Nombres et fonctions complexes - Collège du...

Collège du Sud, Bulle

3ème - 4ème année , OS PAM

Applications des mathématiques

Nombres et fonctions complexes

Edition 2016/2017

d’après Marcel Délèze, Nicolas Gremaud et Eugène Pasquier

http://applmaths.collegedusud.ch/

1. Le corps des nombres complexes

Extensions successives

Certaines équations à coefficients naturels ont leurs solutions dans

a , b x a b

Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation

1 x 0 et x

est vide. On peut contruire une extension de , appelée ensemble des entiers relatifs et notée ,

dans laquelle l'équation précédente possède une solution notée x 1. Les équations suivantes

possèdent une solution entière

a , b x a b

a , b x a b


2 x 1 et x

est vide. On peut construire une extension de , appelée corps des nombres rationnels et notée ,

dans laquelle l'équation précédente possède une solution notée x1

2. Les équations suivantes

possèdent une solution rationnelle

a , b xa

b

a x a2


x2 2 et x

est vide. On peut contruire une extension de , appelée corps des nombres réels et notée , dans

laquelle l'équation précédente possède deux solutions notées x 2 et x 2 . Par contre,

l'ensemble des solutions de l'équation

x2 1 et x

est vide. Nous allons définir un nouveau “corps” dans lequel cette équation possède des solutions

mais commençons par préciser ce que nous entendons par “corps”.

Définition d'un corps

Un corps est un triplet K, , où K désigne un ensemble de "nombres" muni de deux opérations

internes : l'addition notée + et la multiplication notée . La priorité des opérations est analogue à ce

que nous connaissons dans . Les propriétés suivantes doivent être vérifiées :

2 |Applications des mathématiques

Printed by Wolfram Mathematica Student Edition

K, est un groupe commutatif, c’est-à-dire que nous avons les propriétés suivantes :

x, y K x y K

x, y, z K x y z x y z

0 K x K 0 x x 0 x

x K x K x x 0

x, y K x y y x

K , est un groupe commutatif , où K K\ 0 , c’est-à-dire que nous avons les propriétés

suivantes :

x, y K x y K

x, y, z K x y z x y z

1 K x K 1 x x 1 x

x K1

xK x

1

x1

x, y K x y y x

Distributivité

x, y, z K x y z x y x z

Remarques

1 0 est appelé élément neutre de l’addition et 1 est appelé élément neutre de la

multiplication.

2 x est appelé l’opposé de x et on peut montrer qu’il est unique.

31

xest appelé l’inverse de x et on peut montrer qu’il est unique.

4 A partir de la définition de l’opposé, nous définissons la soustraction : x y x y .

5 A partir de la définition de l’inverse, nous définissons la division : x

yx

1

y pour y 0

Propriétés

1 x 1 x x K

2 0 x 0 x K

3a

b

c

d

a c

b da, c K b, d K

4a b

c

a

c

b

ca, b K c K

En fait, il est possible de montrer que les règles de calcul correspondent aux règles de calcul

habituelles utilisées avec les nombres réels. La correspondance existe aussi pour les puissances

qui se définissent sur un corps quelconque K de la même façon que sur . Nous avons alors les

mêmes règles : par exemple, a b 2 a2 2 a b b2, a, b K.

Exemples

( , +, ) est un corps.

( , +, ) est un corps.

L'ensemble des nombres entiers réduits modulo un nombre premier est un corps (ceci est à la

base du système cryptographique RSA).

Nombres et fonctions complexes | 3


Contre-exemples

, , n'est pas un corps.

, , n'est pas un corps.

( \ , , n'est pas un corps.

L' ensemble des fonctions réelles définies sur ]0; 1[, muni de l' addition et de la multiplication des

fonctions usuelles, n'est pas un corps

Le problème de l'extension des nombres réels

On aimerait contruire une extension de , appelée corps des nombres complexes et notée , dans

laquelle l'équation x2 1 possède deux solutions notées x i.

On cherche à définir un corps , , tel que

1 contient ;

2 les restrictions des opérations + et de à sont les opérations usuelles de ;

3 contient un nombre i tel que i2 1.

Construction du corps des nombres complexes

Définition de

Géométriquement, les réels sont représentés par une droite continue. Selon une idée due à Gauss

(1799), nous prenons pour l'ensemble des vecteurs du plan

a

ba , b

Pour faire en sorte que , nous identifions la droite des nombres réels à la première

composante

a

0a, en particulier

1

01

La deuxième composante des nombres complexes est désignée par le facteur de i

0

bb i, en particulier

0

1i

Définition de l'addition

L'addition des nombres complexes coïncide avec l'addition usuelle des vecteurs du plan.

a

b

a

0

0

ba b i

C'est sous la forme z a b i, appelée forme cartésienne ou forme algébrique, que l'on

représente usuellement les nombres complexes. En d'autres termes

z z a b i, a , b

La première composante est appelée partie réelle, la deuxième partie imaginaire.

Les notations correspondantes sont les suivantes. Pour z a b i avec a et b ,



Re z a,

Im z b.

z

1 a

i

b i

Les nombres réels sont des nombres complexes particuliers caractérisés par

z Im z 0

Les nombres de la forme z b i sont appelés imaginaires purs. Ils sont caractérisés par

Re z 0

Remarquons que la partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel :

Im 3 5 i 5 i mais Im 3 5 i 5

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imagi-

naires sont égales :

z1 z2 Re z1 Re z2 et Im z1 Im z2

La règle d'addition des nombres complexes exprime que

* la partie réelle de la somme est égale à la somme des parties réelles et

* la partie imaginaire de la somme est égale à la somme des parties imaginaires.

