Chapitre 2Nombres complexesObjectifs Connatreunednitiondescomplexes,uneinterprtationgomtrique.Savoirfairedescalculssurlescomplexes et rsoudre les quations du second degr. Connatre les notions de conjugaison, de module et dargument dun complexe. Savoir calculer les racines n-imes dun complexe. Connatre la fonction exponentielle complexe. Connatre les applications gomtriques : afxes, distances, angles, transformations (similitudes directes)...SommaireI) Construction de lensemble des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11) Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12) Oprations sur les complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13) Notation algbrique des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2II) Module dun nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31) Conjugu dun nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32) Module dun complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33) quation du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3III) Nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41) Le groupe unit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42) Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43) Exponentielle dun imaginaire pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54) Formules dEuler et de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6IV) Argument dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61) Forme trigonomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62) Racines n-imes dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7V) Reprsentation gomtrique des complexes, applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81) Afxe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82) Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93) Angles orients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94) Transformations du plan complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10VI) Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111) Notion de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112) Notion de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113) Morphisme de corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12VII) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12MPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org 1Construction de lensemble des complexes Chapitre 2 : Nombres complexesI) Construction de lensemble des complexes1) DnitionDFINITION 2.1Un nombre complexe est un couple de rels. Lensemble des nombres complexes est donc lensembleE2. On peut alors crire C =|(x, y) / x, y E|, ou encore, z C, x, y E, z = (x, y), de plusles relsxet ysont uniques. Le rel xest appel partie relle de z, not Re(z), et le rel yestappel partie imaginaire de z, not Im(z).2) Oprations sur les complexesNous allons dnir dans C, deux oprations (ou lois de composition internes), une addition et unemultiplication. Soient z = (x, y) et z/ = (x/, y/) deux complexes.On dnit la somme z +z/ en posant : z +z/ = (x + x/, y + y/). On vrie que cette loi possde desproprits analogues celles de laddition des rels, savoir :lassociativit : z, z/, z// C, (z +z/) +z// = z + (z/ +z//).la commutativit : z, z/ C, z +z/ = z/ +z.il y a un lment neutre qui est le complexe (0, 0) : z C, z + (0, 0) = (0, 0) +z = z.tout complexe zpossde un oppos (not z) : z = (x, y) C, z = (x, y) et z + (z) =(z) +z = (0, 0).On dnit le produit z z/ (ou plus simplement zz/), en posant z z/ = (x x/ y y/, x y/ + x/y). Onvrie que cette loi possde des proprits analogues celles de la multiplication des rels, savoir :lassociativit.la commutativit.existence dun lment neutre, cest le complexe (1, 0).tout complexe