UNE THÉORIE ALGÉBRIQUE DES CHEMINS

UNE THÉORIE ALGÉBRIQUE DES CHEMINS

COMBINATOIRE SUR LES GRAPHES & ANALYSE DES RÉSEAUX

Pierre-Louis Giscard, Paul Rochet

P.-L. GISCARD

▸ Gregory Lawler (1987)

▸ Factorisation en cycles et chemins simples Pour des cycles cycles simples sont premiers

×2

w ργ1 γ2 γ3

UNE THÉORIE DES CHEMINS?

�|w.w0 ) �|w ou �|w0w, w0

P.-L. GISCARD, P. ROCHET 2/19

P.-L. GISCARD

▸ Gregory Lawler (1987)

▸ Factorisation en cycles et chemins simples Pour des cycles cycles simples sont premiers

×2

w ργ1 γ2 γ3

Une théorie des nombres pour les chemins ?!

UNE THÉORIE DES CHEMINS?

�|w.w0 ) �|w ou �|w0w, w0

P.-L. GISCARD, P. ROCHET 2/19

▸ Cartier & Foata (1969)Mots sur les arêtes eij d’un graphe, forment un monoïd M semi-commutatif eij eik ≠ eik eij eij ekl = eij eklRANDONNÉES: H ⊊M, autant d’arêtes entrantes que sortantes (cycles)

P.-L. GISCARD

COMBINATOIRE ALGÉBRIQUE DES RANDONNÉES

3/19

1) Formaliser l’observation de Lawler

P.-L. GISCARD, P. ROCHET

▸ Cartier & Foata (1969)Mots sur les arêtes eij d’un graphe, on impose eij eik ≠ eik eij eij ekl = eij ekl

Classes d’équivalences forment un monoïd M

RANDONNÉES: H ⊊M, autant d’arêtes entrantes que sortantes (cycles)

▸ Viennot (1987): empilements de pièces H = empilements de cycles simples

P.-L. GISCARD


�|h.h0 ) �|h ou �|h0

Une randonnée

3/19

1) Formaliser l’observation de Lawler

h.h0 = h0.h () V(h) \ V(h0) = ;h

×2


P.-L. GISCARD


4/19

Le bestiaire des randonnées

×2

×2

Randonnée

Chemin

Auto-évitante

Première


▸ Rota et al. (1964-1974): Théorie des nombres à partir de posets!

Poset de randonnées ordonnées par divisibilité

▸ Algèbre d’incidence : matrices Q indexées par

P.-L. GISCARD

COMBINATOIRE ALGÉBRIQUE DES RANDONNÉES 2) Comment construire une théorie?

h|h0 ) h h0

5/19P.-L. GISCARD, P. ROCHET

PH :=�H,�

I(PH) Hh ⇥ h0 ) Qh,h0 = 0, h h0 ) Qh,h0 Qh,h = 1

▸ Rota et al. (1964-1974): Théorie des nombres à partir de posets!

Poset de randonnées ordonnées par divisibilité

▸ Algèbre d’incidence : matrices Q indexées parMatrices triangulaires, 1 sur la diagonale!

P.-L. GISCARD


h|h0 ) h h0


PH :=�H,�

Zh,h0 := 1 () h h0

I(PH) Hh ⇥ h0 ) Qh,h0 = 0, h h0 ) Qh,h0

M := Z�1

Qh,h = 1

▸ Doubilet, Rota (1972)Débarrassons nous des matrices!

▸ Réduction:

P.-L. GISCARD



h1 h2, h3 h4, [h1, h2] ⇠ [h3, h4] () h2/h1 = h4/h3

Qh1,h2 = Qh3,h4 = q(h2/h1)


▸ Réduction:

P.-L. GISCARD



R(PH,⇠) �!

h1 h2, h3 h4, [h1, h2] ⇠ [h3, h4] () h2/h1 = h4/h3

I(PH)

Qh1,h2 = Qh3,h4 = q(h2/h1)

Algèbre des séries formelles sur le poset

Q !X

h2Hq(h)e�s`(h)h Z !

X

h2He�s`(h)h = ⇣(s)


▸ Réduction:

P.-L. GISCARD



R(PH,⇠) �!

h1 h2, h3 h4, [h1, h2] ⇠ [h3, h4] () h2/h1 = h4/h3

I(PH)

Qh1,h2 = Qh3,h4 = q(h2/h1)

Algèbre des séries formelles sur le poset

Q !X

h2Hq(h)e�s`(h)h Z !

X

h2He�s`(h)h = ⇣(s)

MANIP. ALGÉBRIQUES RESPECTENT LA RELATION D’ORDRE

▸ Si tout les cycles commutent

P.-L. GISCARD

Randonnees Theorie des nombres

Randonnee h Entier n

h, h0disjointes n,m copremiers

h auto-evitante n sans facteur carre

h cycle simple n premier

h chemin n = pk

Mais...

h.h0 6= h0.h nm = mn

h primitive orbit n premier

h auto-commutante n entier

.

