Mouvements dans un champ de forces centrales...

MacXIair:MPSI:Mécanique:Cours M 07 Forces centrales ds - 20 février 2012 page 1 / 8

Mécanique 7

Mouvements dans un champ de forces centrales conservatives

I. Forces centrales conservatives

I.1. Définitions

Lorsque dans une région de l'espace, un point matériel est soumis à une force qui dépend de la position du point, on dit que dans cette région de l'espace règne un champ de forces. La force sera alors notée

€

F (

€

r ).

Une force est dite centrale si, au cours du mouvement du mobile ponctuel M auquel elle est appliquée, le support de la force passe toujours par le même point fixe du référentiel.

Exemples : point lié par un fil à un point fixe, satellite d’une planète, électron d'un atome …

La singularité de ce point fixe impose l'utilisation de coordonnées sphériques.

Une force centrale est du type

€

F = F(

€

r )�

€

e r où

€

r et

€

e r sont définis par

€

OM =

€

r = r�

€

e r.

Cette force centrale est conservative s'il existe une fonction Ep telle que le travail de la force entre deux

positions M1 et M2 de M soit opposé à la variation de Ep soit W1→2 =

€

r1

r2∫

€

F �d

€

l = Ep1 – Ep2.

Ici

€

F = F(

€

r )�

€

e r donc seule la composante sur

€

e r de d

€

l a une contribution non nulle.

En effet en coordonnées sphériques OM

= r�

€

e r → d

€

l = dOM

= d(r�

€

e r) = dr�

€

e r + r�d

€

e r or

€

e r �d

€

e r = 0 puisque la dérivée de

€

e r lui est perpendiculaire.

→Ep2 - Ep1 = -

€

r1

r2∫ F(

€

r )�

€

e r�d

€

r = -

€

r1

r2∫ F(

€

r )�

€

e r�dr�

€

e r = -

€

r1

r2∫ F(

€

r )�dr

Nous limitons notre étude à celle des points matériels soumis à une force (ou une somme de forces) centrale conservative dans un référentiel galiléen.

I.2. Exemple interaction gravitationnelle

Soient deux masses ponctuelles m1 et m2 placées respectivement en M1 et M2 et r = M1M2. Ces deux

masses interagissent l'une sur l'autre et on supposera l'absence de toute autre action sur M1 ni M2.

• loi de force

€

F = -

€

G ⋅m1 ⋅m2

r 2 �

€

e 1→2 = - G•m1•m2•

€

M1M2

M1M23 et G est la constante de la gravitation

universelle G = 6,67�10-11 m3�s-2�kg-1 ≈

€

23�10-10 m3�s-2�kg-1.

⇒ Si le référentiel lié à M1 peut être considéré comme galiléen on peut dire que dans ce référentiel M2

est soumis à une force centrale constamment dirigée vers M1. On placera donc l'origine du repère

sphérique en M1.

G et les masses sont des grandeurs positives donc la force gravitationnelle est une force attractive. Pour

alléger l'écriture on pose k = G�m1�m2 > 0 →

€

F = -

€

kr 2 �

€

e r

• Cette force dérive de l'énergie potentielle gravitationnelle Ep = -

€

∫ F(r)�dr + C où C est une

constante → Ep =

€

∫

€

kr 2 �dr + C = -

€

kr

+ C. On pose par convention Ep(∞) = 0 → C = 0.

→ Ep = -

€

kr

= -

€

G ⋅m1 ⋅m2r

I.3. Exemple interaction électrostatique

Soient deux charges ponctuelles q1 et q2 placées respectivement en M1 et M2. Ces deux charges

interagissent l'une sur l'autre et on supposera l'absence de toute autre action sur M1 ni M2.

• loi de force

€

F =

€

14 ⋅ π ⋅ε0

�

€

q1 ⋅q2

r 2 �

€

e 1→2 =

€

14 ⋅ π ⋅ε0

�

€

q1 ⋅q2

r 2 �

€

M1M2

M1M22 où

€

14 ⋅ π ⋅ε0

= 9�109 m�F-1

Les charges sont des grandeurs algébriques donc la force électrostatique est une force attractive si q1�q2 < 0 et répulsive si q1�q2 > 0.