z non nul (ie z ,= (0, 0)) admet un inverse (not z1ou1z), et si z = (x, y), alors :z1= (xx2+ y2,yx2+ y2) et z z1= z1z = (1, 0).distributivit sur laddition : z, z/, z// C, z (z/ +z//) = z z/ +z z//.On rsume lensemble des proprits de ces deux lois, on disant que (C, +, ) est un corps commutatif.On remarquera que (E, +, ) et (Q, +, ) sont galement deux corps commutatifs.3) Notation algbrique des complexesPlongement de E dans C.THORME 2.1_La fonctionf : E C, dnie par x E, f (x) = (x, 0), est un morphisme de corps.Preuve: Il nous faut montrer quef est un morphisme de corps, cest dire : f (x + y) =f (x) + f ( y), f (x y) =f (x) f ( y) etf (1) = (1, 0), ce qui ne prsente pas de difcults. En identiant tout rel x avec son imagef (x) (ie (x, 0)), on peut considrer que E est inclus dans C.On dit que lon a plong E dans C et on dira dornavant que E est un sous - corps de C. Par exemple, lecomplexe (1, 0) sera not simplement 1 car (1, 0) = f (1), de mme, le complexe (0, 0) est not simplement0.MPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org 2Module dun nombre complexe Chapitre 2 : Nombres complexesDFINITION 2.2Les complexes de la forme (0, y) sont appels imaginaires purs, en particulier, le complexe (0, 1)est not i. On pose donc i = (0, 1). Lensemble des imaginaires purs est not iE.THORME 2.2___On a lgalit remarquable i2= 1. De plus tout complexe z scrit sous la forme z = x +i y o xestla partie relle de z ety la partie imaginaire. Cest la notation algbrique de z.Preuve: Soit xla partie relle de z ety sa partie imaginaire, cela signie que z = (x, y), or (x, y) = (x, 0) + (0, y) et(x, 0) = x. Dautre part, i y = (0, 1) ( y, 0) = (0, y). On a donc bien z = x + i y. Quelques proprits :a) z = z/ _Re(z) = Re(z/)Im(z) = Im(z/).b) z E Im(z) = 0.c) z iE Re(z) = 0.d) Re(z +z/) = Re(z) +Re(z/) et Im(z +z/) = Im(z) +Im(z/).e) Si est un rel, alors Re(z) = Re(z), et Im(z) = Im(z).f) Formule du binme de Newton1:z, z/ C, n N, (z +z/)n=n

k=0_nk_zkz/nk=n

k=0_nk_znkz/k.II) Module dun nombre complexe1) Conjugu dun nombre complexeDFINITION 2.3Soit z = x + i y un complexe, on appelle conjugu de z, le complexe not z et dni par z = x i y.On a donc Re(z) = Re(z) et Im(z) = Im(z).Proprits de la conjugaison :THORME 2.3__Soient z, z/ C, on a : i) z +z/ = z +z/ii) zz/ = zz/iii) z = z.Preuve: En exercice. retenir : z +z = 2Re(z);z z = 2iIm(z);z E z = z;z est un imaginaire pur ssi z = z.2) Module dun complexeSoit z = x + i y un complexe, on a z z = x2+ y2et cette quantit est un rel positif.1. NEWTON Isaac(1642 1727) : mathmaticien et physicien anglais.MPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org 3Module dun nombre complexe Chapitre 2 : Nombres complexesDFINITION 2.4Soit z C, on appelle module de z, le rel positif not [z[ et dni par : [z[ =_zz.Proprits du module :a) [z[ = 0 z = 0.b) [Re(z)[ [z[ et [Im(z)[ [z[.c) Si z est rel, alors son module concide avec sa valeur absolue.d) [zz/[ = [z[[z/[, en particulier, n N, [zn[ = [z[n(ceci reste valable pour n Z si z ,= 0).e) [z[ = [z[.f) [[z[ [z/[[ [z z/[ [z[ +[z/[ (ingalit triangulaire).g) Pour mettre le complexezz/sous forme algbrique, il suft de multiplier en haut et en bas par z/.THORME 2.4___Soient z et z/ deux complexes non nuls, [z +z/[ = [z[ +[z/[ ssi il existe un rel strictement positif tel que z = z/.Preuve:Sionaz=z/,alors [z + z/[= [z/ + z/[=(1 + )[z/[= [z/[ + [z/[= [z/[ + [z[.Rciproquement,si[z+z/[ = [z[+[z/[, alors [z+z/[2= ([z[+[z/[)2, ce qui donne en dveloppant, [z[2+[z/[2+2Re(zz/) = [z[2+[z/[2+2[z[[z/[,on en dduit que Re(zz/) = [zz/[ ce qui prouve que zz/ est un rel positif. Il suft alors de prendre = zz//[z/[2, cestbien un rel strictement positif, et on a la relation voulue. 