Numérations : en base 10 décimale, dans d’autres

bases ; Opérations élémentaires : +, −, ×, ÷

Denis Vekemans ∗

1 Principes de numération dans l’ensemble des entiers naturels

1.1 À propos de notre système de numération usuel ...

Dans la base décimale, celle que nous utilisons habituellement, l’écriture du nombre 2 050 dégage

que le nombre en question est somme de 2 milliers et de 5 dizaines. Elle induit également que 2 050 =

2 × 1 000 + 5 × 10 = 2 × 103 + 0 × 102 + 5 × 101 + 0 × 100. On peut voir, à travers cette écriture le rapport

privilégié au nombre 10 duquel la base décimale tire son nom.

Si l’entier naturel n non nul est tel que 10k ≤ n < 10k+1 pour un certain entier nturel k, alors n s’écrit

avec k + 1 chiffres en base décimale.

On dit que notre système de numération décimal est

1. décimal (les échanges d’une classe à la classe juste à droite se font à 10 pour 1 : 1 dizaine vaut 10

unités, 1 centaine vaut 10 centaines, ... et par conséquent, 1 centaine vaut 100 unités, ...)

2. et de position (selon sa place dans le nombre, un même chiffre peut tantôt avoir un statut de

dizaines, tantôt de milliers, ... et donc changer de valeur ; pour signifier une absence dans une

certaine classe, on utilise un zéro de position ; ...)

Certains préfixes sont utilisés en base décimale pour abréger des écritures s’achevant par de nombreux

zéros :

— 1 k = 1 000 (lire "un kilo" vaut mille unités) ;

— 1 M = 1 000 000 (lire "un méga" vaut un million d’unités) ;

— 1 G = 1 000 000 000 (lire "un giga" vaut un milliard d’unités).

Exercice 1 Combien valent 30 M , 47 G, et 21 k en unités ?

Solution 1

∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais

cedex ; France

1

— 30 M = 30 000 000,

— 47 G = 47 000 000 000,

— et 21 k = 21 000.

Désignations des classes pour les grands nombres en base 10.

unité(100) millier(103)

million(106) milliard(109)

billion(1012) billiard(1015)

trillion(1018) trilliard(1021)

quadrillion(1024) quadrilliard(1027)...

...

Dans ce tableau,

— de la colonne de gauche à la colonne de droite, le rapport est de mille : par exemple, un billiard

vaut mille billions ;

— d’une ligne à la suivante, le rapport est d’un million : par exemple, un trillion vaut un million de

billions.

Exercice 2

1. Écrire en lettres le nombre

1 000 060 800 000 000 005 070.

2. Écrire en chiffres, en base 10, le nombre "Douze-billiard-quatre-vingt-dix-millions".

Solution 2

1. "Un-trilliard-soixante-billiard-huit-cent-billion-cinq-mille-soixante-dix".

2.

12 000 000 090 000 000.

1.2 Dans d’autres bases ...

On peut aussi écrire un nombre entier naturel n en n’importe quelle base b où b est un entier naturel

supérieur ou égal à 2 :

n = a0 × b0 + a1 × b1 + a2 × b2 + . . . + ak × bk,

où les entiers naturels a0, a1, a2, . . ., ak sont strictement inférieurs à b (ce sont les chiffres permettant

d’écrire le nombre n dans la base b).

Si l’entier naturel n non nul est tel que bk ≤ n < bk+1 pour un certain entier nturel k, alors n s’écrit

avec k + 1 chiffres en base b.

On rappelle : b0 = 1 ; b1 = b.

2

Cette écriture peut aussi être abrégée comme suit : n = ak . . . a2a1a0(b).

Familièrement, la base 2 s’appelle la base binaire, la base 60 s’appelle la base sexagésimale.

Exercice 3 Écrire 120 en base 7. Écrire 421 en base 5. Écrire 100 en base 2.

Solution 3

1. (a) Première démarche. Les puissances successives de 7 sont 70 = 1, 71 = 7, 72 = 49, 73 = 343, . . .

Dans 120, la plus grande puissance de 7 qui entre est 49 et elle rentre deux fois ; on donc

120 = 2 × 72 + 22.

On continue, dans 22, la plus grande puissance de 7 qui entre est 7 et elle rentre trois fois ; on

a donc 120 = 2 × 72 + 3 × 7 + 1 = 231(7).

(b) Deuxième démarche. La division euclidienne de 120 par 7 donne 120 = 17 × 7 + 1.

Mais 17 n’étant pas un chiffre de la base 7, on continue et la division euclidienne de 17 par 7

donne : 17 = 2 × 7 + 3.

Cette fois, 2 est un chiffre de la base 7, donc on écrit

120 = 17 × 7 + 1

= (2 × 7 + 3) × 7 + 1

= 2 × 72 + 3 × 7 + 1

= 231(7)

Autre disposition de cette deuxième démarche :

120 1 120 = 17 × 7 + 1

17 3 17 = 2 × 7 + 3

2

On lit le nombre en base 7 en remontant les chiffres : 231(7).

2. (a) Première démarche. Les puissances successives de 5 sont 50 = 1, 51 = 5, 52 = 25, 53 = 125,

54 = 625, . . .

Dans 421, la plus grande puissance de 5 qui entre est 125 et elle rentre trois fois ; on donc

421 = 3 × 53 + 46.

On continue, dans 46, la plus grande puissance de 5 qui entre est 25 et elle rentre une fois ; on

a donc 421 = 3 × 53 + 1 × 52 + 21.

On continue, dans 21, la plus grande puissance de 5 qui entre est 5 et elle rentre quatre fois ; on

a donc 421 = 3 × 53 + 1 × 52 + 4 × 5 + 1 = 3141(5).

(b) Deuxième démarche. La division euclidienne de 421 par 5 donne 421 = 84 × 5 + 1.

3

Mais 84 n’étant pas un chiffre de la base 5, on continue et la division euclidienne de 84 par 5

donne : 84 = 16 × 5 + 4.

Mais 16 n’étant toujours pas un chiffre de la base 5, on continue et la division euclidienne de 16

par 5 donne : 16 = 3 × 5 + 1.

Cette fois, 3 est un chiffre de la base 5, donc on écrit

421 = 84 × 5 + 1

= (16 × 5 + 4) × 5 + 1

= ((3 × 5 + 1) × 5 + 4) × 5 + 1

= 3 × 53 + 1 × 52 + 4 × 5 + 1

= 3141(5)

Autre disposition de cette deuxième démarche :

421 1 421 = 84 × 5 + 1

84 4 84 = 16 × 5 + 4

16 1 16 = 3 × 5 + 1

3

On lit le nombre en base 5 en remontant les chiffres : 3141(5).

3.100 0 100 = 50 × 2 + 0

50 0 50 = 25 × 2 + 0

25 1 25 = 12 × 2 + 1

12 0 12 = 6 × 2 + 0

6 0 6 = 3 × 2 + 0

3 1 3 = 1 × 2 + 1

1

On lit le nombre en base 5 en remontant les chiffres : 1100100(2).

NB : Pour convertir l’écriture d’un nombre n de la base décimale en la base b :

1. On obtient a0, qui est le dernier chiffre du nombre n, comme reste dans la division eulidienne de n

par b, cette division fournissant le quotient q0.

2. On obtient ai (tant que le quotient qi−1 est plus grand que b au sens large, en incrémentant i de

1 à chaque fois) comme reste de la division euclidienne de qi−1 par b, cette division fournissant le

quotient qi.

3. On obtient ak, qui est le premier chiffre du nombre n, égal à qk−1.

Puis, n = ak . . . a1a0(10).

4

Exercice 4 Transcrire le nombre 12345(6) dans notre système décimal.

Solution 4

1. Première démarche. Par lecture directe : 12345(6) = 1 × 64 + 2 × 63 + 3 × 62 + 4 × 6 + 5 =

1 296 + 432 + 108 + 24 + 5 = 1 865.

2. Deuxième démarche. En utilisant les divisions euclidiennes :

n 5 n = m × 6 + 5

m 4 m = l × 6 + 4

l 3 l = k × 6 + 3

k 2 k = 1 × 6 + 2

1

En partant d’en bas, on remonte dans le tableau et

1 865 5 1 865 = 310 × 6 + 5

310 4 310 = 51 × 6 + 4

51 3 51 = 8 × 6 + 3

8 2 8 = 1 × 6 + 2

1

Conclusion : 12345(6) = 1 865.

Exercice 5 Transcrire le nombre 123(4) en base 2. Ensuite, transcrire le nombre 33210323123(4) en base

2.

Solution 5

123(4) = 1 × 42 + 2 × 4 + 3 × 1

= 1 × 24 + 2 × 22 + 3 × 1

= 1 × 24 + (1 × 2 + 0) × 22 + (1 × 2 + 1) × 1

= 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 1

= 11011(2)

Il nous a suffit de coder chacun des chiffres en base 4 sur deux chiffres en base 2 (0 en base 4 est réécrit

00 en base 2, 1 est réécrit 01, 2 est réécrit 10 et 3 est réécrit 11).

Appliquant ce même principe, on obtient directement : 33210323123(4) = 1111100100111011011011(2).

Analyse de productions d’élèves [Lille (1999)]

Sujet

5

Solution

Volet didactique [Lille (1999)]

Sujet

Solution

Volet didactique [sujet d’examen 2013-2014]

Sujet

Solution

2 Les techniques opératoires

2.1 L’addition

1. 678 + 987 = XXX

En base 10,

1 1 1

6 7 8

+ 9 8 7

1 6 6 5

2. 1234(5) + 4321(5) = XXX(5)

En base 5,

1 1 1 1

1 2 3 4

+ 4 3 2 1

1 1 1 1 0

3. 101010(2) + 1110101(2) = XXX(2)

En base 2,

1 1

1 0 1 0 1 0

+ 1 1 1 0 1 0 1

1 0 0 1 1 1 1 1

4. (20)(20)(20)(60)

+ (20)(30)(40)(60)

= XXX(60)

En base 60,

1

(20) (20) (20)

+ (20) (30) (40)

(40) (51) (0)

6

Exercice 6 [Lyon (2004)] Toto additionne deux nombres entiers avec la méthode habituelle, et trouve

499 sans faire d’erreur. Combien de retenues a-t-il effectuées ?

Solution 6 Le chiffre 9 des unités du résultat a-t-il pu être obtenu en posant une retenue ?

Si oui, la somme des chiffres des unités des deux nombres additionnés était supérieure ou égale à 19

(au moins 10 pour la retenue, qui est additionnée au chiffre-nombre 9 des unités du résultat). Cependant,

la somme des chiffres des unités vaut au plus 9 + 9 = 18. Il est donc impossible que le chiffre 9 des unités

du résultat ait été obtenu en posant une retenue !