⇒ Si le référentiel lié à M1 peut être considéré comme galiléen on peut dire que dans ce référentiel M2

est soumis à une force centrale constamment dirigée vers M1. On placera donc l'origine du repère

sphérique en M1.

On peut encore pour alléger l'écriture poser k = -

€

14 ⋅ π ⋅ε0

�q1�q2 > 0 →

€

F = -

€

kr 2 �

€

e r de forme

identique à la force gravitationnelle mis à part qu'ici k peut être positif ou négatif.

• Cette force dérive de l'énergie potentielle électrostatique Ep = -

€

∫ F(r)�dr + C où C est une

constante → Ep =

€

∫

€

kr 2 �dr + C = -

€

kr

+ C. On pose par convention Ep(∞) = 0 → C = 0.

→ Ep = -

€

kr

=

€

14 ⋅ π ⋅ε0

�

€

q1 ⋅q2

r

II. Lois générales de conservation

Soit M un point de masse m mobile dans un référentiel galiléen R0 et soumis uniquement à une force

centrale conservative

€

F dont le support passe toujours par un point O fixe dan R0.

II.1. Moment cinétique en O

II.1.1. Conservation

€

F est donc colinéaire à

€

OM et son moment en O :

€

M O =

€

OM ∧

€

F =

€

0 donc

€

d

L Odt

=

€

0 .

Dans R0, galiléen, le moment cinétique est une constante du mouvement à force centrale.

La direction de

€

L joue un rôle particulier, donc les coordonnées cylindriques s’imposent ; on prendra

l’axe Oz perpendiculaire au plan (

€

r 0,

€

v 0) →

€

L O = LO�

€

e z = m�r�

€

e r ∧ (

€

˙ r �

€

e r + r�

€

˙ ϑ �

€

e ϑ) = m� r2�

€

˙ ϑ �

€

e z

II.1.2. Conséquences

• Trajectoire

€

L O =

€

OM ∧

€

p =

€

r ∧ m�

€

v = m�C�

€

e z où C =

€

LOm

est une constante que l’on détermine par les

conditions initiales :

€

L O = m�

€

r 0 ∧

€

v 0

⇒ Cas particulier : si

€

r 0 et

€

v 0 sont colinéaires, le moment cinétique en O de M est constamment nul.

Donc à chaque instant

€

r et

€

v sont colinéaires et la trajectoire est rectiligne.

⇒ Cas général :

€

L O = m�

€

r 0 ∧

€

v 0 ≠ 0 →

€

L O est perpendiculaire au plan formé par

€

r 0 et

€

v 0 et M

reste dans ce plan.

La trajectoire d’un mouvement à force centrale est plane.

• Loi des aires

€

L O = m�r�

€

e r ∧ (

€

˙ r �

€

e r + r�

€

˙ ϑ �

€

e ϑ) = m�C�

€

e z →

C = r2�

€

˙ ϑ constante

Entre t et t + dt, M se déplace sur sa trajectoire et le

rayon vecteur

€

OM tourne d'un angle dϑ =

€

˙ ϑ �dt. Il balaie l'aire dS =

€

12�r2�dϑ =

€

12�C�dt.

⇒ La vitesse aréolaire

€

dSdt

=

€

12�C = constante. Ce résultat est connu sous le nom de loi des aires :

Au cours d’un mouvement à force centrale, le rayon vecteur balaye des surfaces égales pendant des durées égales.

L'équation

€

L O = LO�

€

e z = m� r2�

€

˙ ϑ �

€

e z est appelée intégrale première des aires

⇒ C étant constant et r2 strictement positif,

€

˙ ϑ a toujours le même signe : le mouvement se fait toujours dans le même sens de rotation.

⇒ Pour un mouvement elliptique : P étant le point le plus proche de O (ou péricentre) et A le point le plus éloigné (ou apocentre), la vitesse circonférentielle est plus élevée au péricentre qu’à l’apocentre.


Remarque la loi des aires est vraie pour tout mouvement à force centrale quelle que soit la loi de force et donc la trajectoire.

