Nombres complexes

2011-2012 Fiches de mathématiques MPSI 2

Nombres complexes

Olivier Sellès, transcrit par Denis Merigoux

Table des matières

1 Construction de C 3

1.1 Définition des lois de composition internes de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Vers la notation algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 Formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Somme des n premiers termes d’une suite géométrique de raison z . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Factorisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Conjugué, module, argument 7

2.1 Conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2 Identité du parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.3 Inégalité des modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.4 Inégalité de Cauchy-Schwarz dans R

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.5 Inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Notation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.1 Conjugué et module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2 Formule de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3 Forme des nombres complexe de U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.1 Argument et écriture trigonométrique des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.2 Formules de mise sous forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.3 Formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Exemples d’utilisation de l’écriture trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5.1 Noyau de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5.2 Polynômes de Chebychev de la première espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Racines carrées et racines n-ièmes dans C 14

3.1 Recherche pratique de racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.1 Avec une forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.2 Sans forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Racines n-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.2 Petite histoire (ou grand casse-tête) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.3 Autour de Un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Lycée Saint-Louis Nombres complexes

MPSI 2 Fiches de mathématiques 2011-2012

4 Exponentielles complexes 174.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.1 Propriété caractéristique de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.1.2 Autres propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Complément : astuces 185.1 Expression de Rn pzq en fonction de Un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Rassemblement trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Liste de Un usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Complément : exercices classiques 196.1 Parties de C à trois éléments... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.1.1 Parties à deux éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.1.2 Parties à 3 éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.2 Racines n-ièmes primitives de 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.3 Noyau de Fréjet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.3.2 Simplification de l’expression de Fn pθq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.4 Polynômes de Chebychev de deuxième espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Nombres complexes Lycée Saint-Louis


1 Construction de C

1.1 Définition des lois de composition internes de R2

On considère l’ensemble R2 des couples pa, bq {a, b P R. On définit deux lois de composition interne sur R

2.– Une addition ` par @ pa, bq , pc, dq P R

2,

pa, bq ` pc, dq “ pa ` c, b ` dq

– Une multiplication ˆ par @ pa, bq , pc, dq P R2,

pa, bq ˆ pc, dq “ pac ´ bd, ad ` bcq

1.1.1 Propriétés

– L’addition ` possède les propriétés suivantes :˝ Associativité : @ pa, bq , pa1, b1q , pa2, b2q P R

2,

pa, bq ```

a1, b1˘

``

a2, b2˘˘

“`

pa, bq ``

a1, b1˘˘

``

a2, b2˘

˝ Possède un élément neutre, p0, 0q.˝ Tout élément de R

2 possède un inverse par ` appelé opposé. L’opposé du couple pa, bq est p´a, ´bq.˝ Commutativité : @ pa, bq , pc, dq P R

2,

pa, bq ` pc, dq “ pc, dq ` pa, bq

On dit que le couple`

R2, `

˘

muni des propriétés précédentes est un groupe commutatif.– La multiplication ˆ possède les propriétés suivantes :

˝ Associativité : @ pa, bq , pa1, b1q , pa2, b2q P R2,

pa, bq ˆ``

a1, b1˘

ˆ`

a2, b2˘˘

“`

pa, bq ˆ`

a1, b1˘˘

ˆ`

a2, b2˘

Cette propriété non-triviale se démontre par un retour à la définition de ˆ.˝ Possède un élément neutre : p1, 0q.˝ Commutativité : @ pa, bq , pc, dq P R

2,

pa, bq ˆ pc, dq “ pc, dq ˆ pa, bq

˝ On remarque que p0, 0q n’admet pas d’inverse par ˆ. En revanche, si pa, bq P R2z tp0, 0qu, l’inverse de

pa, bq par ˆ estˆ

a

a2 ` b2, ´ b

a2 ` b2

˙

˝ Distributivité par rapport à ` : @z, z1, z2 P R2,

z ˆ`

z1 ` z2˘

“ z ˆ z1 ` z ˆ z2

Le triplet`

R2, `, ˆ

˘

est alors appelé anneau commutatif. On définit ainsi le corps des nombres complexespC, `, ˆq. On conviendra des notations suivantes :

– Le neutre de ` est noté 0C. Pour z P C, ´z désigne l’opposé de z par `.– Le neutre de ˆ est noté 1C. Pour z P C

˚, 1

zdésigne l’opposé de z par ˆ.

1.1.2 Vers la notation algébrique

On a une application naturelle de R dans C :

ϕ : R ÝÑ C

x ÞÝÑ px, 0qExaminons les propriétés de ϕ pour x, y P R :



– ϕ est injective : x ‰ y ñ ϕ pxq ‰ ϕ pyq– ϕ px ` yq “ ϕ pxq ` ϕ pyq– ϕ pxyq “ ϕ pxq ˆ ϕ pyq– ϕ p1q “ p1, 0q “ 1C

ϕ est ainsi un morphisme d’anneau injectif de pR, `, ˆq dans pC, `, ˆq. L’ensemble Λ “ tϕ pxq {x P Ru est enbijection avec R. Cet ensemble est un sous-anneau de C :

@z, z1 P Λ,

$

’

&

’

%

z ` z1 P Λ

z ˆ z1 P Λ

1C P Λ

Ainsi, ϕ permet d’identifier R et Λ (en quelque sorte, Λ est une copie de R dans C). Pour x P R, on écriradésormais x à la place de px, 0q.

Notons i le complexe p0, 1q. Alors i2 “ p´1, 0q “ ´1. D’autre part, @y P R, i ˆ y “ p0, yq. Soit y dans C telque z “ px, yq. Alors

z “ px, 0q ` p0, yq“ x ` iy

On écrira alors pour z, z1 P C, zz1 au lieu de z ˆ z1. La notation algébrique de tout complexe z est unique.Pour z “ x ` iy P C avec x, y P R,

– x est la partie réelle de z et se note ℜe pzq ;– y est la partie imaginaire de z et se note ℑm pzq.

On en déduit donc :– z P R ô ℑm pzq “ 0– z P iR ô ℜe pzq “ 0 où iR est l’ensemble des imaginaires purs, du type iy avec y P R.

