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DIAGNOSTIC ET PARCOURS DIFFÉRENCIÉS D'ENSEIGNEMENT EN ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

Brigitte Grugeon-Allys, Julia Pilet Françoise Chenevotot-Quentin*, Élisabeth Delozanne****

DIAGNOSTIC ASSESSMENT AND DIFFERENTIATED LEARNING ROUTES IN ELEMENTARY ALGEBRA

Abstract – The research conducted in the multidisciplinary Lingot project concerns the development of Computer-Based Learning Environments (C.B.L.E.) to help teachers take into account the diversity of students’ cognitive profiles. It aims to provide teachers with tools to manage the heterogeneity of learning needs in elementary algebra for students at the end of compulsory schooling. First, we show how the Lingot project draws on cognitive and anthropological approaches. Second, we outline how didactical models of diagnostic assessment have been developed in the Lingot project through the use of automated computer processes. Finally, we present some of the elements of learning routes adapted to the diagnosis and management of interactions differentiated according to pupils’ responses.

Key words: diagnostic assessment, modeling of students’ knowledge, differentiated learning routes, teaching and learning of elementary algebra, cognitive and anthropological approaches.

DIAGNÓSTICO Y RUTAS DE APRENDIZAJE EN ÁLGEBRA ELEMENTAL

Resumen – Los trabajos de investigación realizados en el marco del proyecto multiplisciplinario Lingot, pretenden la concepción de Ambientes Informáticos para el Aprendizaje Humano (A.I.A.H.) con el objetivo de facilitar la consideración por parte de los profesores, de la diversidad cognitiva de los alumnos. Se trata de otorgar a los profesores, herramientas para manejar la heterogeneidad de los aprendizajes en álgebra elemental al final de la escolaridad obligatoria.Primeramente, localizamos los trabajos del proyecto en relación con los enfoques cognitivos y antropológicos. Luego, definimos las modelizaciones

* Laboratoire de Didactique André Revuz (L.D.A.R.), Université Paris Diderot – Paris 7, France – [email protected] – [email protected] – [email protected]**** UTES et LIP6, UPMC – Sorbonne Universités, France – [email protected]

Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol., n° pp. 1- , 200

mailto:[email protected]




2 Recherche en didactique des mathématiques

didácticas del diagnóstico desarrolladas en el proyecto Lingot y su automatización informática. Finalmente, presentamos los elementos asociados a las rutas de aprendizaje adaptados al diagnóstico y a la gestión de interacciones contextualizadas a las respuestas de los alumnos.

Palabras claves: diagnóstico, modelización de los conocimientos de los alumnos, rutas diferenciadas de aprendizaje, enseñanza y aprendizaje del álgebra elemental, enfoques cognitivos y antropológicos.

RESUME

Les travaux de recherche réalisés dans le cadre du projet pluridisciplinaire Lingot visent la conception d’Environnements Informatiques pour l’Apprentissage Humain (E.I.A.H.) pour faciliter la prise en compte par les enseignants de la diversité cognitive des élèves. Il s’agit de fournir aux enseignants des outils pour gérer l’hétérogénéité des apprentissages en algèbre élémentaire en fin de scolarité obligatoire. Dans un premier temps, nous situons les travaux du projet par rapport aux approches cognitive et anthropologique. Dans un second temps, nous définissons les modélisations didactiques du diagnostic développées dans le projet Lingot et leur automatisation informatique. Puis, nous présentons des éléments relatifs aux parcours d’enseignement adaptés au diagnostic et à la gestion d’interactions contextualisées aux réponses des élèves.

Mots-Clés : diagnostic, modélisation des connaissances des élèves, parcours différenciés d’apprentissage, enseignement et apprentissage de l’algèbre élémentaire, approches cognitive et anthropologique.

INTRODUCTION

Diagnostic et parcours différenciés d’apprentissage… 3

Les travaux de recherche réalisés dans le cadre du projet Lingot depuis une quinzaine d’années visent la conception d’Environnements Informatiques pour l’Apprentissage Humain (E.I.A.H.) (Delozanne, Prévit, Grugeon-Allys & Chenevotot-Quentin 2010) pour faciliter la prise en compte par les enseignants de la diversité cognitive des élèves. L’enjeu est d’outiller les enseignants pour gérer l’hétérogénéité des apprentissages en algèbre élémentaire des élèves en fin de scolarité obligatoire (élèves de 15 ans). C’est un projet pluridisciplinaire qui regroupe principalement des chercheurs en didactique des mathématiques (du L.D.A.R.) et en informatique (du L.I.P.6) ainsi que des enseignants et des formateurs d’enseignants (des I.U.F.M. de Rennes, Créteil, Lille et Amiens)1. Nous formulons deux hypothèses. D’une part, des élèves ont besoin d’avoir à disposition des exercices pour travailler « certaines nécessités d’apprentissage » ignorées par les programmes (Castela 2008 p 138) et souvent jamais travaillées en classe, ce qui contribue ainsi au développement de l’hétérogénéité de leurs connaissances. Les réponses des élèves à un ensemble de problèmes recouvrant le domaine algébrique à ce niveau scolaire révèlent certaines cohérences de leur activité algébrique, et la compréhension de ces cohérences devrait aider les enseignants, dans leur classe, à repérer les besoins d’apprentissage des élèves pour réguler l’enseignement de l’algèbre, voire pour le différencier. D’autre part, l’usage d’environnements informatiques peut mettre à disposition des enseignants de nouvelles ressources pour réguler les hétérogénéités. Ce point de vue nous a amenées à nous placer dans une problématique écologique. Sur quelles marges de manœuvre les enseignants peuvent-ils jouer pour remédier aux difficultés des élèves ?

Au cours des recherches menées, nous avons organisé ce questionnement sur trois principales entrées :

Premièrement, quel diagnostic global est adapté à caractériser l’activité algébrique des élèves d’une classe à un niveau d’enseignement donné qui soit opérationnel pour prédire leurs besoins d’apprentissage ? En quoi une automatisation du diagnostic via un traitement informatique rend-il plus viable pour le professeur le calcul de la géographie cognitive d’une classe en algèbre élémentaire ?

