Modélisation algébrique et graphique en contexte fondamental...

MAT-4153-2 Modélisation algébrique et graphique en contexte fondamental 1

Prétest A

CORRIGÉ

Création : 2020-10-20

Mise à jour : 2021-01-25

Auteure : Nathalie Jucker

Correction : Marie Élias et Françoise Forget

MAT4153-2 CORRIGÉ Prétest A

Auteure : Nathalie Jucker 2021-01-25 Page 1

Partie des connaissances Exercice 1

Le point D se situe au 2

3 du segment 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ .

a) Déterminer les coordonnées du point D

b) Calculer la mesure du segment BD

Corrigé

Coordonnée de D

Le point de partage : (𝑥𝐷; 𝑦𝐷) = (𝑥𝐴 + k(𝑥𝑐 -𝑥𝐴); 𝑦𝐴 + k(𝑦𝑐 -𝑦𝐴))

Avec A(2; 5) et C(8; 8)

Abscisse de D

𝑥𝐷 = 𝑥𝐴 + k(𝑥𝑐 -𝑥𝐴)

𝑥𝐷 = 2 + 2

3 (8 – 2 ) = 6

Ordonnée de D

𝑦𝐷 = 𝑦𝐴 + k(𝑦𝑐 -𝑦𝐴))

𝑦𝐷 = 5 + 2

3(8 − 5) = 7

Les coordonnées de D sont : D(6; 7)

La mesure du segment DB

d(B, D) = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐷)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐷)2

d(B, D) = √(6 − 6)2 + (2 − 7)2 = 5

La mesure de 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ est de 5

Exercice 2 Une échelle à une longueur de 2,3 m. En l’appuyant contre le mur du

côté droit du couloir, il fait un angle de 70oavec le sol. En l’appuyant

contre le mur du côté gauche du couloir, il fait un angle de 80oavec le

sol.

Déterminer la largeur du couloir.

Corrigé

Mesure de 𝐴𝐸̅̅ ̅̅

𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝐴𝐸

𝐴𝐶′ => cos 80° =

𝐴𝐸

2,3 => AE = 2,3 cos80° = 0,4 m

𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝐴𝐷

𝐴𝐵′ => cos 70° =

𝐴𝐷

2,3 => AE = 2,3 cos70° = 0,8 m

Largeur du couloir est de 0,4 + 0,8 = 1,2 m



Exercice 3 Déterminer l’aire du triangle CDE à l’aide de la loi d’Héron.

Arrondir toutes les réponses au dixième.

Corrigé

Calcul de m𝑨𝑪̅̅ ̅̅

Tan B = 𝑚 𝐴𝐶̅̅ ̅̅

𝑚 𝐴𝐵̅̅ ̅̅=> 𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑚 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . tan 𝐵 = 10 . tan 40 = 8,4 𝑐𝑚

Calcul de 𝒎𝑫𝑪̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

Pythagore : m𝐷𝐶̅̅ ̅̅ = √(𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 + 𝑚𝐷𝐴̅̅ ̅̅ 2) = √(8,42 + 42) = 9,3 cm

Angle 𝒎∠𝑬𝑪𝑫

tan ∠𝐸𝐶𝐷 = 𝑚 𝐷𝐴̅̅ ̅̅

𝑚 𝐴𝐶̅̅ ̅̅=> tan ∠𝐸𝐶𝐷 =

4

8,4= 0,48 => 𝑚∠𝐸𝐶𝐷 = 25,5°

Angle 𝒎∠𝑫𝑬𝑪

𝑚∠𝐷𝐸𝐶 = 180 – 24 – 25,5 = 130,5°

Calcul de 𝒎𝑫𝑬̅̅ ̅̅ et de 𝒎𝑬𝑪̅̅ ̅̅

𝑚𝐸𝐶̅̅ ̅̅

sin 𝑑 =

𝑚𝐷𝐸̅̅ ̅̅

sin 𝑐 =

𝑚𝐷𝐶̅̅ ̅̅

sin 𝑒 =>

𝑚𝐸𝐶̅̅ ̅̅

sin 24 =

𝑚𝐷𝐸̅̅ ̅̅

sin 25,5 =

9,3

sin 130,5

𝑚𝐷𝐸̅̅ ̅̅ = 9,3 sin 25,5

sin 130,5 = 5,3

𝑚𝐸𝐶̅̅̅̅ = 9,3 sin 24

sin 130,5 = 5

Aire de CDE

Demi périmètre : P = (9,3 + 5,3 + 5 ) /2

La loi de Héron : A = √9,8 (9,8 − 5)(9,8 − 5,3)(9,8 − 9,3) = √9,8(4,8)(4,5)(0,5) = 10,3 𝑐𝑚2



Exercice 4 Source : MAT4102 CSMB – Prétest B Questionnaire.pdf

Le dessinateur d’une compagnie maritime doit produire des modèles de voiles identiques au modèle initial.