II.2. Energie

II.2.1. Conservation

Par hypothèse, l'unique force subie par M est une force centrale conservative. Donc l'énergie mécanique du point M est une constante.

Em = EC + Ep =

€

12�m�v2 + Ep(r) =

€

12�m�

€

v02 + Ep(t =0) (intégrale première de l'énergie) et

€

dEmdt

= 0.

De ce qui précède nous avons déduit que la trajectoire de M est plane et donc les coordonnées

polaires s'imposent donc

€

v =

€

˙ r �

€

e r + r�

€

˙ ϑ �

€

e ϑ → v2 =

€

˙ r 2 + r2�

€

˙ ϑ 2

On élimine

€

˙ ϑ en utilisant la constante des aires C = r2�

€

˙ ϑ → r2�

€

˙ ϑ 2 =

€

C2

r 2

→ Em =

€

12�m�[

€

˙ r 2 +

€

C2

r 2 ] + Ep(r) ne dépend que de r et de sa dérivée temporelle

€

˙ r .

II.2.2. Energie potentielle effective

On peut séparer Em en deux termes dépendant l'un de

€

˙ r seul et l'autre de r seul :

Em =

€

12�m�

€

˙ r 2 + [

€

12�m�

€

C2

r 2 + Ep(r)].

€

˙ r est la composante radiale de la vitesse, et

€

12�m�

€

˙ r 2 est appelée énergie cinétique radiale.

Le second terme ne dépend que de la position du point M, comme une énergie potentielle. On l'appelle

énergie potentielle effective : Epeff =

€

12�m�

€

C2

r 2 + Ep(r) =

€

12�m�

€

C2

r 2 -

€

kr

L'énergie cinétique radiale est une grandeur toujours positive. Donc l'énergie potentielle effective est au maximum égale à l'énergie mécanique.

II.3. Analyse qualitative des mouvements possibles

Nous nous retrouvons donc exactement dans une situation déjà rencontrée : celle d'un système ponctuel à un seul degré de liberté, ici r, évoluant avec une énergie mécanique constante. Le profil d'énergie potentielle effective nous permet de décrire les différents mouvement possibles de M.

• Etats liés : cas 1 sur le schéma

La condition Epeff(r) ≤ Em limite l'espace accessible au point M à l'intervalle entre deux cercles de

rayons r1 et r2.

Lorsque

€

OM = r1�

€

e r la vitesse radiale

€

˙ r de M est nulle. On a alors

€

v 1 = r1�

€

˙ ϑ �

€

e ϑ ≠

€

0 . De même quand

OM = r2 la vitesse est

€

v 2 = r2�

€

˙ ϑ �

€

e ϑ ≠

€

0 donc M ne s'arrête jamais.

La conservation du moment cinétique permet d'écrire r1�v1 = r2�v2.

r

Epeff(r)

r1 r2

Em cas 3

Em cas 1 Em cas 2


• Etats de diffusion cas 2 ou 3 sur le schéma

La condition Epeff(r) ≤ Em interdit au point M de se trouver à l'intérieur d'un cercle de rayon rayons rmin

centré en O. Il existe donc une distance minimale d'approche mais pas de distance maximale, la trajectoire de M a donc des points à l'infini.

On remarquera que toute valeur de l'énergie mécanique supérieure au minimum de Epeff est possible

pour M. Ce qui est une limite de la mécanique classique, puisqu'elle ne permet pas de comprendre la quantification de l'énergie des atomes.

III. Mouvement dans un champ de forces centrales newtonien

III.1. Champs Newtoniens

Deux particules interagissant suivant la loi de force

€

F 1/2 = -

€

kr 2 �

€

e 1→2 = -

€

F 2/1 sont dites en interaction

newtonienne.

k obligatoirement positif dans le cas de la gravitation et k positif ou négatif dans le cas de l'interaction électrostatique.

Exemple : une planète du système solaire P et le Soleil S sont en interaction gravitationnelle. Mais ce ne sont pas des points.

Cependant ces corps ont des dimensions petites devant leur distance (1,5�1011m). A l'échelle de sa trajectoire, la Terre n'est qu'un point.