1 Le projet Lingot s’est structuré autour d’une démarche de recherche itérative fondée sur la réalisation de prototypes informatiques pour mettre à l’épreuve des hypothèses, produire des résultats et formuler de nouvelles questions de recherche (Delozanne & al. 2010). Nous développons ici le point de vue didactique.


Deuxièmement, quelle répartition des élèves en groupes permet de proposer des parcours d’enseignement adaptés à leurs besoins d’apprentissage repérés par le diagnostic en algèbre ?

Troisièmement, en quoi le diagnostic donne-t-il des informations pour mettre à disposition des enseignants des exercices différenciés adaptés aux besoins d’apprentissage de leurs élèves ? Avec quels déroulements pour accompagner ces exercices ? En quoi le diagnostic peut-il favoriser la gestion d’interactions contextualisées en fonction des réponses des élèves, la gestion d’aides, pour organiser le travail individuel ou collectif en classe ? Et, en particulier, dans un environnement informatique ?

Dans cet article, nous situons d’abord le diagnostic par rapport aux pratiques existantes d’évaluation diagnostique. Nous présentons ensuite des éléments théoriques sur lesquels nous fondons la définition du domaine algébrique, référence pour caractériser les différents aspects de l’activité algébrique attendue en fin de scolarité obligatoire. Ensuite, nous définissons les modélisations didactiques du diagnostic individuel puis collectif développées dans le projet Lingot. Nous présentons alors des stratégies de différenciation adaptées aux besoins repérés de groupes d’élèves. Nous étudions en quoi le diagnostic facilite la gestion d’interactions contextualisées aux réponses d’élèves. Pour conclure, nous proposons des perspectives de recherche en cours.

ELÉMENTS THÉORIQUES

1. Pratiques d’évaluation et diagnosticLe diagnostic des enseignants s’appuie souvent sur des catégories d’élèves, « les bons », « les moyens rapides », « les moyens faibles », « les faibles », peu exploitables directement pour organiser la régulation des apprentissages des élèves. Quels types de pratiques d’évaluation fournissent des informations permettant un diagnostic plus opérationnel des connaissances mobilisées par des élèves pour résoudre des problèmes dans un domaine donné ? L’article de Ketterlin-Geller, Leanne et Yavonoff (2009) compare les pratiques d’évaluation diagnostique portant sur l’analyse des procédures et des erreurs. Les auteurs en distinguent deux types : des analyses de solutions d’élèves à des tests dédiés et des évaluations diagnostiques cognitives utilisant des méthodes plus standardisées et des méthodes psychométriques. La première approche unidimensionnelle est peu propice à une analyse de la complexité de l’apprentissage et des relations entre les connaissances. La seconde fournit des informations sur des attributs multidimensionnels caractérisant les processus


cognitifs. Dans les deux cas, l’enjeu est principalement l’étude locale de conceptions erronées en vue de les déstabiliser. L’enjeu n’est pas d’étudier de façon globale des cohérences de fonctionnement des élèves dans un domaine donné, ce qui nécessiterait l’analyse de réponses d’élèves dans un champ conceptuel organisé.

Le diagnostic développé dans le cadre du projet Lingot vise au contraire une analyse globale multidimensionnelle des connaissances et de l’activité des élèves en algèbre. Il s’appuie sur une évaluation des réponses des élèves (erreurs et procédures) et un diagnostic cognitif global. Il n’utilise pas de modèles psychométriques mais se fonde sur une étude cognitive et épistémologique de l’algèbre élémentaire élargie à des études empiriques.

2. Une approche cognitiveComment décrire les connaissances des élèves en algèbre ? La modélisation des connaissances de l’élève a pris une place centrale en didactique des mathématiques, comme cadre de recherche (Vergnaud 1991) et ensuite, comme outil pour décrire l’état des connaissances des élèves à propos d’un concept (Artigue 1988) précisé par le modèle CKC de Balacheff (1995).

Nous nous situons par rapport à des travaux réalisés dans le domaine de l’algèbre élémentaire. Chaachoua s’intéresse à la détermination automatique des conceptions des élèves en algèbre (Chaachoua, Nicaud & Bittar 2005). Il modélise d’abord les conceptions de façon abstraite, en lien avec le modèle CKC via l’analyse des productions d’élèves recueillies à partir du logiciel Aplusix (http://aplusix.imag.fr/) sur des exercices de résolution d’équations ou d’inéquations du premier degré. Puis, à partir d’une base de règles de réécriture correctes ou incorrectes et d’un interpréteur de règles, Chaachoua réalise de façon automatique un diagnostic local des transformations des élèves, par combinaison de règles de la base. Croset (2009) complète et transpose l’algorithme de diagnostic déjà utilisé pour des exercices de développement, de factorisation.

Cependant, la modélisation des connaissances proposée par Chaachoua et Croset porte sur un domaine restreint de l’algèbre et non sur la classe de situations algébriques « qui donnent du sens au concept étudié » (Artigue 1988). Or cette dernière est cruciale pour prendre en compte la complexité des connaissances des élèves dans un domaine donné : bien souvent des difficultés en calcul algébrique masquent des difficultés plus profondes relatives au sens donné à la mobilisation des lettres pour résoudre des problèmes, par exemple, pour les problèmes de généralisation ou de modélisation.


Aussi avons-nous caractérisé le domaine de l’algèbre élémentaire, référence pour organiser un diagnostic global de l’activité algébrique. Notre travail se fonde ainsi sur une approche épistémologique et cognitive. Il s’est appuyé en partie sur une synthèse des travaux de didactique de l’algèbre (Grugeon 1997, Kieran 2007) et sur des études expérimentales. Les connaissances algébriques sont structurées selon deux dimensions non indépendantes et partiellement hiérarchisées, les dimensions outil et objet (Douady 1986).

Dans sa dimension outil, l’algèbre est mobilisée : comme outil de résolution via la modélisation pour résoudre des

problèmes « arithmétiques » formulés en langue naturelle sous forme d’équations et, au-delà, pour résoudre des problèmes intra ou extra mathématiques sous forme de relations fonctionnelles entre données et variables,

comme outil de calcul dans les cadres algébrique et fonctionnel, mais aussi comme outil de généralisation et de preuve dans le

cadre numérique.Dans sa dimension objet, l’algèbre est un ensemble structuré d’objets – les expressions algébriques, les formules, les équations, les inéquations – avec des propriétés spécifiques, des représentations sémiotiques associées à différents registres. Le registre des écritures algébriques est en effet en articulation avec d’autres registres sémiotiques (registre des écritures numériques, registre des représentations graphiques, registre des figures géométriques, registre de la langue naturelle), des modes de traitement. Le traitement formel des objets met en jeu leur double aspect syntaxique et sémantique, ce qui donne une juste place aux aspects technique et théorique du traitement algébrique (dénotation et équivalence des expressions).

