MINISTERUL ¥NVźÅMÂNTULUI

Program TEMPUS JEP 3801 SCIENCES DE L'EAU ET ENVIRONNEMENT

Daniel SCRÅDEANU

MODELE

GEOSTATISTICE ¥N

HIDROLOGIE

VOL. I

Serie coordonatå de:

Jean Pierre CARBONNEL

Universitatea Pierre et Marie Curie - Paris 6

Radu DROBOT - Universitatea Tehnicå

de Construc¡ii Bucure¿ti

EDITURA DIDACTICÅ ªI PEDAGOGICÅ, R.A. - BUCUREªTI, 1996

ISBN 973 - 30 - 4844 - 5

Toate drepturile asupra acestei edi¡ii sunt rezervate Editurii Didactice ¿i Pedagogice, R.A., Bucure¿ti Redactor: Iuliana ARHANGHELSCHI

Grafician: Dumitru ªMALENIC

PREFAºÅ

Dedicatå practicienilor, lucrarea "Modele geostatistice în Hidrogeologie" încearcå o prezentare completå ¿i accesibilå a modelelor geostatistice, cu exemplificåri din domeniul Hidrogeologiei. Utilizate pentru modelarea structurilor spa¡iale complexe, proprii fenomenelor naturale, modelele geostatistice oferå studiului dinamicii acviferelor prin modele numerice instrumente de mare eficien¡å pentru: ini¡ializarea parametricå a modelelor numerice, calarea modelelor numerice ¿i evaluarea incertitudinii rezultatelor modelårii. Anterior acestei lucråri, în 1975, A.Sila¿i publicå "Geostatisticå aplicatå în cercetarea zåcåmintelor ¿i evaluarea rezervelor", în 1979, M.Murgu aborda "Optimizarea geostatisticå a re¡elelor de explorare ¿i valorificare a zåcåmintelor minerale", iar în 1986 D.Zorilescu publicå "Introducere în geostatistica informa¡ionalå". Lucrarea "Modele geostatistice în Hidrogeologie" este conceputå în douå volume: volumul I con¡ine prezentarea estimårii spa¡iale, punctuale ¿i zonale, univariate ¿i multivariate, iar volumul al II-lea, în curs de redactare, va fi dedicat, în principal, simulårii condi¡ionale ¿i principalelor ei aplica¡ii: proiectarea re¡elelor de monitoring, simularea litofaciesului acviferelor, ini¡ializarea parametricå ¿i estimarea gradului de incertitudine al modelelor de simulare numericå a sistemelor acvifere. Volumul I este structurat în ¿apte capitole. In capitolul 1, dupå un scurt istoric al evolu¡iei metodelor geostatistice, sunt precizate obiectivele prelucrårilor geostatistice, precum ¿i succesiunea etapelor de prelucrare. Capitolul 2 este consacrat diferitelor modalitå¡i utilizate pentru descrierea spa¡ialå a structurilor parametrice din acvifere. Capitolul 3 familiarizeazå cititorul cu principalele no¡iuni topo-probabiliste utilizate în modelarea structurilor spa¡iale (variabilå regionalizatå, func¡ie aleatoare, sa¡ionaritate, ergodicitate). Capitolul 4 este dedicat analizei structurale a fenomenelor regionalizate, etapå determinantå a estimårilor geostatistice. Analiza ¿i cuantificarea anizotropiei structurilor este tratatå în detaliu în cadrul acestui capitol. Capitolele 5 ¿i 6 sunt dedicate estimårii spa¡iale univariate ¿i multivariate atât la nivel punctual, cât ¿i zonal (kriging ¿i cokriging punctual ¿i zonal). ¥n capitolul 7 sunt prezentate câteva din modalitå¡ile de cuantificare a gradului de incertitudine al estimårilor spa¡iale. Prezentarea nu abuzeazå de formalisme matematice complicate care så o facå greu accesibilå celor fårå o pregåtire matematicå superioarå. Sunt prezentate doar rela¡iile matematice aduse la forma opera¡ionalå, rela¡ii strict necesare în¡elegerii semnifica¡iei deciziilor luate în toate etapele estimårii geostatistice, estimare care dispune în prezent de numeroase programe automate de prelucrare. Pentru clarificarea semnifica¡iei instrumentelor specifice ¿i eviden¡ierii avantajelor ¿i flexibilitå¡ii modelelor geostatistice cartea con¡ine un numår mare de aplica¡ii. Speråm ca acestå carte så-i permitå cititorului utilizarea în mod creativ a modelelor geostatistice prezentate pentru rezolvarea problemele ridicate de studiul structurilor acvifere reale, mult mai complexe decât cele prezentate în cadrul aplica¡iilor.

Daniel Scrådeanu, iunie 1996

4

DIN PARTEA COORDONATORILOR:

Necesitatea organizårii unor cursuri de actualizare a cuno¿tin¡elor ¿tiin¡ifice în domeniul resurselor de apå ¿i mediului a fost enun¡atå în cursul anului 1990 de cadrele didactice ¿i inginerii români, cu ocazia primelor vizite efectuate dupå 1989 de cåtre colegii francezi la Bucure¿ti. Acest proiect a putut fi transpus în via¡å datoritå sprijinului financiar al Programului TEMPUS - PHARE, ini¡iat de Comunitatea Europeanå pentru a ajuta ¡årile Europei de Est så-¿i restructureze învå¡åmântul superior. Programul organizat dupå principiile ciclului 3 francez (D.E.A. - diplome d'études approfondies) a început så func¡ioneze efectiv din anul universitar 1992/1993 ¿i a avut parteneri din Fran¡a (Universitatea "Pierre et Marie Curie", care a fost de altfel ¿i coordonatorul acestui program), Belgia (Universitatea din Liege), Italia (Università degli Studi di Genova) ¿i, evident, din România (Universitatea Tehnicå de Construc¡ii Bucure¿ti ¿i Universitatea Bucure¿ti); de la început unitå¡ile de profil din domeniu (Regia autonomå "Apele Române", Institutul Na¡ional de Meteorologie ¿i Hidrologie, Institutul de Cercetåri pentru Ingineria Mediului) au sus¡inut în mod activ derularea programului care a fost denumit: SCIENCES DE L'EAU ET ENVIRONNEMENT (S.E.E. - Stiin¡ele Apei ¿i Mediului). Un numår important de profesori ¿i cercetåtori de înalt nivel ¿tiin¡ific din Fran¡a, Belgia, Italia ¿i România au sus¡inut prelegeri în limba francezå sau românå, pentru circa 50 de tineri cercetåtori ¿i ingineri, în cei 3 ani de func¡ionare ai programului. Coordonatorii programului au considerat totu¿i cå s-ar putea face ¿i mai mult pentru formarea speciali¿tilor din domeniul ¿tiin¡elor apei ¿i mediului ¿i au decis så råspândeascå în cea mai mare måsurå posibilå cuno¿tin¡ele predate. Rezultatul acestei inten¡ii îl constituie editarea unei serii de 10 bro¿uri din domeniul Hidrologiei, Hidrogeologiei sau al pregåtirii ¿tiin¡ifice fundamentale. ¥n speran¡a cå acestå serie va fi utilå studen¡ilor din ciclul 2 ¿i 3, precum ¿i speciali¿tilor, coordonatorii acestei serii î¿i exprimå inten¡ia de a continua activitatea începutå, în vederea acoperirii cu materiale scrise, în cât mai mare måsurå, a domeniului ¿tiin¡elor apei ¿i mediului.

Coordonatori: Jean - Pierre CARBONNEL ¿i Radu DROBOT

CUPRINS

1. GENERALITźI ......................................................................................

1.1. Introducere .................................................................................................. 1.2. De la Statisticå la Geostatisticå ................................................................... 1.3. Cele trei vârste ale Geostatisticii ................................................................. 1.4. Logistica modelårii topo-probabiliste .......................................................... 2. DESCRIERE SPAºIALÅ ..........................................................................

2.1. Descriere graficå ......................................................................................... 2.1.1. Harta punctualå .................................................................................. 2.1.2. Harta simbolicå .................................................................................. 2.1.3. Harta conturalå ................................................................................... 2.1.4. Diagrama de variabilitate .................................................................... 2.1.5. Diagrama de continuitate .................................................................... 2.2. Descriere parametricå ................................................................................. 2.2.1. Func¡ii de continuitate univariate ........................................................ 2.2.2. Func¡ii de continuitate bivariate .......................................................... 3. DE LA VARIABILE REGIONALIZATE LA FUNCºII ALEATOARE ......

3.1. Variabila regionalizatå ................................................................................ 3.2. Modelul functiei aleatoare .......................................................................... 3.3. Inferen¡a statisticå ....................................................................................... 3.4. Stationaritate ............................................................................................... 3.4.1. Sta¡ionaritate strictå ............................................................................ 3.4.2. Sta¡ionaritate de ordinul doi ................................................................ 3.4.3. Sta¡ionaritate intrinsecå ...................................................................... 3.4.4. Cvasista¡ionaritate .............................................................................. 3.5. Ergodicitate ................................................................................................ 4. ANALIZÅ STRUCTURALÅ (ANALIZÅ VARIOGRAFICÅ) ....................

4.1. Proprietå¡ile variogramei ............................................................................. 4.2. Calculul variogramei experimentale ............................................................ 4.3. Analiza continuitå¡ii spa¡iale ....................................................................... 4.3.1. Analizå omnidirec¡ionalå .................................................................... 4.3.2. Analizå unidirec¡ionalå ....................................................................... 4.3.3. Parametri de distan¡å .......................................................................... 4.3.4. Axele de anizotropie ........................................................................... 4.3.5. Toleran¡a de direc¡ie ........................................................................... 4.3.6. Variograme relative ............................................................................ 4.4. Interpretarea variogramei experimentale ..................................................... 4.4.1. Variograma în vecinåtatea originii ...................................................... 4.4.2. Variograma la infinit .......................................................................... 4.5. Modelarea variogramei experimentale. ....................................................... 4.5.1. Modele teoretice elementare ............................................................... 4.5.2. Modele unidirec¡ionale (izotrope) .......................................................

7

77

1011

12

121213141518191921

23

232424252626272729

31

313234343638394141434346474851

5

4.5.3. Modele multidirec¡ionale(anizotrope) ................................................. 5. ESTIMARE SPAºIALÅ UNIVARIATÅ ...................................................

5.1. Estimare globalå ......................................................................................... 5.1.1. Declustering poligonal ........................................................................ 5.1.2. Declustering celular ............................................................................ 5.2. Estimare punctualå prin kriging .................................................................. 5.2.1. Modelul func¡iei aleatoare în kriging .................................................. 5.2.2. Kriging ordinar ................................................................................... 5.2.3. Kriging universal ................................................................................ 5.2.4. Kriging cu date incerte ....................................................................... 5.2.5. Componentele sistemelor de kriging ................................................... 5.2.6. Efectul parametrilor modelului ........................................................... 5.2.7. Selectarea valorilor utilizate ............................................................... 5.3. Estimarea zonalå prin kriging ..................................................................... 5.3.1. Ecuatiile sistemului de kriging zonal .................................................. 5.3.2. Precizia kriging-ului zonal .................................................................. 5.3.3. Particularitå¡i opera¡ionale .................................................................. 6. ESTIMARE SPAºIALÅ MULTIVARIATÅ (COKRIGING) ......................

6.1. Cokriging punctual ..................................................................................... 6.2. Cokriging zonal .......................................................................................... 7. INCERTITUDINEA ESTIMÅRILOR ........................................................

7.1. Factorii care determinå incertitudinea ......................................................... 7.1.1. Suportul estimårii ............................................................................... 7.1.2. Corectarea efectului de suport ............................................................. 7.2. Distribu¡ia valorilor estimate ....................................................................... 7.2.1. Estimarea distribu¡iei globale ............................................................. 7.2.2. Estimarea distribu¡iei locale ................................................................ 7.2.3. Variograma indicatoare ...................................................................... 7.3. Cuantificarea incertitudinii ......................................................................... 7.3.1. Indici de incertitudine ......................................................................... 7.3.2. Intervale de încredere ......................................................................... BIBLIOGRAFIE ...........................................................................................

52

61

626264666669758081849094949698

102

102109

110

110111113117119120121123123124

127

6

1. GENERALITźI

1.1. INTRODUCERE Modelele topo-probabiliste oferå calea cea mai performantå pentru descrierea continuitå¡ii ¿i structurii fenomenelor naturale, caracterizate printr-o extraordinarå variabilitate spa¡ialå ¿i temporarå, determinatå de complexitatea geologicå a mediului ¿i instabilitatea proceselor climatice. ¥n studiul variabilelor hidrologice ¿i hidrogeologice, definite printr-o variabilitate intrinsecå, utilizarea conceptelor stohastice este de o extremå eficien¡å. ¥nlocuirea în¡elegerii detaliilor func¡ionale ale sistemului cu realizarea unei perspective stohastice, face posibilå o evaluare globalå a acestora ¿i a incertitudinii inerente oricårei predic¡ii, datoratå cunoa¿terii incomplete a sistemului. Pânå în jurul anilor 1980, majoritatea acestor modele acceptau fårå cea mai micå opozi¡ie umbrela generoaså a GEOSTATISTICII, apårutå formal în anul 1962 (Matheron, 1962), la ªcoala de Mine din Fontainbleau. Apari¡ia termenului de geostatisticå nu coincide cu apari¡ia întregului arsenal de metode încadrat sub aceastå denumire (Historically geostatistics are as old as mining itself, Matheron G.,1963). Problemele esen¡ial geostatistice vizeazå studiul variabilelor repartizate în spa¡iu ¿i au fost abordate cu foarte mult timp în urmå, nu numai în minerit, dar ¿i în meteorologie, hidrologie, hidrogeologie, topografie, cartografie. Inova¡ia produså în 1962 nu rezidå în aparatul matematic utilizat, ci în apropierea problemelor tehnice de arsenalul metodelor matematice. Aceastå apropiere nu a fost bruscå, ea realizându-se pe o perioadå de zece ani în diferite domenii (forestier, B.Matern; meteorologic, L.S.Gandin). Geostatistica elaboratå la ªcoala de mine din Fontainebleau este legatå esen¡ial de problemele miniere. Acest lucru se reflectå ¿i în unele no¡iuni teoretice, care poartå denumiri specifice (ex.: efect de pepitå). Au existat perioade când succesiunea temelor de cercetare de la Fontainebleau reproducea succesiunea etapelor unui proiect minier. ¥n prezent, se manifestå diversificarea câmpului de aplicare ¿i de generalizare a vocabularului tehnic, prin curå¡irea lui de termenii minieri. Aceastå atitudine trebuie în¡eleaså ca un efort de a exprima corect esen¡a metodologiei actuale, mai mult probabilistå decât statisticå.

1.2. DE LA STATISTICÅ LA GEOSTATISTICÅ Un numår redus de concepte statistice de bazå, ca: media, dispersia, covarian¡a, matricea de variantå-covarian¡å, precum ¿i regresia linearå ¿i regresia multiplå sunt elementele care, transpuse într-un context topo-probabilist, se transformå în instrumente geostatistice.

7

Transferul mediei în domeniul topo-probabilist este u¿or de intuit, atribuindu-i acesteia rolul de centrul de greutate al unei bare cu greutatea proprie neglijabilå, de care sunt suspendate ¿apte greutå¡i (fig.1.1).

Fig. 1.1. Barå cu greutå¡i suspendate.

Dacå pozi¡iile de suspendare sunt V (5; 5,5; 6; 6,5; 7; 7,5; 8), iar greutå¡ile suspendate g (3; 4; 6; 3; 4; 4; 2), pozi¡ia centrului de greutate se calculeazå utilizând o medie ponderatå de forma:

( )M Vg

v g v wi

i

i ii

ii

=∑

⋅ ⋅∑ = ⋅∑

=

= =

1

1

71

7

1

7

i , (1.1)

în care:

wg

gi

i

ii

=∑=1

7 . (1.2)

Ponderile wi pot fi descompuse în n ponderi elementare wu ale unitå¡ii de greutate vu. Ponderile normate wu corespunzåtoare ponderilor elementare sunt egale cu 1/n, iar centrul de greutate se calculeazå astfel:

( )M V v w vu uu

uu

= ∑ = =∑= =1

26

1

26126

6 4, . (1.3)

Transpunând problema într-un context probabilist, se în¡elege u¿or cå M(V) este media valorilor vi, care sunt ponderate cu probabilitå¡ile wi, adicå frecven¡ele de apari¡ie ale valorilor vu (fig.1.2).

8

Fig. 1.2. Histogramå absolutå.

¥n acela¿i context, dispersia devine:

( )( ) ( )( )s v M V wn

v M Vuu

u uu

2 2

1

26 2

1

2610 83= −∑ ⋅ = −∑ =

= =, . (1.4)

Comparând figurile 1.1 ¿i 1.2, este evident cå bara cu cele ¿apte greutå¡i suspendate, din figura 1.1, este histograma inversatå din figura 1.2, care poate fi reprezentatå ¿i sub formå cumulativå (fig. 1.3).

Fig. 1.3. Histogramå cumulatå.

Idealizarea matematicå a histogramei cumulative, când variabila aleatoare V ia valori în R, este legea de distributie F(v), definitå prin:

9

( ) ( )F v P V v v= ≤ −∞ < < +∞, . (1.5) Idealizarea conceptului de medie este speran¡a matematicå:

{ } ( ) ( )E V v p v dv M Vv R

= ⋅ ⋅ =∫ =∈

µ , (1.6)

iar dispersia :

( ){ } { } {σ µ µ µ2 2 2 2 2} µ2= − = + − = −E V E V V E V 2 . (1.7)

Analiza centrului de greutate al barei cu ¿apte greutå¡i suspendate permite regåsirea, în mod firesc, a doi din parametrii statistici elementari în contextul topo-probabilist al geostatisticii.

1.3. CELE TREI V¢RSTE ALE GEOSTATISTICII Analizatå, atât din punct de vedere al evolu¡iei teoretice, cât ¿i al domeniului de aplicare, geostatistica a parcurs trei periode distincte pânå în prezent. Prima vârstå a Geostatisticii este de inspira¡ie strict minierå. Lucrårile miniere din Africa de Sud, care au determinat primele cercetåri în acest domeniu, apar¡in cercetåtorilor H.S.Sichel, D.G.Krige, H.J. de Wijs. S-a realizat completarea metodologiei statistice clasice, care nu mai putea råspunde exigen¡ei cercetårilor zåcåmintelor foarte diseminate (aur, uraniu, nichel, cupru, etc.). La nivel teoretic, formalismele matematice se plaseazå în cadrul unei legi de distribu¡ie datå, modelul lognormal având o epocå de aur în anii 1950-1970 (Sichel H.S.,1966). La nivel practic, mijloacele de calcul sunt rudimentare, motiv pentru care lucrårile de specialitate abundå în formule de aproximare, curbe, abace utilizate pentru a evita reluarea unor calcule laborioase. A doua vârstå a Geostatistcii corespunde perioadei 1965-1970, când modelele statistice sunt abandonate. Se elaboreazå modele care nu fac så intervinå legea de reparti¡ie (Geostatistica linearå). ¥n acelasi timp, se încearcå extinderea ipotezelor de lucru prin dezvoltarea Geostatisticii nesta¡ionare, apoi a Geostatisticii neliniare. ¥n aceastå perioadå se dezvoltå : simularea condi¡ionalå si necondi¡ionalå, ansamblele aleatoare. Toate aceste procedee noi sunt imediat aplicate, datoritå remarcabilei amelioråri a mijloacelor de calcul. Aceastå perioadå, de mari progrese teoretice ¿i metodologice ale Geostatisticii, se concretizeazå abia în 1978, printr-o singurå lucrare de sintezå, Estimer et Choisir, elaboratå de G.Matheron. ¥n paralel cu aceasta, apar o mul¡ime de cår¡i de geostatisticå cu pronun¡at caracter informatic, care pun la dispozi¡ia practicienilor instrumentele aplicårii metodelor clasice sau mai pu¡in clasice ale Geostatisticii.

10

Geostatistica vârstei a treia este în plinå desfå¿urare ¿i, în contextul informatic confortabil al sfâr¿itului de mileniu, se dezvoltå în direc¡ii din ce în ce mai diverse, atât la nivelul domeniului de aplicare, cât ¿i al domeniului teoretic, unde se remarcå reconsiderarea legii de reparti¡ie, nu ca un regres teoretic, ci ca o completare necesarå, în special, simulårii stohastice.

1.4. LOGISTICA MODELÅRII TOPO-PROBABILISTE

Geostatistica datoreazå multe din metodologiile sale experimentali¿tilor. Succesul utilizårii variogramelor relative (introduse de Michel David) ¿i a ferestrei mobile în kriging-ul ordinar, ambele fiind instrumente neortodoxe (inconsistente cu ipoteza de sta¡ionaritate), sunt numai douå din argumente care pledeazå pentru în¡elegerea conceptelor topo-probabiliste din perspectiva obiectivelor analizei datelor reale ¿i nu al unor considerente teoretice abstracte. Obiectivele modelårii topo-probabiliste conturate din perspectiva largii lor utilizåri în estimårile spa¡iale sunt: -cuantificarea caracteristicilor spa¡iale ale variabilelor; -estimarea valorii medii a unei variabile pe suprafe¡e mari; -estimarea valorii unei caracteristici într-un punct; -estimarea valorii medii a unei variabile pe suprafe¡e mici; -cuantificarea gradului de precizie al estimårilor. Realizarea acestor obiective presupune parcurgerea a cinci etape de prelucrare, a cåror prezentare este realizatå în succesiunea necesarå parcurgerii lor: Descrierea spa¡ialå urmåre¿te formarea unei imagini sintetice asupra structurii spa¡iale prin metode grafice si parametrice. Realizarea acestei imagini complexe asigurå premizele alegerii corecte a modelului structurii, propriu variabilei studiate. Analiza variograficå este etapa crucialå a modelårii topo-probabiliste. Alegerea modelului de variogramå, pe baza valorilor experimentale ale variogramei, implicå, pe lângå respectarea condi¡iilor teoretice impuse de utilizarea modelului func¡iei aleatoare, existen¡a unui bun sim¡ geostatistic (aceasta exprimå extraordinara capacitate a modelelor topo-probabiliste de a se adapta caracteristicilor specifice fiecårei structuri, prin perfec¡ionåri ale instrumentelor de calcul). Aceastå etapå este cea care permite practicianului orice ini¡iativå opera¡ionalå, ce vizeazå clarificarea corela¡iei dintre varian¡a erorii de estimare ¿i distan¡a dintre puncte. Evaluarea spa¡ialå univariatå råspunde deja obiectivelor practice ale modelårii topo-probabiliste: calculul valorii variabilei studiate într-un punct, în care nu dispunem de måsuråtori, sau a unei valori medii pe o suprafa¡å de o formå oarecare. Evaluårile sunt realizate în condi¡iile minimizårii varian¡ei erorii de estimare ¿i a eliminårii erorilor sistematice. Evaluarea spa¡ialå multivariatå realizeazå acelea¿i obiective ca ¿i etapa anterioarå, operând înså simultan asupra valorilor mai multor variabile. Obiectivul specific al acestei etape este reducerea suplimentarå a varian¡ei erorilor de estimare, prin cuantificarea corela¡iilor spa¡iale multivariate. Evaluarea incertitudinii estimårilor spa¡iale are ca obiectiv exprimarea, sub diferite forme, a erorilor de estimare. Diferite metode de minimizare a erorilor de estimare sunt utilizate pentru optimizarea re¡elelor de monitoring.

11

2. DESCRIERE SPAºIALÅ

Proprietå¡i, precum localizarea valorilor extreme (minime sau maxime), tendin¡a de evolu¡ie regionalå, gradul de continuitate, sunt de mare interes pentru studiul proceselor meteorologice, hidrologice ¿i hidrogeologice. Bazatå pe un numår minim de instrumente ¿i prelucråri de naturå graficå ¿i parametricå, descrierea spa¡ialå are ca obiectiv sintetizarea caracteristicilor topologice ale datelor trecute deja prin filtrul analizei statistice clasice (tip de reparti¡ie, valori extreme, dispersie, corela¡ii multivariate, analizå factorialå, etc.).

2.1. DESCRIERE GRAFICÅ Ca ¿i histograma, pentru tipul de reparti¡ie, sau dreapta de regresie, pentru corela¡ia dintre douå variabile, cele mai eficiente instrumente descriptive utilizate sunt cele grafice. Principalele caracteristici grafice ale datelor primare pot fi sintetizate în: hår¡i punctuale, hår¡i simbolice, hår¡i conturale, diagrame de continuitate, diagrame de variabilitate. 2.1.1. Harta punctualå

Harta punctualå se realizeazå prin simpla dispunere într-un sistem de coordonate a punctelor de observa¡ie, lângå care se înscriu valorile variabilei studiate (fig. 2.1).

Fig. 2.1. Hartå punctualå.

12

Harta punctualå se realizeazå în prima etapå a studiului caracteristicilor spa¡iale, ea fiind utilizatå pentru: - identificarea erorilor în amplasarea punctelor de observa¡ie; - calculul densitå¡ii punctelor de observa¡ie; - localizarea valorilor extreme, determinate fie de erori de måsurå, fie de anomalii locale, care solicitå un interes special;

- sesizarea unor tendin¡e regionale. Harta punctualå din figura 2.1 reprezintå grosimile unui acvifer explorat printr-o re¡ea påtraticå de 7 x 8 = 98 foraje. Valoarea maximå a grosimii acviferului (23,29m) este localizatå în sud-vestul perimetrului, iar cea minimå (0,95m) în nord-estul acestuia. Se poate observa, din examinarea hår¡ii punctuale, o mare variabilitate a grosimii acviferului, fårå a se putea sesiza o tendin¡å regionalå de varia¡ie. 2.1.2. Harta simbolicå

Harta simbolicå este o hartå punctualå, în care fiecare valoare måsuratå, sau grupå de valori, este înlocuitå printr-un simbol. Dacå valorile sunt amplasate într-o re¡ea regulatå, fiecare valoare este înlocuitå cu un simbol, iar dacå valorile sunt amplasate neregulat, se aplicå o re¡ea påtraticå, calculându-se o medie pentru fiecare ochi de re¡ea. Func¡ie de amplitudinea valorilor måsurate se alege numårul de simboluri care realizeazå un anumit grad de simplificare a hår¡ii. Simbolurile trebuiesc astfel alese încât så permitå o ierarhizare clarå a valorilor måsurate. Pentru realizarea corectå a hår¡ilor simbolice trebuie ¡inut seama ¿i de faptul cå scara simbolurilor este distorsionatå de majoritatea printerelor care nu scriu acela¿i numår de caractere pe unitatea de lungime verticalå ¿i orizontalå.

Fig. 2.2. Hartå simbolicå.

13

O alternativå a hår¡ii cu simboluri este cea cu tonuri de gri sau culori, dacå se dispune de printere color. Astfel de hår¡i sunt mult mai sugestive decât cele simbolice. O hartå simbolicå, corespunzåtoare hår¡ii punctuale din figura 2.1, este cea din figura 2.2. Aceastå hartå con¡ine 14 simboluri, corespunzåtor celor 14 clase de valori în care a fost împår¡itå amplitudinea de selec¡ie. Hår¡ile simbolice cu numai douå simboluri sunt cunoscute sub numele de hår¡i indicatoare. ¥n acest caz sunt definite numai douå clase de valori, fiecare fiind reprezentatå printr-un alt simbol. Definirea celor douå clase poate fi realizatå prin stabilirea unei valori de prag ( exemplu: valorea maximå admisibilå). Exemplul din figura 2.3 este o astfel de hartå, care are avantajul claritå¡ii în raport cu o hartå cu mai multe simboluri.

Fig. 2.3. Hartå indicatoare.

2.1.3. Harta conturalå

Harta conturalå este o excelentå cale pentru familiarizarea cu tendin¡ele generale de distribu¡ie spa¡ialå, revelate de datele disponibile. Existå numeroase programe automate, care propun diferite metode de interpolare, mai mult sau mai pu¡in adaptabile datelor primare. Valorile interpolate au, în general, o variabilitate mai reduså decåt datele originale ¿i netezesc suprafe¡ele conturale, putând conduce la estimåri cantitative eronate. Alegerea algoritmilor adecva¡i datelor disponibile, presupune parcurgerea unor etape de analizå detaliatå, ce vor fi prezentate în continuare în capitolul consacrat analizei variografice. Harta din figura 2.4 este construitå cu metoda inversului distan¡ei pentru datele prezentate în harta punctualå din figura 2.1.

14

Fig. 2.4. Hartå conturalå.

2.1.4. Diagrama de variabilitate

Structura spa¡ialå a variabilitå¡ii constituie obiectul unei analize detaliate în toate etapele modelårii topo-probabiliste, fiind legatå în principal de evaluarea intervalului de încredere al valorilor estimate. Anomaliile locale ale variabilitå¡ii au impact direct asupra preciziei estimårilor. Estimårile spa¡iale, realizate prin orice metodå, vor fi mult mai corecte în zonele cu variabilitate reduså, deci cu un mai mare grad de uniformitate. Anomaliile de variabilitate pot avea serioase implica¡ii practice. Configura¡ia re¡elelor de monitoring integrat pentru parametrii ambientali este puternic influen¡atå de astfel de anomalii. Calculul unor parametri statistici elementari într-o fereastrå statisticå mobilå este tehnica utilizatå în investigarea anomaliilor de variabilitate, care permite construirea diagramei de variabilitate. Pentru eficien¡a calculului sunt utilizate ferestre statistice rectangulare, a cåror dimensiune este determinatå de densitatea punctelor de observa¡ie ¿i de extinderea suprafe¡ei studiate. Asigurarea reprezentativitå¡ii parametrilor statistici, care necesitå o fereastrå statisticå mare (cu suficiente valori) ¿i identificarea detaliilor locale de distribu¡ie spa¡ialå asiguratå de o fereastrå statisticå micå î¿i gåsesc solu¡ia de compromis prin suprapunerea par¡ialå a unor ferestre mobile mari. ¥n figura 2.5 sunt prezentate rezultatele ob¡inute din baleierea suprafe¡ei explorate cu 96 foraje (fig.2.1) cu o fereastrå statisticå mobilå de 4 x 4 m2 , care se deplaseazå cu numai 2m paralel cu axele de coordonate, deci se suprapune cu jumåtate din fereastra anterioarå. Pentru fiecare astfel de pozi¡ie a ferestrei mobile, care con¡ine 16 puncte de observa¡ie, se calculeazå media ¿i abaterea standard.

15

Analiza valorilor ob¡inute vizeazå douå obiective: -compararea amplitudinii celor doi parametri statistici; -analiza corela¡iei dintre valoarea mediei ¿i abaterii standard.

Fig. 2.5. Harta punctualå a prelucrårilor realizate cu fereastra statisticå mobilå.

Amplitudinea celor doi parametri, pentru valorile prezentate în figura 2.5 se diferen¡iazå semnificativ, acest lucru fiind valabil în general pentru majoritatea variabilelor: - media variazå de la vmin = 3,39 m, la vmax = 12,55 m; - abaterea standard variazå de la vmin = 0,80 m, la vmax = 6,20 m. ¥n figurile 2.5,a ¿i 2.5,b sunt prezentate hår¡ile punctuale ale mediei ¿i abaterii standard, iar în figurile 2.5,c ¿i 2.5,d hår¡ile conturale ale acelora¿i parametri. ¥n general, corela¡iile medie-abatere standard pot fi încadrate în patru categorii importante din punct de vedere al estimårilor geostatistice (fig. 2.6): - variabilitate constantå în jurul mediei constante (fig. 2.6,a); - tendin¡å crescåtoare a mediei ¿i o variabilitate constantå (fig. 2.6,b); - cre¿terea variabilitå¡ii pentru o medie constantå (fig. 2.6,c); - cre¿terea varabilitå¡ii propor¡ional cu cre¿terea mediei (fig. 2.6,d).

16

Fig. 2.6. Diagrama de variabilitate

Din cele patru categorii de corela¡ii, cele mai favorabile pentru estimårile geostatistice sunt primele douå (fig. 2.6,a ¿i fig. 2.6,b), care asigurå aceea¿i precizie de estimare pentru orice mårime a valorii estimate. Cea mai defavorabilå situa¡ie este cea în care pentru aceea¿i mårime a valorii estimate, precizia de estimare este diferitå. Este preferabil, pentru cazul în care variabilitatea este neomogen distribuitå, så existe o propor¡ionalitate între valoarea mediei ¿i a abaterii standard.

Fig. 2.7. Efectul de propor¡ionalitate.

