiges avec une bonne précision. Les noyaux radioactifs de durée de vie très courte sont, quant à eux, utilisés dans le domaine médical.

1. Comment retrouver la composition d’un noyau ?

Le noyau d’un atome est entouré d’un nuage d’électrons. Il est formé de nucléons : les protons et les neutrons. Chaque noyau est caractérisé par la notation , où X représente le symbole de l’élément, A le nombre de nucléons (ou nombre de masse) et Z le numéro atomique (c’est-à-dire le nombre de protons).Rappelons que chaque proton porte une charge q égale à celle de l’électron mais de signe opposé : Les neutrons ne portent pas de charge. L’atome étant électriquement neutre, Z représente donc également le nombre d’électrons de l’atome.

2. Comment définit-on les isotopes d’un atome ?

Deux noyaux sont isotopes s’ils ont le même nombre de protons mais un nombre différent de neutrons. Symboliquement, les noyaux et sont des isotopes car ils ont le même numéro atomique. Deux isotopes sont représentés par le même symbole X car ils sont apparentés au même élément.Par exemple, le carbone-14 et le carbone-12 sont des isotopes utilisés pour dater les fossiles. Leurs noyaux ont pour formules respectives et

3. Quels sont les noyaux atomiques les plus stables ?



Le diagramme (N ; Z) fait apparaître, en bleu foncé, la répartition des noyaux de plus grande stabilité. Dans ce diagramme, Z représente le numéro atomique et N le nombre de neutrons du noyau.

Pour les noyaux légers (Z < 20), les isotopes stables se trouvent proches de la droite d’équation N = Z.Pour les noyaux plus lourds (Z > 20), la zone de stabilité s’écarte de la droite d’équation N = Z.

4. Quels sont les différents types de radioactivité ?

Un noyau radioactif se décompose en émettant spontanément et en continu des particules mais aussi parfois un rayonnement électromagnétique.Par ailleurs, au cours d’une réaction nucléaire, il y a conservation de la charge électrique globale et du nombre de nucléons.



On distingue différents types de radioactivité :

les noyaux lourds, trop riches en nucléons, émettent une radioactivité α qui se traduit par l’émission d’un noyau d’hélium selon la réaction nucléaire :

; les noyaux trop riches en protons émettent une radioactivité β+ qui se traduit par

l’émission de positons (particules β+) selon la réaction nucléaire : ;

les noyaux trop riches en neutrons émettent une radioactivité β- qui se traduit par l’émission d’électrons (particules β-) selon la réaction nucléaire :

; les désintégrations précédentes s’accompagnent d’un rayonnement et conduisent

à la formation d’un noyau fils. Ce noyau est dans un état instable, dit excité, et retrouve un état plus stable en perdant de l’énergie sous forme d’un rayonnement

5. Comment évolue la radioactivité dans le temps ?

La radioactivité d’un élément diminue avec le temps en suivant une loi de décroissance radioactive dans laquelle :N est le nombre de noyaux radioactifs à la date t,N0 est le nombre de noyaux radioactifs à la date t = 0,λ est la constante radioactive caractéristique du noyau.

On associe une constante de temps à la décroissance radioactive. Cette constante , exprimée

en secondes (s), est définie par la relation Elle correspond au temps nécessaire pour que 63 % des noyaux radioactifs se désintègrent.Le temps de demi-vie t1/2 (ou période radioactive) est la durée nécessaire pour diviser par deux la quantité de noyaux radioactifs. Il dépend de la constante de temps selon la relation

.Voici, à titre d’exemples, quelques valeurs de demi-vie :

6. Quelle est l’unité de mesure pour la radioactivité ?10 yahya MOHAMED MAHAMOUD


L’activité A d’une substance radioactive représente le nombre de noyaux désintégrés par

seconde : . Comme , l’activité s’écrit aussi L’activité se mesure en becquerels (Bq). Un becquerel équivaut à la désintégration d’un noyau par seconde.À retenir

Un même élément peut se présenter sous différentes formes nommées isotopes. Certains isotopes sont plus stables que d’autres. La décomposition d’un isotope instable en isotope stable se traduit par une émission radioactive.

Les radioactivités α, β+ et β- correspondent respectivement à l’émission de noyaux d’hélium , de positons et d’électrons .

La loi de décroissance radioactive N = N0.e-ët donne le nombre de noyaux radioactifs à une date t, en fonction du nombre initial de noyaux radioactifs. Au temps de demi-vie, la moitié des noyaux radioactifs ont disparu.

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Noyaux, masse, énergieAprès avoir traité l’aspect temporel des réactions nucléaires, on s’intéresse ici à l’aspect énergétique des réactions de fusion et de fission. D’où provient l’énergie des étoiles et comment est-elle produite dans les centrales nucléaires ? Est-il possible de convertir une masse en énergie ? C’est en 1905 qu’Albert Einstein énonce la plus célèbre formule de physique E = m.c2. Que signifie cette équation ?

1. Comment calculer l’énergie de liaison d’un noyau ?

L’énergie de liaison est l’énergie qu’il faut fournir à un noyau au repos pour le dissocier en nucléons isolés et immobiles.

L’énergie de liaison par nucléon est donnée par la relation :

dans laquelle El, généralement exprimée en électronvolts (eV), représente l’énergie de liaison du noyau et A, le nombre de nucléons.Un électronvolt équivaut à 1,6.10-19 J.

2. Quel est le lien entre l’énergie de liaison et la stabilité d’un atome ?

Un noyau est d’autant plus stable que son énergie de liaison par nucléon est grande.La courbe d’Aston représente l’opposé de l’énergie de liaison par nucléon (-E/A) des différents noyaux en fonction du nombre de nucléons (A). Cette courbe montre que les noyaux les plus stables possèdent une soixantaine de nucléons.



3. Quelle relation lie masse et énergie ?

Toute particule au repos possède, du seul fait de sa masse, une énergie E0 = m.c2. Dans cette expression :E0 représente l’énergie de masse, en joules (J),m représente la masse de la particule, en kilogrammes (kg),c représente la célérité de la lumière dans le vide, en mètres par seconde (m.s-1).La masse d’un noyau est toujours inférieure à celle de ses constituants pris séparément. Cette différence de masse est appelée défaut de masse.L’écart entre la masse des nucléons pris séparément et la masse d’un noyau X est donné par la relation dans laquelle mp, mn, et mX représentent les masses respectives du proton, du neutron et du noyau X.L’énergie de liaison El d’un noyau, exprimée en joules (J), est donc déterminée par la relation

Dans cette expression, c représente la célérité de la lumière dans le vide, en mètres par seconde (m.s-1), et Δm représente le défaut de masse en kilogrammes (kg).