3) quation du second degrTHORME 2.5___Soit a C, lquation z2= a admet dans C deux solutions opposes (toutes deux nulles lorsquea = 0).Preuve: Soit z0 une solution, alors lquation z2= a quivaut z2= z20, cest dire (z z0)(z +z0) = 0, do z = iz0,il reste montrer lexistence dune solution z0. Posons a = u + i v et z = x + i y, lquation z2= a est quivalentex2 y2= u et 2x y=v. On doit avoir galement [z[2= [a[, cest direx2+ y2= [a[, par consquent on a :x2=u+[a[2, y2= [a[u2et 2x y = v. Une solution z0 = x0 + i y0 sobtient en prenant : x0 =_[a[+u2et y0 = _[a[u2avec= 1 si v , 0 et= 1 si v < 0, car on a 2x0y0 = [v[ = v. Exemples: Si a est un rel strictement positif, alorsv = 0 et u > 0 do [a[ = u et doncx0 = _a et y0 = 0, les deuxsolutions sont i_a, elles sont relles. Si a est un rel strictement ngatif, alors v = 0 et u < 0 do [a[ = u et donc x0 = 0 ety0 =_a, les deuxsolutions sont ii_a, ce sont des imaginaires purs.THORME 2.6________Soient a, b, c C avec a , = 0, lquation az2+ bz + c = 0 admet deux solutions complexes qui sontz1 = b+2aet z2 = b2aavec C tel que2= =b24ac(discriminant). De plus, lorsqueles coefcients a, b, c sont rels et que le discriminant b24ac est strictement ngatif, ces deuxsolutions sont complexes non relles et conjugues.Preuve: Lquation est quivalente : (z +b2a)2b24ac4a2= 0. Posons Z = z +b2aet = b24ac, on sait que admetdeux racines carres dans C, soit lune delles (2= ), lquation est quivalente : Z2=24a2, on en dduit queZ = i2aet donc z = bi2a. Lorsque les trois coefcients sont rels, le discriminant est lui aussi un rel, sil eststrictement ngatif, alors on peut prendre = i_ et les solutions sont dans ce cas z = bii_2a, on voit que celles- ci sont complexes non relles et conjugues. Lasommeetleproduitdecesdeuxsolutions,sontdonnsparlesrelations:z1 + z2=S= baetz1z2 = P =ca. De plus on a la factorisation : z C, az2+ bz + c = a(z z1)(z z2).MPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org 4Nombres complexes de module 1 Chapitre 2 : Nombres complexesIII) Nombres complexes de module 11) Le groupe unitDFINITION 2.5On note U lensemble des complexes de module 1 : U = |z C / [z[ = 1|, cest une partie de C.Il est facile de vrier que lensemble U :est stable pour la multiplication : z, z/ U, zz/ U.est stable pour le passage linverse : z U, z ,= 0 et z1 U.contient 1.De plus, la multiplication dans U est associative (elle lest dans C), on dit alors que (U, ) est un groupemultiplicatif. Comme la multiplication est en plus commutative, on dit que (U, ) est un groupe ablien(ou commutatif), ce groupe est parfois appel groupe unit de C.2) Exponentielle complexeDFINITION 2.6Soit z =x + i yun nombre complexe, on appelle exponentielle de z le complexe not exp(z) etdni par : exp(z) = ex[cos( y) + i sin( y)].Remarques: Si z est rel (iey = 0), alors lexponentielle de z correspond lexponentielle relle de z. De mme, si z estimaginaire pur (x = 0), alors exp(z) = exp(i y) = cos( y) + i sin( y). exp(0) = 1. exp(z) =1exp(z). Re(exp(z)) = eRe(z)cos(Im(z)) et Im(exp(z)) = eRe(z)sin(Im(z)). [ exp(z)[ = eRe(z)et Arg(exp(z)) = Im(z) (2). exp(z) = exp(z).THORME 2.7______La fonction exp : C C est 2i-priodique, surjective, et vrie :z, z/ C, exp(z +z/) = exp(z) exp(z/).Preuve: Il est clair daprs la dnition queexp(z) ne peut pas tre nul, donc exp(z) C. Posons z=x + i y,exp(z +2i) = ex[cos( y +2) +i sin( y +2)] = exp(z). Soit a un complexe non nul, lquation exp(z) = a quivaut [a[ = exet Arg(a) = y(mod 2), donc les complexes z = ln([a[)+i( y +2k) (o k parcourt Z) sont les antcdentsde a, en particulier les solutions de lquation exp(z) = 1 sont les complexes z = 2ik, k Z. Soit z/ = x/+i y/ un autrecomplexe, exp(z +z/) = ex+x/[cos( y + y/)+i sin( y + y/)], et