NOMBRES COMPLEXES - cesstex.be · Nombres complexes - 6e (6h) 4 2. Opérations sur les nombres...

Nombres complexes - 6e (6h) 1

NOMBRES COMPLEXES L’apport des algébristes italiens de la Renaissance A l’origine de l’apparition des nombres complexes, se trouvent les recherches menées sur la résolution des équations du troisième degré. Les mathématiciens Arabes avaient déjà obtenus des résultats significatifs dans ce domaine, en particulier Omar KHAYYAM (XIe siècle) qui donna des méthodes de résolution basées sur l’intersection d’une parabole avec une hyperbole. Les résultats des Arabes étaient probablement connus des algébristes Italiens de la Renaissance : « L’Italie de la fin du XVe siècle est active dans la production de travaux d’arithmétique pratique. Luca PACIOLI (1450-1510), frère franciscain qui occupa une chaire de mathématiques à Milan, publie le premier livre imprimé contenant véritablement de l’algèbre : Summa de aritmetica, geometria, proporzioni di proporzionalita (1494). Il y reprend la classification des Arabes pour les types d’équations du second degré. Il semble d’ailleurs que l’ensemble des acquis algébriques de ces derniers soit ici connu et assimilé et serve de point de départ aux travaux des Italiens. » Extrait de « Une Histoire des Mathématiques - Routes et Dédales » , A. DAHAN-DALMEDICO et J. PEIFFER, Éd. du Seuil, 1986. Il semble bien que la première formule de résolution d’une équation de la forme

€

x 3 = cx + b , fut proposée en 1500, par un professeur de Bologne, Scipione del FERRO (1456-1526). Malgré tous les progrès réalisés par les Arabes sur les équations cubiques, cette formule constituait une nouveauté. Mais comme c’était l’habitude à l’époque, del FERRO tint sa méthode secrète. Vers 1535, Niccolo FONTANA de Brescia (1500-1557), dit TARTAGLIA, réussit à résoudre un certain nombre d’équations du troisième degré dans le cadre d’un concours. Pour des raisons encore obscures, il accepte de dévoiler sa formule à Girolamo CARDANO (1501-1576). Celui-ci promet de la garder secrète, mais change d’avis en apprenant que del FERRO serait à l’origine de la découverte. CARDANO publie la formule dans l’Ars Magna en 1545, provoquant la rancune de TARTAGLIA pour de longues années. Voici la formule, connue depuis lors sous le nom de formule de CARDANO :

€

x =d2

+d2

4−c 3

273 − −

d2

+d2

4−c 3

273 .

CARDANO l’utilise pour résoudre des équations de la forme

€

x 3 = cx + b avec c > 0 et d > 0. Ainsi, pour l’équation

€

x 3 = 3x + 2 (

€

c = 3 et

€

d = 2 ) une solution est donnée par :

€

x = 1+ 1−13 − −1+ 1−13 = 2 . Notons bien que la formule ne fournit pas l’autre solution x = -1 que nous pourrions obtenir par la méthode de HORNER.


Dans certains cas, la méthode de CARDANO se révèle infructueuse. Ainsi, pour l’équation

€

x 3 =19x + 30 , la formule mène à une impasse car elle donne un nombre négatif sous la racine carrée. Pourtant, nous pouvons vérifier que cette équation a pour ensemble de solutions

€

S = 2,3,5{ } (le faire). Dans son Algebra, parte maggiore dell’aritmetica, divisa in tre libri, écrit en italien et paru à Bologne en 1572, Raffaele BOMBELLI trouve une manière originale pour surmonter - partiellement - ce genre de difficulté. Il étudie l’équation

€

x 3 =15x + 4 (

€

c =15 et

€

d = 4 ) dont il sait qu’elle possède le réel 4 comme solution. Il applique d’abord la formule de CARDANO :

€

x = 2 + 4 −1253 − −2 + 4 −1253 = 2 + −1213 − −2 + −1213 (1) . Le problème est de nouveau la présence de la racine carrée d’un négatif, mais BOMBELLI passe outre et accepte de la prendre en considération. Il décide en outre de lui appliquer une règle algébrique connue en considérant que

€

−121( )2

= −121 . Ce faisant, il accepte aussi que

€

−1( )2

= −1 . Au cours de ses travaux, il constate encore que

€

2 + −1( )3 =

€

23 + 3 ⋅ 22 ⋅ −1 + 3 ⋅ 2 ⋅ −1( )2

+ −1( )3

=

€

8 +12 ⋅ −1 − 6 − −1

=

€

2 +11⋅ −1

=

€

2 + −121 .

D’une façon analogue, il trouve que

€

2 − −1( )3

= 2 − −121 (vérifier). En remplaçant dans l’équation (1) , il obtient

€

x = 2 + −1( )3

3 + 2 − −1( )3

3 = 2 + −1 + 2 − −1 = 4 !

L’audace de BOMBELLI a été de donner un statut à

€

−1 avec la volonté de maintenir la validité de la formule de CARDANO.

Ce genre de démarche n’est pas sans en rappeler d’autres …

Pensons à la règle

€

ap

aq= ap−q

€

a ≠ 0( ) qui, au début de l’étude des puissances, est d’abord

établie pour p et q naturels avec

€

p > q .

Que se passe-t-il si

€

p ≤ q ? Par exemple, si l’on calcule

€

a2

a5 ?

D’une part, on a

€

a2

a5=

a ⋅ aa ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a

=1a3

. D’autre part, si l’on veut que la règle reste

valable, il faut accepter l’existence d’exposants négatifs (car

€

a2

a5= a−3 ) et leur donner un

sens qui soit cohérent avec les règles de calculs antérieures :

€

a−3 =1a3

.


Revenons à l’objet noté

€

−1 , possédant la propriété

€

−1( )2

= −1 . Il ne s’agit pas d’un nombre réel, car tout réel possède un carré positif.

De nos jours, on note

€

i = −1 avec la propriété

€

i2 = −1 . Cet objet jouit du statut de nombre et est appelé nombre imaginaire. Une des conséquences de l’existence de i est que toutes les équations du second degré admettent au moins une solution. Exemple : résoudre l’équation

€

x 2 − 2x + 5 = 0 .

Calculons le discriminant :

€

Δ = −2( )2 − 4 ⋅1⋅ 5 = −16 =16 ⋅ i2 .

Les solutions sont :

€

x1 =2 + 16 ⋅ i2

2=2 + 4i2

=1+ 2i et

€

x2 =2 − 16 ⋅ i2

2=2 − 4i2

=1− 2i . Ces solutions sont des nombres complexes, c’est-à-dire qui sont la somme d’un nombre réel et d’un multiple réel de i .

1. Définition Un nombre complexe z est un nombre qui s’écrit sous la forme

€

z = a + bi , où a et b sont des nombres réels, et i un nombre tel que

€

i2 = −1 . Le réel a est appelé partie réelle de z et l’on note

€

Re(z) = a . Le réel b est appelé partie imaginaire de z et l’on note

€

Im(z) = b . L’ensemble des nombres complexes est noté C . Étant donné que tout réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle (par exemple,

€

5 = 5 + 0 ⋅ i ), l’ensemble C contient l’ensemble R des réels. Nous avons ainsi la chaîne d’inclusion représentée par le diagramme ci-dessous.

