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MacXIair:MPSI:Electricité:Cours E 2 Dipôles ds - 17 octobre 2011 page 1 / 7

Electricité 2

Dipôles électrocinétiques linéaires

I. Dipôles

I.1. Définitions

I.1.1. Dipôle

On appelle dipôle un dispositif relié au monde extérieur par deux accès conducteurs (A et B).

Il n'y a pas d'accumulation de charges dans le dipôle donc l'intensité du courant entrant est égale à l'intensité du courant sortant i = i'.

I.1.2. Conventions

On choisit un sens positif pour i que l'on indique en orientant le circuit. On représente la tension par une flèche.

En convention récepteur les flèches représentant i et u sont de sens contraires. En convention générateur, elles sont de mêmes sens.

I.1.3. Caractéristique tension - courant

En régime stationnaire, chaque valeur de u aux bornes du dipôle impose une valeur de i à condition de préciser la convention utilisée.

Le couple (u, i) est un point de fonctionnement que l'on peut représenter sur un graphique u → i.

La caractéristique du dipôle est représentation graphique de i = f(u) autrement dit, c'est l'ensemble des points de fonctionnement du dipôle.

• Le dipôle est passif si sa caractéristique passe par l'origine (u = 0, i = 0). Il est actif dans le cas contraire

• Le dipôle est linéaire si sa caractéristique peut être modélisée par l'équation d'une droite. Dans le cas contraire, il est non linéaire.

• Le dipôle est symétrique si sa caractéristique est une courbe symétrique par rapport à l'origine (u = 0, i = 0). Dans ce cas, on peut inverser les bornes A et B sans modifier le circuit.

Un dipôle à la fois linéaire et symétrique est obligatoirement passif. Sa caractéristique est une droite passant par l'origine.

I.2. Aspect énergétique

Soit un dipôle AB soumis à une tension uAB(t) et traversé par le courant iAB(t) de A vers B.

Par définition la puissance électrocinétique reçue par le dipôle est P(t) = uAB(t)iAB(t). Elle se mesure en watts (1 W = 1 AV).

La puissance est donc une grandeur algébrique, instantanée et définie en convention récepteur.

Remarque : un dipôle ne peut recevoir une quantité quelconque d'énergie sans risque de détérioration. La puissance maximale admissible est une donnée du constructeur. Elle limite la

caractéristique du dipôle par la courbe : i =

€

Pu

d'allure hyperbolique.

Conséquences :

si à une date t, uAB(t) et iAB(t) sont du même signe, la puissance reçue est positive et le dipôle reçoit effectivement de l'énergie, il se comporte en récepteur.

si à une date t, uAB(t) et iAB(t) ne sont pas du même signe, la puissance reçue est négative donc le dipôle fournit de l'énergie à l'extérieur, il se comporte en générateur.

Certains dipôles ont toujours un comportement récepteur alors que d'autres peuvent jouer le rôle de récepteur ou de générateur.


⇒ La puissance reçue est la dérivée temporelle de l'énergie reçue P =

€

dEdt

donc l'énergie reçue par

un dipôle entre deux dates t1 et t2 est E =

€

P ⋅dtt 1

t 2∫ =

€

u AB ⋅i AB ⋅dtt 1

t 2∫ en joule (1 J = 1 Ws).

I.3. Associations

Un dipôle unique est équivalent à une association si la caractéristique du dipôle unique est identique à celle de l'association

Deux dipôles sont associés en série s'ils sont parcourus par un même courant et ont une borne commune. Dans ce cas, ils sont équivalents à un dipôle unique de caractéristique u(i) = u1(i) + u2(i)

Deux dipôles sont associés en parallèle s'ils sont reliés aux deux mêmes nœuds et donc sont soumis à la même tension. Dans ce cas, ils sont équivalents à un dipôle unique de caractéristique i(u) = i1(u) + i2(u)

II. Dipôles passifs linéaires en convention récepteur

Tous les éléments d'un circuit électrique réel sont représentés par des modèles dont les domaines de validité sont limités. Dans ce qui suit nous verrons donc les modèles - idéaux - et leurs limites : le comportement du composant réel.

II.1. Résistances pures (ou résistors)

II.1.1. Caractéristique

La caractéristique u = f(i) est une droite d'équation u = Ri. R est la résistance du dipôle et se mesure en ohm (1 Ω = 1 VA-1).

