Chapitre 2 EFFORTS ELECTRODYNAMIQUESaparate.elth.ucv.ro/POPA/CURSURI/Equipements electriques...

Chapitre 2

EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES

2. 1 Introduction

Dans les installations de production et de distribution de l’énergie électrique peuvent apparaître des valeurs très grandes (des dizaines et même des centaines de kiloampères) des courants de court-circuit. Ces courants de court-circuit déterminent des efforts électrodynamiques qui produisent des contraintes mécaniques sur les voies de courant, sur les contacts électriques et sur les autres composants des équipements électriques. Ces contraintes mécaniques peuvent déformer, déplacer ou détruire les voies de courant ainsi que les éléments de la construction (les isolateurs, par exemple). Le calcul des efforts électrodynamiques est nécessaire pour un dimensionnement correct de point de vue de la résistance mécanique et de l’amplitude des vibrations des ces composants des équipements électriques. Les normes imposent pour les appareils électriques et pour les installations électriques certaines valeurs pour le courant de stabilité électrodynamique (le plus grand courant de court-circuit, mesuré en valeur de crête qui est supporté par un appareil ou une voie de courant sans souffrir des déformations mécaniques importants. On peut dire que le calcul des efforts électrodynamiques est nécessaire : - pour le choix des appareils électrique qui doivent supporter sans dégâts mécaniques la valeur du courant de court-circuit calculé dans le point de montage ; - pour la conception des appareils électriques qui doivent ressister au courant de stabilité électrodynamique. D’autre part, une voie de courant (une barre, par exemple) parcouru par le courant de court-circuit n’est pas un système rigide (elle a une masse et une certaine élasticité) et à l’apparition d’une excitation, il est possible que la barre peut osciller sur certaines fréquences (la fondamentale et les armoniques). Dans certaines conditions peut apparître la ressonance qui amplifie les contraintes mécaniques.

2.2 Méthodes de calcul des éfforts électrodynamiques

On connaie, en général, trois méthodes pour le calcul des efforts électrodynamique : - la méthode de la force de Laplace, qui est utilisée lorsqu’on connaie la distribution spatiale des courants et du vecteur de l’induction magnétique, étant aplicable surtout dans le cas des circuits filiformes et dans les millieux à perméabilité magnétique constante ; - la méthode de la variation de l’énergie du champ magnétique, étant aplicable pour des configurations de circuits complexes dont on connaie les inductances et on peut evaluer l’énergie du champ magnétique ; - la méthode basée sur l’intégration des tensions maxwelliennes, qui apparaissent sur la surface des conducteurs et qui nécessite tout d’abord la résolution des équations du champ magnétique dans le domaine d’existance des conducteurs.

2.2.1 Méthode de la formule de Laplace

La force électrodynamique élémentaire Fr

d qui s’exerce sur l’élément lr

d d’un conducteur filiforme, parcouru par le courant i , est donnée par la formule de Laplace :

EQUIPEMENTS ELECTRIQUES

BliFr rr×= dd α= sindd liBF

r (2.1)

où : - B

r est le vecteur de l’induction magnétique dans le point où est situé l’élément l

rd ,

crée par le courant du même ou d’un autre conducteur ;

- α est l’angle entre les vecteurs lr

d et Br

;

Fig. 2.1 Relatif à la force de Laplace

Le vecteur Fr

d est toujour perpendiculaire sur le plan formé par les vecteurs lr

d et Br

( ). Le sens de la force électrodynamique est donné par la règle de la main gauche. Cette règle ne peut pas être appliquée que dans le cas où les circuits électriques ont une forme simple.

),d(d BlFrrr

⊥

Pour un conducteur qui suit le contour férmé C la force électrodynamique totale est : ∫∫ ×==

CC

BliFFrrr

dd (2.2)

Fig. 2.2 Cas des deux circuits

Si on considère le cas général des deux circuits filiformes (fig. 2.2), la force électrodynamique sur le circuit (2) on peut la calculer comme suit : 21F

r

- tout d’abord, on exprime la force électrodynamique élémentaire qui s’exerce sur l’élément 2dl

r ainsi

2

Chapitre 2: EFFORTS ELECTRODYNAMIQUES

122221 dd BliF

rrr×= (2.3)

où est l’induction magnétique dans le point où est situé l’élément crée par le circuit (1) donnée par la formule de Biot-Savart

12Br

2dlr

∫×

πμ

=1

31

112d

4 C rrliB r

rrr

(2.4)

Si le millieu où sont situés les deux circuits est l’air, alors et la formule (2.4) devient :

70 104 −⋅π=μ=μ H/m

∫×

= −

13

11

712

d10C r

rliB r

rrr

(2.5)

La force élémentaire 21dF

r peut s’écrire ainsi :

∫×

×= −

13

11

72221

d10ddC r

rliliF r

rrrr

(2.6)

- finalement, on calcul la force électrodynamique totale 21F

r qui s’exerce sur le

circuit (2) causée par le circuit (1) en intégrant la relation (2.6) sur le contour 2 C

∫ ∫∫∫××

=×

×= −−

1 23

1221

7

13

11

C2

72212

)d(d10d10dC CC r

rlliir

rliliF r

rrr

r

rrrr

211 2

321

217

12)d)d(10 iiC

rllriiF

C C

rr

rrrr=

××= ∫ ∫− (2.7)

où le vecteurC

r s’appelle coefficient de contour défini ainsi :

∫ ∫××

= −

1 23

217 )d)d(10C C r

llrC r

rrrr (2.8)

Si les circuits sont coplanaires le coefficient de contour devient un scalaire :

∫ ∫β

= −

1 22

217 sindd10C C r

llC (2.9)

2.2.2 Méthode énergétique

On considère un électroaimant dont l’armature se deplase sur la direction de la coordonnée généralisée x (fig. 2.3) .