Pour z1 a1 b1 i avec a1 et b1 ,

z2 a2 b2 i avec a2 et b2 ,

z1 z2 a1 a2 b1 b2 i

(Voir Formulaires et tables). En d'autres termes, pour z1 et z2 ,

Re z1 z2 Re z1 Re z2 ;

Im z1 z2 Im z1 Im z2

Définition de la multiplication

La multiplication de deux nombres complexes est une opération qui, à deux nombres complexes,

fait correspondre un nombre complexe. Pour déterminer la multiplication complexe, nous utilisons

* d'une part les règles de calcul des corps,

* d'autre part, la nouvelle règle que nous voulons obtenir i2 1.



z1 z2 a1 b1 i a2 b2 i

a1 a2 b1 b2 i2 a1 b2 i b1 a2 i

a1 a2 b1 b2 a1 b2 b1 a2 i

La multiplication des nombres complexes est définie comme suit

* la partie réelle du produit est égale au produit des parties réelles moins le produit des

parties imaginaires;

* la partie imaginaire du produit est égale à la partie réelle du premier multipliée par la partie

imaginaire du deuxième plus la partie imaginaire du premier multipliée par la partie réelle

du deuxième.

Pour z1 a1 b1 i avec a1 et b1 ,

z2 a2 b2 i avec a2 et b2 ,

z1 z2 a1 a2 b1 b2 a1 b2 b1 a2 i

(Voir Formulaires et tables). En termes équivalents, pour z1 et z2 ,

Re z1 z2 Re z1 Re z2 Im z1 Im z2 ;

Im z1 z2 Re z1 Im z2 Im z1 Re z2

La multiplication de deux nombres complexes se distingue

* du produit scalaire (le produit scalaire de deux vecteurs du plan donne un nombre réel)

* du produit vectoriel (le produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace donne un

vecteur de l'espace)

C'est cette multiplication qui fait tout l'intérêt des nombres complexes.

, , est un corps

L'élément neutre pour la somme est 0 0 i 0.

L'élément neutre pour la multiplication est 1 0 i 1.

Nous montrerons dans le cadre des exercices que chaque nombre complexe non nul

z a b i, a, b , possède comme inverse a

a2 b2

b

a2 b2 i.

Les autres propriétés des corps se démontrent aisément. Nous en vérifierons quelques-unes dans

les exercices.

, , est une extension de

Pour des nombres complexes qui sont réels,

* l'addition complexe et l'addition réelle coïncident et

* la multiplication complexe et la multiplication réelle coïncident. En effet,

a 0 i b 0 i a b 0 0 i a b 0 i a b,

a 0 i b 0 i a b 0 0 a 0 0 b i a b 0 i a b.



Solution de x2 1

Nous avons les résultats suivants :

i2 0 1 i 0 1 i 0 0 1 1 0 1 1 0 i 1

i 2 0 1 i 0 1 i 0 0 1 1 0 1 1 0 i 1

Finalement, le problème d'extension que nous nous étions posé est résolu.

Note historique et terminologique

Les mots réel, imaginaire et complexe ne doivent pas être pris dans leur sens usuel. Dans le con-

texte des mathématiques, les mots ont un sens particulier et technique.

Ce sont des raisons historiques qui expliquent la situation. Entre 1545 (Cardan) et 1799 (Gauss), on

a utilisé les nombres complexes formellement - comme un truc qui marche - sans pouvoir leur

donner un sens. De là vient le nom imaginaire. Par la suite, même après avoir construit mathéma-

tiquement les nombres complexes et prouvé leur existence, le nom imaginaire est resté.

C'est ainsi que les nombres imaginaires (au sens mathématique) sont néammoins réels (au sens

usuel), car ils existent (au sens mathématique). Par contre, les nombres imaginaires (au sens

mathématique) ne sont pas réels (au sens mathématique).

Voir exercices 1 à 4.

2. Forme polaire

Préparation : formes cartésienne et polaire d'un vecteur du plan

Etant donné un vecteur non nul sous la forme cartésienne va

b c'est-à-dire exprimé avec ses

composantes par rapport à une base orthonormée, on peut le représenter sous la forme , où

norme du vecteur v et

angle principal orienté (c’est-à-dire dans l’intervalle ]- ; ]) entre les vecteurs 1

0 et v .

Le couple , est appelé forme polaire du vecteur v .



v

a

b

Si la forme polaire v , est donnée, on peut calculer la forme cartésienne correspondante

vcos

sin

Réciproquement, si la forme cartésienne va

b est donnée, on peut calculer la forme polaire

correspondante

a2

b2

Arccosa

si b 0

Arccosa

si b 0

Module

Le module d'un nombre complexe z est le nombre réel qui représente la norme du vecteur correspon-

dant. Sa définition est pour z a b i, avec a et b est donc

z a2 b2

On a les propriétés

z

z 0 et z 0 z 0

z2

Re z2

Im z2

i 1

La propriété suivante est appelée inégalité du triangle

z1 z2 z1 z2

Argument

L'argument d'un nombre complexe non nul z a b i, avec a, b , est la mesure principale de

l'angle orienté entre les vecteurs 1

0 et

a

b. Son expression est



Arg zArccos

Re z

zsi Im z 0

Arccos Re z

zsi Im z 0

L'argument du nombre complexe zéro n'est pas défini.

On a les propriétés

Arg z

Arg z

Arg 1 0

Arg i2

Arg 1

Arg i2

z

z

Arg z

Re z

Im z

Forme polaire d'un nombre complexe

Soit z a b i un nombre complexe non nul et va

b le vecteur correspondant du plan. La forme

polaire du vecteur est

v , avec z et Arg z

La forme cartésienne du vecteur est

vcos

sinavec z et Arg z

Le nombre complexe correspondant est le même nombre complexe z, mais écrit sous la forme

polaire

z cos i sin avec z et Arg z

z z cos Arg z i sin Arg z

Conjugaison

Le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe z dont la partie imaginaire est l'op-

posé de celle de z. Pour z a b i avec a et b , nous avons donc



z—

a b i

En d'autres termes,

Re z—

Re z

Im z—

Im z

z

z

Relations du conjugué complexe avec le module, la partie réelle et la partie

imaginaire

Si z alors z—

z. D'autre part,

z z—

z 2 ;

Re zz z

—

2;

Im zz z

—

2 i

En effet, pour z a b i avec a et b ,

z z—

a b i a b i a2 b2 i2 a b b a i a2 b2 z 2

z z—

2

a b i a b i

2

2 a

2a Re z

z z—

2 i

a b i a b i

2 i

2 b i

2 ib Im z

z—

z ;