Le chiffre 9 des dizaines du résultat a-t-il pu être obtenu en posant une retenue ?

Si oui, la somme des chiffres des unités des deux nombres additionnés était supérieure ou égale à 19

(au moins 10 pour la retenue, qui est additionnée au chiffre-nombre 9 des unités du résultat et sachant

qu’aucune retenue ne provient du calcul du chiffre des unités du résultat). Cependant, la somme des chiffres

des unités vaut au plus 9 + 9 = 18. Il est donc impossible que le chiffre 9 des unités du résultat ait été

obtenu en posant une retenue !

L’obtention d’une somme de deux nombres entiers égale à 499 est donc réalisée sans retenue !

2.2 La soustraction

Pour la pose de la soustraction de x − y, on rencontre généralement deux processus

— par échanges dans a, on procède chiffre par chiffre en commençant par le rang le plus à droite (les

unités, puis les dizaines, puis les centaines, . . ., et quand pour un certain rang

— le chiffre de x est plus grand ou égal à celui de y, il n’y a pas problème et le chiffre obtenu est

la différence des deux chiffres ;

— le chiffre de x est strictement plus petit que celui de y, on emprunte 1 au rang de gauche qu’on

transforme en 10 du rang actuel (aspect décimal de la numération) : par exemple, on convertit

une dizaine en dix unités, une centaine en dix dizaines, . . .

Remarque. Un inconvénient de cette méthode est qu’elle est à réitérer lorsqu’on est amené à em-

prunté à 0, comme dans 104 − 27 : au rang des unités, 4 − 7 ne fournit pas un chiffre, on emprunte

donc une dizaine, mais 104 ne comporte pas de dizaine, on doit donc emprunter une centaine au

rang des centaines et transformer d’abord la centaine en dix dizaines, puis une des dizaines en dix

unités.

— par compensation dans a, on procède chiffre par chiffre en commençant par le rang le plus à

droite (les unités, puis les dizaines, puis les centaines, . . ., et quand pour un certain rang

— le chiffre de x est plus grand ou égal à celui de y, il n’y a pas problème et le chiffre obtenu est

la différence des deux chiffres ;

— le chiffre de x est strictement plus petit que celui de y, on rajoute 10 du rang actuel qu’on

compense en retirant une dizaine supplémentaire au rang de gauche (aspect décimal de la

7

numération ; mais aussi l’aspect du sens écart de la soustraction : si on rajoute une même

quantité à deux termes, l’écart entre ces deux termes ne change pas) : par exemple, si on a

besoin de dix unités, on compense en soustrayant une dizaine supplémentaire, ou si on a besoin

de dix dizaines, on compense en soustrayant une centaine supplémentaire, . . .

Remarque. Un inconvénient de cette méthode est que le sens écart de la soustraction qu’elle met

en jeu n’est pas évidente pour un élève, l’algorithme est plus difficile à mémoriser car il n’est pas

forcément toujours bien compris.

Méthode par compensation

1. 987 − 789 = XXX

En base 10,

9 18 17

− 7 8 9

1 1

1 9 8

2. 4321(5)− 1234(5) = XXX

(5)

En base 5,

4 3 12 11

− 1 2 3 4

1 1

3 0 3 2

3. 10100010(2)− 1110101(2) = XXX

(2)

En base 2,

1 10 11 10 10 10 1 10

− 1 1 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 0 1

4. (40)(40)(40)(60)

− (30)(40)(50)(60)

= XXX(60)

En base 60,

(40) (1)(40) (1)(40)

− (30) (40) (50)

1 1

(9) (59) (50)

Analyse de productions d’élèves [Aix-Marseille, Corse, Montpellier, La Martinique (2001)]

Sujet

Solution

Analyse de productions d’élèves [D’après Créteil, Paris, Versailles (2004)]

8

Sujet

Solution

2.3 La multiplication

Pour clarifier l’algorithme, les retenues additives ne sont plus notées.

1. 57 × 892 = XXX

En base 10,

8 9 2

× 5 7

6 2 4 4

+ 4 4 6 0

5 0 8 4 4

Table de 892

1 × 892 = 892

2 × 892 = 1 784

3 × 892 = 2 676

4 × 892 = 3 568

5 × 892 = 4 460

6 × 892 = 5 352

7 × 892 = 6 244

8 × 892 = 7 136

9 × 892 = 8 028

2. 33(5)× 34(5) = XXX

(5)

En base 5,

3 4

× 3 3

2 1 2

+ 2 1 2

2 3 3 2

Table de 34

1 × 34 = 34

2 × 34 = 123

3 × 34 = 212

4 × 34 = 301

3. 10100010(2)× 1110101(2) = XXX

(2)

En base 2,

1 0 1 0 0 0 1 0

× 1 1 1 0 1 0 1

1 0 1 0 0 0 1 0

+ 1 0 1 0 0 0 1 0

+ 1 0 1 0 0 0 1 0

+ 1 0 1 0 0 0 1 0

+ 1 0 1 0 0 0 1 0

1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0

Table de 10100010

1 × 10100010 = 10100010

Exercice 7 [Créteil, Paris, Versailles (1999)] On considère le nombre A = 92865317 × 814975.

1. Déterminer le nombre de chiffres de A.

9

2. Démontrer que le chiffre des dizaines est 7 et que le chiffre des unités est 5.

3. Les calculatrices courantes ne donnent pas directement tous les chiffres du nombre A. Sans utiliser

la technique opératoire de la multiplication, c’est-à-dire sans poser l’opération 92 865 317×814 975,

décrire un procédé qui utilise une calculatrice affichant dix chiffres et qui permette de déterminer

tous les chiffres du nombre A.

Solution 7

1. 9 × 107 < 92 865 317 < 108 et 8 × 105 < 814 975 < 9 × 105, d’où 72 × 1012 < A < 9 × 1013, ou

encore 7 × 1013 < A < 9 × 1013 et le nombre A possède 14 chiffres.

2.

92 865 317 = a × 100 + 10 + 7

(où a est le nombre de centaines de 92 865 317), et

814 975 = b × 100 + 70 + 5

(où b est le nombre de centaines de 814 975), donc

A = (a × 100 + 10 + 7) × (b × 100 + 70 + 5)

= a × b × 10 000 + a × 7 × 1 000 + a × 5 × 100

+b × 1 000 + 7 × 100 + 5 × 10

+7 × b × 100 + 7 × 7 × 10 + 7 × 5 (en développant)

= c × 100 + 50 + 490 + 35 (où c est un entier qu’on ne cherche pas à calculer)

= d × 100 + 75 (où d est un entier qu’on ne cherche pas à calculer)

et A a 5 pour chiffre des unités et 7 pour chiffre des dizaines.

3.

92 865 317 × 814 975 = (9 286 × 10 000 + 5 317) × 814 975

= 7 567 857 850 × 10 000 + 4 333 222 075

(7 567 857 850 et 4 333 222 075 sont des résultats donnés par la calculette)

= 75 678 578 500 000 + 4 333 222 075

= 75 682 911 722 075 (en posant l’addition)

Volet didactique [Guadeloupe, Guyane (2004)]

Sujet

Solution

10

2.4 La division euclidienne

Pour clarifier l’algorithme, les compensations soustractives ne sont plus notées.

1. 987 ÷ 37 = XXX

En base 10,

9 8 7

− 7 4

2 4 7

− 2 2 2

2 5

3 7

2 6

Table de 37

1 × 37 = 37

2 × 37 = 74

3 × 37 = 111

4 × 37 = 148

5 × 37 = 185

6 × 37 = 222

7 × 37 = 259

8 × 37 = 296

9 × 37 = 333

2. 4321(5)÷ 12(5) = XXX

(5)

En base 5,

4 3 2 1

− 4 1

2 2

− 1 2

1 0 1

− 4 1

1 0

1 2

3 1 3 Table de 12

1 × 12 = 12

2 × 12 = 24

3 × 12 = 41

4 × 37 = 103

3. 110111(2)÷ 101(2) = XXX

(2)

En base 2,

1 1 0 1 1 1

− 1 0 1

1 1 1

− 1 0 1

1 0 1

− 1 0 1

0

1 0 1

1 0 1 1

Table de 101

1 × 101 = 101

11

2.5 Technique de la multiplication à la russe et égyptienne

A la russe :

88 × 82

176 × 41

352 × 20

704 × 10

1 408 × 5

2 816 × 2

5 632 × 1

Somme : 7 216

Egyptienne :

1 ⇋ 88

7→ 2 ⇋ 176

4 ⇋ 352

8 ⇋ 704

7→ 16 ⇋ 1 408

32 ⇋ 2 816

7→ 64 ⇋ 5 632

Somme : 82 Somme : 7 216

Questions

1. Par ces deux techniques, calculer 56 × 83.

2. Expliquer que ces techniques sont valables.

3. Combien de lignes la multiplication 4 567 × 3 456 nécessite-t-elle (il n’est pas obligatoire d’effectuer

le calcul pour répondre à la question) ?

3 Les critères de divisibilité dans la base décimale

3.1 Critères qui tiennent compte uniquement du dernier chiffre d’un nombreThéorème 3.1

Un entier naturel n est divisible par 2 si son chiffre des unités est divisible par 2 (i.e. est 0, 2, 4, 6 ou 8),

et réciproquement.

12

Théorème 3.2

Un entier naturel n est divisible par 5 si son chiffre des unités est divisible par 5 (i.e. est 0 ou 5), et

réciproquement.

Théorème 3.3

Un entier naturel n est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0, et réciproquement.

3.2 Critères qui tiennent compte uniquement des deux derniers chiffres d’un

nombreThéorème 3.4

Un entier naturel n est divisible par 4 si le nombre constitué du chiffre des dizaines et du chiffre des unités

de n est divisible par 4 (i.e. est 00, 04, 08, . . . ou 96), et réciproquement.

Théorème 3.5

Un entier naturel n est divisible par 20 si le nombre constitué du chiffre des dizaines et du chiffre des

unités de n est divisible par 20 (i.e. est 00, 20, 40, 60 ou 80), et réciproquement.

Théorème 3.6

Un entier naturel n est divisible par 25 si le nombre constitué du chiffre des dizaines et du chiffre des

unités de n est divisible par 25 (i.e. est 00, 25, 50 ou 75), et réciproquement.

Théorème 3.7

Un entier naturel n est divisible par 50 si le nombre constitué du chiffre des dizaines et du chiffre des

unités de n est divisible par 50 (i.e. est 00 ou 50), et réciproquement.

Théorème 3.8

Un entier naturel n est divisible par 100 si son chiffre des dizaines et son chiffre des unités sont 0, et

réciproquement.

3.3 Critères qui tiennent compte uniquement des trois derniers chiffres d’un

nombreThéorème 3.9

Un entier naturel n est divisible par 8 si le nombre constitué du chiffre des centaines, du chiffre des dizaines

et du chiffre des unités de n est divisible par 8 (i.e. est 000, 008, 016, . . . ou 992), et réciproquement.