1.2 Règles de calcul

1.2.1 Formule du binôme de Newton

Pour z, z1 P C et n P N,`

z ` z1˘n “

nÿ

k“0

ˆ

n

k

˙

zkz1n´k

où pour tout n P N et 0 ď k ď n,ˆ

n

k

˙

“ n!k! pn ´ kq!

et pour tout p P N,

p! “#

1 si p “ 0śp

k“1k “ 1 ˆ 2 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ p si p ‰ 0

Démonstration Soit Hn : « @z, z1 P C, pz ` z1qn “nř

k“0

`

nk

˘

zkz1n´k »

– H0 est vraie : soient z, z1 P C. On a :`

z ` z1˘0 “ 1

et0ÿ

k“0

ˆ

0k

˙

zkz0´k “ 1



– Soit n P N. Supposons que Hn est vrai et prouvons Hn`1.Soient z, z1 P C :

`

z ` z1˘n`1 “

`

z ` z1˘n ˆ

`

z ` z1˘

“«

nÿ

k“0

ˆ

n

k

˙

zkz1n´k

ff

ˆ`

z ` z1˘

“nÿ

k“0

ˆˆ

n

k

˙

zk`1z1n´k

˙

`nÿ

k“0

ˆˆ

n

k

˙

zkz1n`1´k

˙

Or n ´ k “ n ` 1 ´ pk ` 1q donc

nÿ

k“0

ˆ

n

k

˙

zk`1z1n`1´pk`1q “n`1ÿ

p“1

ˆ

n

p ´ 1

˙

zpz1n`1´p

En effet, k P v0, nw ÝÑ p “ k ` 1 P v1, n ` 1w est une bijection. D’où

`

z ` z1˘n`1 “

n`1ÿ

k“1

ˆˆ

n

k ´ 1

˙

zkz1n`1´k

˙

`nÿ

k“0

ˆˆ

n

k

˙

zkz1n`1´k

˙

“ˆ

n

n

˙

zn`1z10 `nÿ

k“1

„ˆˆ

n

k ´ 1

˙

`ˆ

n

k

˙˙

zkz1n`1´k

`ˆ

n

0

˙

z0z1n`1

Orˆ

n

n

˙

“ 1 “ˆ

n ` 1n ` 1

˙

,ˆ

n

0

˙

“ 1 “ˆ

n ` 10

˙

et, pour tout 1 ď k ď n ( si toutefois n ě 1),

ˆ

n

k ´ 1

˙

`ˆ

n

k

˙

“ˆ

n ` 1k

˙

rFormule du triangle de Pascals

D’où

`

z ` z1˘n`1 “

ˆ

n ` 1n ` 1

˙

zn`1z1n`1´n`1 `nÿ

k“1

ˆˆ

n ` 1k

˙

zkz1n`1´k

˙

`ˆ

n ` 10

˙

z0z1n`1´0

“n`1ÿ

k“0

ˆ

n ` 1k

˙

zkz1n`1´k

D’où le résultat si n ě 1. Si n “ 0,`

z ` z1˘n`1 “ z ` z1

et1ÿ

k“0

ˆ

1k

˙

zkz11´k “ z1 ` z

– Hn est héréditaire et valable pour n “ 0 donc Hn est vraie pour tout n P N.

1.2.2 Somme des n premiers termes d’une suite géométrique de raison z

Pour z P C et n P N on pose

Sn pzq “nÿ

k“0

zk “ 1 ` z ` z2 ` ¨ ¨ ¨ ` zn



Or

z ˆ Sn pzq “ z ˆnÿ

k“0

zk

“nÿ

k“0

zk`1

“n`1ÿ

k“1

zk

“ Sn pzq ´ 1 ` zn`1

D’où

pz ´ 1q Sn pzq “ zn`1 ´ 1

Donc, si z ‰ 1,

Sn pzq “ zn`1 ´ 1z ´ 1

Si z “ 1, Sn p1q “ n ` 1.

1.2.3 Factorisations

Soit n P N, a, b P C. Prenons b P C˚, alors

á

b´ 1

¯

Sn

á

b

¯

“á

b

¯n`1

´ 1

ñ bn`1

á

b´ 1

¯

Sn

á

b

¯

“ bn`1

„

á

b

¯n`1

´ 1

ñ pa ´ bq bnSn

á

b

¯

“ an`1 ´ bn`1

ñ an`1 ´ bn`1 “ pa ´ bqnÿ

k“0

akbn´k

Ainsi pour a, b P C avec b ‰ 0 et n P N˚ :

an ´ bn “ pa ´ bqn´1ÿ

k“0

akbn´1´k

Or cette formule est vraie pour b “ 0 car, pour tout n P N˚, an ´ 0n “ an et

pa ´ 0qn´1ÿ

k“0

ak0n´1´k “ a ˆ an´1 car 0n´1´k “#

1 si k “ n ´ 1

0 si k ‰ n ´ 1

“ an

La formule est aussi valable pour n “ 0 donc @a, b P C et @ P N,

an ´ bn “ pa ´ bqn´1ÿ

k“0

akbn´1´k



Factorisations usuelles Pour n “ 2,

a2 ´ b2 “ pa ´ bq pa ` bq

Pour n “ 3,a3 ´ b3 “ pa ´ bq

`

a2 ` ab ` b2˘

Avec b “ 1,a3 ´ 1 “ pa ´ 1q

`

a2 ` a ` 1˘

De plus,a3 ` b3 “ pa ` bq

`

a2 ´ ab ` b2˘

2 Conjugué, module, argument

2.1 Conjugué

Pour z P C, z “ ℜe pzq ´ iℑm pzq où z est le conjugué de z.

2.1.1 Propriétés

Pour tout z, z1 P C et n P Z,

– ℜe pzq “ z ` z

2;

– ℑm pzq “ z ´ z

2i;

– zz “ ℜe pzq2 ` ℑm pzq2.

2.2 Module

Pour z P C, on pose |z| “?

zz “ a2 ` b2 si z “ a ` ib avec a, b P R.

