MLc EPFL - Travaux pratiques de physique

Lois de conservation

Résumé

Les lois de la mécanique sont basées sur des principes simples et intuitifs :la conservation de l’énergie, de la quantité de mouvement et du momentcinétique. Le but de cette expérience est de vérifier ces lois de conservationdans deux cas particuliers : choc élastique et mouvement circulaire uniformede rayon fixe.

TABLE DES MATIÈRES 1

Table des matières1 Théorie 2

1.1 Conservation de l´énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . 31.3 Conservation du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Chocs élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Mouvement circulaire uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Manipulations 52.1 Méthode expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Chocs élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Vérification de la conservation de l’énergie cinétique . . 72.2.2 Vérification de la conservation de la quantité de mou-

vement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Mouvement circulaire uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Vérification de la conservation du moment cinétique . . 92.3.2 Influence du frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.3 Calcul de la force centripète . . . . . . . . . . . . . . . 10

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1 Théorie 2

1 Théorie

1.1 Conservation de l´énergieUn ensemble de points matériels ou système est caractérisé par son énergie

totale qui est la somme de plusieurs énergies, notamment de son énergiemécanique (énergie cinétique et énergie potentielle) et de son énergie interne.Un système est dit isolé s’il n’échange ni travail ni chaleur avec l´extérieur.Principe de conservation : l’énergie totale d´un système isolé reste constanteau cours du temps.L’énergie cinétique d’un point matériel de masse m et de vitesse v est définiecomme le travail des forces nécessaire à accélérer le point du repos à la vitessev :

Ecin = 12mv

2 (1.1)

L´énergie cinétique d´un solide de masse totale M est la somme des énergiescinétiques de chacun des points matériels qui le composent et, si le solide esten translation à la vitesse v, elle vaut :

Ecin = 12Mv2

On montre que l’énergie cinétique d’un solide rigide en rotation autour del´axe ∆ à la vitesse angulaire ω est donnée par :

Ecin = 12I∆ω

2 (1.2)

I∆ est le moment d´inertie du solide par rapport à l’axe ∆. Il est définicomme suit :

I∆ =∑

mir2i ou I∆ =

∫Mr2dm (1.3)

La sommation s´effectue sur tous les PM du solide, mi étant la masse du PMi considéré et ri sa distance à l´axe.Dans le cas du mouvement plan le plus général d´un solide rigide (compo-sition d’une rotation et d´une translation), l’énergie cinétique est égale àla somme de l´énergie cinétique de translation et de l´énergie cinétique derotation autour du centre de masse.

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1.2 Conservation de la quantité de mouvement 3

1.2 Conservation de la quantité de mouvementLa quantité de mouvement d´un corps en translation est la grandeur

vectoriel-le égale au produit de la masse par le vecteur vitesse du corps :

~p = m~v (1.4)

La quantité de mouvement d´un système est la somme vectorielle des quanti-tés de mouvement des PM qui le composent. La 2ème loi de Newton :

d~p

dt=∑

~Fext (1.5)

a pour conséquence que la quantité de mouvement d’un système isolé (quine subit pas de force extérieure) reste constante au cours du temps.

1.3 Conservation du moment cinétiqueLe moment cinétique d’un PM relativement à un point O est défini comme

le produit vectoriel du rayon vecteur ~r issu de O et aboutissant au PM parla quantité de mouvement du PM :

~L = ~r ∧ ~p = m~r ∧ ~v (1.6)

Le moment cinétique d´un solide rigide est la somme des moments cinétiquesde tous les PM qui le composent. Pour une rotation autour d´un axe fixe, onmontre que ~L est un vecteur parallèle à l´axe de rotation et lié directementà la vitesse angulaire :

~L = I∆ω (1.7)On appelle moment d’une force ~F par rapport à un point O la grandeurvectorielle :

~M = ~r ∧ ~F (1.8)où ~r est le vecteur reliant O au point d’application de ~F . Ces deux définitionset la seconde loi de Newton permettent d´établir le théorème du momentcinétique :

d~L

dt=∑

~Mext (1.9)

On note à nouveau que si la somme des moments par rapport à un point O detoutes les forces extérieures qui agissent sur un système est nulle, le momentcinétique du système par rapport à O est constant au cours du temps.