3


Fig. 2.3 Relatif à la méthode énergétique

Fig. 2.4 Schéma électrique équivalente de l’électraimant

L’équation de bilan énergétique, dans l’interval de temp , pour l’électroaimant présenté à la figure 2.3 est :

dt

(2.10) xXWtRitui m dddd 2 ++= où : - l’énergie reçu aux bornes ; tuid - les pertes par effet Joule dans l’enroulement de la bobine ; tRi d2

- la variation de l’énergie magnétique du circuit ; mWd - le travail mécanique pour déplaser l’armature mobile. xXdL’équation du circuit électrique (fig. 2.4) est la suivante :

t

Riud

dΨ+= (2.11)

En remplaçant l’expresion de la tension (relation 2.11) dans l’équation de bilan (2.10) on

4


obtient après simplifications: (2.12) xXiWm ddd −Ψ= Si on suppose que l’armature mobile ne se deplase pas ( constant=x ) alors et la relation (2.12) devient et l’energie magnétique est donnée par la relation suivante :

0d =xΨ= dd iWm

(2.13) ∫Ψ

Ψ=0

diWm

Fig. 2.5 Définition de l’énergie magnétique Fig. 2.6 Définition de la coénergie magnétique

À la figure 2.6 est l’énergie magnétique complémentaire (où la coénergie magnétique). On constate que pour les circuits magnétiques non linéaires tandis que pour les circuits magnétiques linéaires (voir la figure 2.7)

*mW

*mm WW ≠

*mm WW =

Fig. 2.7 L’énergie et la coénergie dans le cas des circuits magnétiques linéaires

Si on suppose que le déplassement de l’armature mobile se fait à flux magnétique constant à partir de la relation (2.12) on obtient la première formule des forces généralisées :

ctd

d

=Ψ

−=x

WX m (2.14)

Si on tient compte que (2.15) iWW mm Ψ=+ *

En appliquant la differentielle pour l’équation (2.15) on obtient : iiWW mm dddd * Ψ+Ψ=+ Et en remplaçant l’expression de par celle obtenue de la relation (2.12), on obtient après simplifications :

Ψdi

(2.16) xXiWm ddd * +Ψ= Si on suppose que le déplassement de l’armature mobile se fait au courant constante à partir de la relation (2.16) on obtient la deuxième formule des forces généralisées :

5


ct

*

dd

=

=i

m

xW

X (2.17)

Quelques formules pour le calcul de l’énergie magnétique. L’énergie magnétique du système, pour des millieux non linéaires, peut être calculée à l’aide de la formule suivante :

(2.18) ∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

V

B

m VBBHW dd)(0

0

Pour les millieux linéaires, l’énergie magnétique peut être calculée à l’aide d’une des formules suivantes :

∑∑∑= ==

=Ψ=n

k

n

jkjkj

n

kkkm iiLiW

1 11 21

21 (2.19)

∑ ∑∑= = =

+=n

k

n

k

n

jjkkjkkm iiMiLW

1 1 1

2

21 (2.20)

∫=V

m VHBW d2

rr

(2.21)

où , sont les inductances propres et les inductances mutuelles des circuits, - le

flux magnétique total du circuit k , kL kjM kΨ

Br

et Hr

sont l’induction magnétique et l’intensité du champ magnétique. Exemple : cas des deux bobines couplées. L’énergie magnétique a, conformement à la relation (2.20), l’expression explicite suivante :

21

222

211

22iiMiLiLWm ++= (2.22)

où :

2

211

1iLWm = représente l’énergie magnétique propre de la bobine 1 ;

2

222

2iLWm = représente l’énergie magnétique propre de la bobine ; 2

représente l’énergie magnétique d’interaction entre les bobines 1 et ; 2112 iiMWm = 2 Si on considère la coordonnée généralisée x , l’effort électrodynamique d’interaction entre les deux bobines sur la direction de cette coordonnée est donné par la relation suivante :

cste,

12

cste

2

cste

1

2121d

dd

dd

d

===

++=ii

m

i

m

i

m

xW

xW

xW

F ou

6


x

Miix

LixLiF

dd

dd

21

dd

21

2122

212

1 ++= (2.23)

où :

xLiF

dd

21 12

11 = représente la force électrodynamique intérieure de la bobine 1 ;

x

LiFd

d21 22

22 = représente la force électrodynamique intérieure de la bobine ; 2

x

MiiFd

d21

2112 = représente la force électrodynamique d’interaction entre les bobines 1

et 2 ;

2.2.3 Méthode des tensions maxwelliennes

Dans certaines situations (le cas des contacts électrique, par exemple), il est plus facil à calculer la force électrodynamique à l’aide des tensions maxwelliennes. Ainsi, la force magnétique qui s’exerce sur un conducteur compris à l’intérieur d’un volume borné par la surface férmée , ayant la normale extérieure n

ΣVr

, est calculée par la relation : Σ

(2.24) ∫Σ

= ATF ndr r

où nTr

représente la grandeur appellée la tension maxwellienne dans le champ magnétique, interprétée comme une densité surfacique de la force dont l’expression est :

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2HBnHnBTn

rrrrrrr

(2.25)

La méthode peut être appliquée facilement en deux cas particulaires : 1) Si la surface Σ est localement normale sur les lignes d’induction magnétique, le tenseur des tensions maxwelliennes est :

mn wnHBnT rrr

rr=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2 (2.26)

parce que les vecteurs B

r, Hr

et sont paralels et perpendiculaires sur la surface (fig. 2.8) nr Σ2) Si la surface est paralelle avec les lignes de l’induction magnétique ( ) le tenseur des tensions maxwelliennes est :

Σ Σ⊥nr

mn wnHBnT rrr

rr−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2 (2.27)

où est la densité de l’énergie magnétique. mw

7


Fig. 2.8 Le cas des vecteurs Br

, Hr

et nr perpendiculaires sur la surface Σ

Fig. 2.9 Le cas des vecteurs Br

et Hr

paralels à la surface Σ

2.3 Détermination du sens d’orientation des forces électrodynamiques Dans le cas des circuits plus simple, le sense des forces électrodynamiques est déterminé à l’aide de la règle de la main gauche (voir la fig. 2.10).

Fig. 2.10 Règle de la main gauche

Dans le cas des circuits plus compliqués et quand le spectre des lignes de champ ne permet pas l’application de la règle de la main gauche alors on applique la règle d’orientation vers les zones à champ plus faible (voir les figures 2.11 et 2.12)

8


Fig. 2.11 Sense des forces électrodynamiques (orientation des forces vers les zones à champ plus faible)

Fig. 2.12 Sense des forces électrodynamiques (orientation des forces vers les zones à champ plus faible)

2.4 Forces électrodynamiques entre conducteurs filiformes Un conducteur est considèré filiforme si la section transversale est si petite qu’on peut la négliger. Ansi, l’hypotesse d’un conducteur filiformes signifie qu’on néglige le champ intérieur du conducteur. 2.4.1 Force électrodynamique entre deux portions de circuits filiformes, rectilignes et coplanaires On considère le cas des deux portions de circuit filiformes, rectilignes et coplanaires (fig. 2.13) :

9


Fig. 2.13 Force électrodynamique entre deux portions de circuit filiformes et coplanaires