Théorème 3.10

Un entier naturel n est divisible par 40 si le nombre constitué du chiffre des centaines, du chiffre des dizaines

et du chiffre des unités de n est divisible par 40 (i.e. est 000, 040, 080, . . . ou 960), et réciproquement.

Théorème 3.11

Un entier naturel n est divisible par 125 si le nombre constitué du chiffre des centaines, du chiffre des

dizaines et du chiffre des unités de n est divisible par 125 (i.e. est 000, 125, 250, . . . ou 875), et récipro-

quement.

13

Théorème 3.12

Un entier naturel n est divisible par 200 si le nombre constitué du chiffre des centaines, du chiffre des

dizaines et du chiffre des unités de n est divisible par 200 (i.e. est 000, 200, 400, 600 ou 800), et récipro-

quement.

Théorème 3.13

Un entier naturel n est divisible par 250 si le nombre constitué du chiffre des centaines, du chiffre des

dizaines et du chiffre des unités de n est divisible par 250 (i.e. est 000, 250, 500 ou 750), et réciproquement.

Théorème 3.14

Un entier naturel n est divisible par 500 si le nombre constitué du chiffre des centaines, du chiffre des

dizaines et du chiffre des unités de n est divisible par 500 (i.e. est 000 ou 500), et réciproquement.

Théorème 3.15

Un entier naturel n est divisible par 1 000 si son chiffre des centaines, son chiffre des dizaines et son chiffre

des unités sont 0, et réciproquement.

3.4 Critères qui tiennent compte de tous les chiffres d’un nombreThéorème 3.16

Un entier naturel n est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, et réciproquement.

Théorème 3.17

Un entier naturel n est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9, et réciproquement.

Théorème 3.18

Un entier naturel n est divisible par 11 si l’écart entre la somme de ses chiffres de rang pair et la somme

de ses chiffres de rang impair est divisible par 11, et réciproquement.

3.5 Démonstrations de critères de divisibilités

Les démonstrations des critères qui tiennent compte du dernier ou des quelques derniers chiffres d’un

nombre sont du même type. Il n’est ainsi démontré que le théorème 3.4.

Soit n = akak−1 . . . a2a1a0(10). On a n = akak−1 . . . a2

(10) × 100 + a1a0(10).

Si n est divisible par 4, alors, comme 100 est divisible par 4, n−akak−1 . . . a2(10) ×100 est aussi divisible

par 4. Et, a1a0(10), qui est le nombre constitué du chiffre des dizaines et du chiffre des unités de n, est

divisible par 4. �

Réciproquement, si le nombre constitué du chiffre des dizaines et du chiffre des unités de n est divisible

par 4, alors, comme 100 est divisible par 4, akak−1 . . . a2(10) × 100 + a1a0

(10) est aussi divisible par 4. Et, n

est divisible par 4. �

Les démonstrations des critères qui tiennent compte de tous les chiffres d’un nombre sont du même

type. Il n’est ainsi démontré que le théorème 3.17. En général, les démonstrations qui sont demandées

14

portent sur des nombres dont on a fixé le nombre de chiffres dès le départ (par exemple, sur des nombres

à trois chiffres).

Soit

n = akak−1 . . . a2a1a0(10).

On a

n = 10k × ak + 10k−1 × ak−1 + . . . + 10 × a1 + a0.

Puis

n = ((10k − 1) + 1) × ak + ((10k−1 − 1) + 1) × ak−1 + . . . + ((10 − 1) + 1) × a1 + a0.

Ensuite,

n = (10k − 1) × ak + (10k−1 − 1) × ak−1 + . . . + (10 − 1) × a1 + [ak + ak−1 + . . . + a1 + a0].

Et, enfin,

n = 9 × 11 . . . 11︸ ︷︷ ︸

k chiffres

(10)× ak + 9 × 11 . . . 11

︸ ︷︷ ︸

k−1 chiffres

(10)× ak−1 + . . . + 9 × 1

︸︷︷︸

1 chiffre

(10)× a1 + [ak + ak−1 + . . . + a1 + a0].

Si n est divisible par 9, alors, comme 9 est divisible par 9,

n − 9 × 11 . . . 11︸ ︷︷ ︸

k chiffres

(10)× ak + 9 × 11 . . . 11

︸ ︷︷ ︸

k−1 chiffres

(10)× ak−1 + . . . + 9 × 1

︸︷︷︸

1 chiffre

(10)× a1

est aussi divisible par 9. Et, ak + ak−1 + . . . + a1 + a0, qui est la somme des chiffres de n, est divisible par

9. �

Réciproquement, si la somme des chiffres de n, ak + ak−1 + . . . + a1 + a0, est divisible par 9, alors,

comme 9 est divisible par 9,

9 × 11 . . . 11︸ ︷︷ ︸

k chiffres

(10)× ak + 9 × 11 . . . 11

︸ ︷︷ ︸

k−1 chiffres

(10)× ak−1 + . . . + 9 × 1

︸︷︷︸

1 chiffre

(10)× a1 + [ak + ak−1 + . . . + a1 + a0]

est aussi divisible par 9. Et, n est divisible par 9. �

Exercice 8

1. Combien le nombre 72, 4116 × 1028 possède-t-il de chiffres ?

2. Vrai ou faux (justification requise) : "9726 s’écrit avec au moins 55 chiffres".

3. Combien y a-t-il de nombres (entiers naturels) à 2 chiffres ? à 3 chiffres ? à 4 chiffres ?

4. Parmi les nombres entiers naturels à 3 chiffres

(a) combien y en a-t-il qui ont 3 chiffres identiques ?

(b) combien y en a-t-il qui ont 3 chiffres deux à deux distincts ?

(c) combien y en a-t-il qui ont 2 chiffres différents, l’un étant répété deux fois ?

15

Solution 8

1. 1029 < 7 × 1029 ≤ 72, 4116 × 1028 ≤ 7 × 1029 < 1030 possède 30 chiffres.

2. 9726 < 10026 = 1052 s’écrit avec moins de 53 chiffres. Il est donc faux que "9726 s’écrit avec au

moins 55 chiffres".

3. (a) Nombre d’entiers naturels à 2 chiffres

— on a 9 choix pour le chiffre des dizaines,

— et 10 choix pour le chiffre des unités.

Cela fait 9 × 10 = 90 nombres à 2 chiffres.

(b) Nombre d’entiers naturels à 3 chiffres

— on a 9 choix pour le chiffre des centaines,

— 10 choix pour le chiffre des dizaines,

— et 10 choix pour le chiffre des unités.

Cela fait 9 × 10 × 10 = 900 nombres à 3 chiffres.

(c) Nombre d’entiers naturels à 4 chiffres

— on a 9 choix pour le chiffre des milliers,

— 10 choix pour le chiffre des centaines,

— 10 choix pour le chiffre des dizaines,

— et 10 choix pour le chiffre des unités.

Cela fait 9 × 10 × 10 × 10 = 9 000 nombres à 4 chiffres.

4. (a) — on a 9 choix pour le chiffre des centaines,

— ensuite, on n’a plus qu’1 choix pour le chiffre des dizaines (le même que le chiffre des cen-

taines),

— et on n’a plus qu’1 choix pour le chiffre des unités (le même que le chiffre des centaines).

Cela fait 9 × 1 × 1 = 9 nombres à 3 chiffres identiques.

(b) — on a 9 choix pour le chiffre des centaines,

— ensuite, on a 9 choix pour le chiffre des dizaines (un chiffre différent du chiffre des centaines),

— enfin, on a 8 choix pour le chiffre des unités (un chiffre à la fois différent du chiffre des

centaines et de celui des dizaines).

Cela fait 9 × 9 × 8 = 648 nombres à 3 chiffres deux à deux distincts.

(c) Ceux qui ont 2 chiffres différents, l’un étant répété deux fois sont simplement les nombres à

3 chiffres qui n’ont ni 3 chiffres identiques, ni 3 chiffres deux à deux distincts. Ceci donne

900 − 9 − 648 = 243 nombres à 3 chiffres qui ont 2 chiffres différents, l’un étant répété deux fois.

Exercice 9 [Guadeloupe (2004)]

16

1. On considère un nombre qui s’écrit en base 10 :

∆ 5 ∆ 5 ∆ 5 ∆ 5 ∆ 5 ∆.

Quelle valeur donner à ∆ pour que la somme des chiffres de ce nombre soit un multiple de 7 ?

2. Un nombre s’écrit en base 10 sous forme : E97F .

(a) Donner tous les couples de valeurs possibles pour E et F sachant que la somme des chiffres de

ce nombre est égale à 29.

(b) On ajoute les deux conditions suivantes :

— Le produit des chiffres de ce nombre est égal à 2268.

— 7 divise le nombre EF .

Quelles sont alors les valeurs respectives de E et F ?

Solution 9

1. On considère un nombre qui s’écrit en base 10

∆ 5 ∆ 5 ∆ 5 ∆ 5 ∆ 5 ∆.

Si la somme des chiffres 6 × ∆ + 25 de ce nombre est un multiple de 7.

De plus, ∆ est un chiffre en base 10, donc 0 ≤ ∆ ≤ 9 et 25 ≤ 6 × ∆ + 25 ≤ 79. Le tableau suivant

résume les essais successifs ... à partir des multiples de 7 compris au sens large entre 25 et 79.

6 × ∆ + 25 ∆

28 12

35 1 + 23

42 2 + 56

49 4

56 5 + 16

63 6 + 13

70 7 + 12

77 8 + 23

∆ étant un chiffre en base 10 et donc un entier, il s’ensuit que la seule valeur possible pour ∆ est

4 et le nombre cherché est 45 454 545 454.

2. Un nombre s’écrit en base 10 sous forme : E97F .

(a) Donner tous les couples de valeurs possibles pour E et F sachant que la somme des chiffres de

ce nombre est égale à 29.

E + 9 + 7 + F = 29, donc E + F = 13.

Cependant, E et F sont des chiffres et donc tels que 0 ≤ E ≤ 9 et 0 ≤ F ≤ 9.

17

Le tableau suivant résume les essais successifs ... pour chacune des valeurs possibles de E.

E F = 13 − E

0 13 Impossible car il faut F ≤ 9

1 12 Impossible car il faut F ≤ 9

2 11 Impossible car il faut F ≤ 9

3 10 Impossible car il faut F ≤ 9

4 9 Possible, auquel cas E97F = 4979

5 8 Possible, auquel cas E97F = 5978

6 7 Possible, auquel cas E97F = 6977

7 6 Possible, auquel cas E97F = 7976

8 5 Possible, auquel cas E97F = 8975

9 4 Possible, auquel cas E97F = 9974

(b) i. On ajoute la condition "le produit des chiffres de ce nombre est égal à 2 268".

