Méthodes de grandes déformations pourl'appariement de sous-varietés: transport

de masse et transport de courants.

Joan Glaunès

Université Paris 13 (LAGA/L2TI)

GDR Isis - 9 juin 2005

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Position du problème

• On cherche des méthodes pour mettre en correspondance des

courbes/surfaces par des transformations de l'espace ambiant.

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Cadre général: Groupes de déformations, objets

et actions

• espace ambiant: Ω ouvert de Rd, ou variété de Riemann.

• G groupe de transformations inversibles de Ω(translations/rotations, diéomorphismes, ...)

• objets d'étude: images f : Ω → R, points caractéristiques

(xi)1≤i≤n ⊂ Ω, sous-ensembles A ⊂ Ω, mesures µ ∈Ms(Ω).

• action de φ ∈ G sur les objets.

→ φ.f = f φ−1 pour une image,

→ φ.(xi)1≤i≤n = (φ(xi))1≤i≤n pour des points.

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Formulation générale du problème d'appariement

On cherche à apparier au mieux deux objets a et b par une

déformation "raisonnable".

• appariement inexact

J = γE(φ) + R(φ.a, b)

E énergie (coût) de la déformation, R attache aux données

→ R =∫Ω|h− j φ−1|2dx pour les images

→ R =∑

d(yi, φ(xi))2 pour les points

• appariement exact: J = E(φ) avec contrainte φ.a = b

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Groupes de déformations élastiques

• Les déformations sont obtenues par intégration d'une famille

(vt), t ∈ [0, 1] de champs de vecteurs:

φvt (x) =

∫ t

0

vs φs(x)ds.

• vt ∈ V espace de Hilbert de champs de vecteurs construit à

partir de son noyau reproduisant kV . Le choix de kV permet de

régler le type de déformations souhaités.

• l'énergie de déformation totale est mesurée par

E(v) =∫ 1

0|vt|2V dt

• Sous des conditions de régularité formulées sur kV ou sur V , on

prouve que l'ensemble G = φv1, v ∈ L2([0, 1], V ) des

transformations obtenues est un groupe de diéomorphismes

muni d'une métrique.

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Le noyau reproduisant kV

• de V vers kV : Si les fonctionnelles d'évaluation

δαx : v 7→ α · v(x) sont continues dans V , alors V possède un noyau

reproduisant kV : Ω2 → Sd déni par:

〈v, kV (x, ·)α〉V = δαx (v) = α · v(x).

• de kV vers V : Si kV est un noyau positif, i.e. pour tous xi, αi,∑i,j α∗

jkV (xi, xj)αi ≥ 0, alors on peut construire V par completion

de l'espace des fonctions de type∑

i kV (xi, ·)αi.

• Si kV est invariant par translations et rotations (pour Ω = Rd),

alors il se met sous la forme kV (x, y) = hV ( |x−y|σV

)id (σV est un

paramètre déchelle).

→ On a alors kV noyau positif ssi FhV ≥ 0.

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Du noyau aux diéomorphismes

noyau scalaire hV

champ spline

kV (xi, x)αi

∑ni=1 kV (xi, x)αi

⇒ ⇒

⇓ completion

⇐

diéomorphisme

φv1 ∈ G

champ vt ∈ V

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Expression des solutions optimales

• Pour un problème d'appariement donné, si le terme d'attache R

n'est fonction que des images de certains points xi, alors la solution

optimale sera de la forme

vt =∑

i

kV (xit, ·)αit

où xit = φvt (xi). Les vecteurs moments αit deviennent les variables

de minimisation.

• On a alors

|vt|2V =∑i,j

α∗jtkV (xit, xjt)αit.

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Sous-variétés vues comme mesures.

Transport de masse

• On modélise une sous-variété S par une mesure µS sur Ω:∫Ω

f dµS =∫

S

f ds.

• On dénit une action du groupe G sur les mesures de Borel

signées µ ∈Ms(Ω), appelée transport de masse:∫Ω

f d(φ.µ) =∫

Ω

f φ dµ.

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Appariement de mesures

• On dénit I espace de Hilbert fonctionnel sur Ω tel que

Ms(Ω) ⊂ I ′. Deux mesures µ et ν sont comparées via la norme

duale |µ− ν|I′ .