Tout d’abord, on calcule la force électrodynamique élémentaire qui s’exerce sur l’élément , parcouru par le courant qui se trouve dans le champ magnétique produit par le conducteur 1 :

21dFr

2dlr

2i

122221 dd BliF

rrr×= (2.28)

mais parce que , la relation vecteurielle (2.28) peut être écrite comme une relation scalaire

212 dlBrr

⊥

(2.29) 122221 dd BliF = où peut être calculée à l’aide de la formule de Biot-Savart (en considérant le conducteur 1 ayant la longueur ), ansi

12B

1l

∫β

β

− β=

2

1

217

12sind10r

yiB (2.30)

Si on calcule la force électrodynamique sur l’unité de longueur de l’élément (force spécifique), on obtient :

2dl

∫β

β

− β===

2

1

2217

1222

2121

sind10dd

ryiiBi

lF

f (2.31)

En tenant compte de relations suivantes

10


β= ctgxy ββ

−= dsin

d 2

xy β

=sin

xr

on obtient après simplifications

∫β

β

−− β−β=ββ=

2

1

1221

721721

coscos10dsin10

xii

xii

f (2.32)

Remarque importante. Si et π→β1 02 →β dans la relation (2.32) (c'est-à-dire le conducteur 1 a la longueur infinie) on obtient :

2

2121

721

210lF

xiif == − ou

xliiF 2

217

21210−= (2.33)

Si , et ll ≡2 FF ≡21 ax ≡ (fig. 2.14) on obtient :

aliiF 210 21

7−= (2.34)

Fig. 2.14 Force électrodynamique sur une portion de longueur « l » exercée par un conducteur de longueur infinie

2.4.2 Force électrodynamique entre deux portions de conducteurs paralleles de longueurs finis On considère deux conducteurs parallèles de longueurs finis et (fig. 2.15). Si on utilise la formule (2.32) adaptée pour la force électrodynamique sur l’élément , on peut écrire :

1l 2lABUVF ,d xd

d

iix

Ff ABUV γ+β

== − coscos10d

d 221

7,21 (2.35)

11


où, on tient compte que γ−π=β1 et donc γ−=β coscos 1 .

Fig. 2.15 Force électrodynamique entre deux portions de conducteurs paralleles de longueurs finis

La force électrodynamique élémentaire sur l’élément peut s’écrire ainsi : ABUVF ,d xd

xd

iiF ABUV dcoscos10d 221

7,

γ+β= − (2.36)

Si on intégre l’équation (2.36), on obtient la force électrodynamique sur le conducteur 2 ayant la longueur :

ABUVF ,

2l

( )∫ γ+β= −V

UABUV x

diiF dcoscos10 2

217, (2.37)

Si on utilise les relations géométriques suivantes

( ) 22

1

12cos

dxl

xl

+−

−=β

22cos

dxx+

=γ (2.38)

l’expession (2.37) peut se mettre sous la forme suivante

( )( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

+−

−= ∫ ∫−

V

U

V

UABUV x

dxxxx

dxl

xldiiF dd2d2

210

22221

1217, (2.39)

En tenant compte que

12


∫ +=+

22

222d dx

dxxx (2.40)

L’intégration du membre droite de la relation (2.39) donne

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−−+= −

V

U

V

UABUV dxldx

diiF 22

122217

, 10

(2.41) où

( ) AUAVdadaldxV

U−=+−++=+ 2222

222

( ) ( ) ( ) BUBVdaldalldxlV

U−=+−−+−−=+− 22

122

2122

1

Finalement la force est donnée par la relation suivante ABUVF ,

( )BVBUAUAVdiiF ABUV −+−= − 217

, 10 (2.42)

Si alors ∞→1l 2lAUAV →− et 2lBVBU →− et la force est donnée par la relation suivante

∞→ABUVF ,

dliiF ABUV

221

7,

210−∞→ = (2.43)

Remarque : La relation (2.43) a la même signification que la relation (2.34). 2.4.3 Force électrodynamique entre deux conducteurs paralleles de longueurs égales et finis. Coefficient de correction On considère deux conducteurs parallèles de longueurs égales et finis (fig. 2.16). Si on utilise la formule (2.32) adaptée pour la force électrodynamique sur l’élément , on peut écrire :

Fd xd

a

iixFf γ+β== − coscos10

dd 2

217

21 (2.44)

où, on tient compte que γ−π=β1 et donc γ−=β coscos 1 . La force électrodynamique élémentaire sur l’élément peut s’écrire ainsi : Fd xd

xa

iiF dcoscos10d 221

7 γ+β= − (2.45)

Si on intégre l’équation (2.45), on obtient la force électrodynamique sur le conducteur 2 F

13


ayant la longueur l :

( )∫ γ+β= −l

xaii 21F

02

7 dcoscos10 (2.46)

Fig. 2.16 Force électrodynamique entre deux conducteurs paralleles de longueurs égales et finis

Si on utilise les relations géométriques suivantes

( ) 222cos

axl

xl

+−

−=β

22cos

axx+

=γ (2.47)

l’expession (2.37) peut se mettre sous la forme suivante

( )( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

+−

−= ∫ ∫−

l l

xax

xxxaxl

xlaiiF

0 02222

217 ddd10 (2.48)


∫ −+=+

l

aalax

xx

0

2222

d (2.49)

après l’intégration du membre droite de la relation (2.48), on obtient :

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ϕ=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=−+= −−−

la

alii

la

la

aliiaal

aiiF 2101210210 21

72

21722217 (2.50)

où

14


la

la

la

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ϕ

2

1

s’appelle coefficient de correction qui tient compte que les conducteurs ne sont pas infinement longs et les dimensions et l sont comparables (fig.2.17). aSi la relation (2.50) devient la relation (2.34). al >>

Fig. 2.17 Coefficient de correction

2.4.4 Forces électrodynamiques exercés sur les conducteurs placés dans la proximité des parois ferromagnétiques Un conducteur parcouru par un courant électrique et placé dans la proximité d’un corps ferromagnétique est soumis à une force électrodynamique, qui a la tendence d’attirer le conducteur vers la paroi ferromagnétique (fig. 2.18). La perméabilité magnétique relative de la paroi ferromagnétique est beaucoup plus grande que la perméabilité magnétique de l’air et donc la reluctance magnétique à l’intérieur de la paroi est négligeable. Le déplacement du conducteur vers la paroi détermine la diminution de la reluctance magnétique du système et donc l’augmentation du flux magnétique et par conséquence la variation de l’énergie magnétique du système.