Si le produit des chiffres vaut 2 268, on obtient 2 268 = E × F × 9 × 7 ou encore 226863

= 36 =

E × F .

Il reste donc deux couples de valeurs possibles pour E et F : E = 4 et F = 9 (auquel cas

E97F = 4979) ; et E = 9 et F = 4 (auquel cas E97F = 9974).

ii. On ajoute la condition "7 divise le nombre EF ".

Comme 7 divise le nombre EF . Or 7 ne divise que 49 parmi 49 et 94.

Il ne reste donc plus qu’un couple de valeurs possibles pour E et F : E = 4 et F = 9 (auquel

cas E97F = 4979).

Exercice 10 Démontrer le principe de la preuve par 9 dans une multiplication.

Solution 10 Lemme : le reste dans la division euclidienne de a par 9 est égal au reste dans la di-

vision euclidienne de la somme des chiffres de a par 9.

Démonstration du lemme pour un nombre n à k + 1 chiffres : n = akak−1 . . . a2a1a0(10).

On a

n = 10k × ak + 10k−1 × ak−1 + . . . + 10 × a1 + a0

= ((10k − 1) + 1) × ak + ((10k−1 − 1) + 1) × ak−1 + . . . + ((10 − 1) + 1) × a1 + a0

= (10k − 1) × ak + (10k−1 − 1) × ak−1 + . . . + (10 − 1) × a1 + [ak + ak−1 + . . . + a1 + a0]

= 9 × 11 . . . 11︸ ︷︷ ︸

k chiffres

(10)× ak + 9 × 11 . . . 11

︸ ︷︷ ︸

k−1 chiffres

(10)× ak−1 + . . . + 9 × 1

︸︷︷︸

1 chiffre

(10)× a1

+[ak + ak−1 + . . . + a1 + a0].

18

Soient q et r respectivement les quotients et restes dans la division euclidienne de ak +ak−1+. . .+a1+a0

par 9 :

ak + ak−1 + . . . + a1 + a0 = 9 × q + r

0 ≤ r ≤ 8.

Ainsi

n = 9 ×

11 . . . 11

︸ ︷︷ ︸

k chiffres

(10)× ak + 11 . . . 11

︸ ︷︷ ︸

k−1 chiffres

(10)× ak−1 + . . . + 1

︸︷︷︸

1 chiffre

(10)× a1 + q

+ r

0 ≤ r ≤ 8

.

r est donc aussi le reste dans la division euclidienne de n par 9.

Application directe du lemme

Quel est le reste dans la division euclidienne par 9 de 8 857 643 019 248 ? C’est le même que celui dans

la division euclidienne de 8+8+5+7+6+4+3+0+1+9+2+4+8 = 65 par 9, qui est le même que celui

dans la division euclidienne de 6 + 5 = 11 par 9, qui est le même que celui dans la division euclidienne de

1 + 1 = 2 par 9. C’est donc 2.

La preuve par 9 dans le calcul du produit de a par b

Mettons qu’un calcul (posé, par exemple) fournisse un résultat égal à c pour ce produit.

Pour vérifier le résultat,

1. on calcule le reste α dans la division euclidienne de a par 9 (c’est facile à faire via le lemme),

2. on calcule le reste β dans la division euclidienne de b par 9,

3. on calcule le reste γ dans la division euclidienne de c par 9,

4. et enfin, on calcule le reste γ′ dans la division euclidienne de α × β par 9,

et

1. si γ 6= γ′, alors on peut affirmer que le calcul de c est faux,

2. et si γ = γ′, alors on ne peut affirmer que le calcul de c est correct, mais on peut l’espérer.

Démonstration

On a

1. a = 9 × qa + α avec 0 ≤ α < 9 et qa le quotient dans la division euclidienne de a par 9,

2. b = 9 × qb + β avec 0 ≤ β < 9 et qb le quotient dans la division euclidienne de b par 9,

3. c = 9 × qc + γ avec 0 ≤ γ < 9 et qc le quotient dans la division euclidienne de c par 9,

4. α × β = 9 × qαβ + γ′ avec 0 ≤ γ′ < 9 et qαβ le quotient dans la division euclidienne de α × β par 9.

De c = a × b, on obtient

9 × qc + γ = (9 × qa + α) × (9 × qb + β)

= 9 × (9 × qa × qb + qa × β + qb × α) + α × β

= 9 × (9 × qa × qb + qa × β + qb × α) + 9 × qαβ + γ′

= 9 × (9 × qa × qb + qa × β + qb × α + qαβ) + γ′

19

Puis, par unicité des quotient et reste dans la division euclidienne,

qc = 9 × qa × qb + qa × β + qb × α + qαβ

γ = γ′

Exercice 11 [Aix Marseille, Corse, Montpellier, Nice (1999)] Un nombre à trois chiffres a 4 pour chiffre

des centaines. Ce nombre est 26 fois plus grand que le nombre à deux chiffres obtenu en enlevant le chiffre

des centaines. Trouver ce nombre.

Solution 11 On note 4ab le nombre à trois chiffres. Le nombre obtenu en enlevant le chiffre des centaines

est ab

On a 4ab = 400 + ab = 26 × ab.

De 400 + ab = 26 × ab, on obtient 400 = 25 × ab, puis ab = 16.

Le nombre à trois chiffres cherché est donc 416.

Exercice 12 [Nancy, Metz, Reims, Strasbourg (2001)] Le village de Centville compte 100 habitants.

Le plus âgé est né en 1900 et le plus jeune en 1999. Tous les habitants sont nés à une date différente et

tous le premier janvier.

Pierre habite Centville. En cette année 2001, la somme des chiffres de son année de naissance est égale

à son âge.

On se propose de déterminer l’année de naissance de Pierre de deux manières différentes.

1. Résoudre ce problème en utilisant des outils algébriques.

2. (a) Démontrer que l’âge de Pierre est inférieur ou égal à 28 ans.

(b) Sachant que l’âge de Pierre est inférieur ou égal à 28 ans, décrire une procédure qu’un élève de

fin de cycle 3 pourrait mettre en oeuvre pour résoudre ce problème.

Solution 12

1. On note 19ab la date de naissance de Pierre.

La somme des chiffres de la date de naissance de Pierre est 10 + a + b.

On déduit que l’âge de Pierre est alors 2 001 − 1 000 − 900 − 10 × a − b = 101 − 10 × a − b.

Et on obtient l’équation 10 + a + b = 101 − 10 × a − b ou encore 11 × a + 2 × b = 91.

On résout cette équation en visitant toutes les valeurs de b possibles . . .

— Si b = 0, on obtient 91 = 11 × a, qui n’admet pas de solution car 91 n’est pas multilpe de 11 ;

— si b = 1, on obtient 89 = 11 × a, qui n’admet pas de solution car 89 n’est pas multilpe de 11 ;

— si b = 2, on obtient 87 = 11 × a, qui n’admet pas de solution car 87 n’est pas multilpe de 11 ;

— si b = 3, on obtient 85 = 11 × a, qui n’admet pas de solution car 85 n’est pas multilpe de 11 ;

— si b = 4, on obtient 83 = 11 × a, qui n’admet pas de solution car 83 n’est pas multilpe de 11 ;

20

— si b = 5, on obtient 81 = 11 × a, qui n’admet pas de solution car 81 n’est pas multilpe de 11 ;

— si b = 6, on obtient 79 = 11 × a, qui n’admet pas de solution car 79 n’est pas multilpe de 11 ;

— si b = 7, on obtient 77 = 11 × a, puis a = 7 ;

— si b = 8, on obtient 75 = 11 × a, qui n’admet pas de solution car 75 n’est pas multilpe de 11 ;

— si b = 9, on obtient 73 = 11 × a, qui n’admet pas de solution car 73 n’est pas multilpe de 11.

Pierre est donc né en 1977. Son âge en 2001 est 24 ans, et on a bien 24 = 1 + 9 + 7 + 7.

2. (a) Je rappelle que 19ab est la date de naissance de Pierre et que la somme des chiffres de la date

de naissance de Pierre est 10 + a + b.

Chacun des a et b est un chiffre dans la base décimale et est donc compris entre 0 (inclus) et 9

(inclus).

Il s’ensuit que l’âge de Pierre (qui est aussi la somme des chiffres de l’année de naissance de

Pierre) est compris entre 10 (inclus) et 28 (inclus).

(b) L’élève de fin de cycle 3 va procéder, par exemple, par essais successifs en utilisant un tableau

21

pour la mise en forme ...

Âge (en années) Date de naissance Somme des chiffres de la date de naissance

2 1999 28

3 1998 27

4 1997 26

5 1996 25

6 1995 24

7 1994 23

8 1993 22

9 1992 21

10 1991 20

11 1990 19

12 1989 27

13 1988 26

14 1987 25

15 1986 24

16 1985 23

17 1984 22

18 1983 21

19 1982 20

20 1981 19

21 1980 18

22 1979 26

23 1978 25

24 1977 24

25 1976 23

26 1975 22

27 1974 21

28 1973 20

Une seule année est telle que les première et troisième colonnes coïncident : 1977.

Exercice 13 [Toulouse (1998)] Déterminer tous les nombres à trois chiffres abc(10)

non multiples de

10 qui vérifient les conditions suivantes :

— le chiffre des dizaines est quadruple de celui des unités ;

— en retranchant 297 à ce nombre, on obtient le nombre écrit à l’envers.

Solution 13 Je note N = abc le nombre à trois chiffres.

22

Le chiffre des dizaines est quadruple de celui des unités, donc

— soit b = 0 et c = 0 (mais ceci est impossible, car, comme N n’est pas multiple de 10, c 6= 0),

— soit b = 4 et c = 1,

— soit b = 8 et c = 2.

De abc − cba = 297, donc (100 × a + 10 × b + c) − (100 × c + 10 × b + a) = 297, puis 99 × (a − c) = 297, et

enfin a − c = 3.

De retour sur les cas qu’il reste à considérer,

— si b = 4 et c = 1, alors a = 4, qui fournit la solution 441,

— et si b = 8 et c = 2, alors a = 5, qui fournit la solution 582.

Exercice 14 [Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes (2001)] Un nombre

de trois chiffres est tel que :

— la différence entre ce nombre et le nombre retourné est 297 ;

— la somme des trois chiffres est 11 ;

— la somme du triple du chiffre des centaines et du double du chiffre des dizaines est 22.

Trouver ce nombre. (Indication : si, par exemple, le nombre était 231, le nombre retourné serait 132.)

Solution 14 On note N = abc le nombre à 3 chiffres cherché.

De abc − cba = 297, donc (100 × a + 10 × b + c) − (100 × c + 10 × b + a) = 297, puis 99 × (a − c) = 297,

et enfin a − c = 3.