Les différents aspects de l’activité algébrique d’un élève se développent à travers les usages variés du calcul algébrique dans la résolution de différents types de problèmes du domaine algébrique.

Les travaux en didactique de l’algèbre (Kieran 2007) pointent des ruptures potentielles en jeu lors de l’entrée dans la pensée algébrique telles que la rupture épistémologique avec l'arithmétique (Vergnaud 1987), tant du point de vue de la construction de la rationalité mathématique attendue pour résoudre des problèmes que du point de vue de la fonction d’adaptabilité dans l'interprétation des expressions pour en faire des usages visés (Sfard 1991).

La caractérisation du domaine algébrique permet de délimiter les types de problèmes à prendre en compte pour définir un test diagnostique destiné à analyser les différents aspects de l’activité


algébrique des élèves2 ainsi que la manière de caractériser les réponses et de les exploiter.

3. Une approche anthropologique L’approche cognitive et épistémologique mentionnée plus haut ne prend pas en compte le contexte institutionnel de l’apprentissage / enseignement. Nous postulons que la pratique de diagnostic doit tenir compte de l’institution dans laquelle l’élève apprend et des praxéologies mathématiques (Chevallard 2002) impliquées dans la résolution des problèmes proposés dans l’institution3. Les évaluations doivent permettre de situer l’activité algébrique des élèves lors de la résolution des types de tâches travaillés à un niveau scolaire donné et les éléments technologiques investis dans leur résolution par rapport à ceux attendus.

Chaque tâche diagnostique est ainsi caractérisée par : un type de tâche, les registres sémiotiques et la complexité des objets algébriques mis en jeu, le niveau d’intervention des organisations mathématiques dans la tâche (Castela 2008 p. 152), des techniques attendues relativement aux éléments technologiques et théoriques visés. Ce point de vue nous a permis d’adapter le diagnostic global à différents niveaux d’enseignement (Chenevotot-Quentin, Grugeon & Delozanne 2011).

DES PROFILS D’ÉLÈVES EN ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

1. Un diagnostic appuyé sur le modèle multidimensionnel de l’activité algébriqueDans le cadre du projet Lingot, pour permettre aux enseignants de situer l’activité d’un élève en algèbre par rapport à celle attendue en fin de scolarité obligatoire, nous avons proposé un outil de diagnostic papier-crayon. Il est composé de vingt-deux tâches diagnostiques choisies en croisant à la fois les différents types de problèmes du domaine de l’algèbre, pris comme référence, et les organisations mathématiques développées dans les programmes pour le niveau considéré. Ces tâches recouvrent différents problèmes : problèmes de mathématisation pour généraliser, modéliser, prouver ou mettre en 2 Des problèmes de généralisation, de production de formule dans différents cadres, de preuve, de reconnaissance d’expressions, de calcul algébrique (développer, factoriser) permettent d’étudier différents aspects de l’activité algébrique.3 Les praxéologies sont définies à partir de l’étude des programmes, des documents d’application et des principaux manuels utilisés dans les classes.


équation (12 items) mais aussi des exercices techniques de calcul (22 items) ou des exercices de reconnaissance (32 items). Ces problèmes impliquent différents types de tâches des programmes de collège et de seconde : produire des expressions ou des formules, mettre en équation dans différents cadres (numérique, algébrique, géométrique), prouver des propriétés, calculer la valeur d’expressions, développer, factoriser des expressions, résoudre des équations. Quatre exemples de tâches (figures 5 à 11) sont donnés dans l’annexe 1. Les tâches peuvent être des QCM ou des exercices à énoncés plus ou moins ouverts demandant une réponse des élèves. Nous faisons l’hypothèse que les réponses des élèves donnent accès de façon suffisamment représentative à ce que peut être leur activité algébrique. Une grille d'analyse multidimensionnelle fondée sur les caractéristiques du domaine algébrique permet de coder les réponses des élèves aux différentes questions du test diagnostique (Grugeon 1997).

Dans cette approche, les réponses ne sont pas seulement analysées en termes de réussite / échec et d’erreurs mais aussi codées en référence à des cohérences définies a priori, correspondant soit à des technologies institutionnellement reconnues, soit à des technologies « élèves » qui justifient et légitiment pour eux un ensemble cohérent de techniques en acte erronées construites dans cette institution4. Par exemple, pour des types de tâches comme développer, factoriser une expression, nous avons distingué des « types de manipulation formelle » (Grugeon 1997 p. 198) avec des justifications prenant en compte la structure et l’équivalence des expressions (technologie attendue), avec des justifications prenant en compte une syntaxe erronée des expressions (usage des parenthèses, de règles fausses), avec des justifications prenant en compte des règles pseudo-opératoires ne respectant pas le rôle des opérateurs + et (règles de concaténation axn + bxp (a+b) xn+p ou de fausse linéarité xn nx)5.

4 Ce point de vue est proche de celui introduit par Croset (2009) :« Ces comportements stables dans l’erreur doivent, selon nous, pouvoir s’expliquer, se justifier par la présence d’une technologie-en-acte chez ces élèves. C’est parce qu’ils ont en tête des éléments technologiques (erronés) qu’ils sont capables d’avoir un comportement stable (dans l’erreur). » p.264« Ce qui était sous-jacent à un tel travail était de supposer qu’un élève qui affiche une stabilité aussi bien dans ses actions correctes que dans l’erreur était sous-tendue par des éléments technologiques. C’est l’accès à une technologie-en-acte, selon nous, qui permettrait à l’élève de reproduire la même action face à des contextes similaires. » p.2685 Croset (2009) a défini « cinq technologies a priori : des implicites, des tendances à la concaténation, une utilisation abusive de la distributivité, un manque de maîtrise des parenthèses (…). » p.264


L’analyse des réponses s’effectue selon l’utilisation des lettres dans la résolution d’un type de problèmes du champ de l’algèbre et le type de rationalité, la traduction entre les différents registres sémiotiques, l’usage des règles de calcul algébrique.