Arg z—

Arg z

Pour la démonstration, nous allons utiliser la parité des fonctions trigonométriques

cos cos

sin sin

En partant de la forme polaire de z

z cos i sin avec Arg z

dont le conjugué complexe est

z—

cos i sin cos i sin

on voit que



z—

z

Arg z—

Arg z

Conjugué de la somme, du produit et du quotient

z1 z2 z1 z2 ;

z1 z2 z1 z2 ;

z1

z2

z1

z2

(Voir Formulaires et tables). En effet, pour z1 a1 b1 i avec a1 et b1 , z2 a2 b2 i avec

a2 et b2 ,

z1 z2 a1 b1 i a2 b 2 i a1 a2 b1 b2 i

a1 a2 b1 b2 i a1 b1 i a2 b 2 i a1 b1 i a2 b 2 i z1 z2

D'une part,

z1 z2 a1 b1 i a2 b 2 i

a1 a2 b1 b2 a1 b2 b1 a2 i a1 a2 b1 b2 a1 b2 b1 a2 i

D'autre part,

z1 z2

a1 b1 i a2 b 2 i a1 b1 i a2 b 2 i a1 a2 b1 b2 a1 b2 b1 a2 i

La démonstration de la règle du conjugué du quotient est l'objet d'un exercice.

Voir exercice 5.

Inverse d'un nombre complexe

1

z

z—

z z—

z—

z 2

Appliquons cette relation pour calcul de l'inverse de 1

8 5 i:

1

8 5 i

8 5 i

8 5 i 8 5 i

8 5 i

82 52

8 5 i

89

8

89

5

89i

On utilise aussi cette relation pour effectuer la division de deux nombres complexes:

30 6 i

8 5 i30 6 i

1

8 5 i30 6 i

8 5 i

89

1

8930 6 i 8 5 i

1

8930 8 6 5 30 5 6 8 i

1

89270 102 i

270

89

102

89i

Voir exercices 6 et 7.

Egalité de deux nombres complexes en forme polaire

Nous constatons que les nombres complexes

z1 cos2

3i sin

2

3 et z2 cos

4

3i sin

4

3

sont égaux car ils ont même module et 2

32

4

3.

Plus généralement, deux nombres complexes écrit en notation trigonométrique sont égaux si et



seulement si leurs modules sont égaux et leurs “angles” ne diffèrent que d'un nombre entier de

tours :

Si z1 r1 cos 1 isin 1 et z2 r2 cos 2 isin 2

alors z1 z2 r1 r2 et 1 2 k 2 pour un k .

Pour dire que deux angles 1 et 2 sont égaux "à des tours entiers près", Gauss a introduit la

notation suivante qui se lit " 1 est congru à 2 modulo 2 ":

1 2 mod 2 1 2 k 2 pour un k

Avec cette notation, la proposition s'écrit

z1 z2 z1 z2 et 1 2 mod 2

qu'on exprime verbalement comme suit : le module de z1 est égal au module de z2 et 1 a est

congru 2 modulo 2 .

Interprétation géométrique de la multiplication

Nous avons le résultat suivant pour z1, z2 :

z1 z2 z1 z2 ;

Arg z1 z2 Arg z1 Arg z2 mod 2

Démonstration

Nous allons utiliser les formules d'addition d'arcs de la trigonométrie

cos 1 2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2

sin 1 2 cos 1 sin 2 sin 1 cos 2

Ecrivons les nombres complexes sous la forme polaire

z1 1 cos 1 i sin 1 avec 1 z1 , 1 Arg z1

z2 2 cos 2 i sin 2 avec 2 z2 , 2 Arg z2

z1 z2 cos i sin avec z1 z2 , Arg z1 z2

On obtient

cos i sin z1 z2

1 cos 1 i sin 1 2 cos 2 i sin 2

1 2 cos 1 i sin 1 cos 2 i sin 2

1 2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2

i cos 1 sin 2 sin 1 cos 2

1 2 cos 1 2 i sin 1 2

d'où on tire

1 2

1 2 k 2 , k , c ' est–à–dire 1 2 mod 2

En mots (voir figure)

le module du produit est égal au produit des modules,

l'argument du produit est congru à la somme des arguments modulo 2 .



z1

z2

z1z2

1

2

1

2

En d'autres termes (voir Formulaires et tables):


1 2 cos 1 2 i sin 1 2

Voir exercice 8.

Interprétation

Géométriquement la multiplication par une nombre complexe a correspond donc la composition

d’une homothétie de rapport a et d’une rotation d’angle Arg a autour de l’origine.

Voir exercices 9 et 10.

Formules de de Moivre (1730)

Pour n et z nous avons

zn = z n ,

Arg (zn) n Arg (z) (mod 2 ).

En d'autres termes, (voir Formulaires et tables):

cos i sin n n cos n i sin n pour n

Démonstration 1

Par récurrence (exercice en classe)



Démonstration 2

En utilisant les règles précédemment établies pour le produit

z2 z z z z z 2

Arg z2 Arg z z Arg z Arg z 2 Arg z mod 2

En itérant

z3 z2 z z2 z z 2 z z 3

Arg z3 Arg z2 z Arg z2 Arg z

2 Arg z Arg z 3 Arg z mod 2

Pour n 1, on peut écrire ces formules sous la forme polaire et effectuer des produits itérés :

z cos i sin avec z et Arg z

z2 2 cos 2 i sin 2

...

zn n cos n i sin n

La formule est ainsi vérifiée pour n 0. Pour n 0 et z 0, on a

z0 1 z 0

Arg z0 Arg 1 0 0 Arg z mod 2

Pour les exposants entiers négatifs, on peut se ramener aux cas précédents. En effet, pour n 0,

z n zn z n zn 1 1

z n1

zn

1

z nz n

Arg z n Arg zn Arg z n zn Arg 1 0 mod 2

Arg z n Arg zn n Arg z mod 2

Propriétés

Pour n 1, les formules de de Moivre nous donnent un cas particulier intéressant qui exprime le

module et l'argument de l'inverse:

1

z=

1

z;