exp(z) exp(z/) = ex+x/[cos( y) cos( y/)sin( y) sin( y/)] =ex+x/[cos( y + y/) + i sin( y + y/)]. On peut dduire de cette proprit le calcul suivant :exp(z) = exp(z/) exp(z)exp(z/) = 1exp(z) exp(z/) = 1exp(z z/) = 1k Z, z = z/ +2ik.MPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org 5Nombres complexes de module 1 Chapitre 2 : Nombres complexesLa proprit fondamentale de lexponentielle complexe : exp(z +z/) = exp(z) exp(z/), est la mme quecelle de lexponentielle relle. Par analogie, exp(z) sera not ez. La proprit scrit alors :ez+z/= ezez/et on peut crire dsormais ei y= cos( y) + i sin( y).3) Exponentielle dun imaginaire purPour tout rel x, on a ei x= cos(x) + i sin(x), et les proprits suivantes : x E, ei x= cos(x) + i sin(x) = cos(x) i sin(x) = ei x. x E, [ei x[ =_cos(x)2+sin(x)2= 1, donc ei x U. x, y E, ei xei y= ei(x+y).Soit z = x + i y un complexe de module 1, on a x2+ y2= 1, donc il existe un rel (unique 2prs) tel que x = cos() ety = sin(), cest dire z = ei.Soit x, y E, ei x= ei y_cos(x) = cos( y)sin(x) = sin( y) x = y (2).On peut donc noncer le thorme suivant :THORME 2.8_____La fonctionf : E U, dnie par x E, f (x) = ei x, est une application surjective qui vrie pourtous rels xety:f (x + y) =f (x) f ( y). De plus, f (x) =f ( y) x =y (2), en particulierf (x) = 1 x 2Z.Ce thorme permet de retrouver les formules trigonomtriques.Exemples: cos(x + y) = Re(ei(x+y)) = Re(ei xei y) = cos(x) cos( y) sin(x) sin( y). sin(x + y) = Im(ei(x+y)) = Im(ei xei y) = cos(x) sin( y) +sin(x) cos( y).En posant a =x + y2et b =x y2on obtient : cos(x) +cos( y) = cos(a + b) +cos(a b) = 2cos(a) cos(b) = 2cos(x+y2) cos(xy2). cos(x) cos( y) = cos(a + b) cos(a b) = 2sin(a) sin(b) = 2sin(x+y2) sin(xy2). sin(x) +sin( y) = sin(a + b) +sin(a b) = 2sin(a) cos(b) = 2sin(x+y2) cos(xy2)...etc4) Formules dEuler et de MoivreFormule de Moivre2: n Z, x E, einx= [ei x]n= [cos(x) + i sin(x)]n. On en dduit que :cos(nx) = Re([cos(x) + i sin(x)]n) etsin(nx) = Im([cos(x) + i sin(x)]n). laide du binme de Newton ces formules permettent dexprimer cos(nx) et sin(nx) sous forme dunpolynme en cos(x) et sin(x).Exemples: cos(4x) = Re([cos(x)+i sin(x)]4) = cos(x)46cos(x)2sin(x)2+sin(x)4. En remplaant sin(x)2par 1cos(x)2,on pourrait obtenir cos(4x) en fonction de cos(x) uniquement. sin(4x) = Im([cos(x) + i sin(x)]4) = 4cos(x)3sin(x) 4cos(x) sin(x)3.Formules dEuler3: x E : cos(x) =ei x+ei x2etsin(x) =ei xei x2i.Ces formules permettent la linarisation de cos(x)net sin(x)n.Exemples: cos(x)3=(ei x+ei x)38=ei3x+3ei2xei x+3ei xei2x+ei3x8=cos(3x)+3cos(x)4. sin(x)3=(ei xei x)38i=ei3x3ei2xei x+3ei xei2xei3x8i=3sin(x)sin(3x)4.2. MOIVRE Abraham DE (1667 1754) : mathmaticien franais, il sexpatria Londres lage de dix-huit ans.3. EULER Lonhard (1707 1783) : grand mathmaticien suisse.MPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org 6Argument dun nombre complexe Chapitre 2 : Nombres complexesIV) Argument dun nombre complexe1) Forme trigonomtriqueSoit z U, on sait quil existe un rel(unique 2 prs) tel que z = ei. Si maintenant z est uncomplexe non nul quelconque alorsz[z[ U et donc il existe un rel (unique 2 prs) tel quez[z[ = ei,cest dire z = [z[ei.DFINITION 2.7Soit z un complexe non nul, on appelle argument de z tout rel tel que z = [z[ei, cette galitest appele forme trigonomtrique de z. Lensemble des arguments de z est not arg(z), on a doncarg(z)=| E/ z = [z[ei|, et si 0 est un argument de z, alors arg(z)=|0 +2k/ k Z |.0 1 2 10121A(z)B(z[z[)DFINITION 2.8Soit z C, z possde un unique argument dans lintervalle ] ; ], par dnition cet argumentest appel argument principal de z et not Arg(z).Exemples: Arg(i) =2, Arg( ) =23 . si x E+alors Arg(x) = 0 et si x E alors Arg(x) = . Si z = ei x+ ei y, alors :z = eix+y2[eixy2+ eixy2] = 2cos(x