Nous définissons ensuite le profil de l’élève en algèbre élémentaire comme une description des principaux traits de son activité algébrique. Une analyse transversale du codage obtenu permet de construire ce profil tant sur le plan quantitatif, en termes de taux de réussite selon les tâches diagnostiques de même type, que sur le plan qualitatif en termes de technologies dominantes selon les composantes définies plus haut.

2. Automatisation du diagnosticPour en réduire le coût6, le logiciel Pépite (Jean, Delozanne, Jacoboni & Grugeon 1998, Delozanne, Prévit, Grugeon-Allys & Chenevotot-Quentin 2010) automatise au moins partiellement le diagnostic. Lors d’expérimentations portant sur environ deux cents réponses d’élèves, nous avons montré que Pépite permet le recueil d’observables attendus pour le diagnostic. Les données recueillies sont fiables en ce qui concerne le spectre des réponses, leur variété, la cohérence de l’activité algébrique des élèves et la proximité avec les profils des élèves en algèbre réalisés manuellement par les professeurs ou les chercheurs. Mais la description du profil des élèves en algèbre s’avère éloignée des pratiques enseignantes, que ce soit au niveau des critères ou de la terminologie utilisés, trop didactiques. Les enseignants demandent ainsi une géographie de la classe sous la forme de catégories de profils, plutôt que des profils individuels. Ils souhaitent ensuite des propositions de situations d’apprentissage et de parcours différenciés associés aux catégories de profils.

3. Vers un diagnostic collectifPour passer d’un diagnostic individuel à un diagnostic collectif, nous avons défini le stéréotype en algèbre élémentaire (Delozanne, Vincent, Grugeon, Gélis, Rogalski & Coulange 2005) comme une classe de profils « équivalents », c’est-à-dire un ensemble de profils pour lesquels les technologies « élèves » en algèbre peuvent être jugées suffisamment proches pour travailler des exercices ayant les mêmes

6 Les expérimentations réalisées en collège ont mis en évidence les difficultés des enseignants à utiliser le diagnostic papier – crayon. En effet, le coût du diagnostic s’est avéré trop élevé d’une part en temps « élève » pour réaliser le test et d’autre part en temps « enseignant » pour corriger, coder les productions des élèves puis proposer les exercices adaptés aux profils.


objectifs prioritaires d’apprentissage. Les stéréotypes présents dans une classe constituent la géographie cognitive de la classe. Nous spécifions le modèle de stéréotype en algèbre élémentaire à partir de trois composantes : l’usage de l’outil algébrique pour résoudre des problèmes (codé UA), la traduction entre différents registres sémiotiques (des écritures numériques, des écritures algébriques, des figures géométriques, des représentations graphiques, du langage naturel) (codé TA), l’usage des règles de calcul algébrique (codé CA). Ce modèle utilise des composantes proches du modèle GTG de conceptualisation de l’activité algébrique développé par Kieran (2007) distinguant trois aspects de l’activité algébrique : l’activité générative, l’activité transformationnelle et l’activité méta ou globale7.

Pour chacune de ces trois composantes, différents niveaux technologiques « élèves » ont été identifiés (niveau 1 > niveau 2 > niveau 3 > niveau 4) et permettent de définir des seuils relativement à chaque composante : quatre niveaux relatifs à l’usage de l’outil algébrique (UA) :

disponibilité de l’outil algébrique et usage adapté aux types de problèmes du domaine, usage de l’outil algébrique adapté dans certains types de problèmes, usage de l’outil algébrique non motivé et non adapté, non disponibilité de l’outil algébrique et usage persistant de démarches arithmétiques ;

trois niveaux relatifs à la traduction entre différents registres sémiotiques (TA) : traduction adaptée et contrôlée, traduction fréquemment sans reformulation, traduction pour schématiser ;

trois niveaux relatifs à l’usage des règles de calcul algébrique (CA) : calcul intelligent et contrôlé préservant l’équivalence des expressions, calcul basé sur des règles syntaxiques souvent à l’aveugle ne préservant pas l’équivalence des expressions, calcul sans signification et non opératoire (cf. ci-dessus).

Ce modèle permet de cibler des besoins d’apprentissage souvent ignorés par l’institution selon les trois composantes définies plus haut.

7 L’activité générative concerne la génération des différents objets de l’algèbre : expressions algébriques, formules et équations, identités. Par exemple, des expressions algébriques généralisant des règles numériques, des équations à une ou plusieurs inconnues modélisant un problème. L’activité transformationnelle concerne l’utilisation de règles de transformation, par exemple, des règles relatives à la factorisation, au développement d’expressions, à la résolution d’équations et d’inéquations. L’activité globale au niveau méta concerne la mobilisation et l’usage de l’outil algébrique pour résoudre différents types de problèmes. Par exemple, la résolution de problèmes de modélisation, de généralisation, de preuve.


Interpréter le profil d’un élève en algèbre élémentaire consiste alors à attribuer un niveau selon chacune des trois composantes ainsi qu’à relever des caractéristiques personnelles sous la forme de leviers explicitant les acquis sur lesquels s’appuyer pour faire évoluer l’activité algébrique de l’élève et de fragilités explicitant les erreurs récurrentes repérées.