4. Qu’est-ce qu’une réaction nucléaire de fusion ? Une réaction nucléaire de fission ?

On dit qu’il y a réaction nucléaire de fusion, si deux noyaux légers se combinent pour former un noyau plus lourd et plus stable.

Il y a réaction nucléaire de fission, si un noyau lourd absorbe un neutron puis se fractionne en noyaux plus légers en libérant des neutrons.



Cette réaction libère de nouveaux neutrons qui peuvent réagir avec d’autres noyaux pour donner une réaction en chaîne.Au cours de ces réactions nucléaires, les noyaux évoluent vers un état énergétique plus stable en libérant de l’énergie. L’énergie libérée E dépend de la variation de masse Δm au cours de la réaction selon l’expression Dans cette expression, E est exprimée en joules (J), Δm en kilogrammes (kg) et la célérité c en mètres par seconde (m.s-1).

5. Quels sont les noyaux qui subissent une fusion ? une fission ?

L’évolution énergétique des noyaux au cours des réactions de fusion et de fission est mise en évidence par la courbe d’Aston. Pour augmenter l’énergie de liaison par nucléon et former des noyaux plus stables :

les noyaux légers (A < 50) tendent à fusionner ; les noyaux lourds (A > 50) tendent à se scinder.

À retenir

L’énergie de liaison d’un noyau est liée au défaut de masse par la relation :

Les réactions nucléaires de fusion et de fission ne sont pas spontanées ; elles nécessitent un apport énergétique initial mais libèrent ensuite une grande quantité d’énergie.

Au cours d’une réaction de fusion, deux noyaux légers se combinent pour former un noyau lourd plus stable. Au cours d’une réaction de fission, un noyau lourd, frappé par un neutron, se scinde en deux pour former deux noyaux légers plus stables.

La perte de masse observée au cours des réactions nucléaires s’accompagne d’un dégagement d’énergie défini par la relation :

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PARTIE II : EVOLUTION DES SYSTEMES ELECTIQUE.

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Le dipôle RCAprès avoir étudié en classe de première quelques montages électriques simples fonctionnant en courant continu, nous nous intéressons à présent aux phénomènes électriques associés aux courants variables. Il s’agit plus particulièrement de déterminer les paramètres qui permettent de contrôler l’évolution temporelle du courant électrique dans un condensateur.

1. Comment représenter et orienter un circuit comprenant un condensateur ?

Un condensateur plan est constitué de deux armatures conductrices séparées par un isolant. On représente conventionnellement un condensateur par le schéma ci-dessous :

Dans cette convention, nommée convention récepteur, i représente l’intensité du courant électrique, q désigne la charge du condensateur et u la tension à ses bornes.

2. Quelles relations existe-t-il entre la charge du condensateur et l’intensité du circuit ?

En utilisant la convention récepteur du schéma précédent, les relations algébriques entre charge et intensité sont :

à courant I constant : ;

à courant i variable :

Dans ces relations :q, en coulombs (C), représente la charge de l’armature où arrive le courant ;I et i, en ampères (A), représentent l’intensité du courant ;t, en secondes (s), représente le temps de charge.Attention aux notations ! Il faut noter U et I, les tensions et intensités constantes mais u et i – ou plus précisément u(t) et i(t) – les tensions et intensités variables.

3. Quelle relation existe-t-il entre l’intensité et la tension du condensateur ?



Avec la convention récepteur, la charge q, en coulombs (C), d’un condensateur est liée à la tension u, en volts (V), à ses bornes par la relation : q = C.u, où C représente la capacité du condensateur exprimée en farads (F).

En combinant les relations et q = C.u, on obtient l’expression de l’intensité :

4. Comment calculer l’énergie emmagasinée dans un condensateur ?

L’énergie électrique Ee stockée dans un condensateur vérifie la relation : , où C (en F) représente la capacité du condensateur et u, la tension à ses bornes (en V). L’énergie Ee s’exprime en joules (J).Dans un condensateur, le stockage et le déstockage de l’énergie ne peuvent jamais s’effectuer instantanément ; il y aura toujours une continuité dans les variations de la tension.

5. Quelle est la réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension ?

Le dipôle RC est constitué d’un condensateur associé en série avec un conducteur ohmique ; on parle de « dipôle » car le circuit électrique qui en résulte comporte deux bornes à connecter.

Un générateur délivrant un échelon de tension donne une tension périodique, avec uG = E, sur la première demi-période, et uG = 0 sur la seconde.Pour étudier la réponse d’un dipôle RC à cet échelon de tension, on réalise le circuit représenté ci-dessous :

La charge du condensateur n’est pas instantanée et passe par une phase transitoire pendant laquelle la tension u augmente. Dans le même temps, l’intensité i du circuit décroît pour devenir nulle.



6. Comment déterminer l’expression de la tension aux bornes du condensateur ?

En appliquant la loi d’additivité des tensions, on établit l’équation différentielle de la charge : , dans laquelle représente la dérivée par rapport au temps de la tension aux bornes du condensateur.

La solution de cette équation différentielle est de la forme : Lors de la décharge du condensateur, on a E = 0. Par conséquent, la décharge peut être modélisée par l’équation différentielle :

La solution de cette équation différentielle est de la forme :

On détermine l’expression de l’intensité à partir de la relation :

7. Comment déterminer une constante de temps ?

La constante de temps , en secondes (s), représente le temps nécessaire pour que le condensateur atteigne 63 % de sa charge maximale.On la détermine graphiquement à partir de la courbe u(t).

On peut aussi déterminer cette constante en utilisant la relation = R.C, dans laquelle R représente la résistance du conducteur ohmique, exprimée en ohms (Ω), et C, la capacité du condensateur, en farads (F).On retiendra que le temps de charge augmente avec la résistance R du conducteur ohmique et avec la capacité C du condensateur.À retenir

La charge q d’un condensateur de capacité C est la charge de l’armature sur laquelle arrive l’intensité lors de la charge. Cette charge est liée à la tension u aux bornes du condensateur par la relation q = C.u.

En convention récepteur, la relation entre la charge et l’intensité est : La constante de temps de la charge ou de la décharge d’un condensateur de

capacité C est donnée par la relation = R.C. L’énergie électrique stockée dans un condensateur est :



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Le dipôle RLLes bobines sont des dipôles qui présentent la particularité de s’opposer aux variations de l’intensité du courant d’un circuit. Dans un circuit comportant un dipôle RL, le courant s’installe ou se désinstalle progressivement. Mais quels sont les paramètres du circuit qui permettent de faire varier le temps d’installation du courant ?