17

Diagramele de variabilitate, sintetizeazå grafic acest efect de propor¡ionalitate (adicå corela¡ia dintre medie ¿i abatere standard). Pentru valorile din figurile 2.1, în figura 2.7 este reprezentat grafic efectul de propor¡ionalitate, a cårui intensitate poate fi cuantificatå prin coeficientul de corela¡ie linearå r = 0,85. Corela¡ia linearå de tip direct indicå faptul cå erorile de estimare vor fi cu atât mai mari, cu cât valoarea estimatå este mai mare ¿i invers. 2.1.5. Diagrama de continuitate

La nivel calitativ, continuitatea unei variabile este reflectatå de similaritatea valorilor måsurate în puncte vecine. Examinând o hartå conturalå, de cele mai multe ori se constatå cå valorile mici tind så se grupeze lângå alte valori mici, iar valorile mari lângå alte valori mari. Cea mai expresivå modalitate graficå de exprimare a gradului de continuitate este diagrama tuturor perechilor de valori, plasate la o anumitå distan¡å pe o anumitå direc¡ie. Pentru douå puncte pi ¿i pj, aflate la extremitå¡ile unui vector hij semnifica¡iile geometrice sunt precizate în figura 2.8.

Fig. 2.8. Semnifica¡ia geometricå a vectorului h pentru perechea de puncte PiPj.

Pe diagramele de continuitate prezentate în figura 2.9, variabila reprezentatå pe axa Ox (plasatå în originea vectorului h) este notatå cu V(p), iar cea plasatå pe axa Oy (plasatå în vârful vectorului h) cu V(p+h).

Fig. 2.9. Diagrame de continuitate pentru diferi¡i moduli ai vectorului h.

18

Forma norului de puncte din diagramele de continuitate exprimå gradul de continuitate al variabilei studiate. Dacå valorile plasate pe o anumitå direc¡ie ¿i la o anumitå distan¡å sunt similare, punctele din diagramå se vor plasa pe dreapta care trece prin origine ¿i face cu axele Ox si Oy un unghi de 45o (fig.2.9,a). Este evident cå, într-o diagramå de continuitate univariatå, pentru h = 0, toate punctele vor fi plasate pe dreapta y = x. Cu cât norul de puncte este mai difuz, cu atât similaritea valorilor este mai micå ¿i deci continuitea mai slabå (fig.2.9,b). Diagramele de continuitate sunt afectate în mod semnificativ de valorile extreme ale variabilei studiate, de modulul ¿i direc¡ia vectorului h. Pentru identificarea modelului de structurå spa¡ialå a variogramei, diagramele de variabilitate sunt singurele instrumente care permit identificarea valorilor nodale ale structurilor spa¡iale. Numai diagramele de variabilitate permit eliminarea valorilor extreme, care nu se încadreazå în modelul structural. ¥n general, a¿a cum indicå ¿i diagramele din figura 2.9, o datå cu cre¿terea modulului vectorului h, se reduce core¡ia valorilor corespunzåtoare direc¡iei studiate.

2.2. DESCRIERE PARAMETRICÅ Modalitå¡ile grafice pentru descrierea continuitå¡ii nu permit automatizarea calculelor necesare estimårilor. Extragerea informa¡iilor cantitative existente în diagramele de continuitate se face, în mod uzual, prin intermediul a trei func¡ii de distan¡å: func¡ia de covarian¡å (c(h)), func¡ia de corela¡ie (corelograma- ρ(h)); func¡ia de variogramå (γ(h)). Toate cele trei func¡ii de continuitate sunt puternic influen¡ate de valorile aberante. Dacå forma uneia din cele trei func¡ii nu este clar definitå, este de mare utilitate examinarea diagramelor de continuitate pentru identificarea punctelor aberante ¿i eliminarea lor. De¿i diagrama de continuitate con¡ine mai multe informa¡ii, se preferå frecvent trecerea direct la calculul func¡iilor de distan¡å, pe baza formulelor scrise în raport cu coordonatele punctelor de observa¡ie. 2.2.1. Func¡ii de continuitate univariate

Calculate în raport cu o singurå variabilå, func¡iile de continuitate permit cuantificarea continuitå¡ii acesteia în raport cu direc¡ia ¿i distan¡a. Func¡ia de covarian¡å c(h) reprezintå varia¡ia similitudinii valorilor din douå puncte, în raport cu distan¡a dintre ele. Ea se poate calcula cu formula:

( )( ) ( )

( )c h

N hv v m mi j h h

i j

N h

hij h

= −∑ − +=

1

, , (2.1)

19

în care: N(h) este numårul perechilor de puncte separate prin vectorul h; ( )i j

h hij,

= - perechea de puncte (pipj) separate prin vectorul hij;

vi - valoarea variabilei din originea vectorului hij; vj - valoarea variabilei în vârful vectorului hij; m-h - media valorilor situate în originile celor N(h) vectori h:

( )

( )m

N hvh

i

N h

hij h

− = ∑=

1i ; (2.2)

m+h - media valorilor situate în vârfurile celor N(h) vectori h:

( )

( )m

N hvh

j

N h

hij h

+ = ∑=

1j . (2.3)

Func¡ia de corela¡ie (ρ(h)) este o func¡ie de covarian¡å standardizatå ¿i se calculeazå cu rela¡ia:

( )( )

ρσ σ

hc h

h h

=− +

, (2.4)

în care: σ-h este abaterea standard a tuturor valorilor aflate în originea celor N(h) vectori h:

( )( )

σ− = ∑=

h ii

N h

N hv m

hij h

2 21−− h2 ; (2.5)

σ+h este abaterea standard a tuturor valorilor aflate în vârful celor N(h) vectori h:

( )( )

σ+ = ∑=

h jj

N h

N hv m

hij h

2 21+− h2 . (2.6)

Func¡ia de variogramå (γ(h)) reprezintå varia¡ia varian¡ei erorii de estimare, în raport cu distan¡a dintre punctul în care se cunoa¿te valoarea variabilei ¿i cel în care aceasta se estimeazå. Altfel spus, valoarea variogramei pentru un anumit vector h exprimå eroarea care se comite atunci când se atribuie variabilei în punctul p+h valoarea sa din punctul p. Ea se calculeazå cu rela¡ia:

( )( ) ( )

( )

( )γ h

N hv vi j

i j

N h

hij h

=⋅

−∑=

12

2

, . (2.7)

20

Toate cele trei func¡ii univariate de distan¡å nu sunt afectate de sensul vectorului h, fiind func¡ii pare; dacå se schimbå indicele i cu j în toate formulele (2.1-2.7), valorile c(h), ρ(h) ¿i γ(h) nu se schimbå:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c h c h h h h h= − = − = −; ;ρ ρ γ γ . (2.8) 2.2.2. Func¡ii de continuitate bivariate

Ideea de continuitate poate fi extinså ¿i la douå variabile. Corela¡ia spa¡ialå dintre douå variabile u ¿i v depinde de continuitatea fiecåreia. Ea poate fi exprimatå grafic printr-o diagramå de continuitate, în care pe cele douå axe se reprezintå v(p) ¿i u(p+h). Este evident cå, pentru h = 0, într-o diagramå de continuitate bivariatå (u,v), nu toate punctele se aflå pe dreapta x = y. Acelea¿i func¡ii, utilizate pentru o singurå variabilå, se utilizeazå cu modificårile corespunzåtoare pentru descrierea continuitå¡ii bivariate. Pentru eviden¡ierea aspectului bivariat le vom numi: func¡ia de intercovarian¡å, func¡ia de intercorela¡ie ¿i func¡ia de intervariogramå ¿i vom introduce doi indici, corespunzåtori numelui celor douå variabile (cuv(h), ρuv(h), γuv(h)). Func¡ia de intercovarian¡å se calculeazå cu rela¡ia:

( )( ) ( )

( )c h

N hu v m muv i j u

i j

N h

vhhij h

h= −∑

−=

+

1

, , (2.9)

în care: ui sunt valorile variabilei u; vi - valorile variabilei v; N(h) - numårul perechilor de puncte separate prin vectorul h; m - media valorilor variabilei u situate în originea celor N(h) vectori: u h−

( )

( )m

N huu

i

N h

h

hij h

−

=

= ∑1

i ; (2.10)

m - media valorilor variabilei v situate în vârful celor N(h) vectori: v h+

( )

( )m

N hvv

j

N h

h

hij h

+

=

= ∑1

j . (2.11)

Func¡ia de intercorela¡ie este datå de ecua¡ia:

( )( )

ρσ σuv

uv

u v

hc h

h h

=− +

, (2.12)

21

în care: σu h−

este abaterea standard a tuturor valorilor variabilei u, aflate în originea

celor N(h) vectori h:

( )

( )σu i

i

N h

h h

hij hN h

u m−

=

= −∑2 21u−

2 ; (2.13)

σv h+

- abaterea standard a tuturor valorilor aflate în vârful celor N(h)

vectori h:

( )

( )σv j

j

N h

h h

hij hN h

v m+ +

=

= ∑2 21v− 2 . (2.14)

Func¡ia de intervariogramå (γuv(h)) se calculeazå cu rela¡ia:

( )( )

( )( )

( ) ( )γ uv i ji j

N h

i jhN h

u u v vhij h

= −∑ ⋅ −=

1

2 , . (2.15)

Func¡iile de continuitate bivariate nu sunt în totalitate func¡ii pare ca cele univariate. Func¡iile de intercovarian¡å ¿i de intercorela¡ie depind de sensul vectorului h pe o anumitå direc¡ie (cuv(h)≠cuv(-h); ρuv(h)≠ρuv(-h)), în timp ce func¡ia de intervariogramå nu depinde de sensul vectorului h (γuv(h)=γuv(-h)).

22

3. DE LA VARIABILE REGIONALIZATE LA FUNCºII

ALEATOARE

Descrierea, chiar de manierå exhaustivå a structurilor (spa¡iale sau temporare), ob¡inutå pe baza unei densitå¡i mari a punctelor de observa¡ie nu poate rezolva problemele estimårii spa¡iale, deoarece valorile numerice nu sunt REALITATEA, ci doar o primå imagine, analitic foarte bogatå, dar structural foarte såracå a acesteia (Matheron,G.,1978). Descrierea spa¡ialå nu asigurå în¡elegerea fenomenului de o manierå care så permitå explicarea genezei datelor disponibile sau prognoza evolu¡iei acestora între punctele de observa¡ie. Pentru realizarea acestor obiective este necesarå depå¿irea stadiului unei interminabile ¿i sterile prelucråri a datelor brute ¿i construirea unor modele care så adauge informa¡ie suplimentarå. Recurgerea la modelele topo-probabiliste presupune douå nivele de abstractizare progresivå: variabila regionalizatå ¿i func¡ia aleatoare.

3.1. VARIABILA REGIONALIZATÅ Variabila regionalizatå este o func¡ie de punct (f(p)) cu ajutorul cåreia se realizeazå descrierea fenomenelor regionalizate. Prin statutul de func¡ie matematicå, variabila regionalizatå câ¿tigå vis-à-vis de fenomenul pe care îl descrie o anumitå autonomie, ea putând så-¿i tråiascå propria sa via¡å. Pentru obiectivele unui studiu practic este inutil de subliniat cå aceastå libertate a variabilei regionalizate trebuie strict supravegheatå, în interesul interpretårii corecte a rezultatelor prelucrårilor. La acest prim nivel de abstractizare, realizat prin variabila regionalizatå, este poate momentul semnalårii problematicii revenirii de la model la realitatea fizicå a modelului. Corectitudinea prelucrårilor matematice întreprinse nu garanteazå sensul fizic al rezultatelor. La fiecare etapå este necesar så se facå distinc¡ia între proprietå¡ile modelului matematic ¿i cele ale realitå¡ii fizice pe care acesta o reprezintå. Din punct de vedere matematic, o variabilå regionalizatå este o func¡ie f(p), p fiind un punct de coordonate (x,y,z) într-un spa¡iu tridimensional finit. Aceastå precizare este deosebit de importantå, ea subliniind faptul cå modelele topo-probabiliste (geostatistice) nu au caracter de universalitate, ele fiind asociate unui anumit domeniu spa¡ial de valabilitate. Din punct de vedere geostatistic, existå posibilitatea unei aproximåri directe a variabilei regionalizate, instrumentele utilizate fiind elementare ¿i subordonate no¡iunii de integralå spa¡ialå. ¥n practicå, variabila regionalizatå fiind disponibilå printr-un e¿antionaj finit, aceste integrale se reduc la sume finite. Lucrul direct asupra variabilelor regionalizate prezintå avantajul absen¡ei ipotezelor de naturå probabilistå de tipul sta¡ionaritå¡ii ¿i ergodicitå¡ii. Geostatistica tranzitivå este acea parte a Geostatisticii care opereazå direct asupra variabilei regionalizate.

23

3.2. MODELUL FUNCºIEI ALEATOARE Variabilitatea spa¡ialå a fenomenelor regionalizate, foarte complexå, interzice de multe ori, din punct de vedere practic, studiul matematic direct al variabilei regionalizate. O reprezentare corectå a variabilitå¡ii fenomenelor regionalizate trebuie så ia în considerare douå aspecte aparent contradictorii ale variabilei regionalizate: -aspectul general structurat, care face apel la reprezentåri func¡ionale; -aspectul local aleator care face apel la no¡iunea de variabilå aleatoare. Instrumentul care permite luarea în considerare, atât a aspectului structurat, cât ¿i a celui aleator, este func¡ia aleatoare. Ea realizeazå al doilea nivel de abstractizare ¿i, într-un anumit mod, ne mai îndepårteazå de realitatea fizicå. La acest nivel de abstractizare variabila regionalizatå (f(p)) este consideratå o realizare a unei func¡ii aleatoare. Reprezentarea probabilistå a variabilei regionalizate nu este unicå ¿i ea se justificå numai în måsura în care permite o caracterizare simplå a structurii ¿i un formalism omogen ¿i opera¡ional de solu¡ionare a evaluårilor spa¡iale. Func¡ia aleatoare este un ansamblu de variabile aleatoare, cu pozi¡ii distincte într-un spa¡iu oarecare, ¿i a cåror dependen¡å este specificatå printr-un mecanism probabilist. O variabilå aleatoare este o variabilå care ia un anumit numår de valori, conform unei anumite legi de reparti¡ie. Cota nivelului hidrostatic dintr-un acvifer freatic v(p1)=125 m, måsuratå într-un pu¡, poate fi consideratå ca o realizare particularå a unei anumite variabile aleatoare V(p1), implantatå în punctul p1. Ansamblul cotelor nivelului hidrostatic, pentru toate pu¡urile implantate într-un acvifer freatic, pot fi considerate ca o realizare particularå a ansamblului de variabile aleatoare: {V(p), punctele p apar¡inând acviferului}. Aceastå defini¡ie a func¡iei aleatoare înglobeazå ambele aspecte ale variabilei regionalizate: -aspectul local: în punctul p1, V(p1) este o variabilå aleatore; -aspectul regional: V(p) este o func¡ie aleatoare, în sensul cå pentru toate cuplurile de puncte p1 ¿i p1+h, variabilele aleatoare corespunzåtoare sunt corelate, aceste corela¡ii, exprimând structura spa¡ialå a variabilei regionalizate.

3.3. INFERENºÅ STATISTICÅ Interpretarea probabilistå a unei variabile regionalizate ca o realizare particularå a unei func¡ii aleatoare nu are sens opera¡ional dacå nu putem identifica legea de probabilitate ce caracterizeazå întreg ansamblul de realizåri ale func¡iei aleatoare. Dificultatea este datoratå faptului cå nu este posibilå deducerea riguroaså a legii unei func¡ii aleatoare plecând de la o realizare unicå v(p), limitatå ¿i ea la un numår finit de implantåri ale punctelor pi. Deoarece de cele mai multe ori se dispune de o realizare unicå, limitatå la un numår finit de puncte, pentru a face opera¡ional modelul func¡iei aleatoare este necesarå acceptarea unei anumite omogenitå¡i statistice spa¡iale asiguratå de sta¡ionaritatea ¿i ergodicitatea fenomenului regionalizat studiat. ¥n practicå, pe un domeniu limitat, fenomenele regionalizate pot fi frecvent considerate omogene, variabila regionalizatå v(p) repetându-se în spa¡iu dupå acelea¿i

24

legitå¡i. Repetabilitatea în spa¡iu echivaleazå de o anumitå manierå cu un numår mai mare de realizåri ale func¡iei aleatoare, acest lucru permi¡ând inferen¡a statisticå. Douå valori experimentale v(pi) ¿i v(pi+h), implantate în douå puncte diferite, pot fi considerate ca douå realizåri diferite ale aceleia¿i func¡ii aleatoare V(pi). Acest compromis, permite inferen¡a legii de distribu¡ie a func¡iei aleatoare V(p), plecând de la histograma datelor (v(pi)) ¿i a speran¡ei matematice E{V(p)}, de la media aritmeticå a valorilor selec¡iei de date disponibile (m(p)).

3.4. STAºIONARITATE La nivelul modelelor topo-probabiliste sta¡ionaritatea unui fenomen regionalizat este definitå ca invarian¡a legii spa¡iale la transla¡ie. Altfel spus, legea spa¡ialå, relevatå de un ansamblu de puncte, nu depinde de pozi¡ia acestor puncte. Modelele topo-probabiliste, mai precis geostatistica linearå, se bazeazå pe primele douå momente ale legii de distribu¡ie pentru definirea diferitelor ipoteze de sta¡ionaritate. Pentru geostatistica linearå, douå func¡ii aleatoare V1(p) ¿i V2(p), care admit acelea¿i momente de ordinul unu ¿i doi nu se diferen¡iazå una de alta ¿i sunt considerate ca unul ¿i acela¿i model. Momentele legilor spa¡iale ale func¡iilor aleatoare utilizate sunt:

E{V(p)}- speran¡a matematicå

( ){ } ( )E V p m p= (3.1)

Var{V(p)}-varian¡a

( ){ } ( ) ( )[ ]{ }Var V p E V p m p= −2

(3.2)

c(p1,p2)-covarian¡a

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }c p p E V p m p V p m p1 2 1 1 2 2, = − − (3.3)

2γ(p1,p2)-variograma

( ) ( ) ( ){ }2 1 2 1 2γ p p Var V p V p, = − (3.4)

Covarian¡a ¿i variograma sunt func¡ii dependente de 2 implanta¡ii p1 ¿i p2, iar inferen¡a lor cu formulele (2.1)-(2.7) necesitå mai multe realizåri ale cuplului {V(p1),V(p2)}. Cum acest lucru nu este posibil, deoarece de cele mai multe ori dispunem de o singurå serie de måsuråtori în fiecare punct de probare, numai dacå aceste func¡ii ar depinde doar de vectorul h, care separå douå puncte p1 ¿i p2, inferen¡a lor ar fi posibilå. ¥n aceastå ipotezå toate cuplurile {V(pk),V'(pk)}, plasate la distan¡a |h| pe direc¡ia vectorului h, pot fi considerate ca realizåri diferite ale cuplului (V(p1),V(p2)).

25

Pentru distribu¡ia spa¡ialå a con¡inutului unui poluant, a gradului de nebulozitate al atmosferei, a compozi¡iei granulometrice a unui depozit deltaic, corela¡ia dintre valorile måsurate în douå puncte, situate la o anumitå distan¡å, constituie o caracteristicå intrinsecå a structurilor respective. Aceastå intui¡ie fizicå se traduce în contextul modelelor topo-probabiliste prin ipoteze de sta¡ionaritate la diferite nivele de rigoare. 3.4.1. Sta¡ionaritate strictå

Sta¡ionaritatea strictå corespunde unei omogenitå¡i statistice foarte avansate. Este greu de gåsit un fenomen care så se conformeze aceleia¿i legi structurale în toate punctele domeniului såu spa¡ial. Deoarece Geostatistica linearå nu este interesatå decât de primele douå momente (rela¡iile 3.1-3.4), considerentele opera¡ionale limiteazå interesul doar la sta¡ionaritatea acestora. 3.4.2. Sta¡ionaritate de ordinul doi

Sta¡ionaritatea de ordinul 2 a unei func¡ii aleatoare este asiguratå de : - existen¡a speran¡ei matematice ¿i independen¡a ei de punctul de implantare p:

( ){ }E V p m p= ∀, ; (3.5)

- existen¡a covarian¡ei ¿i invarian¡a ei la transla¡ie:

( ) ( ) ( ){ }c h E V p V p h m p= ⋅ + − 2 , ∀ . (3.6)

Existen¡a ¿i sta¡ionaritatea covarian¡ei implicå existen¡a sta¡ionaritå¡ii varian¡ei ¿i variogramei. Se deduc imediat rela¡iile:

( ){ } ( )[ ]{ } ( )Var V p E V p m c p= − =2

0 , ∀ (3.7)

¿i:

( ) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )γ h E V p h v p c c h= + − = −1

p∀2

02

, . (3.8)

Rela¡ia (3.8) aratå cå în ipoteza de sta¡ionaritate de ordinul doi, covarian¡a ¿i variograma sunt echivalente pentru caracterizarea autocorela¡iei între douå variabile V(p+h) ¿i V(p), aflate la extremitå¡ile vectorului h.

26

¥n aceste condi¡ii se define¿te ¿i corelograma :

( )( )( )

( )( )

ργ

hc h

c

h

c= = −

01

0 . (3.9)

Existen¡a func¡iei de variogramå reprezintå o ipotezå mai pu¡in durå decât existen¡a func¡iei de covarian¡å. Existå numeroase fenomene regionalizate care nu au nici covarian¡å, nici varian¡å finitå, dar au variogramå finitå. ¥n consecin¡å, se poate lårgi cadrul sta¡ionaritå¡ii de ordinul doi, doar la existen¡a variogramei. 3.4.3. Sta¡ionaritate intrinsecå

Sta¡ionaritatea intrinsecå impune cele mai lejere condi¡ii: - existen¡a speran¡ei matematice ¿i independen¡a ei de punctul de implantare:

( ){ }E V p m p= ∀, ; (3.10)

- independen¡a autocovarian¡ei cre¿terilor la transla¡ie ¿i dependen¡a ei de h:

( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]{ } ( )Var V p h V p E V p h V p h+ − = + − =2

2γ . (3.11)

Trebuie remarcat cå ipoteza intrinsecå nu antreneazå sta¡ionaritatea de ordinul doi. 3.4.4. Cvasista¡ionaritate

Modelarea topo-probabilistå a variabilelor regionalizate implicå luarea în considerare a unui factor total absent din formalismele probabiliste: scara structurii. Variabila regionalizatå poate fi consideratå sau nu ca o realizare a unui proces sta¡ionar în func¡ie de scara de lucru. Cu excep¡ia fenomenelor autoomotetice acela¿i obiect poate fi considerat regulat sau neregulat, structurat sau nestructurat, sta¡ionar sau nesta¡ionar, func¡ie de scara la care este studiat.

Fig. 3.1. Vecinåtå¡i de sta¡ionaritate.

27

¥n practicå, covarian¡a ¿i variograma sunt utilizate pentru distan¡e limitate: h<r, în care se påstreazå omogenitatea statisticå (fig. 3.1). Douå variabile V(pk) ¿i V(pk+h), aflate la distante h>r nu pot fi considerate ca apar¡inând aceluia¿i tip de structurå, ele nefiind douå realizåri ale unui proces sta¡ionar, în particular, speran¡ele lor matematice fiind diferite:

( ){ } ( ){ }E V p E V p h h rk k≠ + , > . (3.12)

Pentru astfel de situa¡ii se utilizezå func¡iile structurale c(p,p+h) sau γ(p,p+h), care sunt sta¡ionare local, pe distan¡e mai mici decât r. Aceastå limitare la distan¡e |h|<r a ipotezei de sta¡ionaritate de ordinul doi (sau sta¡ionaritate intrinsecå, dacå se presupune numai existen¡a variogramei ) corespunde ipotezei de cvasista¡ionaritate (sau sta¡ionaritate cvasiintrinsecå). ¥n mod concret o func¡ie aleatoare este cvasista¡ionarå de ordinul 2, dacå: - speran¡a matematicå E{V(p)} existå ¿i este o func¡ie regulatå ¿i cu varia¡ie lentå în raport cu pozi¡ia punctului la scara re¡elei de probare disponibilå; - covarian¡a existå ¿i este o func¡ie de vectorul hij, ¿i de pozitia celor douå puncte pi ¿i pj:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }c p p p p E V p m p V p m p i j1 2 1 2 1 1 2 2 1 2− = − − =, , , , = . (3.13)

La scara informa¡iei disponibile, adicå pentru pozi¡ii pi ¿i pj nu foarte îndepårtate, covarian¡a poate fi consideratå func¡ie de un singur argument ¿i anume distan¡a dintre cele douå puncte |hij|. Din punct de vedere practic se pot defini vecinåtå¡i mobile, în interiorul cårora speran¡a matematicå ¿i covarian¡a pot fi considerate sta¡ionare. Ipoteza de cvasista¡ionaritate este rezultatul compromisului dintre dimensiunea r a omogenitå¡ii statistice a fenomenului ¿i densitatea informatiei disponibile, deoarece pentru atingerea sta¡ionaritåtii, reducerea dimensiunii r este limitatå doar de volumul de date minim necesar realizårii inferen¡ei. Exemplificare. Pentru modelarea topo-probabilistå a seriei de timp din figura 3.2,a, ce exprimå hidrograful debitului Q al unui râu fårå alimentare subteranå, måsurat pe o perioadå de 700 de zile, aprecierea caracterului sta¡ionar sau nesta¡ionar al func¡iei aleatoare generatoare implicå experien¡a unei practici geostatistice. Dacå se lucreazå la scara a câtorva zile, se remarcå varia¡ii medii semnificative: valori mari primåvara (pentru t=150 zile ¿i t=500 zile) ¿i valori mici iarna (pentru t=300 zile). De asemenea, sunt evidente varia¡iile mai mari din perioada de primåvarå, în raport cu cele din perioada de iarnå. Pe baza acestor douå observa¡ii se pot formula douå concluzii: - pentru întreaga perioadå de 700 zile nu se poate adopta un model sta¡ionar; - pentru perioada de lungime r=150 zile, de la t=250 zile, la t=400 zile se poate adopta un model sta¡ionar, valorile medii fiind practic constante ¿i varia¡iile, de la o valoare la alta, similare.

28

Fig. 3.2. Sta¡ionaritate ¿i cvasista¡ionaritate.

¥ntr-o a doua etapå, analizându-se valorile transformate ale debitului log(Q) (fig.3.2,b) se remarcå fluctua¡iile constante ale debitului, în jurul unor medii cu varia¡ii sezoniere, corespunzåtor sta¡ionaritå¡ii de ordinul doi (constan¡a momentului de ordinul doi). Varia¡iile debitului de la o zi la alta (Q(t)-Q(t+1)) prezintå o medie constantå ¿i egalå cu zero, dar fluctua¡ii mari de la o perioadå la alta (fig.3.2,c) care nu permit adoptarea unui model de sta¡ionaritate. Transformarea cre¿terilor zilnice ale debitului, prin logaritmare (log(Q(t)-Q(t+1)), creeazå o altå variabilå, cu variabilitate constantå în jurul unei medii constante (fig.3.2,d), pentru care, de asemenea, se poate adopta un model de sta¡ionaritate de ordinul doi. Concluziile asupra sta¡ionaritå¡ii, ob¡inute prin operarea directå asupra valorilor brute, pot fi confirmate sau infirmate de prelucrårile ulterioare.

3.5. ERGODICITATE Adoptarea modelului topo-probabilist presupune acordarea setului de date disponibil atributul de reprezentativ, ceea ce, din punct de vedere probabilist, echivaleazå cu proprietatea de ergodicitate. Prin defini¡ie un proces sta¡ionar este ergodic (satisface ipoteza de ergodicitate) dacå seria mediei spa¡iale:

( )VS

V p dpn

n Sn

= ∫1

(3.14)

29

converge la speran¡a matematicå E{V(p)} (care este invariantå în spa¡iu, conform ipotezei de sta¡ionaritate), atunci când domeniul Sn tinde la infinit. ¥n condi¡iile ergodicitå¡ii, este posibil ca, plecând de la observarea varia¡iei în spa¡iu a unui fenomen regionalizat, pe baza unei realizåri unice, så se deducå legea de distribu¡ie a ansamblului tuturor realizårilor posibile, dar necunoscute. Altfel spus, ergodicitatea face så coincidå mediile calculate pe ansamblul realizårilor func¡iei aleatoare cu mediile spa¡iale, ob¡inute din valorile måsurate în re¡eaua punctelor de observa¡ie. ¥n practica opera¡ionalå, deoarece se dispune de cele mai multe ori de o singurå serie de måsuråtori în re¡eaua punctelor de observa¡ie, ergodicitatea nu poate fi testatå, ea fiind acceptatå ca premizå teoreticå a utilizårii modelului func¡iei aleatoare. Un proces regionalizat, care verificå ipotezele de sta¡ionaritate ¿i ergodicitate, este un proces omogen, a cårui modelare poate beneficia de func¡ia aleatoare ¿i de tot arsenalul de facilitå¡i ale acestui instrument probabilist.

30

4. ANALIZA STRUCTURALÅ (ANALIZA VARIOGRAFICÅ)

Analiza structuralå a unui fenomen regionalizat are ca obiectiv gåsirea unui model al structurii. Elaborarea modelului face apel la cunoa¿terea fenomenului fizic studiat ¿i la experien¡a în domeniul ajustårii modelelor topo-probabiliste. Din considerente opera¡ionale, modelul cel mai frecvent utilizat este variograma, motiv pentru care analiza structuralå este cunoscutå ¿i sub denumirea de analizå variograficå. Obiectivul analizei variografice fiind în esen¡å descriptiv, nu existå constrângeri teoretice, ¿i, în consecin¡å, orice tip de prelucrare este acceptatå dacå reu¿e¿te så clarifice corela¡ia dintre distan¡å ¿i varian¡a erorii de estimare. Acest capitol, cu caracter aplicativ, dupå o trecere în revistå a proprietå¡ilor variogramei, descrie modul de calcul al diferitelor tipuri de variograme experimentale, utilizarea lor în studiul continuitå¡ii, interpretarea acestora ¿i modelele analitice utilizate pentru modelarea variogramei experimentale.

4.1. PROPRIETźILE VARIOGRAMEI Variograma, definitå ca varian¡å a cre¿terilor caracteristicii (rel. 3.8), în cazul probårilor discrete se calculeazå cu formula 2.7, care îi determinå urmåtoarele proprietå¡i:

( )( ) ( )

γγ γ

0 0

0

== − ≥

⎧⎨⎪

⎩⎪ h h . (4.1)

Fig. 4.1. Variograma ¿i covarianta.

¥n general, variograma cre¿te pornind din origine, pe måsurå ce h cre¿te ¿i, într-un mare numår de cazuri, valoarea ei se stabilizeazå în jurul unei valori maxime γ(∞), pentru valori ale lui h superioare unei anumite limite r, numitå razå de influen¡å (fig.4.1). Se demonstreazå cå aceastå valoare maximå, numitå palier, nu este altceva decât varian¡a func¡iei aleatoare:

( ) ( ){ } ( )γ ∞ = =Var V p c 0 . (4.2)

Dacå acest palier existå, rezultå cå ¿i covarian¡a complementarå existå:

31

( ) ( ) ( )c h c h= −0 γ . (4.3)

O astfel de variogramå cu palier ¿i razå de influen¡å caracterizeazå un fenomen regionalizat ce poate fi generat de o func¡ie aleatoare sta¡ionarå de ordinul doi. Zona de influen¡å a informa¡iei dintr-un punct (v(p)) este datå de mårimea razei de influen¡å r. ¥n afara acestei zone, pentru h>r, nu mai existå corela¡ii între valorile variabilei måsurate: v(p) ¿i v(p+h) (c(h)=0 pentru h>r). ¥ntr-un spa¡iu bidimensional sau tridimensional, h reprezintå un vector ¿i majoritatea structurilor spa¡iale fiind anizotrope, valorile maxime ale variogramei ¿i razele de influen¡å sunt diferite, func¡ie de direc¡ia de calcul. Lipsa palierului pentru variogramå, indicå nesta¡ionaritatea fenomenului regionalizat ¿i necesitatea eliminårii tendin¡elor structurate regional, pentru adecvarea semnalului prelucrat, modelului func¡iei aleatoare.

4.2. CALCULUL VARIOGRAMEI EXPERIMENTALE Aplicarea rela¡iei 2.7 pentru calculul variogramei experimentale este cel mai simplu de în¡eles, în cazul unei probåri discrete pe o re¡ea patraticå (fig.4.2) ¿i se realizeazå în urmåtoarele etape: • se alege direc¡ia vectorului h, pentru care se calculeazå variograma; pentru cele 42 de valori ale unei variabile v, måsurate în punctele din figura 4.2, se alege direc¡ia N-S.

Fig. 4.2. Calculul variogramei experimentale pe o re¡ea påtraticå. Tabelul 4.1.