On sait aussi que a + b + c = 11 et 3 × a + 2 × b = 22.

On visite toutes les valeurs de c possibles . . .

c a = c + 3 b = 22−3×a2

a + b + c

0 3 6, 5 9, 5

1 4 5 10

2 5 3, 5 10, 5

3 6 2 11

4 7 0, 5 11, 5

5 8 −1 12

6 9 −2, 5 12, 5

7 10 −4 13

8 11 −5, 5 13, 5

9 12 −7 14

Comme a + b + c = 11, l’unique nombre N possible est 623.

Exercice 15 Soit n = abab(10)

. Montrer que n est divisible par 101.

23

Solution 15

n = abab

= a × 1 000 + b × 100 + a × 10 + b

= a × 1 010 + b × 101

= 101 × (10 × a + b).

On déduit de cette écriture que n est divisible par 101.

Exercice 16 Soit n = abcabc(10)

. Montrer que n est divisible par 7, 11 et 13.

Solution 16

n = abcabc

= a × 100 000 + b × 10 000 + c × 1 000 + a × 100 + b × 10 + c

= a × 100 100 + b × 10 010 + c × 1 001

= 1 001 × (100 × a + 10 × b + c)

= 7 × 11 × 13 × (100 × a + 10 × b + c).

On déduit de cette écriture que n est divisible par 7, 11 et 13.

Exercice 17 Soient a, b et c trois chiffres distincts en base 10 et non nuls. Quels sont tous les nombres

distincts de trois chiffres que l’on peut composer avec les chiffres a, b et c ? Montrer que la somme de ces

nombres est divisible par a + b + c.

Solution 17 On peut former les six nombres abc, acb, bac, bca, cab et cba.

La somme S de ces six nombres est

S = abc + acb + bac + bca + cab + cba

= (100 × a + 10 × b + c) + (100 × a + 10 × c + b) + (100 × b + 10 × a + c) + (100 × b + 10 × c + a) + (100

= 222 × a + 222 × b + 222 × c

= 222 × (a + b + c)

On déduit de cette écriture que S est divisible par a + b + c.

Exercice 18 [Dijon (2001)] Les nombres 2 882 et 19 591 sont des palindromes (cela signifie qu’en les

lisant de gauche à droite ou de droite à gauche, on a le même nombre).

Trouvez tous les palindromes ayant 4 chiffres qui sont divisibles par 9.

24

Solution 18 Les nombres que l’on cherche sont de la forme n = abba.

Le critère de divisibilité par 9 donne alors, comme abba est divisible par 9 que a+b+b+a = 2×a+2×b =

2 × (a + b) est divisible par 9, ou encore que a + b l’est, d’après le théorème de Gauss car 2 et 9 sont

premiers entre eux.

Cependant, a + b est compris entre 0 et 18 (car a et b sont des chiffres), on déduit donc que a + b vaut

0, 9 ou 18.

1. Si a + b = 0, alors a = b = 0, mais n = 0 ne possède pas 4 chiffres et n’est donc pas solution du

problème.

2. Si a + b = 9, alors on visite chacune des valeurs de a (à l’exception de 0 car sinon n ne possèderait

pas 4 chiffres et ne serait donc pas solution du problème)

a b n = abba

1 8 1 881

2 7 2 772

3 6 3 663

4 5 4 554

5 4 5 445

6 3 6 336

7 2 7 227

8 1 8 118

9 0 9 009

3. Si a + b = 18, alors a = b = 9, et 9 999 est solution du problème.

Les solutions sont donc : 1 881, 2 772, 3 663, 4 554, 5 445, 6 336, 7 227, 8 118, 9 009 et 9 999.

Exercice 19 Soient les chiffres a et b en base 10. Trouver a et b pour que 37a28b(10)

soit divisible

par 90.

Solution 19 Si 37a28b est divisible par 90, comme 90 est divisible par 9, 37a28b est divisible par 10

(propriété de transitivité).

De même, si 37a28b est divisible par 90, comme 90 est divisible par 10, 37a28b est divisible par 9

(propriété de transitivité).

Maintenant, comme 37a28b est divisible par 10, alors b = 0, d’après le critère de divisibilité par 10.

Et comme 37a28b est divisible par 9, alors la somme de ses chiffres 3 + 7 + a + 2 + 8 + 0 = a + 20 l’est

aussi, d’après le critère de divisibilité par 9. Cependant, a est un chiffre, donc 20 ≤ a + 20 ≤ 29, ce qui

implique que a + 20 = 27 (car 27 est le seul multiple de 9 compris entre 20 (inclus) et 29 (inclus)), puis

a = 7.

25

L’unique solution est donc 377 280.

Exercice 20 Donner tous les chiffres a et b possibles en base 10 pour que a6b5(10)

soit divisible par

225.

Solution 20 Si a6b5 est divisible par 225, comme 225 est divisible par 25, a6b5 est divisible par 25

(propriété de transitivité).

De même, si a6b5 est divisible par 225, comme 225 est divisible par 9, a6b5 est divisible par 9 (propriété

de transitivité).

Maintenant, comme a6b5 est divisible par 25, alors b = 2 ou b = 7, d’après le critère de divisibilité par

25.

Et comme a6b5 est divisible par 9, alors la somme de ses chiffres a + 6 + b + 5 = a + b + 11 l’est aussi,

d’après le critère de divisibilité par 9. Cependant, a et b sont des chiffres, donc 11 ≤ a + b + 11 ≤ 29, ce

qui implique que a + b + 11 = 18 ou a + b + 11 = 27 (car 18 et 27 sont les seuls multiples de 9 compris

entre 11 (inclus) et 29 (inclus)).

Il ne reste qu’à faire la synthèse ...

— Si b = 2 et que a + 2 + 11 = 18, alors a = 5 et 5 625 est bien divisible par 225.

— Si b = 2 et que a + 2 + 11 = 27, alors a = 14 qui n’est pas un chiffre et qui n’apporte donc pas de

nouvelle solution.

— Si b = 7 et que a + 7 + 11 = 18, alors a = 0 et 675 est bien divisible par 225, cependant, il est

convenu que le premier chiffre d’un nombre est non nul et cette solution est évincée.

— Si b = 7 et que a + 7 + 11 = 27, alors a = 9 et 9 675 est bien divisible par 225.

En conclusion, les deux nombres solutions sont : 5 625 et 9 675.

Exercice 21 [Créteil, Paris, Versailles (2004)] Un nombre N a pour écriture décimale 72a83b(10)

. N

est divisible par 6 et 45.

1. Quel est le chiffre b ?

2. Déterminer N .

Solution 21 N = 72a83b

1. — N est divisible par 45 et 45 est divisible par 5, donc, par transitivité, N est divisible par 5, puis,

par le critère de divisibilité par 5, on obtient b = 0 ou b = 5.

— N est divisible par 6 et 6 est divisible par 2, donc, par transitivité, N est divisible par 2, puis,

par le critère de divisibilité par 2, on obtient b = 0, b = 2, b = 4, b = 6 ou b = 8.

En synthèse, on obtient b = 0.

2. N est divisible par 45 et 45 est divisible par 9, donc, par transitivité, N est divisible par 9, puis,

par le critère de divisibilité par 9, on obtient que la somme des chiffres de N est divisible par 9, ce

26

qui signifie que 7 + 2 + a + 8 + 3 + 0 = 20 + a est divisible par 9. Or, a étant un chiffre en base

décimale, on déduit que 20 ≤ 20+a ≤ 29. Et, comme le seul multiple de 9 compris entre 20 (inclus)

et 29 (inclus) est 27, on obtient 20 + a = 27, puis a = 7.

Par suite, N = 727 830 (on vérifie aisément que 727 830 est divisible par 6 et par 45).

Exercice 22 Soient les chiffres a et b en base 10. Montrer que si a801b(10)

est divisible par 11, il l’est

aussi par 3.

Solution 22 Si a801b est divisible par 11, alors, d’après le critère de divisibilité par 11, |(a + 0 + b) −

(8 + 1)| = |a + b − 9| est divisible par 11. Cependant, a et b sont des chiffres, donc −9 ≤ |a + b − 9| ≤ 9,

ce qui implique que a + b − 9 = 0 car 0 est le seul multiple de 11 compris entre −9 (inclus) et 9 (inclus).

Le nombre a801b est-il divisible par 3 ? Ceci équivaut, d’après le critère de divisibilité par 3, à ce que

a + 8 + 0 + 1 + b = a + b + 9 soit divisible par 3. Cependant, on a montré que a + b = 9, donc a + b + 9 = 18

et est bien divisible par 3, puis a801b est divisible par 3.

Exercice 23 [Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice (2000)] Déterminer a = mcdu(10)

tel que a > 7000,

que a soit divisible par 45, que a soit impair et que son chiffre des milliers soit double de celui des centaines.

Solution 23 Si a = mcdu et si a est supérieur à 7 000, je déduis que m = 7, m = 8 ou m = 9.

L’énoncé dit aussi que m = 2 × c, donc que m = 8 (car m est pair), puis que c = 4.

Le nombre s’écrit donc a = 84du.

Quels sont les multiples de 45 compris entre 8 400 (inclus) et 8 499 (inclus) ? La division euclidienne de

8 400 par 45 fournit le quotient 186 et le reste 30. Le premier multiple de 45 plus grand que 8 400 (inclus)

est donc 187×45 = 8 415, le suivant est 188×45 = 8 460 et le sursuivant est plus grand que 8 499 (inclus).

Parmi 8 415 et 8 460, seul 8 415 est impair ! Le nombre cherché est donc 8 415.

Exercice 24 [Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, La Martinique (2001)]

1. Voici deux propositions concernant des nombres donnés en écriture décimale. Dire pour chacune

d’elles si elle est vraie ou fausse et justifier.

— Si l’écriture d’un nombre entier se termine par 2, alors l’écriture du carré de ce nombre se termine

par 4.

— Si l’écriture d’un nombre entier se termine par 4, alors l’écriture du carré de ce nombre se termine

par 16.

2. Soit n = a5(10) où a est un chiffre en base 10. Montrer que n2 < 9 999. Montrer que l’écriture de n2

se termine par 25 et que son nombre de centaines est a × (a + 1).

Solution 24

27

1. (a) Si l’écriture d’un nombre entier se termine par 2, alors l’écriture du carré de ce nombre se termine

par 4.

Vrai ! Démonstration.

Soit a un nombre qui se termine par un 2. Celui-ci s’écrit donc a = D × 10 + 2 où D est le

nombre de dizaines de a.

Son carré est, par conséquent, a2 = (D×10+2)2 = D2×100+D×40+4 = 10×(D2×10+D×4)+4.

Puis, le carré de a se termine par un 4.