Arg (1

z) - Arg (z) (mod 2 )

1

(cos ( ) + i sin ( ))=1(cos (- ) + i sin (- ))

Notation exponentielle

L'exponentielle réelle possède les propriétés suivantes (rappel)

ex y ex ey

ex 2 ex ex ex x e2 x

...



ex n en x où e 2.718

Pour représenter les nombres complexes, nous introduisons alors la notation suivante, appelée

notation exponentielle :

ei cos i sin

En voici quelques cas particuliers

ei 0 1

ei

2 i

ei

2 i

La forme polaire prend alors la forme suivante

z ei où z et Arg z mod 2 , c ' est–à–dire

ei ;

Arg ei mod 2

L'égalité de deux nombres complexes non nuls prend la forme suivante

1 ei 1

2 ei 2

1 2 et 1 2 mod 2

Dans cette notation, le produit de deux nombres complexes prend une forme simple

1 ei 1

2 ei 2

1 2 ei 1 2

(Voir Formulaires et tables). En effet,

1 ei 1

2 ei 2


1 2 cos 1 2 i sin 1 2

1 2 ei 1 2

Le conjugué d'un nombre complexe est

ei e i

En effet,

ei cos i sin

cos i sin cos i sin ei e i

Les parties réelle et imaginaire sont données par

Re ei cosei e i

2;

Im ei sinei e i

2 i

En effet,

ei e i

2

cos i sin cos i sin

2

cos i sin cos i sin

2

2 cos

2cos Re cos i sin Re ei



ei e i

2 i

cos i sin cos i sin

2 i

cos i sin cos i sin

2 i

2 i sin

2 isin Im cos i sin Im ei

L'inverse d'un nombre complexe est

1

ei

1e i

En effet, posons z1 ei , z21

e i et vérifions que z1 z2 1

ei1e i

1ei e i 1 ei i ei 0 cos 0 i sin 0 1

La formule de de Moivre s'écrit

ein n ei n pour n

En effet, pour n , on a

ein

cos i sin n

n cos n i sin n ei n

Remarque

Euler a démontré dans une publication de 1748 que la notation exponentielle est en réalité une

égalité. Pour cela, il a travaillé avec la défnition de l’exponentielle faite à l’aide d’un développement

en série et a étendu cette définition aux nombres complexes. Une conséquence de cette égalité est

la formule suivante

ei 1

qui est célèbre car elle relie trois constantes mathématiques fondamentales : le nombre , le nom-

bre e et le nombre i.

Racines complexes

Pour déterminer les racines complexes nème de z, on cherche les nombres (sous la forme polaire)

ei tels que

ein

z

n ei n z

n Abs z et n Arg z mod 2

n Abs z et n Arg z k 2 , k

Abs zn

etArg z

nk2

n, k

Abs zn

etArg z

nk2

n, k 0, 1, ..., n 1

Retenons que tout nombre complexe non nul possède n racines complexes.




3. Nombres complexes dans Mathematica

Généralités

Si on utilise le clavier, c'est le symbole I qui désigne l’unité imaginaire.

w1

8 5 I

8

89

5

89

z30 6 I

8 5 I

270

89

102

89

Si on utilise la palette, c'est le symbole de la palette graphique (raccourci ii ) qui désigne

l’unité imaginaire.

w1

8 5

8

89

5

89

z30 6

8 5

270

89

102

89

Des fonctions permettent de calculer la partie réelle, la partie imaginaire et le conjugué :

partie réelle

Re w

8

89

partie imaginaire

Im w

5

89

conjugué

Conjugate w

8

89

5

89

Mathematica peut aussi calculer le module et l'argument:



valeur absolue

Abs z

626

89

valeur numérique

N

3.24297

argument arg

Arg z

ArcTan17

45

valeur numérique

N

0.361204

argument arg

Arg1

1 3

ArcTan

1

4

3

4

1

4

3

4

simplifie complè

FullSimplify

argument arg

Arg1

1 3

12

La notation exponentielle est reconnue. Pour désigner l'exponentielle, on peut utiliser soit la lettre E

du clavier, soit le caractère de la palette (raccourci ee ) :

626

89

ArcTan17

45

partie réelle

Re

270

89

partie imaginaire

Im

102

89

Résolution d’équations

Pour résoudre une équation dans le corps des nombres complexes, nous pouvons travailler avec



Solve ou Reduce :

réduis

Reduce w x z, x

x 30 6

efface

Clear a, b ;

réduis

Reduce a b x y, x, y

y a b x

Dans les équations littérales, si des paramètres ou des inconnues sont des nombres réels, il faut

l'indiquer explicitement (le symbole se trouve dans la palette et son raccourci est elem ) :

réduis

Reduce a b x y && a

nombres réels

Reals && b

nombres réels

Reals && x

nombres réels

Reals && y

nombres réels

Reals, x, y

b a Reals && x a && y b

Mathematica ne donne pas toujours les solutions des équations sous forme cartésienne. Il est

possible d’y remédier grâce à la fonction ComplexExpand :

résous

Solve 2 3 x 3 x2 x3 0, x

x 2 , x 1 1 3 , x 1 2 3

développe des complexes

ComplexExpand

x 2 , x1

2

3

2, x

1

2

3

2

Remarquons que Mathematica ne retourne pas 1 pour la forme cartésienne de 1 1 3 mais la

solution de l’équation z3 1 d’argument positif minimal (pour rappel le calcul d’une racine cubique

réelle se fait avec CubeRoot et celui d’une racine réelle quelconque avec Surd).

Nous pouvons aussi calculer toutes les racines complexes d’une nombre. Déterminons par exem-

ple, les racines cubiques de 5 2 i

efface

Clear z ;

réduis

Reduce z3 5 2 , z

z 5 21 3

z 1 1 3 5 21 3

z 1 2 3 5 21 3

valeur numérique

N

z 1.73872 0.221722 z 0.677344 1.61664 z 1.06138 1.39492




4. Approche géométrique des fonctions complexes

Représentation graphique des nombres complexes (complément)

Tout nombre complexe z x i y est défini par sa partie réelle x Re z et sa partie imaginaire

y Im z .