La zone grise représente l’ensemble des nombres complexes qui ne sont pas des réels (les complexes imaginaires). Par exemple

€

z = 3− 2i . On y trouve également les imaginaires purs, c’est-à-dire les nombres complexes dont la partie réelle est nulle comme i , 3i , -2i , …


2. Opérations sur les nombres complexes Nous admettrons que l’on calcule dans C comme l’on calcule dans R , mais en tenant compte de l’égalité

€

i2 = −1 . 2.1. Addition et soustraction Prenons par exemple les nombres complexes

€

z1 = 3+ 5i et

€

z2 = 4 − 2i . Nous avons : 1°

€

z1 + z2 = 3+ 5i( ) + 4 − 2i( ) = 7 + 3i 2°

€

z1 − z2 = 3+ 5i( ) − 4 − 2i( ) = −1+ 7i On peut facilement généraliser à la somme et à la différence de deux nombres complexes

€

z1 = a + bi et

€

z2 = c + di . 2.2. Multiplication Reprenons

€

z1 et

€

z2 du paragraphe précédent :

€

z1 ⋅ z2 = 3+ 5i( ) ⋅ 4 − 2i( ) =12 − 6i + 20i−10i2 =12 +14i+10 = 22 +14i .

Cas particulier : produit de deux nombres complexes conjugués

Définition : deux nombres complexes sont dits conjugués s’ils ont la même partie réelle et des parties imaginaires opposées. Le conjugué du nombre complexe

€

z se note

€

z . Si

€

z = a + bi , on a

€

z = a − bi . Si

€

z = a + bi , on vérifie facilement que

€

z ⋅ z = a2 + b2 .

Par exemple :

€

3+ 5i( ) ⋅ 3− 5i( ) = 9 −15i +15i−25i2 = 9+25 = 34 . Puissances successives de i

€

i0 =1

€

i4 = i3 ⋅ i = −i2 =1

€

i8 =1

€

i1 = i

€

i5 = i4 ⋅ i =1⋅ i = i

€

i9 = i

€

i2 = −1

€

i6 = i5 ⋅ i = i ⋅ i = −1

€

i10 = −1

€

i3 = i2 ⋅ i = −i

€

i7 = i6 ⋅ i = −1⋅ i = −i

€

i11 = −i etc. 2.3. Division Pour diviser le complexe

€

z1 par le complexe

€

z2 , on multiplie chacun d’eux par le conjugué de

€

z2 , et on écrit le quotient sous la forme

€

a + bi . Exemple : soient les nombres complexes

€

z1 = 6 − i et

€

z2 =1+ 3i .

€

z1z2

=6 − i1+ 3i

=6 − i( ) ⋅ 1− 3i( )1+ 3i( ) ⋅ 1− 3i( )

=3−19i1+ 9

=310

−1910i


Exercices 1. Déterminer les réels x et y pour que les égalités suivantes soient vraies. Pour cela, il faut utiliser le fait que :

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.

a)

€

2x +1( ) + 3y − 2( ) =15 + 4i b)

€

x + y( ) − (2x − y) = 3+ 6i c)

€

xi − y − x + 3i = 0 2. Calculer et donner la réponse sous la forme

€

a + bi .

a)

€

2i + 3( ) + −5i +1( ) − 3− 2i( ) g)

€

11+ 3i

b)

€

2 ⋅ 3− 5i( ) h)

€

1+ i1− 2i

c)

€

3− 2i( )2 i)

€

1i

d)

€

1− i( )3 j)

€

i2 + 3i

+1

2 − 3i

e)

€

8 − 3i( ) ⋅ 8 + 3i( ) k)

€

4 − i2 − i

+4 + i2 + i

f)

€

−2 + 3 ⋅ i( )2 l)

€

1cosθ + i ⋅ sinθ

3. Montrer que

€

a + iba − ib

+a − iba + ib

(a , b ∈ R et a ou b ≠ 0) est un nombre réel et calculer ce

nombre. (ULB)


3. Équations du second degré

3.1. Équations binômes

(ou la recherche des racines carrées d’un nombre complexe) Il s’agit d’équations de la forme

€

z2 = a + bi . Les nombres z solutions d’un telle équation sont les racines carrées de

€

a + bi . Il est assez facile de montrer que tout nombre complexe admet deux racines carrées opposées. Exercice résolu

Résoudre l’équation

€

z2 = 3+ 4i (c’est-à-dire rechercher les racines carrées de

€

3+ 4i ). Solution Posons

€

z = x + yi , les nombres x et y étant des réels. Nous avons successivement :

€

x + yi( )2 = 3+ 4i ⇔

€

x 2 + 2xyi − y 2 = 3+ 4i

⇔

€

x 2 − y 2 = 3xy = 2

(1)(2)

De l’équation (2), nous tirons

€

y =2x

.

Remplaçant dans (1), nous obtenons :

€

x 2 − 4x 2

= 3 ⇒

€

x 4 − 3x 2 − 4 = 0 .

Pour résoudre cette équation bicarrée, nous posons

€

t = x 2 de façon à obtenir

€

t 2 − 3t − 4 = 0 . Cette équation du second degré d’inconnue t admet les solutions

€

t = −1 et

€

t = 4 .

Nous trouvons ainsi •

€

x 2 = −1 (à rejeter car x est un réel) ; •

€

x 2 = 4 et donc

€

x1 = −2 ou

€

x2 = 2 .

Les valeurs correspondantes de y sont :

€

y1 =2x1

= −1 et

€

y2 =2x2

=1 .

Finalement, les solutions de l’équation sont donc :

€

z1 = −2 − i et

€

z2 = 2 + i .

Exercice : résoudre les équations suivantes. a)

€

z2 = 5 + 2i d)

€

z2 = i b)

€

z2 =1 e)

€

z2 = 5 −12i c)

€

z2 + 4 = 0 f)

€

z2 = −8 − 6i


3.2. Équations complètes Un premier exemple de ce type d’équation se trouve à la page 3. Il s’agissait d’une équation du second degré complète à coefficients réels. Voici un exemple d’équation complète à coefficients complexes. Exercice résolu

Résoudre l’équation

€

2x 2 + 2 + 3i( ) ⋅ x + 2i −1= 0 . Solution Calculons le discriminant :

€

Δ = 2 + 3i( )2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2i −1( ) = 4 +12i + 9i2 −16i + 8 = 3− 4i . Pour calculer les solutions, nous avons besoin des racines carrées de Δ . Pour les trouver, nous devons donc résoudre l’équation binôme :

€

z2 = 3− 4i . En appliquant la méthode décrite au paragraphe 3.1. , nous obtenons les solutions

€

2 − i et

€

−2 + i . Les solutions de l’équation initiales sont donc :

€

x =− 2 + 3i( ) ± 2 − i( )

4 ⇒

€

x1 =−4i4

= −i et

€

x2 =−4 − 2i4

= −1− 12i .