La caractéristique i = f(u) est également une droite d'équation i = Gu où G =

€

1R

est la conductance

du dipôle. G se mesure en siemens (S).

Une résistance est donc un dipôle passif, linéaire, symétrique.

Une résistance réelle n'a une caractéristique linéaire que dans un domaine limité, ce qui veut dire que sa résistance n'a une valeur constante que dans un domaine limité. Elle varie avec la température et la température du dipôle en fonctionnement n'est constante que si l'apport de chaleur par effet Joule est assez faible pour être dissipé dans le laboratoire. Dans ce qui suit nous supposerons la résistance idéale.

II.1.2. Aspect énergétique :

La puissance reçue est : P = uAB(t)iAB(t) = Ri2 = Gu2. P est toujours positive, donc une résistance a

toujours un comportement récepteur.

E =

€

u AB ⋅i AB ⋅dtt 1

t 2∫ =

€

R ⋅iAB

2 ⋅dtt 1

t 2∫ =

€

G ⋅uAB

2 ⋅dtt 1

t 2∫

Donc en régime permanent (i et u indépendants du temps) : E = R

€

iAB

2 (t2 - t1) = R

€

uAB

2 (t2 - t1).

II.1.3. Associations

• En série : additivité des tensions

€

k∑ uk =

€

k∑ Rki

⇒ l'association est équivalente à une résistance unique de valeur

R =

€

k∑ Rk.

• En parallèle : loi des nœuds i =

€

k∑ ik =

€

k∑ Gku

⇒ l'association est équivalente à une résistance unique de

conductance G =

€

k∑ Gk ou de résistance donnée par

€

1R

=

€

k∑

€

1Rk

.

Deux résistances R identiques en parallèle sont équivalentes à une résistance unique de valeur

€

12R.

R2

u

R1

i

i1

i2

R1i

u

R1


D'où les montages à savoir reconnaître :

Diviseur de tension Diviseur de courant

R1

R2u u2

€

u2u

=

€

R2R1 +R2

i1 i2i

u R1 R2

€

i2i

=

€

R1R1 +R2

à condition que R2 et R1 soient parcourus par le même courant

à condition que R2 et R1 aient les mêmes bornes

II.2. Condensateurs

II.2.1. Condensateur parfait

• Deux conducteurs séparés par un diélectrique (matériau isolant) constituent un condensateur.

Si le condensateur est parfait, le diélectrique n'est traversé par aucune charge. Le condensateur parfait est un modèle idéal.

A l'inverse dans un condensateur réel c'est le diélectrique qui n'est pas parfaitement isolant. Autrement dit des charges peuvent le traverser et la charge d'un condensateur réel isolé de tout circuit diminue au cours du temps. On le modélise par un condensateur parfait et une résistance R en parallèle. R est la résistance de fuite du condensateur.

Lorsqu'un condensateur est introduit dans un circuit, ce circuit est un circuit ouvert. Donc il n'est parcouru pas aucun courant permanent et I = 0

Un condensateur parfait se comporte comme un interrupteur ouvert.

Le diélectrique étant parfaitement isolant, des charges peuvent s'accumuler sur les conducteurs en vis à vis, ou armatures, mais la charge globale reste nulle → qA = - qB.

• On appelle charge du condensateur, la charge q de la première armature rencontrée lorsqu'on parcourt le circuit dans le sens positif choisi. L'intensité du courant qui traverse un condensateur est à

chaque instant égale à la dérivée de la charge de cette armature : i =

€

dqdt

=

€

˙ q .

• La tension aux bornes d'un condensateur est proportionnelle à sa charge. La constante de proportionnalité est la capacité C (positive) du condensateur qui se mesure en farad (F).

⇒ q = Cu et 1 F = 1 CV-1 = 1 AsV-1.

⇒ iAB(t) =

€

dq t( )dt

= C

€

du t( )dt

• Comme toute charge électrique la charge d'un condensateur ne peut pas subir de discontinuité

La tension aux bornes d'un condensateur ne peut pas présenter de discontinuité.


• En série : un conducteur isolé est électriquement neutre

→ q1 = q2 = … = q et

€

k∑ uk =

€

k∑

€

qCk

.

⇒ Donc des condensateurs en série sont équivalents à un

condensateur unique de capacité donnée par

€

1C

= q

€

k∑

€

1Ck

.

• En parallèle :

€

k∑ ik =

€

k∑ Ck

€

dudt

=

€

dudt

€

k∑ Ck car les tensions sont identiques.