A chaque nombre complexe z, on peut faire correspondre :

- un point M x, y M z appelé image ponctuelle de z.

- un vecteur vzx

yOM appelé image vectorielle de z.

Réciproquement, à tout point M x, y 2 et à tout vecteur vz correspond le nombre com-

plexe z x iy. Cette correspondance se notera zM ou zv. Le nombre complexe zM est parfois

appelé affixe du point M.

Les correspondances entre l’ensemble des nombres complexes, le plan ponctuel et le plan vectoriel

sont bijectives. On parle communément du plan complexe (ou plan de Gauss ou encore plan d’Ar-

gand-Cauchy).

La représentation graphique de la somme et de la différence de deux nombres complexes, ainsi

que la multiplication d’un nombre complexe par un scalaire “correspondent aux opérations sur les

vecteurs”. En effet, on peut montrer que l’image vectorielle de la somme de deux nombres com-

plexes est égale à la somme vectorielle des vecteurs images (vz1 z2 vz1 vz2), que le nombre

complexe associé au vecteur M1 M2 est égal à la différence des nombres complexes z1 et z2 qui

définissent M1 et M2 (zM1 M2

= zM2zM1

) et que zv

zv.

Fonctions complexes du premier degré

Nous allons nous intéresser dans un premier temps à l’interprétation géométrique des fonctions

complexes du premier degré, c’est-à-dire des fonctions

f : , z' f z az b, a , b . Pour cela nous allons distinguer différents cas.

1er cas : z' f z z b

Posons vz OM, vb OB et vz' OM' .

On a : OM' = vz' vz b vz vb OM + OB.

On en déduit que l’effet de f, addition du nombre complexe b à z, est la translation Tv de vecteur

vb OB.

Cas particulier : la fonction complexe z' f z z b correspond à une translation de vecteur

-vb.

2ème cas : z' f z az, a

Noux avons vu précédement que f correspond à une similitude directe de centre O , de rapport

a et d’angle arg a , c’est-à-dire la composition d’une homothétie de centre O de rapport a

et d’une rotation autour de O d’angle ,



3ème cas : z' f z az b, a \ 0; 1

Nous commençons par rechercher le point fixe z0 de

f:

z0 f z0 z0 az0 b z0 1 a ba 1

z0b

1 a.

Nous constatons qu’il y a toujours un unique point fixe z0 et nous notons son image ponctuelle.

Comme f z0 z0, nous avons les égalités suivantes pour tout z :

f z az b a z z0 z0 b a z z0 az0 bf z0

a z z0 z0.

Il s’en suit que géométriquement f correspond à la composition d’une translation de vecteur O,

puis d’une similitude directe de centre O , de rapport a et d’angle arg a , et finalement à

un translation de vecteur O . La transformation géométrique associée à la fonction

f z az b, a \ 0; 1 est une similitude directe de centre , de rapport a et

d’angle arg a .


Fonction d’inversion

Exercice dirigé

Soit la fonction w f z1

z. Posons z x i y et w u i v avec

x; y , u; v 2\ 0; 0 .

1) Montrez que l’on a les relations suivantes : u x

x2 y21 et v y

x2 y22

2) Montrez que l’on peut déduire de (1 ) et (2) les relations suivantes :

xu

u2 v23 et y v

u2 v24

3) On veut déterminer l’image d’une droite d d’équations paramétriques :

d :x x0 cos ,

y y0 sin ,,

où est fixe et détermine la pente de la droite.

En utilisant les relations (3) et (4) et en éliminant le paramètre , montrez que la partie

réelle u et la partie imaginaire v de l’image d’un nombre complexe z d satisfont l’équation

sinu

u2 v2x0

v

u2 v2y0 cos

ou, en multipliant par u2 v2 ,

u2 v2 cos y0 sin x0 u sin v cos 0 5

4) Intreprétez la relation (5) selon que cos y0 sin x0 soit nul ou non.

Considérez les cas particuliers où les droites sont verticales ou horizontales.



5) On veut déterminer l'image d'un cercle c d'équations paramétriques :

c :x x0 r cos ,

y y0 r sin ,0; 2 ,

où r est le rayon du cercle.

Eliminez le paramètre et utilisez les relations (3) et (4) pour montrer que la partie

réelle u et la partie imaginaire v de l'image d'un nombre complexe z c satisfont l'équation

r2 xo2 y0

2 u2 v2 2 ux0 vy0 1 6

6) Interprétez la relation (6) suivant que r2 xo2 y0

2 soit nul ou non.

Conclusions

a) L’image d’une droite passant par l’origine est inclue dans une droite passant par l’origine.

b) L’image d’une droite ne passant pas sur l’origine est inclue dans un cercle privé d’un point.

c) L’image d’un cercle passant par l’origine est inclue dans une droite.

d) L’image d’un cercle ne passant par l’origine est inclue dans un cercle.

Remarques

Il est possible de montrer que l’inclusion donnée en d) est une égalité. Il en est de même pour

celles des points a), b) et c) mais pour cela il faut ajouter un point à l’infini d’un plan complexe

et poser f 01

0 et f

10 (la justification de ceci dépasse le cadre de ce cours).

Pour que l’image par la fonction d’inversion d’un cercle ou d’une droite soit une droite, il faut que

le point soit atteint et ceci est possible uniquement si le cercle ou la droite de départ passe par

l’origine.

L’image d’un cercle ne passant par l’origine est sur un cercle mais l’image du centre ne

correspond pas au centre du nouveau cercle.

Nous n’avons par d’interprétation géométrique précise (en terme de similitude, translation,...) de

la fonction d’inversion. Par conséquent l’image d’un sous-ensemble du plan complexe autre

qu’une droite ou un cercle doit à chaque fois faire l’objet d’un calcul.

Fonctions homographiques complexes

Une fonction homographique est une fonction w f zaz b

cz d, avec a, b, c, d et

ad bc 0. Nous voulons déterminer l’image d’un cercle et d’une droite du plan complexe par une

fonction homographique. Pour cela, nous devons distinguer deux cas;

Si c 0 alors a 0 et d 0 (car a d b c 0) et la fonction f za

dz

b

d une fonction du premier

degré ce qui correspond à une similitude directe ou une translation.