y2)eix+y2do [z[ = 2[ cos(xy2)[ et Arg(z) =x+y2().Proprits : Soient z, z/ C avec = Arg(z) et / = Arg(z/) :a) z = z/ _ [z[ = [z/[ = / (2).b) z E = 0 ().c) z = [z[eidonc Arg(z) = (2).d) z = [z[ei(+)donc Arg(z) = + (2).e) zz/ = [zz/[ei(+/)donc Arg(zz/) = +/ (2).f)zz/= [z[[z/[ei(/)donc Arg( zz/) = / (2).g) n Z, zn= [zn[eindonc Arg(zn) = n(2).Remarque: Soient a,b deux rels non tous deux nuls et soit x E, en posant z = a + i b = [z[eion obtient :a cos(x) + b sin(x) = Re(zei x) = [z[ cos(x ) =_a2+ b2cos(x ).MPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org 7Reprsentation gomtrique des complexes, applications Chapitre 2 : Nombres complexes2) Racines n-imes dun nombre complexeDFINITION 2.9Soit a, z0 deux complexes et n N, on dit que z0 est une racine n-ime de a lorsque zn0 = a.Rsolution de lquation zn= a :THORME 2.9_________Soit n un entier suprieur ou gal 2, et a un complexe non nul. Lensemble des racines n-imes dea (que lon note Rn(a)) est un ensemble ni de cardinal n, et pour tout argument de a on a :Rn(a) =_n_[a[ei+2kn/ 0 k n 1_.Preuve: Posons pour k _ 0n 1, zk =n_[a[ei+2kn, il est clair que zk est une racine n-ime de a. Si zk = zk/ alors +2k = +2k/ (2n), do k k/ nZ, or k et k/ sont dans lintervalle_ 0n 1 ce qui entrane k = k/, ceciprouve que a possde au moins n racines n-imes : z0, , zn1.Soit z une racine n-ime de a, lgalit zn= a entrane que [z[n= [a[ et nArg(z) = (2), do [z[ =n_[a[ etArg(z) =+2kn, k Z. Effectuons la division euclidienne de k par n, il existe deux entiers q et r tels que k = nq + ravec 0 r n 1, on a donc Arg(z) =+2rn(2) et par consquent z = zr, ceci prouve que les seules racinesn-imes de a sont z0, , zn1. Cas particuliers des racines n-imes de lunit :DFINITION 2.10Soit n un entier suprieur ou gal deux, on note Un lensemble des racines n-imes de lunit, on adonc :Un = |z U / zn= 1| =_e2ik/n/ 0 k n 1_M1M2M3M4M5M6M01 111Mk est le point dafxe e2ik/n(n = 7).Soit a un complexe non nul et soit z0 une racine n-ime de a. Lquation zn= a quivaut zn= zn0, ouencore_ zz0_n= 1. On est ainsi ramen aux racines n-imes de lunit, on en dduit que z = z0ei2k/navec0 k n 1.V) Reprsentation gomtrique des complexes, applicationsLe plan complexe est un plan muni dun repre orthonorm direct % = (O,u,v).MPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org 8Reprsentation gomtrique des complexes, applications Chapitre 2 : Nombres complexes1) AfxeChaque point Mdu plan complexe est repr par ses coordonnes : une abscisse xet une ordonney, cest dire par le couple de rels (x, y). Autant dire que Mest repr par le complexe z = x + i y. Pardnition, ce complexe est lafxe du point M.OM(x, y)uvxyRciproquement, tout complexe z est lafxe dun point Mdu plan que lon appelle image de z. Lesaxes (O,u) et (O,v) sont appels respectivement axes des rels et axe des imaginaires.Par exemple, limage de z est le symtrique de limage de z par la rexion daxe (O,u).De la mme faon, chaque vecteur du plan a des coordonnes dans la base (u,v). Si w a pourcoordonnes (x, y), cela signie que w= xu + yv, l encore le vecteur wpeut tre reprsent par lecomplexe x +i y, ce complexe est appel afxe du vecteur w. Rciproquement, tout complexe z est lafxedun vecteur du plan. On remarquera que lafxe dun point Mnest autre que lafxe du vecteur OM.) Lafxe de la somme de deux vecteurs est la somme des afxes. Si E et siwest le vecteur dafxez, alors lafxe du vecteur west z.) Soit Mdafxe z et M/ dafxe z/, lafxe du vecteur MM/est z/z.2) DistancesLe module dun complexe z reprsente dans le plan complexe la distance de lorigine O au point Mdafxe z, cest dire [z[ = OM = |OM |.Si west un vecteur dafxe z, alors la norme de west |w | = [z[.Soit Mdafxe z et M/ dafxe z/, la distance de M M/ est MM/ = |MM/ | = [z/z[.DFINITION 2.11Soit a C et R > 0, on dnit dans le plan complexe :le disque ferm de centre a et de rayon R : |M / [z a[ R|.le disque ouvert de centre a et de rayon R : |M / [z a[ < R|.le cercle de centre a et de rayon R : |M / [z a[ = R|.Exemples: La reprsentation gomtrique du groupe unit U =|z C / [z[ = 1| est le cercle de centre O et de rayon 1 :le cercle trigonomtrique. Les points dafxe les racines n-imes de lunit (n , 2) sont les sommets dun polygone rgulier inscrit dans lecercle unit. La longueur du cot est 2sin(n), et la longueur du centre au milieu dun cot (lapothme) estcos(n).3) Angles orientsSoit z un complexe non nul et Mle point du plan dafxe z, largument principal de z est une mesurede langle orient (u,OM ), ce que lon crit (u,OM ) = Arg(z) (2).MPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org 9Reprsentation gomtrique des complexes, applications Chapitre 2 : Nombres complexesOM(x, y)uvxyx + i y = reiavecr =_x2+ y2= OMr=OMSoient wet w/deux vecteurs non nuls dafxes respectifs z et z/. Dsignons par Met M/ les pointsdafxes respectifs z et z/, langle orient entre les deux vecteurs wet w/est :(w ,w/ ) = (OM,OM/ )= (OM,u) + (u,OM/ )= (u,OM ) + (u,OM/ )= Arg(z) +Arg(z/) (2)= Arg(z/z ) (2)Consquence : Soient A, B et C trois points distincts dafxes respectifs ZA, ZB et ZC. Lafxe du vecteur ABest ZB ZA et celui du vecteur AC est ZC ZA, par consquent langle (AB ,AC ) est donn par :(AB ,AC ) = Arg(ZC ZAZB ZA) (2).Rappels :Produit scalaire : soient z = x + i y = reiet z/ = x/ + i y/ = r/ei/deux complexes non nuls, soientwet w/deux vecteurs dafxes respectives z et z/, alors le produit scalaire entre ces deux vecteursest :w w/= x x/ + y y/ = Re(zz/) = Re(zz/) = r r/cos(/).Ce produit scalaire est nul ssi / =2(mod ) ce qui revient dire que (w ,w/ ) =2(mod )ou encore : les deux vecteurs sont orthogonaux.Dterminant : soient z = x + i y = reiet z/ = x/ + i y/ = r/ei/deux complexes non nuls, soient wet w/deux vecteurs dafxes respectives z et z/, alors le dterminant entre ces deux vecteurs est :det(w ,w/ ) = x y/ x/y = Im(zz/) = r r/sin(/).Ce dterminant est nul ssi / = 0 (mod ) ce qui revient dire que (w ,w/ ) = 0 (mod ) ouencore : les deux vecteurs sont colinaires.4) Transformations du plan complexeLimage du point M(z) par la translation de vecteur V(z0) a pour afxe z/ = z +z0.Limage du pointM(z) par lhomothtie de centre C(z0) et de rapport Ea pour afxe z/ =(z z0) +z0.Limage de M(z) par la rotation de centre C(z0) et dangle a pour afxe z/ = ei(z z0) +z0.Quelques transformations de dans :MPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org 10Annexe Chapitre 2 : Nombres complexesLapplicationf : M(z) M/(z) est lidentit du plan, note id .Lapplicationf : M(z) M/(z) est la rexion (ou symtrie orthogonale) par rapport laxe rel.Cest une involution.Soient a C, b C, etf : M(z) M/(az + b) :Lorsque a = 1f est la translation de vecteur w (b).Lorsque a ,= 1,f est la similitude directe de centre C(z0) avec z0 =b1a(point xe def ), dangleArg(a) et de rapport [a[, cest dire :CM/ = [a[CM, et (CM,CM/ ) = Arg(a) (mod 2).Commeaz + b=a(z z0) + z0, cettetransformationestlacompose(commutative)entrelhomothtie de centre C(z0), de rapport [a[ et la rotation de centre C(z0), dangle Arg(a). Cestune bijection et sa rciproque est la similitude directe de centre C(z0), de rapport1[a[et dangleArg(a).VI) Annexe1) Notion de groupeUn groupe est un ensemble non vide G muni dune opration (ou loi de composition) qui vrie lesproprits suivantes :elle doit tre interne : x, y G, x y G.elle doit tre associative : x, y, z G, x ( y z) = (x y) z.elle doit possder un lment neutre : e G, x G, e x = x e = x. Si la loi est une additionllment neutre sera not 0G et on parlera de