.

.

.

.

.

... ...

......

UNE EXTENSION DE LA THÉORIE DES NOMBRES


THÉORÈME

R(PH,⇠) �!Théorie des nombres cas spécial

Séries de Dirichlet

P.-L. GISCARD

▸ Zêta, Möbius déjà connues Cartier & Foata (1969), Viennot (1987) pas le reste!


8/19


Zeta

⇣ = S1 =

Ph2H h ⇣R(s) =

Pn>0

1ns

⇣ =

1det(I�W)

Mobius

µ(h) =

((�1)

⌦(h), h auto-evitante

0, sinon.

µ(n) =

((�1)

⌦(n), n sans facteur carre

0, sinon.

Von Mangoldt

⇤(h) =

(`(p), h chemin, p|h a droite

0, sinon.

⇤(n) =

(log(p), n = pk

0, sinon.

S⇤ = Tr

h�I�W

��1i

Liouville

�(h) = (�1)

⌦(h) �(h) = (�1)

⌦(n)

S� =

1perm(I�W)

.

.

.

.

.

.


P.-L. GISCARD


9/19


Nombre de

diviseurs

⇣2 ⇣R(s)2

Log Zeta

log ⇣ =

Ph

⇤(h)`(h) h log ⇣R(s) =

Pn

⇤(n)log(n)

1

ns

Log-Mangoldt

`(h) =P

h0|h ⇤(h0) log(n) =

Pd|n ⇤(n)

Fonctions

totalement

multiplicatives

f�1

=

Ph µ(h)f(h)h f�1

=

Pn

µ(n)f(n)ns

f 0/f = �P

h ⇤(h)f(h)h f 0/f =

Pn

⇤(n)f(n)ns

Fonctions

totalement

additives

�f ⇤ µ

�(h) =

(f(p), h chemin, p|h a droite

0, sinon.

(f ⇤ µ)(n) =(f(p), n = pk

0, sinon.

⇣ 0/⇣ via les

premiers

�X

�: cycle simple

`(�)det(I�W\�)det(I�W)

�P

p log pp�s

1�p�s

Serie ⌦

X

w: chemin

w = det(I�W)

X

h2H⌦(h)h

X

p,n

1

p�ns= ⇣R(s)

�1

X

n

⌦(n)

ns

.

.

.

.

.

.


Si la théorie est mature on doit pouvoir l’utiliser concrètement

P.-L. GISCARD

ET ALORS?

10/19

P (z) :=X

�: cycle simple

z`(�)


P.-L. GISCARD


11/19

Basic projections

×2

×2

Randonnée

Chemin

Auto-évitante

Première

⇤

perm(I�W)

µ = det(I�W)


⇤ � µ

P.-L. GISCARD


12/19

Projections

×2

×2

Randonnée

Chemin

Auto-évitante

Première

⇤

perm(I�W)

µ = det(I�W)

µ � ⇤


Si la théorie est mature on doit pouvoir l’utiliser concrètement

P.-L. GISCARD

ET ALORS?

P (z) :=X

�: cycle simple

z`(�)

‣Ca marche!

13/19

µ � ⇤ =d

dzP (z) =

X

H�GH connecte

Tr�(zAH)

|H|(I� zAH)|N(H)|�

⇤ � µ =d

dzP (z) =

X

H�G

det(�zAH)d

dzperm(I+ zAG�H)

‣ Combinatoire algébrique + théorie des nombres = 10 formules (!!)


Conséquences directes: combinatoire & analyse des réseaux

P.-L. GISCARD

ET ALORS?

‣Algorithme: compter jusqu’à coûte

Meilleur algo. général si “Moins de sous-graphes induits connectés que de cycles simples”

‣ Matlab File Exchange « CycleCount » Solution à un vieux (1946) problème de sociologie

‣ Formulation en fraction continues de toute fonction de matrices

‣ Solution à des problèmes de dynamique quantiquePropagation de croyance exacte sur tout les graphes (belief prop.)

14/19

d

dzP (z) =

X

H�GH connecte

Tr�(zAH)

|H|(I� zAH)|N(H)|�


O�V + E + (`! + `�)|S`|

�`

` = 20V = 130 000+

Conséquences directes: théorie des graphes

P.-L. GISCARD

ET ALORS?

‣ Génération de paires cospectrales and co-immantales par Λ !

‣ Résilience des systèmes complexes

THÉORÈME Graphes non-orientés connectés: Le poset des randonnées PH L’ensemble des commutateurs entre premiers}Invariants

parfaitsException

15/19

ET SON ENNEMI JURÉ… Graphes orientés: H tout entier ne suffit plus Il existe des PH sans graphe} Théorie des chemins

à part entière


P.-L. GISCARD

LES PREMIERS LONGS Combien de polygones auto-évitants?