1. Comment représenter et orienter un circuit comprenant une bobine ?

Une bobine est constituée d’un fil conducteur enroulé un grand nombre de fois. Elle est caractérisée par son inductance L, exprimée en henrys (H), et sa résistance interne r, exprimée en ohms (Ω).On représente conventionnellement une bobine par le schéma suivant :

Dans cette convention (nommée convention récepteur), i représente l’intensité du courant et u la tension aux bornes de la bobine.

2. Quelles relations existe-t-il entre la tension d’une bobine et l’intensité du circuit ?

Avec la convention récepteur du schéma précédent, la relation entre tension et intensité est :

Dans cette relation :u, en volts (V), représente la tension aux bornes du circuit ;i, en ampères (A), représente l’intensité du courant ;r, en ohms (Ω), représente la résistance interne de la bobine ;L, en henrys (H), représente l’inductance de la bobine.

3. Quelle est la réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension ?

Le dipôle RL est constitué d’une bobine d’inductance L et d’une résistance interne r associée en série avec un conducteur ohmique de résistance R.Un générateur délivrant un échelon de tension donne une tension périodique, avec uG = E, sur la première demi-période, et uG = 0 sur la seconde.Pour étudier la réponse du dipôle RL à cet échelon de tension, on réalise le circuit représenté ci-dessous :



Voici l’allure des courbes de l’intensité i(t) observées pour uG = E et uG = 0 :

On remarque que l’installation du courant n’est pas instantanée et passe par une phase transitoire pendant laquelle l’intensité augmente pour atteindre une valeur limite.De même, lorsque la tension du générateur s’annule, l’intensité décroît progressivement pour atteindre la valeur zéro.

4. Comment déterminer analytiquement l’intensité du circuit ?

La loi d’additivité des tensions permet d’établir l’équation différentielle de l’installation du

courant : , dans laquelle E représente la tension délivrée par le générateur.La solution de cette équation différentielle est de la forme :

avec Lors de la désinstallation du courant, la tension aux bornes du générateur est nulle (E = 0).

L’expression de l’équation différentielle du courant devient : La solution de cette équation différentielle est de la forme :

5. Comment déterminer la constante de temps du dipôle RL ?

La constante de temps , en secondes (s), représente le temps nécessaire pour que l’intensité du circuit atteigne 63 % de sa valeur maximale.On la détermine graphiquement à partir de la courbe i(t).



On peut aussi déterminer cette constante en utilisant la relation :

, dans laquelle les résistances R et r sont exprimées en ohms (Ω) et l’inductance L, en henrys (H).

6. Comment calculer l’énergie emmagasinée dans une bobine ?

L’énergie magnétique , en joules (J), emmagasinée dans une bobine vérifie la relation :

, dans laquelle L représente l’inductance de la bobine, exprimée en henrys (H), et i, l’intensité du courant, en ampères (A). La variation d’énergie d’une bobine est progressive, elle ne subit pas de discontinuité.À retenir

En convention récepteur, l’intensité et la tension d’une bobine sont représentées par des flèches de sens opposés ; la relation entre tension et intensité d’une bobine

d’inductance L et de résistance r est : La résolution analytique de l’installation du courant conduit à la relation :

. La constante de temps de l’installation du courant s’obtient soit graphiquement,

soit à l’aide de la relation : . L’énergie stockée par une bobine parcourue par un courant i a pour expression :

.

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Le circuit RLCLa décharge d’un condensateur dans un circuit RLC déclenche des oscillations électriques. Ce phénomène d’oscillation des circuits contenant un condensateur et une bobine est de première importance puisqu’il permet de réaliser des émetteurs ainsi que des récepteurs radio.

1. Comment provoque-t-on des oscillations dans un circuit électrique ?

Considérons le montage ci-dessous constitué d’un générateur, d’un condensateur et d’une bobine associés en parallèle. L’interrupteur est tout d’abord placé en position (1) : le



condensateur se charge. Puis l’interrupteur est basculé en position (2) : il se produit alors dans le circuit des oscillations électriques.

En l’absence de résistance, les oscillations sont non amorties : elles conservent une amplitude constante dans le temps (figure a). Si on ajoute à ce circuit un conducteur ohmique, les oscillations présentent une amplitude décroissante. On observe alors des oscillations électriques amorties (figure b).

2. De quels paramètres dépend la période des oscillations ?

Les oscillations électriques d’un circuit LC idéal sont non amorties (la résistance interne de la bobine est négligeable). La période propre T0, en secondes (s), des oscillations de ce circuit est donnée par la relation , dans laquelle L représente l’inductance de la bobine, exprimée en henrys (H) et C, la capacité du condensateur exprimée en farads (F).Les oscillations d’un circuit RLC sont amorties : leur amplitude diminue. On utilisera le terme « pseudo-période » pour qualifier la durée d’une oscillation amortie. On conservera l’expression de « période propre » pour calculer la pseudo-période.

3. Comment déterminer analytiquement les oscillations non amorties d’un circuit ?

Déterminons l’équation différentielle de la charge q du condensateur.



Avec les conventions du schéma ci-dessus, nous pouvons écrire :

De plus, ; donc :

Pour une bobine idéale, r = 0 ; d’où :

On obtient l’équation différentielle : La solution de cette équation différentielle est de la forme :

dans laquelle sont des constantes propres à

l’expérience Les expressions de la tension et de l’intensité se déduisent de la solution précédente à partir

des relations :

4. Que devient l’énergie initiale du condensateur au cours des oscillations ?

L’énergie ET du circuit RLC est égale à la somme de l’énergie électrique Ee du condensateur

et de l’énergie magnétique Em de la bobine : Au cours d’oscillations périodiques non amorties, il y a transformation d’énergie électrique en énergie magnétique et inversement. L’énergie totale du circuit est conservée.

Au cours d’oscillations électriques amorties, il y a des pertes d’énergie dans le circuit car le conducteur ohmique dégage de la chaleur par effet Joule. Dans le cas d’oscillations entretenues, un dispositif fournit au circuit une quantité d’énergie égale à l’énergie dissipée par effet Joule.À retenir

L’association, dans un circuit, d’un condensateur chargé et d’une bobine donne naissance à des oscillations électriques.

Les oscillations sont faiblement amorties si la résistance du circuit est quasiment nulle, ou fortement amorties si la résistance du circuit est importante.

La période des oscillations amorties, faiblement amorties ou entretenues, vérifie la relation :

Au cours des oscillations, des échanges d’énergie ont lieu entre la bobine et le condensateur. Si un conducteur ohmique est présent, il se produit des pertes d’énergie par effet Joule.



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PARTIE IV : EVOLUTION TEMPORELLE DES SYSTEMES MECANIQUE.