groupe additif. Si la loi est une multiplication, llmentneutre sera not 1G et on parlera de groupe multiplicatif. Dans le cas gnral llment neutre estsouvent not eG.tout lment deGdoit avoir un symtrique dansG: x G, x/ G, x x/=x/ x=eG. Ennotation additive, le symtrique de x est appel oppos de x et not x, en notation multiplicativeon lappelle inverse de x et on le note x1.Lorsque toutes ces conditions sont remplies, on dit (G, ) est un groupe. Si en plus la loi est commuta-tive (x, y G, x y = y x), alors on dit que (G, ) est un groupe ablien (ou groupe commutatif).Exemples: (Z, +), (Q, +), (E, +), (C, +), (Q, ), (E, ), (C, ) sont des groupes abliens. (N, +) et (Z, ) ne sont pas des groupes. Si (E, +, ) est un corps, alors (E, +) est un groupe ablien et (E, ) est un groupe (ablien si le corps estcommutatif). Dans E = E\ |1| on dnit une opration en posant x, y E, x y = x + y x y. On vrie que (E, ) est ungroupe.Quelques proprits : Soit (G, ) un groupe :a) Soient x, y G, le symtrique de x y est : (x y)/ = y/ x/.b) Soient a, b G, lquation a x = b admet comme unique solution dans G, x = a/ b.2) Notion de corpsUn corps est un ensemble E muni de deux oprations (ou deux lois de composition), une addition etune multiplication. Ces deux oprations doivent vrier les proprits suivantes :Pour laddition :elle doit tre interne : x, y E, x + y E (on parle alors de loi de composition interne).elle doit tre associative : x, y, z E, (x + y) +z = x + ( y +z).elle doit tre commutative : x, y E, x + y = y + x.elle doit possder un lment neutre : e E, x E, e + x=x + e =x. Cet lment est engnral not 0E et appel zro de E.MPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org 11Exercices Chapitre 2 : Nombres complexestout lment de E doit avoir un oppos : x E, x/ E, x + x/ = x/ + x = 0E. Loppos de x esten gnral not x.Pour la multiplication :elle doit tre interne : x, y E, x y E.elle doit tre associative : x, y, z E, (x y)z = x( yz).elle doit possder un lment neutre : e E, x E, ex = xe = x. Cet lment est en gnralnot 1E et appel un de E.tout lment non nul de E doit avoir un inverse : x E\|0E|, x/ E, x x/ = x/x = 1E. Linversede x est en gnral not x1.elle doit tre distributive sur laddition : x, y, z E, x( y +z) = x y + xz et ( y +z)x = y x +zx.Lorsque toutes ces proprits sont vries, on dit (E, +, ) est un corps. Si de plus la multiplication estcommutative (x, y E, x y = y x) alors on dit que (E, +, ) est un corps commutatif.Par exemple, (E, +, ), (Q, +, ), (C, +, ) sont des corps commutatifs, mais (Z, +, ) nest pas uncorps.Quelques proprits : Si (E, +, ) est un corps :a) x E, 0Ex = x0E = 0E.b) x, y E, x y = 0E = x = 0E ouy = 0E.3) Morphisme de corpsSoient (E, +, ) et (F, +, ) deux corps commutatifs, et soitf : E Fune application. On dit quef estun morphisme de corps lorsque : x, y E, f (x + y) = f (x) + f ( y) etf (x y) = f (x) f ( y). f (1E) = 1F.Exemples: La conjugaison dans C est un morphisme de corps. La fonction g de E vers C dnie par g(x) = x est un morphisme de corps. La fonction h : E E dnie par h(x) = x2nest pas un morphisme de corps.Quelques proprits : Soitf : E Fest un morphisme de corps :a) f (0E) = 0F.b) x E, f (x) = f (x).c) x E, f (x1) = f (x)1.VII) ExercicesExercice 2.1Soitf : C C dnie par : z C, f (z) =z+izi. Montrer quef induit une bijection de C\ |i| surC\ |1|, dterminer la bijection rciproque. Dterminer la forme algbrique def (z), en dduirelimage rciproque de E et de U.Exercice 2.2Dterminer les complexes z tels que :a) z, 1zet 1 z aient le mme module.b) (z i)(z 1) E.c) (z i)(z 1) iE.Exercice 2.3a) Soient u et v deux nombres complexes, montrer que [u[ +[v[ [u + v[ +[u v[.b) Soientu etvdeux nombres complexes, montrer que [u + v[2+ [u v[2= 2_[u[2+[v[2_(formule