2.2.1 Propriétés

– |z| “ 0 ô z “ 0– |zz1| “ |z| |z1|– |zn| “ |z|n

–

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1z

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ 1|z|

2.2.2 Identité du parallélogramme

Soient z, z1 P C. Alorsˇ

ˇz ` z1ˇ

ˇ

2 “`

z ` z1˘

pz ` z1q“

`

z ` z1˘ `

z ` z1˘

“ zz ` zz1 ` z1z ` z1z1

“ |z|2 `ˇ

ˇz1ˇ

ˇ

2 ` z1z ` z1z

“ |z|2 `ˇ

ˇz1ˇ

ˇ

2 ` 2ℜe`

zz1˘

De même,ˇ

ˇz ´ z1ˇ

ˇ

2 “ |z|2 `ˇ

ˇ´z1ˇ

ˇ

2 ` 2ℜe`

´zz1˘

“ |z|2 `ˇ

ˇz1ˇ

ˇ

2 ´ 2ℜe`

zz1˘



D’où :ˇ

ˇz ` z1ˇ

ˇ

2 `ˇ

ˇz ´ z1ˇ

ˇ

2 “ 2´

|z|2 `ˇ

ˇz1ˇ

ˇ

2¯

Géométriquement, la somme des carrés des longueurs des côtés d’un parallélogramme est égale à la somme descarrés des longueurs des diagonales.

2.2.3 Inégalité des modules

Soit z P C. Alors |z|2 “ ℜe pzq2 ` ℑm pzq2, ce qui implique

ℜe pzq2 ď |z|2

où l’égalité signifierait que ℑm pzq “ 0 ô z P R. En prenant la racine carrée de ces nombres réels positifs, onobtient

|ℜe pzq| ď |z|De même,

|ℑm pzq| ď |z|

2.2.4 Inégalité de Cauchy-Schwarz dans R2

Soient a, b, c, d P R. Alors|ac ` bd| ď

a

a2 ` b2

a

c2 ` d2

Démonstration Posons z “ a ` ib et z1 “ c ´ id. Alors ℜe pzz1q “ ac ` bd donc

|ac ` bd| “ˇ

ˇℜe`

zz1˘ˇ

ˇ ďˇ

ˇzz1ˇ

ˇ ô |ac ` bd| ďa

a2 ` b2

a

c2 ` d2

2.2.5 Inégalité triangulaire

@z, z1 P C on a :(1)

ˇ

ˇz ` z1ˇ

ˇ ď |z| `ˇ

ˇz1ˇ

ˇ

(2)ˇ

ˇz ` z1ˇ

ˇ ěˇ

ˇ|z| ´ˇ

ˇz1ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Démonstration Prouvons la première inégalité : soient z, z1 P C et

∆ “`

|z| `ˇ

ˇz1ˇ

ˇ

˘

2 ´ˇ

ˇz ` z1ˇ

ˇ

2

Il s’agit de montrer que ∆ ě 0. Or

∆ “ |z|2 ` 2 |z|ˇ

ˇz1ˇ

ˇ `ˇ

ˇz1ˇ

ˇ

2 ´ˇ

ˇz ` z1ˇ

ˇ

2

“ |z|2 ` 2 |z|ˇ

ˇz1ˇ

ˇ `ˇ

ˇz1ˇ

ˇ

2 ´ |z|2 ´ˇ

ˇz1ˇ

ˇ

2 ´ 2ℜe`

zz1˘

“ 2`

|z|ˇ

ˇz1ˇ

ˇ ´ ℜe`

zz1˘˘

Or

ℜe`

zz1˘

ďˇ

ˇℜe`

zz1˘ˇ

ˇ ďˇ

ˇzz1ˇ

ˇ ñ ℜe`

zz1˘

ď |z|ˇ

ˇz1ˇ

ˇ

ñ ℜe`

zz1˘

ď |z|ˇ

ˇz1ˇ

ˇ car |z| “ |z|

On a donc bien ∆ ě 0. Examinons maintenant les cas d’égalité :



– Si z “ 0, alors |z1| “ |z1|˝ Si z ‰ 0, alors

ˇ

ˇz ` z1ˇ

ˇ “ |z| `ˇ

ˇz1ˇ

ˇ ñ ∆ “ 0

donc ℜe pzz1q “ |ℜe pzz1q| “ |zz1| donc ℜe pzz1q P R` et zz1 P R. Ainsi zz1 “ ℜe pzz1q donc zz1 P R`. Deplus,

z1 “ zz1

z

“ zz1

zzz

“ zz1

|z|2ˆ z

Donc z1 “ λz avec λ ě 0 donc les vecteurs d’affixes z et z1 sont colinéaires.Réciproquement, si z1 “ λz avec λ P R`, on a

|z| `ˇ

ˇz1ˇ

ˇ “ |z| ` |λz|“ |z| ` |λ| |z|“ |z| ` λ |z|“ pλ ` 1q |z|

De plus,ˇ

ˇz ` z1ˇ

ˇ “ |z ` λz|“ |pλ ` 1q z|“ pλ ` 1q |z|

On déduit des précédents résultats l’équivalence suivante :ˇ

ˇz ` z1ˇ

ˇ “ |z| `ˇ

ˇz1ˇ

ˇ ô pz “ 0q ou`

Dλ P R{z1 “ λz˘

On peut reformuler ceci de manière plus symétrique :

ˇ

ˇz ` z1ˇ

ˇ “ |z| `ˇ

ˇz1ˇ

ˇ ô Du P C˚, Dλ, µ P R`{

#

z “ λu

z1 “ µu

En effet démontrons-le.– Sens direct : supposons que |z ` z1| “ |z| ` |z1|

˝ Si z “ 0 et z1 ‰ 0, on prend alors u “ z1, λ “ 0 et µ “ 1. Si z1 “ 0, alors des valeurs qui marchent sontu “ 1 et λ “ µ “ 0.