15


Fig. 2.18 Conducteur placé dans la proximité de la paroi ferromagnétique

a) Cas d’un conducteur placé dans la proximité d’un semi-espace

ferromagnétique infinie Le calcul de la force électrodynamique d’attraction du conducteur vers la paroi

ferromagnétique peut s’effectuer en appliquant la méthode des images qui est basée sur le fait que le champ magnétique du système conducteur parcouru par le courant - paroi ferromagnétique est cré par deux conducteurs placés dans le même millieu (l’air dans ce cas) en éliminant la paroi ferromagnétique. Si on considère que la perméabilité magnétique du fer

, on peut montrer que le système des deux conducteurs cré le même champ magnétique si le conducteur image est parcouru par le même courant, dans le même sens et placé de façon symétrique (à la distance ) .

i

∞→μFe

pa

16


Fig. 2.19 Méthode des images

La force électrodynamique peut être calculée à l’aide de la formule (2.50), c'est-à-dire :

F

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ= −−

la

ali

la

aliF p

p

27p

p

27 210

22210 (2.51)

où

la

la

la p

2pp 22

12

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

Ce phenomène est appliqué dans la construction des chambres de coupure de l’appareillage de commutation de basse tension de courant alternatif.

b) Cas d’un conducteur placé dans une niche ferromagnétique

Ce pfenomène d’attraction du conducteur est plus important, c'est-à-dire la force électrodynamique a une valeur plus grande, quand le conducteur est placé dans une niche ferromagnétique.

b1) Cas de la niche rectangulaire Dans le cas d’un conducteur infinement long parcouru par le courant électrique et

placé dans une niche ferromagnétique une force électrodynamique va apparaître qui le déplace vers l’intérieur de celle-ci (fig. 2.20, solution obtenue en QuickField).

iF

17


Fig. 2.20 Conducteur dans une niche rectangulaire

Pour calculer la force électrodynamique on utilise un modèle simplifié (fig. 2.21) obtenu dans les hypothèses simplificatrices suivantes :

- à l’intérieur de la niche, les lignes de l’induction magnétique sont parallèles et lignes droites ;

- la perméabilité magnétique de la niche ferromagnétique est considérée de valeur infinie, donc on néglige le champ magnétique dans le fer.

En supossant que (milieu linéaire) et en utilisant la méthode énergétique, la force électrodynamique est donnée par relation suivante :

mm WW =*

cstedd

=

=i

m

xW

F (2.52)

L’énergie magnétique, dans ce cas, est donnée par la relation suivante :

1)(21)(

21)( ⋅Φ=Ψ= xixixWm (2.53)

18


Fig. 2.21 Modèle de la niche rectangulaire

Pour calculer le flux magnétique )(xΦ , on considère un tube de flux constant d’epaisseur situé à la distance yd y vers l’intérieur de la niche ferromagnétique. On écrite la lois du flux magnétique (on considère que le conducteur a la longueur l ) :

(2.54) ∫ ∫Σ

μ==Φx

y ylHABx0

0 dd)(rr

Pour calculer l’intégrale du membre droite de la relation (2.54), il faut déterminer l’intensité du champ magnétique dans le tube de flux sur la portion de l’entréfer δ . Pour cela, on écrite la lois du circuit magnétique sur la curbe

yHΓ du tube de flux constante

∫

Γ

=+δ= ilHHlH FeFey

rrd (2.55)

mais si on néglige ( 0 ), on obtient la valeur de l’intensité du champ magnétique

FeH ≅FeH

yH

δ

=iH y (2.56)

Ainsi, en remplaçant dans la relation (2.54), la la valeur du flux magnétique est donnée par la relation

yH )(xΦ

∫ δμ

=δ

μ=Φx

xil

ylix0

00 d)( (2.57)

En remplaçant l’expression du flux )(xΦ dans la relation (2.53) et pui l’expression de l’énergie magnétique dans la relation (2.52), on obtient l’expression de la force électrodynamique :

19


δμ

=Φ

=l

ixxiF 02

21

d)(d

21 (2.58)

Remarque : Conformement à la relation (2.58), la force électrodynamique reste constante pendant le déplacement du conducteur dans la niche. En réalité, la force diminue au fur à mesure que le conducteur avance vers l’intérieur de la niche à cause du phenomène de la saturation magnétique. Pour éliminer cette inconveniant, on utilise une niche triangulaire dont l’entréfer diminue vers l’intérieur de la niche et ainsi on peut compenser d’autre part la diminution de la force causée par l’effet de la saturation magnétique.

δ

b2) Cas de la niche triangulaire

Pour calculer la force électrodynamique on utilise un modèle simplifié (fig. 2.22) obtenu dans les hypothèses simplificatrices suivantes :

- à l’intérieur de la niche, les lignes de l’induction magnétique sont parallèles et lignes droites ;

- la perméabilité magnétique de la niche ferromagnétique est considérée de valeur infinie, donc on néglige le champ magnétique dans le fer.

En supossant aussi que dans le cas de la niche rectangulaire (milieu linéaire) et en utilisant la méthode énergétique, la force électrodynamique est donnée par relation suivante :

mm WW =*

xi

xW

Fi

m

d(x)d

21

dd

cste

Φ==

=

(2.59)

Fig. 2.22 Modèle de la niche triangulaire

Pour calculer le flux magnétique )(xΦ , on considère un tube de flux constant d’epaisseur situé à la distance vers l’intérieur de la niche ferromagnétique. On écrite la lois du flux magnétique (on considère que le conducteur a la longueur l ) :

yd y

20


(2.60) ∫ ∫Σ

μ==Φx

y ylHABx0

0 dd)(rr

Pour calculer l’intégrale du membre droite de la relation (2.54), il faut déterminer l’intensité du champ magnétique dans le tube de flux sur la portion de l’entréfer δ . Pour cela, on écrite la lois du circuit magnétique sur la curbe

yHΓ du tube de flux constante

∫

Γ

=+δ= ilHHlH FeFeyy

rrd (2.61)

mais si on néglige ( 0 ), on obtient la valeur de l’intensité du champ magnétique

FeH ≅FeH

yH

y

yiHδ

= (2.62)

Si on considère la congruence des triangles et , on peut écrire la relation suivante :

ABV CDV

h

yhy −=

δ

δ

hyh

y)( −δ

=δ (2.63)

et l’intensité du champ magnétique s’écrite ainsi :

yh

hiH y −δ= (2.64)

En remplaçant l’expression de donnée par la relation (2.64) dans la relation (2.60) et en intégrant, on obtient le flux magnétique :

yH

xh

hilhyh

yilhx

x

−δμ

=−δ

μ=Φ ∫ lnd)( 0

0

0 (2.65)