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La mécanique de NewtonIsaac Newton (1642-1727) est certainement le découvreur le plus fécond de toute l’histoire des sciences. Son principal ouvrage, Principes mathématiques de la philosophie naturelle, est un véritable trésor scientifique où sont exposées notamment les trois lois fondamentales qui régissent la physique macroscopique. Mais quelles sont ces lois qui dirigent les corps qui nous entourent ?

1. Quels sont les différents choix à faire avant d’étudier un mouvement ?

Avant d’entamer une étude de mouvement, il faut commencer par définir le système sur lequel porte l’étude, le repère d’espace ainsi que le repère de temps.Un système est un objet (ou un ensemble d’objets) sur lequel (lesquels) porte l’étude des forces.Par exemple, dans l’étude de la chute d’une bille, le système est la bille.Un système est caractérisé par un point particulier G, nommé centre d’inertie, dont le mouvement est plus simple à décrire que n’importe quel autre point du système.Par exemple, si je fais rouler une boule de pétanque sur un sol lisse et plat, son centre d’inertie (le centre de la sphère) aura un mouvement rectiligne dans le référentiel terrestre, alors que les autres points auront des mouvements plus complexes.Le repère d’espace est constitué d’une origine, liée à un corps de référence, et d’un système d’axes.Par exemple, le référentiel géocentrique est représenté par un repère centré sur la Terre et dont les axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines.Le repère de temps est associé à une horloge que l’on déclenche à la date t = 0 s.Par exemple, pour l’étude de la chute d’une bille, on déclenchera le chronomètre au lâcher de la bille.

2. Comment faire l’inventaire des forces appliquées à un système ?

Nous connaissons depuis la classe de seconde plusieurs forces de référence : la force de pesanteur , la force de tension d’un fil ou d’un ressort , la force de gravitation universelle

, la force de réaction et la force de frottement Certaines forces sont extérieures ; elles sont exercées par un objet n’appartenant pas au système. D’autres forces sont intérieures et s’exercent au sein même du système. Nous nous limiterons à l’étude des forces extérieures au système ; cette étude sera appelée « bilan des forces ».



Par exemple, le bilan des forces exercées sur un mobile autoporteur posé sur une table met en évidence deux forces : la pesanteur et la réaction du support

3. Qu’est-ce qu’une accélération moyenne ? Qu’est-ce qu’une accélération instantanée ?

L’accélération moyenne, aG, du centre d’inertie G est égale à la variation de la vitesse par

unité de temps : Elle s’exprime en m.s-2.Par exemple, si je passe avec mon scooter de 0 à 50,0 km.h-1 (13,9 m.s-1) en 4,0 secondes,

mon accélération moyenne est : L’accélération instantanée, aG, à une date t, du centre d’inertie G d’un mobile est égale à la variation de vitesse par unité de temps au voisinage de cette date :

On détermine l’accélération instantanée en traçant la tangente à la courbe v = f(t), en dérivant l’équation horaire donnant v en fonction de t ou en appliquant la méthode graphique décrite dans le paragraphe suivant.

4. Comment tracer un vecteur accélération ?

On souhaite déterminer le vecteur accélération au point M2 obtenu lors de l’enregistrement expérimental du mouvement d’un mobile autoporteur. Voici les différentes étapes de la construction du vecteur :



on trace la corde pour obtenir grossièrement la direction du vecteur vitesse (tangent à la courbe en ) ;

on mesure la distance parcourue en tenant compte de l’échelle du document ;

on utilise l’approximation pour calculer cette vitesse ; on trace le vecteur dans le sens du mouvement, à l’échelle ; on détermine graphiquement le vecteur comme indiqué ;

on calcule l’accélération en prenant la norme du vecteur ; on représente le vecteur accélération, suivant la direction et le sens de , en

utilisant une échelle de représentation.

5. Quelles sont les lois de la dynamique découvertes par Newton ?

La première loi de Newton est appelée principe d’inertie : « Dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse d’un solide est constant, la somme des forces qui s’exercent sur le solide

est égale au vecteur nul et réciproquement. »La seconde loi de Newton est appelée théorème du centre d’inertie (ou principe fondamental de la dynamique) : « Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur

accélération de son centre d’inertie : »La troisième loi de Newton est appelée loi des actions réciproques : « Si un corps A exerce une force sur un corps B, simultanément le corps B exerce une action opposée sur le corps A, de même intensité, de même direction mais de sens contraire : »À retenir

Le vecteur accélération, à une date t, est égal à la variation du vecteur vitesse par

unité de temps, au voisinage de cette date :



La première loi de Newton est le principe d’inertie : « Dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse d’un solide est constant, la somme des forces qui

s’exercent sur le solide est égale au vecteur nul et réciproquement. » La seconde loi de Newton est le théorème du centre d’inertie (ou principe

fondamental de la dynamique) : « Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un solide est égale au produit de la masse du

solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie : » La troisième loi de Newton est celle des actions réciproques : « Si un corps A

exerce une force sur un corps B, simultanément le corps B exerce une action opposée sur le corps A de même intensité, de même direction mais de sens contraire : »

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Chute verticale des corpsUne boule de plomb et une balle de tennis, lâchées sans vitesse, atteindront-elles le sol en même temps ? La réponse à cette question dépend des conditions expérimentales. Quelles sont ces conditions ? Quelle modélisation mathématique peut-on proposer pour décrire un mouvement de chute verticale ?

1. Qu’’est-ce que le champ de pesanteur terrestre ?

Tout corps de masse m situé au voisinage de la surface de la Terre est soumis à la force de gravitation qui peut être assimilée à la force de pesanteur (encore appelée poids).L’’intensité g du champ de pesanteur, en newtons par kilogramme (N.kg-1), représente l’’intensité de la force de pesanteur par unité de masse, en un point de l’’espace situé au voisinage de la surface de la Terre. Le vecteur champ de pesanteur est défini par la relation

dans laquelle , en newtons (N), représente le poids de l’’objet et m, en kilogrammes (kg), sa masse.De cette définition, il découle que le vecteur champ de pesanteur a la même direction et le même sens que le vecteur représentant le poids ; il est vertical et dirigé vers le bas.Au voisinage de la surface de la Terre, le champ de gravitation est considéré comme uniforme. On le représente par un vecteur identique en tout point de l’’espace (même intensité, même direction et même sens).À la surface de la Terre, on prend généralement g = 9,81 N.kg-1.

2. Comment modélise-t-on un mouvement de chute libre ?

Un objet est en mouvement de « chute libre » s’’il n’’est soumis qu’’à l’’action de la force de pesanteur.Par exemple, une pomme qui tombe d’’un arbre suit un mouvement de chute libre car il est possible de négliger les forces de frottement de l’’air au cours de son mouvement.