(b) Si l’écriture d’un nombre entier se termine par 4, alors l’écriture du carré de ce nombre se termine

par 16.

Faux ! Contre-exemple.

142 = 196 ne termine pas par 16, mais par 96.

2. n = a5.

(a) n ≤ 99, donc n2 ≤ 992 = 9 801 < 9 999.

(b) Montrer que l’écriture de n2 se termine par 25 et que son nombre de centaines est a × (a + 1).

n = a5 = a×10+5, donc n2 = (a×10+5)2 = a2 ×100+a×100+25 = (a2 +a)×100+2×10+5.

n2 a donc

— 5 pour chiffre des unités,

— 2 pour chiffre des dizaines,

— a2 + a = a × (a + 1) pour nombre des centaines.

Exercice 25 [Limoges (2001)]

1. Trouver tout entier naturel à un chiffre, égal au chiffre des unités de son carré.

2. Soit A un entier naturel à deux chiffres tel que A et A2 aient à la fois même chiffre des unités et

même chiffre des dizaines.

(a) Quels sont les chiffres des unités possibles pour A ?

(b) Donner, en explicitant la démarche suivie, toutes les valeurs possibles pour A.

3. Donner, sans justification, un entier naturel B a trois chiffres tel que B et B2 aient à la fois même

chiffre des unités, même chiffre des dizaines et même chiffre des centaines.

Solution 25

1. On visite tous les nombres à 1 chiffre.

28

Nombre Carré du nombre Chiffre des unités du carré du nombre

0 0 0

1 1 1

2 4 4

3 9 9

4 16 6

5 25 5

6 36 6

7 49 9

8 64 4

9 81 1

Les nombres qui sont égaux au chiffre des unités de leurs carrés sont 0, 1, 5 et 6.

2. (a) On a A = ab = 10 × a + b, donc A2 = (10 × a + b)2 = a2 × 100 + (2 × a × b) × 10 + b2, et le

chiffre des unités de A2 est le même que celui de b2 (i.e. celui du carré de son chiffre des unités).

Enfin, d’après le question 1., le chiffre des unités de A (i.e. b) est 0, 1, 5 ou 6.

(b) Donner, en explicitant la démarche suivie, toutes les valeurs possibles pour A.

Disjonction des cas selon les valeurs de b :

— Si b = 0, alors A = a0 = 10 × a et A2 = (10 × a)2 = a2 × 100 et le chiffre des dizaines, a, de

A2 est 0. Ensuite, A = 0, mais la solution A = 0 est écartée selon l’argument que ce nombre

ne possède pas deux chiffres.

— Si b = 1, alors A = a1 = 10 × a + 1 et A2 = (10 × a + 1)2 = a2 × 100 + 2 × a × 10 + 1 et le

chiffre des dizaines, a, de A2 est celui de 2 × a.

On visite toutes les éventualités pour a.

a 2 × a Chiffre des unités de 2 × a

0 0 0

1 2 2

2 4 4

3 6 6

4 8 8

5 10 0

6 12 2

7 14 4

8 16 6

9 18 8

Ensuite, A = 1, mais la solution A = 1 est écartée selon l’argument que ce nombre ne possède

pas deux chiffres.

29

— Si b = 5, alors A = a5 = 10 × a + 5 et A2 = (10 × a + 5)2 = a2 × 100 + a × 100 + 2 × 10 + 5

et le chiffre des dizaines de A2, a, est 2.

Enfin, A = 25 est solution.

— Si b = 6, alors A = a6 = 10 × a + 6 et A2 = (10 × a + 6)2 = a2 × 100 + a × 120 + 3 × 10 + 6 =

(a2 + a) × 100 + (2 × a + 3) × 10 + 6 et le chiffre des dizaines de A2, a, est celui de 2 × a + 3.

On visite toutes les éventualités pour a.

a 2 × a + 3 Chiffre des unités de 2 × a + 3

0 3 3

1 5 5

2 7 7

3 9 9

4 11 1

5 13 3

6 15 5

7 17 7

8 19 9

9 21 1

Enfin, A = 76 est solution.

Au final les deux solutions sont A = 25 et A = 76.

3. Pour cette question, aucune justification n’est requise ! On pourrait se contenter de donner l’une

des deux solutions parmi B = 625 et B = 376.

Cependant, voici quelques pistes pour une éventuelle démonstration :

(a) B se termine forcément par 00, par 01, par 25 ou par 76 (on pourrait montrer que les seuls deux

derniers chiffres d’un nombre permettent de déterminer les deux derniers chiffres de son carré

par des manipulations algébriques).

30

(b) Un tableau présente ensuite toutes les éventualités pour B

B B2 Trois derniers chiffres de B2

0 0 000

100 10 000 000

200 40 000 000

300 90 000 000

400 160 000 000

500 250 000 000

600 360 000 000

700 490 000 000

800 640 000 000

900 810 000 000

1 1 001

101 10 201 201

201 40 401 401

301 90 601 601

401 160 801 801

501 251 001 001

601 361 201 201

701 491 401 401

801 641 601 601

901 811 801 801

B B2 Trois derniers chiffres de B2

25 625 625

125 15 625 625

225 50 625 625

325 105 625 625

425 180 625 625

525 275 625 625

625 390 625 625

725 525 625 625

825 680 625 625

925 855 625 625

76 5 776 776

176 30 976 976

276 76 176 176

376 141 376 376

476 226 576 576

576 331 776 776

676 456 976 976

776 602 176 176

876 767 376 376

976 952 576 576

Au final

— B = 0 est refusé car ne comporte pas trois chiffres,

— B = 1 est refusé car ne comporte pas trois chiffres,

— B = 625 et B = 376 sont solutions.

Exercice 26 [Créteil, Paris, Versailles (2000)] Soit A un entier naturel.

1. Trouver une condition nécessaire sur le dernier chiffre de A pour que A soit le carré d’un nombre

entier naturel. Cette condition est-elle suffisante ?

2. Trouver une condition nécessaire sur le dernier chiffre de A pour que A soit le produit de deux

nombres entiers naturels consécutifs. Cette condition est-elle suffisante ?

Solution 26 Lemme. Si a est le chiffre des unités de A et si b est le chiffre des unités de B, alors,

le chiffre des unités de A × B est celui de a × b.

31

Démonstration Soit A = A × 10 + a où A est le nombre de dizaines de A et soit B = B × 10 + b où B

est le nombre de dizaines de B. Alors, A×B = (A×10+a)×(B×10+b) = (A×B×10+A+B)×10+a×b,

et le chiffre des unités de A × B est celui de a × b.

1. Trouver une condition nécessaire sur le dernier chiffre de A pour que A soit le carré d’un nombre

entier naturel α (i.e. un carré parfait). A = α2.

D’après le lemme, il suffit de voir les éventualités sur le chiffre des unités de A.

Dernier chiffre de α Dernier chiffre de A

0 0

1 1

2 4

3 9

4 6

5 5

6 6

7 9

8 4

9 1

On peut donc énoncer la propriété suivante : "si A est un carré parfait, il faut que son chiffre des

unités soit 0, 1, 4, 5, 6 ou 9".

— Cette condition "le chiffre des unités est 0, 1, 4, 5, 6 ou 9" est nécessaire comme le montre

l’utilisation du "il faut".

— Cette condition est-elle suffisante ?

Autrement dit : est-il vrai que "si le chiffre des unités de A est 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, alors A est un

carré parfait" ?

Non ! 10 a 0 pour chiffre des unités, mais 10 n’est pas un carré parfait (32 = 9 (trop petit) et

42 = 16 (trop grand)).

2. Trouver une condition nécessaire sur le dernier chiffre de A pour que A soit le produit de deux

nombres entiers naturels consécutifs α et α + 1. A = α × (α + 1).

D’après le lemme, il suffit de voir les éventualités sur le chiffre des unités de A.

32

Dernier chiffre de α Dernier chiffre de A

0 0

1 2

2 6

3 2

4 0

5 0

6 2

7 6

8 2

9 0

On peut donc énoncer la propriété suivante : "si A est produit de deux entiers naturels consécutifs,

il faut que son chiffre des unités soit 0, 2 ou 6".

— Cette condition "le chiffre des unités est 0, 2 ou 6" est nécessaire comme le montre l’utilisation

du "il faut".

— Cette condition est-elle suffisante ?

Autrement dit : est-il vrai que "si le chiffre des unités de A est 0, 2 ou 6, alors A est produit de

deux entiers naturels consécutifs" ?

Non ! 10 a 0 pour chiffre des unités, mais 10 n’est pas produit de deux entiers naturels consécutifs

(2 × 3 = 6 (trop petit) et 3 × 4 = 12 (trop grand)).

Exercice 27 [Montpellier (1998)] En écriture sexagésimale, (2)(19)(51)(60)

= 2 × 3 600 + 19 × 60 + 51.

1. Écrire en base 10 le nombre (3)(0)(17)(48)(60)

.

2. Écrire en base 60 le nombre 54 325 432.

3. n = (ab(10)

)(ba(10)

)(60)

.

(a) Quelle condition sur a et b ?

(b) n est multiple de 5. Que cela apporte-t-il de plus sur a et b ?

(c) n = b21a(10)

. Que cela apporte-t-il de plus sur a et b ?

Solution 27

1.

(3)(0)(17)(48)(60)

= 3 × 603 + 17 × 60 + 48

= 3 × 216 000 + 17 × 60 + 48

= 649 068.

33

2. En utilisant les divisions euclidiennes :

54 325 432 52 54 325 432 = 905 423 × 60 + 52

905 423 23 905 423 = 15 090 × 60 + 23

15 090 30 15 090 = 251 × 60 + 30

251 11 251 = 4 × 60 + 11

4

Ainsi, 54 325 432 = (4)(11)(30)(23)(52)(60)

.

3. n = (ab(10)

)(ba(10)

)(60)

.

(a) Quelle condition sur a et b ?

— ab(10)

doit être un chiffre en base 60, on déduit en particulier que 1 ≤ a ≤ 5 (le cas a = 0 est

retiré car un premier chiffre est, par convention, non nul).

— ba(10)

doit être un chiffre en base 60, on déduit en particulier que 1 ≤ b ≤ 5 (le cas b = 0 est

retiré car un premier chiffre est, par convention, non nul).

On a également

n = (ab(10)

)(ba(10)

)(60)

= ab(10)

× 60 + ab(10)

= (a × 10 + b) × 60 + (b × 10 + a)

= 601 × a + 70 × b.

(b) n est multiple de 5. Que cela apporte-t-il de plus sur a et b ?

Sachant que 5 est diviseur de n et que 5 est diviseur de 70 × b (en effet, 5 étant diviseur de 70,

il l’est aussi de 70 × b), on déduit donc que 5 est diviseur de 601 × a.