⇒ Donc des condensateurs en parallèles sont équivalents à un condensateur unique ayant pour capacité la somme des capacités.

u

i qA qB

Schéma d'uncondensateur parfait

u

iq1 q2 q3- q1 - q2 - q3

conducteur isolé


II.2.3. Energie

La puissance reçue par le condensateur est P = ui = uC

€

du t( )dt

qui est la dérivée de E =

€

12 Cu2..

Mais on peut également écrire P =

€

qC

€

dqdt

qui est la dérivée temporelle de E =

€

q2

2 ⋅C

Au cours de la décharge du condensateur, sa charge diminue donc

€

dqdt

< 0 et il se peut que la

puissance soit négative. Donc un condensateur peut se comporter parfois comme un générateur.

II.3. Bobines

II.3.1. Description

Comme son nom l'indique une bobine est constituée en enroulant une grande longueur de fil conducteur en général autour d'un cylindre. Chaque tour de fil constitue une spire. Evidemment les spires sont jointives donc il est impératif que le fil soit isolé sinon il passera d'une spire à celle d'à côté au lieu de parcourir la longueur du fil.

Comme tout élément de circuit parcouru par un courant électrique, la bobine est le siège de phénomènes magnétiques dont les effets sont notables du fait du grand nombre de spires. on peut également accentuer cet effet en plaçant un noyau de fer à l'intérieur des spires.

Compte tenu de la longueur de fil enroulée, il faut s'attendre à ce qu'une bobine réelle ait une résistance non négligeable.

II.3.2. Bobine parfaite Une bobine parfaite est une bobine de résistance interne nulle. Dans ce cas, la

tension à ses bornes est, en convention récepteur : u(t) = L

€

didt

où L > 0 est

l'inductance de la bobine qui se mesure en henry (H)

⇒ Autrement dit : en régime continu

€

didt

= 0 une bobine parfaite se comporte

comme un interrupteur fermé.

En régime variable, P = L

€

didt

i(t) qui est la dérivée de E =

€

12Li2. On en déduit que 1 H = 1JA-2.

P a une valeur finie, donc

€

12Li2 a une dérivée finie et

€

didt

est finie.

Le courant traversant une bobine ne peut pas subir de discontinuité.

II.3.3. Bobine réelle

Modélisation d'une bobine réelle : L, r en série. La tension aux bornes

devient u = L

€

didt

+ ri et la puissance reçue P = L

€

didt

i(t) + ri2(t)

En régime permanent

€

didt

= 0 donc la puissance reçue par la bobine

réelle se limite au terme ri2 qui n'est autre que l'effet Joule.

⇒ En régime permanent une bobine réelle est équivalente à une résistance pure.

Un modèle plus fin ajoute un condensateur en parallèle pour tenir compte de l'existence de phénomènes capacitifs entre les spires de la bobine.


L'association en série de plusieurs bobines réelles est équivalente à une bobine unique d'inductance

L =

€

k∑ Lk et de résistance interne r =

€

k∑ rk.

L'association en parallèle de plusieurs bobines parfaites est équivalente à une bobine unique

d'inductance telle que

€

1L

=

€

k∑

€

1Lk

.

En conclusion, en régime permanent une bobine est une résistance et un condensateur est un interrupteur ouvert (ou une résistance de fuite).

u

i

Schéma d'unebobine parfaite

L

u

i

Modélisation d'unebobine réelle

Lr


Donc si on se limite aux dipôles linéaires, en régime permanent les circuits électriques fermés ne contiennent que des résistances.

III. Dipôles actifs linéaires

III.1. Définition

Un électromoteur est un dipôle non symétrique dont les bornes sont repérées par les symboles + (borne positive) et – (borne négative). Sa fonction est de réaliser des conversions d'énergie.

La caractéristique d'un électromoteur linéaire est une droite qui ne passe pas par l'origine (i = 0, u = 0). C'est un dipôle actif linéaire. Il est donc non symétrique. On aura donc les deux caractéristiques suivantes selon que le sens positif du courant entre par l'une ou l'autre des deux bornes.

i

u

i u

I0

U0

+ -

U0 > 0

I0 < 0

i

u

i

u

I0

U0

+-

U0 < 0

I0 > 0

Les deux droites ont la même équation

€

uU0

+iI0

= 1 seuls les signes de U0 et I0 changent.