Pour modéliser le mouvement de chute libre d’’un objet lâché sans vitesse initiale à la date t = 0 s, il faut appliquer le théorème du centre d’’inertie dans le référentiel terrestre et identifier le vecteur accélération.

D’’après le théorème du centre d’’inertie : , donc pour un objet en chute libre : En remplaçant le poids par son expression, on obtient : ; d’’où

Par définition, les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération selon l’’axe sont :

, donc ’’’L’équation différentielle d’un mouvement de chute libre s’écrit : Ensuite, on établit les expressions des équations horaires de la vitesse et de la position, en s’’appuyant sur les relations mathématiques reliant ces grandeurs et sur les conditions initiales.

Comme , avec initialement vz = v0, on a la primitive :

Comme , avec initialement z = z0, on a la primitive :

3. Pourquoi le mouvement de chute libre est-il rectiligne uniformément accéléré?

Un objet est animé d’’un mouvement rectiligne uniformément accéléré si sa trajectoire décrit une droite et si son accélération reste constante.Si la représentation graphique de l’’évolution de la vitesse en fonction du temps de chute est une droite, alors l’’accélération est constante, donc le mouvement est uniformément accéléré.L’’accélération d’’un objet en mouvement de chute libre est Tout objet lâché sans vitesse initiale à la surface de la Terre tombe verticalement avec une accélération constante. Son mouvement est rectiligne uniformément accéléré.Remarque :Il ne faut pas confondre un mouvement uniformément accéléré avec un mouvement uniforme. Un mouvement est uniforme si la vitesse est constante, alors qu’’un mouvement est uniformément accéléré si l’’accélération est constante.

4. Comment modélise-t-on un mouvement de chute verticale avec frottement ?

L’’étude de la chute verticale avec frottement suit le même principe que l’’étude de la chute libre. Deux forces supplémentaires interviennent alors : la force de frottement et la poussée d’’Archimède (dans le cas des chutes dans un fluide).La force de frottement s’’oppose au mouvement. Elle a donc la même direction que le vecteur vitesse mais est de sens opposé. Sa valeur dépendra de la vitesse de l’’objet, de la



nature du fluide, des dimensions, de la forme et de l’’état de surface de l’’objet. Compte tenu de ces nombreux paramètres, son expression sera toujours donnée dans l’’énoncé.La poussée d’’Archimède est une force exercée par un fluide sur un objet immergé. Sa direction est verticale, son sens orienté vers le haut et son intensité égale au poids du fluide

déplacé par l’’objet. Elle est donnée par la relation , dans laquelle mf (en kg) représente la masse de fluide déplacée et g (en N.kg-1), l’’intensité du champ de pesanteur.La masse mf (en kg) de fluide déplacée se calcule à partir de la relation , dans

laquelle (en kg.m-3) représente la masse volumique du fluide et V (en m3), le volume de fluide déplacé par l’’objet.Notons M, la masse de fluide déplacée et m, la masse de l’’objet. En présence de la force de frottement définie par , l’’équation différentielle du mouvement de chute verticale dans un fluide s’’établit de la façon suivante :

Bilan des forces :– pesanteur – force de frottement – poussée d’’Archimède

D’’après le théorème du centre d’’inertie : ; ce qui donne pour un objet en chute libre : Si on remplace chaque force par son expression, on obtient : , d’’où l’’équation différentielle :

5. Comment caractérise-t-on un mouvement de chute verticale avec frottement ?

L’’étude de l’’évolution de la vitesse d’’un objet en mouvement de chute verticale avec frottement dans un fluide fait apparaître deux phases :

dans la première phase, nommée « régime initial », la vitesse augmente progressivement jusqu’’à atteindre une vitesse limite ;

dans la seconde phase, nommée « régime asymptotique » , la vitesse limite est atteinte et reste constante. Dans cette phase, le principe d’’inertie est vérifié.

Le mouvement de chute verticale avec frottement est caractérisé par la constante de temps tc

qui correspond au temps nécessaire pour que l’’objet atteigne 63 % de sa vitesse limite. Ce temps peut être déterminé graphiquement en trouvant le point d’’intersection de la tangente à l’’origine avec l’’asymptote horizontale.



6. Comment calculer la vitesse limite d’’un objet en chute verticale avec frottement ?

Nous avons déterminé précédemment l’’équation différentielle de la chute verticale dans un fluide avec frottement : La vitesse limite est atteinte quand l’’accélération devient nulle, soit pour :

D’’où :

et À retenir

Le champ de pesanteur terrestre est lié à la force de pesanteur par la relation :

Un objet est en mouvement de « chute libre » s’’il n’’est soumis qu’’à l’’action de la force de pesanteur. L’’équation différentielle du mouvement de chute libre s’’écrit :

Un objet est animé d’’un mouvement rectiligne uniformément accéléré si sa trajectoire décrit une droite et si son accélération reste constante.

La poussée d’’Archimède est donnée par la relation :

L’’équation différentielle de la chute verticale dans un fluide avec frottement

s’’écrit : Pour un mouvement de chute verticale avec frottement, la courbe de vitesse en

fonction du temps comprend un régime initial et un régime asymptotique. La vitesse limite est atteinte quand l’’accélération devient nulle.

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Chute verticale des corpsUne boule de plomb et une balle de tennis, lâchées sans vitesse, atteindront-elles le sol en même temps ? La réponse à cette question dépend des conditions expérimentales. Quelles sont ces conditions ? Quelle modélisation mathématique peut-on proposer pour décrire un mouvement de chute verticale ?



1. Qu’’est-ce que le champ de pesanteur terrestre ?

Tout corps de masse m situé au voisinage de la surface de la Terre est soumis à la force de gravitation qui peut être assimilée à la force de pesanteur (encore appelée poids).L’’intensité g du champ de pesanteur, en newtons par kilogramme (N.kg-1), représente l’’intensité de la force de pesanteur par unité de masse, en un point de l’’espace situé au voisinage de la surface de la Terre. Le vecteur champ de pesanteur est défini par la relation

dans laquelle , en newtons (N), représente le poids de l’’objet et m, en kilogrammes (kg), sa masse.De cette définition, il découle que le vecteur champ de pesanteur a la même direction et le même sens que le vecteur représentant le poids ; il est vertical et dirigé vers le bas.Au voisinage de la surface de la Terre, le champ de gravitation est considéré comme uniforme. On le représente par un vecteur identique en tout point de l’’espace (même intensité, même direction et même sens).À la surface de la Terre, on prend généralement g = 9,81 N.kg-1.