32

Elementele de calcul ale variogramei experimentale

Numår CLASA DE DISTANºE curent vi h1 = a h2 = 2a h3 = 3a h4 = 4a h5 = 5a

(vi - vi+1)2 (vi - vi+2)

2 (vi - vi+3)2 (vi - vi+4)

2 (vi - vi+5)2

1 53.45 198.70 2571.73 1703.28 50.04 1551.93 2 39.35 1340.75 3065.49 448.17 640.02 - 3 2.74 8460.89 3339.26 128.09 - - 4 94.72 1169.42 6506.91 - - - 5 60.52 2159.33 - - - - 6 14.05 - - - - - 7 45.69 2498.38 1708.86 1173.51 298.51 946.03 8 95.67 47.47 247.35 4524.07 6519.19 - 9 87.02 50.15 3435.80 5197.84 - - 10 79.94 2655.73 4226.83 - - - 11 28.41 181.72 - - - - 12 14.93 - - - - - 13 24.97 2919.60 231.78 5168.80 811.40 39.37 14 79.01 1506.14 319.02 652.71 2280.90 - 15 40.20 3211.49 175.85 80.10 - - 16 96.87 1884.36 4305.95 - - - 17 53.46 493.31 - - - - 18 31.25 - - - - - 19 22.53 1356.61 4310.95 3853.42 250.53 98.74 20 5.36 830.92 637.25 2773.09 2187.34 - 21 88.18 12.83 6639.94 5714.55 - - 22 84.60 6069.02 5185.83 - - - 23 6.70 34.71 - - - - 24 12.59 - - - - - 25 69.90 16.38 2429.55 182.07 186.84 1526.88 26 73.94 2913.03 307.66 313.86 1859.54 - 27 19.97 1327.30 1314.53 117.72 - - 28 56.40 0.03 654.44 - - - 29 56.23 645.48 - - - - 30 30.82 - - - - - 31 14.72 2740.60 117.04 7.40 3526.17 170.08 32 67.07 3990.37 2463.27 49.43 4276.12 - 33 3.90 183.28 4928.07 4.34 - - 34 17.44 3210.60 248.40 - - - 35 74.10 5245.07 - - - - 36 1.68 - - - - - 37 88.55 19.14 5658.51 4878.46 3812.79 885.86 38 84.18 5019.39 4286.40 3291.59 644.55 - 39 13.33 28.91 181.58 2066.58 - - 40 18.71 65.58 1601.61 - - - 41 26.80 1023.00 - - - - 42 58.79 - - - - -

N(h) 35.00 28.00 21.00 14.00 7.00

( )v v

N h

i ji

N h−∑

=

2

1

( )

( )

1815.34

2541.71

201.57

1953.14

745.56

33

• se stabilesc distan¡ele hi, pentru care se calculeazå variograma; ¡inând seama de configura¡ia geometricå a punctelor, se aleg: h1=a; h2=2a; h3=3a; h4=4a; h5=5a. • pentru fiecare hi (i=1,2,..,5) se calculeazå : - numårul de perechi de valori (N(hi)); - media påtratelor diferen¡ei dintre valorile perechi. Pe direc¡ia N-S, pentru exemplul din figura 4.2 se ob¡in cinci valori pentru variogramå, semnifica¡ia lor statisticå reducându-se propor¡ional cu reducerea numårului de perechi de valori, pe baza cårora au fost calculate (tab.4.1). Valorile variogramelor ¿i distan¡ele hi vor fi utilizate ulterior, pentru construirea graficului func¡iei variogramei experimentale ¿i analiza continuitå¡ii.

4.3. ANALIZA CONTINUITźII SPAºIALE De¿i diagramele de continuitate (§2.1.5), pentru o gamå completå de h-uri, realizeazå o descriere completå a continuitå¡ii spa¡iale, în mod uzual, din considerente opera¡ionale, analiza continuitå¡ii studiazå func¡iile experimentale de covarian¡å, corela¡ie ¿i variogramå definite prin formulele (2.1), (2.4) ¿i (2.7). Variograma este func¡ia utilizatå în mod tradi¡ional pentru analiza continuitå¡ii, deoarece estimarea ei eliminå calculul mediei valorilor, parametru cu semnifica¡ie ambiguå în cazul variabilelor nesta¡ionare. 4.3.1. Analiza omnidirec¡ionalå

Analiza continuitåtii spa¡iale debuteazå cu calculul variogramei omnidirec¡ionale, pentru care toleran¡a direc¡ionalå - ∆θ (fig.4.3) este suficient de mare, astfel încât orientarea vectorului separator hij så devinå nesemnificativå. Toleran¡a unghiularå pentru calculul variogramei omnidirec¡ionale este ∆θ = 90o.

Fig. 4.3. Elementele de toleran¡å utilizate pentru selec¡ia perechilor de valori

separate de vectorul h (N(h)): ∆θ -toleran¡a de orientare; ∆h -toleran¡a de distan¡å.

34

O variogramå omnidirec¡ionalå poate fi consideratå ca o medie a diverselor variograme direc¡ionale. Dacå loca¡iile punctelor de observa¡ie sunt amplasate preferen¡ial pe o anumitå direc¡ie, variograma omnidirec¡ionalå nu mai poate fi consideratå ca o medie a variogramelor direc¡ionale, ea reflectând, în principal, particularitå¡ile continuitå¡ii pe acea direc¡ie.

Fig. 4.4. Distribu¡ia forajelor hidrogeologice din sinclinalul Moreni-Mågureni-Mislea.

Pentru analiza continuitå¡ii transmisivitå¡ii din acviferul de medie adâncime din sinclinalul Moreni-Mågureni-Mislea, variograma omnidirec¡ionalå (∆θ=90o; fig.4.5,a), bazatå pe 55 de valori determinate în forajele din figura 4.4, este practic identicå cu cea direc¡ionalå calculatå pentru direc¡ia N45E cu o toleran¡å de direc¡ie de ∆θ =10o (fig.4.5).

Fig. 4.5. Variograma transmisivitå¡ii acviferului de adâncime din sinclinalul Moreni-Mågureni-Mislea: a - variograma omnidirec¡ionalå; b - variograma pe direc¡ia N45E.

35

Calculul variogramei omnidirec¡ionale nu implicå ipoteza izotropiei continuitå¡ii, ci o primå etapå de calcul, utilå stabilirii corecte a doi parametrii necesari identificårii variogramei reprezentative a structurii, ¿i anume: - decalajul dintre clasele de distan¡å h; - toleran¡a de distan¡å. Func¡ia variogramei experimentale omnidirec¡ionale aten¡ioneazå asupra posibilei existen¡e a unor variograme direc¡ionale aberante. Variograma experimentalå omnidirec¡ionalå con¡ine maximum de perechi de puncte în raport cu orice variogramå direc¡ionalå ¿i dacå ea nu reflectå un model structural, nici o variogramå direc¡ionalå nu va avea o ¿anså mai mare de reu¿itå. Când variograma omnidirec¡ionalå nu reflectå o structurå clarå, adicå o corela¡ie între distan¡a (h) ¿i påtratul cre¿terii medii, examinarea diagramelor de continuitate permite identificarea punctelor care o deterioreazå. Rolul unor perechi de puncte sau a unor puncte izolate poate fi semnificativ ¿i eliminarea lor poate îmbunåtå¡i gradul de corela¡ie. Dacå încercårile de îmbunåtå¡ire a claritå¡ii variogramei, prin eliminarea punctelor nu conduc la nici un rezultat, în aceastå etapå descriptivå de analizå a continuitå¡ii pot fi utilizate ¿i alte func¡ii de distan¡å de tipul variogramelor relative. 4.3.2. Analiza unidirec¡ionalå

Studiul anizotropiei se bazeazå pe analiza unidirec¡ionalå ¿i ea demareazå dupå ce s-a ob¡inut o variogramå omnidirec¡ionalå clarå. ¥n multe studii practice existå numeroase informa¡ii suplimentare, utile identificårii direc¡iilor de anizotropie. Pentru studiul concentrårii poluan¡ilor în aer, aceste informa¡ii provin din cunoa¿terea direc¡iei vânturilor, în studiul transportului poluan¡ilor de apa subteranå din caracteristicile structurale ale acviferului, în studiul concentra¡iilor minerale în depozitele stratiforme din orientarea stratifica¡iei.

Fig. 4.6. Diagrame radiare pentru variogramele direc¡ionale: a - raza variogramelor direc¡ionale; b - panta în origine a variogramelor.

36

Fårå astfel de informa¡ii, o hartå conturalå a valorilor variabilei studiate este una din posibilitå¡ile identificårii direc¡iilor de continuitate maximå ¿i minimå. Bazându-se pe adoptarea apriori a unui anumit procedeu de interpolare ¿i a unei re¡ele rectangulare de discretizare, hår¡ile conturale introduc în mod frecvent structuri false (artefacts) a cåror morfologie nu depinde de structura spa¡ialå a caracteristicii studiate, ci de metoda de interpolare ¿i de parametrii re¡elei de discretizare.

Fig. 4.7. Harta conturalå a variogramei de suprafa¡å a transmisivitå¡ii acviferului din culcu¿ul stratului I de cårbune (perimetrul minier Albeni).

Calea cea mai riguroaså de identificare a direc¡iilor de anizotropie este construirea hår¡ii conturale a variogramei de suprafa¡å (fig.4.7), a cårei realizare necesitå un numår suficient de puncte de observa¡ie, cu o reparti¡ie relativ uniformå. ¥n lipsa unor astfel de condi¡ii, se calculeazå un numår redus de variograme direc¡ionale, cu ajutorul cårora se construiesc diagrame de tip radiar, pentru raza de influen¡å a variogramei sau a pantelor acesteia în vecinåtatea originii (fig.4.6 construitå pe baza fig.4.10).

37

Analiza continuitå¡ii spa¡iale se încheie, în general, dupå un numår de câteva itera¡ii, care presupun parcurgerea repetatå a etapelor enumerate. 4.3.3. Parametri de distan¡å

Parametrii de distan¡å, care condi¡ioneazå în mod direct claritatea variogramei, sunt: - distan¡ele pentru care se calculeazå variograma (hi; i=0,1,2,...); - toleran¡a de distan¡å (∆h). Dacå punctele de observa¡ie sunt plasate într-o re¡ea regulatå (fig.4.2), distan¡ele hi sunt un multiplu al parametrului re¡elei de probare, distan¡a ini¡ialå fiind chiar acest parametru (ho=a, h1=2a,...). ¥n cazul unei re¡ele neregulate (fig.4.4), distan¡a minimå, pentru care se calculeazå variograma, este o medie a distan¡ei dintre punctele vecine, celelalte distan¡e fiind un multiplu al acestei distan¡e. Valoarea maximå a distan¡ei pentru care se calculeazå variograma, se limiteazå în func¡ie de numårul de perechi de puncte corespunzåtoare. Examinând tabelul 4.1, se constatå cå numårul de perechi de valori se reduce considerabil odatå cu cre¿terea distan¡ei, astfel încât valoarea corespunzåtoare a variogramei devine din ce în ce mai fluctuantå. ¥n mod experimental, se recomandå calculul variogramei pentru distan¡e ce nu depå¿esc jumåtate din distan¡a maximå dintre punctele de probare disponibile. Dacå geometria re¡elei de probare este puternic anizotropå, stabilirea distan¡elor de calcul se face separat pentru fiecare direc¡ie. O situa¡ie clasicå este cea a analizei continuitå¡ii unei variabile, pe baza unui set de date ob¡inute din foraje, distan¡a pe verticalå dintre probe fiind mult mai micå decât cea pe orizontalå. ¥n acest caz este interzis calculul variogramei omnidirec¡ionale, calculându-se o variogramå pe verticalå ¿i alta pe orizontalå, fiecare cu distan¡e de calcul proprii.

Fig. 4.8. Variograma transmisivitå¡ii acviferului din sinclinalul Moreni -Mågureni-Mislea calculatå pentru diferite decalaje între clasele de distan¡å : a - decalaj 500m; b - decalaj 1000m.

38

Alegerea finalå a distan¡elor de calcul este determinatå de aspectul func¡iei de variogramå. Clarificarea variogramei impune modificarea distan¡elor ini¡iale pe baza efectului lor. ¥n general, cre¿terea distan¡elor de calcul determinå o netezire a variogramei experimentale (fig.4.8). Decalajul între clasele de distan¡å este constant când densitatea punctelor de observa¡ie este regulatå. Dacå existå loca¡ii foarte apropiate, pentru analiza în detaliu a continuitå¡ii pentru distan¡e mici, se reduce decalajul dintre clase numai pentru aceste distan¡e. Toleran¡a de distan¡å (∆h; fig.4.3) este introduså în calcul pentru a cre¿te numårul de perechi de valori, corespunzåtoare unei anumite clase de distan¡å, într-o re¡ea neregulatå de probare, fiind pu¡in probabil ca mai multe perechi de valori så fie plasate riguros la aceea¿i distan¡å. Toleran¡a de distan¡å se alege, în general, ca jumåtate din decalajul de distan¡å dintre douå clase consecutive, iar din necesitå¡i de detaliere poate fi redus. Utilizarea unui decalaj constant între clase ¿i a unei toleran¡e egale cu jumåtate din acest decalaj asigurå acoperirea completå a suprafe¡ei studiate ¿i utilizarea tuturor valorilor disponibile din re¡eaua de probare. 4.3.4. Axele de anizotropie

Dupå identificarea unei variograme omnidirec¡ionale acceptabile se trece la analiza anizotropiei.

Fig. 4.9. Elemetele de calcul pentru variograma de suprafa¡å.

Cea mai completå analizå a anizotropiei se bazeazå pe harta conturalå a variogramei experimentale. Deoarece programele automate pentru trasarea hår¡ilor conturale lucreazå cu o re¡ea rectangularå de puncte, este eficient, din punct de vedere al calculelor, så se utilizeze, pentru fiecare claså de distan¡å, o toleran¡å definitå într-un sistem rectangular de coordonate. Pentru calculul valorii variogramei perechilor de valori, separate de vectorul h=(hx,hy), se grupeazå toate punctele care pe directia Ox sunt

39

separate de distan¡a hx+∆x, iar pe direc¡ia axei OY de distan¡a hy+∆y (fig.4.9). ¥n aceastå variantå, sectorul de coroanå circularå, utilizat pentru selectarea punctelor dintr-o claså de distan¡å, utilizat în mod clasic (fig.4.3), se transformå într-un dreptunghi (fig.4.9). Harta conturalå a variogramei transmisivitå¡ii din sinclinalul Moreni-Mågureni-Mislea (fig.4.6), indicå o clarå anizotropie a continuitå¡ii, cu o cre¿tere rapidå a variogramei pe directia N45V ¿i o cre¿tere lentå a acesteia pe direc¡ia N45E. ¥n ciuda caracterului complet, în care harta conturalå a variogramei experimentale permite analiza anizotropiei continuitå¡ii, ea este rareori utilizatå, preferându-se calculul unui numår redus de variograme pe câteva direc¡ii ¿i realizarea unor diagrame radiare.

Fig. 4.10. Variograme direc¡ionale, pentru con¡inutul de suspensii solide din zona fabricii de ciment Bârse¿ti-Gorj.

Utilizând variogramele direc¡ionale din figura 4.10, întocmite pentru con¡inutul de suspensii solide din zona fabricii de ciment Bârse¿ti-Gorj, pe directiile N45V; NS; N45E; VE ¿i SE, s-au realizat cele douå diagrame radiare din figura 4.7: - diagrama razei variogramei pentru valoarea de palier γ(h)=15 (fig.4.7,a). Valoarea variogramei, pentru care se extrage distan¡a h din cele patru variograme direc¡ionale, se alege astfel încât ea så existe pe toate cele patru direc¡ii; - diagrama pantei variogramei s-a ob¡inut pe baza pantelor medii ale variogramelor experimentale, calculate între origine ¿i punctul în care valoarea variogramei atinge valoarea γ(h)=15 (N45V:0,015; NS:0,019; N45E:0,030; VE:0,025).

40

Ambele diagrame radiare indicå direc¡ia N45V ca direc¡ie de continuitate maximå pe aceastå direc¡ie, raza variogramei experimentale fiind maximå ¿i panta minimå. 4.3.5. Toleran¡a direc¡ionalå

Dupå identificarea direc¡iilor de anizotropie ale continuitå¡ii, singurul parametru care mai trebuie determinat este toleran¡a direc¡ionalå. ¥n mod ideal, pentru calculul variogramelor direc¡ionale, se alege o toleran¡å unghiularå minimå (fig.4.3), pentru a elimina, pe cât posibil, mascarea anizotropiei. Din påcate, cu o toleran¡å direc¡ionalå prea micå, se ob¡in pu¡ine perechi de puncte pentru fiecare claså de distan¡å, iar variogramele direc¡ionale sunt inutilizabile pentru o descriere a continuitå¡ii. Identificarea toleran¡ei direc¡ionale optime se face prin încercåri experimentale, bazate pe compararea variogramelor direc¡ionale calculate. La reluarea variogramelor direc¡ionale din figura 4.10, calculate pe cele patru direc¡ii, pentru toleran¡a direc¡ionalå ∆θ1=15o ¿i recalculate pentru ∆θ2=25o, ∆θ3=35o, ∆θ4=90o, se constatå reducerea diferen¡elor, propor¡ional cu cre¿terea toleran¡ei direc¡ionale. Pentru ∆θ=90o se ob¡ine variograma unicå, variograma omnidirec¡ionalå. 4.3.6. Variograme relative

Dependen¡a variogramei fa¡å de media valorilor din fiecare claså de distan¡å, determinå utlizarea variogramelor relative. Variogramele relative se calculeazå prin raportarea valorii variogramei la diferite tipuri de medii locale. Ele sunt utilizate când variogramele absolute nu indicå o corela¡ie spa¡ialå a varia¡iei valorilor variabilei studiate. ¥n mod curent, se utilizeazå trei tipuri de variograme relative: variograma relativå localå (γRL), variograma relativå generalå (γRG) ¿i variograma relativå pereche (γRP). Variograma relativå localå este recomandatå atunci când legea de distribu¡ie a variabilei studiate este multimodalå. Precedatå de o analizå dispersionalå, care så permitå separarea domeniului spa¡ial în subzone omogene (Scrådeanu D.,1995), variograma relativå localå se calculeazå cu rela¡ia:

( )( )

( )

( )γ

γ

RL

ii

ni

i

ii

nh

N hh

m

N h=

∑ ⋅

∑

=

=

12

1

, (4.4)

în care: γi(h) sunt variogramele locale calculate pentru fiecare din cele r regiuni separate (i=1,...,r) (fig.4.11); mi - mediile locale pentru cele r regiuni separate (i=1,...,r); Ni(h) - numårul perechilor de valori pentru fiecare regiune.

41

Ecua¡ia 4.4 raporteazå variogramele locale la påtratul mediilor locale, prin luarea în considerare ¿i a numårului de perechi de valori pe care se bazeazå fiecare. Raportarea variogramei locale la påtratul mediei locale este valabilå numai în cazul unei corela¡ii lineare (efect de propor¡ionalitate linear) între media localå ¿i abaterea standard localå. Pentru un efect de propor¡ionalitate nelinear, raportarea variogramelor locale se face la alte func¡ii de media localå.

Fig. 4.11. Elementele de calcul pentru variograma relativå localå.

Variograma relativå generalå compenseazå unul din neajunsurile esen¡iale ale variogramei relative locale ¿i anume numårul redus de puncte pe care se bazeazå unele dintre componente, datoritå separårii suprafe¡ei totale în subzone cu extindere reduså. Utilizarea unui numår redus de puncte poate conduce la o variogramå fluctuantå, imposibil de utilizat pentru analiza continuitå¡ii ¿i estimårilor spa¡iale care succed acesteia. Variograma relativå generalå nu necesitå separarea unor subzone. Ea se calculeazå raportând suma påtratelor diferen¡elor dintre perechile de valori, separate de distan¡a h, la media lor aritmeticå:

( )( )( )

γγ

RG hh

m h=

2 . (4.5)

Numåråtorul din rela¡ia 4.5 este variograma experimentalå absolutå, calculatå cu rela¡ia 2.7, iar numitorul este påtratul mediei calculate cu rela¡ia:

( ) ( ) ( )

( )m h

N hv v

m mi j

i j

N hh

hij h

= ⋅ +∑ =+

=

+ −12 2,

h . (4.6)

42

Calculul variogramei relative generale are ca efect reducerea fluctua¡iilor func¡iei de variogramå. Variograma relativå pereche ajusteazå variograma absolutå, în raport cu påtratul mediei fiecårei perechi de valori:

( ) ( )( )

( )

( )γ RP

i j

i ji j

N hh

N h

v v

v vhij h

= ⋅−

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∑=

12

2

2

2,

. (4.7)

Variograma relativå pereche este utilå, în cazul existen¡ei unor valori extreme, în selec¡ia de date disponibile, ea permi¡ând reducerea influen¡ei acestora asupra valorilor variogramei. Din punct de vedere opera¡ional, calculul variogramei relative pereche impune introducerea unei valori minime a sumei celor douå valori vi ¿i vj, deoarece, atunci când aceasta este zero, valoarea variogramei relative pereche este nedefinitå. Pentru valori ale sumei vi+vj mai mici decât aceastå limitå, perechile de valori se exclud din calcul. Observa¡ie: Utilizarea variogramelor relative conduce la eliminarea fluctua¡iilor variogramei absolute, atât pentru valori mici ale distan¡ei h, prin utilizarea variogramei relative locale, cât ¿i pentru valori mari ale distan¡ei h, prin utilizarea variogramei relative generale ¿i variogramei relative pereche.

4.4. INTERPRETAREA VARIOGRAMEI EXPERIMENTALE Forma graficului variogramei experimentale exprimå sintetic caracteristicile structurii, iar analiza ei permite separarea acestora în douå categorii: - caracteristici structurale locale (continuitate ¿i regularitate), rezultate din forma variogramei pentru distan¡e (h) mici (în vecinåtatea originii); - caracteristici structurale regionale (stiluri structurale), rezultate din forma variogramei pentru distan¡e (h) mari (la infinit). 4.4.1. Variograma în vecinåtatea originii

Continuitatea ¿i regularitatea în spa¡iu a variabilelor regionalizate sunt legate de forma graficului variogramei în vecinåtatea originii. ¥n ordinea descre¿terii regularitå¡ii, se disting patru tipuri de forme ale variogramei în vecinåtatea originii: - forma parabolicå (fig.4.12,a):

( )γ λh h h~ ,2 0→ (4.8)

43

Fig. 4.12. Formele variogramei în vecinåtatea originii.

Func¡ia de variogramå este de douå ori derivabilå în origine ¿i deci func¡ia aleatoare, asociatå variabilei regionalizate, are ¿i ea derivata întâi. Aceastå formå indicå o foarte bunå continuitate ¿i regularitate a variabilei regionalizate. - forma linearå fårå efect de pepitå (fig.4.23,b):

( )γ λh h h~ , → 0 . (4.9)

Func¡ia de variogramå nu mai este derivabilå în origine, dar råmâne continuå pentru h=0. Func¡ia aleatoare asociatå variabilei regionalizate nu este derivabilå ¿i indicå o regularitate mai reduså. - discontinuitate în origine (fig.4.12,c):

( )limh

h→∞

≠γ 0 . (4.10)

Chiar dacå, prin defini¡ie, variograma este nulå în origine, în anumite situa¡ii, variabilitatea între douå valori foarte apropiate poate fi mare. La aceastå variabilitate localå, comparabilå cu zgomotul de fond al unei anomalii, se adaugå, pentru distan¡e mai mari, o variabilitate continuå, traduså prin continuitatea variogramei pentru h>0. Aceastå discontinuitate în origine, cunoscutå sub numele de efect de pepitå, poate fi datoratå erorilor de måsurå sau microvariabilitå¡ii nedecelabile la densitatea informa¡iei disponibile. - efect de pepitå pur (fig.4.12,d):

( )γ 0

0 01h

hh==>

⎧⎨⎩

,, 0 (4.11)

Este cazul limitå al situa¡iei precedente, când, pentru h>0, variograma nu mai are continuitate. Modelarea unei astfel de variograme se realizeazå printr-un model cu palier cu raza de influen¡å infinit micå. Prezen¡a efectului de pepitå total indicå absen¡a oricårei corela¡ii spa¡iale.

44

Exemplificare. Un exemplu clasic pentru în¡elegerea semnifica¡iei comportamentului variogramei în vecinåtatea originii este examinarea variogramelor experimentale ale nivelului piezometric din acviferul Korhongo (Coasta de Filde¿; J.P.Delhomme,1977). Datele prelucrate sunt adâncimi ale nivelului piezometric v(x,t) måsurate în timp, în patru piezometre amplasate la 500 m unul de altul (fig.4.13).

Fig. 4.13. Piezometre în acviferul Korhongo (Coasta de Filde¿; J.P.Delhomme,1977).

Evolu¡ia nivelului piezometric în cele patru piezometre indicå o variabilitate diferitå, determinatå de grosimea zonei de aerare cu reflectare elocventå în forma variogramelor (fig.4.14): - în P4 nivelul piezometric este foarte aproape de suprafa¡a solului ¿i reac¡ioneazå la fiecare averså. Profilul piezometric este neregulat (fig.4.14,a), iar variograma corespunzåtoare este linearå, cu efect de pepitå (fig.4.14,b); - în P3 zona de aerare este mai groaså ¿i amortizeazå efectul precipita¡iilor asupra varia¡iilor piezometrice. Variograma corespunzåtoare prezintå un efect de pepitå mai mic ¿i pentru h>0 variograma are o formå curbilinie, ce indicå o trecere spre un model cu plafon; -în P2 adâncimea nivelului piezometric este mare, astfel încât efectul de amortizare al varia¡iilor alimentårii prin infiltra¡ii este redus aproape total, resim¡indu-se numai efectul unor alimentåri bru¿te. Variograma are un efect de pepitå redus, ce reflectå prezen¡a acestor alimentåri bru¿te, iar pentru h>0, un comportament parabolic ce indicå o bunå continuitate; - în P1 nu se mai resimte influen¡a alimentårii discontinui a acviferului, profilul piezometric prezentând o varia¡ie continuå. Variograma corespunzåtoare este de tip parabolic, fårå efect de pepitå.

45

Fig. 4.14. Analiza variograficå a nivelului piezometric din acviferul Korhongo: a - evolu¡ia profilelor piezometrice ; b - variogramele evolu¡iei în timp a nivelelor piezometrice.

4.4.2. Variograma la infinit

La nivel teoretic, plecând de la caracterul pozitiv al variogramei se demonstreazå cå:

( )limh

h

h→∞=

γ2

0 (4.12)

¥n consecintå, o variogramå experimentalå, care indicå pentru valori mari ale lui h, o cre¿tere continuå, este incompatibilå cu ipoteza de sta¡ionaritate intrinsecå ¿i indicå prezen¡a unei tendin¡e, adicå a unei speran¡e matematice nesta¡ionare:

( ){ } ( )E V p m p= . (4.13)

46

Pentru valori mari ale distan¡ei h existå patru tipuri de func¡ii de variogramå, care implicå intepretåri ¿i strategii opera¡ionale distincte: - cre¿terea continuå a variogramei, propor¡ional cu distan¡a dintre puncte, reflectå absen¡a sta¡ionaritå¡ii structurii.

Fig. 4.15. Comportamentul variogramei la infinit.

Tendin¡a care induce nesta¡ionaritatea este frecvent legatå de o anizotropie geometricå, variograma comportându-se de manierå diferitå, func¡ie de direc¡ie. Dacå scara de lucru este relativ mare, variograma experimentalå poate lua o alurå parabolicå, de la o anumitå distan¡å h>r (fig.4.15,a). Pentru distan¡e inferioare acesteia (studii locale; de exemplu interpolåri în vecinåtå¡i ce nu depå¿esc distan¡a r), ipoteza de sta¡ionaritate, în sens larg, poate fi adoptatå, iar influen¡a derivei este neglijabilå, dacå în aceastå vecinåtate variograma este izotropå ¿i nu depinde de punctul de aplica¡ie. - atingerea unei valori maxime a variogramei (palierul variogramei), pentru un h finit (raza de influen¡å a variogramei), indicå prezen¡a unei structuri simple sta¡ionare a variabilei regionalizate (fig.4.15,b); - stabilizarea valorii variogramei pe douå sau mai multe paliere semnaleazå prezen¡a unor structuri sta¡ionare suprapuse, caracterizate prin variograme cu modele diferite ¿i parametri diferi¡i (fig.4.15,c). Deconvolu¡ia variogramei în componentele elementare, chiar dacå nu este unicå ¿i necesitå informa¡ii complementare, permite separarea structurilor suprapuse. - descre¿terea temporarå a variogramei pentru anumite distan¡e (fig.4.15,d) este dificil de interpretat, ea putând fi determinatå de reparti¡ia neuniformå a punctelor de observa¡ie sau de existen¡a unei componente periodice a structurii. Eliminarea acestor neregularitå¡i se realizeazå prin intermediul variogramei relative locale sau se modeleazå cu ajutorul modelelor trigonometrice.

4.5. MODELAREA VARIOGRAMEI EXPERIMENTALE Toate opera¡iunile de estimare, de tip topo-probabilist, se bazeazå pe variogramå ¿i acestea nu pot fi efectuate cu o func¡ie tabelarå, a¿a cum este variograma experimentalå. Realizarea calculelor de estimare implicå identificarea unui model teoretic, care så interpoleze cât mai bine valorile variogramei experimentale.

47

Pentru asigurarea pozitivitå¡ii varian¡ei tuturor combina¡iilor lineare finite de tipul:

( )V V pii

n

i i∗ R

== ∑ ⋅ ∀λ λ

1, ∈ , (4.14)

utilizate în geostatistica linearå, modelul analitic al variogramei experimentale trebuie så fie pozitiv definit. Caracterul pozitiv al unei func¡ii (modelul analitic) este legat de dimensiunea spa¡iului în care este definit vectorul h. O func¡ie pozitiv definitå într-un spa¡iu unidimensional poate så nu fie pozitiv definitå într-un spa¡iu n-dimensional, dar o func¡ie pozitiv definitå într-un spatiu n-dimensional este pozitiv definitå în toate spa¡iile n'-dimensional, dacå n'<n. Douå proprietå¡i, ale func¡iilor pozitiv definite, permit generarea unei familii vaste de modele teoretice pentru covarian¡å sau variogramå : - toate combina¡iile lineare cu coeficien¡i pozitivi de covarian¡e sau variograme sunt, de asemenea, covarian¡e, respectiv variograme:

( ) ( )

( ) ( )

C h C h

h h

i ii

n

i ii

n

= ⋅∑

= ⋅∑

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

=

=

λ

γ λ γ

2

1

2

1

;

; (4.15)

- produsul de covarian¡e sau variograme este tot o covarian¡å, respectiv o variogramå:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

C h C h

h C C h C C h

i

n

i

i

n

ii

n

i

= ∏

= − = ∏ − ∏

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

=

= =

1

1 10 0

;

.γ (4.16)

¥n practica estimårilor geostatistice linare se utilizeazå numai prima proprietate, iar func¡iile sunt definite pozitiv pentru spa¡iul tridimensional, comun majoritå¡ii estimårilor spa¡iale. 4.5.1. Modele teoretice elementare

¥n alegerea modelelor teoretice, douå caracteristici ale variogramei experimentale sunt luate în cosiderare: comportarea în vecinåtatea originii (parabolicå, linearå sau efect de pepitå total) ¿i prezen¡a sau absen¡a palierului. Func¡ie de aceste caracteristici, modelele teoretice utilizate în mod curent pot fi separate în trei categorii: - modele cu palier (modele tranzitive) cu comportament linear în vecinåtatea originii (modelul sferic ¿i modelul exponen¡ial) ¿i cu comportament parabolic în vecinåtatea originii (modelul gaussian); - modele fårå palier (modelul putere ¿i modelul logaritmic); - modelul efect de pepitå.

48

Modele cu palier (modele tranzitive). Modelele teoretice care vor fi prezentate în continuare sunt normate, adicå au varian¡a unitarå (c(0)=1). Pentru a ob¡ine un model cu palier diferit de unu este suficient så se multiplice expresia normatå a modelului cu un factor constant. Modelul sferic este comportamentul cel mai frecvent întâlnit în practicå. De cele mai multe ori, acest comportament linear în vecinåtatea originii este asociat cu un efect de pepitå. Ecua¡ia modelului este:

( ) [ ][ ]

γ hhr

h

rh

h r= ⋅ − ⋅ ∀ ∈

∀ ∈

⎧

⎨⎪

⎩⎪

32

12

0

1 0

3

3,

, ,

r, . (4.17)

Modelul exponen¡ial are ecua¡ia:

( )γ h EXPh

r= − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1 . (4.18)

De remarcat cå, modelul sferic atinge efectiv palierul pentru o distan¡å finitå h=r, în timp ce modelul exponen¡ial nu atinge palierul decât asimptotic (teoretic la h=∞) (fig.4.18). ¥n practicå, pentru modelul exponen¡ial, se adoptå o razå de influen¡å efectivå r'=3r, pentru care γ(r')=0,951.

Fig. 4.16. Model cu palier (tranzitive).

Ceea ce diferen¡iazå modelul sferic de cel exponen¡ial sunt abscisele punctelor de intersec¡ie dintre tangentele la origine ¿i palier; pentru modelul sferic, douå treimi din raza modelului (xA=2r/3), iar pentru modelul exponen¡ial, o treime din raza de influen¡å efectivå (xB=r'/3).