Exercice : résoudre les équations suivantes. a)

€

x 2 + 9 = 0 f)

€

2x 2 + 2 + 3i( ) ⋅ x + 2i −1= 0 b)

€

x 2 + x +1= 0 g)

€

−3+ i( ) ⋅ x 2 + 5i −1( ) ⋅ x + 2 = 0 c)

€

x 2 + 2i +1( ) ⋅ x + 2i = 0 h)

€

x 4 + 2x 2 + 2 = 0 d)

€

2ix 2 − 1+ 2i( ) ⋅ x + i −1= 0 i)

€

ix 4 − 5i + 2( ) ⋅ x 2 + 5 ⋅ i +1( ) = 0 e)

€

ix 2 + 2 + i( ) ⋅ x − i −1( ) = 0 j)

€

x 4 −13x 2 − 36 = 0


3.3. Le théorème de d’ALEMBERT La question du nombre de racines d’une équation polynomiale est ancienne. Dès 1629, le mathématicien hollandais, né en France, Albert GIRARD (1595-1632) pensa que toute équation de degré n admettait n racines, ce qui laisse supposer que l’ensemble des nombres complexes est un cadre adéquat à la résolution des équations. Sur le même thème, l’encyclopédiste français Jean Le Rond d’ALEMBERT (1717-1783) énonça le théorème suivant : Tout polynôme à coefficients réels se factorise en un produit de polynômes à coefficients réels de degré 1 ou 2. La conséquence en est que :

Toute équation polynomiale de degré n à coefficients réels admet n solutions complexes (distinctes ou non). En effet, dans la factorisation d’un polynôme de degré n , chaque polynôme de degré 1 admet une racine, et chaque polynôme de degré 2 admet deux racines (distinctes ou non). La preuve apportée par d’ALEMBERT à ce théorème était presque complète. Il fallut attendre Carl Friedrich GAUSS (1777-1855) pour disposer d’une démonstration rigoureusement exacte. Voyons quelques exemples :

• le polynôme

€

x 3 − 2x 2 − 5x + 6 se factorise en

€

x + 2( ) ⋅ x −1( ) ⋅ x − 3( ) (on peut le vérifier avec la méthode de HORNER) ;

l’équation du 3e degré

€

x 3 − 2x 2 − 5x + 6 = 0 admet donc trois solutions : -2 , 1 et 3 ;

• le polynôme

€

x 4 + 5x 2 + 4 se factorise en

€

x 2 + 4( ) ⋅ x 2 +1( ) ; l’équation du 4e degré

€

x 4 + 5x 2 + 4 = 0 admet donc quatre solutions : -2i , -i , i et 2i ;

• le polynôme

€

x 5 − x 4 + 2x 3 − 2x 2 + x −1 se factorise en

€

x 2 +1( )2⋅ x −1( ) ;

l’équation du 5e degré

€

x 5 − x 4 + 2x 3 − 2x 2 + x −1 admet donc cinq solutions : la solution double i , la solution double -i et le réel 1 . Exercice résolu : résoudre l’équation

€

x 3 =1 . Solution Au-delà de la solution évidente x = 1 , il faut être conscient du fait que l’équation admet trois racines complexes et donc, aller plus loin. Écrivons l’équation sous la forme

€

x 3 −1= 0 et utilisons la formule de factorisation

€

a3 − b3 = a − b( ) ⋅ a2 + ab + b2( ) . Nous trouvons

€

x 3 −1= 0⇔ x −1( ) ⋅ x 2 + x +1( ) = 0 .

L’équation

€

x 2 + x +1= 0 a pour discriminant vaut -3 et admet deux solutions complexes conjuguées.

L’ensemble des solutions de l’équation de départ est

€

S = 1,−1+ 3 ⋅ i2

,−1− 3 ⋅ i2

.

Jean d’ALEMBERT


Exercices 1. Résoudre l’équation

€

z4 − z3 + 3z − 3 = 0 . 2. Déterminer le réel a pour que le polynôme

€

x 3 − 2ax 2 + 7ax − 6 soit divisible par

€

x − 2( ) . Pour cette valeur de a , décomposer le polynôme en un produit de trois polynômes à coefficients complexes.

3. Déterminer le réel a pour que le polynôme

€

z3 − az2 + 3az + 37 soit divisible par

€

z +1( ) . Pour cette valeur de a , décomposer le polynôme en un produit de trois polynômes à coefficients complexes.

4. Montrer que le polynôme

€

x 3 − 8x 2 + 25x − 26 est divisible par

€

x − 2( ) . En déduire ses zéros.

5. Montrer que le polynôme

€

2x 3 −15x 2 − 5x − 24 est divisible par

€

x − 8( ) . En déduire ses

zéros. 6. Soit le polynôme

€

x 4 + 4x 3 + 8x 2 + 4x + 7 .

a) Calculer

€

p(i) .

b) Mettre

€

p(x) sous forme d’un produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels.

c) Calculer les racines de l’équation

€

p(x) = 0 . Faculté Polytechnique de Mons 7. Soit l’équation en la variable complexe z :

€

z2 − α + 3i + 4( ) ⋅ z + 2α ⋅ i −1= 0 (avec α complexe). a) Déterminer le paramètre α pour que l’équation admette deux racines complexes

conjuguées et calculer ces racines.

b) Dans un autre cas, si une des racines est i , calculer le paramètre α et l’autre racine. 8. La fonction

€

f (z) de la variable complexe z est définie par

€

f (z) = z3 + 4 1− i( ) ⋅ z2 − 2 2 + 7i( ) ⋅ z −16 + 8i . Sachant que cette fonction admet une et une seule racine réelle, calculer ses racines.


Faculté des sciences appliquées (ULB) 9. Soit

€

p(z) = z3 + z2 + −1+ i( ) ⋅ z + 2 + 2i .

a) Montrer que z = 2 est racine de

€

p(z) = 0 .

b) Résoudre dans C l’équation

€

p(z) = 0 . 10. Dans quelle(s) condition(s) l’équation

€

x 2 + a + ib( ) ⋅ x + ′ a + i ′ b ( ) = 0 possède-t-elle deux racines égales ? (a , a’, b et b’ ∈ R) Ecrire dans ce cas l’équation en fonction de a et b et calculer la solution.

11. Trouver toutes les racines complexes de l’équation

€

9z + 2( )4

+17z + 2( )2

= 2 .

12. Sachant que a est une racine cubique complexe du nombre 1, montrer que

€

1+ a2( )4

= a . 13. Résoudre dans C l’équation

€

i ⋅ z2 − 1+ i( ) ⋅ z = 2 i −1( ) .

14. Résoudre dans C l’équation .

15. Résoudre dans C l’équation

€

z6 − 3z5 + 4z4 − 6z3 + 5z2 − 3z + 2 = 0 sachant qu’elle admet i comme racine double.

16. Soit l’équation

€

z2 + 2 α + iγ( ) ⋅ z + β 2 + 4iγ +α 2 = 0 . Déterminer α , β et γ pour que l’équation admette deux racines complexes conjuguées. Trouver ensuite ces racines.


4. Représentation géométrique et forme trigonométrique Encore un peu d’histoire … Que représente géométriquement le nombre imaginaire i ? Le danois WESSEL (1745-1818) et le genevois ARGAND (1768-1822) trouvèrent une interprétation géométrique de i en appliquant le théorème de géométrie que voici : « Dans tout triangle rectangle ABC , la hauteur est moyenne proportionnelle entre les deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse. » Dans la figure dessus, la hauteur issue de C a pour longueur h , et elle détermine sur l’hypoténuse

€

AB[ ] les segments

€

AD[ ] et

€

DB[ ] , de longueurs respectives m et n .