2. Comment modélise-t-on un mouvement de chute libre ?

Un objet est en mouvement de « chute libre » s’’il n’’est soumis qu’’à l’’action de la force de pesanteur.Par exemple, une pomme qui tombe d’’un arbre suit un mouvement de chute libre car il est possible de négliger les forces de frottement de l’’air au cours de son mouvement.

Pour modéliser le mouvement de chute libre d’’un objet lâché sans vitesse initiale à la date t = 0 s, il faut appliquer le théorème du centre d’’inertie dans le référentiel terrestre et identifier le vecteur accélération.

D’’après le théorème du centre d’’inertie : , donc pour un objet en chute libre : En remplaçant le poids par son expression, on obtient : ; d’’où

Par définition, les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération selon l’’axe sont :

, donc ’’’L’équation différentielle d’un mouvement de chute libre s’écrit : Ensuite, on établit les expressions des équations horaires de la vitesse et de la position, en s’’appuyant sur les relations mathématiques reliant ces grandeurs et sur les conditions initiales.

Comme , avec initialement vz = v0, on a la primitive :

Comme , avec initialement z = z0, on a la primitive :



3. Pourquoi le mouvement de chute libre est-il rectiligne uniformément accéléré?

Un objet est animé d’’un mouvement rectiligne uniformément accéléré si sa trajectoire décrit une droite et si son accélération reste constante.Si la représentation graphique de l’’évolution de la vitesse en fonction du temps de chute est une droite, alors l’’accélération est constante, donc le mouvement est uniformément accéléré.L’’accélération d’’un objet en mouvement de chute libre est Tout objet lâché sans vitesse initiale à la surface de la Terre tombe verticalement avec une accélération constante. Son mouvement est rectiligne uniformément accéléré.Remarque :Il ne faut pas confondre un mouvement uniformément accéléré avec un mouvement uniforme. Un mouvement est uniforme si la vitesse est constante, alors qu’’un mouvement est uniformément accéléré si l’’accélération est constante.

4. Comment modélise-t-on un mouvement de chute verticale avec frottement ?

L’’étude de la chute verticale avec frottement suit le même principe que l’’étude de la chute libre. Deux forces supplémentaires interviennent alors : la force de frottement et la poussée d’’Archimède (dans le cas des chutes dans un fluide).La force de frottement s’’oppose au mouvement. Elle a donc la même direction que le vecteur vitesse mais est de sens opposé. Sa valeur dépendra de la vitesse de l’’objet, de la nature du fluide, des dimensions, de la forme et de l’’état de surface de l’’objet. Compte tenu de ces nombreux paramètres, son expression sera toujours donnée dans l’’énoncé.La poussée d’’Archimède est une force exercée par un fluide sur un objet immergé. Sa direction est verticale, son sens orienté vers le haut et son intensité égale au poids du fluide

déplacé par l’’objet. Elle est donnée par la relation , dans laquelle mf (en kg) représente la masse de fluide déplacée et g (en N.kg-1), l’’intensité du champ de pesanteur.La masse mf (en kg) de fluide déplacée se calcule à partir de la relation , dans

laquelle (en kg.m-3) représente la masse volumique du fluide et V (en m3), le volume de fluide déplacé par l’’objet.Notons M, la masse de fluide déplacée et m, la masse de l’’objet. En présence de la force de frottement définie par , l’’équation différentielle du mouvement de chute verticale dans un fluide s’’établit de la façon suivante :

Bilan des forces :– pesanteur



– force de frottement – poussée d’’Archimède

D’’après le théorème du centre d’’inertie : ; ce qui donne pour un objet en chute libre : Si on remplace chaque force par son expression, on obtient : , d’’où l’’équation différentielle :

5. Comment caractérise-t-on un mouvement de chute verticale avec frottement ?

L’’étude de l’’évolution de la vitesse d’’un objet en mouvement de chute verticale avec frottement dans un fluide fait apparaître deux phases :

dans la première phase, nommée « régime initial », la vitesse augmente progressivement jusqu’’à atteindre une vitesse limite ;

dans la seconde phase, nommée « régime asymptotique » , la vitesse limite est atteinte et reste constante. Dans cette phase, le principe d’’inertie est vérifié.

Le mouvement de chute verticale avec frottement est caractérisé par la constante de temps tc

qui correspond au temps nécessaire pour que l’’objet atteigne 63 % de sa vitesse limite. Ce temps peut être déterminé graphiquement en trouvant le point d’’intersection de la tangente à l’’origine avec l’’asymptote horizontale.

6. Comment calculer la vitesse limite d’’un objet en chute verticale avec frottement ?

Nous avons déterminé précédemment l’’équation différentielle de la chute verticale dans un fluide avec frottement : La vitesse limite est atteinte quand l’’accélération devient nulle, soit pour :

D’’où :

et À retenir

Le champ de pesanteur terrestre est lié à la force de pesanteur par la relation :



Un objet est en mouvement de « chute libre » s’’il n’’est soumis qu’’à l’’action de la force de pesanteur. L’’équation différentielle du mouvement de chute libre s’’écrit :

Un objet est animé d’’un mouvement rectiligne uniformément accéléré si sa trajectoire décrit une droite et si son accélération reste constante.

La poussée d’’Archimède est donnée par la relation :

L’’équation différentielle de la chute verticale dans un fluide avec frottement

s’’écrit : Pour un mouvement de chute verticale avec frottement, la courbe de vitesse en

fonction du temps comprend un régime initial et un régime asymptotique. La vitesse limite est atteinte quand l’’accélération devient nulle.

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Mouvements de projectiles et de planètes« La Terre est le centre du monde et les autres planètes tournent autour ». C’est ce pensaient les plus illustres intellectuels de l’Antiquité comme Pythagore, Aristote et Ptolémée. Ce n’est qu’à partir du XVIe siècle qu’est apparue la notion de système héliocentrique avec les découvertes de Nicolas Copernic, complétées par les lois de Johannes Kepler. Quelles sont les lois qui régissent les mouvements des planètes ? Comment en déduit-on leurs masses ?

1. Quelles sont les différentes relations à connaître pour étudier un mouvement plan ?

La position d’un point M (x ; y ; z) est définie, dans le repère orthonormé ( ), par le

vecteur position : , avec



Lorsqu’un objet (assimilé au point M) se déplace, sa position évolue avec le temps. On dit que chacune de ses coordonnées est une fonction du temps et le vecteur position est alors noté :

Le vecteur vitesse est obtenu en dérivant le vecteur position du mobile :

En remplaçant l’écriture de la dérivée par l’écriture , on obtient les coordonnées du

vecteur vitesse que l’on simplifie en écrivant Le vecteur accélération est obtenu en dérivant le vecteur vitesse :

En remplaçant l’écriture de la dérivée par l’écriture , on obtient les coordonnées

du vecteur accélération que l’on simplifie en écrivant

2. Comment déterminer les coordonnées du vecteur accélération d’un projectile ?

Un objet sera animé d’un mouvement plan si l’étude du mouvement montre qu’il évolue dans deux dimensions.