49

Modelul gaussian este valabil pentru un comportament foarte regulat în vecinåtatea originii ¿i are ecua¡ia:

( )γ h EXPh

r= − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1

2

2 . (4.19)

Palierul este atins asimptotic, raza de influen¡å efectivå fiind ′ =r r 3 , pentru o valoare a variogramei γ(r')=0,951≈1,0. Comportamentul parabolic din vecinåtatea originii al modelului gaussian nu poate fi confundat cu efectul unei derive, deoarece, la distan¡e mai mari, valoarea variogramei se stabilizeazå în jurul palierului. Pentru analize locale, aceastå confuzie este posibilå ¿i ea trebuie clarificatå pentru corecta alegere a modelului. Modele fårå palier. Aceste modele corespund variogramelor experimentale, a cåror cre¿tere este continuå în limitele domeniului de observa¡ie. Dispersia spa¡ialå a func¡iei aletoare V(p) fiind nelimitatå, covarian¡a c(h) nu este definitå ¿i nu se poate opera decât cu variograma.

Fig. 4.17. Model putere.

Modelul putere (fig.4.17) este de ecua¡ie:

( ) ( )γ λλh h= ∈, 0 2, . (4.20) ¥n practicå, modelul linear (λ=1) este cel mai utilizat, el putând servi la modelarea în vecinåtatea originii a tuturor modelelor cu comportament linear (modelul sferic ¿i modelul exponen¡ial). Pe måsurå ce λ cre¿te, comportamentul în vecinåtatea originii este mai regulat, dar pentru λ>2 modelul nu mai este pozitiv definit, fiind incompatibil cu evaluårile geostatistice lineare.

50

Modelul logaritmic (cunoscut ¿i sub numele de modelul De Wijs) are ecua¡ia:

( )γ h h= log . (4.21) Modelul logaritmic nu poate descrie structurile de suport punctual, dar aceastå condi¡ie nu este deranjantå, deoarece, în practicå, datele experimentale care definesc variabila regionalizatå sunt relative la un suport nepunctual (nenul), adicå o probå de o dimensiune finitå. Modele efect de pepitå. Discontinuitatea în vecinåtatea originii a variogramei (efectul de pepitå) poate fi interpretat ca un model tranzitiv care atinge palierul la o razå de influen¡å mai micå în raport cu distan¡ele dintre punctele de observa¡ie disponibile. Modelele efect de pepitå au ecua¡ia:

( )γ hh

h=

=>

⎧⎨⎩

0 0

1 0

, ;

, . (4.22)

Modelul efect de pepitå nu este considerat în mod uzual un model elemetar, dar apare ca o constantå în ecua¡ia majoritå¡ii modelelor de variogramå de diferite tipuri. 4.5.2. Modele unidirec¡ionale (izotrope)

¥n mediile izotrope modelul variogramei depinde numai de distan¡å ¿i este independent de direc¡ie. ¥n astfel de situa¡ii este necesarå modelarea variogramei numai pe o direc¡ie ¿i de cele mai multe ori se preferå modelarea variogramei omnidirec¡ionale (cu toleran¡a direc¡ionalå ∆θ=90o). De¿i de cele mai multe ori se poate modela satisfåcåtor o variogramå experimentalå cu ajutorul unui model elementar, pentru o calare mai riguroaså se preferå un model complex, ob¡inut prin combinarea linearå a mai multor modele elementare (rel.4.17-4.22):

( ) ( )γ h wi ii

n

= ⋅∑ γ h=1

. (4.23)

Pentru calarea unei combina¡ii de modele elementare la o variogramå experimentalå direc¡ionalå, trebuie identificat, în primul rând, modelul care då caracteristica esen¡ialå (cu palier, fårå palier, etc.). Deseori este necesarå combinarea modelelor elementare din categorii diferite. Pentru o variogramå experimentalå care nu atinge un palier, dar are o comportare parabolicå în vecinåtatea originii, este necesarå combinarea unui model gaussian cu altul linear. ¥ncepåtorii în analiza variograficå sunt tenta¡i så complice modelele pentru o calare foarte exactå a variogramelor experimentale, care în etapa de estimare spa¡ialå nu se justificå. Principiul economiei în definirea modelelor este un bun ghid în modelarea variogramelor experimentale.

51

¥n selectarea caracteristicilor variogramelor experimentale ce trebuiesc modelate este în¡elept de luat în considerare existen¡a unei explica¡ii fizice a caracteristicii respective. Dacå informa¡iile calitative asupra cauzelor fenomenului a cårui structurå spa¡ialå este studiatå explicå sau confirmå o anumitå caracteristicå a variogramei experimentale, atunci este necesar ca aceasta så fie con¡inutå în model, în caz contrar ea poate fi consideratå ca rezultat al unui fapt accidental ¿i ignoratå în procesul de modelare. Dupå alegerea modelelor elementare, modelarea variogramei experimentale se transformå într-un simplu exerci¡iu de calare, în care se determinå parametrii modelelor teoretice.

Fig. 4.18. Model unidirec¡ional.

¥n figura 4.18 este prezentat un model unidirec¡ional, rezultat din combinarea unui model cu palier (sferic), cu unul fårå palier (linear). Cu linie întreruptå sunt desenate modelele elementare utilizate ¿i cu linie continuå modelul rezultat prin combinarea liniarå a acestora, de ecua¡ie:

( )γ hh

h hh

h h

= ⋅ + ⋅ − ⋅⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

<

⋅ + ≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

0 067 332 15

12 15

15

0 067 3 15

3

3, ,

, ,

. (4.24)

4.5.3. Modele multidirec¡ionale (modele anizotrope)

Deseori, variogramele experimentale direc¡ionale eviden¡iazå schimbåri majore cu direc¡ia, ca efect al anizotropiei structurilor. Existå douå tipuri distincte de anizotropie, care comportå modalitå¡i diferite în definirea modelului de variogramå: - anizotropia geometricå, în care variogramele direc¡ionale au acela¿i model ¿i palier în toate direc¡iile ¿i doar razele de influen¡å sunt diferite (fig.4.19,a). Variograma de suprafa¡å (fig.4.19,b) eviden¡iazå anomalii alungite de minim în suprafe¡e orizontale.

52

Fig. 4.19. Anizotropie geometricå.

- anizotropie zonalå, care se manifestå prin modificarea cu direc¡ia a palierului ¿i men¡inerea razei de influen¡å ¿i a modelului. Douå variograme pe douå direc¡ii ortogonale (fig.4.20,a) ¿i variograma de suprafa¡å (fig.4.20,b), corespunzåtoare pentru o astfel de anizotropie sunt prezentate în figura 4.20.

Fig. 4.20. Anizotropie zonalå.

Identificarea axelor de anizotropie este prima opera¡iune care trebuie realizatå în construirea modelelor anizotrope. Harta conturalå a variogramei de suprafa¡å (fig.4.6) ¿i diagramele radiare (fig.4.7) sunt instrumentele utilizate în aceastå opera¡iune. Dupå identificarea direc¡iilor de anizotropie, pasul urmåtor este construirea unui model (izotrop) echivalent, care så permitå cuantificarea modificårii variogramei cu distan¡a ¿i direc¡ia. Modelul echivalent se elaboreazå într-o primå etapå în sistemul de referin¡å al axelor de anizotropie ¿i în etapa urmåtoare în sistemul de referin¡å al datelor primare. Model în sistemul de referin¡å al axelor de anizotropie. Pentru definirea modelului echivalent diferitelor modele de variograme direc¡ionale, se realizeazå o transformare care reduce toate variogramele direc¡ionale la un model comun cu o razå standardizatå unitarå. Transformarea afecteazå doar distan¡a dintre perechile de valori, func¡ie de direc¡ia pe care se calculeazå variograma. Modificarea distan¡ei se realizeazå în a¿a fel, încât valoarea variogramei calculatå cu modelul echivalent pe baza distan¡ei

53

transformate (h1) så fie identicå cu cea calculatå cu variograma direc¡ionalå pe baza distan¡ei reale (h) (nota¡iile din ecua¡ia 4.25).

Fig. 4.21. Model echivalent în sitemul de coordonate al axelor de anizotropie (anizotropie geometricå).

Pentru cazul unei anizotropii geometrice, descrise de douå variograme direc¡ionale, cu razele de influen¡å 1 ¿i r (fig.4.21), dacå evaluåm modelul cu razå unitarå la o distan¡å h/r, vom ob¡ine aceea¿i valoare calculatå cu modelul cu razå r la distan¡a h. ¥n acest mod se reduce modelul cu razå r la un model echivalent cu razå unitarå, prin reducerea distan¡ei de la h la h/r. Aceastå echivalen¡å poate fi scriså sub forma:

( ) ( )γ γ1 1′ =h hr , ′ =hh

r1 . (4.25)

Pentru un spa¡iu tridimensional, modelul echivalent ¿i distan¡a reduså sunt definite de rela¡iile:

( ) ( ) ( )γ γ γh h h h hx y z= ′ ′ ′ =, , 1 1 - modelul echivalent (4.26)

′ =′⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

′⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

′⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟h

h

r

h

r

h

rx

x

y

y

z

z1

2 2 2

- distan¡a reduså , (4.27)

în care: (h'x,h'y,h'z) sunt proiec¡iile vectorului separator h pe axele de anizotropie (ax,ay,az) (fig.4.22); α - unghiul de rota¡ie în planul xOy; (rx,ry,rz) - razele variogramelor direc¡ionale pe direc¡iile axelor de anizotropie (ax,ay,az).

54

Fig. 4.22. Componentele vectorului h în sistemul de referin¡å al axelor de anizotropie.

Utilizând nota¡iile matriciale, calculul distan¡ei reduse se poate scrie sub forma:

′ = ⋅h T1 h , (4.28)

în care:

T

r

r

r

¿i h

h

h

h

x

y

z

x

y

z

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=′′′

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

10 0

01

0

0 01

. (4.29)

Pentru modelele fårå plafon, în locul razelor rx, ry, rz se utilizeazå pantele în origine ale variogramelor direc¡ionale (ix, iy, iz), distan¡ele reduse corespunzåtoare fiind ix⋅h, iy⋅h ¿i iz⋅h. Model în sistemul de referin¡å al datelor primare. ¥n general, orientarea axelor de anizotropie este controlatå de anumite caracteristici fizice ale fenomenului studiat, astfel încât ele coincid rareori cu cele ale axelor sistemelor de coordonate, care sunt plasate arbitrar. Dacå axele de anizotropie (ax,ay,az) nu coincid cu axele de coordonate în care sunt plasate datele primare (Ox,Oy,Oz) (fig.4.22), modelul echivalent de variogramå trebuie transpus în sistemul de referin¡å al datelor primare, din considerente de eficien¡å a prelucrårii. Cea mai directå metodå pentru realizarea acestei transformåri se bazeazå pe cunoa¿terea unghiului de rota¡ie (α) în jurul axei Oz, necesar suprapunerii axelor ax ¿i ay cu Ox, respectiv Oy ¿i a unghiului de rota¡ie (ϕ) în jurul axei Oy, necesar suprapunerii axei az cu Oz.

55

Dacå notåm cu h' vectorul în sistemul de referin¡å al axelor de anizotropie, cu h vectorul în sistemul de referin¡å al datelor primare ¿i cu R matricea de rota¡ie, transformarea se realizeazå cu rela¡ia:

′ = ⋅h R h , (4.30) în care:

[ ]′ = ′ ′ ′h h h hx y z , (4.31)

[ ]h h h hx y z= , (4.32)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )R =

⋅ ⋅−

− ⋅ − ⋅

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

cos cos sin cos sin

sin cos

cos sin sin sin cos

α ϕ α ϕ ϕα α

α ϕ α ϕ ϕ0 . (4.33)

Dupå transformarea vectorului h din sistemul de referin¡å al datelor primare, în sistemul de referin¡å al axelor de anizotropie, poate fi corect evaluat modelul anizotrop, folosind vectorul h'. Calculul vectorului , con¡inând distan¡ele reduse, date de ecua¡ia (4.28) poate fi

combinat cu rela¡ia de transformare (4.30), rezultând într-o scriere compactå, ecua¡ia:

′h1

′ = ⋅ ⋅h T R h1 . (4.34)

Ecua¡ia (4.34) exprimå ideea cå vectorul de pozi¡ie h trebuie exprimat în sistemul de referin¡å al axelor de anizotropie înaintea calculului distan¡elor reduse. Model de anizotropie geometricå. O problemå de modelare, frecvent întâlnitå în practicå, este cea schematizatå în figura 4.23. Analiza se realizeazå într-un plan orizontal, fiecare din cele douå modele direc¡ionale, calculate pe douå direc¡ii de anizotropie ortogonale, fiind compus din trei modele elementare:

Fig. 4.23. Model de anizotropie geometricå.

56

- primul model: efect de pepitå izotrop, dat de ecua¡ia (4.22) cu forma generalå:

( ) ( )γ γh w h= ⋅1 1 1 (4.35)

¿i distan¡a reduså:

h1 h= ; (4.36)

- al doilea model: model de tip sferic, dat de ecua¡ia (4.24), cu forma generalå:

( ) ( )γ γh w h= ⋅2 2 2 (4.37)

¿i distan¡a reduså:

hh

r

h

rx

x

y

y2

2 2

2 2

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ; (4.38)

- al treilea model: tot cu plafon, de tip sferic, cu razele diferite pe cele douå direc¡ii, are forma generalå:

( ) ( )γ γh w h= ⋅3 3 3 (4.39)

¿i distan¡a reduså:

hh

r

h

rx

x

y

y3

2 2

3 3

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ . (4.40)

Modelul echivalent complet este ob¡inut prin combinarea celor trei modele elementare, date în ecua¡iile (4.35), (4.37) ¿i (4.39) ¿i conform ecua¡iei (4.23) se ob¡ine:

( ) ( ) ( ) ( )γ γ γ γh w h w h w h= ⋅ ′ + ⋅ ′ + ⋅ ′1 1 1 2 2 2 3 3 3 . (4.41)

De re¡inut cå, într-un astfel de model geometric, toate componentele variogramelor direc¡ionale trebuie så aibå acela¿i plafon ¿i acela¿i model în toate direc¡iile. Valorile parametrilor celor trei modele elementare, pentru cele douå direc¡ii de anizotropie, sunt sintetizate în tabelul 4.2 ¿i cu ajutorul lor se pot particulariza: - modelul de variogramå pe direc¡ia N45°E:

( )γ ′ = + ⋅′

− ⋅′⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+ ⋅

′− ⋅

′⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

hh h h h

a

a a a a

x

x x x x25 4232 300

12 300

5532 450

12 450

3 3

; (4.42)

57

-modelul de variogramå pe direc¡ia N45°V:

( )γ ′ = + ⋅′

− ⋅′⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥+ ⋅

′− ⋅

′⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

hh h h h

a

a a a a

y

y y y y

25 4232 650

12 650

5532 920

12 920

3 3

; (4.43)

-modelul izotrop echivalent:

( ) ( ) ( )γ h h h h= + ⋅ ′ − ⋅ ′⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+ ⋅ ′ − ⋅ ′⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

25 4232

12

5532

122 2

3

3 3

3h , (4.44)

în care distan¡ele reduse h'i (cu i=1,2) se calculeazå cu ecua¡iile:

( ) ( )( ) ( )′ =

′′

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⋅−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥h

h

h

h

ha

a

x

y

x

y

2

2

2

0

0

1310

0

01

650

45 45

45 45

cos sin

sin cos

o o

o o (4.45)

¿i:

( ) ( )( ) ( )′ =

′′

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⋅−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥h

h

h

h

ha

a

x

y

x

y

3

3

3

0

0

1450

0

01

920

45 45

45 45

cos sin

sin cos

o o

o o . (4.46)

Tabelul 4.2

Direc¡ia

Componen¡i Parametri N450E(ax) N450V(ay) Model elementar Efect de pepitå 1 w1 (plafon) 25 25 Razå de influen¡å 0 0 Model elementar Sferic 2 w2 (plafon) 42 42 Razå de influen¡å 300 650 Model elementar Sferic 3 w3 (plafon) 55 55 Razå de influen¡å 450 920

Model de anizotropie zonalå ¿i geometricå. ¥n practicå, rar se întâlne¿te o anizotropie zonalå purå, adicå o razå de influen¡å constantå a variogramei în raport cu direc¡ia la o varia¡ie direc¡ionalå a plafonului acesteia. Foarte frecventå este compunerea

58

anizotropiei geometrice cu cea zonalå, ceea ce determinå atât varia¡ia razei de influen¡å, cât ¿i a plafonului variogramei (fig.4.24).

Fig. 4.24. Anizotropie zonalå ¿i geometricå.

Exemplul din figura 4.25 constå din trei modele de variograme direc¡ionale, fiecare fiind constituit dintr-un singur model elementar. Modelele direc¡ionale de-a lungul axelor Ox ¿i Oy au acela¿i plafon ¿i raze diferite (anizotropie geometricå), iar modelul de-a lungul axei Oz are o razå mai scurtå ¿i un plafon mai mare decât modelele direc¡ionale pe Ox ¿i Oy.

Fig. 4.25. Un model de anizotropie zonalå ¿i geometricå.

Modelul izotrop echivalent este format din douå structuri: - o structurå cu anizotropie geometricå formatå din primele douå modele pe axele Ox ¿i Oy ; - o structurå cu anizotropie zonalå formatå din modelul pe axa Oz.

59

Pentru prima structurå, modelul echivalent va fi un model izotrop cu plafonul w1 ¿i raza unitarå, ecua¡ia lui echivalentå fiind:

( ) ( )γ γh w h= 1 1 1 , (4.47)

cu distan¡a reduså:

hh

r

h

rhr

x

x

y

y

z

z1

2 2 2

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ . (4.48)

Pentru cea de-a doua structurå, plafonul este egal cu w2 ¿i existå numai în direc¡ia Oz. Aceastå componentå zonalå este modelatå cu ecua¡ia:

( ) ( )γ γh w h= 2 2 2 , (4.49)

cu distan¡a reduså :

hhr

z

z2 = . (4.50)

Modelul complet este dat de ecua¡ia:

( ) ( ) ( )γ γ γh w h w h= +1 1 1 2 2 2 . (4.51)

60

5. ESTIMARE SPAºIALÅ UNIVARIATÅ

Obiectivul acestui capitol este prezentarea metodologiei de prognozå a valorii medii a unei variabile pe suprafe¡e de forme ¿i extinderi variabile. Datele necesare sunt valori ale variabilei respective, recoltate dintr-o re¡ea de puncte de observa¡ie, distribuite aleator în interiorul ¿i exteriorul acestor suprafe¡e.

Fig. 5.1. Obiectivele estimårii spa¡iale.

Func¡ie de extinderea suprafe¡ei de calcul, estimarea poate fi: - globalå, când se calculeazå valoarea medie pe întreaga suprafa¡å probatå (suprafa¡a cu ha¿uri simple în fig.5.1), utilizându-se toate valorile disponibile; - localå, când estimarea se face pe suprafe¡e cu extindere reduså (suprafa¡a cu ha¿urå dublå în fig.5.1), utilizându-se atât valorile din interiorul suprafe¡ei de calcul, cât ¿i valori din vecinåtatea acesteia; - punctualå, când suprafa¡a de calcul se reduce la zero (punctul asociat cu semnul ? din fig.5.1). Indiferent de obiectivul estimårii, metodele prezentate în continuare se bazeazå pe o combina¡ie linearå de forma:

v wi ii

n

01

∗

== ∑ v , (5.1)

în care: vo

* este valoarea estimatå a variabilei; vi - valorile cunoscute ale variabilei (i=1,2,...,n); wi - ponderile acordate fiecårei valori måsurate. Din considerente practice ¿i teoretice, asupra cårora se va reveni în capitolele urmåtoare, combina¡iile lineare de tipul rela¡iei (5.1), se opereazå ¿i asupra datelor transformate. Dacå se transformå datele originale ¿i se opereazå asupra lor o combina¡ie linearå ponderatå, se ob¡ine un estimator al valorilor transformate:

( )t w T vi ii

n

01

∗

== ∑ , (5.2)

în care: to

* este estimatorul valorilor transformate; T(vi) - func¡ia de transformare a variabilei v.

61

Ca func¡ii de transformare se utilizeazå func¡iile polinomiale, func¡ii Fourier, func¡ii logaritmice sau chiar func¡ii grafice particulare. Utilizarea valorilor transformate impune revenirea, dupå estimare, la variabila ini¡ialå, printr-o transformare inverså, care deseori introduce erori sistematice. Un exemplu clasic este utilizarea pentru transformarea datelor primare a func¡iei logaritmice T(v)=log(v), inversa acesteia

, introducând erori sistematice de estimare. v et∗ =∗0

5.1. ESTIMAREA GLOBALÅ Evaluarea valorii medii reprezentative pentru o variabilå regionalizatå sta¡ionarå pe întreg domeniul probat, medie utilizatå în estimårile geostatistice bazate pe func¡ia de covarian¡å, implicå eliminarea efectului distribu¡iei neuniforme a punctelor de observa¡ie. Aceastå grupare neuniformå poate conduce la subestimarea mediei globale, dacå majoritatea punctelor de probare sunt concentrate în zone cu valori mici ale variabilei sau supraestimåri ale acesteia în caz contrar. Eliminarea efectului grupårii punctelor de observa¡ie asupra valorii mediei globale se realizeazå în mod curent prin declustering poligonal ¿i declustering celular. 5.1.1. Declustering poligonal

Pentru eliminarea influen¡ei grupårii neuniforme a punctelor de observa¡ie, metoda declusteringului poligonal asociazå fiecårei valori din setul de date o pondere propor¡ionalå cu suprafa¡a poligonului de influen¡å asociat. Poligonul de influen¡å pentru un punct de observa¡ie rezultå din intersec¡ia mediatoarelor segmentelor ce unesc centrul poligonului de influen¡å (O) cu punctele vecine (1,2,3,4,5,6). Punctul 7 nefiind în vecinåtatea imediatå a punctului O nu modificå forma poligonului de influen¡å al acestuia (fig.5.3,a, ..., f).

Fig. 5.2. Construirea poligonului de influen¡å pentru un punct din vecinåtatea limitei ariei explorate: a - închiderea poligonului

pe limita fizicå; b - închiderea poligonului pe limita conven¡ionalå de formå circularå de razå R.

62

Fig. 5.3. Construc¡ia poligonului de influen¡å pentru un punct din interiorul ariei explorate.

¥nchiderea poligoanelor de influen¡å pentru punctele din vecinåtatea limitelor ariei explorate implicå introducerea unor reguli suplimentare. ¥n figura 5.2 sunt prezentate douå astfel de reguli: închiderea poligonului pe limita fizicå (fig.5.2,a) sau conven¡ionalå a ariei explorate (fig.5.2,b) cu un arc de cerc a cårui razå este media aritmeticå a apotemelor OA, OB ¿i OC.

Fig. 5.4. Poligoanele de influen¡å ale punctelor de observa¡ie dintr-o re¡ea neuniformå.

63

Separarea în poligoane de influen¡å pe baza metodei prezentate în figura 5.2 ¿i figura 5.3 este unicå. Fiecårui punct din re¡eaua de observa¡ie îi este asociat un poligon cu suprafa¡a mai mare în zonele cu densitate micå de puncte ¿i cu suprafa¡å mai micå în zonele cu densitate mai mare de puncte (fig.5.4). Pentru calculul ponderilor standardizate ale fiecårei valori se utilizeazå rela¡ia:

wa

ai

i

ii

n=∑=1

, (5.3)

în care ai este aria fiecårui poligon de influen¡å (i=1,2,...,n; n - numårul punctelor de observa¡ie). 5.1.2. Declustering celular

Pentru metoda declusteringului celular, pe întreaga suprafa¡å a ariei explorate, se aplicå o re¡ea rectangularå. Fiecare valoare prime¿te o pondere invers propor¡ionalå cu numårul de puncte din celula cåreia îi apar¡ine. ¥n acest fel valorile plasate în zone cu densitate mai mare a punctelor de observa¡ie primesc o pondere mai micå, iar valorile plasate în zonele cu densitate mai micå a punctelor de observa¡ie primesc o pondere mai mare.

Fig. 5.5. Declustering celular.

64

Pentru dispozi¡ia punctelor de probare din figura 5.5, plasate în celulele unei re¡ele rectangulare cu dimensiunea, pe direc¡ia V-E, de 100 ¿i pe direc¡ia N-S, de 50, ponderile acordate valorilor sunt: - pentru celula A3 : w=1/4; - pentru celula A2 : w =1/6; - pentru celula A1 : w=1/2; - pentru celula B3 : w=1 ; - pentru celula B2 : w=1 ; - pentru celula B1 : w=1/5. Deoarece toate valorile din fiecare celulå au ponderi egale ¿i ponderea valorilor din fiecare celulå este unitarå, estimarea mediei globale prin metoda declusteringului celular se realizeazå în douå etape: - calculul mediei aritmetice simple a valorilor din fiecare celulå; - calculul mediei aritmetice simple a valorilor medii din toate celulele re¡elei. Media estimatå prin declustering celular depinde de dimensiunea celulelor re¡elei rectangulare. Dacå celulele sunt prea mici, în fiecare celulå va fi un singur punct de observa¡ie ¿i fiecare valoare va avea aceea¿i pondere. Dacå celulele sunt atât de mari, încât toate valorile intrå într-o singurå celulå, din nou toate valorile vor avea aceea¿i pondere. ¥ntre aceste douå extreme se aflå dimensiunile celulelor care permit evaluarea mediei reprezentative.

Fig. 5.6. Harta conturalå a mediei globale func¡ie de dimensiunea celulei de discretizare.

Alegerea dimensiunilor optime ale celulei re¡elei rectangulare se bazeazå pe analiza hår¡ii conturale a mediei globale construitå pentru diferite valori ale dimensiunilor celulei de discretizare a ariei explorate (fig.5.6) în corela¡ie cu obiectivul estimårii.

65

5.2. ESTIMARE PUNCTUALÅ PRIN KRIGING Kriging-ul este metoda topo-probabilistå care constå în gåsirea celei mai bune estimåri lineare posibile a valorii medii într-un punct, pe baza valorilor disponibile din vecinåtatea acestuia. Kriging-ul realizeazå o ponderare a acestor valori în a¿a fel încât varian¡a de estimare rezultatå så fie minimå, ¡inând seama de geometria punctelor de observa¡ie ¿i variabilitatea spa¡ialå. ¥n mare, a¿a cum este natural, kriging-ul va atribui ponderi mari valorilor apropiate ¿i ponderi mici valorilor depårtate. Aceastå regulå intuitivå poate fi uneori mascatå de efectul de ecranare ¿i de transferul de influen¡å. Pentru a face posibilå estimarea prin kriging a ponderilor acordate valorilor måsurate este necesarå acceptarea unor ipoteze asupra caracteristicilor variabilei studiate, sintetizate în func¡ia de covarian¡å sau variogramå a func¡iei aleatoare a cårei unicå realizare disponibilå se presupune a fi e¿antionul de date. Caracteristica principalå a kriging-ului nu este numai valoarea minimå a varian¡ei de estimare care presupune utilizarea celei mai mari pår¡i a informa¡iei disponibile, deci ob¡inerea celei mai bune estima¡ii, dar ¿i caracterul nedeviat al acesteia. Obiectivele kriging-ului sunt irealizabile fårå apelarea la modelul func¡iei aleatoare, eroarea de estimare fiind nedeterminabilå datoritå necunoa¿terii valorii reale a variabilei în punctul de estimare. Deoarece media erorilor (mR) ¿i varian¡a de estimare (σR

2) sunt necunoscute, în kriging se opereazå cu media erorilor ¿i varian¡a de estimare a modelului ( ~mR ¿i ~σ R

2 ).

5.2.1. Modelul func¡iei aleatoare în kriging

Stabilirea ecua¡iilor pe baza cårora se calculeazå ponderile wi din formula (5.1) implicå transpunerea în cadrul modelului func¡iei aleatoare a erorii de estimare ¿i a varian¡ei erorii de estimare. Eroarea de estimare. Pentru fiecare punct în care nu dispunem de o valoare måsuratå, prin kriging se estimeazå valoarea necunoscutå utilizând o combina¡ie linearå a valorilor cunoscute de forma (5.1). Notåm cu ri eroarea unei anumite estimåri punctuale (i=1,2,...,k) ¿i o definim ca diferen¡a dintre valoarea estimatå (v*

i) ¿i cea realå (vi):

r v vi i= −∗i . (5.4)

Media tuturor erorilor de estimare punctualå este:

(mk

rk

v vr ii

k

i ii

k= ∑ = −∑

=

∗

=

1 11 1

) . (5.5)

Utilizarea expresiei (5.5) pentru calcule nu este posibilå, deoarece nu se cunosc valorile adevårate ale variabilei în punctele în care nu avem måsuråtori.

66

Solu¡ionarea problemei se bazeazå pe apelarea la modelul func¡iei aleatoare: se considerå cå atât valorile necunoscute, cât ¿i cele cunoscute sunt realizårile unei func¡ii aleatoare sta¡ionare. ¥n fiecare punct de observa¡ie avem amplasatå o func¡ie aleatoare V(pi) ¿i de asemenea câte una în fiecare punct de estimare V(po). Fiecare variabilå aleatoare are aceea¿i lege de probabilitate ¿i în fiecare loca¡ie speran¡a matematicå E{V} este aceea¿i. Corela¡ia fiecårei perechi de variabile aleatoare depinde numai de distan¡a dintre ele. Covarian¡a unei perechi de variabile aleatoare separate prin distan¡a h o notåm cu c(h). Fiecare valoare måsuratå este consideratå ca o realizare a unei variabile aleatoare. Valorile estimate care sunt combina¡ii lineare ale acestor valori sunt ¿i ele variabile aleatoare:

( ) ( )V p w V pii

n

i∗

== ∑0

1 . (5.6)

¥n mod similar, erorile de estimare definite ca diferen¡å între valoarea estimatå ¿i cea realå, ambele variabile aleatoare, sunt ¿i ele variabile aleatoare:

( ) ( ) ( )R p V p V p0 0= −∗0 . (5.7)

Substituind expresia (5.6) în expresia (5.7) se poate exprima eroarea de estimare prin intermediul variabilelor aleatoare originale:

( ) ( ) ( )R p w V p V pii

n

i01

0= ∑ −=

. (5.8)

Eroarea comiså la estimarea unei valori necunoscute în po este deci o realizare a variabilei aleatoare R(po), iar pentru ca estimarea în orice loca¡ie så fie nedeviatå speran¡a matematicå a erorii trebuie så fie zero:

( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ){ }E R p E w V p V p w E V p E V pii

n

i ii

n

i01

01

0 0= ∑ −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭= ∑ ⋅ −

= == . (5.9)

Deoarece este presupuså sta¡ionaritatea func¡iei aleatoare, pentru ca estimarea så fie nedeviatå, suma ponderilor wi trebuie så fie unitarå:

( ){ } { } { } { }E R p w E V E V E V w

w

ii

n

ii

n

ii

n

01 1

1

1 0

1

= ∑ − = ∑ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

∑ =

= =

=

. (5.10)

67

Varian¡a erorii de estimare. Varian¡a erorii de estimare pentru un set de estimåri poate fi scriså sub forma:

( ) ( )σ R i ri

k

i i i ii

k

i

k

kr m

kv v

kv v2 2

1 11

21 1 1

= −∑ = − − −∑⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

∑=

∗ ∗

== . (5.11)

Dacå presupunem ¿i caracterul nedeviat al estimårii (5.10), rezultå cå:

[σ R ii

k

kv v2 2

1

1= −∑ ∗

=]i . (5.12)

Expresia (5.12) nu este opera¡ionalå, deoarece nu se cunosc valorile reale în punctele de estimare (vi). Pentru a rezolva problema se apeleazå din nou la modelul func¡iei aleatoare. Se porne¿te de la (n+1) variabile aleatoare, n din ele modelând comportarea fenomenului în loca¡iile cunoscute ¿i a (n+1)-a în punctul po unde se realizeazå estima¡ia. Estimatorul V*(po) este tot o variabilå aleatoare, deoarece este o combina¡ie linearå de variabile aleatoare:

( ) ( )V p w V pii

k

i∗

== ⋅∑0

1 . (5.13)

Diferen¡a dintre valoarea realå ¿i cea estimatå este de asemenea o variabilå aleatoare:

( ) ( ) ( )R p V p V p0 0= −∗0 , (5.14)

care poate fi dezvoltatå sub forma:

( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }Var R p Cov V p V p Cov V p V p Cov V p V p0 0 0 0 0 02= ⋅ − ⋅ + ⋅∗ ∗ ∗0

j ij

. (5.15)

Evaluarea reziduului este posibilå doar în cadrul modelului func¡iei aleatoare sta¡ionare. Acest model permite evaluarea covarian¡ei sau variogramei pentru valorile necunoscute din punctele de estimare pe baza modelului de covarian¡å sau variogramå dedus din valorile måsurate. Primul termen din rela¡ia (5.15) reprezintå covarian¡a valorii estimate a variabilei studiate cu ea înså¿i, adicå varian¡a valorii estimate, ea înså¿i o combina¡ie linearå de variabile aleatoare:

( ) ( ){ } ( )Cov V p V p Var w V p w w cii

n

i ij

n

i

n∗ ∗

= ==⋅ = ∑⎧⎨

⎩⎫⎬⎭= ∑∑0 0

1 11

~ , (5.16)

în care: este covarian¡a modelatå dintre douå puncte p~cij i ¿i pj situate la distan¡a

hij ¿i în care se cunosc valorile variabilei; wi ¿i wj - ponderile acordate valorilor måsurate în punctele pi ¿i pj.