Dès lors :

€

mh

=hn⇒ h2 = m ⋅ n⇒ h = m ⋅ n .

En considérant l’imaginaire i dans sa relation directe avec les quantités positives et négatives, WESSEL et ARGAND appliquent ce théorème comme suit (figure ci-contre) : la distance

€

h = CD de l’origine à +1 est la moyenne géométrique des mesures algébriques1 des segments

€

AD[ ] et

€

DB[ ] , c’est-à-dire

€

h = −1⋅ +1 = −1 = i . WESSEL et ARGAND montrent ainsi la correspondance de l’imaginaire avec la direction verticale. À partir de cette idée et de l’introduction par DESCARTES de la géométrie des coordonnées (plan cartésien), GAUSS suggéra en 1831 une représentation géométrique de l’ensemble des nombres complexes : le plan complexe.

(Adapté d’un texte de l’équipe Mathécrit, Québec) 4.1. Le plan complexe (ou plan de GAUSS)

Considérons le plan muni d’un repère orthonormé. Appliquons chaque nombre complexe sur le point du plan qui a sa partie réelle comme abscisse et sa partie imaginaire comme ordonnée. Par exemple, le nombre complexe

€

z = 5 + 3i est appliqué sur le point

€

Z 5,3( ) . Le nombre complexe

€

z = 5 + 3i est appelé affixe du point

€

Z 5,3( ) . Tout nombre réel est appliqué sur un point de l’axe réel (par exemple, r = 3 ), tandis que tout nombre

imaginaire pur est appliqué sur un point de l’axe imaginaire (par exemple, j = 4i ). 1 Mesures affectées d’un signe.


Voici d’autres exemples de points du plan complexe, accompagnés de leur affixe.

Remarques • Des nombres complexes conjugués sont représentés par des points symétriques par

rapport à l’axe réel. C’est le cas de

€

4 + 2i et

€

4 − 2i , ainsi que de

€

2i et

€

−2i . • Des nombres complexes opposés sont représentés par des points symétriques par rapport

à l’origine. C’est le cas de

€

4 + 2i et

€

−4 − 2i , ainsi que de

€

2i et

€

−2i . 4.2. Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Soit un nombre complexe non nul

€

z = a + bi représenté par le point

€

Z a,b( ) . La position du point Z dans le plan complexe est entièrement déterminée par : • la distance

€

ρ = OZ ; • l’angle

€

ˆ θ = I ˆ O Z .

Étant donné que

€

a = ρ ⋅ cos ˆ θ et

€

b = ρ ⋅ sin ˆ θ , nous avons :

€

z = ρ ⋅ cos ˆ θ + ρ ⋅ sin ˆ θ ⋅ i .

Mettant ρ en évidence et désignant par θ une mesure en radians de

€

ˆ θ , nous trouvons la forme trigonométrique du nombre complexe z :

€

z = ρ ⋅ cosθ + i ⋅ sinθ( ) . Vocabulaire et notations • La distance ρ est appelée module de z , et est parfois notée

€

z . • L’angle

€

ˆ θ est appelé argument de z . • Une notation abrégée courante de la forme trigonométrique de z est :

€

z = ρ ⋅ cisθ . • L’écriture

€

z = a + bi d’un nombre complexe sera maintenant appelée forme cartésienne pour la distinguer de la forme trigonométrique.


4.2.1. Passage de la forme trigonométrique à la forme cartésienne

Exemple : quelle est la forme cartésienne de

€

z = 4 ⋅ cis π6

?

Il suffit de développer :

€

z = 4 ⋅ cis π6

= 4 ⋅ cos

π6

+ i ⋅ sin π6

= 4 ⋅

32

+ i ⋅ 12

= 2 3 + 2i .

4.2.2. Passage de la forme cartésienne à la forme trigonométrique On montre facilement que (expliquer) :

Le module ρ du nombre complexe

€

z = a + bi est donné par :

€

ρ = a2 + b2 . Pour trouver l’argument θ , on passe par sa tangente (expliquer) :

€

tanθ =ba

.

Exemple 1 : déterminer la forme trigonométrique de

€

z = − 3 + i . Commençons par situer z dans le plan complexe (figure ci-dessous).

Sachant que

€

a = − 3 et

€

b =1 , le module de z vaut :

€

ρ = a2 + b2 = 3+1 = 2 . Pour trouver l’argument, calculons sa tangente :

€

tanθ =ba

=1

− 3= −

33

.

Nous en déduisons que

€

θ = −π6

+ kπ

€

k ∈ Z( ) . Comme la figure nous montre que z est

l’affixe d’un point du deuxième quadrant, nous pouvons choisir

€

θ =5π6

.

Finalement, la forme trigonométrique de z est :

€

z = 2 ⋅ cos 5π6

+ i ⋅ sin 5π6

= 2 ⋅ cis

5π6

.


Exemple 2 : déterminer la forme trigonométrique de

€

z = −3− 2i . Comme le montre la figure ci-contre, le nombre complexe z est cette fois l’affixe d’un point du troisième quadrant. Sachant que

€

a = −3 et

€

b = −2 , le module de z vaut :

€

ρ = a2 + b2 = 9 + 4 = 13 . Pour trouver l’argument, calculons sa tangente :

€

tanθ =ba

=−2−3

=23

.

Nous en déduisons que

€

θ ≈ 0,59 + kπ

€

k ∈ Z( ) . Nous pouvons choisir

€

θ ≈ 0,59 + π ≈ 3,73 . Finalement, la forme trigonométrique (approximative) de z est :

€

z ≈ 13 ⋅ cos3,73+ i ⋅ sin3,73( ) = 13 ⋅ cis 3,73( ) . Rien n’empêche d’utiliser une mesure en degrés de l’argument. Nous avons donc aussi :

€

z ≈ 13 ⋅ cos213,7° + i ⋅ sin213,7°( ) = 13 ⋅ cis 213,7°( ) .

Exercices 1. Écrire sous forme cartésienne les nombres complexes suivants. Les représenter dans le

plan de GAUSS.

3.

€

z =10 ⋅ cis 60°( ) c)

€

z =12⋅ cis 3π

4

4.

€

z = 2 ⋅ cis 7π6

d)

€

z = 3 ⋅ cis −90°( )

2. Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants. Les représenter dans

le plan de GAUSS.

a)

€

z =1+ i f)

€

z = −4i

b)

€

z = 3 − 3i g)

€

z =1+ 3 ⋅ i

c)

€

z = 3i − 2 h)

€

z =1− 3 ⋅ i

d)

€

z = −12

+32i i)

€

z = −2 3 − 2i

e)

€

z = 7 j)

€

z =−11+ i

3. Comparer les module et argument de deux nombres complexes conjugués.


5. Opérations sur les nombres complexes écrits sous forme trigonométrique 5.1. Produit de deux nombres complexes écrits sous forme trigonométrique Calculons le produit de deux nombres complexes non nuls

€

z1 = ρ1 ⋅ cisθ1 et

€

z1 = ρ2 ⋅ cisθ2 (détailler les calculs si nécessaire ; revoir les formules trigonométriques d’addition).