Le logiciel PépiStéréo (Delozanne, & al. 2005) permet de calculer automatiquement les stéréotypes des élèves. La figure 1 présente le profil en algèbre élémentaire de Jules, élève de 3ème :Usage de l’algèbre (UA)Niveau 3

Mobilisation de l’outil algébrique sans cohérence entre le modèle et la situation

Exercices de mathématisationTaux de réussite8 : 18%FragilitésEncore des démarches arithmétiques

Traduction d’une représentation à une autre (TA)Niveau 2

Traduction ne prenant pas en compte la reformulation des relations

Exercices de reconnaissance et de traductionTaux de réussite : 50%LeviersTraduction algébrique correcte pour modéliser (e=6P, x-2=y+2)

Calcul algébrique (CA)Niveau 3

Traitement s’appuyant sur une conception pseudo-structurale des expressions mettant en jeu des règles de formation et de transformation incorrectes du type concaténation

Exercices techniquesTaux de réussite : 14%Fragilités Rôle des opérateurs non maîtrisés (4a3+3a2=5a5)Utilisation de règles de transformation fausses ((a+b)2=a2+b2 ; aman=amn

ax=b x=-b/a)

Figure 1. – Profil en algèbre élémentaire de JulesLe logiciel PépiStéréo permet aussi de regrouper les élèves par stéréotypes semblables. Il présente le résultat du diagnostic automatique aux enseignants et propose des éléments de stratégies d’enseignement appropriées aux différents stéréotypes. L’analyse d’un corpus de trois cent quarante élèves a relevé au plus dix-huit stéréotypes différents (et souvent moins de six) dans les différentes classes de troisième et de seconde observées, ce qui correspond à peu près au nombre de catégories identifiées par un enseignant sans le logiciel. Voici la géographie cognitive d’une classe de seconde, très hétérogène, constituée de dix stéréotypes différents (figure 2).

8 Sur le nombre d’exercices abordés du même type


Figure 2. – Géographie cognitive d’une classe de seconde

DES PARCOURS D’ENSEIGNEMENT ADAPTÉS AUX STÉRÉOTYPES COGNITIFS EN ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

Nous postulons que la définition de stéréotype en algèbre élémentaire constitue une avancée importante en comparaison des catégories utilisées habituellement par les enseignants, en ce qui concerne la conception et la mise en œuvre de stratégies de différenciation, stratégies choisies pour prendre en compte les besoins d’apprentissage selon les élèves. En effet, la connaissance des niveaux technologiques relativement aux trois composantes permet d’identifier des objectifs d’apprentissage à travailler en priorité pour faire évoluer des technologies inadaptées, puis de sélectionner des types de problèmes souvent rarement abordés habituellement en classe et d’organiser leur gestion didactique.

Comment permettre aux enseignants d’intégrer ces nouvelles ressources dans leurs pratiques habituelles de différenciation ? Le nombre de stéréotypes différents, quoique souvent réduit à une petite dizaine, nécessite néanmoins des regroupements supplémentaires pour rendre son usage viable en classe. Quels regroupements des stéréotypes effectuer pour permettre de constituer des groupes d’élèves dans une classe afin d’organiser un enseignement différencié répondant aux besoins d’apprentissage des élèves préalablement repérés par le diagnostic? Quels sont les stéréotypes les plus probables ? Quelle stratégie de regroupement des stéréotypes adopter ? Comment définir des parcours d’enseignement différenciés adaptés aux élèves et viables pour les enseignants dans une stratégie globale d’enseignement ?


Nous distinguons deux étapes dans la modélisation des parcours différenciés d’enseignement. La première vise à définir un modèle théorique qui caractérise, selon les profils cognitifs des élèves, les types de tâches à travailler en priorité mis en évidence par l’analyse théorique. La seconde étape consiste à opérationnaliser ce modèle en fonction du contexte institutionnel d’enseignement. Il s’agit de prendre en compte non seulement les organisations mathématiques mais aussi les organisations didactiques à mettre en œuvre pour que les parcours puissent être viables dans une classe. Dans ce modèle contextualisé, les parcours différenciés d’enseignement sont définis à un niveau scolaire donné, pour un thème mathématique donné, un moment de l’étude et un enjeu d’apprentissage commun à la classe lié aux différents aspects de l’activité algébrique à travailler. Une stratégie didactique de différenciation adaptée aux besoins d’apprentissage des groupes d’élèves permet de caractériser les types de tâches qui seront en jeu dans les exercices des parcours différenciés d’enseignement. Pour réaliser les parcours différenciés dans les classes, les enseignants adaptent ensuite le modèle opérationnel en fonction de leurs projets. Nos recherches actuelles dans le cadre d’un projet de recherche en réponse à un appel d’offre PICRI de la région Ile-de-France9 visent à tester des parcours différenciés d’enseignement adaptés à des groupes d’élèves puis à les évaluer du point de vue de leur écologie possible dans l’enseignement secondaire actuel10.

Nous présentons maintenant les principaux choix didactiques réalisés concernant le deuxième niveau de la modélisation des parcours différenciés et actuellement en cours d’expérimentation.

1. Constitution des groupes Nous constituons les groupes en fonction des enjeux d’apprentissage. Pour travailler la dimension objet, nous regroupons les stéréotypes selon leur niveau sur la composante CA puis selon leur niveau sur la composante UA, ce qui donne trois groupes (les groupes CA1, CA2 et CA3) chacun pouvant être décomposé si besoin en deux sous-groupes (en regroupant d’une part les niveaux 3 et 4 sur UA, et, d’autre part les niveaux 1 et 2 sur UA). Pour travailler la dimension outil, nous regroupons les stéréotypes selon la composante UA. Nous faisons l’hypothèse que les groupes ainsi constitués permettent d’organiser la différenciation dans la classe.

9 Projet PEPIMEP codirigé par B. Grugeon-Allys (LDAR Université Paris Diderot) et E. Delozanne (LIP6, UPMC). 10 Thèses de Julia Pilet et de Soraya Bedja à l’Université Paris Diderot-Paris 7.


L’étude fine de l’ensemble des stéréotypes met en évidence des stéréotypes probables et d’autres incohérents comme CA3TA3UA111. L’analyse en cours des stéréotypes obtenus sur un vaste échantillon d’élèves permettra d’obtenir une répartition statistique des différents stéréotypes.

2. Modélisation des parcours différenciés d’enseignement Pour modéliser des parcours différenciés d’enseignement pour un thème mathématique donné, à un niveau scolaire donné, à un moment de l’enseignement (reprise, introduction, application et approfondissement, évaluation), nous avons distingué les enjeux d’apprentissage communs à la classe des stratégies de différenciation liées aux besoins d’apprentissage des groupes. Nous prenons appui sur l’étude des différents aspects de l’activité

algébrique attendue en fin de scolarité obligatoire et sur les besoins ignorés de l’institution (Bosch, Fonseca et Gascon 2004, Castela 2008) pour sélectionner des enjeux d’apprentissage communs à travailler en classe. Le modèle de l’activité algébrique de référence donne en effet un éclairage sur des nécessités d’apprentissage souvent ignorées par l’institution, en particulier du côté objet, la prise en compte de la dialectique numérique / algébrique, du double aspect procédural / structural d’un objet, de l’équivalence des expressions, ce qui permet de caractériser des types de tâches et les variables didactiques associées.