68

Al doilea termen din rela¡ia (5.15) poate fi descompus ¿i transformat sub forma:

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }( )( ) ( ){ }

2 2

2 2

2 2w

2

2 2

0 01

0

10

10

10 0

10 0

10 0

1

Cov V p V p Cov w V p V p

E w V p V p E w V p E V p

w E V p V p E V p V p

w E V p V p E V p E V p

w Cov V p V p w c

ii

n

i

ii

n

i ii

n

i

ii

n

i i i

ii

n

i i

ii

n

i i ii

n

∗

=

= =

=

=

= =

⋅ = ∑ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

= ∑ ⋅ ⋅⎧⎨⎩

⎫⎬⎭− ∑ ⋅

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭⋅ =

= ∑ ⋅ − ⋅ =

= ∑ ⋅ − ⋅ =

= ∑ ⋅ = ⋅∑ ~ .

(5.17)

Al treilea termen din ecua¡ia (5.15), prin analogie cu primul este varian¡a valorii reale din punctul de estimare po care se exprimå prin intermediul modelului de covarian¡å sub forma:

( ) ( ){ }Cov V p V p0 02⋅ = ~σ . (5.18)

Pe baza ecua¡iilor (5.16), (5.17) ¿i (5.18) se ob¡ine expresia varian¡ei erorilor de estimare care permite evaluarea ei pe baza modelului de covarian¡å :

~ ~ ~σ σR i j ijj

n

i

n

i ii

nw w c w c2 2

110

12= + ⋅ ⋅∑∑ − ⋅∑

== =

~ , (5.19)

în care: ~c este covarian¡a modelatå între punctele pi0 i în care se cunosc valorile

variabilei ¿i po în care se estimeazå valoarea variabilei, situate la distan¡a hio. 5.2.2. Kriging ordinar

Calculul ponderilor din combina¡ia liniarå (5.1) care asigurå estimarea nedeviatå ¿i minimizarea erorii de estimare poate fi realizat prin kriging ordinar (sta¡ionar), utilizând toate cele trei func¡ii de continuitate : covarian¡å, variogramå ¿i corelogramå. Ecua¡iile sistemului de kriging în func¡ie de covarian¡å. Calculul ponderilor acordate valorilor måsurate (wi) în estimarea prin kriging presupune asigurarea simultanå a estimårii nedeviate:

mR = 0 (5.20)

69

¿i a minimului varian¡ei erorii de estimare:

σ R imum2 −min . (5.21)

Minimizarea varian¡ei erorii de estimare nu se poate realiza prin simpla anulare a derivatelor par¡iale în raport cu ponderile wi, deoarece trebuie asiguratå ¿i respectarea condi¡iei din ecua¡ia (5.20). Asigurarea condi¡ionårii suplimentare din ecua¡ia (5.20) este realizatå prin utilizarea parametrului lui Lagrange care converte¿te problema minimizårii condi¡ionate într-o problemå de minimizare fårå condi¡ii. Minimizarea varian¡ei de estimare din expresia (5.19) cu condi¡ia de estimare nedeviatå din ecua¡ia (5.20) conduce prin egalarea cu zero a derivatelor par¡iale în raport cu necunoscutele (wi) la un sistem nedeterminat de (n+1) ecua¡ii cu n necunoscute. Pentru solu¡ionarea problemei se introduce o nouå necunoscutå în ecua¡ia (5.19) numitå parametrul lui Lagrange (µ):

~ ~ ~ ~σ σ µR i j ijj

n

i

n

i ii

n

ii

nw w c w c w2 2

110

1 12 2= + ⋅ ⋅∑∑ − ⋅∑ + ∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟== = =

1− . (5.22)

Cantitatea adaugatå, al patrulea termen al ecua¡iei, nu modificå ecua¡ia, el fiind nul prin chiar condi¡ia de estimare nedeviatå care se adaugå în acest mod minimizarii varian¡ei erorii de estimare. Ecua¡ia varian¡ei erorii de estimare în forma (5.22) este o ecua¡ie cu (n+1) necunoscute a cårei minimizare se realizeazå prin anularea celor (n+1) derivate par¡iale în raport cu w1,w2,...,wn,µ ecua¡ii ce constituie sistemul de kriging ordinar:

( )

( )

( )

∂ σ

∂

∂ σ

∂∂ σ

∂µ

~

~

~.

R

R

n

R

w

w

2

1

2

2

0

0

0

=

=

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

M

(5.23)

Calculul derivatei în raport cu w1, desfå¿urat separat pentru cei patru termeni ai varian¡ei erorii de estimare datå de ecua¡ia (5.22), conduce la urmåtoarele rezultate: - primul termen:

( )∂ σ

∂

~2

1

0w

= ; (5.24)

70

- al doilea termen:

∂

∂

∂

∂

w w c

w

w c w w c

w

w c w c w c

i j ijj

n

i

n

j jj

n

j jj

n

j jj

n

⋅ ⋅∑∑⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

+ ⋅∑⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

= + ⋅∑ = ⋅∑

== =

= =

~ ~ ~

~ ~ ~ ;

11

1

12

11 1 12

1

1 11 12

11

2

2 2 2

(5.25)

- al treilea termen:

∂

∂

22

01

110

w c

wc

i ii

n⋅∑⎛

⎝⎜⎞⎠⎟==

~~ ; (5.26)

- al patrulea termen:

∂ µ

∂µ

2 12

1

1

w

w

ii

n−∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

==

. (5.27)

Prin combinarea ecua¡iilor (5.24-5.27) se ob¡ine expresia pentru derivata în raport cu w1:

( )∂ σ

∂µ

~~ ~R

j ijj

n

ww c c

2

1 1102 2= ⋅ −∑ +

=2

n,

. (5.28)

Primele n derivate în raport cu wi (i=1,2,...,n) au forma generalå:

w c c ij ijj

n

i⋅∑ + = ∀ ==

~ ~ , , ,1

0 1 2µ K . (5.29)

Derivata în raport cu parametrul lui Lagrange, a (n+1) -a derivatå, are forma:

( )∂ σ

∂µ

∂ µ

∂µ

~R

ii

n

ii

nw

w2

1

1

2 12=

−∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=1 . (5.30)

71

Sistemul de kriging ordinar se ob¡ine prin anularea celor (n+1) derivate par¡iale date de ecua¡iile (5.29) ¿i (5.30) ¿i are forma:

( )

( )

( )

∂ σ

∂µ

∂ σ

∂µ

∂ σ

∂µ

~~ ~ ;

~~ ~ ;

~.

Ri i

i

n

R

ni ni

i

n

n

Ri

i

n

ww c c

ww c c

w

2

11

110

2

10

2

1

2 2 2

2 2 2

2 1 0

= ⋅∑ − + =

= ⋅∑ − + =

= ∑ − =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

=

=

=

M

0

0 . (5.31)

Prin separarea coeficien¡ilor cunoscu¡i ¿i a necunoscutelor, sistemul de kriging poate fi scris sub forma matricialå:

~ ~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

~

~

~

c c c

c c c

c c c

w

w

w

c

c

c

n

n

n n nn n n

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

10

20

0

1

1

1

1 1 1 0 1

L

L

M M M M

L

L

M M

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⋅

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥µ

. (5.32)

Dacå notåm cu C matricea coeficien¡ilor, cu W vectorul necunoscutelor ¿i cu D vectorul termenilor liberi, sistemul (5.32) poate fi scris sub forma:

C W D⋅ = , (5.33) a cårui solu¡ie este:

W C D= ⋅−1 . (5.34) Varian¡a erorii de estimare a variabilei în punctul po este mai micå decât varian¡a dispersiei totale a func¡iei aleatoare (σ2), acest lucru fiind determinat de existen¡a punctelor pi, în care cunoa¿tem valorile acesteia. Calculul valorii minime a varian¡ei erorii de estimare poate utiliza rela¡ia (5.22), dar pentru a gåsi o expresie în raport numai cu valorile måsurate se pleacå de la ecua¡ia (5.29), în care ambii membrii se multiplicå cu wi :

w w c w ci j ijj

n

i i⋅ +∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ⋅

=

~ µ1

0~ (5.35)

¿i se însumeazå pentru toate cele n puncte de observa¡ie, rezultând:

72

w w c w w cii

n

j ijj

n

ii

n

i ii

n

= = = =∑ ⋅ +∑ ⋅ =∑ ⋅∑

1 1 10

1

~ µ ~ , (5.36)

care sub forma:

w w c w ci j ijj

n

i

n

i ii

n

⋅ ⋅∑ =∑ ⋅ +∑== =

~ ~11

01

µ (5.37)

se înlocuie¿te în (5.22) ¿i se ob¡ine:

~ ~ ~σ σ µR i ii

n

w c2 20

1= − ⋅ +∑⎛⎝

⎜ ⎞⎠⎟

= , (5.38)

care în formå matricialå este:

~ ~σ σR w D2 2= − ⋅ . (5.39) Ecua¡iile sistemului de kriging în func¡ie de variogramå. ¥n acelea¿i ipoteze care au permis deducerea expresiei varian¡ei erorii de estimare (5.22), poate fi utilizatå ¿i variograma a cårei rela¡ie de defini¡ie corespunzåtoare rela¡iei de calcul din ecua¡ia (2.7) este:

( ) ( )( )γ ij i jE V p V p= −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

12

2

, (5.40)

care pentru evaluarea varian¡ei erorii de estimare poate fi scriså sub forma:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

γ

γ γ

ij i j

i j

i j

i j i j

E V p V p V p V p

E V p V p E V p V p

E V p V p V p V p

E V p V p V p V p

= − − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

= −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭+ −

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭−

− − −⎧⎨⎩⎫⎬⎭=

= + − − −⎧⎨⎩⎫⎬⎭

12

12

12

0 0

2

0

2

0

2

0 0

0 0 0 0~ ~ .

(5.41)

Varian¡a erorii de estimare în aceastå variantå este datå de rela¡ia:

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }

~

,

σR i

n

i i

n

ij

n

j i ji

n

E V p V p E w V p w V p

w w E V p V p V p V p

20 0

2

1 10

2

10 0

1

= −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭= ∑ ⋅ − ∑ ⋅⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

= ∑ ⋅ ⋅ − −∑

∗

==

(5.42)

în care, utilizând forma variogramei din ecua¡ia (5.41), se ob¡ine:

73

( ) ( )[ ]~ ~

~ ~

~ ~

σ γ

γ γ

γ γ

R ij

n

i

n

i j ij

n

i

n

i j jj

n

i

n

i j ijj

n

i

n

ij

n

ii

n

i ii

n

j

i

E V p V p w w

w w w w

w w w w w

w w

20 0

2

11

011

011

11 1 10

10

= −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭= − ⋅ ⋅∑∑ +

+ ⋅ ⋅∑∑ + ⋅ ⋅∑∑ =

= − ⋅ ⋅∑∑ + ∑ ∑ ⋅ + ∑ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

= − ⋅

∗

==

== ==

== = = =

j ijj

n

i

n

ii

n

iw⋅∑∑ + ∑ ⋅== =

~ ~ .γ γ11 1

02

~γ

j ij

(5.43)

Pentru minimizarea varian¡ei erorii de estimare, în condi¡ia de estimare nedeviatå (5.20), utilizând parametrul lui Lagrange (µ), rela¡ia corespunzåtoare ecua¡iei (5.22) scriså pentru variogramå este:

~ ~ ~σ γ γ µR i j ijj

n

i

n

ii

n

i ii

n

w w w w2

11 10

1

12

2 1= − ⋅ ⋅∑∑ + ∑ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − ∑ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟== = =

. (5.44)

Minimizarea varian¡ei erorii de estimare scriså sub forma (5.44) se realizeazå prin anularea derivatelor în raport cu cele (n+1) necunoscute: w1,w2,...,wn,µ. ¥n mod analog cu ecua¡iile (5.23-5.28) se ob¡in derivatele în raport cu ponderile w sub forma:

( )∂ σ∂

γ γ µ~

~ ~ , , ,R

ii ij

j

n

iww i

2

10

12

2 2 1 2= − ⋅∑ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − ∀ =

=K,n (5.45)

iar pentru derivata în raport cu µ :

( )∂ σ∂µ

~R

ii

n

w2

11= −∑ +

= . (5.46)

Sistemul de kriging în raport cu variograma se ob¡ine prin anularea celor (n+1) derivate par¡iale din ecua¡iile (5.45) ¿i (5.46) ¿i are forma:

w i

w

i ijj

n

i

ii

n

⋅∑ + = ∀ =

∑ =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

=

=

~ ~ , , ,

,

γ µ γ1

0

1

1 2

1

K n, (5.47)

care sub formå matricialå poate fi scris:

~ ~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

~

~

~

γ γ γγ γ γ

γ γ γµ

γγ

γ

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

10

20

0

1

1

1

1 1 1 0 1

L

L

M M M M

L

L

M M

n

n

n n nn n n

w

w

w

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

⋅

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

. (5.48)

74

Valoarea minimå a varian¡ei erorii de estimare în raport cu valorile måsurate este datå de rela¡ia:

~ ~σ γR i ii

n

w20

1= ⋅∑ +

=µ , (5.49)

deduså în mod analog cu rela¡ia (5.38). Ecua¡iile sistemului de kriging în func¡ie de corelogramå. ¥ntre corelogramå ¿i covarian¡å existå rela¡ia:

~~

~ρσij

ijc= 2 , (5.50)

care este valabilå pentru un model de func¡ie aleatoare în care toate variabilele aleatoare au aceea¿i medie ¿i aceea¿i dispersie. Valabilitatea acestei rela¡ii ne permite så scriem sistemul de kriging ¿i în raport cu corelograma. Dedus în mod analog cu sistemele (5.32) ¿i (5.48) sistemul poate fi scris:

w i

w

j ijj

n

i

ii

n

⋅∑ + = ∀ =

∑ =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

=

=

~ ~ , , ,ρ µ ρ1

0

1

1 2

1

K n, (5.51)

sau sub formå matricialå:

~ ~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

~

~

~

ρ ρ ρρ ρ ρ

ρ ρ ρµ

ρρ

ρ

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

10

20

0

1

1

1

1 1 1 0 1

L

L

M M M M

L

L

M M

n

n

n n nn n n

w

w

w

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

⋅

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

. (5.52)

¥n cazul utilizårii corelogramei varian¡a minimå a erorii de estimare se calculeazå cu rela¡ia:

~ ~ ~ ~σ σ σ ρ µR ii

n

w2 2 20

1= − ⋅∑ +i

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

= . (5.53)

5.2.3. Kriging universal

Toate sistemele de kriging prezentate pânå aici presupun pentru variabila studiatå un model de func¡ie aleatoare sta¡ionarå sau cvasi-sta¡ionarå în vecinåtatea punctului în care se face estimarea. Deseori, pentru anumite variabile, se identificå o tendin¡å zonalå (speran¡a matematicå nu este sta¡ionarå), iar informa¡iile disponibile nu sunt suficient de dense

75

pentru a lua în considerare vecinåtå¡i cvasi-sta¡ionare. Este cazul suprafe¡elor piezometrice ale acviferelor cu dinamicå activå în care este prezentå o tendin¡å regionalå (fig.5.7).

Fig. 5.7. Tendin¡a descendentå a suprafe¡ei piezometrice a unui acvifer freatic.

Aplicarea kriging-ului ordinar (sta¡ionar) în prezen¡a unei tendin¡e va conduce în mod sistematic la supraevaluåri ale variabilei studiate. Pentru eliminarea erorilor de estimare trebuie så se ¡inå seama de prezen¡a ¿i forma acestei tendin¡e . Kriging-ul universal (sau kriging-ul nedeviat de ordinul k) furnizeazå un estimator nedeviat ce ¡ine seama de prezen¡a tendin¡ei cu condi¡ia cunoa¿terii formei acesteia ¿i covarian¡ei sau variogramei modelului func¡iei aleatoare nesta¡ionare a variabilei. Forma tendin¡ei regionale. ¥n cazul unui model de func¡ie aleatoare nesta¡ionarå, prin defini¡ie, tendin¡a variabilei regionalizate este speran¡a matematicå nesta¡ionarå:

( ){ } ( )E V p m p= . (5.54)

Func¡ia aleatoare poate fi descompuså într-o tendin¡å (m(p)) ¿i un termen rezidual Y(p) sta¡ionar sau nesta¡ionar, dar cu speran¡a matematicå nulå:

( ) ( ) ( ) ( ){ }V p m p Y p cu E Y p= + = 0 . (5.55)

Tendin¡a m(p) reprezintå varia¡ia regulatå a func¡iei aleatoare la scara distribu¡iei punctelor de observa¡ie, iar reziduul (Y(p)) fluctua¡iile aleatoare, dar regionalizate, de o parte ¿i de alta a tendin¡ei(fig.5.8).

Fig. 5.8. Modelul func¡iei aleatoare nesta¡ionare.

76

Forma tendin¡ei este o combina¡ie linearå de K func¡ii cunoscute cu coeficien¡i necunoscu¡i de ecua¡ie:

( ) ( )m p a f pi ii

K= ⋅∑

=1 . (5.56)

Cel mai frecvent, pentru a ¡ine cont de prezen¡a derivei în vecinåtatea de estimare este suficientå adoptarea unei forme polinomiale limitate la gradul unu (derivå linearå):

( )m p a a p= + ⋅1 2 (5.57)

sau doi (derivå påtraticå):

( )m p a a p a p= + ⋅ + ⋅1 2 32 . (5.58)

Func¡ie de dimensiunea spa¡iului în care se face estimarea, deoarece p semnificå un punct din spa¡iu, forma tendin¡ei este diferitå: - dacå spa¡iul este unidimensional, dimensiunea fiind spre exemplu axa timpului t, formele tendin¡elor liniare ¿i påtratice sunt:

( )( )

m t a a t

m t a a t a t

= + ⋅= + ⋅ + ⋅

⎧⎨⎪

⎩⎪1 2

1 2 32

;

; (5.59)

- dacå spa¡iul este bidimensional, reprezentat într-un sistem de referin¡å de coordonate rectangulare x ¿i y formele celor douå tendin¡e sunt:

( )( )

m x y a a x a y

m x y a a x a y a x a x y a y

, ;

, ;

= + ⋅ + ⋅= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

⎧⎨⎪

⎩⎪1 2 3

1 2 3 42

5 62 (5.60)

- dacå spa¡iul este tridimensional, de coordonate x, y ¿i z, forma tendin¡elor este:

( )( )

m x y z a a x a y a z

m x y z a a x a y a z a x a y a z a x y a x z a y z

, , ;

, , .

= + ⋅ + ⋅ + ⋅= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⎧⎨⎪

⎩⎪1 2 3 4

1 2 3 4 52

62

72

8 9 10

(5.61)

¥n cazul spa¡iului tridimensional de obicei tendin¡a este mai sensibilå într-o anumitå direc¡ie, astfel încât forma ei analiticå se simplificå. Dacå tendin¡a se manifestå numai pe direc¡ia verticalå (z), variabila fiind sta¡ionarå în plan orizontal (xOy), tendin¡a påtraticå se reduce la forma:

( )m x y z a a z a z, , = + ⋅ + ⋅1 2 32 . (5.62)

77

Covarian¡a ¿i variograma func¡iei aleatoare nesta¡ionare. Pentru func¡ia aleatoare nesta¡ionarå cu structura din ecua¡ia (5.55) formulele covarian¡ei ¿i variogramei sunt:

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }C p p E V p V p m p m p E Y p Y p1 2 1 2 1 1 1 2, = ⋅ − ⋅ = ⋅ (5.63)

¿i:

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]

2 1 2 1 2 1 22

1 22

1 2 1 22

γ p p Var V p V p E V p V p

m p m p Var Y p Y p E Y p Y p

,

.

= − = −⎧⎨⎩⎫⎬⎭−

− − = − = −⎧⎨⎩⎫⎬⎭

(5.64)

Variograma din formula (5.64), adicå cea a reziduului real nu poate fi estimatå pornind de la datele originale în cazul prezen¡ei unei tendin¡e. Pentru calculul variogramei adevårate ar trebui estimatå simultan deriva ¿i variograma, plecând de la un singur set de date, problemå care nu are o solu¡ie riguroaså unicå. O metodå aproximativå pentru inferen¡a simultanå a tendin¡ei ¿i variogramei impune parcurgerea urmåtoarelor etape de prelucrare: - alegerea unui model de variogramå, de cele mai multe ori acesta fiind linear ¿i izotrop; - estimarea tendin¡ei în fiecare punct de observa¡ie (m(pi)) pe baza modelului de variogramå ales; - calculul variogramei reziduurilor experimentale; - compararea erorilor introduse de modelul de variogramå ales cu cele introdu-se de variograma calculatå pe baza reziduurilor experimentale; - adoptarea modelului de variogramå ales în cazul concordan¡ei erorilor intro-duse de cele douå variograme sau alegerea unui alt model de variogramå ¿i reluarea prelucrårii de la prima etapå. Experien¡a aratå cå în cea mai mare parte a cazurilor se poate adopta fie o variogramå cvasi-sta¡ionarå determinatå pe zone vecine ale zonei de estimare cu o corec¡ie de plafon, fie o variogramå linearå calculatå pe baza comportårii variogramei în vecinåtatea originii. Necunoa¿terea covarian¡ei sau variogramei adevårate face ca prin kriging universal så nu se poatå atinge valoarea minimå a varian¡ei erorii de estimare. Acest lucru poate fi neglijat uneori, deoarece în cazul prezen¡ei tendin¡ei nu ne intereseazå determinarea tendin¡ei ci minimizarea incertitudinii estimårii datoratå acesteia. Pe lângå tehnicile iterative utlizate pentru determinarea variogramei ¿i covariantei adevårate se utlizeazå pentru stabilirea sistemului de kriging universal covarian¡a generalizatå a cårei inferen¡å este posibilå pornind de la un set unic de date (P. Delfiner & Matheron,1980;). No¡iunea de covarian¡å generalizatå este legatå de func¡ia aleatoare intrinsecå de ordinul k, o generalizare pentru func¡ia aleatoare sta¡ionarå corespunzåtoare ordinului k=0. Trecerea de la func¡ia aleatoare sta¡ionarå utilizatå în cadrul kriging-ului punctual ordinar la func¡ia aleatoare intrinsecå de ordinul zero se face prin: - înlocuirea covarian¡ei c(h) prin variogramå γ(h). Se câ¿tigå în acest mod în generalitate, clasa variogramelor fiind mult mai extinså decât a covarian¡elor.

78

Variograma nefiind limitatå, ea permite descrierea variabilelor cu o dispersie teoretic nelimitatå. Astfel, suprafe¡ele piezometrice admit o variogramå linearå dar nu au covarian¡å sta¡ionarå. - utilizarea variogramei permite studiul variabilelor care nu au o speran¡å matematicå constantå, prin analiza cre¿terilor variabilei. Ecua¡iile sistemului pentru kriging universal. ¥n cazul kriging-ului universal, estimatorul variabilei într-un punct po este dat de expresia linearå:

V wii

n

01

∗ vi=

= ⋅∑ . (5.65)

Condi¡iile pe care trebuie så le respecte estimarea sunt acelea¿i ca ¿i în cazul kriging-ului ordinar (linearitate, estimare nedeviatå ¿i minimizarea varian¡ei erorii de estimare), adåugându-se condi¡ii suplimentare datorate prezen¡ei tendin¡ei. ¥n cazul prezen¡ei unei tendin¡e de forma (5.56) condi¡ia de estimare nedeviatå devine:

( ) ( )w a f p a f pii

n

l l il

k

l ll

k

= = =∑ ⋅∑ − ⋅∑ =

1 10

10 , (5.66)

din care, deoarece coeficien¡ii derivei sunt necunoscu¡i, trebuie ca:

( ) ( )w f p f pii

n

l i l=∑ ⋅ =

10 , (5.67)

pentru l luând valori de la 1 la K, K fiind gradul maxim al polinomului ce modeleazå tendin¡a. Variograma este legatå de varian¡a de estimare prin rela¡ia:

~ ~σ γR i ii

n

i j ij

n

i

n

w w w20

1 112= ⋅∑ − ⋅ ⋅∑∑

= ==

~γ j

n,

, (5.68)

astfel încât pentru minimizarea ei, în condi¡iile unei estimåri nedeviate, sistemul de kriging universal este:

( )( ) ( )

w f p i

w f p f p l k

j ijj

n

l l il

k

i

i l ii

n

l

⋅∑ + ⋅∑ = =

⋅∑ = =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

= =

=

~ , , ,

, , , ,

γ µ γ1 1

0

10

1 2

1 2

K

K (5.69)

sau sub formå matricialå, în cazul unei tendin¡e de forma (5.60) pentru un spa¡iu bidimensional:

79

~ ~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

~

~

~

γ γ γγ γ γ

γ γ γµµµ

γγ

γ

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

1 2

1 2

1

2

1

2

3

10

20

0

0

0

1

1

1

1 1 1 0 0 0

0 0 0

0 0 0

1

L

L

M M M M M M

L

L

L

L

M M

n

n

n n nn n n

n

n

n n

x y

x y

x y

x x x

y y y

w

w

w

x

y

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⋅

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

(5.70)

Rela¡ia de calcul pentru varian¡a erorii de estimare este:

( )~ ~σ γ µR i ii

n

j jj

k

w20

10

1= ⋅∑ + ⋅∑

= =f p

n

. (5.71)

De re¡inut cå pentru realizarea kriging-ului în prezen¡a unei tendin¡e regionale nu este necesar så se cunoascå coeficien¡ii func¡iei care o modeleazå, ci numai forma ei generalå. Dacå forma tendin¡ei este prost aleaså, varian¡a erorilor de estimare va fi mare chiar dacå termenii de ordin superior ai derivei au valori mici ¿i dacå intervalele de încredere al valorilor interpolate sunt în realitate mici. Eficien¡a programului pentru kriging-ul universal cre¿te dacå este prevåzutå posibilitatea utilizårii unor tendin¡e de forme cât mai complicate chiar dacå timpul de calcul este în acest fel prelungit. 5.2.4. Kriging cu date incerte

Pentru cele douå variante de estimare prin kriging (ordinar ¿i universal) s-a presupus cå toate valorile v(pi) (i=1,2,...,n) ale variabilei studiate sunt cunoscute fårå nici o incertitudine. ¥n realitate acest lucru este foarte rar ¿i de cele mai mai multe ori datele provin din surse diferite sau sunt determinate prin metode diferite. Analiza distribu¡iei parametrilor hidrogeologici ai unui acvifer este obligatå deseori så utilizeze valori ale conductivitå¡ii hidraulice determinate prin pompåri sau în laborator, ale grosimii acviferului determinate prin carotaj geofizic sau din carotajele mecanice. Studiile hidrochimice apeleazå la analize chimice realizate în laboratoare diferite sau prin metode diferite. Sunt doar câteva exemple în care gradul de încredere în valorile utilizate este diferit. Kriging-ul poate utiliza astfel de date ¿i ¡ine cont de erorile asociate fiecårei valori (εi) dacå : -erorile nu sunt sistematice:

{ }E iiε = =0 1 2, , ,K ; (5.72)

-erorile nu sunt corelate între ele:

{ }Cov i ji jε ε = ∀ ≠0 , ; (5.73)

80

-erorile nu sunt corelate cu mårimea valorilor måsurate:

( ){ }Cov V p i pi i i ; (5.74) ε , , ,= ∀0

n,

-erorile au o dispersie cunoscutå σi. Singura modificare în raport cu sistemele de kriging punctual ¿i universal este aceea cå ecua¡iile vor con¡ine pe diagonala principalå un termen suplimentar -σi

2. Pentru kriging-ul punctual ordinar în cazul datelor incerte sistemul va avea deci forma:

w w i

w

i ijj

n

i i i

ii

n

⋅∑ − ⋅ + = =

∑ =

⎧

⎨⎪

⎩⎪

=

=

~ ~ ~ , , ,γ σ µ γ1

20

1

1 2

1

K

(5.75)

sau matricial:

~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~

~

~

~

γ σ γ γ

γ γ σ γ

γ γ γ σ

µ

γ

γ

γ

11 12

12 1n

21 22 22

2

1 22

1

2

10

20

0

1

1

1

1 1 1 0 1

−

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⋅

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

L

L

M M M M

L

L

M M

n

n n nn n n n

w

w

w

. (5.76)

Este evident cå se pot utiliza simultan date certe ¿i incerte, pentru datele incerte dispersia fiind nulå, iar pentru cele incerte diferitå de zero. Erorile de måsurare pot afecta în mod uniform toate valorile disponibile, dispersia acestor erori fiind cuantificatå de efectul de pepitå al variogramei experimentale. Utilizarea modelelor de variogramå cu efect de pepitå ¡ine seama de erorile de måsurå fårå så introducå nici o modificare în forma generalå a ecua¡iilor sistemului de kriging. ¥n mod particular un sistem de kriging pentru care efectul de pepitå al modelului de variogramå utilizat este nul (datele fiind considerate certe) are pe diagonala principalå a matricii C din ecua¡ia (5.33) valori nule. Când efectul de pepitå este diferit de zero, valorile lui apar pe diagonala principalå a matricii C a sistemului de kriging. De re¡inut cå atunci când punctul în care se face estimarea este un punct de observa¡ie efectul de pepitå este zero. 5.2.5. Componentele sistemelor de kriging

¥n¡elegerea rolului matricilor C ¿i D ale sistemelor de kriging este determinantå în alegerea corectå a modelelor de covarian¡å sau variogramå, indispensabile estimårilor corecte.

81

Pentru mul¡i practicieni dezvoltårile matematice necesare stabilirii sistemelor de kriging par complicate ¿i nu reu¿esc så aducå o clarificare a rolului matricilor C ¿i D, motiv pentru care în continuare vom încerca o explica¡ie care så permitå formarea unei imagini intuitive a acestui rol. Existen¡a acestei în¡elegeri intuitive a rolului matricilor C ¿i D permite practicienilor realizarea unor ajuståri, care în ciuda aparentei lipse de rigoare teoreticå pot så îmbunåtå¡eascå metoda de estimare. Matricea C înregistreazå distan¡ele statistice dintre toate punctele de probare, furnizând sistemului de kriging informa¡ii în legåturå cu gruparea spa¡ialå a punctelor de probare. Dacå matricea de kriging (C) este construitå cu ajutorul covarian¡elor (5.32) pentru douå puncte de probare apropiate, valoarea în matrice va fi mare, iar pentru puncte îndepårtate valoarea va fi micå. ¥n acest mod matricea C permite eliminarea influen¡ei distan¡ei neuniforme dintre punctele de probare, asupra estimårilor. Prin intermediul covarian¡elor se realizeazå o ponderare similarå cu metoda declustering-ului poligonal sau celular. Spre deosebire de metodele de declustering, metoda covarian¡elor realizeazå o ponderare bazatå pe structura intrinsecå a variabilei ¿i nu pe o regulå arbitrarå, aleaså indiferent de variabila studiatå. Matricea D produce o ponderare a valorilor måsurate similarå cu cea produså de metoda inversului distan¡ei. Covarian¡ele din matricea D descresc propor¡ional cu cre¿terea distan¡ei dintre punctul în care se face estimarea (po) ¿i punctele de observa¡ie (pi; i=1,2,...,n). Spre deosebire de ponderarea din cadrul metodei inversului distan¡ei, în matricea D covarian¡ele se calculeazå în raport cu o distan¡a statisticå, func¡ia de covarian¡å fiind valabilå în medie pentru tot domeniul spa¡ial în care au fost måsurate valorile disponibile ale variabilei studiate. Multiplicarea C-1⋅D ajusteazå ponderile din D prin eliminarea redundan¡elor dintre punctele de måsurare, determinate de distribu¡ia lor neuniformå ¿i de tipul de continuitate spa¡ialå cuantificatå prin intermediul modelului de covarian¡å, variogramå sau corelogramå utilizat. Rezultå cå sistemul de kriging ia în considerare simultan : gruparea spa¡ialå a punctelor, decodificatå prin intermediul distan¡ei statistice ¿i tipul de continuitate relevat de setul de date disponibil ¿i concretizat în modelul de covarian¡å.

Fig. 5.9. Grosimea unui acvifer sub presiune în ¿ase piezometre.

82

Un exemplu de kriging ordinar. Aplicarea krigingului pentru estimarea grosimii stratului impermerabil din culcu¿ul unui acvifer freatic într-un punct po pentru configura¡ia din figura 5.9 a ¿ase puncte în care se cunosc grosimile acestuia, va clarifica toate aspectele opera¡ionale prezentate pânå la aceastå etapå. Valorile necesare realizårii estimårii sunt coordonatele celor ¿apte puncte ¿i valorile grosimilor måsurate în cele ¿ase puncte (tab.5.1).