Déterminer si les modèles sont isométriques ? Justifier votre raisonnement à l’aide d’un énoncé

géométrique approprié. (Arrondir à l’entier prêt)

Calcul de 𝒎∠𝒂 et 𝒎∠𝒃 𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅

sin 𝐴 =

𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅

sin 𝐵 =

𝑚𝐵𝐴̅̅ ̅̅

sin 𝐶 =>

𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅

sin 𝐴 =

4,2

sin 𝐵 =

5,4

sin 62

𝑚∠𝐵 = > 5,4

sin 62=

4,2

sin 𝐵 = > sin B =

sin 62 .4,2

5,4 = 0,687 => 𝑚∠𝐵 = 43°

𝑚∠𝐴 = 180 − 62 − 43,4 = 75°

Les deux voiles sont identiques d’après la propriété E3 soit ACA.



Tâche 1 : La construction d’une scène Un spectacle arrive et les artistes vous demandent de

réaliser une scène dont les dimensions sont sur le schéma

ci-contre.

La peinture pour recouvrir le plancher coûte 94,99$ / 𝑚2.

Sachant que les ouvriers mettront 2 couches de peinture,

déterminer le coût du recouvrement du plancher.

Arrondir vos résultats au dixième pour les mesures d’angles et de côtés .

Corrigé

1. Aire du triangle rectangle AFG

𝑚𝐹𝐺̅̅ ̅̅ = 4 𝑚; 𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 2 𝑚;

Calcul de m𝐹𝐴̅̅ ̅̅

Cos (GFA) = 𝑚𝐹𝐺̅̅ ̅̅

𝑚𝐹𝐴̅̅ ̅̅

Cos (56,31) = 4

𝑚𝐹𝐴̅̅ ̅̅

m𝐹𝐴̅̅ ̅̅ = 4

𝑐𝑜𝑠 (56,31)= 7,2 𝑚

Calcul de m𝐴𝐺̅̅ ̅̅

Pythagore : 𝑚𝐴𝐺̅̅ ̅̅ = √𝑚𝐹𝐴̅̅ ̅̅ 2 − 𝑚𝐹𝐺̅̅ ̅̅ 2

𝑚𝐴𝐺̅̅ ̅̅ = √7,22 − 42 = 6 m

Calcul de l’aire du triangle AFG

Méthode 1 : La loi de Héron S = √𝑝 ( 𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)

Demi-périmètre du triangle AFG : (7,2 + 4 + 6 )/2= 17,2 ÷ 2 = 8,6 m

S = √8,6 ( 8,6 − 7,2)(8,6 − 4)(8,6 − 6) = √8,6 . 1,4 . 4,6 . 2,6= √144 = 12 𝑚2

Méthode 2 : la formule de l’aire du triangle

Aire d’un triangle = 𝑏ℎ

2=

6×4

2= 12 𝑚2

2. Aire du triangle rectangle BCG

Triangle rectangle isolé car 2 angles de 45°

m𝐵𝐺̅̅ ̅̅ = m𝐴𝐺̅̅ ̅̅ − m𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 6 – 2 = 4 m

m𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = m𝐵𝐺̅̅ ̅̅ = 4 𝑚

M𝐶𝐺̅̅ ̅̅ = √2 × 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2

= √2 × 42 = √32 = 5,7 𝑚

Calcul de l’aire du triangle BCG

Méthode 1 : La loi de Héron S = √𝑝 ( 𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)

Demi -périmètre du triangle AFG : (4+ 4 + 5,7)/2 = 13,7/2 = 6,9 m

S = √6,9 ( 6,9 − 5,7)(6,9 − 4)(6,9 − 4) = √6,9 . 1,2 . 2,9 . 2,9= √69,6 = 8,3 𝑚2

Méthode 2 :

Aire d’un triangle = 𝑏ℎ

2=

4×4

2= 8 𝑚2



3. Aire du triangle rectangle DEG

m∠𝐷𝐺𝐸 = 180 – 90 – 45 = 45°

m∠𝐷𝐸𝐺 = 180 – 63,43 – 45 = 71,6°

𝑚𝐸𝐺̅̅ ̅̅

sin 𝑑 =

𝑚𝐷𝐺̅̅ ̅̅

sin 𝑒 =

𝑚𝐷𝐸̅̅ ̅̅

sin 𝑔 =>

8

sin 63,43 =

𝑚𝐷𝐺̅̅ ̅̅

sin 71,6 =

𝑚𝐷𝐸̅̅ ̅̅

sin 45

𝑚𝐷𝐸̅̅ ̅̅ = 8 .sin 45

sin 63,43= 6,3 𝑚

𝑚𝐷𝐺̅̅ ̅̅ = 8 .sin 71,6

sin 63,43= 8,5 𝑚

Calcul de l’aire du triangle DEG

La loi de Héron S = √𝑝 ( 𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)

Demi -périmètre du triangle AFG : (6,3 + 8,5 + 8)/2 = 22,8/2 = 11,4 m

S = √11,4 ( 11,4 − 6,3)(11,4 − 8,5)(11,4 − 8) = √11,4 . 5,1 . 2,9 . 3,4 = √573,3 = 23,9 𝑚2

Aire totale de la figure

Aire AFG + Aire BCG + Aire DEG = 12 + 8 + 23,9 = 43,9 𝑚2

Coût de la peinture

43,9 x 94,99 x 2 =8 340,12 $

Le coût du recouvrement de plancher est de 8 340,12$



Tâche 2 : le circuit des attractions D’après le règlement de la ville, la longueur totale des deux routes ne doit pas faire plus de 2 km. Voici les

coordonnées des différents points d’attractions.