de paralllogramme).c) Soient x, y, z, t des complexes, montrer que [x y[ [z t[ [x z[ [ y t[ +[x t[ [z y[(ingalit de Ptolme).MPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org 12Exercices Chapitre 2 : Nombres complexesExercice 2.4Dterminer le module et largument des complexes suivants :_1 + i_31 i_20et1 + ei1 eiExercice 2.5Soit x, y, z trois rels tels que ei x+ ei y+ eiz= 0. Montrer que ei2x+ ei2y+ ei2z= 0.Exercice 2.6Soient a, b, c trois complexes de module 1 distincts deux deux, montrer queab(cb)2(ca)2 E+.Exercice 2.7Linariser sin3(x) cos(x).Exercice 2.8Rsoudre cos(3x) 2cos(2x) = 0.Exercice 2.9Soient a, b, c, d quatre complexes tels que a +c = b +d et a +i b = c +id. Que dire du quadrilatreform par les quatre points dafxes respectives a, b, c et d ?Exercice 2.10Soit z un complexe de module 1. Montrer que [1 +z[ , 1 ou [1 +z2[ , 1.Exercice 2.11Rsoudre dans C les quations suivantes :a)z+3z+i= 1 + i b) (1 + i)z + (z i)z = 2ic) z(z i) =1+i1id) z2= z2e) 8z2= z f) 8z2= z 1g) z2(2 + i)z + i+2 = 0 h) z43iz2+4 = 0i) z4= 24i 7 j) z6=1+i_31i_3k) z4=1i1+i_3l) z = zn+1m) z4z3+z2z +1 = 0Exercice 2.12Rsoudre dans C les quations suivantes :a) 1 +2z +2z2+ +2zn1+zn= 0b)_Arg(z) =Arg(z +1) (2)[z[ = 1c) 2Arg(z + i) = Arg(z) +Arg(i) (2)d) (z + i)n= (z i)n.Exercice 2.13a) Rsoudre dans C lquation (1 z)2n= (1 + z)2net calculer le produit des solutions nonnulles.b) Soient a E et n N, rsoudre lquation (z +1)n= e2ina.Exercice 2.14a) Dmontrer quen

k=1kik1=inin(n+1)in+12.b) En dduire une simplication des sommes relles :S1 = 1 3 +5 7 + + (1)p(2p +1) et S2 = 2 4 +6 8 + + (1)p+12pMPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org 13Exercices Chapitre 2 : Nombres complexesExercice 2.15Soit u = e2i7, S = u +u2+u4et T = u3+u5+u6.a) Montrer que S et Tsont conjugus et que la partie imaginaire de S est positive.b) Calculer S + Tet ST. En dduire S et T.Exercice 2.16a) Calculer la somme puis le produit des racines n-imes de lunit.b) Soitune racine n-ime de lunit, simplier la somme :n

k=1kk1.Exercice 2.17Simplier les sommes suivantes :a)n

k=0Ckncos(x + ky) etn

k=0Cknsin(x + ky) pour x ety rels.b)n

k=0cos(kx)cos(x)ketn

k=0sin(kx)cos(x)kpour x rel et cos(x) ,= 0.c)n

k=112k cos(k3).d)n

k=0cos2(kx) etn

k=0sin2(kx)Exercice 2.18Dterminer dans le plan lensemble des points M(z) tels que les trois points A(1), M(z) et B(1 +z2)soient aligns.Exercice 2.19Soient A, B et C trois points du plan dafxes respectives a, b et c. Montrer que le triangle (A, B, C)est quilatral direct ssi a + b + c 2= 0.Exercice 2.20a) Soit ABCD un carr dans le plan complexe. Montrer que si A et B ont des coordonnes entires,alors il en va de mme pour C et D.b) Peut-on trouver un triangle quilatral dont les trois sommets ont des coordonnes entires ?Exercice 2.21Soient z = e2i/5.a) Montrer que z vrie z4+z3+z2+z +1 = 0.b) Soit u = z +1z, Montrer que u vrie une quation du second degr ( prciser).c) En dduire cos(25 ) et sin(25 ), puis cos(5) et sin(5).Exercice 2.22Soient a, b deux rels.a) Montrer que sin2(a) +sin2(b) +sin2(a + b) = 2 2cos(a) cos(b) cos(a + b).b) Soit ABCun triangle, on note langle (AB ,AC ) = a, et par permutation circulaireb etc.Montrer que ce triangle est rectangle si et seulement si sin2(a) +sin2(b) +sin2(c) = 2.Exercice 2.23Soient a, b, c, dquatre complexes de module 1 et de somme nulle. On note A, B, C, D les pointsdafxes respectives a, b, c, d et on suppose que le quadrilatre (A, B, C, D) est non crois.a) Montrer que ce quadrilatre est un paralllogramme (et mme un rectangle). Que dire alorsdes complexes a, b, c, d ?b) Application : trouver tous les complexes a, b, c de module 1 vriant :_a + b + c = 1abc = 1MPSI - COURS c _Fradin Patrick http://mpsi.tuxfamily.org 14