Grard Hincelin - Electronique B8 1

Notions sur les lignes de transmission

! 1. Introduction

! 2. Circuit quivalent! Tension et courant! Exemple du guide donde plan! lments du circuit quivalent

! 3. Ligne continue infinie! quation des lignes! Impdance caractristique

! 4. Ligne charge! Coefficient de rflexion! Taux dondes stationnaires! Impdance ramene

! 5. tude de quelques cas! Ligne demi-onde, quart-donde! Ligne en court-circuit! Ligne en circuit ouvert

! 6. Adaptation des lignes! Quelques exemples

! 7. Abaque de Smith! Coefficient de rflexion! Reprsentation des impdances

dans le plan complexe! Exemples dapplications

SOMMAIRE

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Introduction

! Modle thorique commun tous types de guides dondes! Ligne de transmission quivalente:

! La thorie des ondes lectromagntique manipule des champs E et H! Dans la thorie des circuits les champs sont remplacs par des lments de

circuits! permet dassocier des circuits actifs (reprsents par des circuits quivalents)

! Le guide donde est remplac par un circuit quivalent! Inductances, capacits, rsistances! Ces lments ne sont pas discrets, mais continus

! Permet de traiter partir de notions dimpdance les problmes! de raccordement de guides donde! de connexion une charge quelconque

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circuit MMIC

53C.R. CNAM Circuits Intgrs Microondes janvier 2002

Structure arborescente 2 tages

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Tensions et courants

! La structure est reprsente par! Une Inductance srie L, unit H/m.! Une rsistance srie R, unit /m! Une capacit en parallle C, en F/m! Une conductance parallle G, en S/m

! Relation entre Champ E et tension V:

! Relation entre champ H et courant (loi dAmpre):

! Puissance transporte:

a) Reprsentation dun guide donde planb) lments de circuitsc) Ligne de transmission

.V E dl= rr

.c

I H dl= rr

"

1 1Re Re2 2 S

V I E H dS = r r

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Illustration: guide donde plan! Expression des champs:

! Tension V :

! Courant I:

! Puissance moyenne (mode TEM)

xEyH

za

w

Mode TEM dans le guide plan

( )

( )

0

0

exp

exp

x

y

E E j t z

EH j t z

=

=

( )00

( ) expa

xV z E dx aE j t z = =

( )00

( ) expw

yEI z H dy w j t z

= =

201 1Re

2 2 2x yS

E waP E H dS E H wa

= = = r r

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Elments du circuit quivalent

! Inductance quivalente L par unit de longueur:! Caractrise la densit dnergie

magntique stocke dans le milieu

! Capacit quivalente C par unit de longueur:! Caractrise la densit dnergie

lectrique stocke dans le milieu.

! On les calcule partir du thorme de Poynting

! Rsistance srie R:! Caractrise les pertes par effet

Joule la surface des parois du guide

! Conductance parallle G:! Caractrise les pertes dans lisolant

(le courant circule dune armature lautre)

! Traiter en exercice la cas du mode TEM dans le guide donde plan

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La ligne continue de longueur infinie! Daprs le schma b):

! soit:

! Pour le courant:

! soit:

! quations des lignes:

Courant et tension sur la ligne:

a) Section de ligne de longueur dzb) Circuit quivalent

V dV V RdzI jL dzI+ =

( )dV R jL I ZIdz

= + =

I dI I GdzV jC dzV+ =

( )dI G jC V YVdz

= + =

2

2

2

2

0

0

d V ZYVdzd I ZYIdz

=

=

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Impdance caractristique

! Solution gnrale pour les tensions:

! variations sinusodales en! VI: amplitude de londe incidente! VR: amplitude de londe rtrograde

! Constante de propagation:

! partie relle : attnuation! partie imaginaire : phase

! Ligne sans perte:! Pour R = 0 et G = 0: = 0

! Onde TEM:

! Impdance caractristique ZC:

! Ligne infinie: VR = 0

! Ligne sans perte:

( ) ( )( ) exp expI RV z V z V z = +( )exp j t

( ) ( )( ) 1 21 2ZY R jL G jC = = + + j = +

LC =2

=

( ) ( )1 exp expI RdVI V z V z

Z dz Z = =

1 21 2

CV Z Z R jLZI Y G jC

+ = = = = +

CLZC

=

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Coefficient de rflexion la charge

! Ligne finie sans perte:! Impdance de charge ZL en z = 0

! Impdance Z(z) vue en z :

! En z = 0 :

! Coefficient de rflexion la charge:

! Impdance normalise:

( ) ( ) exp( ) exp( )( ) exp( ) exp( )

I RC

I R

V z V z V zZ z ZI z V z V z

+= =

(0) I RL CI R

V VZ Z ZV V

+= =

11

R LL L C

I L

V Z ZV

+= =

11

L C LL

L C L

Z Z ZZ Z Z

= =+ +

L L CZ Z Z=

Reprsentation dune ligne charge :ZL peut reprsenter ventuellement uneautre section de ligne de transmission.