˝ Si z ‰ 0, on a vu que z1 “ tz avec t P R`. On prend alors u “ z, λ “ 1 et µ “ t.– Sens réciproque :

ˇ

ˇz ` z1ˇ

ˇ “ |λu ` µu|“ pµ ` λq |u|

|z| `ˇ

ˇz1ˇ

ˇ “ λ |u| ` µ |u|“ pλ ` µq |u|

Donc |z ` z1| “ |z| ` |z1|.Prouvons maintenant la deuxième inégalité : |z ` z1| ě ||z| ´ |z1||. D’après l’inégalité triangulaire démontréeci-dessus,

|z| “ˇ

ˇz ` z1 ´ z1ˇ

ˇ ďˇ

ˇz ` z1ˇ

ˇ `ˇ

ˇ´z1ˇ

ˇ ñ |z| ´ˇ

ˇz1ˇ

ˇ ďˇ

ˇz ` z1ˇ

ˇ

De même,ˇ

ˇz1ˇ

ˇ ´ |z| ďˇ

ˇz1 ` zˇ

ˇ

Des deux inégalités précédentes on déduit, un nombre et son opposé étant inférieurs à la valeur absolue dumême nombre,

ˇ

ˇ|z| ´ˇ

ˇz1ˇ

ˇ

ˇ

ˇ ďˇ

ˇz ` z1ˇ

ˇ



2.3 Notation exponentielle

On définit pour θ P R,eiθ “ cos θ ` i sin θ

On note que eipθ`ϕq “ eiθeiϕ, propriété caractéristique de l’exponentielle.

2.3.1 Conjugué et module

Soit θ P R. On a

eiθ “ cos θ ´ i sin θ

“ cos p´θq ` i sin p´θq“ e´iθ

D’autre part,

e´iθ “ 1eiθ

En combinant les deux précédents résultats,

eiθ “ 1eiθ

ô eiθeiθ “ 1

ôˇ

ˇ

ˇeiθ

ˇ

ˇ

ˇ

2

“ 1

ô @θ P R, eiθ P U

Remarques :– On définit l’ensemble U comme l’ensemble des nombres complexes de module 1.– Pour z P U on a zz “ |z|2 “ 1 donc

z “ 1z

– pour z P C˚,

zz “ |z|2 ô zz

|z|2“ 1

ô 1z

“ z

|z|2

2.3.2 Formule de Moivre

On a @n P Z et @θ P R :´

eiθ¯n

“ einθ

Démonstration Soit Hn : « @θ P R,`

eiθ˘n “ einθ »

– H0 est vraie : si θ P R,`

eiθ˘0 “ 1 et ei0θ “ 1.

– Supposons que Hn est vraie pour un certain entier naturel n. Alors, si θ P R,

eipn`1qθ “ eipnθ`θq

“ einθeiθ

“´

eiθ¯n

eiθ

“´

eiθ¯n`1

Donc Hn est héréditaire.



– D’après le principe de récurrence, Hn est vraie @n P N.Prouvons maintenant ce résultat pour n P Z.

– Pour n “ ´1, on a bien pour θ P R :

eíθ “ 1eiθ

“´

eiθ¯´1

– Pour n P N˚ et @θ P R,

´

eiθ¯ń

“ˆ

1eiθ

˙n

“´

eíθ¯n

“ eínθ

“ eipńqθ

– Hn est donc vraie @n P Z.

2.3.3 Forme des nombres complexe de U

@z P U, Dθ P R{z “ eiθ

Démonstration Soit z “ a ` ib P U avec a, b P R. On a donc |z|2 “ a2 ` b2 “ 1 donc

|a| “ |ℜe pzq| ď |z| “ 1 et |b| “ |ℑm pzq| ď 1

– Si a ě 0, alors la fonction f :”

0,π

2

ı

ÝÑ R

t ÞÑ cos t

est continue et strictement décroissante donc

f´”

0,π

2

ı¯

“ r0, 1s

Gé0 ď a ď 1 donc a P r0, 1sSoinc Dt P“

0, π2

‰

{a “ cos t. De plus

b2 “ 1 ´ a2

“ 1 ´ cos2 t

“ sin2 t

˝ Si b ě 0 alors b “ sin t donc z “ eit.˝ Si b ď 0 alors b “ ´ sin t donc z “ eít.

– Si a ď 0 , d’après le cas précédent Dt P“

0, π2

‰

{ ´ z “ eit car ´z “ á ´ ib avec á ě 0. De plus|´z| “ |z| “ 1 donc ´z P U. Ainsi

z “ éit

“ eiπeit

“ eipπ`tq

On a doncU “

!

eiθ{θ P R

)

2.4 Arguments

Soit z P C˚. On définit l’argument de z comme l’ensemble des nombres θ réels vérifiant z “ |z| eiθ. En réalité

pour z P C˚ et θ0 P arg pzq,

arg pzq “ θ0 ` 2πZ “ tθ0 ` 2kπ|k P Zu



2.4.1 Argument et écriture trigonométrique des nombres complexes

Définition Soit z P C˚. Une écriture trigonométrique de z est un couple pr, θq dans R

2 tel que z “ reiθ.

Remarques– @θ P R, p0, θq est une écriture trigonométrique de 0.– Si z P C

˚ et θ P arg pzq, alors p|z| , θq est une écriture trigonométrique de z.– Si pr, θq est une écriture trigonométrique de z alors les écritures trigonométriques de z sont pr, θ ` 2kπq

avec k P Z.

2.4.2 Formules de mise sous forme trigonométrique

On a @θ P R :

– 1 ` eiθ “ 2 cosˆ

θ

2

˙

ei θ2

– eiθ ´ 1 “ 2i sinˆ

θ

2

˙

ei θ2

2.4.3 Formules d’Euler

Soit θ P R. Alors(1) cos θ “ ℜe

`

eiθ˘

“ eiθèiθ

2donc

cos θ “ eiθ ` eíθ

2

(2) De même,

sin θ “ eiθ ´ eíθ

2i

2.5 Exemples d’utilisation de l’écriture trigonométrique

2.5.1 Noyau de Dirichlet

Pour x P R et n P N,

Dnpxq “nÿ

k“ń

eikx

Donc

Dnpxq “ eínx ` ¨ ¨ ¨ ` eíx ` 1 ` eix ` ¨ ¨ ¨ ` einx

“ 1 ` 2 cos x ` 2 cos 2x ` ¨ ¨ ¨ ` 2 cos nx

“ 1 ` 2nÿ

k“1

cos kx

Simplifions cette expression pour exprimer la somme en fonction de n. Revenons à la définition de la fonction :pour x P R et n P N,

Dn pxq “nÿ

k“ń

eikx

“ eínx`

1 ` eix ` ¨ ¨ ¨ ` ei2nx˘

en factorisant par le premier terme.