Ainsi, si l’équation horaire du vecteur position d’un objet est , son mouvement a lieu dans le plan Considérons le mouvement plan d’un projectile lancé avec une vitesse initiale dans le champ de pesanteur.

Si l’on néglige les frottements de l’air, l’objet n’est soumis qu’à la force de pesanteur. Il est animé d’un mouvement de chute libre, son vecteur accélération est



Dans le repère ( ), les coordonnées du vecteur accélération sont

3. Comment obtenir les équations horaires et l’équation de la trajectoire du projectile ?

Poursuivons l’exemple précédent. Connaissant les coordonnées du vecteur accélération, il est possible de déterminer les coordonnées du vecteur vitesse

En effet, on sait que et qu’initialement

La primitive de est

Par ailleurs, et, à l’instant initial,

La primitive de est Ces équations qui permettent de calculer la position de l’objet à une date quelconque sont nommées « équations horaires paramétriques ».

En remplaçant t par dans l’équation horaire de z, on obtient l’équation de la

trajectoire parabolique :

4. Comment déterminer l’accélération d’un satellite autour d’une planète ?

Pour étudier le mouvement circulaire d’un satellite autour de la Terre, on utilise un repère particulier nommé repère de Frenet. Ce repère , centré sur le satellite, possède un axe tangent T à la trajectoire et un axe N dirigé vers le centre de la trajectoire.

Le satellite est soumis à la force de gravitation universelle dont l’expression vectorielle est

Dans cette expression, m et M sont respectivement les masses (en kg) du satellite et de la Terre, G est la constante de gravitation et R est le rayon de la trajectoire (en m).D’après le théorème du centre d’inertie :



Par conséquent, , d’où le vecteur accélération

5. Comment démontrer qu’un mouvement est circulaire uniforme ?

Dans le repère de Frenet, le vecteur accélération s’écrit :

L’accélération étant radiale, : la vitesse reste constante, le mouvement est uniforme.

6. Quelle relation lie la période et le rayon de la trajectoire ?

Nous savons que, pour un satellite en mouvement circulaire, l’accélération est

avec dans le repère de Frenet.

En comparant ces deux relations, on obtient soit une vitesse et une

période de révolution

7. Quelles sont les lois de Kepler ?

Première loi de Kepler : dans un référentiel géocentrique, les centres des planètes décrivent des orbites elliptiques dont le centre du Soleil est l’un des foyers.Deuxième loi de Kepler : les aires balayées par le rayon vecteur reliant le centre du Soleil au centre d’une planète sont égales pendant des durées égales.

Troisième loi de Kepler : le carré de la période T de révolution est proportionnel au cube du demi-grand axe a de l’orbite.À retenir

Dans le repère de Frenet, la force de gravitation universelle exercée par un objet A

de masse mA sur un objet B de masse mB a pour expression : On utilise le repère de Frenet pour étudier le mouvement circulaire d’un satellite

autour d’une planète de masse M. Dans ce repère, l’accélération d’un satellite est :

D’après la troisième loi de Kepler, le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du demi-grand axe de l’orbite.



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Systèmes oscillantsLes propriétés de systèmes aussi simples qu’un pendule ont été exploitées dans de nombreux domaines et ce, depuis fort longtemps. La découverte de l’isochronisme des petites oscillations par Galilée au XVIe siècle a ainsi révolutionné les appareils de mesure du temps. En 1851, c’est le pendule de Foucault qui a mis en évidence la rotation de la Terre. Quelles sont donc les propriétés des oscillateurs mécaniques simples ?

1. Quelles sont les propriétés d’un pendule simple ?

Un pendule simple est constitué d’un objet ponctuel attaché au bout d’un fil inextensible de masse négligeable.

Un pendule simple est soumis à deux forces qui sont la force de pesanteur et la tension du fil À l’équilibre, un pendule simple vérifie le principe d’inertie : Comme le poids est vertical et que les forces se compensent, la tension du fil est nécessairement verticale ; la position d’équilibre d’un pendule simple est donc verticale.

La période propre d’un pendule simple est la durée d’une oscillation (d’un aller et retour) du pendule. On montre expérimentalement que la période propre T0, en secondes (s), des

oscillations d’un pendule simple est donnée par la relation , dans laquelle L, en mètres (m), représente la longueur du fil et g, en newtons par kilogramme , l’intensité du champ de pesanteur.Pour des oscillations de faible amplitude (θ < 20°), la période propre des oscillations est indépendante de leur amplitude. Cette propriété des pendules simples est appelée « loi d’isochronisme des petites oscillations ».

2. Comment vérifier l’homogénéité de l’expression de la période propre d’un pendule simple ?

L’expression de la période propre d’un pendule simple est



Pour vérifier son homogénéité, on procède à une analyse dimensionnelle, en remplaçant chaque variable dans l’équation par son unité.La période propre T0 des oscillations s’exprime en secondes (s), la longueur L du fil, en mètres (m) et l’intensité du champ de gravitation, en newtons par kilogramme (N.kg-1).

D’après le théorème du centre d’inertie, On peut écrire :

Il en résulte que s’exprime en :

L’expression est donc homogène à un temps.

3. Quelles sont les caractéristiques du système solide-ressort ?

Un ressort peut travailler en compression ou en extension selon la déformation qu’on lui impose par rapport à sa position d’équilibre O :

La tension du ressort , en newtons (N), s’oppose à la déformation : c’est une force de rappel d’expression vectorielle Dans cette expression, k, en newtons par mètre (N.m-1), représente la constante de raideur du ressort et x, en mètres (m), représente la valeur algébrique de son allongement. Notons que x < 0 en compression et que x > 0 en extension.Le système solide-ressort est constitué d’un solide fixé à un ressort dont l’autre extrémité est attachée à un point fixe.Sa période propre T0, en secondes (s), est donnée par la relation :

, avec m, la masse du solide (en kg) et k, la constante de raideur du ressort (en N.m-1).

4. Comment modéliser les oscillations d’un système solide-ressort idéal ?

Dans le cas idéal, on négligera les frottements. Les forces en présence sont la force de pesanteur , la réaction du support et la tension du ressort .