€

z1 ⋅ z2 =

€

ρ1 ⋅ cosθ1 + i ⋅ sinθ1( ) ⋅ ρ2 ⋅ cosθ2 + i ⋅ sinθ2( ) =

€

ρ1 ⋅ ρ2 ⋅ cosθ1 ⋅ cosθ2 − sinθ1 ⋅ sinθ2( ) + i ⋅ sinθ1 ⋅ cosθ2 + sinθ2 ⋅ cosθ1( )[ ] =

€

ρ1 ⋅ ρ2 ⋅ cos θ1 + θ2( ) + i ⋅ sin θ1 + θ2( )[ ] =

€

ρ1 ⋅ ρ2 ⋅ cis θ1 + θ2( )

Les nombres complexes

€

z1 et

€

z2 étant non nuls, le nombre complexe

€

z1 ⋅ z2 • a pour module le produit des modules de

€

z1 et

€

z2 ; • a pour argument la somme des arguments de

€

z1 et

€

z2 . Ce résultat se traduit par la formule

€

ρ1 ⋅ cisθ1( ) ⋅ ρ2 ⋅ cisθ2( ) = ρ1 ⋅ ρ2 ⋅ cis θ1 + θ2( ) .

5.2. Quotient de deux nombres complexes écrits sous forme trigonométrique Calculons le produit de deux nombres complexes non nuls

€

z1 = ρ1 ⋅ cisθ1 et

€

z1 = ρ2 ⋅ cisθ2 (détailler les calculs si nécessaire ; revoir les formules trigonométriques d’addition).

€

z1z2

=

€

ρ1 ⋅ cosθ1 + i ⋅ sinθ1( )ρ2 ⋅ cosθ2 + i ⋅ sinθ2( )

=

€

ρ1 ⋅ cosθ1 + i ⋅ sinθ1( ) ⋅ cosθ2 − i ⋅ sinθ2( )ρ2 ⋅ cosθ2 + i ⋅ sinθ2( ) ⋅ cosθ2 − i ⋅ sinθ2( )

=

€

ρ1 ⋅ cosθ1 ⋅ cosθ2 + sinθ1 ⋅ sinθ2( ) + i ⋅ sinθ1 ⋅ cosθ2 − sinθ2 ⋅ cosθ1( )[ ]ρ2 ⋅ cos

2θ2 + sin2θ2( )

=

€

ρ1ρ2⋅ cos θ1 −θ2( ) + i ⋅ sin θ1 −θ2( )[ ]

=

€

ρ1ρ2⋅ cis θ1 −θ2( )


Les nombres complexes

€

z1 et

€

z2 étant non nuls, le nombre complexe

€

z1z2

• a pour module le quotient des modules de

€

z1 et

€

z2 ; • a pour argument la différence des arguments de

€

z1 et

€

z2 . Ce résultat se traduit par la formule :

€

ρ1 ⋅ cisθ1ρ2 ⋅ cisθ2

=ρ1ρ2⋅ cis θ1 −θ2( ) .

Cas particulier : inverse d’un nombre complexe Étant donné que le réel 1 a pour module 1 et pour argument 0 , on a :

€

1= cis 0( ) . Dès lors, si

€

z = ρ ⋅ cisθ , par application du résultat précédent, nous obtenons :

€

1z

=cis 0( )ρ ⋅ cis θ( )

=1ρ⋅ cis 0 −θ( ) =

1ρ⋅ cis −θ( )

L’inverse d’un nombre complexe non nul z est le nombre complexe

€

1z

dont • le module est l’inverse du module de z ; • l’argument est l’opposé de l’argument de z . Ce résultat se traduit par la formule

€

1ρ ⋅ cis θ( )

=1ρ⋅ cis −θ( ).

5.3. Puissance nème d’un nombre complexe (formule de DE MOIVRE) Abraham DE MOIVRE (1667-1754), né en France dans une famille protestante, s’intéresse très tôt à la physique et aux mathématiques. Peu après la révocation de l’édit de Nantes en 1685, il émigre vers l’Angleterre où il se lie d’amitié avec NEWTON dont il admire les travaux. DE MOIVRE étudie notamment de manière approfondie la méthode des fluxions2 de NEWTON. Ce dernier aurait même répondu à quelqu’un qui l’interrogeait sur cette méthode « Go to Mr DE MOIVRE, he knows these things better than i do ». On attribue à DE MOIVRE la formule relative une la puissance naturelle non nulle d’un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique :

€

cosθ + i ⋅ sinθ( )n = cos nθ( ) + i ⋅ sin nθ( )

2 Terme utilisé par NEWTON pour désigner notre actuelle dérivée.

Abraham DE MOIVRE


En utilisant l’écriture abrégée, la formule de DE MOIVRE s’écrit :

€

cisθ( )n = cis nθ( ) . Exemple :

€

cis(25°)( )3 = cis 3 ⋅ 25°( ) = cis(75°) Démonstration par récurrence de la formule de DE MOIVRE

1° Si n = 1 , la formule est vraie. En effet :

€

cosθ + i ⋅ sinθ( )1 =1⋅ cosθ + i ⋅ sinθ( ) . 2° Supposons la formule vraie pour n = k - 1 (hypothèse de récurrence) et démontrons qu’elle est vraie aussi pour n = k .

€

cosθ + i ⋅ sinθ( )k =

€

cosθ + i ⋅ sinθ( )k−1 ⋅ cosθ + i ⋅ sinθ( ) =

€

cos k −1( )θ + i ⋅ sin k −1( )θ[ ] ⋅ cosθ + i ⋅ sinθ( ) (par H.R) =

€

cos k −1( )θ ⋅ cosθ − sin k −1( )θ ⋅ sinθ

€

+i ⋅ cos k −1( )θ ⋅ sinθ + sin k −1( )θ ⋅ cosθ( ) =

€

coskθ + i ⋅ sinkθ Extensions de la formule de DE MOIVRE • La formule que nous venons d’énoncer pour

€

n ∈ N0 , est valable pour tout

€

n ∈ Z . •

€

cosθ − i ⋅ sinθ( )n = cos nθ( ) − i ⋅ sin nθ( ) (vérifier).

Exercice résolu : calculer

€

1+ i( )3 et

€

1+ i( )20 . Solution S’il est relativement facile de calculer algébriquement la première expression, cela paraît nettement plus fastidieux pour la seconde !

€

1+ i( )3 =1+ 3i + 3i2 + i3 = −2 + 2i

€

1+ i( )20 = ... . Il est utile d’écrire

€

1+ i( ) sous forme trigonométrique et d’appliquer la formule de DE

MOIVRE.