En remplaçant l’expression de dans la relation (2.59) et en dérivant, on obtient : )(xΦ

xh

hliF−δ

μ= 202

1 (2.66)

On constate que si alors la force électrodynamique (théoriquement) mais dans la pratique la valeur de la force est finie à cause de l’effet de la saturation magnétique qui diminue la force.

hx → ∞→F

Si on considère la congruence des triangles et on peut écrire la relation suivante :

ABV EFV

h

xhx −=

δδ

⇒xxh

h−δδ

=−

(2.67)

21


En tenant compt de la relation (2.67) la relation (2.66) peut s’écrire ainsi :

x

liFδ

μ= 202

1 (2.68)

Les niches ferromagnétiques triangulaires sont utilisées à la construction des chambres de coupure pour les appareils de commutation de basse tension en courant alternatif. 2.5 Forces éléctrodynamiques entre conducteurs à section transversale finie 2.5.1 Force éléctrodynamique entre conducteurs parallèles à section circulaire On considère deux conducteurs parallèles de longueur l , ayant le diamètre r2 et la distance entre les axes des conducteurs qui sont parcourus par le courant i . a

Fig. 2.23 Conducteurs parallèles à section circulaire

On determine la force électrodynamique à l’aide du théoreme des forces généralisées dans le champ magnétique. On connaie que l’inductance du système de conducteurs présenté à la fig. 2.23 est :

F

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+μ

πμ

=r

ralL r ln2

220 [ H ] (2.69)

En utilisant la méthode énergétique on obtient :

ccti

m

ali

aLi

aW

F ϕ=== −

=

210dd

21

dd 272

raa

c −=ϕ [ N ] (2.70)

Remarque : La formule (2.70) est la même formule que pour les conducteurs filiformes mais corrigée avec le facteur qui tient compte de la contribution du champ magnétique intérieur des conducteurs.

1>ϕc

2.5.2 Force éléctrodynamique sur un conducteur à section circulaire en forme de L On considère un conducteur circulaire en forme de L parcouru par le courant i (fig. 2.24). Tout d’abord, on exprime la force électrodynamique élementaire entre les éléments et , considérés comme des circuits filiformes (en utilisant la formule de Laplace):

dxdy

22


(2.71) 12

2 ddd BxiFrr

×= où est l’induction magnétique crée par l’élément dy dans le point où se trouve l’élément .

12dBr

dx

Fig. 2.24 Conducteurs parallèles à section circulaire

L’induction magnétique est donnée par la formule de Biot-Savart ainsi : 12Bdr

37

12d10d

rryiB r

rrr ×= − (2.72)

En tenant compte que les relations peuvent être écrites sous forme scalaire ansi : xB rr

dd 12 ⊥

122 dd BidxF ⋅= 2

712

sin10r

dyidB β⋅= − (2.73)

La force électrodynamique élémentaire peuvent être écrite sous la forme scalaire suivante :

2272 sin10

rdydxiFd β

= − (2.74)


β= ctgxy ββ

−= dxdy 2sin

β=

sinxr (2.75)

la relation (2.74) devient :

23


ββ= − dx

dxiFd sin10 272 (2.76)

En intégrant l’équation (2.76) on obient la force électrodynamique sur l’élément de largeur en considérant l’élément 1 du conducteur de longueur infinie ( ):

F 2a ∞→h

∫ ∫π−

−− =ββ=a

r raid

xdxiF

0

2/

2727 ln10sin10 (2.77)

Si la dimension est finie alors la formule de calcul de la force devient : h F

( )( )22

2227 ln10

ahhrrhhaiF

++

++= − (2.78)

Si le conducteur est en forme de U (fig. 2.25) la relation de calcul pour la force sera la suivante :

F

( )( )22

2227 ln102

ahhrrhhaiF

++

++⋅= − (2.79)

Fig. 2.25 Conducteurs à section circulaire en forme de U

2.5.3 Forces éléctrodynamiques entre deux barres à section transversale rectangulaire On considère le cas des barres à section transversale rectangulaire ayant la distance entre les axes des barres , l’épaisseur b et l’hauteur . Les barres sont de longueur infinie mais on calcule la force sur une portion de longueur du conducteur 2. Les calculs sont

a hl

24


valable dans les hypothèses : et ab << hb << (on suposse aussi que la densité du courant est distribuée de façon uniforme sur la section transversale des barres). a) Cas des barres assises sur chant On considère deux barres à section transversale rectangulaire, assises sur chant (fig. 2.26), parcourues par les courants et . 1i 2i

Fig. 2.26 Barres assises sur chant

L’élément d’épaisseur dx est parcouru par le courant et l’élément d’épaisseur est parcouru par le courant . Tout d’abord on calcul la force electrodynamique entre les éléments et considérés comme des circuits filiphormes en utilisant la méthode de Laplace:

1di dy

2didx dy

rldidiFd r

210 2172 −= (2.80)

Les courants élémentaires et s’expriment ainsi : 1di 2di

hdxidi 11 =

hdyidi 22 = (2.81)

La force électrodynamique élémentaire se décompose en deux forces élémentaires

et sur les directions « a » et « h » respectivement. Les forces électrodynamiques élémentaires de type s’annulement reciproquement grace à la synetrie, tandis que les forces de type s’aditionement donnant une force résultante qui agisse sur les deux barres :

rFd 2

aFd 2hFd 2

hFd 2

aFd 2

25


ϕ=ϕ= − cos210cos 21722

rli

hdyi

hdxFdFd ra (2.82)

En tenant compte que et la relation (2.82) devient : ra /cos =ϕ 222 yar +=

222

2

2172 210

yadydx

ha

aliiFd a +

= − (2.83)

La force électrodynamique résultante entre les deux barres s’obtient en intégrant la relation ci-dessus :

aF

),(210210 2

2

217

0222

2

217 ha

ha

alii

yadydx

ha

aliiF c

h xh

xa ϕ=

+= −

−

−

− ∫ ∫ (2.84)

où le coefficient de correction est donné par la relation suivante : ),( hacϕ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=ϕ 2

2

2

2

1lnarctan2),(ah

ah

ah

hahac

Remarque. La relation (2.84) a la même forme que la relation de calcul pour des conducteurs filiformes et paralels sauf le fait que la relation (2.84) est multipliée par le coefficient de correction . ),( hacϕ b) Cas des barres assises sur la largeur On considère deux barres à section transversale rectangulaire, assises sur la largeur (fig. 2.27), parcourues par les courants et . 1i 2i