D’après le théorème du centre d’inertie, , ce qui donne pour le mobile :

Comme , on obtient :

d’où l’équation différentielle :



La solution de cette équation différentielle est de la forme :

avec exprimé en mètres (m), l’amplitude des oscillations, T0, en secondes (s), la période propre et , en radians (rad), la phase, à l’origine des dates. L’amplitude représente la valeur maximale de l’allongement du ressort.

5. Quels sont les différents régimes d’oscillations ?

L’oscillateur non amorti évolue à énergie constante : le système est conservatif.

L’oscillateur amorti dissipe de l’énergie vers l’extérieur : le système est dissipatif. On note que, si la période des oscillations reste constante, leur amplitude décroît. On utilisera l’appellation « pseudo-période » pour les oscillations amorties. La pseudo-période T des oscillations est proche de la période propre T0 d’un même oscillateur non amorti.

Si l’énergie dissipée à chaque oscillation devient trop importante, l’oscillateur aura perdu toute son énergie avant même d’avoir effectué une oscillation ; le régime est alors apériodique.L’oscillateur entretenu dissipe de l’énergie vers l’extérieur, mais ses pertes d’énergie sont compensées par un dispositif d’entretien. On obtient à nouveau des oscillations périodiques non amorties.

6. Qu’est-ce que la résonance ?

Le phénomène de résonance est observé dans le cas d’oscillations forcées. Un dispositif d’entraînement, nommé excitateur, impose la fréquence des oscillations au système oscillant.Par exemple, les oscillations de la membrane d’un haut-parleur suivent la fréquence du générateur basse fréquence auquel il est relié.Il y a résonance mécanique lorsque la période de l’excitateur est voisine de la période propre du résonateur. L’amplitude des oscillations est alors maximale.À retenir



La période propre d’un pendule simple de longueur L est donnée par la relation :

On considère un solide de masse m couplé à un ressort de constante de raideur k. La période propre du système solide-ressort est donnée par la relation :

L’expression vectorielle de la tension d’un ressort est : L’équation différentielle traduisant les oscillations d’un système solide-ressort est

de la forme :

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Travail et transfert d'énergiePourquoi un skieur prend-il de la vitesse en descendant une piste de ski ? Son énergie semble augmenter mais cette interprétation est-elle vraiment correcte ? Quelles sont les différentes formes d’énergie ? Les règles énergétiques de notre monde macroscopique peuvent-elles s’appliquer aux atomes ?

1. Quelles sont les différentes formes de travail ?

Le travail élémentaire d’une force durant un déplacement élémentaire est donné par la relation Le travail d’une force entre deux points A et B est égal à la somme des travaux

élémentaires entre ces points : Un travail s’exprime en joules (J).Prenons le cas d’un solide de masse m en translation entre deux points A et B et soumis à une force de traction constante faisant un angle á avec le vecteur vitesse.

Le travail de la force de traction est donné par la relation :

Le travail de la force de pesanteur est indépendant du chemin suivi. Il est donné par la relation

, la masse m étant exprimée en kilogrammes (kg), l’intensité du champ de pesanteur g , en newtons par kilogramme (N.kg-1), et les altitudes zA et zB des points A et B, en mètres (m).Le travail de la force exercée sur un ressort entre deux points A et B est donné par la

relation , la constante de raideur k du ressort étant exprimée en newtons par kilogramme (N.m-1) et les allongements algébriques xA et xB, en mètres (m).



2. Quelles sont les différentes formes d’énergie en mécanique newtonienne ?

L’énergie cinétique Ec, en joules (J), d’un objet en mouvement est donnée par la relation

, dans laquelle m (en kg) représente la masse de l’objet et v (en m.s-1), sa vitesse.L’énergie potentielle de pesanteur Epp, en joules (J), est donnée par la relation , dans laquelle m (en kg) représente la masse de l’objet, g (en N.kg-1) représente l’intensité du champ de pesanteur et z (en m) représente l’altitude par rapport à un point de référence.L’énergie potentielle élastique Epe, en joules (J), d’un ressort est donnée par la relation

dans laquelle k (en N.m-1) représente la constante de raideur du ressort et x (en m), l’allongement du ressort.L’énergie mécanique E, en joules (J), est égale à la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle élastique :

3. Comment évolue l’énergie mécanique d’un système ?

En l’absence de frottements, l’énergie mécanique d’un système (projectile ou oscillateur) se conserve : E = cte. Il y a transformation d’énergie cinétique en énergie potentielle et inversement. La variation d’énergie cinétique est égale à la variation d’énergie potentielle :

En présence de frottement, le système perd de l’énergie par effet Joule, son énergie mécanique diminue.

4. Quelles sont les forces et les énergies à l’échelle de l’atome ?

Certaines forces étudiées à l’échelle macroscopique se retrouvent à l’échelle microscopique. C’est le cas de la force d’interaction gravitationnelle et de la force d’interaction électrostatique.

La force d’interaction gravitationnelle exercée par une particule A de masse mA (en kg) sur une particule B de masse mB (en kg) est donnée par la relation :

, dans laquelle G est la constante de gravitation universelle et r (en m) est la distance entre les deux particules.

La force d’interaction électrostatique exercée par une particule A de charge qA

(en C) sur une particule B de charge qB est donnée par la relation : , dans laquelle le premier membre est une constante dépendant du milieu et r (en m) est la distance entre les deux particules.Contrairement à la mécanique classique, la variation d’énergie dans un atome est discontinue. On dit que l’énergie de l’atome est quantifiée : elle ne peut prendre que des valeurs discrètes (bien définies).



Un atome dans un état excité d’énergie Ep retourne à un niveau plus stable d’énergie En (En < Ep) en émettant un photon dont l’énergie est donnée par la relation , dans laquelle h représente la constante de Planck (h = 6,6626 x 10-34 J.s) et , exprimée en hertz (Hz), la fréquence du rayonnement. Pour passer à l’état excité, l’atome a dû absorber un photon d’égale énergie.L’énergie de l’atome est souvent exprimée en électronvolts (eV). Un électronvolt équivaut à 1,6 x 10-19 J.À retenir

1. L’expression du travail est :

2. pour une force quelconque ;

3. pour la force de pesanteur ;

4. pour la force exercée sur un ressort. 5. L’énergie mécanique d’un système est égale à la somme de l’énergie cinétique et

de l’énergie potentielle.

6. Dans le cas d’un ressort, l’énergie potentielle élastique est 7. En l’absence de frottements, l’énergie d’un système reste constante ; on a alors :

8. À l’échelle de l’atome, l’énergie est quantifiée. Le passage d’un niveau énergétique à un autre se traduit par l’émission ou l’absorption d’un photon d’énergie

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NE SOYEZ PAS DES MATERIALISTES DIRE MERCI.


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