D’abord :

€

1+ i = 2 ⋅ cisπ4

(vérifier). Ensuite :

€

1+ i( )3 = 2 ⋅ cisπ4

3

= 2( )3⋅ cis 3π

4= 2 2 ⋅ − 2

2+ i ⋅ 2

2

= −2 + 2i

€

1+ i( )20 = 2 ⋅ cisπ4

20

= 2( )20⋅ cis20π

4= 210 ⋅ cis 5π( ) = 210 ⋅ −1( ) = −1024

Remarque : une petite astuce algébrique permet aussi de calculer

€

1+ i( )20 ; chercher …


Exercices (produits, quotients et puissances) 1. Effectuer les opérations suivantes et donner les réponses sous forme trigonométrique et

sous forme cartésienne. Représenter dans le plan de GAUSS.

a)

€

2 ⋅ cisπ4

⋅13⋅ cisπ

3

e)

€

1+ i1− i

b)

€

10 ⋅ cis(100°)( ) ⋅ cis(140°)( ) f)

€

i ⋅ cisπ6

c)

€

6 ⋅ cis(170°)3 ⋅ cis(50°)

g)

€

4 ⋅ cis 3π4

2 ⋅ cis(π )

d)

€

1

2 ⋅ cisπ6

h)

€

2 ⋅ cisπ3

2

⋅ 3 ⋅ cisπ4

3

2. Déterminer la forme trigonométrique de :

a)

€

1+ i( ) ⋅ 3 − 3i( )

b)

€

1+ i3 − 3i

3. Soient les nombres complexes

€

z1 = 3 + i et

€

z2 =1− i .

a) Calculer le rapport

€

z1 z2 de deux manières.

b) En déduire les valeurs de

€

cos 5π12

et de

€

sin 5π12

. 4. Calculer à l’aide de la formule de DE MOIVRE.

a)

€

cisπ6

7

e)

€

3+ 3i( )14

b)

€

5 + 5i( )6 f)

€

2 ⋅ cisπ3

7

(calculer le module)

c)

€

3 + i( )30

g)

€

1− i( )10

d)

€

1+ i2

100

⋅12

+32i

30

h)

€

11− i( )8

5. En utilisant la formule de DE MOIVRE, établir les formules de trigonométrie donnant

€

sin3x et

€

cos3x en fonction de

€

sin x et

€

cos x .


5.4. Racines nèmes d’un nombre complexe Définition : un nombre complexe z est une racine nème d’un nombre complexe u si et seulement si

€

zn = u

€

n ∈ N( ) . Propriété préparatoire : si deux nombres complexes écrits sous forme trigonométrique sont égaux, alors ils ont le même module, et leurs arguments sont égaux à

€

k ⋅ 2π près (

€

k ∈ Z ). L’égalité des arguments est due au fait que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période

€

2π . Exercice résolu 1

Résoudre dans C l’équation

€

z4 =1− 3 ⋅ i , c’est-à-dire déterminer les racines quatrièmes du nombre complexe

€

1− 3 ⋅ i . Solution Écrivons d’abord le second membre de l’équation sous forme trigonométrique (vérifier) :

€

1− 3 ⋅ i = 2 ⋅ cis −π3

.

Écrivons aussi l’inconnue sous forme trigonométrique :

€

z = ρ ⋅ cisθ . En utilisant la formule de DE MOIVRE, l’équation

€

z4 =1− 3 ⋅ i s’écrit alors :

€

ρ4 ⋅ cis 4θ( ) = 2 ⋅ cis −π3

.

En vertu de la propriété énoncée ci-dessus, cette égalité entre deux nombres complexes a pour conséquence :

€

ρ4 = 2 et

€

4θ = −π3

+ k ⋅ 2π ou encore

€

ρ = 24 et

€

θ = −π12

+ k ⋅ π2

Nous pouvons maintenant écrire les solutions de l’équation, en faisant varier la valeur de k :

k = 0

€

z0 = 24 ⋅ cis − π12

k = 1

€

z1 = 24 ⋅ cis − π12

+π2

= 24 ⋅ cis 5π

12

k = 2

€

z2 = 24 ⋅ cis − π12

+ π

= 24 ⋅ cis 11π

12

k = 3

€

z3 = 24 ⋅ cis − π12

+3π2

= 24 ⋅ cis 17π

12

k = 4

€

z4 = 24 ⋅ cis − π12

+ 2π

= 24 ⋅ cis − π

12

Il suffisait de prendre k = 0 , 1 , 2 et 3 , car à partir de k = 4 , nous retrouvons les solutions déjà obtenues.


Nous pouvons facilement visualiser les solutions dans le plan de GAUSS. Elles correspondant à des points se trouvant sur un cercle centré à l’origine et de rayon

€

24 . Pour passer d’une solution à l’autre, on ajoute

€

π 2 à son argument. Ces points sont donc les sommets d’un carré.

Cas particulier : racines nèmes de l’unité Exercice résolu 2

Résoudre dans C l’équation

€

z5 =1 , c’est-à-dire déterminer les racines cinquièmes de l’unité. Solution

Posons

€

z = ρ ⋅ cisθ . Sachant que

€

1= cis 0( ) , l’équation

€

z5 =1 peut s’écrire :

€

ρ5 ⋅ cis 5θ( ) = cis 0( ) .

Nous en déduisons :

€

ρ5 =1 et

€

5θ = 0 + k ⋅ 2π ou encore

€

ρ =1 et

€

θ = k ⋅ 2π5

Toutes les racines cinquièmes de l’unité s’obtiennent en faisant varier k de 0 à 4 .

k = 0

€

z0 = cis 0( ) =1

k = 1

€

z1 = cis 2π5

k = 2

€

z2 = cis 4π5

k = 3

€

z3 = cis 6π5

k = 4

€

z4 = cis 8π5

Notons que pour k = 0 , nous retrouvons la solution évidente z = 1 .


Dans le plan de GAUSS, les racines cinquièmes de l’unité sont représentées par les sommets d’un pentagone régulier, inscrit dans un cercle de rayon 1 .

Généralisations En suivant une démarche analogue à celle des exercices résolus 1 et 2, on peut montrer que :

Tout nombre complexe

€

z = r ⋅ cisϕ admet n racines nèmes distinctes données par

€

zk = rn ⋅ cis ϕ + k ⋅ 2πn

avec

€

k ∈ 0,1,2,...,n −1{ } .

Le réel 1 admet n racines nèmes distinctes (racines nèmes de l’unité) données par

€

zk = cis k ⋅ 2πn

avec

€

k ∈ 0,1,2,...,n −1{ } .

Exercices 1. Résoudre les équations suivantes et représenter les solutions dans le plan de GAUSS.

a)

€

z3 =1 d)

€

z5 = 3+ 3 ⋅ i

b)

€

z3 = −8i e)

€

z2 = 3 + i

c)

€

z4 =1− i f)

€

z5 = −1

2. Vérifier que

€

2 3 + i est une racine cubique de

€

18 3 + 35 ⋅ i .


Exercices variés 1. Calculer de deux manières différentes

€

cosa + i ⋅ sina( ) ⋅ cosb + i ⋅ sinb( ) . Que peut-on en déduire ?

2. Calculer

a)

€

1+ i 3( )8

+ 1− i 3( )8

b)

€

1+ i 3( )8− 1− i 3( )

8

3. Étant donné un nombre naturel n supérieur à 1 , démontrer que la somme des racines de

l’équation

€

zn =1 est nulle. Démontrer qu’il en va de même pour l’équation

€

zn = −1 .

4. a) Calculer

€

cosπ8

et

€

sinπ8

.

b) En déduire

€

2 + 2 + i 2 − 2( )8

.