Fig. 2.27 Barres assises sur la largeur

L’élément est parcouru par le courant et l’élément dy est parcouru par le courant . Tout d’abord on calcul la force electrodynamique entre les éléments et dy considérés comme des circuits filiphormes en utilisant la méthode de Laplace:

dx 1di 2didx

26


rldidiFd 210 21

72 −= (2.85)

Les courants élémentaires et s’expriment ainsi : 1di 2di

bdxidi 11 =

bdyidi 22 = (2.86)

En tenant compte que et en remplaçant et dans la relation (2.85) par les valeurs données par les formules (2.86), on obtient :

yxar ++= 1 1di 2di

yxa

dydxb

liiFd++

= −

1221

72 210 (2.87)

En intégrant l’équation (2.87) d’après x et entre les limites de leur valeur, on obtient : y

∫∫ ϕ=++

= −−b

c

b

baalii

yxadydx

ba

aliiF

021

7

10221

7 ),(210210 (2.88)

où

∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

++=ϕ

bb

c ab

ab

ab

ab

ba

yxadydx

baba

02

102 1ln11ln1),( (2.89)

Dans le cas où les dimensions des cotés sont comparables, on utilise la formule :

cDaliiF ϕ= − 210 21

7 (2.90)

où est le coefficient de correction de Dwight qui est fonction du ratio cDϕ )/()( hbba +− ayant comme paramètre le ratio (fig. 2.28). hb /

27


Fig. 2.28 Abaque de Dwight

2.54 Force électrodynamique de tendrement d’une spire circulaire Pour le calcul de la force électrodynamique dans ce cas on utilise la méthode énergétique. Pour calculer l’inductance de la spire on part de la formule de Bashenoff qui donne l’inductance d’un circuit plain :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ξμμ

+ϕ−π

μ=

42ln

2 0

0

rlSl

L (2.91)

où - le perimètre du circuit mesuré sur la courbe l Γ ; - la surface bornée par le conducteur ; S r - le rayon du conducteur ; - coefficient de contour (ϕ 8ln2 −=ϕ pour le cercle, 077.0=ϕ pour le rectangle, pour le triangle équilatéral) ; 3.016.0 ÷=ϕ

- coefficient qui tient compte de l’effet de peau, ξ )(κ=ξ f , 22

μωσ=κ

r .

Si on considère une spire circulaire en cuivre ( 0μ=μ ), en négligeant l’effet de peau ( ) et pour laquelle et on obtient, en remplaçant dans la formule (2.91), l’inductance d’une spire circulaire :

1=ξ Rl π= 2 2RS π=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −μ= 75.18ln0 r

RRL (2.92)

Fig. 2.29 Force de tendrement d’une spire

28


Tout d’abord on calcule la force électrodynamique sur l’unité de longueur de la spire (fig. 2.29) : Rf

ctei

mR dR

dWR

f=π

=2

1 2

21 LiWm =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −μ

π= − 75.08ln1075.18ln

21

21 2

720 r

RRii

rRR

dRd

Rf R (2.93)

La force se décompose en deux composants et . Les composants de type

s’annulent réciproquement grace à la symetrie tandis que les composants de type s’additione pour équilibrer les deux forces de traction (forces tangentielle) qui remplace les forces internes de la spire si on coupe la spire d’après l’axe :

Rf xRf yRf

yRf xRf

TFy

∫∫∫π

π−

π

π−

π

π−

=ϕϕ=ϕϕ==2/

2/

2/

2/

2/

2/

2coscos2 RRRxRT RfdfRRdfdlfF

La force électrodynamique de tendrement d’une spire circulaire parcouru par le courant i , en tenant compte de la relation (2.93), est :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −== − 75.08ln10 27

RRiRfF RT (2.94)

La relation (2.94) peut être appliquée avec aproximation dans le cas des bobines cylindriques. Dans ce cas , où est le nombre de spires de la bobine et est le courant par la bobine.

0nii = n 0i

Pour calculer la force électrodynamique d’intéraction entre deux spires circulaires parcourues par les courants et , dans le même sens, (ayant les diamètres égaux) il est nécessaire de conaître l’inductance mutuelle :

1i 2i

x

MiiF∂∂

= 21 (2.95)

Fig. 2.30 Force axiale entre deux spires

En connaissant l’expression de l’inductance mutuelle entre les deux spires

29


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −μ= 28ln0 x

RRM (2.96)

on obtient ainsi la force électrodynamique d’interaction entre les deux spires :

xRiiF 210μ−= (2.97)

Le signe (-) signifie que lorsque la distance x augmente, l’inductance mutuelle diminue. La force électrodynamique est d’atraction ou de repulsion en fonction du sense des courants par les deux spires. 2.6 Force électrodynamique axiale aux conducteurs à section variable On considère un conducteur à section variable (fig. 2.31) où la densité de courant est reparti uniformement sur la section transversale du conducteur. On considère sur la ligne de la densité de courant un élément . Il faut trouver l’intensité du champ magnétique au milieu de l’élement dl . Pour cela on considère le cercle de rayon

di dlx et on ecrit la lois du

circuit magnétique sur la courbe définie par le cercle de rayon Γ x .

xildH =∫Γ

rr ⇒

22

1

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅==π⋅

Rzi

xxiixH xx xx HB 0μ= (2.98)

Fig. 2.31 Conducteur à section variable

La force électrodynamique sur l’élément ldr

qui est Fdr

2 peut être décomposée en deux composantes, xFd

r2 sur la direction x (en fait sur la direction du rayon r ) et yFd

r2 sur

30


la direction y : (2.99) yx FdFdFd

rrr222 += α= sin22 FdFd y α= cos22 FdFd x

La force élementaire Fd

r2 peut être calculée avec la relation de Laplace :

xx BlddiFd

rrrx2 = (2.100)

Parce que ldBx

rr⊥ la relation (2.100) peut être écrite ainsi :

xx BdldiFd ⋅⋅=2

Les forces élementaires de type s’annulent reciproquement à cause de la symmetrie tandis que les composantes de type s’aditionne en formant la résultante qui est la force électrodynamique axiale :

xFd 2

yFd 2yF

(2.101) α⋅⋅⋅= sin2

xxy BdldiFd En utilisant la relation (2.98) on obtient pour la relation suivante : xdi

2

2R

dzzidix =

et aussi, en tenant compte que α= cos/dydl et yxtg /=α et en remplaçant dans la relation (2.101), on obtient :

4

3202

Rdzz

ydyi

Fd y πμ

= (2.102)