Compte tenu des masses très différentes (Terre MT = 6�1024 kg et Soleil MS = 2�1030kg) on peut

considérer que le Soleil est immobile donc la planète évolue dans le référentiel galiléen lié au Soleil où elle est soumise à un champ de forces centrales conservative.

III.2. Lois de conservation

III.2.1. Du moment cinétique

La force

€

F = -

€

kr 2 �

€

e r est une force centrale dont le moment en O est nul. Donc

€

d

L Odt

=

€

0 et le

moment cinétique en O de M est un vecteur constant. On choisit

€

e z colinéaire à

€

L O.

€

L O = m�

€

r ∧

€

v donc

€

v et

€

r sont perpendiculaire à

€

e z à tout instant.

⇒ Donc la trajectoire est dans le plan perpendiculaire à

€

e z en O.

Cas particulier

€

L O = 0 : le moment cinétique est constamment nul

€

L O =

€

OM ^ m•

€

v =

€

0 à tout

instant implique que

€

OM et

€

v soient à tout instant colinéaires. Donc dans ce cas le mouvement est

rectiligne.

III.2.2. De l'énergie

Ici Ep(r) = -

€

kr

→ E =

€

12�m�

€

˙ r 2 +

€

12�m�

€

C2

r 2 -

€

kr

L'énergie potentielle effective est Epeff =

€

12�m�

€

C2

r 2 -

€

kr

→

€

dEpeff

dr = - m�

€

C2

r 3 +

€

kr 2 =

€

1r 2 �

€

k −m ⋅C2

r

$

% & &

'

( ) )

III.3. Interaction répulsive k < 0

Cas de deux charges de mêmes signes qui se repoussent

dEpeff

dr = 1

r2� k −

m ⋅C2

r

#

$

%%

&

'

((

ne s'annule jamais donc Epeff est

une fonction strictement décroissante de r.

Si r → 0 Epeff → ∞ et si r → ∞ Epeff → 0 → la courbe ci après

Les seuls états possibles de M sont des états de diffusion d'énergie positive.

Il existe une distance minimale d'approche b sur le schéma mais pas de distance maximale.

r

Epeff(r)

E > 0

b


Donc si une charge immobile Q > 0 est placé en un point O (centre de force), une charge mobile q > 0 ayant à t = 0 une énergie positive pourra s'approcher de O mais sans l'atteindre, puis s'en éloignera indéfiniment.

On peut citer l'expérience historique de Rutherford qui permit de déterminer l'ordre de grandeur du noyau d'un atome par l'étude de la déviation de particules α (autrement dit de noyau d'hélium He2+).

Le cas attractif k > 0 correspond au problème de Kepler

IV. Mouvement dans un champ de forces centrales newtonien attractif

IV.1. Rappel des trois lois de Kepler

Dans le cas où k > 0 (ou K < 0), l'étude qui suit va nous conduire à retrouver les lois énoncées par Kepler dans sa description du mouvement des planètes autour du Soleil.

Les planètes décrivent autour du Soleil des trajectoires elliptiques planes

Loi des aires : Au cours du mouvement d'une planète autour du Soleil le rayon vecteur balaye des aires égales pendant des durées égales.

loi des périodes : T2 est proportionnel à a3 où a est le demi grand axe de l'ellipse et T la période de rotation.

Sachant que nous sommes partis des lois de Newton, énoncées à partir des lois de Kepler, la boucle sera bouclée.

Rappel : Nous avons donc déjà retrouvé la seconde loi de Kepler. Elle est valable pour tout mouvement à force centrale et se déduit de la conservation du moment cinétique.

IV.2. Profil d'énergie potentielle effective

Epeff = 12

�m�C2

r2 - k

r

→ dEpeff

dr = - m�

C2

r3 + k

r2 =

1

r2� k −

m ⋅C2

r

#

$

%%

&

'

((

Cette énergie est positive pour r < 12

�m�C2

k et admet

un minimum en r0 tel que dEpeff

dr = 0 soit r0 = m�

C2

k et

Epeff(r0 ) = - 12

�k 2

m ⋅C2.