Tabelul 5.1

Nr. crt.

x [Km]

y [Km]

z [Km]

1 4,00 6,00 32,00 2 5,00 2,00 40,00 3 2,00 3,00 40,00 4 2,00 5,00 38,00 5 6,00 2,00 52,00 6 1,00 1,00 25,00 p 4,00 4,00 ?

Realizarea estimårii prin kriging presupune adoptarea unui model de continuitate spa¡ialå a variabilei estimate care în cazul exemplului va fi variograma sfericå:

( ) [ )~ ,γ hh h

h= ⋅ − ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈10

3

2 6

1

2 60,6

3

3 , (5.77)

cu o razå de influen¡å r=6km, valabilå în toate direc¡iile. Aplica¡ia presupune deci o structurå spa¡ialå izotropå. Utilizând modelul din ecua¡ia (5.77) ¿i distan¡ele dintre cele 7 puncte, se construiesc matricile componente ale sistemului de forma (5.48) valabil în cazul kriging-ului punctual ordinar: -matricea C:

C =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

10,000 0,434 1 058 3 739 0,161 0,000 1 000

0,434 10,000 1778 0,327 7 040 0,434 1 000

1 058 1778 10,000 4 320 0,434 3 739 1 000

3 739 0,327 4 320 10,000 0,000 0,434 1 000

0,161 7 040 0,434 0,000 10,000 0,000 1 000

0,000 0,434 0,000 0,434 0,000 10,000 1 000

1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 0,000

, , ,

, ,

, , , , ,

, ,

, ,

,

, , , , , ,

,

, (5.78)

83

-matricea D:

D

po

po

po

po

po

po

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

~

~

~

~

~

~

,

,

,

,

,

,

γ

γ

γ

γ

γ

γ

1

2

3

4

5

6

1

4 320

3 739

3 739

3 739

2 420

0,327

1 000

. (5.79)

Prin inversarea matricii C ¿i multiplicarea cu matricea D se ob¡in ponderile acordate fiecårui punct de observa¡ie ¿i parametrul lui Lagrange:

w

w

w

w

w

w

w

C D=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

= ⋅ =

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

−

1

2

3

4

5

6

1

0,352

0,309

0,262

0,133

0,018

0,074

0,108µ

(5.80)

Valoarea estimatå în punctul po se calculeazå cu rela¡ia:

v w v

m

p i ii

01

60 352 32 0 309 40 00 0 262 40 00 0 133 38 00

0 018 52 0 0 074 25 00 38 20

∗

== ⋅∑ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

+ ⋅ − ⋅ =

, , , , , , ,

, , , , ,

+

,

.

(5.81)

iar valoarea minimå a varian¡ei erorii de estimare cu:

~ , , , , , ,

, , , , , , , ,

σ γ µR i ii

nw

m

Po

2

1

2

0 352 4 320 0 309 3 739 0 262 3 739

0 133 3 739 0 018 2 420 0 074 0 327 0 108 5 94

= ⋅∑ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ − ⋅ − == (5.82)

5.2.6. Efectul parametrilor modelului

Utilizarea în mod tradi¡ional a variogramei pentru cuantificarea continuitå¡ii variabilelor este argumentul pentru care în acest capitol vor fi fåcute referiri la efectul parametrilor modelului de variogramå asupra rezultatelor estimårilor prin kriging.

84

Analiza ce va fi realizatå (pe câteva exemple concrete) este o argumentare a faptului cå alegerea unui model de variogramå este dificilå chiar în cazul unei re¡ele de probare regulate ¿i cå de ea depinde în mod esen¡ial precizia estimårilor. Variograma nu då informa¡ii asupra continuitå¡ii, decât pentru distan¡e mai mari decât distan¡a minimå dintre punctele de probare iar determinarea corectå a efectului de pepitå ¿i comportamentului din vecinåtatea originii necesitå måsuråtori multiple pe acelea¿i loca¡ii. Deoarece de cele mai multe ori nu se dispune de måsuratori multiple efectul de pepitå ¿i tipul de model în vecinåtatea originii, cu efect maxim asupra estimårilor, depinde în mare parte de experien¡a practicianului. Efectul de pepitå. Valoarea mare a efectului de pepitå afecteazå în mod negativ atât valoarea estimatå prin kriging, cât ¿i varian¡a erorii de estimare: -valoarea estimatå tinde spre media aritmeticå a valorilor måsurate aflate în vecinåtatea punctului de estimare prin egalizarea ponderilor wi; -varian¡a erorii de estimare, ¿i implicit intervalul de încredere pentru valoarea estimatå, cresc. ¥n tabelul 5.2 sunt prezentate rezultatele estimårii prin kriging ordinar în punctul po (fig.5.9) utilizându-se modele de variogramå sfericå cu raza de influen¡å r=6km care diferå doar prin efectul de pepitå (co). ¥n ecua¡ia (5.83) sunt particularizate modelele cu efectele de pepitå co=0 ¿i co=5.

( ) [ )

( ) ( )

γ

γ

1

3

3

2

3

3

1032 6

12 6

0 6

10 60 0

5 532 6

12 6

0 6

10 6

hh h

pentru h

pentru h

h

pentru h

h hpentru h

pentru h

= ⋅ − ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈

>

⎧

⎨⎪

⎩⎪

=

=

+ ⋅ − ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈

≥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

, ,

, ;, ;

, ,

, .

;

;

(5.83)

Tabelul 5.2

Rolul efectului de pepitå în kriging

Nr. Coordonate Distan¡å Efect de pepitå(Co) crt. x y vi (di) 0 5 10 20 60

[Km] [Km] [m] Ponderile (wi ) 1 1 1 25 4,25 - 0,027 0,019 0,058 0,113 0,136 2 2 3 40 2,24 0,260 0,194 0,180 0,169 0,167 3 2 5 38 2,24 0,130 0,175 0,180 0,177 0,173 4 4 6 32 2,00 0,348 0,277 0,248 0,208 0,190 5 6 2 52 2,83 0,038 0,124 0,141 0,157 0,162 6 5 2 40 2,24 0,301 0,211 0,193 0,176 0,172 p0 4 4 ? 0,00 Rezultatele estimårii v*(p0)[m] 38,6 38,6 38,5 38,2 38,6 ( )~σR p0 2,19 3,31 4,20 6,36 8,69

( )~σR p20 4,80 11,00 17,00 40,50 68,14

85

Din analiza valorilor sintetizate în tabelul 5.2 rezultå cå o datå cu cre¿terea efectului de pepitå de la co=0 la co=60: -amplitudinea poderilor (wi) se reduce de la A0=(0,301+0,077)=0,378 corespunzåtoare efectului de pepitå co=0 la A60=(0,190-0,136)=0,054 corespunzåtoare efectului de pepitå co=60, adicå o egalare a ponderilor acordate valorilor måsurate, indiferent de distan¡a la punctul estimat, ceea ce conduce la o valoare estimatå v*(po) egalå cu media aritmeticå a valorilor måsurate; -varian¡a erorilor de estimare cre¿te de la 4,80m2 la 68,14m2, care reprezintå dispersia celor ¿ase valori, determinând o reducere la zero a contribu¡iei corela¡iei spa¡iale dintre valorile måsurate la cre¿terea preciziei de estimare (W*D=0 în ecua¡ia 5.40). Efectul de scarå. Sub numele de efect de scarå se în¡elege efectul modificårii valorii de plafon a variogramei asupra rezultatelor estimårilor prin kriging. Pentru acela¿i amplasament al valorilor din figura 5.9 este evaluatå prin kriging grosimea acviferului în po utilizând douå variograme de tip sferic care diferå doar prin valoarea palierului:

( )

( )[ )

γ

γ

1

3

3

2

3

3

103

2 6

1

2 6

202

3 6

1

2 6

0,6

hh h

hh h

h

= ⋅ − ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= ⋅ − ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

∈, . (5.84)

Tabelul 5.3 Efectul de scarå în kriging

Nr. Coordonate Distan¡å Palier(C(o)) crt. x y vi (di) 0 10

[Km] [Km] [m] Ponderile (wi ) 1 1 1 25 4,25 - 0,027 - 0,027 2 2 3 40 2,24 0,260 2,560 3 2 5 38 2,24 0,130 0,130 4 4 6 32 2,00 0,348 0,348 5 6 2 52 2,83 0,038 0,038 6 5 2 40 2,24 0,301 0,301 p0 4 4 ? 0,00 Rezultatele estimårii v*(p0)[m] 38,6 38,6 ( )~σR p0 2,19 3,10

( )~σR p20 4,80 9,60

Rezultatele estimårii sunt sintetizate în tabelul 5.3 din analiza cåruia rezultå cå: -valoarile estimate cu cele douå modele sunt identice ¿i egale cu 38,6m; -varina¡a erorii de estimare este propor¡ionalå cu valoarea plafonului, raportul varian¡ei erorilor de estimare este egal cu raportul valorilor plafoanelor celor douå modele (9,60/4,80=20/10).

86

Din punct de vedere opera¡ional modelele de variogramå cu valori ale plafonului mari conduc la sisteme de kriging fårå solu¡ie numericå. Pentru realizarea estimårii se utilizeazå un model de variogramå de acela¿i tip, dar cu un plafon redus, operându-se dupå rezolvarea sitemului de kriging doar o amplificare a varian¡ei erorii de estimare (σR

2) cu factorul de reducere a plafonului, valoarea estimatå (v*(po)) nefiind afectatå de modificarea plafonului. Efectul de formå. Forma variogramei, adicå modelul analitic ales, influen¡eazå atât valoarea estimatå cât ¿i varian¡a erorii de estimare. Pentru exemplificare în tabelul 5.4 sunt prezentate rezultatele estimårii prin kriging ob¡inute cu douå modele de variogramå care au acela¿i plafon (c(0)=10) aceea¿i razå (r=6km) unul fiind de tip gaussian (5.85) ¿i celalalt de tip sferic (5.86).

( ) [ )γ h EXPh

h= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

∈10 16

0,62

, (5.85)

( ) [ )γ hh h

h= ⋅ − ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ∈10

3

2 6

1

2 60,6

3

3, (5.86)

Tabelul 5.4

Efectul de formå în kriging

Coordonate Model de variogramå Nr. x y vi Distan¡å Sferic Gaussian crt. [Km] [Km] [m] (di) Ponderi (wi ) 1 1 1 25 4,24 0,077 0,260 2 2 3 40 2,24 0,260 0,505 3 2 5 38 2,24 0,130 0,100 4 4 6 32 2,00 0,348 0,499 5 6 2 52 2,83 0,038 0,229 6 5 2 40 2,24 0,301 0,586 p0 4 4 ? 0,00 Rezultatele estimårii z*(p0)[m] 38,6 37,40 ( )σR p0 2,19 1,17

( )σR p20 4,80 1,36

Cu modelul gaussian, care indicå o foarte bunå continuitate a grosimii acviferului, ponderile acordate valorilor din p2, p4 ¿i p6, cele mai apropiate de punctul po sunt cele mai mari. Valorile p1, p3 ¿i p5 au ponderi foarte mici, negative chiar, ele fiind ecranate datoritå modelului ales. Aceastå ecranare este evidentå pentru valoarea måsuratå în punctul p3, care este ecranatå de p2 ¿i p4 ¿i cea din punctul p5 care este ecranatå de valoarea din punctul p6.

87

Gradul de ecranare depinde de gradul de continuitate al modelului ales. Utilizarea modelului sferic atenueazå ecranårile ¿i din cele trei valori ecranate numai cea din p1 care este cea mai depårtatå (d1=4,24km) mai are pondere negativå. Chiar cu modele lineare de variogramå care indicå o continuitate mai slabå în vecinåtatea originii decât cele sferice este posibil så se ob¡inå ecranåri ale unor valori (= valori negative ale ponderilor). Metodele de estimare spa¡ialå, de tipul triangula¡iei, inversului distan¡ei, suprafe¡elor de tendin¡å polinomiale, nu conduc la ponderi negative. Avantajul metodelor care utilizeazå ponderi pozitive ¿i negative, cu sumå unitarå, este cå prin estimare pot conduce la valori mai mari sau mai mici decât cea mai mare, respectiv cea mai micå valoare måsuratå. Toate metodele de interpolare care utilizeazå ponderi exclusiv pozitive conduc la valori cuprinse între valoarea minimå ¿i maximå a e¿antionului de date disponibil. Dezavantajul metodelor care opereazå cu ponderi negative ¿i pozitive este cå pot conduce la valori estimate negative atunci când o valoare mare este asociatå cu o pondere negativå mare. ¥n hidrologie ¿i hidrogeologie se opereazå în general cu parametri pozitivi: cota nivelului piezometric, grosimea acviferului, porozitatea, transmisivitatea, concentra¡ia poluantului, debitul unei surse, etc. Pentru astfel de variabile, când estimarea prin kriging conduce la valori negative este perfect justificat ca valoarea negativå så fie înlocuitå cu valoarea zero. Pentru evitarea efectelor de ecranare, chiar în seturile de date cu o foarte bunå continuitate se preferå excluderea modelelor gaussiane ¿i parabolice chiar dacå variograma experimentalå le recomandå. Efectul de razå. Modificarea razei modelului de variogramå are o influen¡å relativ micå asupra ponderilor acordate valorilor måsurate . Chiar dacå este reduså, aceastå influen¡å se resimte atât asupra valorii estimate, cât ¿i asupra varian¡ei erorii de estimare. Cre¿terea razei de influen¡å are ca efect apropierea statisticå a punctelor de observa¡ie. Dacå raza de influen¡å devine mai micå decât distan¡a minimå dintre punctul de estimare ¿i punctele de observa¡ie, toate punctele sunt din punct de vedere statistic egal depårtate de punctul de estimare ¿i vor primi ponderi egale în sistemul de kriging. Valoarea estimatå în acest caz va fi egalå cu media aritmeticå a valorilor din vecinåtatea punctului po.

¥n tabelul 5.5 sunt prezentate rezultatele estimårii grosimii acviferului în po pentru trei modele sferice de variogramå care nu diferå decât prin raza de influen¡å. Este evidentå: -diferen¡ierea ponderilor o datå cu cre¿terea razei de influen¡å. Pentru o razå de influen¡å r=0,1km, cu mult sub distan¡a minimå dintre punctul de estimare (po) ¿i punctele de observa¡ie, ponderile sunt egale (0,167), valoarea estimatå fiind egalå cu media aritmeticå a celor ¿ase valori måsurate (37,83m); -reducerea varian¡ei erorii de estimare o datå cu cre¿terea razei de influen¡å. De re¡inut cå pentru distan¡e mai mari ca raza de influen¡å a variogramei corela¡ia spa¡ialå dintre valori nu mai contribuie la reducerea varian¡ei erorii de estimare. Utilizarea în calcule a valorilor plasate la distan¡e mai mari decât raza de influen¡å a variogramei nu amelioreazå rezultatul estimårilor, dar nici nu-i afecteazå precizia.

88

Pentru reducerea efortului de calcul ¿i dimensionarea lui corespunzåtor unei precizii maxime este necesarå o anumitå strategie a selectårii punctelor de calcul ce va fi prezentatå în paragraful urmåtor.

Tabelul 5.5 Efectul de razå în kriging

Coordonate Raza [Km]

Nr. x y vi Distan¡å 0,1 6 15 crt. [Km] [Km] [m] (di) Ponderile (wi ) 1 1 1 25 4,24 0,167 0,077 0,057 2 2 3 40 2,24 0,167 0,260 0,237 3 2 5 38 2,24 0,167 0,130 0,134 4 4 6 32 2,00 0,167 0,348 0,366 5 6 2 52 2,83 0,167 0,038 0,069 6 5 2 40 2,24 0,167 0,301 0,281 p0 4 4 ? 0,00 Rezultatele estimårii z*(p0)[m] 37,83 38,60 38,70 ( )σR p0 3,42 2,19 1,35

( )σR p20 11,70 4,80 1,81

Efectul de anizotropie. ¥n toate exemplele prezentate au fost utilizate modele de variogramå izotrope care ignorå rolul direc¡iei în studiul continuitå¡ii. Harta conturalå a unor astfel de modele este formatå din cercuri concentrice spre deosebire de modelele anizotrope care au o hartå conturalå de tipul celei din figura 4.7. Utilizând un model de variogramå anizotrop de tip geometric (acela¿i model ¿i palier în toate direc¡iile ¿i raze diferite; fig.4.19.a) cu direc¡iile de anizotropie N60°E (continuitate maximå) ¿i N30°V(continuitate minimå) razele de influen¡å r1=15km, respectiv r2=5km estimårile din po conduc la rezultatele din tabelul 5.6.

Tabelul 5.6 Efectul de anizotropie in kriging

Coordonate N 600E N 300V N 600E N 300V

Nr. x y vi Distan¡å Raza de influen¡å crt. [Km] [Km] [m] (di) 15 5 15 15

Ponderile (wi ) 1 1 1 25 4,24 0,015 - 0,057 2 2 3 40 2,24 0,638 0,237 3 2 5 38 2,24 - 0,046 0,134 4 4 6 32 2,00 0,236 0,366 5 6 2 52 2,83 - 0,008 0,069 6 5 2 40 2,24 0,165 0,281 p0 4 4 ? 0,00 Rezultatele estimårii z*(p0)[m] 37,9 38,7 ( )σR p0 1,87 1,35

( )σR p20 3,50 1,81

89

¥n tabelul 5.6 sunt prezentate rezulatele ob¡inute cu modelul sferic izotrop cu o razå r=15km ¿i cu model sferic anizotrop care eviden¡iazå cre¿terea considerabilå a ponderilor valorilor plasate pe direc¡ia de continuitate maximå ¿i reducerea celor plasate pe direc¡ia de continuitate reduså. Valorile din punctele p3 ¿i p5 sunt puternic ecranate fiind plasate pe direc¡ia de continuitate minimå ¿i având în cazul modelului anizotrop ponderi negative, în timp ce ponderea valorii din punctul p2 plasat pe direc¡ia continuitate maximå are o cre¿tere spectaculoaså a ponderii de la 0,237 în cazul modelului izotrop la 0,638 în cazul modelului anizotrop utilizat. 5.2.7. Selectarea valorilor utilizate

Strategia de selectare a valorilor care sunt incluse în procedura de estimare a variabilei v din punctul po trebuie så råspundå la minimum patru întrebåri: - dacå în vecinåtatea punctului po sunt suficiente puncte de observa¡ie; - dacå în vecinåtatea punctului po sunt prea multe puncte de observa¡ie; - dacå în vecinåtatea punctului po sunt valori redundante; - dacå în vecinåtatea punctului po sunt valori relevante. Primele trei sunt importante în mod deosebit pentru metodele de estimare de tipul kriging-ului, care pot utiliza un numår nelimitat de valori. Pentru limitarea efortului de calcul fårå o diminuare a preciziei estimårii strategia obi¿nuitå este de a utiliza toate valorile plasate într-o anumitå fereastrå de selec¡ie. Fereastra de selec¡ie. Forma ferestrei de selec¡ie este în general o elipså centratå pe punctul po. Orientarea elipsei este determinatå de direc¡iile de anizotropie, semiaxa mare fiind paralelå cu direc¡ia de continuitate maximå (fig.5.10,a). Dacå anizotropia nu este evidentå, elipsa se transformå în cerc, orientarea axelor este nerelevantå (fig.5.10,b).

Fig. 5.10. Forma ferestrei de estimare.

90

Dimensiunea minimå a ferestrei de selec¡ie se alege în a¿a fel încât så cuprindå suficiente valori pentru a permite o estimare satisfåcåtoare ¿i depinde în mod evident de geometria punctelor de observa¡ie. Dacå punctele sunt amplasate într-o re¡ea rectangularå se poate calcula func¡ie de parametrii re¡elei cât de mare trebuie så fie elipsa ca så includå cel putin patru puncte. Pentru o re¡ea neregulatå semiaxa mare a elipsei (R) trebuie så fie mai mare decât distan¡a medie dinte punctele de probare, valoarea ei putând så fie aproximatå cu formula:

RAria totalå a rafetei probate

Numårul de puncte de probare≅

sup . (5.87)

Dimensiunea maximå a elipsei de cåutare este determinatå de volumul de calcul implicat de numårul de valori utilizate (dimensiunea matricii C) ¿i domeniul spa¡ial pe care poate fi consideratå satisfåcåtoare sta¡ionaritatea variabilei studiate. Reducerea volumului de calcule care este propor¡ional cu cubul numårului de valori individuale, se poate realiza, fårå reducerea numårului de puncte utilizate prin combinarea valorilor brute dupå diferite scheme.

Fig. 5.11. Combinarea valorilor brute pentru reducerea volumului de calcule.

¥n figura 5.11 este prezentatå o metodå de combinare a valorilor brute. Punctul po (în care se face estimarea) este încadrat într-un påtrat central care så cuprindå un numår rezonabil de puncte ce vor fi considerate individual în calcul, iar cele din sectoarele

91

deschise se cumuleazå în patru valori compuse v1, v2, v3, v4. Ponderea acordatå valorii compuse poate fi distribuitå în mod egal valorilor din care aceasta este compuså. Modelarea variabilitå¡ii prin intermediul func¡iilor aleatoare impune limitarea dimensiunii ferestrei de selec¡ie pe domenii în care comportarea variabilei poate fi consideratå sta¡ionarå. O datå cu restrângerea ferestrei de selec¡ie, sta¡ionaritatea devine mai plauzibilå iar diferen¡a dintre proprietå¡ile statistice ale selec¡iei ¿i cele ale modelului mai micå. O concep¡ie gre¿itå, frecvent întâlnitå în selectarea punctelor de calcul, este limitarea semiaxei mari a elipsei la raza variogramei. Experien¡a aratå cå dacå sunt pu¡ine valori în zona razei de influen¡å a variogramei, utilizarea valorilor suplimentare aflate în afara acesteia deseori îmbunåtå¡e¿te precizia de estimare. Redundan¡a valorilor selectate. Eliminarea punctelor redundante din interiorul ferestrei de selec¡ie se face în mod obi¿nuit prin împår¡irea acesteia în 4, 8 sau 16 sectoare ¿i limitarea numårului de puncte utilizate din fiecare sector. ¥n acest mod se reduce efectul grupårii neuniforme a punctelor de probare. Numårul de sectoare în care se împarte fereastra de selec¡ie este determinatå de densitatea punctelor de observa¡ie ¿i este evident cå la o densitate micå a punctelor de observa¡ie se alege un numår redus de sectoare.

Fig. 5.12. Selectarea sectorizatå a valorilor.

Cazul prezentat în figura 5.12 este al unei ferestre de selec¡ie rectangulare separatå în patru sectoare, din fiecare sector selectându-se douå puncte. Selec¡ia punctelor din fiecare sector s-a operat în cazul prezentat pe baza distan¡ei dintre punctul de observa¡ie ¿i cel de estimare (po). ¥n figura 5.12,a sunt desenate toate punctele din fereastra de selec¡ie ¿i prin cercuri sunt marcate cele douå puncte din fiecare sector care sunt selectate ¿i re¡inute (fig.5.12,b). Problema redundan¡ei punctelor selectate este solu¡ionatå în mod optim pentru kriging prin intermediul matricii C, dacå modelul de continuitate (covarian¡a, variograma sau corelograma) este bine ales. Efectul aplicårii selec¡iei sectorizate în acest caz este nul. Tehnica sectorizarii ferestrei de selec¡ie este recomandatå pentru metodele de estimare care nu utilizeazå matrici declusterizante în eliminarea efectului grupårii punctelor de observa¡ie (ex.: metoda inversului distan¡ei) sau în cazul kriging-ului, când pe baza datelor disponibile modelul de continuitate nu poate fi bine precizat.

92

Relevan¡a valorilor selectate. Valorile utilizate în estimårile punctuale sunt relevante dacå ele apar¡in aceleia¿i popula¡ii statistice în care este încadrat ¿i punctul estimat. Din nefericire, chiar dacå separarea popula¡iilor statistice se face minu¡ios utilizând analiza dispersionalå sau analiza discriminant (D.Scrådeanu,1995), acest lucru nu poate fi verificat. De cele mai multe ori sunt necesare ¿i decizii subiective care beneficiazå de informa¡ii cu caracter calitativ iar obiectivul studiului contribuie ¿i el la separarea popula¡iilor.

Fig. 5.13. Selectarea valorilor relevante.

Figura 5.13 prezintå o re¡ea de monitoring pentru calitatea apelor acviferului freatic din terasa unui curs de apå. ¥n punctul po se inten¡ioneazå estimarea con¡inutului de azota¡i proveni¡i din utilizarea îngrå¿åmintelor chimice. ºinând seama de combinatul de îngrå¿åminte chimice plasat la nord de punctul po ¿i de direc¡iile de curgere din acvifer, punctele 9, 10 ¿i 11 din imediata vecinåtate a acestuia vor trebui excluse, ele nefiind relevate pentru con¡inutul de azota¡i proveniti din utilizarea îngrå¿åmintelor. Este evident cå relevan¡a valorilor din punctele 9, 10 ¿i 11 este maximå dacå se urmåre¿te evaluarea în punctul po a influen¡ei combinatului chimic asupra calitå¡ii apei acviferului. Alegerea corectå a punctelor relevante pentru estimare poate fi mai importantå decât alegerea metodei de estimare. Definirea domeniilor spa¡iale în conexiune cu relevan¡a valorilor este obligatoriu så fie primul pas în realizarea oricårei estimåri spa¡iale.

93

Practica frecventå a utilizårii aceleia¿i metode de selectare a valorilor pentru întreaga suprafa¡å studiatå nu este întotdeauna cea mai bunå. Ceea ce este corect într-o anumitå zonå poate fi incorect pentru alta, iar adaptarea tehnicilor de selec¡ie configura¡iei particulare a structurilor studiate solicitå programe automate cu un grad sporit de interactivitate. Alegerea metodelor de estimare, cât ¿i selectarea punctelor utilizate în estimare trebuie så se bazeze pe o analizå detaliatå a datelor disponibile. Ignorarea relevan¡ei valorilor pentru obiectivele estimårii ¿i a redundan¡ei introduse de distribu¡ia lor nereglatå afecteazå în mod diferen¡iat precizia estimårii ¿i pierderea controlului acesteia. Kriging-ul, care utilizeazå în procesul de estimare toate valorile måsurate, este afectat în mod deosebit de ignorarea redundan¡ei ¿i relevan¡ei valorilor selec¡iei. Lipsa acestei analize afecteazå mai pu¡in metodele care utilizeazå un numår limitat de puncte ¿i modele mai simple de estimare cum ar fi metoda triangula¡iei sau metoda poligonalå motiv pentru care acestea sunt preferate pentru estimåri preliminare.

5.3. ESTIMARE ZONALÅ PRIN KRIGING Kriging-ul punctual este o metodå performantå ¿i pentru estimarea valorii medii a unei variabile într-un domeniu spa¡ial bidimensional sau tridimensional limitat de un contur oarecare (fig.5.1). Fårå a introduce o modificare opera¡ionalå esen¡ialå kriging-ul punctual permite calculul valorii medii prin discretizarea domeniului spa¡ial ¿i medierea valorilor estimate în punctele de discretizare. De¿i conceptual simplå, aceastå metodå devine costisitoare prin volumul mare de calcule pe care îl implicå. Pentru reducerea volumului de calcule, fårå reducerea performan¡ei estimårii, kriging-ul zonal opereazå numai modificarea matricii D a sistemului de kriging punctual(rel.5.33). 5.3.1. Ecua¡iile sistemului de kriging zonal

Realizând estimarea în acelea¿i condi¡ii cu ale kriging-ului punctual ordinar ¿i universal (estimare linearå nedeviatå cu varian¡å minimå a erorilor de estimare), kriging-ul zonal presupune rezolvarea unui sistem similar cu cel din ecua¡ia (5.32) scris în raport cu modelul de covarian¡å, în care se modificå doar matricea D. Matricea C constituitå din valorile covarian¡ei variabilei v, calculatå între punctele de observa¡ie, este în mod evident independentå de punctul sau zona în care se face estimarea. Ea va råmâne nemodificatå în cazul sistemului de kriging zonal, având acela¿i rol de eliminare a efectului grupårii neregulate a punctelor de observa¡ie.

94

Matricea D este constituitå din covarian¡ele valorilor variabilelor aleatoare de pe pozi¡ia punctelor de probare (p1,p2,...,p9; fig.5.14) ¿i cea din pozi¡iile pe care se realizeazå estimarea (A1,A2,...,A6; fig.5.14). Pentru estimarea punctualå aceste covarian¡e sunt calculate doar între douå puncte iar pentru estimarea zonalå covarian¡ele se calculeazå între punctele de måsurå (p1,p2,...,p9; fig.5.14) ¿i zona pe care se estimeazå valoarea medie (suprafa¡a A, ha¿uratå în fig.5.14).

Fig. 5.14. Kriging zonal.

Covarian¡a punct-zonå (coviA) este evaluatå tot pe baza unui model de covarian¡å calat pe covarian¡a experimentalå cu rela¡ia:

{ } { } { } { }

{ } { } { } { }

{ }

~c Cov V V E V V E V E V En

V V

En

V E Vn

E V Vn

E V E V

nCov V V

iA A i A i A iA

j ij

Aj

ji

Aj i

j Aj i

j

Aj i

j

j A

j A j A j A

j A

= = − ⋅ = ∑⎧⎨⎩

⎫⎬⎭−

− ∑⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= ∑ − ⋅∑ =

= ∑

∈

∈ ∈ ∈

∈

1

1 1 1

1

(5.88)

95

Covarian¡a între variabila aleatoare de pe pozi¡ia pi (Vi) ¿i cea reprezentând valoarea medie a variabilei pe suprafa¡a A este conform ecua¡iei (5.88) o medie a covarian¡elor dintre variabila Vi ¿i cele din toate punctele de discretizarea (nA) ale supra¡etei A (VA1,...). Sistemul de kriging zonal, scris func¡ie de covarian¡å, ¿i ob¡inut prin minimizarea varian¡ei erorii de estimare este:

( )( )

( )

~ ~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

~c c c

c c c

c c c

w

w

w

nc c c

nc c c

nc c c

n

n n nn n

A

A

A A A

A

A A A

A

nA nA nA

nA

nA

nA

11 12 1n

21 22 2

1 2

1

2

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

1

1

1

1 1 1 0

1

1

1

1

L

L

M M M M

L

L

L

L

M

L

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⋅

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

+ + +

+ + +

+ + +

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

µ

c

c

c

A

A

nA

1

2

1

~

~M

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

(5.89)

Solu¡ia sistemului de kriging zonal constå din valorile ponderilor medii wi , acordate

fiecårei valori måsurate pentru calculul valorii medii pe suprafa¡a A cu rela¡ia:

v wA ii

n∗

== ⋅∑

1vi (5.90)

¿i a parametrului lui Lagrange care minimizeazå varian¡a erorii de estimare calculatå cu rela¡ia:

~ ~ ~σ A AA i iAi

n

Ac w c2

1= − ⋅∑ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=

µ , (5.91)

în care ~cAA este covarian¡a medie a suprafe¡ei A ob¡inutå cu rela¡ia:

~cn

cAAA

ijj

n

i

n

j A

A

i A

A

= ∑∑∈∈

12

~ . (5.92)

Valoarea medie a covarian¡ei suprafe¡ei A se calculeazå prin discretizarea suprafe¡ei A prin acelea¿i puncte utilizate la calculul covarian¡elor componente ale matricii D (c1A,c2A,...,cnA). 5.3.2. Precizia kriging-ului zonal

Precizia evaluårii valorii medii pentru o suprafa¡å aleaså (A) este determinatå de numårul de puncte de discretizare (nA) ¿i geometria amplasårii acestora. Numårul punctelor de discretizare (Ai, i=1,2,...,nA) este propor¡ional cu precizia de estimare a kriging-ului zonal. Densitatea optimå a punctelor de discretizare se ob¡ine

96

experimental ¿i este cea de la care valoarea estimatå se stabilizeazå. Experien¡a aratå cå numårul maxim de puncte de discretizare necesare pe unitatea de suprafa¡å este de 16 (fig.5.15). Geometria optimå a punctelor de discretizare este determinatå de caracterul izotrop sau anizotrop al structurii spa¡iale.

Fig. 5.15. Influen¡a numårului de puncte de discretizare în kriging-ul zonal.

Pentru structurile izotrope (fig.5.16,a) re¡eaua de discretizare nu are o orientare preferen¡ialå ¿i pentru eficien¡a prelucrårii ea se orienteazå paralel cu axele de coordonate ale sistemului în care se amplaseazå punctele de observa¡ie. Re¡eaua de discretizare este påtraticå în acest caz.

97

Fig. 5.16. Re¡eaua de discretizare pentru kriging zonal: a - diagramele radiare ale variogramelor; b - geometria punctelor de discretizare.