Les types de tâches impliqués dans les exercices du parcours de chaque groupe dépendent à la fois de l’enjeu d’apprentissage visé et de la stratégie de différenciation selon les groupes d’élèves : ils visent à faire évoluer les technologies élèves pour réduire l’écart avec celles attendues. Plusieurs stratégies sont envisagées : mettre en évidence les limites d’une technologie et motiver l’introduction d’une nouvelle technologie, déstabiliser des règles erronées à partir de contre-exemples, motiver l’usage d’écritures en fonction de la résolution d’un problème… Plusieurs variables didactiques sont associées aux types de tâches : la nature et la complexité des expressions, le niveau d’intervention des types de tâches, les types d’aides apportés et les registres de représentation mis en jeu.

11 Il est en effet improbable que des élèves mobilisent et résolvent algébriquement les différents types de problème du domaine algébrique en ayant une pratique du calcul algébrique sans signification et non opératoire ne préservant pas l’équivalence des expressions.


La connaissance des technologies-élèves est un appui essentiel, d’une part pour caractériser le milieu de situations d’apprentissage dans les environnements papier / crayon ou informatique, les ressources à mettre à disposition, afin de favoriser des rétroactions adaptées aux réponses des élèves (voir le paragraphe suivant), d’autre part pour organiser la gestion des déroulements et des aides en fonction des groupes en classe.

Pour tester ces choix, nous poursuivons actuellement les expérimentations dans le cadre de la recherche en cours.

3. Un exemple de parcours différencié d’enseignement relatif à un enjeu d’apprentissageIci, l’enjeu d’apprentissage commun à la classe concerne la dimension objet de l’algèbre et vise la reconnaissance de l’équivalence des expressions. Quelle stratégie différenciée proposer pour répondre aux besoins d’apprentissage des élèves de chaque groupe ?

Les élèves des groupes CA2 et CA3 présentent des erreurs récurrentes pour la formation et la transformation des expressions. Une stratégie possible vise à déstabiliser ces erreurs en étudiant l’équivalence des expressions et en favorisant l’articulation entre le numérique et l’algébrique. Deux types de tâches sont privilégiés : « conjecturer si deux expressions sont équivalentes » et « prouver l’équivalence de deux expressions ». Il s’agit de développer d’une part, la dialectique algébrique / numérique à travers la conjecture, et, d’autre part, des raisonnements de type preuve algébrique et contre-exemple numérique. Si cette stratégie conduit aux mêmes types d’exercices pour les groupes CA2 et CA3, les exercices diffèrent cependant selon les variables didactiques « nature et complexité des expressions en jeu ». Pour le groupe CA3, les expressions retenues font intervenir des erreurs de concaténation, de fausse linéarité ou sur le rôle des parenthèses tandis que pour le groupe CA2, il s’agit d’erreurs relatives à la distributivité ou l’utilisation incorrecte de règles sur les puissances. Pour les élèves du groupe CA1, la stratégie différenciée consiste à travailler l’équivalence des expressions à travers la résolution de problème, la preuve ou l’invalidation de propriétés du cadre algébrique.

Pour illustrer la démarche, nous présentons dans l’annexe 2 des exercices de parcours s’adressant à une classe de troisième avant la reprise du chapitre portant sur le calcul littéral ainsi que le déroulement prévu.


4. Des stratégies de différenciation pour un groupe d’élèves Nous nous intéressons maintenant à un groupe d’élèves ayant des profils proches de celui de Jules. Nous rappelons que ces élèves mobilisent peu l’outil algébrique ou de façon non adaptée pour résoudre des problèmes du domaine algébrique (niveau 3 sur UA). De plus, ils donnent peu de sens au calcul algébrique, souvent sans lien avec le numérique, et utilisent des règles de transformation pseudo-opératoires, par exemple des règles de concaténation 4a3+3a² 7a5

ou de fausse linéarité a² 2a (niveau 3 sur CA). Les stratégies spécifiques retenues pour ces élèves sont les

suivantes :a. Du côté outil, motiver et donner du sens aux lettres comme

nombres généralisés via des exercices mettant en jeu des situations de généralisation et de preuve.

b. Du côté objet, déstabiliser les conceptions erronées sur les lettres, les règles de transformation ou de traduction via des contre-exemples numériques ou des changements de registres sémiotiques.

c. Du côté objet, développer des techniques contrôlées de calcul algébrique prenant en compte l’équivalence des expressions.Voici des exemples de tâches pour les différentes stratégies. Elles

peuvent être données dans un environnement papier / crayon ou dans des environnements informatiques comme Portrait-Robot, CIME, AILE ou Aplusix qui sont présentés au paragraphe « Des rétroactions adaptées au travail des élèves ».1. Pour la stratégie a., des tâches pour motiver et donner du sens à

travers une situation de généralisation et de preuve faisant intervenir l’étude de l’équivalence de programmes de calcul (cf. la figure 3).

2. Pour la stratégie b., des tâches sur l’interprétation de la structure et de l’équivalence d’expressions ou sur la traduction de relations mathématiques pour déstabiliser des erreurs récurrentes (cf. la figure 4, les environnements informatiques Portrait-Robot et CIME),

3. Pour la stratégie b., des tâches pour travailler les liens entre différentes représentations (cf. les exercices du site http://www.fi.uu.nl/wisweb/, l’environnement informatique AILE),

4. Pour la stratégie c., des tâches pour développer l’habileté en calcul algébrique (par exemple, développer, factoriser) en contrôlant l’équivalence des expressions algébriques après transformation, par exemple avec un logiciel de calcul formel (cf. l’environnement informatique Aplusix).