“ eínx2nÿ

k“0

`

eix˘k

– Si x P 2πZ, eix “ 1 donc

Dn pxq “nÿ

k“ń

1 “ 2n ` 1



– Si x R 2πZ, alors eix ‰ 1 donc d’après la formule de la somme des premiers termes d’une suite géométrique,

Dn pxq “ eínx

˜

`

eix˘2n`1 ´ 1eix ´ 1

¸

“ eínx ep2n`1qix ´ 1eix ´ 1

“ eínx eip2n`1q x2 2i sin

`

p2n ` 1q x2

˘

ei x2 2i sin x

2

car @x P R, eix ´ 1 “ eix2 2i sin

´x

2

¯

“ eínxeinx sin“`

n ` 1

2

˘

x‰

sin x2

“ sin“`

n ` 1

2

˘

x‰

sin x2

et ceci @x P Rz2πZ et @n P N

2.5.2 Polynômes de Chebychev de la première espèce

Soit n P N. Alors il existe un polynôme Tn tel que @θ P R,

cos pnθq “ Tn pcos θq

Démonstration Soit n P N. Pour θ P R, cos pnθq “ ℜe`

einθ˘

“ ℜe``

eiθ˘n˘. De plus

´

eiθ¯n

“ pi sin θ ` cos θqn

“nÿ

k“0

ˆ

n

k

˙

ik sink θ cosn´k θ

“nÿ

k“0k pair

ˆ

n

k

˙

ik sink θ cosn´k θ `nÿ

k“0k impair

ˆ

n

k

˙


Ce résultat est obtenu grâce à l’application de la formule du binôme de Newton. On remarque que dans lapremière somme les ik donnent un résultat réel, et un résultat imaginaire dans la deuxième somme. Cettedécomposition est donc une forme algébrique de

`

eiθ˘n

, dont nous cherchons la partie réelle. Ainsi :

cos nθ “nÿ

k “ 0k pair

ˆ

n

k

˙


De plus, tout entier pair de rr0, nss s’écrit k “ 2p avec p P N X“

0, n2

‰

. On obtient donc

cos nθ “ÿ

pPNXr0, n2 s

ˆ

n

2p

˙

i2p sin2p θ cosn´2p θ

“ÿ

pPNXr0, n2 s

ˆ

n

2p

˙

p´1qp`

1 ´ cos2 θ˘p

cosn´2p θ

“ÿ

pPNXr0, n2 s

Hp pcos θq

Avec @p P N X“

0, n2

‰

et @x P R,

Hp pxq “ˆ

n

2p

˙

p´1qp`

1 ´ x2˘p

xn´2p

Le polynôme de Chebychev cherché est donc, @x P R,

Tn pxq “ÿ

pPNXr0, n2 s

Hp pxq



Caractéristiques Soit p P N X“

0, n2

‰

. On a alors

Hp pxq “ˆ

n

2p

˙

p´1qp`

1 ´ x2˘p

xn´2p

Hp pxq est un polynôme de degré n. De plus le coefficient de xn dans Hp est`

n2p

˘

. En sommant les polynômesHp de degré n pour obtenir Tn, on obtient un polynôme de degré inférieur ou égal à n. Le coefficient de xn dansTn pxq est alors

ÿ

pPNXr0, n2 s

ˆ

n

2p

˙

Cette somme est strictement positive donc non nulle donc le degré de Tn est n. Cherchons maintenant lecoefficient dominant (coefficient du terme de plus haut degré).

– Pour n “ 0, le coefficient de xn est 1 car T0 “ 1.– Pour n ą 0, cherchons l’expression en fonction de n de la somme

ÿ

pPNXr0, n2 s

ˆ

n

2p

˙

On remarque que :

2n “ p1 ` 1qn “nÿ

k“0

ˆ

n

k

˙

et que

0 “ p1 ´ 1qn “nÿ

k“0

ˆ

n

k

˙

p´1qk

En sommant les deux égalités précédentes on obtient :

2n ` 0 “nÿ

k“0

ˆ

n

k

˙

`nÿ

k“0

ˆ

n

k

˙

p´1qk

“nÿ

k“0

ˆ

n

k

˙

´

1 ` p´1qk¯

“ 2nÿ

k “ 0k pair

ˆ

n

k

˙

car´

1 ` p´1qk¯

“#

2 si k est paire

0 si k est impaire

“ 2ÿ

pPNXr0, n2 s

ˆ

n

2p

˙

Donc,ÿ

pPNXr0, n2 s

ˆ

n

2p

˙

“ 2n

2“ 2n´1

2n´1 est donc le coefficient dominant de Tn.

3 Racines carrées et racines n-ièmes dans C

Un nombre ω P C est une racine carrée de z P C lorsque

ω2 “ z



3.1 Recherche pratique de racines carrées

Dans la suite, on aura z P C˚.

3.1.1 Avec une forme trigonométrique

Si on dispose d’une écriture trigonométrique de z de la forme

z “ reiθ

avec r ą 0 et θ P R, alors les racines carrées de z sont ˘?rei θ

2 .

3.1.2 Sans forme trigonométrique

Si on ne dispose pas d’une écriture trigonométrique de z avec des valeurs classiques, cherchons les racinescarrées de z “ a ` ib avec a, b P R sous la forme δ “ c ` id P C avec c, d P R. on a

δ2 “ z ô#

δ2 “ zˇ

ˇδ2ˇ

ˇ “ |z|

ô#

c2 ´ d2 ` 2icd “ a ` ib

c2 ` d2 “?

a2 ` b2

ô

$

’

&

’

%

c2 ´ d2 “ a p1qc2 ` d2 “

?a2 ` b2 p2q

2cd “ b p3qen identifiant ℜe et ℑm

Ensuite,– p1q ` p2q donne c2 ;– p1q ´ p2q donne d2 ;– p3q donne le signe de cd, donc détermine les deux couples pc, dq solutions.