onde incidente

onde rflchie

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Ondes stationnaires! Ligne infinie, ou L = 0

! Valeur moyenne de V constante! Impdance Z = V/I constante

! Rflexion la charge L < 1! Une partie de la puissance est

renvoye vers la source! Taux de rjection! La ligne nest pas adapte! V et I varient le long de la ligne

! Rflexion totale! Il ny a plus de propagation

( ) 1020logdB LR =

1L =

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z

z/

( )1I LV +

( )1I LV

Taux dondes stationnaires TOS

! On montre lexpression:

! Soit:! Impdance ramene Z(z):

! vue par londe en un point z

! Z(z) varie avec la priode /2! Mesures sur banc:

z/

z/

Enveloppes du courant et de la tension

11

L

L

TOS S

+= =

1TOS

( )( )( )

V zZ zI z

=

( )max CZ z Z S=min( ) CZ z Z S=

( 1 ( 1)L S S = +

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Impdance ramene

! On a tabli lexpression

! En fonction de L:

! Ligne sans pertes:! Impdance ramene en un point z = - b:

! En reportant lexpression de L:

! Limpdance en un point de la ligne dpend de:! Limpdance de charge ZL! Limpdance caractristique ZC! La distance rduite b/ :

( ) exp( ) exp( )exp( ) exp( )

I RC

I R

V z V zZ z ZV z V z

+=

( ) exp( ) exp( )exp( ) exp( )

LC

L

z zZ z Zz z

+ = +

j =exp( ) exp( )exp( ) exp( )

Lb C

L

j b j bZ Zj b j b

+ =

( )( )

L Cb C

C L

Z j Z tg bZ ZZ j Z tg b

+=+

2 bb

=

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Exemple pratique n 1

Parties relle et imaginaire de limpdance Z, sur une lignetermine par une charge 0,5 1,0L CZ Z j= +

! Impdance normalise:

! Exemple:

! quation de la courbe (pour b > 0)

! Priodicit de /2

L L CZ Z Z=

0,5 1,0LZ j= +

( )( )

L Cb C

C L

Z j Z tg bZ ZZ j Z tg b

+=+

( )1 ( )

b Lb

C L

Z Z j tg bZZ j Z tg b

+= =+-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

z/

Z b/Z

C

Re bZ

Im bZ

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Etude de quelques cas

! Ligne demi-onde : b = /2 soit b = ! Zb = ZL : on retrouve limpdance de la charge tous les n/2

! Ligne quart donde : b = /4 soit b = /2! Transformateur dimpdance : adaptation par une section de ligne ZC

! Limpdance normalise en b est gale ladmittance de charge normalise! Zb est fonction des caractristiques de la section de ligne utilise

2 1 1Cb b

L L C C

ZZ ZZ Z Z Y

= = =

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Ligne en court-circuit

! Impdance ramene avec ZL = 0:

! Limpdance est purement ractive! Sa valeur varie entre

! Adaptation dimpdance

! Coefficient de rflexion: L = - 1 ! Analogue la rflexion dune onde

plane sur un conducteur parfait

! Tension et courantTension et courant sur une ligne

court-circuite

Tension courant

( )b CZ jZ tg b=

b bZ et Z= + =

( )

( )

2 sin2 cos

I

I

C

V jV zVI zZ

=

=

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Ligne en circuit ouvert

! Impdance ramene avec ZL =

! Peu commode raliser en pratique! Les ondes rayonnent et voient donc

limpdance de lespace libre

! Choke : simulation dun circuit ouvert! Ligne en court-circuit:! Impdance ramene la distance /4 du

court-circuit :! Utilis dans les portes des fours micro-

ondes pour viter les fuites dnergie

Court-circuit et ligne quart donde Choke . Les champs qui voient une impdance infinie sont stopps

Circuit ouvert

( )cotb CZ jZ g b=

( )b CZ jZ tg b=

bZ = Champs

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Adaptation des lignes : ligne quart donde

! Zb = ZC entre la source et la section dadaptation.

! Section de ligne en srie! Avec une ligne quart donde

! Adapter un cble de 75 (ZL) un cble de 50 (Zb)

2b C LZ Z Z=

2 75 50 61, 2C L bZ Z Z= = = Adaptation avec une ligne quart-donde

1 50CZ = 2 61,2CZ = 3 75L CZ Z= =

LZbZ

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Un exemple dadaptation par stub

! Soit adapter une charge dimpdance:

! Limpdance caractristique de la ligne est relle:

! Premire tape : dterminer sur la ligne un point X o Re[Zb] = RC :! Graphiquement on trouve deux points (et

tous les points distants de /2)! Limpdance ramene est de la forme :

! Deuxime tape : placer au point X une impdance de valeur - jXb annule la partie ractive et adapte la ligne.