Pour r → 0, Epeff → ∞ et pour r → ∞, Epeff → 0. On en déduit la courbe ci - dessus.

Selon le signe de son énergie mécanique initiale M sera dans un état de diffusion (E > 0) ou dans un état lié (E < 0),

IV.3. Etude du cas limite E = Emin = Epeff(r0)

Une seule valeur de r est ici compatible avec E ≥ Epeff c'est r = r0. La trajectoire de M est donc un

cercle de rayon r0 = m�C2

k et v = r0� ϑ �

e ϑ puisque r0 est constant.

L O = m�r0�

e r ∧ r0� ϑ �

e ϑ = m�r0

2� ϑ �e z est une constante donc ϑ est constant.

On en déduit que le mouvement circulaire est uniforme. F = - k

r02�e r = m�

a = - m�r0� ϑ 2�

e r = - m�

v2

r0�e r → m�v2 = k

r0 : autrement dit l'énergie

cinétique de M sur sa trajectoire circulaire est constante et vaut EC = - 12

Ep(r0)

r

Epeff(r)

r1r2

Emin

E > 0

br0 E = 0

E < 0


L'énergie mécanique E = EC + Ep = 12

�Ep = - EC dans le cas particulier de cette trajectoire circulaire.

D'où v = km ⋅r0

et la durée d'un tour : T = 2 ⋅ π ⋅r0

v → T2 =

4 ⋅ π2 ⋅r02

v2 =

4 ⋅ π2 ⋅m ⋅r03

k =

4 ⋅ π2 ⋅m ⋅r03

G ⋅M ⋅m

Nous avons retrouvé la troisième loi de Kepler : T2 = 4 ⋅ π2

G ⋅M�r0

3 : le carré de la période est proportionnel au

cube du grand axe qui dans le cas d'un cercle s'identifie au rayon de la trajectoire.

Applications

• Rotation de la Terre T autour du Soleil S : vT = G ⋅MS

ST = 3�104 m�s-1 et T = 3,16�107 s = 365,78 j

• Satellite terrestre de basse altitude r ≈ RT et vS = G ⋅MTRT

= 7,9•103 m•s-1 première vitesse cosmique

IV.4. Etude du cas limite E = 0.

Quand E → 0, r1 → b et r2 → ∞. L'ellipse s'allonge jusqu'à l'infini et devient une parabole.

• La trajectoire n'est bornée que d'un côté : autrement dit OM > b distance minimale d'approche.

A l'infini E = 0 = 12

�m�v∞2 + Epeff(∞) = 12

�m�v∞2 donc M atteint l'infini avec une vitesse nulle.

• Quelle vitesse minimale doit - on donner à un projectile de masse m, situé à la surface de la Terre pour qu'il échappe à l'attraction terrestre ?

Il échappe à l'attraction de la Terre s'il atteint l'infini. On aura la valeur minimale de la vitesse initiale si le projectile atteint l'infini avec une vitesse nulle. On est donc bien dans le cas où l'énergie à donner au projectile est E = 0 = constante. Le calcul sur le sol terrestre où r = RT donne

E = 12

�m�v02 - k

RT

= 0 → v02

= 2 ⋅km ⋅RT

= 2 ⋅G ⋅MT ⋅m

m ⋅RT

→ v0 = 2 ⋅G ⋅MT

RT

= 1,12 �104 m�s-1

→ v0 = 11,2 km�s-1. C'est la vitesse de libération pour un objet terrestre ou seconde vitesse cosmique

Noter que si Emin < E < 0 la trajectoire est bornée par deux rayons différents : OA = r2 > OP = r2.

Kepler dit que c'est une ellipse.

V. Equation des trajectoires dans le cas d'une interaction attractive (k > 0)

Il s'agit de déterminer une relation entre les coordonnées polaires r et ϑ.

Qu'est-ce qu'une ellipse ? Une courbe fermée, qui contrairement à un cercle présente deux axes privilégiés : la direction du grand axe et celle du petit axe.

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer l'équation de ces trajectoires. Le programme n'en impose aucune, j'en retiens deux qui me semblent intéressantes. Notre point de départ peut être la RFD, la conservation du moment cinétique ou la conservation de l'énergie.