Dans les deux cas, les flèches sont de sens inverses donc on est toujours en convention récepteur et

L'électromoteur est récepteur lorsqu'il reçoit de l'énergie électrique et la transforme en une autre forme d'énergie. Il est générateur quand il transforme une énergie autre en énergie électrique.

Certains électromoteurs peuvent fonctionner dans les deux sens (les accumulateurs), mais en général ils ne sont adaptés qu'à l'un des deux modes de fonctionnement.

III.2. Modélisation

III.2.1. De Thévenin III.2.2. De Norton

On modélise u = f(i) → u = U0 -

€

U0I0

i ➀

Par définition une source de tension parfaite a, entre ses bornes, une tension u = e quel que soit le courant qui la traverse. e est sa force électromotrice (ou fem)

Donc ➀ est l'équation de la caractéristique d'un dipôle composé d'une source de tension parfaite, de fem e = U0 > 0, associée en

série avec une résistance r = -

€

U0I0

> 0

→ u = ri ± e .

On modélise i = f(u) → i = I0 -

€

I0U0

u ➁

Par définition une source de courant parfaite est traversée par un courant η quelle que soit la tension à ses bornes. η est appelé courant électromoteur (ou cem)

Donc ➁ est l'équation de la caractéristique d'un dipôle composé une source de courant parfaite de cem η = I0 > 0, associée en parallèle avec un conducteur ohmique de conductance

g = -

€

I0U0

> 0 → i = gu ± η avec η > 0.

Dans les deux cas, en convention récepteur, le signe – convient pour un fonctionnement en générateur.

Notre étude se limite à celle des générateurs libres ou non commandés. Un générateur est commandé lorsque la valeur de sa fem ou de son courant de court-circuit dépend de la valeur d'une autre tension ou d'un autre courant du circuit (par exemples par l'intermédiaire de transistors ou d'amplificateurs).

III.3. Générateurs en convention générateur.

Donc flèches de u et i de même sens

III.3.1. Modèles de générateurs réels De Thévenin De Norton

r

u

i

e

u = e - ri où e est la force électromotrice du générateur, c'est la tension à ses bornes lorsque le courant est nul.

u

iη

r

i = η - gu où η est le courant de court - circuit, c'est l'intensité du courant qui traverse le générateur lorsque l'on relie ses bornes par un fil de masse nulle, donc quand u = 0.

e

η


Il s'agit là de modèles : c'est le même dipôle électromoteur représenté de façons différentes. Et le modèle n'est pas la réalité : il n'est pas question de brancher quoi que ce soit au faux nœud représenté entre la source parfaite et la résistance du modèle.

III.3.2. Passage d'une représentation à l'autre :

u = e - ri =

€

1g

(η - i) → par identification : g =

€

1r

et η = ge.

Intérêt pratique : Exemple déterminer une intensité sans aucun calcul.

2 Ω I

1 V2Ω

4Ω

→

I

0,5 A2Ω

4Ω

2Ω

→

I

0,5 A1Ω

4Ω

→

1 ΩI = 0,1 A

0,5 V

4Ω

III.4. Associations de générateurs

• En série on a intérêt à utiliser le modèle de Thévenin → u =

€

k∑ ek - i

€

k∑ Rk (additivité des tensions)

• En parallèle on a intérêt à utiliser le modèle de Norton → i =

€

k∑ ηk - u

€

k∑ gk (loi des nœuds)

L'association en série d'un générateur de tension parfait de fem e et d'un générateur de courant parfait de cem η est un générateur de courant de cem η : le générateur de courant est traversé par η quelle que soit la tension à ses bornes.

L'association en parallèle d'un générateur de tension parfait de fem e et d'un générateur de courant parfait de cem η est un générateur de tension de fem e : le générateur de tension ayant à ses bornes la tension e quel que soit le courant qui le traverse.

IV. Réseaux en régime permanent

La question est de déterminer les intensités qui circulent dans les différentes branches d'un réseau et les tensions aux bornes des différents dipôles qui le constituent.

IV.1. Point de fonctionnement

Si un circuit ne comporte que deux dipôles, l'un actif DA, orienté en convention générateur,

l'autre passif Dp, orienté en convention récepteur, la solution (u, i) s'obtient à l'intersection des caractéristiques des deux dipôles. C'est le point de fonctionnement du circuit.

Dans le cas du dipôle Dp3, la caractéristique de ce dipôle étant limitée par la puissance maximale admissible il n'y a pas de solution.