Adaptation avec un stub en srie

court-circuit

zb1 0,5L C CZ Z jZ= +

Z b/Z

C

0,5 1,0LZ j= +

b C bZ R jX= +

C CZ R=

0 0,25 0,5d/

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Stub parallle

! Il est souvent plus facile dajouter une portion de ligne en parallle.

! On rsonne alors sur les admittances

court-circuit

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Abaque de Smith : introduction

! Due P. Smith (Bell labs. 1939)! Aide graphique pour traiter:

! Coefficients de rflexion! Ondes stationnaires! Impdances ramenes

! Toujours utilis dans les logiciels spcialiss, pour la prsentation des rsultats de simulation.

! Aspect compliqu provenant de la grande quantit dinformations

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Coefficient de rflexion : plan complexe! Impdance ramene en z = - b (ligne sans

pertes):

! En fonction de L:

! Coefficient de rflexion ramen en z = b :

! Variation de le long de la ligne:

! Pas de pertes :! Vers gnrateur : rotation horaire! vers la charge : rotation anti-horaire

exp( ) exp( )exp( ) exp( )

Lb C

L

j b j bZ Zj b j b

+ =

1 exp( 2 )1 exp( )

Lb C

L

j bZ Zj b

+ =

exp( 2 )b L j b =

z0- b1- b2

vers le gnrateur

b2 > b1

vers la chargeb2 < b1

( )2 1 1 2exp 2b b j b b = const =

- b2

point dedpart

1- 1

1

[ ](Re )x

[ ](Im )y

vers

gn

rate

ur vers charge

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Reprsentation des impdances normalises dans le plan complexe : partie rsistive

! Impdance ramene Zb en fonction de b :

! Impdance normalise :

! P est la composante rsistive! Q est la composante ractive

! Courbes qui-rsistance dans le plan du coefficient de rflexion xOy

! Famille de cercles dans le plan xOy:! Centrs en x = P/(1+P); y = 0! De rayons R = 1/(1+P)

11

bb C

b

Z Z

+=

11

b bb

C b

ZZ P jQZ

+= = = +

2 22 1

1 1Px y

P P + = + +

[ ](Re )x

[ ](Im )y

rayon unit

21

1/2

P = 0

Partie rsistive de limpdance normalise

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! Courbes qui-ractance :

! Famille de cercles dans le plan xOy:! Centrs en x = 1; y = 1/Q! Rayons R = 1/Q

Reprsentation des impdances normalises dans le plan complexe : partie ractive

( )2

22

1 11x yQ Q

+ =

[ ](Re )x

[ ](Im )y

rayon unit

x =1

Q = 0

1/21

2

-1/2-1

-2

Partie ractive de limpdance normalise

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Abaque de Smith : description

! Superposition des deux familles de cercles dans le plan xOy! Composante rsistive: graduations de 0 linfini sur laxe Ox.! Composante ractive :

! Valeurs positives moiti suprieure ! Valeurs ngatives moiti infrieure

! Coefficients de rflexion! Pas de graduations radiales (utilisation dun compas)! Graduations sur la circonfrence

! Daprs! Un dplacement de b = /2 sur la ligne correspond un tour (2)! Graduations externes en fractions de longueur donde! Indication du sens de parcours (vers la charge ou vers le gnrateur)! Valeur de la phase du coefficient de rflexion

! Taux dondes stationnaires TOS (partie positive de laxe Ox)

exp( 2 ) exp( 4 )b L Lj b j b = =

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Exemple n 2 : abaque de Smith

! Reprendre les valeurs de lexemple graphique n 1 avec! On pose

! Calculer et vrifier cette valeur sur labaque

! Mesurer

! Dterminer le module et largument de b au point b = 0,3 :

! En dduire la valeur de et de Zb (on donne ZC = 50 ):

! Vrifier graphiquement les rsultats

( )expL L Lj =L

L

bZ

0,5 1,0LZ j= +

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Exemple n 3 : Calcul du stub srie

! Dans lexemple fig. 18, dterminer la position et la longueur de ligne (impdance ZC) en court-circuit utiliser pour adapter la charge:

! Placer le point P1 de coordonnes! Tracer un rayon de centre O passant par P1: graduation externe 0,133 ! Tracer le cercle de centre O passant par P1 (rayon = )

! Premire possibilit! Impdance normalise au point P2: ! Lecture lintersection du rayon et de la graduation externe : 0,18 ! Valeur du dplacement : X1 = 0,18 0,133 = 0,047

! Placer en X1 une ligne en court-circuit, de ractance Q1 = - 1,65 ! Point P3 figuratif dune charge en court-circuit! Pour arriver Q1, il faut se dplacer vers le gnrateur de : 0,321

! Procder de mme pour trouver la seconde possibilit

0,5 1,0LZ j= +

0,5 1,0LZ j= +

L

1 1,65bZ j= +

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court-circuit

P1P2

P3