La route de la musique part de l’entrée E (3; 4) et va vers le chalet C(7; 5)

La route des spectacles part de la scène et croise la route de la musique. Elle est perpendiculaire à

la route de la musique. L’ordonnée de la scène est de 3.

L’intersection entre la route de la musique et la route de la scène se situe au 3/4 à partir de

l’entrée.

Echelle : 1 u ≅ 300 m

Déterminer si l’emplacement est conforme.

Corrigé

1. Distance entre l’entrée (E) et le Chalet (C)

𝑑(𝐸,𝐶) = √(𝑥𝐸 − 𝑥𝐶)2 + (𝑦𝐸 − 𝑦𝐶)2

𝑑(𝐸,𝐶) = √(3 − 7)2 + (4 − 5)2 5

𝑑(𝐸,𝐶)= √16 + 1 = 4,1 𝑢𝑛𝑖𝑡é𝑠

2. Coordonnée de l’intersection I

I(𝑥1 + 𝑘(𝑥2 − 𝑥1); 𝑦1 + 𝑘(𝑦2 − 𝑦1))

I(3 +3

4(7 − 3); 4 +

3

4(5 − 4))

I(6; 43

4)

3. Pente de l’intersection à la scène SI

Pente de EC

P=𝑦2− 𝑦1

𝑥2− 𝑥1 =

5 − 4

7 − 3=

1

4

𝑃𝐸𝐶 = 1

4 =>𝑃𝐼𝑆 = −4 et y = 3

4. Coordonnée de la scène

P = 𝑦2− 𝑦1

𝑥2− 𝑥1 =

3 −43

4

𝑥 − 6= −4

-4(x - 6) = -13

4

X - 6 = 7

16

x= 6 + 7

16 = 6

7

16

Coordonnée de la scène S (6 7

16; 3) ou S (6,44; 3)



5. Distance entre la scène et l’intersection

𝑑(𝑆,𝐼) = √(𝑥𝑆 − 𝑥𝐼)2 + (𝑦𝑆 − 𝑦𝐼)2

𝑑(𝑆,𝐼) = √(67

16− 6 )2 + (3 − 4

3

4)2

𝑑(𝑆,𝐼)√0,19 + 3,06 = √3,35 = 1,8 𝑢𝑛𝑖𝑡é𝑠

6. Distance totale du circuit

𝑑(𝐸,𝐶) + 𝑑(𝑆,𝐼) = 4,1 + 1,8 = 5,9 𝑢𝑛𝑖𝑡é𝑠

5,9 x 300 = 1770 m = 1,8 km

L’emplacement est conforme car la distance totale est de 1,8 km donc moins de 2 km.



Tâche 3 Les lumières Sur un des murs du chalet il y a une structure faite de triangles rectangles et construite en bois et en

lumières sur toutes les branches. Les lumières du périmètre sont à remplacer.

Le coût des nouvelles lumières est de :

Longueur Prix au mètre

[0; 15[ 5,00$

[15; 20[ 4,50$

[20; 25[ 4,00$

[25; 30[ 3,50$

+ de 30 m 3,00$

Déterminer le coût de remplacement des lumières. Arrondir au dixième vos résultats.

Plan de la structure de bois et de lumières.

Corrigé

1. Les différentes mesures de la structure

AD = √𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = √7,5 × 2 = 3,9 m #10

DC =√𝐶𝐵 × 𝐴𝐶 = √7,5 × (7,5 − 2) = 6,4 m #10

DE = √𝐷𝐶2 − 𝐸𝐶2 = √6,42 − 22 = 6,1 𝑚 Pythagore

EF = 𝐶𝐸2

𝐷𝐸=

22

6,1= 0,7 𝑚 #11

CF = √𝐶𝐸2 + 𝐸𝐹2 = √22 + 0,72 = 2,1 𝑚 Pythagore

CG = 𝐶𝐹2

𝐶𝐻=

2,12

1,2= 3,7 𝑚 #11

FG =√𝐺𝐻 × 𝐺𝐶 = √(3,7 − 1,2) × 3,7 = 3,0 m #10



2. Périmètre de la structure

P = AC + CG + GF + FE + ED + DA

P = 7,5 + 3,7 + 3,0 + 0,7 + 6,1 + 3,9 = 24,9 m

3. Coût du remplacement

24,9 x 4 = 99,60 $

La réparation sera de 24,9 m et coûtera 99,60 $

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