Comme d’après la question précédente, 1 ≤ a ≤ 5, on regarde parmi 601 = 1 × 601, 1 202 =

2×601, 1 803 = 3×601, 2 404 = 4×601, et 3 005 = 5×601 (comme d’après la question précédente,

1 ≤ a ≤ 5) et seul 3 005 est divisible par 5, et donc a = 5, puis n = (5b(10)

)(b5(10)

)(b5)

=

3 005 + 70 × b.

(c) n = b21a(10)

. Que cela apporte-t-il de plus sur a et b ?

D’après la question précédente, a = 5, et on déduit que n = b215(10)

.

n = 3 005 + 70 × b = b × 1 000 + 215, puis 2 790 = 930 × b, puis b = 3.

En conclusion

n = 3 215 = (53(10))(35(10))(60)

.

Exercice 28 Tous les nombres sont donnés dans le système décimal (en base 10).

34

On considère un nombre à quatre chiffres que l’on note a1b1 (i.e. a est le chiffre des milliers, 1 est celui

des centaines, b est celui des dizaines et 1 est celui des unités). On lui soustrait un nombre à trois chiffres

que l’on note a0b (i.e. a est le chiffre des centaines, 0 est celui des dizaines et b est celui des unités). Le

résultat est appelé x.

On suppose de plus que le chiffre a est strictement plus grand que 1 et que le chiffre b est strictement

plus grand que le chiffre a. On abrège cette relation en écrivant : b > a > 1.

Question 0 Quelle est la plus petite valeur que peut prendre a ?, la plus petite que peut prendre b ?,

la plus grande que peut prendre b ?, la plus grande que peut prendre a ?, la plus petite que peut prendre

a + b ?, la plus grande que peut prendre a + b ?

On recherche l’ensemble de tous les chiffres a et b tels que x soit divisible par 11.

On rappelle la règle suivante : "Un nombre est divisible par 11 si l’écart entre la somme des chiffres de

rangs pairs et la somme des chiffres de rangs impairs est divisible par 11, et réciproquement, si un nombre

est divisible par 11, l’écart entre la somme des chiffres de rangs pairs et la somme des chiffres de rangs

impairs est divisible par 11".

Question 1 Quel est le chiffre des unités de x, en fonction de b ? Expliquer ...

Question 2 Quel est le chiffre des dizaines de x, en fonction de b ? Expliquer ...

Question 3 Quel est le chiffre des centaines de x, en fonction de a ? Expliquer ...

Question 4 Quel est le chiffre des milliers de x, en fonction de a ? Expliquer ...

Question 5 Montrer que si a + b = 12, alors x est divisible par 11.

Question 6 Montrer que si x est divisible par 11, alors a + b = 12.

Question 7 Quels sont tous les a et b tels que x est divisible par 11 ?

Solution 28 Il s’agit du calcul de x = a1b1 − a0b sous la condition b > a > 1.

Question 0

— La plus petite valeur que peut prendre a est 2. Par conséquent, la plus petite valeur que peut

prendre b est 3.

— La plus grande valeur que peut prendre b est 9. Par conséquent, la plus grande valeur que peut

prendre a est 8.

— De tout cela, il découle que la plus petite valeur que peut prendre a + b est 2 + 3 = 5 et la plus

grande valeur que peut prendre a + b est 8 + 9 = 17.

Je commence par poser l’opération en colonne pour obtenir chacun des chiffres de x.

a 11 b 11

− a 0 b

1 1

a − 1 11 − a b − 1 11 − b

Cette pose du calcul est une justification pour répondre aux question 1, 2, 3 et 4.

Question 1 Quel est le chiffre des unités de x, en fonction de b ? 11 − b.

35

Question 2 Quel est le chiffre des dizaines de x, en fonction de b ? b − 1.

Question 3 Quel est le chiffre des centaines de x, en fonction de a ? 11 − a.

Question 4 Quel est le chiffre des milliers de x, en fonction de a ? a − 1.

Questions 5 et 6 Montrer que si a + b = 12, alors x est divisible par 11. Montrer que si x est divisible

par 11, alors a + b = 12.

x est divisible par 11, équivaut à dire que la différence entre la somme des chiffres de rang pair de x et

la somme des chiffres de rang impair de x est divisible par 11 (et cette différence vaut (11 − b + 11 − a) −

(b − 1 + a − 1) = 24 − 2 × a − 2 × b = 24 − 2 × (a + b) au signe près).

— On déduit que si a + b = 12, alors, 24 − 2 × (a + b) = 0 est divisible par 11 et x est divisible par 11.

— On déduit également que si x est divisible par 11, alors 24 − 2 × (a + b) est divisible par 11. Or,

d’après la question 0, 3 ≤ a+b ≤ 17, donc on obtient −10 ≤ 24−2×(a+b) ≤ 18, puis 24−2×(a+b)

vaut 0 ou 11 (car 0 et 11 sont les seuls multiples de 11 compris entre −10 (inclus) et 18 (inclus)).

Cependant, la quantité 24 − 2 × (a + b) est trivialement paire et ne peut valoir 11. Il s’ensuit que

24 − 2 × (a + b) = 0, puis que a + b = 12.

Question 7 Quels sont tous les a et b tels que x est divisible par 11 ?

Synthèse.

— a = 3 et b = 9,

— a = 4 et b = 8,

— et a = 5 et b = 7,

sont les trois couples solutions (ne pas oublier que a < b).

Exercice 29 [Orléans-Tours (1998)] Soit n = abc(6)

(103 = 251(6)).

1. Que vaut 132(6) ? Est-il multiple de 6 ? Est-il multiple de 2 ?

2. 324(6), 222(6), 550(6) sont-ils multiples de 6 ? Sont-ils multiples de 2 ?

3. Énoncer et montrer les critères de divisibilité par 6 et par 2 à partir de l’écriture du nombre abc(6)

en base 6.

4. Montrer que 325(6), 212(6), 555(6) sont multiples de 5. Énoncer et montrer le critère de divisibilité

par 5 à partir de l’écriture du nombre abc(6)

en base 6.

Solution 29

1. Il suffit d’utiliser la base 10, dans laquelle on sait reconnaître les multiples de 2 et de 6.

132(6) = 1 × 36 + 3 × 6 + 2 = 56 qui est multiple de 2, mais qui n’est pas multiple de 6.

2. (a) 324(6) = 3 × 36 + 2 × 6 + 4 = 124 qui est multiple de 2, mais qui n’est pas multiple de 6.

(b) 222(6) = 2 × 36 + 2 × 6 + 2 = 86 qui est multiple de 2, mais qui n’est pas multiple de 6.

(c) 550(6) = 5 × 36 + 5 × 6 + 0 = 210 qui est multiple de 2 et de 6.

3. (a) Si abc(6)

est divisible par 6, alors c = 0. Et, réciproquement.

36

— Si abc(6)

est divisible par 6, alors a×36+b×6+c = 6× (a×6+ b)+c est divisible par 6. Par

suite, abc(6)

et 6 × (a × 6 + b) étant divisibles par 6, il vient que c = abc(6)

− 6 × (a × 6 + b)

est divisible par 6 (d’après la propriété de soustraction des multiples). Cependant, c est un

entier naturel tel que 0 ≤ c ≤ 5 (c est un chiffre en base 6) divisible par 6, c est donc nul

(i.e. c = 0).

— Réciproquement, si c = 0, alors ab0(6)

= a × 36 + b × 6 = 6 × (a × 6 + b) est divisible par 6.

(b) Si abc(6)

est divisible par 2, alors c est pair. Et, réciproquement.

— Si abc(6)

est divisible par 2, alors a×36+b×6+c = 6× (a×6+ b)+c est divisible par 2. Par

suite, abc(6)

et 6 × (a × 6 + b) étant divisibles par 2, il vient que c = abc(6)

− 6 × (a × 6 + b)

est divisible par 2 (d’après la propriété de soustraction des multiples). Cependant, c est un

entier naturel tel que 0 ≤ c ≤ 5 (c est un chiffre en base 6) divisible par 2, c est donc pair

(i.e. c = 0, c = 2 ou c = 4).

— Réciproquement, si c est divisible par 2 (i.e. c est pair), alors abc(6)

= a × 36 + b × 6 + c =

6 × (a × 6 + b) + c est divisible par 2 (d’après la propriété d’addition des multiples).

4. (a) 325(6) = 3 × 36 + 2 × 6 + 5 = 125 qui est multiple de 5.

(b) 212(6) = 2 × 36 + 1 × 6 + 2 = 80 qui est multiple de 5.

(c) 555(6) = 5 × 36 + 5 × 6 + 5 = 215 qui est multiple de 5.

Si abc(6)

est divisible par 5, alors a + b + c est divisible par 5. Et, réciproquement.

— On a : abc(6)

= a × 36 + b × 6 + c = a × (35 + 1) + b × (5 + 1) + c = 5 × (7 × a + b) + (a + b + c).

— Si abc(6)

est divisible par 5, alors 5 × (7 × a + b) + (a + b + c) est divisible par 5. Par suite,

abc(6)

et 5 × (7 × a + b) étant divisibles par 5, il vient que a + b + c = abc(6)

− 5 × (7 × a + b)

est divisible par 5 (d’après la propriété de soustraction des multiples).

— Réciproquement, si a + b + c est divisible par 5, comme 5 × (7 × a + b) est divisible par 5,

il vient que abc(6)

= 5 × (7 × a + b) + (a + b + c) est divisible par 5 (d’après la propriété

d’addition des multiples).

Exercice 30 Soient a, b, et c des chiffres en base 10. Montrer que si ab(10)

et bc(10)

sont des nombres

divisibles par 7, alors ca(10) l’est aussi.

Solution 30 ab est multiple de 7. Ainsi, on peut trouver un entier naturel k tel que a × 10 + b = 7 × k.

bc est multiple de 7. Ainsi, on peut trouver un entier naturel l tel que b × 10 + c = 7 × l.

Il faut montrer que ca(10) est multiple de 7, c’est-à-dire trouver un entier naturel m tel que c×10+a =

7 × m.

37

c × 10 + a = (7 × l − b × 10) × 10 + a

= (7 × l − (7 × k − a × 10) × 10) × 10 + a

= 70 × l − 700 × k + 1 001 × a

= 7 × (10 × l − 100 × k + 143 × a)︸ ︷︷ ︸

=m

.

Exercice 31 On considère un nombre à quatre chiffres que l’on note abcd(10)

(i.e. a est le chiffre des

milliers, b celui des centaines, c celui des dizaines et d celui des unités).

On appelle retourné du nombre abcd(10)

le nombre dcba(10)

(i.e. le retourné est obtenu en intervertissant

le chiffre des milliers avec celui des unités et celui des centaines avec celui des dizaines -par exemple, le

nombre 921 est le retourné du nombre 1290, et réciproquement, le nombre 1290 est le retourné du nombre

921-).