IV.2. Mise en équation

IV.2.1. Par mailles

Soit le circuit ci-contre : on écrit la loi des mailles pour chaque maille en utilisant les courants de maille : i1 , i2, et i3.

Le courant de maille circule dans toute branche qui est propre à une maille donnée (non commune à une autre maille) : exemple i2 circule dans BE, mais R3 est parcourue par un courant d'intensité i2 – i1.

Maille BDFB : R1i1 + R3(i1 - i2) + R2(i1 - i3) - e = 0 → e = (R1 + R2 + R3)i1 - R2i3 - R3i2

Maille BEDB : e' + R4(i2 - i3) + R3(i2 - i1) = 0 → e' = R3i1 - (R3 + R4)i2 + R4i3

Maille FDEF : R2(i3 - i1) + R4(i3 - i2) + R5i3 = 0 → 0 = R1i1 - R4i2 + (R2 + R4 + R5)i3

Ce qui donne un système de 3 équations à 3 inconnues (i1, i2, i3) puis UED = R4(i2 - i3).

u

DP

DA i

i

i

u

DA

Dp1

Dp2

Dp3

e↑

B

E F D

R3

R5

e' ↑

R1

R2 R4

i3

i1 i2


IV.2.2. Par nœuds en termes de potentiel

Comme on privilégie le courant, on utilise la représentation de Norton pour le générateur de fem e.

Le principe consiste à écrire que la somme des courants arrivants à un nœud est nulle, en utilisant pour

chacun des courant une expression du type i =

€

uR

soit i =

€

V −V0R

. Pour simplifier, on attribue la valeur 0 au

potentiel d'un nœud quelconque ce qui revient à y placer la masse du circuit. Exemple si la masse est en E,

la résistance R4 est traversée par un courant d'intensité

€

VDR4

dans le sens D → E et -

€

VDR4

dans le sens E → D.

Au nœud B :

€

eR1

+VF −VB

R1+

VD −VBR3

- i = 0.

En D :

€

VF −VD

R2+−VDR4

+VB −VD

R3 = 0

En F :

€

−eR1

+VB −VF

R1+

VD −VF

R2+−VF

R5 = 0.

Par ailleurs, VB = e'.

On a donc 4 équations pour 4 inconnues (VB , VD, VF et i).

On pourrait dire que les lois de Kirchhoff sont suffisantes puisque dans les deux cas, le problème a une solution. La question est de résoudre le système d'équations sans erreur et le plus rapidement possible.

Dans tous les cas, on a intérêt à simplifier le problème en réduisant au maximum le nombre d'inconnues.

⇒ D'abord on cherchera à simplifier le schéma en utilisant pour les sources les transformations Thévenin Norton) et la résistance équivalente à une association de résistance, chaque fois que c'est possible

⇒ on écrira sur le schéma tout ce que l'on peut déduire de la loi de nœuds ou des symétries du réseau de façon à ce que le nombre d'intensités à déterminer soit le plus faible possible.

Normalement aucune intensité ne figure dans le système d'équations.

IV.2.3. Théorème de Millman (qui n'a qu'un n)

Même démarche : on écrit que la somme des intensités des courants entrant à un nœud est nulle.

Deux types de branches peuvent arriver au nœud A : celle dans lesquelles il y a une source de courant parfaite délivrant une intensité η (exemple BA) et celles dans lesquelles le courant traverse un dipôle passif (résistance) situé entre le nœud considéré et le plus proche voisin, (exemple ici CA) dans ce cas on écrira i = (VC – VA)•G.

Pour k branche de chaque type on aura :

€

i∑ ηk +

€

i∑ ik = 0

Ce qui s'écrit

€

i∑ ηk +

€

i∑ (Vk – VA)•Gk =

€

i∑ ηk +

€

i∑ Vk •Gk -

€

i∑ VA•Gk = 0

Avec le théorème de Millman on calcule le potentiel d'un nœud (ici A) en fonction des potentiels des autres nœuds et des caractéristiques des dipôles du réseau. Chaque nœud donne une équation du type :

VA =

€

Vk ⋅Gk + ηk

k

∑k

∑Gk

k

∑ d'où encore un système de plusieurs équations à autant d'inconnues.

Mais qui se révèle le plus efficace.

e'

e/R1 B

E D

i

R1 R3

R2

R5

R4 F

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