3.2 Équations du second degré

Soient a, b, c P C avec a ‰ 0, l’équationaz2 ` bz ` c “ 0

admet 2 solutions éventuellement confondues dans C qui sont

z “ ´b ˘ δ

2a

où δ est une racine carrée de ∆ “ b2 ´ 4ac.

3.3 Racines n-ièmes

3.3.1 Définition

Soient z, ω P C et n P N˚. On dit que ω est une racine n-ième de z lorsque

ωn “ z

Pour z P C, Rn pzq est l’ensemble des racines n-ièmes de z.



3.3.2 Petite histoire (ou grand casse-tête)

Recherche d’une expression de Rn en fonction de n Soit z P C et n P N˚.

– Si z “ 0, alors pour ω P C, ωn “ 0 ô ω “ 0 donc Rn p0q “ 0.– Si z P C

˚, on écrit z “ reiθ avec r ą 0 et θ P R (r “ |z| et θ P arg pzq).˝ On note que 0n “ 0 donc 0 R Rn.˝ Si ω P C

˚ que l’on écrit ω “ ρeiϕ avec ρ ą 0 et ϕ réel, alors

ωn “ z ô ρneinϕ “ reiθ

ô#

ρn “ r

nϕ P θ ` 2πZcar ρn ą 0 et r ą 0

ô#

ρ “ r1n

Dk P Z{ϕ “ θn

` 2kπn

DoncRn pzq “

!

r1n eip θ

n` 2kπ

n q{k P Z

)

Caractéristiques de Rn Soit k P Z. On effectue la division euclidienne de k par n. Alors il existe q P Z,n P N et 0 ď r ď n ´ 1 tels que

k “ nq ` r ô k

n“ q ` r

n

ô 2πk

n“ 2πq ` 2πr

n

ñ ei 2πkn “ ei2πqei 2πr

n

Or @ P Z, ei2πq “ 1 donc ei 2πkn “ ei 2πr

n donc

Rn pzq Ă!

r1n eip θ

n` 2pπ

n q|p P v0, n ´ 1w)

L’inclusion inverse étant évidente,

Rn pzq “!

r1n eip θ

n` 2pπ

n q|p P v0, n ´ 1w)

Soient k, l P v0, n ´ 1w avec 0 ď k ă l ď n ´ 1. Alors

r1n eip θ

n` 2πk

n q “ r1n eip θ

n` 2πl

n q ô 2πl

nP 2πk

n` 2πZ

ô Dm P Z{2πl

n“ 2πk

n` 2πm

ô Dm P Z{ l ´ k

n“ m

Or on ne peut avoir l´kn

P Z car 1 ď l ´ k ď n ´ 1. Ainsi les complexes r1n eip θ

n q, r1n eip θ

n` 2π

n q, . . . , r1n e

i´

θn

` 2pn´1qπ

n

¯

sont tous distincts donc l’ensemble Rn pzq défini par

Rn pzq “!

r1n eip θ

n` 2pπ

n q|p P v0, n ´ 1w)

est fini et de cardinal n.

3.3.3 Autour de Un

On définit Un “ Rn p1q. Or 1 “ ei0 donc

Un “!

ei 2kπn |k P rr0, n ´ 1ss

)



Remarques

– De façon générale, Un Ă U.– 1 P Un.– Si z, z1 P Un, alors zz1 P Un et 1

zP Un donc Un est un sous-groupe de pC˚, ˆq.

– Un “

ωk{0 ď k ď n ´ 1(

où ω “ e2iπn et n ě 2.

–

ωn “ 1 ô ωn ´ 1 “ 0

ô pω ´ 1q`

1 ` ω ` ω2 ` ¨ ¨ ¨ ` ωn´1˘

“ 0

ô 1 ` ω ` ω2 ` ¨ ¨ ¨ ` ωn´1 “ 0 car ω ´ 1 ‰ 0

ôÿ

zPUn

z “ 0

On a même, pour z P Unz t1u :n´1ÿ

k“0

zk “ 0

4 Exponentielles complexes

Pour z P C, on poseexp pzq “ eℜepzqeiℑmpzq

où eℜepzq est l’exponentielle réelle du nombre réel ℜe pzq et eiℑmpzq “ cos ℑm pzq ` i sin ℑm pzq.

On remarque que :– Si z P R, alors exp pzq “ eℜepzq “ ez.– Si θ P R, alors exp piθq “ ei0eiθ “ eiθ.

4.1 Propriétés

4.1.1 Propriété caractéristique de l’exponentielle

Pour z, z P C,

exp`

z ` z1˘

“ exp pzq exp`

z1˘

Démonstration

exp`

z ` z1˘

“ eℜepz`z1qeiℑmpz`z”q

“ eℜepzq`ℜepz1qeipℑmpzq`ℑmpz1qq

“ eℜepzqeiℑmpzqeℜepz1qeiℑmpz1q

“ exp pzq exp`

z1˘

4.1.2 Autres propriétés

– exp p0q “ 1 ;

– pour z P C, exp p´zq “ 1exp pzq ;

– @z P C et @n P Z, pexp pzqqn “ exp pnzq ;– |exp pzq| “ 1 ô z P iR ;



–

exp pzq “ 1 ô ei0 “ eℜepzqeiℑmpzq

ô#

eℜepzq “ 1

ℑm pzq P 2πZ

ô#

ℜe pzq “ 0

ℑm pzq P 2πZ

donc z P t2iπm{m P Zu ;– pour z, z P C,

exp pzq “ exp`

z1˘

ô exp pz1qexp pzq “ 1

ô exp`

z1 ´ z˘

“ 1

ô z1 ´ z P 2iπZ

– Étudions la surjectivité de la fonction exp ; c’est-à-dire si un complexe admet un ou plusieurs antécédentspar exp. Soit ω P C

˚, alors ω “ reiθ avec r ą 0 et θ P R. Pour z P C, on a :

exp pzq “ ω ô eℜepzqeℑmpzq “ reiθ

ô#

r “ epzq

ℑm pzq P θ ` 2πZ

ô#

ℜe pzq “ ln prqℑm pzq P arg pωq

L’ensemble des nombres complexes z vérifiant exp pzq “ ω est

tln p|ω|q ` iα|α P arg pωqu

5 Complément : astuces

5.1 Expression de Rn pzq en fonction de Un

Soit z P C. Si on connaît une racine n-ième de z notée a, alors

Rn pzq “ tau|u P Unu

5.2 Rassemblement trigonométrique

, alor a, b P R. Alors Dϕ P R tel que @x P R,

a cos pxq ` b sin pxq “a

a2 ` b2 cos px ´ ϕq

5.3 Liste de Un usuels

On pose j “ e2iπ

3 :– U2 “ t´1, 1u ;– U3 “

j, j2, 1(

;– U4 “ ti, ´i, ´1, 1u ;

– U5 “!