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1.4 Chocs élastiques 4

1.4 Chocs élastiquesQuand deux particules (ou systèmes) s’approchent l’une de l’autre, leur

inter-action mutuelle modifie leur mouvement, produisant de ce fait un échangede quantité de mouvement et d´énergie. Nous disons qu’il y a eu un choc.Ceci ne signifie pas nécessairement que les deux particules (ou systèmes) ontété physiquement en contact comme dans le cas d´un choc entre deux boulesde billard ; ceci veut dire en général qu’une interaction a eu lieu quand lesdeux particules étaient proches comme dans la région R de la figure 1, enproduisant une variation mesurable de leurs mouvements pendant un tempsrelativement court.Puisque seules les forces intérieures (forces entre particules) jouent un rôledans le choc, le système de particules est isolé, et la quantité de mouvementet l’énergie totales sont toutes deux conservées.

Fig. 1.1: Choc de deux particules

Etoti = Etot

f i=initialeptoti = ptot

f f=final

Si le choc est tel que l’énergie potentielle et l’énergie interne ne changent pas,l’énergie cinétique est alors conservée et le choc est dit élastique.

Etotcin,i = Etot

cin,f

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1.5 Mouvement circulaire uniforme 5

1.5 Mouvement circulaire uniformeSoit un PM de masse m effectuant dans un plan horizontal un mouvement

circulaire uniforme de rayon r autour d´un point O. Dans ce cas le vecteurvitesse ~v est à tout instant perpendiculaire au rayon, et le moment cinétiquedu point PM par rapport au centre O est donné par :

LO = mvr

Si l’on exerce sur le PM une force de moment nul par rapport à O, le momentcinétique reste constant :

Li = Lf

mrivi = mrfvf

de sorte que :vfvi

= rirf

Si le rayon augmente, la vitesse diminue et réciproquement.

2 Manipulations

Précautions à l’emploi du matérielLa manutention des mobiles doit se faire sur une surface propre (feuille

de papier).Il ne faut pas effectuer le montage des pièces supplémentaires du mobile surla plaque de verre ; risque de briser la plaque !Il faut impérativement débrancher la prise électrique si l’on démonte la canned’alimentation à cause de risques de court-circuit.Les disques mobiles sans les rondelles de protection ne devront en aucun cass’entrechoquer.

But de la manipulationVérification des lois de conservation dans deux cas particuliers : choc

élastique et mouvement circulaire uniforme de rayon fixe.

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2.1 Méthode expérimentale 6

2.1 Méthode expérimentaleOn dispose d’une table avec plaque de verre servant de surface expéri-

mentale. La table est limitée par des élastiques et son assise est stabilisée par3 pieds (1 fixe et 2 réglables). Sur un côté de la table se trouve le bloc-secteurpour l’alimentation en tension du ventilateur et des électrodes d’enregistre-ment.

Une feuille de papier métallisé est placée sur la plaque de verre. Elle doitêtre enserrée sous la barre en aluminium qui est sur le côté opposé à l’inter-rupteur principal.

Sur la table, on peut déposer des disques (ou cylindres) mobiles. Ils sontmunis d’une soufflerie et donc un coussin d’air permet leurs mouvementspratiquement sans frottement.

Le disque mobile a en son centre une électrode d’enregistrement. À inter-valle régulier, cette pointe marque le papier métallisé d’un point noir. Lafréquence de marquage peut être choisie au moyen d’un sélecteur situé sur lebloc-secteur, près de l’interrupteur principal.