La force axiale résultante sera obtenue en intégrant la relation (2.102) :

abidzz

ydy

RiF

b

a

R

y ln10104 27

0

34

27 −− =⋅= ∫ ∫ (2.103)

En tenant compte que rR

ab= on obtient la formule de calcul de la force électrodynamique

axiale :

rRiFy ln10 27−= (2.104)

Remarque: La formule de calcul (2.104) est valable pour n’importe quelle variation de la section de passage de la petite section à la grande section du conducteur (fig. 2.32). Si on aproxime la section de passage avec un nombre fini de section ayant une variation linéaire

31


definie par les rayons , , … , . Si on applique la formule de calcul (2.104) pour chaque section à variation linéaire et on fait la somme, on obtient la formule de calcul de la force électrodynamique axiale pour une variation quelconque de la section de passage :

0r 1r 2r 1−nr nr

( )

rRi

rr

irrrrrri

rr

rr

rri

rr

iF

nnn

n

i n

n

i

i

ln10

ln10lnlnlnlnlnln10

lnlnln10ln10

27-

0

2711201

27-

1

0 11

2

0

127127

==−⋅⋅⋅+−+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅⋅++==

−−

−

= −

−+− ∑

(2.105)

On constate que la formule de calcul (2.105) est la même avec la formule (2.104) donc la variation de la section de passage n’a pas d’importance.

Fig. 2.32 Section de passage quelconque

Un cas typique de voie de courant à section variable est le contact électrique. La valeur de la force axiale est très important en cas de court-circuit. On considère l’exemple suivante : le courant de court-circuit et le ratio des rayons est . La force axiale de repulsion en contact est :

kA 50=scI 2/ erR =

N 1000ln)10502(10ln10 2237max

27 =⋅⋅⋅⋅== −− erRiF

2. 7 Forces électrodynamiques dans les installations de courant alternatif 2.7.1 Forces électrodynamiques dans les installations monophasée

32


Ces forces électrodynamique apparaissent dans le transport et la distribution d’énergie électrique monophasée à deux conducteurs et aussi en triphasé quand on a un court-circuit entre deux conducteurs.

a) Cas du régime permanent L’expression du courant de court-circuit stabilisé est la suivante : (2.106) )sin(ˆ)( tIti ω=

La force électrodynamique est :

( ) vc FFtCItICtICCiF ±=ω−=ω−

=ω== )2cos(12

)2cos(1)2()(sinˆ 22222 (2.107)

2CIFc = )2cos(2 tCIFv ω= 0min =F 2

max 2CIF =

Fig. 2.33 Force électrodynamique dans une installation monophasée en régime permanent

b) Cas du régime transitoire L’expression du courant de court-circuit dans ce cas est :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α+α−ω= τ

−)sin()sin(ˆ)(

t

etIti (2.108)

La force électrodynamique s’écrit ainsi :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡αα−ω+α+α−ω

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α+α−ω==

τ−

τ−

τ−

)sin()sin(2)(sin)(sinˆ

)sin()sin(ˆ)(

22

22

2

22

tt

t

etetIC

etICtCiF (2.109)

33


Le graphique de est présenté à la figure 2.34. On constate que pendant le régime transitoire il y a des pics (valeurs maximales) qui diminiue et des pics (valeurs minimales) qui augmente. En régime stabilisé de court-circuit les deux valeurs devient égales, qui correspondent au régime permanent.

)(tF

La valeur maximale de la force est obtenue lorsque le courant de court-circuit atteint la valeur du courant de choc :

( ) ( ) 22222max 224.348.68.122 CICIICIkCCiF yy ⋅==⋅⋅=== (2.110)

En régime transitoare la force maximale augmente de fois par rapport au régime permanent.

24.3

Fig. 2.34 Force électrodynamique dans une installation monophasée en régime transitoire

2.7.2 Forces électrodynamiques en installations triphasées

a) Cas du régime permanent On considère trois conducteurs assis en ligne (fig. 2.35) et parcourus par les courants :

)sin(ˆ1 tIi ω= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω=3

2sinˆ2 tIi ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω=3

2sinˆ3 tIi (2.111)

Fig. 2.35 Forces électrodynamiques dans une installation triphasée en régime permanent

La force électrodynamique sur le conducteur 1 est :

34


)( 3132121311321121312 iCiCiiiCiiCFFF +=+=+= (2.112) En remplaçant dans (2.112) les expressions des courants données par (2.111), on obtient :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ωω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ωω=3

2sin)sin(3

2sin)sin(ˆ1312

2 ttCttCIF (2.113)

En utilisant la formule,

( ))cos()cos(21sinsin bababa +−−=⋅ (2.114)

on obtient :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω−+

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω−π

=

322cos

322cos

2

322cos

232cos

2322cos

232cos

2ˆ

131213122

131312122

tCtCCC

I

tCC

tCC

IF

(2.115)

44444444 344444444 2144 344 21

VC FF

ItCtCICC

F 21312

21312

322cos

322cos

2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+ω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ω−+

−=

Le terme de la force variable peut être écrit comme VF )2cos( θ+ωtFV ansi que la force électrodynamique sur le conducteur 1 peut être écrite ainsi : )2cos( θ+ω+= tFFF VC (2.116) Si on représente sous forme vectorielle la relation (2.115) et en tenant compt de la relation (2.116) à l’instant on obtient (fig. 2.36) que la composante constante est représentée par le vecteur

0=tOP . La composante variable est représentée par le vecteur PA qui tourne avec la

vitesse angulaire . La projection du vecteur tournant ω2 PA sur l’axe Ox donne la valeur de la composante variable, le vecteur PM , à l’instant quelconque t . La valeur instantanée de la force résultante à l’instant quelconque t est représenté par le vecteur OM

35


Fig. 2.36 Relativ à la représentation vectoriele de la force électrodynamique

La valeur du VF de la force variable est donnée par la relation suivante :

21312

213

212

21312

213

212 3

2cos2 ICCCCICCCCFV −+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

++= (2.117)

On constate que la valeur de la force maximale et de la force minimale est donnée par la relation :

VC FFF ±=minmax,21312

2I

CCFC

+= 2

13122

132

12 ICCCCFV −+= (2.118)

On sais que le coefficient de contour est : C

al

aalC c

1210 7 ≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ϕ= − ⇒ CC =12

213CC = (2.119)

Fig. 2.37 Relativ à la force minimale et maximale

2222

2

minmax 2

343

2422 CIICCC

CCF ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+±+

= (2.120)

2

max 615.1 CIF = 2min 115.0 CIF −=

Si le conducteur 1 est placé au millieu (fig. 2.38) on a : CC =12 CCC −=−= 1213

36


22222

minmax 3

2CIICCCCCF ±=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++±

−= (2.121)

Fig. 2.38 Force électrodynamique sur le conducteur situé au millieu

Le graphique des forces électrodynamiques auquelles sont soumis les trois conducteurs est présenté à la figure 2.39. On constate que la force maximale est sur le conducteur central ( 23CI ). Sur le conducteur lateral la force maximale ( ) est de repulsion tandis que la force minimale est d’attraction. Le conducteur central est sollicité de façon symetrique tandis que le conducteur lateral est sollicité nonsymetrique.