Pentru structurile anizotrope (fig.5.16,b) re¡eaua de discretizare se orienteazå paralel cu direc¡iile de anizotropie rezultate din diagrama radiarå a variogramei, iar distan¡a dintre punctele de discretizare este mai micå pe direc¡ia de continuitate minimå ¿i mai mare pe direc¡ia de continuitate maximå (fig.5.16.b). Controlul preciziei de estimare a kriging-ului zonal prin alegerea numårului de puncte de discretizare ¿i a amplasårii lor presupune experien¡a de prelucrare ¿i un soft interactiv. 5.3.3. Particularitå¡i opera¡ionale

Avantajul utilizårii kriging-ului zonal este cel al ob¡inerii valorii medii pe suprafa¡a A din rezolvarea unui singur sistem (5.89). Complica¡ia introduså de utilizarea sistemului (5.89) în raport cu cea a sistemului (5.33) este doar cea a calculului covarian¡elor medii (5.88). Acest calcul suplimentar este mai pu¡in consumator de timp în raport cu rezolvarea unui numår de sisteme de tip (5.33) egal cu numårul punctelor de discretizare. Posibilitatea utilizårii kriging-ului punctual ¿i zonal pentru ob¡inerea aceleia¿i valori medii pentru o suprafa¡å oarecare se bazeazå pe urmåtoarele proprietå¡i rezultate din caracterul linear al metodei de prelucrare:

98

- media valorilor estimate prin kriging punctual (utilizând sistemul (5.33) în cele nA puncte de discretizare) este egalå cu valoarea medie obtinutå prin kriging zonal (utilizând sistemul 5.89) pe baza acelora¿i puncte de discretizare; - media ponderilor (wi) acordate unui punct de probare în raport cu punctele de discretizare este egalå cu ponderea zonalå a punctului de probare în raport cu întreaga zonå evaluatå ( wi ).

Compatibilitatea evaluårii zonale ¿i punctuale este valabilå numai pentru kriging, alte metode nu pot fi adaptate în aceea¿i manierå. Spre exemplu utilizarea metodei inversului distan¡ei în aceea¿i manierå pentru estimårile zonale nu conduce la acelea¿i rezultate.

Fig. 5.17. Metoda inversului distan¡ei pentru evaluare punctualå ¿i zonalå.

¥n figura 5.17, pe suprafa¡a A sunt amplasate douå puncte de discretizare A1 ¿i A2 utilizate pentru estimarea valorii medii vA, pe baza valorilor måsurate v1,v2,v3 ¿i v4. Calculul valorilor punctuale în Ai (i=1,2) se face cu rela¡ia:

v

v

d

v

d

v

d

v

d

d d d d

Ai

A vp

A vp

A vp

A vp

A vp

A vp

A vp

A vp

i i i

i i i

∗ =

+ + +

+ + +

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3

1 1 1 1i

i

4

4

, (5.93)

în care: vi sunt valorile måsurate (i=1,2,3,4); -distan¡a dintre punctul AdA vi i i ¿i punctul în care se måsoarå vi;

p - numår real pozitiv care frecvent are valoarea 2 în metoda inversului distan¡ei (dacå valorile lui p sunt subunitare, ponderile acordate valorilor måsurate se egalizeazå, iar dacå p are valori supraunitare ponderile se diferen¡iazå, crescând cea a valorilor din vecinåtatea punctului de estimare).

99

Dacå se estimeazå valoarea medie pe suprafa¡a A ca o medie aritmeticå a valorilor estimate în cele douå puncte de discretizare (A1 ¿i A2), aceasta va fi diferitå de cea calculatå cu rela¡ia:

v

vd

vd

vd

vd

d d d d

Av Ap

v Ap

v Ap

v Ap

v Ap

v Ap

v Ap

v Ap

∗ =

+ + +

+ + +

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3

1 1 1 14

4

, (5.94)

în care d este distan¡a medie dintre valoarea vv A1 i ¿i suprafa¡a A calculatå cu

rela¡ia:

( )d d d iv A A v A vi i i= + =

12

1 2 3 41 2

; , , , . (5.95)

Este evident cå :

( )12 1 2v v vA A

∗ ∗+ ≠ A∗ (5.96)

¿i deci metoda inversului distan¡ei nu are proprietå¡ile kriging-ului în raport cu estimårile punctuale ¿i zonale. Un exemplu de kriging zonal. Estimarea zonalå prin kriging este exemplificatå pentru evaluarea grosimii acviferului sub presiune interceptat de cele ¿ase piezometre din figura 5.9.

100

Fig. 5.18. Calculul valorii medii pe suprafa¡a A prin kriging zonal.

101

Estimarea valorii medii pe suprafa¡a A (fig.5.18) este realizatå pe baza a patru puncte de discretizare (A1,A2,A3,A4) în douå variante: - media valorilor estimate prin kriging punctual în cele patru puncte de discretizare (prin rezolvarea a patru sisteme de kriging punctual; rel.5.32); - estimarea prin kriging zonal (prin rezolvarea unui singur sistem de kriging zonal; rel.5.89).

Tabelul 5.7 Ponderile în kriging-ul punctual ¿i zonal

Pct. Ponderile obs. kriging punctual (wi ) kriging zonal vi

A1 A2 A3 A4 (wi ) p1 -0,154 -0,241 -0,196 -0,260 -0,213 25 p2 0,848 0,654 0,524 0,505 0,633 40 p3 -0,105 0,189 -0,151 -0,100 -0,042 38 p4 0,129 0,257 0,220 0,499 0,276 32 p5 -0,390 -0,228 -0,417 -0,229 -0,316 52 p6 0,672 0,369 1,020 0,585 0,662 40

¥n tabelul 5.7 sunt sintetizate ponderile (wi) acordate valorilor måsurate în cele douå variante: kriging punctual ¿i kriging zonal. Modelul de variogramå utilizat este de tip gaussian izotrop cu palierul co=10 ¿i raza r=6km (rel.5.85). Figura 5.18 prezintå pozi¡ia punctelor de observa¡ie ¿i ponderile asociate fiecåruia în raport cu punctele de discretizare. Ponderile, scrise în paranteze, precum ¿i valorile estimate verificå proprietå¡ile particulare ale kriging-ului zonal: -media ponderilor acordate valorii vi måsuratå în punctul pi (i=1,2,...,6) în kriging-ul punctual pentru calculul valorilor din A1,A2,A3,A4 este egalå cu ponderea acordatå în raport cu suprafa¡a A în kriging-ul zonal. Pentru i=3, adicå pentru punctul p3 se ob¡ine:

( )− + − − = −0 105 0 189 0 151 0 100 4 0 042, , , , , ; (5.97)

-media valorilor calculate prin kriging punctual în punctele A1,A2,A3,A4 este egalå cu valoarea calculatå prin kriging zonal:

( )37 601 38 102 36 136 37 521 4 37 273, , , , ,+ + + = m . (5.98)

102

6. ESTIMARE SPAºIALÅ MULTIVARIATÅ (COKRIGING)

Estimårile spa¡iale realizate prin kriging utilizeazå numai valorile unei variabile måsurate în punctele de probare. De cele mai multe ori, în sta¡iile de observa¡ie ale re¡elelor de monitoring, se determinå mai multe variabile, a cåror structuri spa¡iale se coreleazå. Este u¿or de intuit cå utilizarea acestor corela¡ii pot fi utilizate pentru reducerea varian¡ei erorilor de estimare. Procedeul de estimare multivariatå, care este cunoscut sub denumirea de cokriging presupune separarea variabilelor måsurate în douå categorii: - variabila principalå (v) a cårei estimare spa¡ialå se urmåre¿te; - variabilele secundare (s,u,...) care sunt utilizate pentru estimarea variabilei principale (v). Utilizarea cokriging-ului este recomandatå atunci când variabila principalå este probatå în pu¡ine puncte de observa¡ie ¿i când între variabilele secundare, probate într-o re¡ea mai denså, ¿i variabila principalå este o bunå cortela¡ie spa¡ialå. Astfel de situa¡ii sunt determinate de costul ridicat al determinårilor pentru anumite variabile (pesticidele).

6.1. COKRIGING PUNCTUAL Estimarea prin cokriging se bazeazå pe combina¡ia linearå a valorilor måsurate ale variabilei principale ¿i ale variabilelor secundare de forma:

v a v bi ii

n

j jj

m

01 1

∗

= == ∑ + ∑ u

−

, (6.1)

în care se utilizeazå o singurå variabilå secundarå pentru simplificarea nota¡iilor, a cåror semnifica¡ie este: vo

* este valoarea estimatå a variabilei v în punctul po; ai,bj -ponderile acordate valorilor måsurate pentru cele douå variabile; n -numårul de valori måsurate pentru variabila v; m -numårul de valori måsurate pentru variabila u. Dezvoltarea sistemului de cokriging este identicå cu cea a sistemului de kriging. Se define¿te eroarea de estimare sub forma:

R V V a V b U Vi ii

n

j jj

m= − = ∑ + ∑∗

= =0 0

1 10 , (6.2)

în care: V1,...,Vn sunt variabilele aleatoare reprezentând func¡ia aleatoare V în cele n puncte de måsurå ale variabilei principale v; U1,...,Um - variabilele aleatoare reprezentând func¡ia aleatoare U în cele m puncte de måsurå ale variabilei secundare u;

102

Sub formå matricialå, ecua¡ia (6.2) are forma:

R w Zt= ⋅ , (6.3) în care:

( )w a a a b b btn= 1 2 1 2, , , , , , ,L L m (6.4)

¿i:

( )Z V V V U U U Vtn= 1 2 1 2 0, , , , , , , ,L L m . (6.5)

Ecua¡ia (6.1) este o combina¡ie linearå de (n+m+1) variabile aleatoare V1,V2,...,Vn,U1,...,Um,Vo ¿i deci varian¡a erorii de estimare pe baza modelului de covarian¡å este datå de rela¡ia:

{ }Var R w C wtz= , (6.6)

în care CZ este matricea de covarian¡å a vectorului Z. Prin dezvoltarea ¿i simplificarea ecua¡iei (6.6) în condi¡iile unei singure variabile secundare, conform ecua¡iei (6.1) se ob¡ine:

{ } { } { }

{ } { } { } { }

Var R w C w a a Cov V V b b Cov U U

a b Cov V U a Cov V V b Cov U V Cov V V

tz i j i j

j

n

i

n

i j i jj

m

i

m

i j i jj

m

i

n

i ii

n

j ji

m

= = ∑∑ + ∑∑ +

+ ∑∑ − −∑ +∑

== ==

== = =

11 11

110

10

10 02 2 2 ,

0

(6.7)

în care: Cov{ViVj} este autocovarian¡a variabilei principale; Cov{UiUj} - autocovarian¡a variabilei secundare; Cov{ViUj} -intercovarian¡a variabilelor v ¿i u. Asigurarea estimårii nedeviate prin cokriging este realizatå prin anularea speran¡ei matematice a erorii de estimare:

{ } { }

{ } { } { } { } { }

E V V E a V b U E V

a E V b E U E V E V a E U b

i ii

n

j jj

m

i ii

n

j jj

m

ii

n

jj

m

0 01 1

0

1 10

1 11 0

∗

= =

= = = =

− = ∑ + ∑⎧⎨⎩

⎫⎬⎭− =

= ∑ + ∑ − = ∑ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

∑ = .

(6.8)

Din ecua¡ia (6.8) rezultå cå pentru asigurarea estimårii nedeviate existå mai multe variante, una dintre ele fiind:

a ¿i bii

n

jj

m

= =∑ = ∑ =

1 11 . (6.9)

103

Pentru minimizarea varian¡ei erorii de estimare din expresia (6.7) în condi¡iile impuse de estimarea nedeviatå sub forma ecua¡iilor (6.9) utilizându-se metoda multiplicatorului lui Lagrange se ob¡ine expresia:

{ }Var R w C w a btz i

i

n

jj

m= + −∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ∑

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= =

2 1 211

21

µ µ . (6.10)

Pentru minimizarea varian¡ei din expresia (6.10) se calculeazå derivatele în raport cu cele n+m+2 necunoscute (a1,...,an,b1,...,bn,µ1,µ2):

{ }( ) { } { }{ }

{ }( ) { } { }{ }

{ }( )

{ }( )

∂∂

µ

∂∂

µ

∂∂µ

∂∂µ

Var Ra

a Cov V V b Cov U V

Cov V V pentru j n

Var Rb

a Cov V U b Cov U U

Cov V U pentru j n

Var Ra

Var Rb

ji i j

i

n

i i ji

m

j

ji i j

i

n

i i ji

m

j

ii

n

ii

m

= ∑ + ∑ −

− + =

= ∑ + ∑ −

− + =

= ∑ −

= ∑

= =

= =

=

=

2 2

2 2 1 2

2 2

2 2 1 2

2 1

2

1 1

0 1

1 1

0 2

1 1

2 1

, ,

, ,

.

L

L

, ,

, , (6.11)

Sistemul de cokriging se ob¡ine prin egalarea celor (n+m+2) ecua¡ii cu zero ¿i are forma:

104

{ } { } { }

{ } { } { }

a Cov V V b Cov U V Cov V V pentru j n

a Cov V U b Cov U U Cov V U pentru j n

a

b

i i ji

n

i i ji

m

j

i i ji

n

i i ji

m

j

ii

m

ii

m

= =

= =

=

=

∑ + ∑ + = =

∑ + ∑ + = =

∑ =

∑ =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

1 11 0

1 12 0

1

1

1

1

1

0

µ

µ

, ,

, ,

L

L

,

,

(6.12)

Sub formå matricialå sistemul are forma:

~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~

c c c c c c

c c c c c c

c c c c c c

c c c c c c

c c

v v v v v v v u v u v u

v v v v v v v u v u v u

v v v v v v v u v u v u

u v u v u v u u u u u u

u v u v

n m

n m

n n n n n n n m

n m

1 1 1 2 1 1 1 1 2 1

2 1 2 2 2 2 1 2 2 2

1 2 1 2

1 1 1 2 1 1 1 1 2 1

2 1 2 2

1 0

1 0

1 0

0 1

L L

L L

M M M M M M M M

L L

L L

L ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~

c c c c

c c c c c c

a

a

a

b

b

b

u v u u u u u u

u v u v u v u u u u u u

n

m

n m

m m m n m m m m

2 2 1 2 2 2

1 2 1 2

0 1

0 1

1 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 0 0

1

2

1

2

1

2

L

M M M M M M M M

L L

L L

L L

M

M

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⋅

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

µµ

~

~

~

~

~

~

c

c

c

c

c

c

v v

v v

v v

v u

v u

v u

n

m

0 1

0 2

0

0 1

0 2

0

1

0

M

M

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

. (6.13)

Valoarea minimå a varian¡ei se calculeazå utilizând în ecua¡ia (6.7) condi¡iile de estimare nedeviatå (6.9) ¿i are forma:

{ } { } { } { }Var R Cov V V a Cov V V b Cov U Vii

n

i jj

m

j= + − ∑ − ∑= =

0 0 11

01

0µ . (6.14)

Sistemul de cokriging (6.12) poate fi scris ¿i în raport cu variograma, utilizatå în mod frecvent pentru analiza continuitå¡ii ¿i anizotropiei. Convertirea sistemului de cokriging de la covarian¡å la variogramå, similarå cu cea a sistemului de kriging, ¡ine seama de rela¡ia:

( ) ( ) ( )c h hvu vu vu= ∞ −γ γ (6.15)

¿i sub forma matricialå este:

105

~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~

γ γ γ γ

γ γ γ γγ γ γ γ

γ γ γ γ

v v v v v u v u

v v v v v u v u

u v u v u u u u

u v u v u u u u

n m

n n n n n m

n m

m m n m m m

1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

1 0

1 0

0 1

0 1

1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0

L L

M M M M M M

L L

L L

M M M M M M

L L

L L

L L

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⋅

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

a

a

b

b

n

m

v v

v v

v u

v u

n

m

1

1

1

2

0 1

0

0 1

0

1

0

M

M

M

M

µµ

γ

γγ

γ

~

~

~

~

. (6.16)

Singura condi¡ie ca sistemul de cokriging så aibå solu¡ie este ca modelul de covarian¡å sau variograma sa fie pozitiv definit. Utilizarea cokriging-ului pentru estimårile punctuale aduce un plus de precizie dacå variabila principalå este determinatå în mai pu¡ine puncte decât variabilele secundare ¿i corela¡ia spa¡ialå dintre acestea este puternicå. Dacå variabila principalå ¿i cele secundare sunt determinate împreunå în majoritatea punctelor de observa¡ie, iar modelele de continuitate (covarian¡å sau variogramå) sunt propor¡ionale cu acela¿i model, precizia estimårii prin cokriging este identicå cu cea a kriging-ului. Aceea¿i concluzie este valabilå ¿i în situa¡ia în care numårul de valori pentru variabila principalå este mult mai mic decât cel pentru variabilele secundare, dar modelele de continuitate sunt similare. Un exemplu de cokriging punctual. Pentru clarificarea componentelor sistemului de cokriging se considerå distribu¡ia a cinci piezometre (fig.6.1) în care sunt determinate grosimile unui acvifer (v) ¿i ale stratului impermeabil din culcu¿ (u) (tab.6.1).

Tabelul 6.1 Date pentru cokriging

Coordonate Grosimea Grosimea

Nr. crt.

Punct observa¡ie

x [Km]

y [Km]

acviferului (v) [m]

culcu¿ului (n) [m]

1 p1 3 5 10 2,1 2 p2 6 5 12 2,1 3 p3 6 2 - 2,4 4 p4 4 1 14 2,2 5 p5 2 3 - 2,3 6 p6 4 3 ? -

Cre¿terea preciziei de estimare a grosimii acviferului în punctul po poate fi realizatå prin cokriging utilizând toate cele 8 valori de grosime. ¥n aceastå situa¡ie variabila principalå este grosimea acviferului (v) iar variabila secundarå este grosimea stratului impermeabil din culcu¿ul acviferului(u).

106

Fig. 6.1. Un exemplu de cokriging punctual.

Modelele de continuitate izotrope ob¡inute din variogramele experimentale indicå : -continuitate foarte bunå pentru grosimea culcu¿ului impermeabil al acviferului cuantificatå în modelul gaussian:

( )~γ u h EXPh

= − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

8 16

2

2 ; (6.17)

-continuitate medie pentru grosimea acviferului, cu modelul sferic:

( )~γ v hh h

= ⋅ − ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟10

3

2 6

1

2 6

3

3 ; (6.18)

-corela¡ie spa¡ialå medie între grosimea acviferului ¿i a culcu¿ului impermeabil, cu modelul linear:

( )~γ vu h = +635

h . (6.19)

Tabelul 6.2

Elemente de calcul pentru cokriging

Nr. crt.

Perechi de variabile

h [Km]

gv gn gvn

1 v1v1 0,000 0,000 - - 2 v1v2 3,000 6,875 - - 3 v1v4 4,123 8,685 - - 4 u1u1 0,000 - 0,000 - 5 u1u2 3,000 - 1,769 - 6 u1u3 4,242 - 3,148 - 7 u1u4 4,123 - 3,011 - 8 u1u5 2,236 - 1,037 -

107

9 v1u1 0,000 - - 6,000 10 v1u1 3,000 - - 8,250 11 v1u1 4,242 - - 9,182 12 v1u1 4,123 - - 9,042 13 v1u1 2,236 - - 7,677 14 v2u1 3,000 - - 8,250 15 v2u1 0,000 - - 6,000 16 v2u1 3,000 - - 8,250 17 v2u1 4,472 - - 9,354 18 v2u1 4,472 - - 9,354 19 v4u1 4,123 - - 3,092 20 v4u1 4,472 - - 3,354 21 v4u1 2,236 - - 7,677 22 v4u1 0,000 - - 6,000 23 v4u1 2,828 - - 8,121 24 v0v1 2,236 5,331 - - 25 v0v2 2,828 9,847 - - 26 v0v3 2,236 4,815 - -

Pentru construirea sistemului de cokriging conform ecua¡iei (6.16), pe baza modelelor de continuitate din ecua¡iile (6.18-6.20) sunt calculate valorile autovariogramelor ¿i intervariogramelor pentru toate combina¡iile necesare (tab.6.2). Sistemul de cokriging corespunzåtor are forma:

0 000 6 875 8 685 6 000 8 250 9 182 9 092 7 677 1 0

6 875 0 000 9 110 8 250 6 000 8 250 9 354 9 354 1 0

6 685 9 110 0 000 9 092 9 354 7 677 6 000 8 121 1 0

6 000 8 250 9 092 0 000 1769 3 148 3 011 1 037 0 1

8 250 6 000 9 354 1769 0 000 1769 3 409 3 409 0 1

9 182 8 250 7 677 3 148 1769 0 000 1 037 3 012 0 1

9 042 9 354 6 000 3 012 3 409 1

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

,

,

,

,

,

,

,

,

037 0 000 1 594 0 1

7 677 9 354 8 121 1 037 3 409 3 012 1 594 0 000 0 1

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

5 331

6 547

4 815

1 037

1 594

1 037

0 841

0 841

1

0

1

2

4

1

2

3

4

5

1

2

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⋅

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

a

a

a

b

b

b

b

b

µµ

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

(6.20)

Prin rezolvarea sistemului (6.20) se ob¡in ponderile acordate fiecårei valori måsurate (tab.6.3) ¿i parametrii lui Lagrange: µ1=-14,209 µ2=-12,399.

Tabelul 6.3

Rezultatele cokriging-ului

Nr. crt.

Punct observa¡ie

Valoarea måsuratå [m]

Ponderea ai ; bi

1 v1 10 3,636 2 v2 12 - 4,012

108

3 v3 14 1,376 4 v1 2,1 - 27,670 5 v2 2,1 12,788 6 v3 2,4 4,016 7 v4 2,2 - 17,389 8 v5 2,3 28,254

Valoarea estimatå în punctul po prin cokriging este :

−, (6.21)

iar varian¡a erorii de estimare:

(6.22)

6.2. COKRIGING ZONAL

oarecare,

¡elelor de discretizare påtratice fårå a avea o reducere a preciziei e estimare (fig.6.2).

v

m0 3 636 10 4 012 12 1 376 14 27 670 2 1 12788 2 1 4 016 2 4

17 389 2 2 28 254 2 3 12 59

∗ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅− ⋅ + ⋅ =

, , , , , , , ,

, , , , , ,

σ ck m48 65= , . 2 2

Estimarea valorii medii a unei variabile principale pe o suprafa¡å de formåutilizând cokriging-ul are aceea¿i fundamentare teoreticå cu kriging-ul zonal. Prima opera¡iune este cea de discretizare a suprafe¡ei de calcul cu o re¡ea rectangularå de puncte amplasate func¡ie de gradul de anizotropie al variabilelor principale ¿i secundare. Dacå variabilele utilizate au direc¡iile de anizotropie diferite, orientarea axelor sistemului de discretizare se face paralel cu axele de anizotropie ale variabilei principale. Pentru evitarea complica¡iilor introduse de exis¡enta anizotropiei se preferå utilizarea red

Fig. 6.2. Cokriging zonal.

A doua opera¡iune, cea de estimare a valorii medii se poate realiza în douå variante:

109

- estimarea prin cokriging punctual a valorilor din nodurile re¡elei de discretizare cu nA sisteme de forma (6.13) (nA-numårul de puncte de discretizare a suprafe¡ei A) ¿i medierea lor aritmeticå; - realizarea unui sistem unic, de tipul sistemului pentru kriging zonal (5.89), prin calculul covarian¡elor medii asociate fiecårui punct de observa¡ie ¿i fiecårei combina¡ii de variabile în raport cu suprafa¡a de calcul. Calculul covarian¡elor medii (sau variogramelor medii) în raport cu suprafa¡a de calcul pentru fiecare punct de observa¡ie se realizeazå cu rela¡ia (5.88), iar sistemul de cokriging zonal are forma (6.13) în care matricea termenilor liberi este:

[ ]D c c c c ctAv Av Av Au Aun m

= ~ ~ ~ ~ ~1 2 1

1 0L L . (6.23)

Valoarea medie a variabilei v pe suprafa¡a A, estimatå în ambele variante conduce ¿i în cazul cokriging-ului la acela¿i rezultat.

110

7. INCERTITUDINEA ESTIMÅRILOR

Cre¿terea încrederii în valorile estimate prin kriging sau cokriging se realizeazå prin asocierea acestora cu eroarea posibilå, determinatå de: datele primare utilizate, modelulul de estimare ¿i riscul erorii de estimare asumat. Cuantificarea acestei erori trebuie så ¡inå seamå de factorii care o determinå ¿i de modalitatea de cuantificare utilizatå.

7.1. FACTORII CARE DETERMINÅ INCERTITUDINEA Principalii factori care influen¡eazå mårimea erorii de estimare sunt: numårul valorilor utilizate pentru estimare, dispozi¡ia punctelor de observa¡ie din vecinåtatea ariei de estimare, natura variabilitå¡ii (modelul de variogramå) caracteristicii studiate ¿i suportul estimårii. La nivel calitativ este evident cå eroarea de estimare într-un punct p (fig.7.1) va fi maximå în cazul utilizårii unei singure valori (fig.7.1,a), reduså în cazul utilizårii a patru valori grupate, spre exemplu, în NV-ul punctului p (fig.7.1,b) ¿i minimå în cazul plasårii punctului p în centrul unui cerc pe circumferin¡a cåruia sunt plasate cele patru valori (fig.7.1,c).

Fig. 7.1. Efectul numårului ¿i distribu¡iei punctelor asupra erorii de estimare.

Natura variabilitå¡ii caracteristicii studiate este un factor de mare complexitate. Dacå se opereazå cu variabile cu o bunå continuiate ¿i variabilitate reduså, estimårile sunt afectate de erori mici. Trebuie înså avut în vedere cå natura variabilitå¡ii se poate modifica de la o zonå la alta a suprafe¡ei cercetate. ¥n practicå, deseori se utilizeazå acela¿i model de variogramå pentru întreaga suprafa¡å cercetatå, ceea ce în cazul neomeogenitå¡ii strucuturale este neadecvat. Chiar dacå modelul de variabilitate se påstreazå, multe categorii de date hidrologice ¿i hidrogeologice prezintå efectul de propor¡ionalitate (corela¡ia dintre varian¡å ¿i valoarea caracteristicii) care afecteazå ¿i el semnificativ eroarea de estimare.

110

Asocia¡i ¿i cu efectul suportului de estimare care implicå o tratare detaliatå, to¡i ace¿ti factori interac¡ioneazå într-un mod complex care trebuie analizat pentru fiecare estimare în parte, situa¡iile fiind diversificate: - pentru variabile cu o bunå continuitate ¿i variabilitate reduså este preferabil unui numår mare de valori plasate la mare distan¡å de punctul de estimare, un numår redus de valori måsurate în imediata vecinåtate a acestuia; - pentru variabile cu continuitate reduså ¿i variabilitate accentuatå este preferabil så se dispunå de mai multe valori måsurate, plasate la distan¡å mare de punctul de estimare; - pentru variabile cu o bunå continuitate ¿i variabilitate reduså valorile måsurate pe loca¡ii apropiate sunt redundante în timp ce pentru variabilele cu variabilitate accentuatå acelea¿i valori pot så nu fie redundante. Toate aceste considera¡ii de naturå calitativå trebuiesc avute în vedere la utilizarea diferitelor instrumente de cuantificare a erorilor de estimare. 7.1.1. Suportul estimårii

Influen¡a dimensiunii suportului estimårii este propor¡ionalå cu diferen¡a dintre volumul spa¡ial asociat valorilor måsurate ¿i volumul spa¡ial asociat valorii estimate. Eliminarea totalå a efectului dimensiunii suportului valorilor måsurate asupra estimårilor, presupune egalitatea dintre dimensiunea suportului acestora ¿i suportul estimårilor. ¥n cazul în care valorile måsurate au suport punctual (ex.:sarcina piezometricå måsuratå în forajele hidrogeologice), iar estimårile sunt punctuale, influen¡a suportului este nulå. Efectul suportului intervine semnificativ când pe baza unor valori punctuale (ex.:valori ale proprietå¡ilor fizico-chimice determinate în probe prelevate din foraje) se estimeazå valoarea medie pe o suprafatå (ex.: delimitarea zonei cu anumite caracteristici chimice maximale admise de STAS-ul de potabilitate). Situa¡ii similare apar atunci când pe baza parametrilor hidrogeologici (transmisivitate, difuzivitate hidraulicå etc.) determina¡i prin teståri hidrodinamice se ini¡ializeazå parametric modelele de simulare numericå a dinamicii acviferelor; în aceste situa¡ii suportul asociat valorilor parametrilor determina¡i este aria de influen¡å a pompårilor executate, diferitå de suprafa¡a elementelor utilizate pentru discretizarea acviferului modelat. Eliminarea erorilor introduse de diferen¡a dintre suportul valorilor måsurate ¿i cel al estimårilor presupune adoptarea unei func¡ii care så exprime efectul dimensiunii suportului asupra distribu¡iei valorilor estimate. Alegerea acestei func¡ii se face ¡inând seama de particularitå¡ile structurii variabilei studiate. Dacå de cele mai multe ori valorile måsurate sunt asociate unor suporturi punctuale, în estimare, pentru cre¿terea reprezentativitå¡ii evaluårilor ¿i reducerea volumului de calcule se recurge la suporturi areale. Cre¿terea dimensiunii suportului valorilor utilizate în estimårile topo-probabiliste are ca rezultat: men¡inerea valorii medii a selec¡iei de date primare, reducerea amplitudinii selec¡ie de valori utilizate pentru estimare prin reducerea valorii maxime ¿i cre¿terea valorii minime, reducerea dispersiei, reducerea asimetriei (diferen¡a dinte medie ¿i medianå).

111

Reducerea dispersiei ¿i asimetriei depinde de gradul de continuitate ¿i particularitå¡ile structurale ale variabilelor: - pentru variabile cu structurare spa¡ialå slabå (variogramå efect de pepitå total; fig.7.2,a), cre¿terea suportului conduce rapid la o reducere a asimetriei (fig.7.2,b ¿i c);

Fig. 7.2. Efectul cre¿terii suportului asupra distribu¡iei valorilor necorelate spa¡ial: a - variograma valorilor

punctuale; b - histograma valorilor punctuale; c - histograma valorilor medii pe blocuri de 10x10.

- pentru variabile cu o structurare spa¡ialå bunå (fig.7.3,a) efectul cre¿terii suportului asupra dispersiei ¿i asimetriei este redus (fig.7.3,b ¿i c).

Fig. 7.3. Efectul cre¿terii suportului asupra distribu¡iei valorilor corelate spa¡ial: a - variograma valorilor punctuale; b - histograma valorilor punctuale; c - histograma valorilor medii pe blocuri de 10x10.

Variograma este un instrument de mare eficien¡å în evaluarea efectului dimensiunii suportului, singura informa¡ie care scapå variogramei fiind cea a modului de corelare a valorilor extreme, cu influen¡å semnificativå înså asupra modificårii gradului de simetrie al distribu¡iei.

112

7.1.2. Corectarea efectului de suport

Procedeele utilizate pentru corectarea efectului de suport au douå caracteristici principale: påstreazå neschimbatå valoarea medie de selec¡ie ¿i ajusteazå varian¡a selec¡iei cu un anumit factor care reprezintå raportul dintre varian¡a proprie suportului de estimare ¿i varian¡a totalå a selec¡iei. Metodele de corec¡ie diferå prin modul în care acestea ac¡ioneazå asupra simetriei selec¡iilor ¿i sunt alese func¡ie de particularitå¡ile spa¡iale ale variabilei e¿antionate, par¡ial con¡inute în modelul de variogramå: - dacå valorile au o slabå corela¡ie spa¡ialå se alege un procedeu de corec¡ie care reduce asimetria propor¡ional cu cre¿terea dimensiunii suportului; - dacå valorile sunt bine corelate se aleg proceduri de corec¡ie care nu modificå simetria selec¡iei de valori. Corec¡ia afinå. Corec¡ia afinå este una din cele mai simple procedee de corectare a efectului de suport care nu modificå simetria. Ideea de bazå este cå varian¡a distribu¡iei trebuie reduså prin gruparea valorilor selec¡iei în jurul mediei. Corec¡ia afinå transformå o valoare a unei dstribu¡ii v în alta v' a altei distribu¡ii utilizând formula linearå:

( )′ = ⋅ − +v f v m m

σ

, (7.1)

în care: m este media ambelor selec¡ii (neschimbatå în urma corecta¡iei afine); f -factorul de transformare al varian¡ei; Dacå σ2 este varian¡a primei distribu¡ii, varian¡a valorilor transformate, utilizând factorul f este:

( )′ = ⋅σ 2 2f . (7.2)

Utilizând transformarea (7.1) este evident cå diagrama v-v' este o dreaptå, deci prin corec¡ia afinå nu se modificå nici legea de distribu¡ie a valorilor ¿i nici simetria ei. Corec¡ia afinå este recomandat så fie utilizatå cu factori de corec¡ie mari ¿i pentru valori de prag apropiate de valoarea medie. Corec¡ia lognormalå. Corec¡ia lognormalå modificå simetria distribu¡iei ini¡iale ¿i este aplicabilå numai pentru valori cu distribu¡ie lognormalå. Ideea de bazå este cå efectul cre¿terii suportului este similar cu reducerea varian¡ei într-o distribu¡ie lognormalå. Acest efect se materializeazå în reducerea gradului de asimetrie, în condi¡iile men¡inerii mediei de selec¡ie.