Question 1 Quels sont les retournés des nombres 4205, 10 et 444 ?

On considère dorénavant un nombre à quatre chiffres que l’on note abcd(10)

vérifiant les conditions

restrictives : a est soit 5, soit 6, soit 7, soit 8 ou soit 9 ; b aussi est soit 5, soit 6, soit 7, soit 8 ou soit 9 (b

peut être différent de a) ; c est soit 0, soit 1, soit 2, soit 3 ou soit 4 ; d aussi est soit 0, soit 1, soit 2, soit 3

ou soit 4 (d peut être différent de c).

Question 2 Combien existe-t-il de tels nombres ?

On décide de classer ces nombres du plus petit au plus grand.

Question 3 Quel sera le premier de ces nombres ?, le dernier ?, le deux cent dixième ?

On définit maintenant l’algorithme suivant :

"Je prends un nombre abcd vérifiant les conditions restrictives, je lui enlève son retourné. Le résultat

ainsi obtenu est appelé résultat intermédiaire. Puis, au résultat intermédiaire, j’ajoute le retourné du

résultat intermédiaire. J’écris le résultat final"

Question 4 Appliquer l’algorithme aux nombres qui, parmi 7209, 1495, 5924, 9904, 4692 et 7637, véri-

fient les conditions restrictives.

Question 5 Énoncer de façon claire et concise une propriété relative à cet algorithme.

Question 6 Démontrer cette propriété.

Faire une démonstration exhaustive de cette propriété, consiste à vérifier la propriété pour chacun des

nombres vérifiant les conditions restrictives.

Question 7 Sachant que je mets 15 secondes pour vérifier la propriété pour un nombre, quel temps (en

heures, minutes, secondes) mettrai-je pour effectuer une démonstration exhaustive de cette propriété ?

Question 8 Si je commence la démonstration exhaustive à 14 heures 54 minutes et 48 secondes, à quelle

heure précisément aurai-je achevé cette tâche ?

Solution 31 Mise en bouche ... Dans un couvent, à la tombée de la nuit, quatre jeunes nonnes s’en-

fuient car elles n’arrivaient pas à trouver le sommeil ... En chemin, elles rencontrent le grand sage de la

38

forêt qu’elles s’empressent de saluer. Elles lui font part de leur problème d’insomnie. Le sage, qui est un

peu matheux, un peu anglais essaye de modéliser le problème en écrivant "SLEEP" (dormir) puis "NIGHT"

(la nuit) en codant les lettres avec des chiffres comme suit :

S L E E P N I G H T

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Il demande alors à l’une des nonnes de choisir deux lettres du mot "NIGHT". Elle choisit le H, puis le

T. Il demande alors à une autre nonne de choisir deux lettres du mot "SLEEP". Elle choisit le deuxième

E, puis le L. Il code alors H par 8, T par 9, E par 3 et L par 1 (voir tableau). Il effectue alors le calcul

suivant :8 9 3 1

− 1 3 9 8

7 5 3 3

il enlève le nombre écrit à l’envers

7 5 3 3

+ 3 3 5 7

1 0 8 9 0

il ajoute le résultat écrit à l’envers

1 0 8 9 0

× 4

4 3 5 6 0

il multiplie le nouveau résultat par 4

Il indique alors aux nonnes qu’il a trouvé la solution et décode "43560". Les quatre nonnes repartirent

comblées.

Question 1 Le retourné de 4 205 est 5 024. Le retourné de 10 est 100. Le retourné de 444 est 4 440.

Question 2 Un arbre permet de dénombrer aisément ...

5 possibilités pour le premier chiffre, puis 5 possibilités pour le deuxième chiffre, puis 5 possibilités pour

le troisième chiffre, et enfin 5 possibilités pour le quatrième chiffre, soit un total de 5×5×5×5 = 54 = 625

possibilités pour le nombre.

Question 3 Le premier est 5 500 et le dernier est 9 944. Sur l’arbre des possibles, on cherche le deux

cent dixième.

— Du 1er au 125eme, les nombres commencent par 5 ;

— Du 126eme au 250eme, les nombres commencent par 6 ;

— Du 251eme au 375eme, les nombres commencent par 7 ;

— Du 376eme au 500eme, les nombres commencent par 8 ;

— Du 501eme au 625eme, les nombres commencent par 9.

Comme on cherche le 210eme, il commence par 6.

— Du 126eme au 150eme, les nombres commencent par 65 ;

— Du 151eme au 175eme, les nombres commencent par 66 ;

— Du 176eme au 200eme, les nombres commencent par 67 ;

39

— Du 201eme au 225eme, les nombres commencent par 68 ;

— Du 226eme au 250eme, les nombres commencent par 69.

Comme on cherche le 210eme, il commence par 68.

— Du 201eme au 205eme, les nombres commencent par 680 ;

— Du 206eme au 210eme, les nombres commencent par 681 ;

— Du 211eme au 215eme, les nombres commencent par 682 ;

— Du 216eme au 220eme, les nombres commencent par 683 ;

— Du 221eme au 225eme, les nombres commencent par 684. Comme on cherche le 210eme, il commence

par 681.

Le 206eme est 6 810 ; le 207eme est 6 811 ; le 208eme est 6 812 ; le 209eme est 6 813 ; et le 210eme est 6 814.

Question 4

— 7 209 ne vérifie pas les conditions restrictives, car le deuxième chiffre doit être choisi parmi 5, 6, 7,

8 et 9.

— 1 495 ne vérifie pas les conditions restrictives, car le premier chiffre doit être choisi parmi 5, 6, 7, 8

et 9.

— 5 924 vérifie les conditions restrictives. On lui applique l’algorithme.

5 9 12 14

− 4 2 9 5

1 1

1 6 2 9

1 1

1 6 2 9

+ 9 2 6 1

1 0 8 9 0

— 9 904 vérifie les conditions restrictives. On lui applique l’algorithme.

9 9 10 14

− 4 0 9 9

1 1

5 8 0 5

1 1

5 8 0 5

+ 5 0 8 5

1 0 8 9 0

— 4 692 ne vérifie pas les conditions restrictives, car le premier chiffre doit être choisi parmi 5, 6, 7, 8

et 9.

— 7 637 ne vérifie pas les conditions restrictives, car le quatrième chiffre doit être choisi parmi 0, 1, 2,

3 et 4.

Question 5 L’algorithme appliqué à un nombre vérifiant les conditions restrictives fournit le résultat

10 890.

Question 6 Démonstration de cette propriété.

a b 1c 1d

− d c b a

1 1

a − d b − c − 1 10 + c − b − 1 10 + d − a

40

1 1

a − d b − c − 1 10 + c − b − 1 10 + d − a

+ 10 + d − a 10 + c − b − 1 b − c − 1 a − d

1 0 8 9 0

Question 7 625 nombres vérifient les conditions restrictives. Ceci compte donc 625 × 15 s = 9 375 s.

9 375 = 156 × 60 + 15, donc 9 375 s = 156 min 15 s.

156 = 2 × 60 + 36, donc 9 375 s = 156 min 15 s = 2 h 36 min 15 s.

Et, la tâche dure 2 heures 36 minutes 15 secondes.

Question 8 En commençant la démonstration exhaustive à 14 heures 54 minutes et 48 secondes, la

tâche sera achevée à 17 heures 31 minutes 03 secondes.

14 h 54 min 48 s + 2 h 36 min 15 s = 16 h 90 min 63 s

= 16 h 91 min 03 s car1 min = 60 s

= 17 h 31 min 03 s car1 h = 60 min

Exercice 32 [Amiens (2002)] Soit N = mcdu un nombre entier naturel écrit en base dix pour lequel

m > c > d > u > 0.

Question 1 Quel est le plus petit entier N possible ?

Question 2 Quel est le plus grand entier N possible ?

Question 3 Dresser la liste des nombres N pour lesquels le chiffre des milliers est 6.

On appelle N ′ le nombre entier obtenu à partir de N en permutant le chiffre des unités avec celui des

unités de mille et le chiffre des dizaines avec celui des centaines. On appelle D le nombre obtenu en faisant

la différence N − N ′.

Question 4 Exprimer D en fonction de m, c, d et u.

Question 5 Montrer que D est multiple de 9.

Question 6 Quelle est la valeur maximale pour D ? Pour quelle(s) valeur(s) de N , D est-il maximum ?

Question 7 Quelle est la valeur minimale pour D ? Pour quelle(s) valeur(s) de N , D est-il minimum ?

Solution 32

Question 1 N = mcdu est un nombre entier naturel pour lequel m > c > d > u > 0. Le plus petit

u possible est 1, le plus petit d possible est donc 2, le plus petit c possible est donc 3 et le plus petit m

possible est donc 4. Ceci fait que le plus petit N possible est 4 321.

Question 2 N = mcdu est un nombre entier naturel pour lequel m > c > d > u > 0. Le plus grand m

possible est 9, le plus grand c possible est donc 8, le plus grand d possible est donc 7 et le plus grand u

possible est donc 6. Ceci fait que le plus grand N possible est 9 876.

Question 3

41

— Tous ceux qui commencent par 65... : 6 543, 6 542, 6 541, 6 532, 6 531 et 6 521.

— Tous ceux qui commencent par 64... : 6 432, 6 431 et 6 421.

— Tous ceux qui commencent par 63... : 6 321.

Et, il n’en existe pas d’autres ...

Question 4

N = mcdu = m × 1000 + c × 100 + d × 10 + u

et

N ′ = udcm = u × 1000 + d × 100 + c × 10 + m.

Par différence, il vient que

D = N − N ′

= (m × 1000 + c × 100 + d × 10 + u) − (u × 1000 + d × 100 + c × 10 + m)

= m × 999 + c × 90 − d × 90 − u × 999

= (m − u) × 999 + (c − d) × 90.

Question 5

D = (m − u) × 999 + (c − d) × 90 = 9 × ((m − u) × 111 + (c − d) × 10).

Et donc D est multiple de 9.

Question 6 Trouver la valeur maximale de D, est équivalent à trouver m, c, d et u tels que m − u soit

maximal et c − d soit maximal également ...

D est donc maximal lorsque m = 9 et u = 1 et lorsque c = 8 et d = 2, c’est-à-dire pour N = 9 821 ; on

obtient alors D = 8 532.

Question 7 Trouver la valeur minimale de D, est équivalent à trouver m, c, d et u tels que m − u soit

minimal et c − d soit minimal également ...

Le minimum de m − u est 3 et le minimum de c − d est 1 et ce minimum est atteint lorsque u, d, c et

m sont des entiers consécutifs.

D est donc maximal lorsque N = 4 321, N = 5 432, N = 6 543, N = 7 654, N = 8 765 ou N = 9 876 ;

on obtient alors D = 3 087.

42