Si c 0, une division polynomiale nous donne

f za

c

bad

c

cz d

a

c

bc ad

c

1

cz d

et la fonction peut être décomposée en une composition de plusieurs fonctions :



w1 z cz d (translation),

w2 z1

z(inversion),

w3 zbc ad

cz (similitude directe),

w4 z za

c(translation)

et w f z w4 w3 w2 w1 z .

Conclusions

Les translations, les inversions et les similitudes directes sont des transformations géométriques qui

conservent l'ensemble des droites et des cercles du plan de Gauss. Les fonctions homographiques

correspondant à une compostion de ces transformations géométriques ou uniquement à une simili-

tude, les fonctions homographiques conservent donc aussi l'ensemble des droites et des cercles du

plan complexe.

Remarques

Pour que l’image par une fonction homographique d’une droite ou d’un cercle soit une droite, il

faut que que le point soit atteint et ceci est possible uniquement l’image ponctuelle du zéro du

dénominateur de la fonction homographique appartient au cercle ou à la droite de départ.

Lorsque l’image d’un cercle par une fonction homographique est un cercle, l’image du centre du

cercle de départ n’est généralement pas le centre du cercle-image.

Nous n’avons par d’interprétation géométrique précise (en terme de similitude, translation,...) des

fonctions homographiques. Par conséquent l’image d’un sous-ensemble du plan complexe autre

qu’une droite ou un cercle doit à chaque fois faire l’objet d’un calcul.

5. L’ensemble de Mandelbrot

Définition

L’ensemble de Mandelbrot est l’ensemble des nombres complexes c pour lesquels la suite

z0 0

zn 1 zn2 c pour n 0

ne converge pas vers l’infini.

Remarquons qu’il n’est pas exigé que le suite converge : ceci fait toute la difficulté (mais aussi

l’intérêt!) de l’étude de cet ensemble.

L’ensemble de Mandelbrot a été découvert par Julia et Fatou avant la première guerre mondiale. Il

porte le nom du mathématicien français Benoît Mandelbrot (1924-2010) qui a travaillé à la représen-

tation de “son” ensemble au début de l’air numérique et qui est un des piliers du début de l’étude

des objets fractals (objet dont l’aspect ne change pas ou peu lorsque l’échelle d’observation varie;

la fougère ci-dessous en est un exemple).



Propriétés

L’intersection de l’ensemble de Mandelbrot avec les nombres réels est l’intervalle –2;1

4.

L’ensemble de Mandelbrot contient l’intérieur de la cardioïde d’équations paramétriques:

x1

4r cos

y r sinavec r

1

21 cos , [0;2 ]

Le disque de rayon 1

4 centré en 1; 0 est inclu dans l’ensemble de Mandelbrot

L’aire de l’ensemble de Mandelbrot vaut 1.50659177 0.00000008.

Le démonstration de ces propriétés sort du cadre de ce cours. Cependant, les trois premières

propriétés seront utilisées dans le cadre des exercices pour construire une esquisse grossière de

l’ensemble de Mandelbrot

Critère de non-appartenance

S’il existe N avec zN 2 alors limn zn et la valeur c utilisées pour définir la suite

n’appartient pas à l’ensemble de Mandelbrot.

Le démonstration de ce critère sort du cadre de ce cours. Cependant ce critère sera utilisé dans le

cadre des exercices pour construire une esquisse arbitrairement précise de l’ensemble de

Mandelbrot.

6. Exercices

Exercice 1 [Sans ordinateur]

Evaluez les expressions suivantes :

a) Re 2 4 i

b) Im 2 i

c) Re 21 i

d) Im 40



Exercice 2 [Calculez à la main, puis vérifiez avec Mathematica]

Montrez que 1

2

3

2i est une solution de l’équation x2 x 1 0.


Evaluez les expressions suivantes si z1 2 i, z2 7 i, z3 1 6 i et z4 4 i 10 :

a) Re z1 z2

b) Im 3 z3 z4

c) Re z12 z3

d) Re 2 4 iz3

e) Im z2 z3 z1


a) Démontrez que , , vérifie la loi de distributivité

x, y, z x y z x y x z

b) a, b désignant des nombres réels non simultanément nuls, démontrez que les deux

nombres complexes suivants

z1 a i b, z2a i b

a2 b2

sont inverses, c'est-à-dire

z1 z2 1

c) Pour , z , z1 , z2 , démontrez les propriétés suivantes

Re z1 z2 Re z1 Re z2

Im z1 z2 Im z1 Im z2

Re z Re z

Im z Im z


Soit z1, z2 . Démontrez que

z1

z2

z1

z2.


Mettez les nombres complexes suivants sous la forme cartésienne

1 + 2 i

1 - 2 i,

1

(1 + 2 i) (3 - i),

-2

1 - i 3




Etablissez la formule pour calculer le quotient de deux nombres complexes donnés sous la forme

cartésienne

z1

z2

a1 b1 i

a2 b2 i... où z2 0, a1 Re z1 , ..., b2 Im z2

Vérifiez la réponse obtenue avec le formulaire.


A partir des règles de la multiplication

z1 z2 z1 z2

Arg z1 z2 Arg z1 Arg z2 mod 2

démontrez les formules suivantes

a) Pour , 0 et z ,

Arg z Arg z

et donnez une interprétation géométrique.

b) Pour z2 , z2 0,

1

z2

1

z2

c) Pour z1 , z2 , z2 0,

z1

z2

z1

z2

d) Pour z2 , z2 0,

Arg1

z2Arg z2

e) Pour z1 , z2 , z2 0,

Argz1

z2Arg z1 Arg z2 mod 2


Un nombre complexe z étant donné, on s'intéresse au nombre complexe w z i.

a) Calculez w en fonction de z et

Arg w en fonction de Arg z .

b) Construisez le nombre complexe w avec la règle et le compas, c'est-à-dire dessinez

l’image ponctuelle d’un nombre complexe z puis construisez l’image ponctuelle de w.

c) Mêmes questions pour le nombre complexe w z i2.