Les trois programmes de calcul suivants sont-ils égaux ?Programme 1 Programme 2 Programme 3- Choisir un nombre- Multiplier ce

nombre par 4- Ajouter 3 au

produit

- Choisir un nombre

- Multiplier ce nombre par 7

- Choisir un nombre- Multiplier ce

nombre par 4- Ajouter au produit le

triple du nombre de départ

1. Choisis trois nombres et teste chaque programme avec chacun des nombres. Tu peux utiliser une calculatrice.

2. Ecris une expression littérale pour chaque programme3. Avec ces trois expressions, écris une égalité toujours vraie. Justifie.4. Utilise cette égalité pour justifier ta réponse à la question 2 et démontrer quels sont

les programmes égaux.

Figure 3. – Exemple de tâche de type 1 pour motiver l’usage des lettres et leur donner du sens

Les égalités suivantes sont-elles vraies pour toutes valeurs de a ? Justifier votre réponse.5+3a = 8a ; 3(2a)=6a ; a² = 2a ; (a+2)² = a² + 4.

Figure 4. – Exemple de tâche de type 2 pour déstabiliser des erreurs récurrentes

DES RÉTROACTIONS ADAPTÉES AUX RÉPONSES DES ÉLÈVES

Au-delà de la proposition de situations d’apprentissage et de parcours différenciés d’enseignement adaptés aux profils cognitifs des élèves en algèbre, un des enjeux majeurs de la différenciation des apprentissages est de permettre aux professeurs d’organiser le travail individuel des élèves. Le développement d’environnements informatiques dotés d’un système de gestion d’interactions contextualisées et adaptées aux besoins des élèves en est une réponse.

L’environnement logiciel Aplusix peut être mobilisé dans les tâches de type 4 pour permettre aux élèves de travailler le contrôle de l’équivalence des expressions après l’application de transformations.

Les environnements logiciels Portrait-Robot, AILE et CIME (Grugeon, Coulange & Larue 2003, Grugeon-Allys 2008) visent la gestion de rétroactions contextualisées en fonction des réponses des élèves et peuvent être mobilisés pour des tâches des types 2 et 3. Ils sont construits sur le modèle de familles paramétrées de situations d’interaction adaptées aux profils en algèbre identifiés par Pépite, définis par trois descripteurs : un objectif d’apprentissage, une tâche


paramétrée et une interaction système – élève (Grugeon & al. 2003, Grugeon-Allys 2008 – pp.67–68). Une interaction système – élève est décrite par : des actions du système (via des outils de résolution et de contrôle) et des stratégies associées, des actions de l’élève (via des outils de résolution et de contrôle) et des stratégies associées. Une tâche prescrite est caractérisée par les descripteurs définis pour les tâches diagnostiques. A partir des réponses prévues pour la tâche à des niveaux technologiques élèves donnés, cette modélisation didactique puis informatique, fournit des outils de résolution et/ou de contrôle de l’environnement logiciel à proposer en fonction des réponses des élèves et des rétroactions adaptées à leurs actions.

Plus précisément, CIME vise à faire compléter interactivement une mise en équation, soit le libellé d’un problème lacunaire à partir d’une ou plusieurs équations fournies, soit une équation lacunaire à partir de l’énoncé complet d’un problème. Pour permettre le développement de l’environnement logiciel, Grugeon et Coulange ont d’abord défini une liste de variables pertinentes, relativement aux tâches CIME, puis les conditions sur ces variables : la structure du problème, la forme écrite de l’énoncé plus ou moins congruente avec les équations, le nombre d’équations et d’inconnues, la forme des équations plus ou moins congruente avec l’énoncé, le nombre et la place des « trous », le contenu des « trous » à compléter (opérateurs, données numériques, etc.). Grugeon et Coulange ont mis en évidence des variables liées aux outils mis à disposition d’une part par le système (palettes de mots ou de chiffres), d’autre part par l’enseignant (présence ou non d’une feuille de brouillon pour les calculs, etc.) et au type de rétroactions du système. La figure 5 présente un exemple : après l’énoncé du problème rempli par l’élève, et suite à une erreur de l’élève, une étape de la stratégie d’interaction - identification des variables apparaît - qui sera suivie d’une mise en contradiction avec l’envoi par le système des équations obtenues à partir de l’énoncé complété par l’élève puis un retour à la tâche initiale. Cette stratégie est généralisable à la famille de tâches 3.


Figure 5. – Exemple de situation d’interaction CIME

CONCLUSION ET PERSPECTIVES

Le projet Lingot et le projet de recherche PépiMEP en cours ont permis d’apporter des réponses aux questions initialement posées : Nous avons présenté des modèles didactiques de diagnostic (profil cognitif, stéréotype) en algèbre élémentaire, qui articulent les approches cognitive et anthropologique. Ils constituent des outils conceptuels pour aider l’enseignant à différencier l’enseignement en algèbre via la constitution de groupes d’élèves relativement homogènes. Les premières expérimentations ont montré la nécessité d’instrumenter ces outils en articulation avec les pratiques habituelles de diagnostic et de différenciation des enseignants. En particulier, il est nécessaire de poursuivre la réflexion sur le regroupement des stéréotypes pour constituer des groupes de différenciation et prendre en compte les contraintes d’enseignement des enseignants. L’articulation entre travail microscopique et travail macroscopique est indispensable et doit être poursuivie pour fiabiliser l’interprétation de l’activité algébrique des élèves. En particulier, la base des techniques et des erreurs doit être complétée au cours des expérimentations pour augmenter le pourcentage d’analyse de réponses aux questions ouvertes du test. Une étude à grande échelle doit être développée pour enrichir la base. La réflexion commune menée dans l’équipe de recherche pour affiner la modélisation didactique a été un support pour concevoir le modèle conceptuel informatique de classes d’exercices, mis en œuvre par Prévit dans le système PépiGen (Prévit 2008). Plusieurs versions du test diagnostic pourront être proposées pour suivre l’évolution des


technologies « élèves » pendant l’année. La définition de modèles génériques (Delozanne, Prévit, Grugeon & Chenevotot 2008) permet de créer des « clones » des exercices de Pépite : même type d’énoncé et même grille de codage. La génération automatique du codage des réponses des élèves donne accès, par composante d’analyse, aux niveaux technologiques « élèves » et aux types de rétroactions à développer en fonction des besoins des élèves.