V.1. Utilisation des formules de Binet

On part de la RFD : m�a =

F = -

k

r2�e r. = - k�u2�

e r. et

v = r �

e r + r� ϑ �

e ϑ

La démarche consiste à remplacer la variable r par u = 1r

→ u = - r

r2 = - r �u2 et ϑ en utilisant la

constante des aires : C = r2� ϑ → ϑ = C�u2 et v = -

u

u 2�e r + C�u�

e ϑ

La vitesse (et donc l'accélération) s'exprime donc en fonction de u et de ses dérivées par rapport au temps. Mais puisqu'on cherche l'équation de la trajectoire sous la forme u = f(ϑ) on a intérêt à utiliser les

dérivées de u par rapport à ϑ : u = dudt

= dudϑ

� ϑ = dudϑ

�C�u2 → v = - du

dϑ�C�e r + C�u�

e ϑ


→ a =

dv

dt = d

v

dϑ�dϑdt

= (-d2u

dϑ2�C�e r -

dudϑ

�C�e ϑ + C�

dudϑ

�e ϑ - C�u�

e r)�C�u2.

Soit en notant u' = dudϑ

et u" = d2u

dϑ2 →

a = - C2�u2�(u" + u)�

e r ce qui confirme que

a est de

direction e r.

La RFD devient a = - km

�u2 = - C2�u2�(u" + u) où u ≠ 0 → u + u" = k

m ⋅C2 équation différentielle

du second ordre en u(ϑ) à second membre constant.

Solution : u = k

m ⋅C2 + A�cos ϑ + B�sin ϑ où A et B sont des constantes à déterminer par des conditions

particulières (ou initiales).

En prenant pour conditions particulières : à t = 0, le mobile est sur l'axe des x et sa vitesse est dirigée dans le sens de

e y. Autrement dit à t = 0 : ϑ = 0 et r = 0 → u'(ϑ = 0) = 0 et r = rmin ou rmax que l'on

notera rm :

→ u' = - Z�sin ϑ + Y�cos ϑ avec u'(0) = 0 → Y = 0 → u = k

m ⋅C2 + Z�cos ϑ

et k

m ⋅C2 + Z = 1

rm → Z = 1

rm - k

m ⋅C2 → u = k

m ⋅C2• 1 +

m ⋅C2

rm ⋅k−1

#

$

%%

&

'

((⋅cos ϑ

*

+

,,

-

.

// = 1

r

→ r =

m ⋅C2

k

1 + m ⋅C2

rm ⋅k−1

#

$

%%

&

'

((⋅cosϑ

. On pose p = m ⋅C2

k et e = m ⋅C2

rm ⋅k−1

#

$

%%

&

'

((

→ r = p

1 +e ⋅cosϑ.

C'est l'équation d'une conique : r = p

1 +e ⋅cosϑ de paramètre p =

m ⋅C2

k et d'excentricité e.

Le grand axe de cette conique est colinéaire à e x, du fait des conditions initiales. On peut vérifier que

rm = p

1 +e = rmin.

Le paramètre p est une longueur positive donc p = m ⋅C2

k n'est possible qu'avec k > 0.

V.2. Utilisation de l'intégrale première de Runge – Lenz

Ce pourrait être une troisième loi de conservation. On cherche un vecteur constant permettant de construire la trajectoire.

V.2.1. Vecteur de Runge - Lenz

La RFD s'écrit : m�dv

dt = - k

r2�e r. En multipliant vectoriellement par

L = m�r2� ϑ �

e z

→ m�dv

dt ∧ L = - k

r2�e r ∧ m�r2� ϑ �

e z = m�k� ϑ �

e ϑ = m�k�

de rdt

avec L constant

→

d 1k

⋅v ∧L −e r

$

%&&

'

())

dt = 0 autrement dit : le vecteur

A = 1

k⋅v ∧L −e r = m ⋅C

k�v ∧

e z –

e r est un

vecteur constant, qui peut être déterminé par les conditions initiales.