Donnez une interprétation géométrique de la multiplication par i2 1.

d) Mêmes questions pour le nombre complexe w z i3.

Donnez une interprétation géométrique de la multiplication par i3 i.




a) Illustrez géométriquement l'opération d'addition dans : deux nombres complexes

z1, z2 étant donnés, construisez, avec la règle et le compas, le vecteur qui représente

le nombre complexe

w z1 z2

b) b étant un nombre complexe fixé, interprétez géométriquement la fonction

f z z b, z .


Déterminez le module et l'argument des nombres complexes suivants

z1 2 2 i, z2 1 i 3 , z1 z2,z1

z2


Etablissez la formule pour calculer le quotient de deux nombres complexes donnés sous la forme

polaire

z1

z2

1 ei 1

2 ei 2

... où z2 0, 1 z1 , ..., 2 Arg z2

Exercice 13 [Sans ordinateur et avec Mathematica]

a) [Sans ordinateur] Ecrivez le nombre suivant sous la forme cartésienne,

c'est-à-dire calculez sa partie réelle et sa partie imaginaire

3 i1967

b) [Avec Mathematica] Vérifiez la réponse obtenue, ainsi que certains calculs intermédiaires.


Résolvez dans l'équation

Re1 i z

1 i z0

et interprétez géométriquement l'ensemble des solutions dans le plan complexe.

Indication : écrivez z sous la forme z x i y avec x, y .




On donne

z1 i 3

1 i

a) Ecrivez z sous la forme polaire ou exponentielle.

b) Déterminez le plus petit entier positif n tels que zn soit réel.

c) Déterminez le plus petit entier positif n tels que zn soit imaginaire pur.


Soit z, z1, z2 tels que

1

z

1

z1

1

z2

a) Exprimez z, z , Re z et Im z en fonction de z1, z2.

b) Notons a1 Re z1 , b1 Im z1 , a2 Re z2 , b2 Im z2 .

Exprimez z , Re z et Im z en fonction de a1, b1, a2, b2.

c) Exprimez Arg z en fonction de z1, z2 et en fonction de a1, b1, a2, b2.


On donne

z12

3

5

6i; z2

1

2

7

3i.

Calculez les expressions suivantes

a z12; b

1

z1; c

z2

z1

dz2

z1 z1; e Re

z1

z2; f

Re z1

Re z2

g Imz2

z1 z2; h

Im z2

Im z1 Re z2.

Représentez graphiquement les nombres complexes suivants dans le plan de Gauss:

z1; z2; z12;

1

z1;

z1

z2.


Résolvez dans les équations suivantes.

a 5 z 8 i z 81 5 i

b z 2 i z—

8 7 i

c z2 1 i

d z1

z1




Calculez les expressions données.

a 1 i 3

b 1 i 4

c

k 1

25

ik

d

k 0

20

1 i k


Ecrivez sous la forme polaire les nombres complexes donnés.

a 2 2 i; b 2 2 i; c 2 2 3 i; d 3 i;

e a b; fa

c; g 1 i 7; h b c d;

j 1 i 4; k1

1 i 2; l k 0

12 1 i k


Exprimez les expressions trigonométriques cos 3 et sin 3 en fonction de cos et sin .

Indication: utilisez la formule de de Moivre.


Démontrez que

cos 156 2

4.

Indications: utilisez le fait que

12 3 4et cos

12Re e

i12 .


Donnez une méthode de construction à la règle et au compas du produit et du quotient de deux

nombres complexes donnés quelconques.

Indication: Etant donnés trois segments de longueurs 1, 1, 2, le théorème de Thalès permet de

construire un quatrième segment de longueur 1 2.




a) Calculez les racines cubiques de l'unité, c'est-à-dire les nombres complexes z tels que z3 1.

Indication : utilisez la forme polaire.

b) Représentez ces trois racines dans le plan de Gauss.

c) Vérifiez que ces trois racines sont de la forme 1, , 2 avec ei

2

3 .


a) Calculez les racines n-èmes de l'unité, c'est-à-dire les nombres complexes z tels que zn 1.

Indication : utilisez la forme polaire.

b) Vérifiez que ces n racines sont de la forme 1, , 2, ..., n 1 avec ei2

n .

c) Pour n 12, représentez ces racines dans le plan de Gauss.


a) Calculez les racines cubiques du nombre complexe i.

b) Représentez ces trois racines dans le plan de Gauss.

Exercice 27 [Facultatif]

A partir des développements en série entière des fonctions suivantes (voir Formulaires et tables):

x 1 xx2

2

x3

3

x4

4

x5

5

x6

6

x7

7

x8

8

x9

9...

cos x 1x2

2

x4

4

x6

6

x8

8

x10

10...

sin x xx3

3

x5

5

x7

7

x9

9

x11

11...

et sachant que les séries précédentes convergent absolument (c'est-à-dire qu'on peut réarranger

librement l'ordre des termes), montrez qu'on peut en tirer la relation d'Euler

cos sin


Exprimez sous la forme z f z les transformations du plan complexe suivantes :

a) Translation d’amplitude 3 2 i.

b) Rotation de centre O et d’angle 2

.

c) Symétrie d’axe i.

d) Symétrie dont l’axe est la droite d’équation Re z Im z 0.

e) Homothétie de centre O et de rapport 2.

f) Homothétie de centre 3 2 i et de rapport 3.

g) Rotation de centre 1 3 i et d’angle 2

.




On considère l’application f : définie par f z2

21 i z.

a) Déterminez la transformation géométrique correspondant à l’application f.

b) Déterminez l’image par f des nombres complexes dont l’image ponctuelle se trouve sur

l’axe des abscisses.

c) Déterminez l’image par f dont l’image ponctuelle se trouve sur le cercle trigonométrique.


Mêmes questions qu’à l’exercice précédent mais pour f : , f z 2 i z 7 4 i.