Sur le disque mobile se trouve un interrupteur marche-arrêt pour la souf-flerie. On y trouve aussi une douille pour le raccordement d’une électrodesupplémentaire. Un second interrupteur agit sur la mise en marche de l’élec-trode centrale du mobile (attention : cet interrupteur n’agit pas sur la mise enmarche de l’électrode supplémentaire). Enfin, au centre du mobile se trouvela douille pour la fiche du câble d’alimentation.

Pour les expériences que nous nous proposons d’effectuer, il faut connaître laposition et l’orientation du disque à des instants donnés. Le mobile doit êtremuni de la rondelle élastique avec support sur la périphérie de l’électrodesupplémentaire.

À la fin de l’expérience, les positions successives du disque sont repérablessur le papier en traçant à la règle et au crayon un système de coordonnées.Les incertitudes sont estimées en tenant compte de la précision du report despositions du disque et de la précision avec laquelle sont connus les intervallesde temps entre les marquages.

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2.2 Chocs élastiques 7

2.2 Chocs élastiquesLes disques utilisés sont munis de rondelles élastiques qui permettent

de réaliser des chocs parfaitement élastiques à condition que la vitesse desdisques ne soit pas trop grande.Il est nécessaire, avant de marquer le papier métallisé, de s’exercer à lancerles disques de manière à obtenir un bon choc élastique. On prendra gardeaux points suivants :

– Ne pas lancer les disques trop fort pour éviter le contact directementsur le disque.

– Utiliser les électrodes supplémentaires placées dans le support à la pé-riphérie de chaque rondelle élastique.

– S’assurer que les trajectoires des disques avant et après le choc sont suf-fisamment différentes. Sans quoi, les points de marquage se superposentsur l’image qui devient difficilement interprétable.

Pour réaliser l’expérience, on procédera de la manière suivante :– Actionner l’interrupteur principal,– Régler le sélecteur de fréquence,– Mettre en marche la soufflerie,– Fermer l’interrupteur de marquage (sur le disque),– Enfoncer le bouton-poussoir pour lancer l’enregistrement,– Lancer les disques,– Après le choc, laisser les disques s’éloigner suffisamment l’un de l’autrepuis lâcher le bouton-poussoir,

– Analyser l’image des trajectoires et noter la fréquence de marquage.

2.2.1 Vérification de la conservation de l’énergie cinétique

On déterminera la vitesse moyenne de chacun des deux disques avant etaprès le choc en faisant le rapport de la distance parcourue au temps mispour la parcourir.La précision est augmentée si l’on considère plusieurs positions du disqueavant et après le choc. Il faut, de plus, éviter de prendre des mesures dans lazone d’interaction (les disques entrent dans cette zone lorsque leurs trajec-toires ne sont plus rectilignes).Les vitesses des disques ~v1 et ~v2 avant le choc et ~v′1 et ~v′2 après le choc per-mettent de calculer les énergies cinétiques de translation.Que peut-on dire de l’énergie cinétique de rotation ? Est-elle négligeable ?

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2.3 Mouvement circulaire uniforme 8

Si les conditions sont réunies pour que le principe de conservation de l’éner-gie soit applicable - le sont-elles ? - la somme des énergies cinétiques avant lechoc doit être égale à la somme des énergies cinétiques après le choc. Ce quel’on vérifiera !

2.2.2 Vérification de la conservation de la quantité de mouvement

Si les conditions sont réunies pour que le principe de conservation de laquantité de mouvement soit applicable, le vecteur somme des quantités demouvement avant le choc doit être identique au vecteur somme des quantitésde mouvement après le choc.On pourra effectuer cette vérification en reportant à partir d’un point quel-conque de la feuille, les vecteurs m1 ~v1 parallèlement à ~v1 et m2 ~v2 parallèle-ment à ~v2 puis en les sommant. On reportera ensuite les vecteurs quantitésde mouvement après le choc à partir du même point et de la même façon ; onles sommera. Les deux vecteurs résultants doivent être égaux en grandeur eten direction aux incertitudes près.Ajouter une masse supplémentaire à un des deux mobiles et refaire l’expé-rience des chocs élastiques. Retrouvez-vous les lois de conservation ?