1, e2iπ

5 , e4iπ

5 , e´ 2iπ5 , e´ 4iπ

5

)

;

– U6 “

1, ´1, j, ´j, j2 , ´j2(

.



6 Complément : exercices classiques

6.1 Parties de C à trois éléments...

6.1.1 Parties à deux éléments

Cherchons les parties A de C à deux éléments telles que z P A ñ z2 P A.

Partie directe Soit A “ ta, bu une telle partie. Alors a2 P A et b2 P A donc a2 “ a ou a2 “ b

– Si a2 “ a, alors a “ 0 ou a “ 1˝ Si a “ 0, alors b2 P ta, bu et b ‰ 0 donc b2 ‰ 0 donc b2 “ b donc b “ 1. Ainsi A “ t0, 1u˝ Si a “ 1, alors b2 P ta, bu et b ‰ 1.

Ñ Si b2 “ b, alors A “ t0, 1uÑ Si b2 “ 1 avec b ‰ 1, alors b “ ´1 donc A “ t1, ´1u

– Si a2 “ b ô a2 ‰ a, on suppose b2 ‰ b (si b2 “ b on serait ramené au cas précédent en inversant les

lettres). On a donc

#

b2 “ a

a2 “ bñ a4 “ a ñ a3 “ 1 car a ‰ 0. Ainsi a P U3 “

1, j, j2(

où j “ e2iπ

3 . Or

a ‰ 1 donc a P

j, j2(

donc A “

j, j2(

.Les parties recherchées sont donc

A P

t0, 1u , t´1, 1u ,

j, j2((

Partie réciproque Réciproquement, il est clair que les parties trouvées conviennent.

6.1.2 Parties à 3 éléments

Cherchons les parties A de C à trois éléments telles que z P A ñ z2 P A.

Partie directe Soit A “ ta, b, cu une telle partie (avec a, b, c distincts).– Si ta, bu vérifie z P ta, bu ñ z2 P ta, bu , alors ta, bu P

t0, 1u , t´1, 1u ,

j, j2((

.˝ Si ta, bu “ t0, 1u, on ne peut avoir c2 “ c car c R t0, 1u. Mais c2 P t0, 1, cu donc c2 “ 0 ou c2 “ 1 donc

c “ ´1 car c ‰ 0. Ainsi, A “ t0, 1, ´1u.˝ Si ta, bu “ t´1, 1u, alors c2 P t´1, 1, cu et c R t´1, 1u.

Ñ Si c2 “ c, alors A “ t0, ´1, 1u.Ñ Si c2 “ 1, A n’existe pas car c R t´1, 1u.Ñ Si c2 “ ´1, alors c P t´i, iu donc A “ t´1, 1, iu ou A “ t´1, 1, ´iu.

˝ Si ta, bu “

j, j2(

, alors c R

j, j2(

et c2 P

j, j2, c(

.Ñ Si c2 “ c alors c P t0, 1u donc A “

j, j2, 1(

et A “

j, j2, 0(

.Ñ Si c2 “ j alors c P

˘j2(

or c ‰ j2 donc A “

j, j2, ´j2(

.Ñ Si c2 “ j2 alors c P t˘ju or c ‰ j donc A “

j, j2, ´j(

.On vient de traiter le cas où A contient une des sous-parties t0, 1u, t´1, 1u ou

j, j2(

.– Supposons que les sous-parties t0, 1u, t´1, 1u et

j, j2(

ne soient pas inclues dans A.˝ Si 0 P A, alors 1 R A donc A “ t0, b, cu. b2 ‰ 0 car b ‰ 0 et b2 ‰ b car b ‰ 1. Ainsi b2 “ c donc

A “

a, b, b2(

. De même c2 ‰ 0 et c2 ‰ c donc c2 “ b donc tb, cu “

j, j2(

, ce qui est impossible.˝ Si 1 P A, alors 0 R A donc A “ t1, b, cu. On ne peut avoir b2 ‰ b donc b2 “ c.Not même c2 “ b donc

tb, cu “

j, j2(

, ce qui est impossible.

˝ Si 0 R A et 1 R A, alors @z P A, z2 ‰ z. Donc a2 P A et a2 ‰ a. De même`

a2˘

2 P A et`

a2˘

2 ‰ a2.Ñ Si a4 “ a, a ‰ 0 donc a3 “ 1 donc a P

j, j2(

car a ‰ 1.; Si a “ j, alors a2 “ j2, ce qui est impossible.; Si a “ j2, alors a2 “ j, ce qui est impossible.

Ñ Si a4 ‰ a, alors`

a4˘2 P

a, a2(

donc A “

a, a2, a4(

. Or a8 P A et a8 ‰ a4 donc a8 “ a ou a8 “ a2.; Si a8 “ a2 avec a R t0, 1u, alors a6 “ 1 donc a P U6 “

˘1, ˘i, ˘j2(

. De plus a “ t´1, 1, ju estexclu.

Si a “ ´j, alors a2 “ j2 et a4 “ j, ce qui est impossible.



Si a “ j2, alors a2 “ j, ce qui est impossible.Si a “ ´j2, alors a2 “ j et a4 “ j2, ce qui est impossible.

; Si a8 “ a, alors a7 “ 1 donc a P U7z t1u donc a P

ω, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6(

où ω “ e2iπ

7 .