5. a) Calculer

€

(2 − i)3 .

b) Résoudre l’équation

€

z3 = 2 −11i . 6. Soient x , y et z des nombres complexes de module 1 .

Résoudre le système

€

x + y + z =1xyz =1

7. Montrer que si

€

z +1z

= 2cosθ , alors

€

zn +1zn

= 2cosnθ .

8. On considère le nombre complexe

€

z = cos 2π5

+ i.sin 2π5

.

a) Calculer

€

z5 .

b) On pose

€

u = z + z4 et

€

v = z2 + z3 . Calculer u + v et u . v . En déduire u et v .

c) Exprimer

€

cos 2π5

en fonction de u . En déduire

€

cos 2π5

.

9. Quel est l’ensemble des points images des nombres complexes z tels que

€

z +4z

soit

réel ?

Résoudre les équations

€

z +4z

= 5 et

€

z +4z

= 2 . Représenter les points images des

solutions.


10. a) Déterminer le module et l’argument de

€

z =1

i + tgα .

b) Quel est l’ensemble des points images de z quand α est un paramètre ?

En déduire une construction simple du point image de

€

z =1

i + tg 7π8

.

11. Démontrer que

€

cos 2π7

+ cos 4π7

+ cos 6π7

= −12

.

12. Résoudre dans C l’équation

€

2z2(1− cos2θ) − 2z.sin2θ +1= 0 dans laquelle z est

l’inconnue et θ un paramètre réel tel que

€

−π2≤θ ≤

π2

et θ ≠ 0 .

Indications : exprimer 1 – cos 2θ en fonction de sin θ et sin 2θ en fonction de sin θ et cos θ ; utiliser les formules de DE MOIVRE pour simplifier le résultat.


6. Interprétation géométrique des opérations sur les nombres complexes 6.0. Mise au point préalable : affixe d’un vecteur Dans le plan de GAUSS, nous savons déjà que si le point Z représente le nombre complexe

€

z = x + yi , celui-ci s’appelle l’affixe du point Z . Par extension, nous dirons que

€

z = x + yi est l’affixe du vecteur

€

OZ ( O étant l’origine), ou, plus généralement, du vecteur

€

v de composantes

€

x,y( ) . Le lien immédiat entre l’affixe et les composantes d’un vecteur nous indique que l’affixe du vecteur

€

AB est égale à la différence entre l’affixe de son extrémité et celle de son origine. Par exemple, si les affixes des points A et B sont respectivement

€

a =1+ 2i et

€

b = 6 + 3i (figure ci-contre), celle du vecteur

€

AB est

€

b − a = 5 + i .

6.1. Addition - Translation Exemple Soit les nombres complexes

€

z = 5 + 2i et

€

c = −2 + 3i . Représentons

€

z + c = 3+ 5i dans le plan de GAUSS.

D’un point de vue géométrique, nous voyons que le point

€

′ Z , d’affixe

€

z + c , est l’image du point Z par la translation de vecteur

€

OC .

L’application de C dans C :

€

z→ z + c (ajouter à un complexe quelconque z un complexe donné c ), correspond, dans le plan de GAUSS, à une translation de vecteur d’affixe c .


6.2. Multiplication par un réel non nul - Homothétie Exemple

Soit le nombre complexe

€

z = −2 +32i et le réel k = 3 . Représentons

€

k ⋅ z = −6 +92i dans le

plan de GAUSS.

D’un point de vue géométrique, nous voyons que le point

€

′ Z , d’affixe

€

k ⋅ z , est l’image du point Z par l’homothétie de centre O et de rapport 3 . La partie réelle (imaginaire) de

€

′ z est égale à 3 fois celle de z . Si nous comparons les formes trigonométriques, le module de

€

′ z est égal à 3 fois celui de z , tandis que l’argument de

€

′ z est celui de z . L’application de C dans C :

€

z→ k ⋅ z (multiplier un complexe quelconque z par un réel non nul donné k ), correspond, dans le plan de GAUSS, à une homothétie de centre O et de rapport k. 6.3. Multiplication par un nombre complexe de module 1 - Rotation Exemple Soit le nombre complexe

€

z = 3+ 2i et le nombre complexe

€

u = cis 30°( ) (de module 1 ). Représentons

€

z ⋅ u = 3+ 2i( ) ⋅ cis 30°( ) dans le plan de GAUSS. Écrivons d’abord z sous forme trigonométrique. Son module vaut

€

13 et son argument

vaut

€

arctan 23

≈ 33,69° .

Effectuons le produit :

€

z ⋅ u ≈ 13 ⋅ cis 33,69°( ) ⋅ cis 30°( ) = 13 ⋅ cis 63,69°( ) . Nous obtenons un complexe de même module que z et d’argument égal à la somme des arguments de z et de u . Le point représentant ce produit est donc l’image du point représentant z par une rotation de centre O et d’angle 30° .


L’application de C dans C :

€

z→ z ⋅ cisθ (multiplier un complexe quelconque z par un complexe de module 1 donné u ), correspond, dans le plan de GAUSS, à une rotation de centre O et d’angle θ . Cas particuliers (expliquer) • Si on multiplie un nombre complexe par i , alors son point image subit une rotation de

centre O et d’angle 90° . • Si on multiplie un nombre complexe par ( - i ), alors son point image subit une rotation

de centre O et d’angle - 90° . 6.4. Multiplication par un nombre complexe quelconque - Similitude directe Exemple Soit les nombres complexes

€

z = 3+ 2i et

€

v = 2 ⋅ cis 30°( ) . Représentons

€

z ⋅ v = 3+ 2i( ) ⋅ 2 ⋅ cis 30°( ) dans le plan de GAUSS. Nous savons déjà que

€

z ≈ 13 ⋅ cis 33,69°( ) . Effectuons le produit de z par v :

€

z ⋅ v ≈

€

13 ⋅ cis 33,69°( ) ⋅ 2 ⋅ cis 30°( )

=

€

2 13 ⋅ cis 63,69°( ) Nous obtenons un complexe dont le module est le produit des modules de z et de v , et dont l’argument égal à la somme des arguments de z et de v . Le point représentant ce produit est donc l’image du point représentant z par une rotation de centre O et d’angle 30° , suivie d’une homothétie de centre O et de rapport 2 .


Remarque La composée d’une rotation de centre O et d’angle θ , et d’une homothétie de centre O et de rapport k non nul, est appelée une similitude directe. L’application de C dans C :

€

z→ z ⋅ v avec

€

v = ρ ⋅ cisθ (multiplier un complexe quelconque z par un complexe donné v ), correspond, dans le plan de GAUSS, à une rotation de centre O et d’angle θ , suivie d’une homothétie de centre O et de rapport ρ . Exercices 1. Dans le plan de GAUSS, représenter les points P d’affixe

€

p = 2 + i et Q d’affixe

€

q =1− 2i . Ensuite, construire les points dont les affixes sont données ci-dessous. Préciser chaque fois les transformations du plan utilisées.

a)

€

2p + q

b)

€

p ⋅ q

c)

€

p − q( )2 2. Dans le plan de GAUSS d’origine O , on donne le point Z d’affixe

€

3− 3i . Déterminer l’affixe du point

€

′ Z , image du point Z par :

a) la translation de vecteur

€

v d’affixe

€

2 − 2i et la rotation d’origine O et d’angle 315° ;

b) la rotation d’origine O et d’angle - 90° suivie de l’homothétie de centre O et de rapport - 2 .