2.3 Mouvement circulaire uniformeUn mouvement circulaire uniforme est obtenu en faisant agir sur un disque

de masse M en mouvement à la vitesse v une force centripète Fc . Il est facilede montrer que la force centripète est liée à la vitesse et au rayon r de latrajectoire par la relation :

Fc = Mac = v2

r

Dans l’expérience, la force centripète est égale à la force de réaction exercéele long du fil reliant le disque mobile à un pied avec bague de fixation.Le moment de la force centripète par rapport au centre de rotation est nul.Une variation de cette force n’influe pas sur le moment cinétique qui doit êtreconservé. On s’exercera tout d’abord à lancer le disque de façon à obtenir unmouvement circulaire du plus grand diamètre possible. La vitesse doit êtreperpendiculaire à la force et sa valeur doit être telle que la relation ci-dessussoit satisfaite.

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2.3 Mouvement circulaire uniforme 9

– Actionner l’interrupteur principal,– Régler le sélecteur de fréquence,– Mettre en marche la soufflerie,– Fermer l’interrupteur de marquage (sur le disque),– Lancer le disque,– Dès que le mouvement est bien circulaire, enfoncer le bouton-poussoirpour lancer l’enregistrement. Le temps d’enregistrement doit être suffi-samment long pour que l’on puisse fixer plusieurs positions du disque.Mais il ne faut pas que le temps d’enregistrement soit supérieur à celuid’un tour du disque, sinon les images se superposent,

– Analyser l’image enregistrée.Ajouter une masse supplémentaire au mobile et refaire l’expérience.

2.3.1 Vérification de la conservation du moment cinétique

On mesurera sur l’image les rayons moyens r1 et r2 ainsi que les vitesseangulaires moyennes ω1 et ω2 des deux mouvements.Si les conditions sont réunies pour que le principe de conservation du momentcinétique soit applicable - voir à ce sujet le paragraphe 2.3.2 - le moment ci-nétique du premier mouvement doit être égal au moment cinétique du secondmouvement. Est-ce le cas dans avec vos expériences ? Si ce n’est le cas, quelélément a changé entre la première et la deuxième expérience pour rendrecaduc le principe de conservation du moment cinétique. Effectuer plusieursfois l’expérience avec les mobiles avec poids différents, jusqu’à obtenir deuxmouvements avec le même moment cinétique.

2.3.2 Influence du frottement

Dans le mouvement circulaire uniforme, les frottements, surtout dans lapoulie centrale ne sont plus négligeables. Ils provoquent une erreur systéma-tique qu’il s’agit d’estimer si l’on veut obtenir un résultat convenable.Le rayon étant constant et le disque perdant de la vitesse du fait des frot-tements, la force centrale diminue. Le moment de la force de frottementn’étant pas nul par rapport au centre de rotation, le moment cinétique n’estpas conservé.Entre la première et la seconde marque d’enregistrement, le mobile effectueun nombre de tours N . Une correction simple et suffisante consiste à évaluerla diminution moyenne de la force par tour δF .

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2.3 Mouvement circulaire uniforme 10

On corrigera alors la force finale en y ajoutant la valeur :

δFf = nδF

Pour estimer δF , on peut compter le nombre de tours n nécessaires pour quele disque s’immobilise. Connaissant approximativement la force de départ F ,on trouve la correction moyenne par tour :

δF = F

n

2.3.3 Calcul de la force centripète

La tension dans le fil reliant le disque au pied de fixation peut être dé-terminée par le calcul de l’accélération centripète, connaissant la vitesse etle rayon de rotation du disque.Pour les deux mouvements, on calculera FC .Comment pourrait-on tester expérimentalement le principe de la conserva-tion du moment cinétique ? Doit-on modifier l’appareillage ?

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