C'est une "intégrale première" vectorielle du mouvement, appelée intégrale première de Runge - Lenz.

Avec v = r �

e r +

Cr

�e ϑ

→ A = m ⋅C2

k�[ r �

e r +

Cr

�e ϑ] ∧

e z –

e r = m ⋅C2

k ⋅r−1

#

$

%%

&

'

((�e r -

m ⋅Ck

� r �e ϑ.


V.2.2. Equation des trajectoires

La direction du vecteur A constante est une direction remarquable du plan du mouvement (puisque

A ⊥

L ). Choisissons notre axe

e x (origine des ϑ) colinéaire à

A et de même sens soit :

A = A�

e x avec

A > 0.

A �r = m ⋅C2

k ⋅r−1

#

$

%%

&

'

((⋅e r −

m ⋅Ck

⋅ r ⋅eϑ

*

+

,,

-

.

//�r�e r = m ⋅C2

k - r = A�r�cos ϑ

On retrouve l'équation de la trajectoire r�(1 + A�cos ϑ) = m ⋅C2

k soit r = m ⋅C2

k�

11 +A ⋅cos ϑ

qui est

l'équation d'une conique de paramètre p = m ⋅C2

k et dont l'excentricité est égale à la norme e = A du

vecteur de Runge - Lenz.

Conditions initiales : à t = 0, le mobile est sur l'axe des x et sa vitesse est dirigée dans le sens de e y.

Autrement dit à t = 0 : ϑ0 = 0 ou π → r 0 =

p1 ±e

�e x,. Le signe + correspond à la valeur minimale

rmin = p

1 +e de r donc au péricentre et le signe – à rmax =

p1 −e

apocentre,

⇒ La direction du vecteur de Runge - Lenz est celle du grand axe et sa norme est égale à l'excentricité.

D'où le double intérêt de ce vecteur constant.

Noter qu'il existe une autre méthode privilégiant le vecteur excentricité E , vecteur constant ayant

pour norme l'excentricité et pour direction celle du petit axe (voir exercices)

V.3. Relation entre excentricité et énergie

Pour calculer e, calculons la norme du vecteur constant : A = m ⋅C2

k ⋅r−1

#

$

%%

&

'

((�e r -

m ⋅Ck

� r �e ϑ

A2 = e2 = m ⋅C2

k ⋅r−1

#

$

%%

&

'

((

2

+ m ⋅Ck

⋅ r"

#$$

%

&''

2 = m

2 ⋅C4

k 2 ⋅r2 - 2�m ⋅C2

k ⋅r + 1 +

m 2 ⋅C2

k 2� r 2 avec p = m ⋅C2

k

→ e2 – 1 = 2 ⋅pk

�12⋅m ⋅

C2

r2+ r2

"

#

$$

%

&

''−kr

)

*

++

,

-

.

. où l'on reconnaît C

2

r2 + r 2 = v2 et -

kr

= Ep → e2 – 1 = 2 ⋅pk

�E

L'énergie (constante) du point mobile est liée aux caractéristiques géométriques p et e de sa trajectoire

par E = k2 ⋅p

�(e2 – 1).

On retrouve que, dans le cas attractif ( p > 0 donc k > 0) :

• Si e > 1, l'énergie mécanique est positive et l'on a un état de diffusion. Le point M atteint l'infini avec une

vitesse non nulle et sa trajectoire est une hyperbole. Pour l'hyperbole : p = a�(e2 – 1) → E = k2 ⋅a

> 0.

Remarque 2�a = rmin + rmax

• Si e < 1, l'énergie mécanique est négative et l'on a un état lié. Or e < 1 correspond aux trajectoires

elliptiques. Pour l'ellipse p = a�(1 – e2) donc E = - k2 ⋅a

< 0.

• Si e = 0, l'ellipse est un cercle et p = a = r donc E = - k2 ⋅r

= 12

�Ep = EC + Ep donc EC = -12

�Ep

comme nous l'avons déjà vu.

L'excentricité de la trajectoire de la Terre vaut 0,017 ce qui permet d'assimiler l'orbite de la Terre à un cercle.

Mouvements dans un champ de forces centrales...

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