113

Formula de transformare în cazul corec¡iei logaritmice este:

′ = ⋅v a vb , (7.3) în care coeficien¡ii a ¿i b sunt calcula¡i cu rela¡iile:

am

f c

c

mv

v

b

=⋅ +

⋅+⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥2

2

1

1 (7.4)

¿i:

( )( )bf c

c

v

v

=⋅ +

+

ln

ln

2

2

1

1 , (7.5)

în care cv este coeficientul de varia¡ie. Deoarece coeficientul a calculat cu rela¡ia (7.4) påstreazå media neschimbatå numai în cazul unei distribu¡ii lognormale a valorilor originale orice abatere de la distribu¡ia lognormalå trebuie corectatå cu rela¡ia:

′′ =′⋅ ′v

mm

v , (7.6)

în care m' este media valorilor transformate. Dacå distribu¡ia valorilor originale este lognormalå, raportul celor douå medii este unitar. Prin corec¡ia lognormalå cre¿te simetria valorilor transformate o datå cu reducerea varian¡ei datoratå cre¿terii suportului. Corec¡ia este sensibilå la valori de prag extreme. Factorul de corec¡ie. Factorul de corec¡ie este raportul dintre varian¡a valorilor variabilei måsurate în interiorul suportului (B) de estima¡ie ¿i varian¡a totalå calculatå pe toatå suprafa¡a (A) func¡ie de suportul valorilor originale(P):

( )( )

fB A

P A=σσ

2

2

,

, , (7.7)

în care: B este suportul de estimare; P - suportul valorilor måsurate (în general punctual); A - suprafa¡a totalå exploratå (fig.7.4).

114

Fig. 7.4. Descompunerea varian¡ei totale.

Dispersia selec¡iei de valori (σ2(P,A)) are douå componente în cazul separårii suprafe¡ei în mai multe blocuri (B1,B2,B3,B4 în fig.7.4): - varian¡a în interiorul blocurilor (σ2(P,B)); - varian¡a dintre blocuri (σ2(B,A)), între care existå rela¡ia:

( ) ( ) ( )σ σ σ2 2 2P A P B B A, ,= + , . (7.8)

¥n mod clasic, componentele varian¡ei, pentru exemplul din figura 7.4 se calculeazå dupå rela¡iile cunoscute:

( ) (σ 2

1

121

12P A v mi

i, = −∑

=) , în care m i

i

n

= ∑=

1

12 1v (7.9)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ ( ) ( )[( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]}

σ 21 1

22 1

23 1

2

4 22

5 2

2

6 2

2

7 3

2

8 3

2

9 3

2

10 3

2

11 4

2

12 4

2

112

P B v m v m v m v m v m

v m v m v m v m v m v m v m

B B B B B

B B B B B B B

, = − + − + − + − + − +

+ − + − + − + − + − + − + −

(7.10)

¿i:

( ) ( ) ( ) ( ) ([ ]σ 21

22

23

2

421

4B A m m m m m m m mB B B B, = − + − + − + − ) , (7.11)

în care:

(m v vB1 1 2 3

13

= + + )v ; (7.12)

(m v v vB2 4 5 6

13

= + + ) ; (7.13)

115

(m v v v vB3 7 8 9 10

13

= + + + ) ; (7.14)

(m v vB4 11 12

13

= + ) . (7.15)

Varian¡a pentru orice suprafa¡å, adicå pentru orice suport, poate fi estimatå din variograma de a cårei rela¡ie de defini¡ie este direct legatå:

( ) ( )σ 2 2

1

2 2

1 1

1 1 1P A

nv m

nv m cu m

nvi

i

n

ii

n

ii

n, ,= −∑ = −∑ = ∑

= =.

= (7.16)

Rezultå cå :

( )σ 2 2

1 1

22

1

2

12

11

22

112

2

112

11

22

11

1 1 12

12

1

1

2

1

2

2

2

1

2

P An

vn

vn

vn

vn

v v

nv

nv

nv v

nv v

ii

n

ii

n

ii

n

jj

n

ij

n

ji

n

ij

n

i

n

ji

n

j

n

i jj

n

i

n

ij

n

i

n

j

, = ∑ − ∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ∑ + ∑ − ∑∑ =

= ∑∑ + ∑∑ − ∑∑ =

= ∑∑ +

= = = = ==

== == ==

==( )2

11 112

2

112

1

2i

n

j

n

i jj

n

i

n

i jj

n

i

nv v

nv v

== == ==∑∑ − ∑∑

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −∑∑ ,

(7.17)

care este similarå cu rela¡ia de defini¡ie a variogramei :

( ) ( ) (( )

)γ hN h

v vi ji j

hij h

= ∑=

12

2

,− . (7.18)

Varian¡a ¿i variograma sunt ambele medii ale unor diferen¡e de påtrate pentru toate perechile de valori separate de o anumitå distan¡å. Varian¡a poate fi consideratå ca un fel de variogramå care ia în calcul perechile de valori pentru care hij este con¡inut în suprafa¡a exploratå (A din fig.7.4):

( ) ( ) (( )

)σ 2 212

P AN A

v vi ji j

hij h

,,

= ∑=

− . (7.19)

Pentru calculul varian¡ei pe baza variogramei se parcurg urmåtoarele etape de prelucrare: - calculul variogramei experimentale pe baza tuturor valorilor primare disponibile; - modelarea variogramei experimentale; - discretizarea suprafe¡ei fiecårui bloc în care este împår¡itå suprafa¡a totalå. Numårul de puncte de discretizare (n) este în func¡ie de extinderea blocului ¿i al valorilor måsurate disponibile;

116

- medierea celor n2 valori ale variogramei modelate cu rela¡ia:

( )( ) ( )σ γ∗ ∗

=== ∑∑ ∈P A

nh hij

j

n

i

n

ij,2

211

1A; . (7.20)

Cu ecua¡ia (7.20) pot fi calculate cele douå componente ale varian¡ei necesare estimårii factorului de corec¡ie definit de rela¡ia (7.7): - σ2(P,B) se calculeazå prin discretizarea fiecårui bloc prin câteva puncte ¿i calculul mediei valorilor variogramelor ob¡inute din model; - σ2(P,A) poate fi calculat cu rela¡ia clasicå (7.9) sau cu ajutorul variogramei (7.20).

7.2. DISTRIBUºIA VALORILOR ESTIMATE Evaluarea incertitudinii asociate estimårilor locale sau zonale realizate prin kriging sau cokriging este condi¡ionatå de cunoa¿terea distribu¡iei valorilor estimate (necunoscute) ¿i implicit a erorilor de estimare. Instrumentele utilizate pentru determinarea distribu¡iei valorilor estimate sunt acelea¿i utilizate pentru estimårile punctuale sau zonale, dar aplicate valorilor måsurate, transformate în indicatori. Existå douå categorii de metode pentru estimarea func¡iei de distribu¡ie a valorilor estimate: - metode neparametrice, cu o descriere incompletå a distribu¡iei prin calculul func¡iei de frecven¡å cumulatå (F(v)) pentru diferite valori ale variabilei v; - metode parametrice care utilizeazå modelul func¡iei aleatoare ¿i permit deter-minarea unei func¡ii de distribu¡ie pentru orice valoare a variabilei v. Cea mai grosierå metodå pentru estimarea distribu¡iei valorilor necunoscute (estimate) este utilizarea histogramei valorilor måsurate. Aceastå variantå ignorå complet posibilitatea modificårii caracterului distribu¡iei prin contribu¡ia valorilor necunoscute ¿i influen¡a geometriei punctelor de probare disponibile. Eliminarea influen¡ei grupårii neadecvate a punctelor de probare poate fi realizatå prin estimarea punctualå a valorilor variabilei studiate în nodurile unei re¡ele regulate. Aceastå metodå conduce la reducerea variabilitå¡ii reale a variabilei studiate prin netezirea proprie metodelor de interpolare geostatistice. Gradul de netezire al estimårilor este propor¡ional cu numårul de valori utilizate în combina¡iile lineare. Solu¡ia problemei estimårii corecte a propor¡iei pe care o reprezintå valorile aflate sub o anumitå valoare de prag se aflå în în¡elegerea modului în care se procedeazå când avem la dispozi¡ie o selec¡ie exhaustivå asupra variabilei v. Pentru valoarea v , valoarea func¡iei de distribu¡ie se calculeazå cu rela¡ia: p1

( )F vNv

npp

1

1= , (7.21)

în care: este numårul de valori mai mici decât valoarea v ; Nv p1 p1

n - numårul total de valori ale variabilei v.

117

Introducem no¡iunea de variabilå indicatoare (i) sub forma:

idacå v v

dacå v vjj p

j p=

≤>

⎧⎨⎩⎪

1

01

1

,

, . (7.22)

Utilizând aceastå conven¡ie harta punctualå a variabilei se transformå într-o hartå indicatoare cu douå simboluri 0 ¿i 1, de forma celei din figura 2.3. Numårul valorilor mai mici ca valoarea de prag vp1 se calculeazå cu rela¡ia:

Nv ipj

n

11

= ∑=

j , (7.23)

iar propor¡ia acestora în numårul total de valori, cu rela¡ia:

( )F vi

np

jj

n

1

1=∑= . (7.24)

Acest procedeu se repetå pentru orice vp transformându-se valorile v1,v2,...,vn în indici: i1(vp),...,in(vp), cu rela¡ia generalå:

( )i vdacå v v

dacå v vj pj p

j p=

≤>

⎧⎨⎩

1

0

,

, , (7.25)

iar func¡ia de frecven¡å cumulatå cu rela¡ia:

( ) ( )F vn

i vp jj

n= ∑

=

11

p . (7.26)

Func¡ia de frecven¡å cumulatå (fig.7.5) pentru valori mai mici decât valoarea de prag vp1 este zero, la vp2 sare la 1/n ¿i continuå cu salturi de 1/n pânå la valoarea de prag vpk , când ia valoarea 1, dacå vpk este mai mare sau egalå cu valoarea maximå a selec¡iei.

Fig. 7.5. Func¡ie de frecven¡å pentru re¡ea de probare uniformå.

118

¥n acest mod se transferå no¡iunea de propor¡ie a valorilor aflate sub un anumit prag în cea de medie a unui indicator care permite adaptarea metodelor de estimare pentru precizarea completå a distribu¡iei valorilor necunoscute. 7.2.1. Estimarea distribu¡iei cumulative globale

Pentru o valoare de prag vp orice variabilå continuå V poate fi transformatå într-un indicator I(vp) utilizând ecua¡ia (7.25). Deoarece în practicå nu avem acces la o selec¡ie exhaustivå, se poate realiza o estimare a propor¡iei reale a valorilor plasate sub o anumitå valoare de prag printr-o mediere ponderatå a indicatorului:

( ) ( )F v w i v cu wp j j pj

n

jj

n∗

= == ∑ ∑ =

1 11, . (7.27)

Estimatorul func¡iei frecven¡ei cumulative globale este format din n termeni cu ponderi diferite, func¡ie de distributia spa¡ialå a punctelor de observa¡ie în raport cu valorile variabilei cercetate. Dacå valorile disponibile v1,v2,v3,...,vn sunt plasate într-o re¡ea regulatå ponderile vor fi egale w1=w2=...=wn=1/n. Dacå re¡eaua de observa¡ie este neregulatå ¿i punctele sunt localizate preferen¡ial în zone cu valori mari sau mici. atunci ponderea valorilor mici va fi subestimatå, respectiv supraestimatå. Când se estimeazå propor¡ia globalå a valorilor plasate sub o anumitå valoare de prag dintr-o selec¡ie de date clusterizate este dificil de extras un set cu distribu¡ie regulatå ¿i se preferå ponderarea valorilor disponibile prin metoda declustering-ului poligonal sau celular. ¥n aceastå variantå saltul func¡iei cumulative la fiecare valoare de prag este diferit ¿i diferit de 1/n (fig.7.6).

Fig. 7.6. Func¡ie de frecven¡å pentru re¡ea de probare neuniformå.

119

Pentru descrierea distribu¡iei cumulative globale se utilizeazå în mod suplimentar varian¡a de dispersie (σ*)2 ¿i coeficientul de asimetrie (β*), calculate cu rela¡iile clasice:

( ) ( )σ ∗

== −∑

2 2

1w v mj j

j

n∗ (7.28)

¿i:

( )( )

βσ

=−∑ ∗

=

∗

w v mj jj

n 3

1

3 , (7.29)

în care: m* este media estimatå a valorilor måsurate; wj - ponderile estimate prin declustering poligonal/celular. 7.2.2. Estimarea distribu¡iei cumulative locale

Evaluarea preciziei estimårilor zonale solicitå cunoa¿terea distribu¡iei valorilor necunoscute pe o suprafa¡å cu extindere reduså. Cunoa¿terea distribu¡iei locale este deosebit de importantå în studiile ambientale pentru estimarea corectå a concentra¡iei de poluant în ariile de interes. Propor¡ia valorilor situate sub o anumitå valoare de prag fiind media indicilor, este posibilå utilizarea indicatorilor valorilor disponibile din vecinåtatea ariei de interes pentru estimarea func¡iei distribu¡iei locale.

Fig. 7.7. Estimarea frecven¡ei cumulate locale pentru douå valori de prag.

120

¥n figura 7.7 este desenatå o suprafa¡å de formå neregulatå exploratå în interior ¿i exterior prin zece puncte de observa¡ie în care sunt måsurate valorile unei variabile. Pentru estimarea frecven¡ei corespunzåtoare a douå valori de prag, vp1=190 ¿i vp2=200, este exemplificat modul de calcul al func¡iilor de frecven¡å F*(190)=0,50 ¿i F*(200)=0,40. Alegerea valorilor de prag este determinatå nu numai de realizarea curbei frecven¡elor cumulate (care nu este un scop în sine), ci ¿i de obiectivele estimårii. ¥n evaluarea calitå¡ii apei unui acvifer, valorile de prag pot fi limitele maxime ¿i minime ale anumitor parametrii fizico-chimici ai apei, pentru evaluarea rezervelor unui zåcåmânt, valoarea con¡inutului minim exploatabil. Dacå nu existå astfel de ra¡iuni practice care så determine alegerea valorilor de prag, acestea se aleg în numår de 9 corespunzåtor celor 9 decile ale selec¡iei studiate. Pentru estimarea unei curbe complete este necesarå interpolarea între punctele estimate ¿i extrapolarea înaintea primului ¿i dupå ultimul punct estimat. Aceste interpolåri ¿i extrapolåri presupun adoptarea unor ipoteze în legåturå cu distribu¡ia valorilor necunoscute încadrate între douå limite clare: valoarea minimå zero ¿i valoarea maximå unu. Realismul interpolårilor ¿i extrapolårilor este asigurat de identificarea corectå, de obicei prin intermediul variogramei indicatoare, a legitå¡ii de distribu¡ie spa¡ialå a variabilei studiate. 7.2.3. Variograma indicatoare

Transformarea valorilor variabilelor måsurate în indici, corespunzåtori diferitelor praguri valorice (vp) permite identificarea legilor de distribu¡ie spa¡ialå a diferitelor categorii de valori. Utilizarea variogramelor indicatoare stabilite pentru indicii diferitelor praguri valorice este o caracteristicå proprie kriging-ului. Metoda poligonalå sau metoda inversului distan¡ei atribuie valorilor måsurate aceea¿i pondere în procesul de interpolare pentru orice prag valoric (vp). ¥n kriging-ul ordinar ponderile acordate indicilor din vecinåtatea punctelor de estimare sunt dependente de modelul de variogramå corespunzåtor pragului valoric utilizat. Sunt multe situa¡ii în care modelele de continuitate (variogramele) diferå semnificativ de la o valoare de prag la alta. ¥n zåcåmintele de petrol fisurate, permeabilitatea ridicatå poate corespunde fisurilor, în timp ce permeabilitatea reduså poate fi datoratå lentilelor de argilå (fig.7.8,a). O hartå indicatoare pentru o valoare de prag ridicatå a permeabilitå¡ii poate separa sistemele de fisuri de restul zåcåmântului, indicând zonele fisurate (permeabilitate maximå) prin zero-uri iar restul zåcåmântului prin 1 (fig.7.8,b). Harta indicatoare pentru valori de prag reduse ale permeabilitå¡ii separå intercala¡iile de argile sub forma unor zone marcate prin simbolul 1 (fig.7.8,c). Tipurile de continuitate al celor douå hår¡i indicatoare vor reflecta stilul structural al sistemelor de fisuri (fig.7.8,b) ¿i caracterul depozi¡ional al intercala¡iilor argiloase (fig.7.8,c).

121

Fig. 7.8. Hår¡i simbolice pentru diferite valori de prag: a - zonele fisurate ¿i lentilele de argilå; b - hartå simbolicå pentru permeabilitate mare; c - hartå simbolicå pentru permeabilitate scåzutå.

Variogramele indicatoare experimentale calculate pentru hår¡ile indicatoare sunt în general mai bine corelate decât variogramele experimentale calculate pe baza valorilor brute måsurabile. Atâta timp cât indicii nu pot avea decât valoarea 1 ¿i 0, variograma indicatoare este mai pu¡in afectatå de valorile extreme, posibil aberante ale variabilei studiate. Stucturile reflectate de variogramele indicatoare pot fi afectate de gruparea spa¡ialå preferen¡ialå a punctelor de observa¡ie. Modelul de variogramå valabil pentru toate valorile de prag este ob¡inut în mod curent din harta indicatoare a unei valori de prag apropiatå de valoarea medianei. Kriging-ul aplicat indicilor ¿i care folose¿te variograme distincte pentru fiecare valoare de prag poartå denumirea de kriging indicator. Numai în cazul în care variograma tuturor valorilor de prag sunt similare este acceptabilå utilizarea unui singur model de continuitate (variogramå) pentru toate valorile de prag, ¿i anume cel corespunzåtor valorii de prag egalå cu mediana selec¡iei. Estimårile realizate prin kriging indicator trebuie så respecte douå condi¡ii principale: - propor¡ia valorilor negative ¿i supraunitare pentru orice valoare de prag trebuie så fie zero. Utilizându-se diferite modele de variogramå func¡ie de valoarea de prag, estimårile kriging-ului indicator nu respectå întotdeauna aceastå condi¡ie, corec¡ia realizându-se prin egalarea cu zero a valorilor negative ¿i cu unu a valorilor supraunitare. - propor¡ia valorilor estimate sub o anumitå valoare de prag vp1 trebuie så fie mai micå decât a celor plasate sub o valoare de prag mai mare vp2.

( ) ( )F v F v v vp p p∗ ∗<

1 2 1; p<

2 . (7.30)

O modalitate de satisfacere a acestei condi¡ii este utilizarea doar a ponderilor pozitive a cåror sumå este unitarå ¿i a acelea¿i ponderi pentru toate valorile de prag (caracteristic metodei inversului distan¡ei sau metodei poligonale). ¥n cazul kriging-ului indicator, chiar dacå se utilizeazå acela¿i model de variogramå (variograma indicatoare pentru valoarea de prag egalå cu mediana) aceastå a doua

122

condi¡ie nu este indeplinitå, dar abaterile introduse fiind reduse ele pot fi eliminate u¿or prin procedee matematice simple.

7.3. CUANTIFICAREA INCERTITUDINII Toate metodele de cuantificare a incertitudinii opereazå cu no¡iunea eroare de estimare definitå de rela¡ia:

e v v= −∗ , (7.31) în care: v* este valoarea estimatå; v - valoarea realå. Astfel definitå, eroarea nu poate fi calculatå pentru cå nu se cunoa¿te valoarea realå în punctul de estimare. Estimarea erorii se poate realiza prin diferi¡i indici de incertitudine ¿i intervale de încredere pentru valorile estimate. 7.3.1. Indici de incertitudine

Indicii de incertitudine se stabilesc func¡ie de factorul care influen¡eazå precizia estimårii. Valoarea indicilor incertitudinii nu are importan¡å, indicii fiind utiliza¡i doar pentru compararea erorilor comise la estimarea variabilei în diferite puncte. Cel mai simplu indice de incertitudine este definit în raport cu numårul de valori utilizate la estimare:

I np1 0= , (7.32)

în care npo este numårul de valori måsurate din vecinåtatea punctului de estimare (po). Valorile estimate (v*) asociate cu un indice I1 mare au erori de estimare mici ¿i invers. ºinându-se seama de distan¡a dintre punctele ¿i punctul de estimare se define¿te indicele de incertitudine:

Id2

1= , (7.33)

în care d este media distan¡elor de la punctul de estimare (po) la punctele de observa¡ie din vecinåtate. Pe måsurå ce aceastå medie cre¿te, deci indicele I2 descre¿te, eroarea de estimare este mai mare. De¿i I1 ¿i I2 cuantificå influen¡a a doi factori esen¡iali ai preciziei de estimare, ei nu pot cuantifica interac¡iunea acestor factori, precum ¿i influen¡a structurii spa¡iale a variabilei asupra rezultatelor probårii.

123

Cel mai complet indice al incertitudinii de estimare, care ¡ine seama de interac¡iunea principalilor factori este:

I c w w c wR i j ijj

n

i

n

i ii

n

32

0011

01

2= = + ∑∑ − ∑== =

~ ~ ~σ c~ , (7.34)

în care: ~σ R

2 este varian¡a erorii de estimare modelatå;

~c00 - varian¡a modelatå a valorilor måsurate;

- covarian¡a modelatå a valorilor måsurate; ~cij

~ci0 - covarina¡a modelatå dintre valorile måsurate ¿i punctul de estimare;

wi , wj - ponderile acordate valorilor måsurate, a cåror sumå este unitarå. 7.3.2. Intervale de încredere

Ierarhizarea gradului de incertitudine al valorilor estimate nu este totdeauna suficientå pentru luarea unor decizii în cercetårile hidrologice sau hidrogeologice. ¥n multe cazuri este necesarå o exprimare absolutå a mårimii erorii de estimare. Pentru solu¡ionarea unor astfel de probleme se utilizeazå în mod curent intervalul de încredere. Un interval de încredere constå dintr-o valoare minimå ¿i una maximå ¿i probabilitatea cu care valoarea realå (practic necunoscutå), se plaseazå în acest interval. Estimarea intervalului de încredere pentru o valoare estimatå prin kriging sau cokriging se realizeazå cu rela¡ia:

v R∗ ± 2~σ , (7.35)

care presupune cå erorile de estimare au o distribu¡ie normalå, varian¡a de estimare modelatå este o evaluare corectå a erorilor de estimare reale ¿i cå probabilitatea ca valoarea realå så fie cuprinså în acest interval este de 95%. Estimarea corectå a intervalului de încredere este determinatå de alegerea modelului de variogramå ¿i stabilirea corectå a distribu¡iei erorilor de estimare care se presupune similarå cu distribu¡ia valorilor estimate. Utilizarea varin¡ei erorilor de estimare modelatå (σ2

R) pentru estimarea intervalului de încredere impune ca valoarea maximå a varian¡ei modelate så fie o estimare corectå a varian¡ei totale (efectul de scarå). Diferen¡a dintre varian¡a erorilor reale de estimare ¿i cele estimate pe baza modelului probabilist este determinatå de diferen¡a dintre palierul modelului de variogramå ¿i varian¡a totalå realå. De¿i valoarea palierului variogramei nu afecteazå valoarea estimatå, ea este propor¡ionalå cu varian¡a estimårii. Interval de încredere pentru media globalå. Estimarea mediei globale pentru o suprafa¡å A cu caracteristici statistice uniforme poate fi suplimentatå cu evaluarea intervalului de încredere asociat unei anumite erori de genul I, adecvatå nivelului de precizie necesar într-o anumitå etapå a cercetårii.

124

Suprafa¡a de calcul a mediei globale poate fi zona contaminatå cu petrol dintr-un acvifer freatic, în care este necesarå evaluarea grosimii medii a stratului de hidrocarburi acumulat la partea superioarå a acviferului, sau suprafa¡a de extindere a unui acvifer din acoperi¿ul unui strat de cårbune ce trebuie asecat ¿i pentru care trebuie evaluatå grosimea medie. ¥n fiecare din aceste cazuri asocierea valorilor medii ale variabilei pe suprafa¡a studiatå cu un interval de încredere aduce un plus de rigoare estimårii. Pentru calculul mediei globale existå un singur set de date. ¥n acest context evaluarea intervalului de încredere care se fundamenteazå pe ideea de repetabilitate se justificå totu¿i prin faptul cå pot existå suprafe¡e similare din punct de vedere statistic ¿i cå pe aceea¿i suprafa¡å s-ar putea ob¡ine ¿i alte seturi de date. No¡iunea de interval de încredere al mediei globale poate fi deci interpretatå ca o cuantificare a fluctua¡iilor în estimarea mediei globale de la un set de date la altul prelevate de pe aceea¿i suprafa¡å sau de la o regiune la alta, similare din punct de vedere statistic. Calculul intervalului de încredere al mediei globale se bazeazå pe varian¡a erorilor de estimare calculatå cu formula:

~ ~ ~σ R AA i j ijj

n

i

n

i iAi

nc w w c w2

11 12= + ∑∑ − ∑

== =

~c , (7.36)

în care: A este suprafa¡a pe care se estimeazå media globalå;

~cAA - media covarian¡elor modelate pentru întreaga suprafa¡å studiatå,

calculatå prin discretizarea suprafe¡ei A prin câteva puncte ¿i medierea covarian¡elor între toate perechile posibile; ~cij - covarian¡a între toate punctele probate;

~ciA - media covarian¡elor dintre valorile din punctele probate ¿i cele de

discretizare. Calculul varian¡ei erorilor de estimare prin intermediul formulei (7.36) presupune cå suma ponderilor (wi) este unitarå, variabila a cårei medie se calculeazå este sta¡ionarå, iar modelul de covarian¡å este corect ales. Evaluarea intervalului de încredere pentru media globalå pe baza rela¡iilor (7.35) ¿i (7.36) permite o estimare a fluctua¡iilor acesteia pe baza modelului func¡iei aleatoare, care de cele mai multe ori conduce la o supraevaluare a acestui interval. Experimental se constatå cå varian¡a erorii de estimare a unor alte seturi de date realizate pe aceea¿i suprafa¡å este mai micå decât cea prognozatå pe baza modelului func¡iei aleatoare. Din påcate, de cele mai multe ori nu avem acces la o nouå probare pe suprafe¡ele studiate ¿i deci nici posibilitatea de a corecta varian¡a erorii de estimare. Interval de încredere local. Evaluarea intervalului de încredere pentru media globalå presupune o configura¡ie spa¡ialå similarå pentru întreaga suprafa¡å studiatå, dar în anumite circumstan¡e particularitå¡ile locale trebuiesc luate în considerare. Dacå în general distribu¡ia erorilor este simetricå, acest lucru nu este valabil în toate zonele suprafe¡ei studiate. Din acest motiv, în zonele cu valori mici, cre¿te

125

probabilitatea supraevaluårilor, iar în cele cu valori mari a subevaluårilor. La nivel local preusupunerea normalitåtii distribu¡iei erorilor este acceptabilå doar în cazul anumitor proprietå¡i geometrice, cum ar fi grosimea unui strat de cårbune într-un zåcåmânt stratiform, adâncimea unui reper stratigrafic etc. Chiar dacå acceptåm normalitatea distribu¡iei erorilor, existå dificultå¡i în calculul varian¡ei locale. Dacå inten¡ionåm så aplicåm formula (7.35) pentru evaluarea intervalului de încredere local, trebuie så ne asiguråm cå modelul de variogramå pe care îl utilizåm este reprezentativ pentru caracteristicile spa¡iale ale zonei respective. Cea mai simplå variantå pentru solu¡ionarea acestor probleme este acceptarea ipotezei cå modelul de variogramå este acela¿i pentru întreaga suprafa¡å, diferen¡a de la o zonå la alta fiind datå numai de parametrii acestuia ¿i în special de palier. Se define¿te un model de variogramå relativå, cu palierul unitar, a cårei formå descrie particularitå¡ile spa¡iale ale variabilei ¿i care se utilizeazå pentru generarea ecua¡iilor sistemului de kriging. ¥n mod practic, modelul variogramei relative se ob¡ine prin divizarea coeficien¡ilor modelului variogramei absolute prin valoarea palierului. Varian¡a erorii de estimare care se ob¡ine este relativå la varian¡a localå ¿i se calculeazå cu rela¡ia:

~ ~ ~σ R i j ijj

n

i

n

i ii

nc w w c w2

0011

01

2= + ∑∑ − ∑== =

~c , (7.37)

în care: este varian¡a valorilor; ~c00

~c - covarian¡a între punctele pij i ¿i pj;

~c - covarian¡a între punctul pi0 i ¿i punctul po.

Pentru evaluarea varian¡ei locale a erorilor se corecteazå valoarea ob¡inutå din rela¡ia (7.37) cu un estimator al varian¡ei locale(σ*)2:

( )~ ~ ~σ σR AA i j ijj

n

i

n

i iAi

nc w w c w2 2

11 12= ⋅ + ∑∑ − ∑

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

∗

== =

~c , (7.38)

în care covarian¡ele se ob¡in prin diferen¡a dintre unu ¿i variogramele relative corespunzåtoare. ¥n general varian¡a localå este corelatå cu valoarea mediei locale. Corela¡ia medie localå-varian¡å localå (v.§.2.1.4) este determinatå cu ajutorul tehnicii ferestrei statistice mobile. Utilizarea corela¡iei medie localå-varian¡å localå este condi¡ionatå de cunoa¿terea mediei locale pentru a cårei estimare se utilizeazå kriging-ul zonal. Media localå este calculatå pentru o arie cu extindere semnificativå, centratå pe punctul în care se realizeazå estimarea.

126

BIBLIOGRAFIE CHAUVET, P., Aide memoire de Geostatistique Lineare, Fascicule 2, Cahiers de Geostatistique, Centre de Geostatistique, Ecole de Mines de Paris, 1991. DAVID, M., Handbook of applied advanced geostatistical ore reserve estimation, Elsevir, Amsterdam, 1988. DELFINER, P., MATHERON, G., Les fonction Aleatoires Intrinseques d'ordre k,Les Cahiers du Centre de Morphologie Mathematique de Fontainebleau, Ecole de Mines de Paris, 1980. DELHOMME, J.P., Les variables regionalisees dans les sciences de l'eau, B.R.G.M., Deuxieme serie, no4, Section III, Hydrogeologie-geologie de l'ingeneur, Paris, 1978. DEUTSCH, C.V., JOURNEL, A.G., GSLIB: Geostatistical Software Library, New York, Oxford University Press, 1992. FOUQUET, CH.DE, Simulation conditionnelle de fonctions aleatoires: cas gaussien stationnaire et schema lineaire, Centre de Geostatistique, Ecole des mines de Paris, 1993. GUILLAUME, A., Analyse des variables regionalise, Doin Editeur, Paris, 1977. ISAAKS, E.H., SRIVASRAVA, M.R., Un introduction to Applied Geostatistics, New York, Oxford University Press, 1989. JOURNEL, A.G., HUIJBREGTS, CH.J., Mining Geostatistics, Academic Press, London, 1978. JOURNEL, A.G., Exploitation des mines.Guide pratique de geostatistique, Ecole des mines d'Ales, 1975. MARSILY, G.DE, Quantitative Hydrogeology, New York, London, Academic Press,INC, 1986. MATHERON, G., Traite de Geostatistique Appliquee, (tome I), Technip, Paris, 1976. MATHERON, G., Traite de Geostatistique Appliquee, (tome II), Technip, Paris, 1963. MATHERON, G., La theorie des varaiables regionbalisees, et ses applications, Les Cahiers du Centre de Morphologie Mathematique de Fontainebleau, Fascicule 5, Ecole de Mines de Paris, 1970. MATHERON, G., Estimer et choisir, Les Cahiers du Centre de Morphologie Mathematique de Fontainebleau, Fascicule 7, Ecole de mines de Paris, 1978. MURGU,M., Analiza retelelor de explorare si valorificarea optimå a zåcåmintelor minerale, Tipografia Univ.Bucure¿ti, 1979.

127

RIVOIRARD, J., Introduction au krigeage disjonctif et a la geostatistique non lineaire, Centre de Geostatistique, Ecole des mines de Paris, 1991. SCRÅDEANU, D., MIHNEA, G., L'etude de variationes spatiales de grandeurs hydrogeologique a l'aide du krigeage, Analele Univ.Bucuresti, 1987. SCRÅDEANU, D., Optimizarea metodelor de explorare a zåcåmintelor de lignit, Tezå de doctorat, Univ.Buc, 1993. SCRÅDEANU, D., Informaticå geologicå, Editura Univ.Bucure¿ti, 1995. SHAKEEL, A., Estimation des transmissivites des aquifers par methodes geostatistique mulrivariables et resolution indirecte du probleme inverse, These presentee a l'Ecole Nationale Superieure des Mines de Paris, 1987. SILASI, I., Geostatisticå aplicatå în cercetarea zåcåmintelor si evaluarea rezervelor, Multiplicat în atelierele C.P.P.G. al M.M.P.G.,Bucure¿ti, 1975. WACKERNAGEL, H., Cours de geostatistique multivariable, Centre de Geostatistique, Ecole des mines de Paris, 1993. ZORILESCU, D., Introducere în geostatistica informationalå, Editura Academiei, Bucure¿ti, 1990.

128