3. Dans le plan de GAUSS d’origine O , on donne le point P d’affixe

€

−2 + 2i . Déterminer l’affixe du point

€

′ P , image du point P par :

a) la translation de vecteur

€

v 1,−1( ) ;

b) l’homothétie h de centre O et de rapport - 2 ;

c) la rotation r de centre O et d’angle 150° ;

d) la composée des trois transformations précédentes ;

e) la similitude

€

r h . 4. Une translation t , appliquée trois fois de suite au point P d’affixe

€

2 + i , donne le point

€

′ P d’affixe

€

1+ 2i comme image. Quelle est l’affixe du vecteur de la translation ? 5. Même question qu’à l’exercice 5, lorsque la transformation appliquée trois fois de suite à

P est une :

a) homothétie de centre O et de rapport k ;

b) une rotation de centre O et d’angle θ .


7. Faire de la géométrie avec les nombres complexes3 7.1. Quelques situations géométriques Considérons les points A , B , C , D , … deux à deux distincts dont les affixes respectives sont a , b , c , d , … (éléments de C ). Alignement de trois points Exprimer que les trois points A , B et C sont alignés. La condition vectorielle d’alignement est :

∃ k ∈ R tel que

€

AC = k ⋅ AB . Cette condition se traduit sur les affixes par :

€

c − a = k ⋅ (b − a) (avec

€

k ∈ R ) .

Les points A , B et C sont alignés si et seulement si

€

c − ab − a

∈ R .

Exemple : les points

€

A 2,2( ) ,

€

B 4,3( ) et

€

C 8,5( ) sont-ils alignés ?

Ils sont alignés car :

€

c − ab − a

=8 + 5i( ) − 2 + 2i( )4 + 3i( ) − 2 + 2i( )

=6 + 3i2 + i

=6 + 3i( ) ⋅ 2 − i( )2 + i( ) ⋅ 2 − i( )

=155

= 3∈ R .

Perpendicularité de deux droites Exprimer que deux droites AB et CD sont perpendiculaires.

Le vecteur

€

CD est l’image du vecteur

€

AB par une rotation de centre O et d’angle 90° , suivie d’une homothétie de centre O et de rapport k (considérer les représentants d’origine O de ces deux vecteurs). Sur les affixes des vecteurs, cela se traduit par :

€

d − c = b − a( ) ⋅ i ⋅ k ⇔

€

d − cb − a

= k ⋅ i (car

€

b − a ≠ 0 ).

Les droites AB et CD sont perpendiculaires si et seulement si

€

d − cb − a

est un imaginaire pur.

3 Ce paragraphe est adapté de l’ouvrage Des grandeurs aux espaces vectoriels (2002), Centre de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques, Nivelles.


Exemple : étant donnés les points

€

A −1,2( ) ,

€

B 2,3( ) ,

€

C 6,−2( ) et

€

D 2,10( ) , les droites AB et CD sont-elles perpendiculaires ? Elles sont perpendiculaires car :

€

d − cb − a

=2 +10i( ) − 6 − 2i( )2 + 3i( ) − −1+ 2i( )

=−4 +12i3+ i

=−4 +12i( ) ⋅ 3− i( )3+ i( ) ⋅ 3− i( )

=40i10

= 4i ∈ I .

Exercice Dans l’esprit des deux exemples précédents, écrire des relations entre des affixes pour exprimer un fait géométrique. a) Exprimer qu’un triangle ABC est rectangle isocèle de sommet A . b) Exprimer qu’un quadrilatère ABCD est un carré. c) Exprimer qu’un triangle ABC est équilatéral. 7.2. Quelques problèmes Notre objectif est maintenant d’utiliser l’aspect géométrique des opérations sur les nombres complexes pour établir des propriétés géométriques de figures planes. Bien que cette méthode ne soit guère différente de celle qui utilise les vecteurs, il faut souligner qu’elle présente un avantage au niveau des rotations : pour en effectuer une, il suffit en effet de multiplier par le nombre complexe adéquat. Notons enfin que les problèmes qui suivent peuvent être résolus par la méthode synthétique, en exploitant les propriétés des transformations du plan.

Problème 1 (résolu) Soient A , B et M trois points non alignés du plan. Au point M , on associe le point R , milieu de

€

BM[ ] . Soient encore le point S , symétrique de R par rapport au point A , et le point P , intersection des droites MS et AB . Qu’advient-il du point P lorsque le point M se déplace dans le plan ?

Solution Plaçons l’origine du repère en A , et le point unité sur l’axe réel en B . Les affixes des points A et B sont respectivement

€

0 + 0i et

€

1+ 0i . Notons

€

m = λ + µi l’affixe du point mobile M .

L’affixe de R , milieu de

€

BM[ ] , est alors

€

r =λ +12

+µ2i , et celle de S , symétrique de R

par rapport à l’origine A est

€

s = −λ +12

−µ2i .


Désignant par p l’affixe de P , l’alignement des points M , P et S peut s’exprimer vectoriellement par

€

MP = k ⋅ MS , et donc par la relation suivante sur les affixes :

€

p −m = k ⋅ s−m( ) .

L’affixe de P est donc :

€

p = λ + µi( ) + k ⋅ − λ +12

−µ2i − λ −µi

.

En regroupant les parties réelles et imaginaires, nous obtenons :

€

p = λ − k ⋅ 3λ +12

+ µ ⋅2 − 3k2

i .

Comme P est sur l’axe réel, la partie imaginaire de son affixe est nulle, ce qui donne

€

k =23

.

En remplaçant k par cette valeur, on obtient finalement

€

p =13

+ 0 ⋅ i .

Nous en déduisons que P est un point fixe, situé sur la droite AB , à une distance

€

AB3

de

A , du côté opposé à B .

Problème 2 On donne deux triangles isocèles OAB et OCD rectangles en O . Montrer que la médiane issue du sommet O de l’un des deux triangles AOD ou COB est hauteur de l’autre. Problème 3 Le triangle ABC est équilatéral et G désigne son centre. Si D est un point de

€

BC[ ] , on construit les triangles équilatéraux BED et DFC , extérieurs au triangle ABC , et de centres respectifs H et J . Démontrer que le triangle GHJ est également équilatéral. Problème 4 (les trois carrés) On donne un segment

€

OB[ ] et un point A de ce segment. D’un même côté de OB , on construit les carrés de côtés

€

OA[ ] et

€

AB[ ] , de l’autre côté, le carré de côté

€

OB[ ] . Désignons par C , D et E les centres respectifs des trois carrés. Démontrer que BC est perpendiculaire à DE . Montrer en outre que

€

BC = DE . Problème 5 (les quatre carrés) On construit quatre carrés sur les côtés d’un parallélogramme extérieurement à celui-ci. Démontrer que les centres de ces carrés sont les sommets d’un carré.

NOMBRES COMPLEXES - cesstex.be · Nombres complexes - 6e (6h) 4 2. Opérations sur les nombres...

Documents

Transcript of NOMBRES COMPLEXES - cesstex.be · Nombres complexes - 6e (6h) 4 2. Opérations sur les nombres...