• Etant donné deux mesures µ et ν, l'appariement de µ et ν est

réalisé par minimisation de

J(v) = γ

∫ 1

0

|vt|2V dt + |φv1.µ− ν|2I′ .

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Implementation: utilisation des noyaux

• On approche µS et µT par des sommes de masses de Dirac:

µS =m∑

i=1

ai δxi, µT =

n∑j=1

bj δyj,

où les xi et yj sont des points de S et T , et les ai, bj des scalaires.

• La fonctionnelle d'appariement de µS et µT s'écrit:

J = γ∑

i

αTjtkV (xit, xjt)αit dt +

∑i,j

aibj kI(φ(xi), yj).

→ La minimisation est eectuée sur les variables αit.

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Appariement de mesures

Exemples synthétiques

• mélange de diérentes données

• invariance par réechantillonage

• résistance au bruit

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• rejet des données non signicatives

• inuence de la taille des noyaux

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Appariement de mesures

Exemples synthétiques de Rangarajan

↓ ↓ ↓ ↓

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Appariement de mesures

Expériences sur l'hippocampe

• recalage sain/sain

• recalage sain/Alzheimer

données: LENA, Pitié Salpétrière

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Application à l'image: transfert de palette

entre deux images

image 1image 1 avec palette

intermédiaireimage 2

espace RGB

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Formes diérentielles et courants

• courant = forme linéaire sur l'espace des m-formes diérentielles.

• Toute sous-variété orientée S de dimension m peut être vue

comme un courant: si ω est une m-forme,

S(ω) =∫

S

ωx(u1x, . . . , um

x ) ds(x),

si (u1x, . . . , um

x ) est une base orthonormée de TxS.

→ Si m = d− 1, le m-vecteur −→n = u1x ∧ . . . ∧ um

x s'identie au

vecteur unitaire normal; le courant S s'identie alors au champ de

vecteurs normaux à S considéré comme mesure vectorielle.

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Action d'une déformation sur un courant

• L'action de φ ∈ G sur S est dénie par

φ]S(ω) = S(φ]ω),

avec (φ]ω)x(α, β) = ωφ(x)(dxφ.α, dxφ.β).

→ cette action coincide avec l'action naturelle sur les

sous-ensembles de Rd: φ]S = φ(S).

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Appariement de courants

• W espace de Hilbert de m-formes sur Ω tel que W ′ contient les

courants associés aux sous-variétés. En pratique, pour m = d− 1,on identie les éléments de W à des champs de vecteurs. On

mesure la diérence entre deux sous-variétés S et T par |S − T |W ′ .

• L'appariement de deux surfaces S et T est réalisé par

minimisation de

J(v) = γ

∫ 1

0

|vt|2V dt + |φv1.S − T |2W ′ .

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Application aux surfaces triangulées

• Soit S une surface triangulée. Pour une face f de S, on note

f1, f2, f3 ses sommets, cf = 13 (f1 + f2 + f3) son centre et

nf = 12 (f2 − f1)× (f3 − f1) son vecteur normal.

• On approche S par une somme de masses de Dirac vectorielles:

S =∑

f

δnfcf .

→ L'erreur vérie |S − S|W ′ ≤ σ(S)δ(S) où σ(S) est l'aire de S,

et δ(S) la longueur maximale des arêtes.

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Appariement de surfaces triangulées

méthode directe: on eectue l'appariement de S et T .

• L'action d'une déformation φ sur une masse de Dirac δnc s'écrit

φ]δfc = δ

φ]n

φ(c) avec φ]n = |dcφ|(dcφ)−∗n.

→ Le terme d'appariement s'écrit:

R = |φ]S − T |2W ′ =∑f,g

n∗gkW (φ(cf ), cg)φ]nf .

simplication: on tire partie de l'égalité φ]S = φ(S) et on choisit de

faire l'approximation à l'arrivée: on considère la surface triangulée

dont les sommets sont les images par φ de ceux de S (c'est une

approximation de φ(S)). En notant g ses sommets, on choisit donc:

R =∑f,h

n∗gkW (ch, cg)nh,

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Appariement de courants: exemples synthétiques

↓

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Appariement de courants

Expériences sur le planum temporale

• recalage gauche/gauche entre diérents sujets

• recalage droit/gauche: mesure de l'asymétrie

données: CIS, Baltimore

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