Asymptotique ?` ! 1

« A widely open problem » Flajolet & Sedgewick

µ` `11/32


P.-L. GISCARD


Asymptotique ?` ! 1


µ` `11/32

Extension semi-commutative du théorème des nombres premiers


P.-L. GISCARD


Asymptotique ?` ! 1


‣ Cribles d’Erathostènes-Legendre, Brun, Selberg

µ` `11/32


‣ Idempotents algébriques (fonctions-L, ζ, Ψ, … )

‣ Abelianisation (homologie de Hochschild de H)


P.-L. GISCARD


Asymptotique ?` ! 1


‣ Cribles d’Erathostènes-Legendre, Brun, Selberg

µ` `11/32


16/19

Série de polylogs ?


Lin(f(�,�⇤))

Reseau Hexagonal Kagome Carre Triangulaire

�2 + log �

2 1.91 2 (ordre 0) 2.69 4.10

µ 1.85 2.56 2.64 4.15

P.-L. GISCARD


17/19

Bialgèbres

×2

×2

Randonnée

Chemin

Auto-évitante

Première


Hopf 1 Hopf 2

Un bialgèbre infinitésimal non-unitaire semi-commutatif

?

P.-L. GISCARD


17/19

Bialgèbres

×2

×2

Randonnée

Chemin

Auto-évitante

Première


?

Idempotents = projections⇤Dynkin

Euler⇤ � µ =

d

dzP (z) =

X

H�G

det(�zAH)d

dzperm(I+ zAG�H)

Euler

Eulerd

dzP (z) =

X

H�GH connecte

Tr�(zAH)

|H|(I� zAH)|N(H)|�

D log ⇣

P.-L. GISCARD

LES PREMIERS LONGS « A widely open problem » Flajolet & Sedgewick

D’autres applications

18/19

d

dzP (z) =

X

H�GH connecte

Tr�(zAH)

|H|(I� zAH)|N(H)|�


P.-L. GISCARD

LES PREMIERS LONGS « A widely open problem » Flajolet & Sedgewick

D’autres applications

X

Polygones

auto-evitants

`(�) z`(�) =X

Polyominos

Tr⇣�

zAp

�Aire(p)�

I� zAp

�Perimetre(p)

⌘

La croissance asymptotique des deux cotés de cette équation est inconnue!


P.-L. GISCARD

VISION GLOBALE

Théorie des chemins

Bialgèbres &

Théorie des nombres

Monoïds des tracesCribles

idempotents

Paires cospectrales

Fonctions de matrices

Formules exactes &

Grands réseaux

Dynamique quantique

Résilience des systèmes complexes

Combinatoire algébrique

algorithmes d’énumération

Posets

APPROCHE LENTE ET SYSTÉMATIQUE


RÉFÉRENCES 1

P.-L. Giscard, P. Rochet. Algebraic Combinatorics on Trace Monoids: Extending Number Theory to Walks on Graphs. arXiv:1601.01780v2, accepté SIAM Journal on Discrete Mathematics (2016a).

P.-L. Giscard, P. Rochet. Enumerating simple paths from connected induced subgraphs. arXiv:1606.00289 (2016b).

P.-L. Giscard, P. Rochet, R. C. Wilson. An Hopf algebra for counting simple cycles. arXiv:1607.00902 (2016c).

P.-L. Giscard, P. Rochet, R. C. Wilson. Evaluating balance on social networks from their simple cycles. arXiv:1606.03347, accepté Journal of Complex Networks (2016d).

P.-L. Giscard, N. Kriege, and R. C. Wilson. A general purpose algorithm for counting simple cycles and simple paths of any length. arXiv:1612.05531 (2016e).

P.-L. Giscard, Z. Choo, S. Thwaite, D. Jaksch. Exact Inference on Gaussian Graphical Models of Arbitrary Topology using Path-Sums. Journal of Machine Learning Research 17, 1-19 (2016f).

N. Kriege, P.-L. Giscard, R. C. Wilson. On Valid Optimal Assignment Kernels and Applications to Graph Classification. 29th Conference on Neural Information Processing Systems (NIPS) (2016g).

RÉFÉRENCES 2

P. Cartier, D. Foata. Problèmes combinatoires de commutation et réarrangements. Lecture notes in mathematics, 85 (1969).

G. X. Viennot. Heaps of pieces, i: Basic denitions and combinatorial lemmas. Annals of the New York Academy of Sciences, 576, pp. 542-570 (1989).

UNE THÉORIE ALGÉBRIQUE DES CHEMINS

Documents

Transcript of UNE THÉORIE ALGÉBRIQUE DES CHEMINS