Si a “ ω, A “

ω, ω2, ω4(

Si a “ ω2, A “

ω, ω2, ω4(

Si a “ ω3, A “

ω3, ω5, ω6(

Si a “ ω4, A “

ω, ω2, ω4(

Si a “ ω5, A “

ω3, ω5, ω6(

Si a “ ω6, A “

ω3, ω5, ω6(

Bilan Si A est une partie vérifiant la propriété, alors les différentes valeurs de A sont :– t0, 1, ´1u– t1, ´1, iu– t1, ´1, ´iu–

j, j2, ´j(

–

j, j2, ´j2(

–

j, j2, 0(

–

j, j2, 1(

–

ω, ω2, ω4(

–

ω3, ω5, ω6(

Avec ω “ e2iπ

7 .

Partie réciproque Il est clair que toutes les parties trouvées conviennent (à vous le loisir des calculs !).

6.2 Racines n-ièmes primitives de 1

On rappelle que pour tout n ě 2,

Un “!

ωk|k P v0, n ´ 1w)

où ω “ e2iπn

Quels sont les u P Un tels que Un “

uk|k P Z(

?

Partie directe Soit u P Un et supposons que Un “ tup|p P Zu. Alors Dk P rr0, n ´ 1ss {u “ ωk. De plusω PUn “ tup|p P Zu donc Dp P Z{ω “ up “ ωkp donc

ωkp´1 “ 1 ô e2iπpkp´1q

n “ 1

Ainsi,

Dm P Z{2π pkp ´ 1qn

“ 2πm ô kp ´ 1 “ mn ô kp ´ mn “ 1

On reconnaît là une relation de Bézout, donc k ^ n “ 1. De ce fait, si ωk est une racine primitive n-ième de 1,alors k est premier avec n.

Partie réciproque Réciproquement, supposons que k ^ n “ 1. D’après le théorème de Bézout, Dp, q PZ{kp ` nq “ 1. D’où

ω “ ω1

“ ωkp`nq

“´

ωk¯p

pωnqq

“´

ωk¯p

car ωn “ 1

Ainsi pour tout l P N, ωl “`

ωk˘pl P

`

ωk˘a {a P Z

(

donc Un Ă tua{a P Zu. L’inclusion inverse étant évidente,u “ ωk est bien une racine primitive n-ième de 1.



Bilan Pour k P v0, n ´ 1w ,ωk est une racine primitive n-ième de 1 si et seulement si k ^ n “ 1.

6.3 Noyau de Fréjet

On rappelle l’expression du noyau de Dirichlet : @n P N et @x R 2πZ,

Dn pxq “ sin“`

n ` 1

2

˘

x‰

sin`

x2

˘

Si x P 2πZ,

Dn pxq “ 2n ` 1

6.3.1 Définition

Pour tout n P N, θ P R, le noyau de Fréjet est définit par :

Fn pθq “ 1n ` 1

nÿ

k“0

Dk pθq

6.3.2 Simplification de l’expression de Fn pθq

– Si θ P 2πZ, alors

Fn pθq “ 1n ` 1

nÿ

k“0

2k ` 1

“ 1n ` 1

˜

n ` 1 ` 2nÿ

k“0

k

¸

“ 1n ` 1

pn ` 1 ` n pn ` 1qq“ n ` 1

– Si θ R 2πZ, alors

Fn pθq “ 1n ` 1

nÿ

k“0

Dk pθq

“ 1n ` 1

nÿ

k“0

sin“`

k ` 1

2

˘

θ‰

sin`

θ2

˘

“ 1

pn ` 1q sin`

θ2

˘

nÿ

k“0

sin„ˆ

k ` 12

˙

θ

“ 1

pn ` 1q sin`

θ2

˘

nÿ

k“0

ℑm´

eipk` 12 qθ

¯

“ 1

pn ` 1q sin`

θ2

˘ℑm

˜

nÿ

k“0

eipk` 12 qθ

¸



Or,nÿ

k“0

eipk` 12 qθ “ ei θ

2

nÿ

k“0

´

eiθ¯k

“ ei θ2

˜

eiθpn`1q ´ 1eiθ ´ 1

¸

“ ei θ2

¨

˝

sin´

pn`1qθ2

¯

eiθ n`1

2

sin`

θ2

˘

ei θ2

˛

‚ d’après 2.4.2

“sin

´

pn`1qθ2

¯

sin`

θ2

˘ eiθ n`1

2

Ainsi,

ℑm

˜

nÿ

k“0

eipk` 12 qθ

¸

“sin2

´

pn`1qθ2

¯

sin`

θ2

˘

Donc,

Fn pθq “sin2

´

pn`1qθ2

¯

pn ` 1q sin`

θ2

˘

6.4 Polynômes de Chebychev de deuxième espèce

Soit n P N. Il s’agit de trouver un polynôme Un tel que @θ P RzπZ,

sin rpn ` 1q θssin θ

“ Un pcos θq

Soit θ P RzπZ, alors

sin rpn ` 1q θs “ ℑm´

eiθpn`1q¯

“ ℑm pi sin rpn ` 1q θs ` cos rpn ` 1q θsq“ ℑm

´

pi sin θ ` cos θqn`1

¯

“ ℑm

«

nÿ

k“0

ˆ

n ` 1k

˙

ik sink θ cosn`1´k θ

ff

“ 1i

ÿ

k “ 0k impair

ˆ

n ` 1k

˙

ik sink θ cosn`1´k θ

“ 1i

ÿ

pPNĂr0, n2 s

ˆ

n ` 12p ` 1

˙

p´1qp i`

1 ´ cos2 θ˘p

sin θ cosn´2p θ

Ainsi,

sin rpn ` 1q θssin θ

“ÿ

pPNĂr0, n2 s

ˆ

n ` 12p ` 1

˙

p´1qp`

1 ´ cos2 θ˘p

cosn´2p θ

“ Un pcos θq

Avec

Un pxq “ÿ

pPNĂr0, n2 s

ˆ

n ` 12p ` 1

˙

p´1qp`

1 ´ x2˘p

xn´2p


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