Nous exploitons cette démarche de diagnostic pour modéliser des parcours d’enseignement adaptés aux besoins des élèves et les mettre en œuvre sur des plateformes de ressources en ligne. Dans le cadre d’un projet de recherche en réponse à un appel d’offre PICRI de la région Ile-de-France, nous implémentons actuellement nos outils pour différencier l’enseignement sur la plateforme LaboMep de l’association Sesamath (http://www.sesamath.net/). Nous poursuivons aussi l’évaluation des parcours du point de vue de leur écologie possible dans l’enseignement secondaire actuel.

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acquisition des connaissances scientifiques – Actes du colloque de Sèvres (pp.259–288). Grenoble : La Pensée Sauvage.

ANNEXE 1 : EXEMPLES DE TÂCHES DIAGNOSTIQUES

Figure 6. – Exemple de tâche de calcul algébrique

Figure 7. – Exemple de tâche de production d’expression


Figure 8. – Exemple de tâche de reconnaissance de la structure d’une expression

Figure 9. - Justifications proposées dans le cas où l’élève a choisi « Vraie » dans l’exemple de tâche présenté en figure 8

Figure 10. - Justifications proposées dans le cas où l’élève a choisi « Faux » dans l’exemple de tâche présenté en figure 8


Figure 11. – Exemple de tâche de généralisation et de preuve

ANNEXE 2 : UN EXEMPLE DE PARCOURS DIFFÉRENCIÉ D’ENSEIGNEMENT

Objectif d’apprentissage commun aux groupes Valider des règles de formation et transformation des expressions

pour travailler l’équivalence des expressions

Que doivent retenir les élèves ? Pour conjecturer l’égalité de deux expressions pour toute valeur de

la lettre, on peut utiliser un tableau de valeurs ou des calculs numériques. Si, en remplaçant la lettre par un nombre, les valeurs des expressions sont égales, alors on peut conjecturer que les deux expressions sont égales pour toute valeur de la lettre. Sinon le calcul fournit un contre-exemple numérique.

Pour montrer qu’une égalité est vraie pour toutes valeurs de la lettre, on utilise les propriétés algébriques. Pour montrer qu’une égalité est fausse, on peut utiliser un contre-exemple numérique. C’est à partir de ce travail de preuve que l’enseignant peut ré aborder les conventions d’écritures (notamment le signe multiplier), le rôle des opérations et des parenthèses, et les priorités opératoires pour déstabiliser des règles de calcul et des conceptions erronées des élèves.

Statut du signe d’égalité comme traducteur d’une identité : les deux expressions figurant de part et d’autre de l’égalité sont égales pour toutes valeurs de la lettre. Ce statut est à distinguer du signe d’égalité comme annonce de résultat ou d’écriture d’une équation (cf. « Projet de document d’accompagnement. Du numérique au


littéral » de 2006 disponible sur eduscol.education.fr)

Stratégie différenciée par groupe CA1 : Résoudre des problèmes, prouver ou invalider des

propriétés du cadre algébrique. CA2 : Déstabiliser des erreurs sur des règles de formation ou de

transformation des expressions (utilisation des parenthèses, distributivité, carré, puissance) à partir des notions de preuve et de contre-exemple numérique.

CA3 : Déstabiliser des erreurs sur des règles de formation ou de transformation des expressions (concaténation, linéarisation, rôle des parenthèses) à partir des notions de preuve et de contre- exemple numérique.

Exercice groupe CA1 – Prouver ou invalider des propriétés

1. L’égalité x(x+1)+1=2x+1 est-elle vraie pour tout réel x ? Justifier votre réponse.

2. Montrer que pour tout entier n, n3-n s’écrit n(n-1)(n+1). On dit que n3-n est le produit de trois entiers consécutifs.

3. Montrer que le carré d’un nombre pair est pair.4. On sait que 2x+5=4985. En déduire la valeur de 2(x+10)+5.

Exercice groupe CA2 – Remettre en question des erreurs de calcul : des égalités vraies pour tout a ?

Les égalités suivantes sont-elles vraies pour toutes valeurs de a ? Justifier votre réponse.(2a)² = 2a²; a(a+2)=a2+2 ; a+3(a+2)=4a+6

Exercice groupe CA3 – Remettre en question des erreurs de calcul : des égalités vraies pour tout a ?

Les égalités suivantes sont-elles vraies pour toutes valeurs de a ? Justifier votre réponse.5+3a = 8a ; a² = 2a ; (2a)² = 4a²

Aide méthodologique à la disposition des élèves des groupes CA2 et CA3 Tu peux tester l’égalité en donnant des valeurs numériques aux

lettres, en utilisant un tableur ou en utilisant les représentations graphiques des deux membres de l’égalité.

Tu montres qu’une égalité est fausse à partir d’un contre-exemple, c’est-à-dire une valeur de la lettre pour laquelle les deux membres


de l’égalité ne sont pas égaux. Tu prouves qu’une égalité est vraie pour toute valeur de la lettre à

partir d’une preuve algébrique. Un exemple ne suffit pas.

Un déroulement possible L’enseignant peut expliciter à l’oral les enjeux du travail : « Je

vous propose de faire des exercices différents pour prendre en compte les besoins d’apprentissage que le test a repérés pour chacun de vous. L’objectif est de travailler sur des erreurs de calcul et de vous donner un moyen de contrôler vos calculs. »

Premier temps de recherche sur les premières égalités (5 min). L’enseignant circule dans les rangs et invite les élèves à utiliser l’aide, à remplacer l’indéterminée par une valeur numérique ou à utiliser une calculatrice et un tableau de valeurs pour contrôler leurs réponses.

Mise en commun pour chaque groupe (10 min). Une phase de débat entre élèves peut permettre de faire émerger des justifications. L’enseignant peut s’attendre à des justifications par l’exemple numérique, par l’algèbre, par l’application de règles incorrectes, en langage naturel ou d’ordre « légal ». Pour invalider les justifications incorrectes, il peut faire intervenir le registre numérique en proposant de vérifier avec des nombres et introduire un tableau de valeurs.

Deuxième temps de recherche sur les égalités non encore traitées (5 min). L’enseignant circule dans les rangs et invite les élèves à remplacer l’indéterminée par une valeur numérique ou à utiliser le tableau de valeurs pour contrôler leurs réponses.

Mise en commun (10 min) comme précédemment Institutionnalisation (10 min) à partir de « Que doivent retenir

les élèves ? »

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