On considère l’application f : z z3 3 i z2 2 z 9 i.

a) Résolvez l’équation f z 9 i et montrez que l’image ponctuelle des trois solutions sont sur

une même droite du plan de Gauss.

b) Prouvez que w1 3 i est un point fixe de f , puis déterminez w2 et w3, les deux autres points

fixes de f .

c) Démontrez par un calcul que les trois points fixes sont les sommets d’un triangle équilatéral.

d) Montrez que si l’image ponctuel d’un nombre complexe z est sur l’axe imaginaire, alors

l’image ponctuel de f z sera également sur l’axe imaginaire.

e) Trouvez les nombres réels dont les images par f sont sur l’axe imaginaire.




Soit A le point d’affixe i et soit B le point d’affixe 2.

a) Déterminez l’affixe du point B1, image de B par l’homothétie de centre A et de rapport 2 .

b) Déterminez l’affixe du point B ', image de B1 par la rotation de centre A et d’angle 4

.

Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M’

d’affixe z ' tel que z ' f z 1 i z 1.

c) Montrez que f B B '.

d) Montrez que A est le seul point invariant par f .

e) Etablissez que, pour tout nombre complexe z distinct de i, z' z

i zi. Interprétez ce résultat en

termes de distances, puis en termes d’angles. Déduisez-en une méthode de construction de

M’ à partir de M (distinct de A).

f) Déterminez l’ensemble 1 des points M du plan dont l’affixe z vérifie z 2 2 .

g) Démontrez que z ' 3 2 i 1 i z 2 puis déduisez-en que, si le point M appartient à 1,

alors son image M’ par f appartient à un cercle 2 dont on précisera le centre et le rayon.

Exercice 33 [sans ordinateur]

Dans la définition d’une fonctions homographiques complexes f zaz b

cz d, nous faisons l’hy-

pothèse ad bc 0. Que signifie cette hypothèse?



2z

1

z.

a) Trouvez les nombres complexes qui ont pour image i.

b) Déterminez l’image par f de la droite i .



z.

a) Déterminez le domaine de définition de f et l’ensemble de ses points invariants.

b) Déterminez l’image par f de la droite D z z 1 it, t .




On considère l’application f : zi z

i z.

a) Déterminez à la main le domaine de définition.

b) Déterminez à la main l’expression analytique de la fonction r f , réciproque de f .

c) Déterminez à la main l’ensemble des points du plan de Gauss qui sont fixes par f .

d) Déterminez à la main l’image par f de l’ensemble A : z z 2 1 .

e) Déterminer à l’aide de Mathematica le lieu géométrique de l’image par f des

nombres complexes dont l’affixe se trouve sur la droite d : y 2 x.

Exercice 37 (BAC 2010) [sans ordinateur]

On considère la fonction complexe f : définie par f z i z 3 1.

a) Calculez le(s) zéro(s) de f .

b) Déterminez l’expression analytique de la fonction r f , réciproque de f .

c) Déterminez pour quelle(s) valeur(s) de z on a f z 2 2 i.

d) Déterminez l’ensemble des points du plan de Gauss qui sont fixes par f .

e) Déterminez l’image par f des nombres complexes dont l’image ponctuelle se trouve sur le

cercle unité de centre 1; 1 en utilisant une représentation paramétrique de ses points.

Question supplémentaire : déterminez la transformation géométrique associée à f .


a) Démontrez à la main l’appartenance (ou non) des nombres 0, 1 et 1 à l’ensemble de

Mandelbrot.

b) Vérifiez vos résultats en utilisant la fonction appropriée de Mathematica.

Exercice 39 [avec Mathematica]

Dessinez une approximation de l’ensemble de Mandelbrot à partir des trois premières propriétés

données.



Exercice 40 [avec Mathematica]

Le but de cet exercice est de dessiner une approximation de l’ensemble de Mandelbrot (ce dessin

sera une approximation car nous n’avons pas de critère d’appartenance). Pour se faire, procéder

de la façon suivante :

1. Définissez un module couleur candidat,n qui retourne White si zn 2 pour

c candidat (cela signifie que nous sommes certains que candidat n’appartient pas à

l’ensemble de Mandelbrot) et Blue sinon (ce qui signifie que candidat appartient peut-être à

l’ensemble de Mandelbrot).

2. Définissez un fonction carre x,y ,dim qui retourne une primitive graphique correspondant à

un carré de côté dim centré en x,y . Comme carre est une primitive graphique (au même

titre que Circle, Line,...), l’affichage d’un ou plusieurs carrés se fera en utilisant la fonction

Graphics.

3. Définissez une fonction mandelbrot xmin,ymin , xmax,ymax , ,it qui fait le dessin

désiré avec la marche à suivre ci-dessous. Attention, afin d’éviter de longues attentes de

réponse de Mathematica, faites d’abord des tests avec peu d’itérations de la suite zn et

peu de points.

3.1. Définissez la fonction Mandelbrot pour qu’elle génére un liste de points allant de

xmin,ymin à xmax,ymax avec une distance entre chaque abscisse et chaque

ordonné (on parle de maillage de largeur ).

Par exemple, mandelbrot 2, 1 , 1,1 ,0.5,15 générere la liste de points

{{-2,-1},{-2,-0.5},{-2,0},...{1,0.5},{1,1}}.

3.2. Modifiez la fonction mandelbrot pour qu’elle génére une liste de couples couleur-carré

avec :

des carrés de côté centrés sur les points du maillage précédent (reprendre pour cela la

fonction carre),

la couleur déterminée par la fonction couleur pour it itérations de la suite zn , le

candidat étant le centre du carré considéré.

Par exemple, mandelbrot 2, 1 , 1,1 ,0.5,15 générere puis évalue la liste

couleur 2, 1 ,15 ,carre 2, 1 ,0.5 , couleur 2, 0.5 ,15 ,

carre 2, 0.5 ,0.5 ,..., couleur 1,1 ,15 ,carre 1,1 ,0.5

3.3. Nous avons alors une liste de couples couleur-carré qu’il ne reste plus qu’à afficher :

modifiez la fonction précédente pour que cet affichage se fasse.

4. Dessinez une approximation de l’ensemble de Mandelbrot entre 2; 1 et 0.5; 1 avec un

maillage de un centième de largeur et 15 itérations de la suite zn .



Nombres et fonctions complexes - Collège du...

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