2615.1 CI

Fig. 2.39 Forces électrodynamiques en régime permanent en triphasé

b) Cas du régime transitoire

37


Dans ce cas nous allons calculer la force électrodynamique sur le conducteur le plus sollicité c'est-à-dire sur le conducteur central. L’expressions des courants, en régime transitoire, sur les trois phases sont :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α+α−ω= τ

−

)sin()sin(ˆ1

t

etIi

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ π−α+

π+α−ω= τ

−

)3

2sin()3

2sin(ˆ2

t

etIi (2.122)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ π+α+

π−α−ω= τ

−

)3

2sin()3

2sin(ˆ3

t

etIi

Le graphique des forces électrodynamique en régime transitoire sur les trois conducteurs est présenté à la fig. 2.40.

Fig. 2.40 Forces électrodynamiques en régime transitoire en triphasé

La force électrodynamique sur le conducteur central (fig. 2.40) est :

38


( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ π+α−

π−α−ω−

π−α+

π+α−ω

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α+α−ω=−=−=

τ−

τ−

τ−

)3

2sin()3

2sin()3

2sin()3

2sin(

)sin()sin(ˆ232131211

tt

t

etet

etICiiCiiCiiCiF

On applique la formule de transformation :

2

cos2

sin2)sin()sin( bababa +−=−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡αα−αα−ω+αα−ω−α−ωα−ω

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α−α−ω⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡α+α−ω

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α

π−⋅+α−ω

π⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α+α−ω=

τ−

τ−

τ−

τ−

τ−

τ−

τ−

)cos()sin()sin()cos()cos()sin()cos()sin(

ˆ3)cos()cos()sin()sin(ˆ3

)cos()3

2sin(2)cos(3

2sin2)sin()sin(ˆ

2

22

21

ttt

tt

tt

etetett

ICetetIC

etetICF

En utilisant la formule de transformation de type, )cos()sin(2)2sin( aaa = la relation ci-dessus devient :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α−α−ω−α−ω= τ

−τ−

)2sin()2sin(2))(2sin(32

21

tt

etetCIF (2.123)

Pour evaluer la valeur maximale de la relation (2.123) on utilise la propriété du modul (le modul d’une somme est inferieur ou égal avec la somme des modules) :

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α−+α−ω−+α−ω≤ τ

−τ−

)2sin()2sin(2))(2sin(32

21

tt

etetCIF (2.124)

Parce que 1)sin( ≤a et 8.0=τ−t

e pour un réseau standard, on obtient : [ ] [ ] 2222

1 6.524.338.08.0213 CICICIF =⋅⋅=+⋅+≤ (2.125) [ ] 2

1 6.5 CIF ≤ 2.8 Stabilité électrodynamique des équipements électriques. Résonance des barres

39


La stabilité électrodynamique est definie comme étant la capacité de l’équipement électrique de fair face aux effets mécanique provoquées par le courant de court-circuit. La stabilité électrodynamique est mesurée par le courant limite dynamique- qui est le plus grand valeur de crête qui peut être suportée par l’équipement à l’état fermé sans soufrir des deformations permanentes ou des dégats mécanique et sans se souder les contacts. Pour une même valeur du courant de court-circuit et la même distance entre conducteurs les forces électrodynamique les plus grandes sont obtenues dans le cas du court-circuit monophasé : (2.126) 2

1 48.6 CIF = Pour le court-circuit triphasé avec les conducteurs assis en ligne la force est : (2.127) 2

3 6.5 CIF = Dans les systèmes avec le neutre mis à la terre, le courant de court-circuit monophasé est égale avec le courant de court-circuit triphasé :

ff I

ZU

ZUII ====331 (2.128)

Dans les systèmes avec le neutre isolé, le courant de court-circuit biphasé est :

ff I

ZU

ZUI

23

23

22 === (2.129)

Pour un court-circuit biphasé la force électrodynamique maximale est : (2.130) 2

2 85.4 CIF = Remarque : Pour les système avec mise à la there le court-circuit monophasé est le plus dangereux et pour les système sans mise à la there le court-circuit triphasé est le plus dangereux. La resistance mécanique du matériau du conducteur dépand du sens de l’intensité de la force et de la durée d’action de celle-ci. L’effort produit par les forces électrodynamiques dans le conducteur ne doit pas dépasser l’effort unitaire admissible ( ) prévu dans les normes pour differents types de matériau. Par exemple pour l’aluminium

et pour cuivre . La relation qui fait la liaison entre l’effort unitaire effective et la force électrodynamique est :

aσ

24 N/m 106867 ⋅=σ Ala24 N/m 1013734 ⋅=σ Cua

kW

lf 2

=σ (2.131)

où - est la force électrodynamique sur l’unité de longueur, - la distance entre les supports de la barre, - un coefficient qui tient compte du mode d’appui sur le support (exemple pour les barres encastré sur les supports), W - le modul de ressistance de la barre.

lFf /= lk

10=k

Les forces électrodynamique peuvent s’amplifier à la resonance et elle peuvent augmenter jusqu'à 4 – 5 fois. Les fréquences propres des barres sont données par la formule :

40


mEJ

lk

f ii 2

2

2π= (2.132)

où - coefficient qui tient compt du mode d’appui sur le support, - la distance entre les supports,

ik lE - le modul de Young, - le moment d’inertie, - la masse. J m

Pour eviter la resonance il faut eviter que le ratio entre la fréquence propre fondamentale et la fréquence industrielle ( ) ne soient pas dans l’interval ( ). Hz 50 46.0 ⋅⋅⋅

41

Chapitre 2 EFFORTS ELECTRODYNAMIQUESaparate.elth.ucv.ro/POPA/CURSURI/Equipements electriques...

Documents

Transcript of Chapitre 2 EFFORTS ELECTRODYNAMIQUESaparate.elth.ucv.ro/POPA/CURSURI/Equipements electriques...