Méthodes de prévision (STT-3220)

Section 6

Autocorrélations partielles

Version: 16 décembre 2008

STT-3220; Méthodes de prévision2

Identification des ordres dans les modèles ARMA(p,q)

Lors de la modélisation des séries chronologiques avec des données réelles, une question d’importance est le choix des ordres p et q.

Ceci correspond à l’étape d’identification d’un modèle, dans la procédure de Box et Jenkins.

Deux outils sont fondamentaux à cette fin: les autocorrélations (ACF) et les autocorrélations partielles (PACF).

STT-3220; Méthodes de prévision3

Définition intuitive des autocorrélations partielles

Supposons que l’on dispose de trois variables aléatoires, X, Y et Z.

Souvent, la corrélation entre X et Y pourrait être attribuable au fait que:– X et Z sont corrélées;– Y et Z sont corrélées.

L’autocorrélation partielle cherche à quantifier la dépendance entre X et Y en retirant la dépendance avec Z.

STT-3220; Méthodes de prévision4

Corrélations partielles dans un contexte de séries chronologiques

Considérons un processus stochastique que l’on présume SSL et tel que .

Comme dans le transparent précédent, la dépendance entre Zt et Zt+k pourrait être grandement attribuable à la dépendance de ces variables aléatoires avec Zt+1, Zt+2,…Zt+k-1.

On voudrait calculer la corrélation conditionnelle:

tZ

11 ,,, ktttkt ZZZZcorr

0tZE

STT-3220; Méthodes de prévision5

Définition formelle de la corrélation partielle

Soient Zt et Zt+k. On note et les meilleures prévisions linéaires de Zt et Zt+k, respectivement, au sens de l’erreur quadratique moyenne, fonctions linéaires de Zt+1,Zt+2,…Zt+k-1.

On définit autocorrélation partielle:

tZ ktZ ˆ

21

11

ˆvarˆvar

ˆ,ˆcov

ˆ,ˆcorr,,,corr

ttktkt

ttktkt

ttktktktttkt

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZZZZZ

STT-3220; Méthodes de prévision6

Calcul des autocorrélations partielles

Soit le processus SSL tel que . 1. On formule le modèle de régression:

2. On multiplie par Zt+k-j, j positif:

On prend l’espérance:

tZ 0tZE

kttkkktkktkkt aZZZZ 2211

jktktjkttkkjktktkjktkt ZaZZZZZZ 11

kjjj

kjjj

kkk

kkk

1

1

1

1

STT-3220; Méthodes de prévision7

On forme le système d’équations suivant pour j = 1,2,…,k:

Le système devient:

Il suffit de résoudre ce système avec la règle de Cramer; l’autocorrélation partielle de délai k est kk.

021

2012

1101

21

21

21

kkkk

kkkk

kkkk

kkk

k

k

STT-3220; Méthodes de prévision8

Règle de Cramer pour le calcul des kk

Par la règle de Cramer:

01

10

det

|11

|

2|11

1|20

det

k

k

kk

k

k

kk

STT-3220; Méthodes de prévision9

Propriétés générales des kk

1. C’est par définition une corrélation, donc on a que

2. Puisqu’il n’y a pas de variables intermédiaires entre Zt et Zt+1: 11 = (1).

3. On trouve que:

.1,1 kkk

11

12

11

11det

21

11det

2

2

22

STT-3220; Méthodes de prévision10

Estimation des kk

L’estimateur de kk, que l’on pourrait noter , est obtenu en remplaçant dans l’acétate 8 les (k) inconnues par les r(k).

Les estimateurs ainsi obtenus sont convergents en probabilité sous des conditions générales pour kk. La raison essentielle de ce résultat est que r(k) est convergent pour (k).

Si est un bruit blanc:

kk

kk

tZ

n

10,ˆ Nkk

STT-3220; Méthodes de prévision11

Identification d’un ARMA(p,q) avec l’ACF et la PACF

Si processus est AR(p):– Nombre infini d’autocorrélations.– Nombre fini d’autocorrélations partielles. En fait

pour un AR(p): kk = 0, si k > p.

Si processus est MA(q):– Nombre fini d’autocorrélations. En fait, pour un

MA(q), on a que (k) = 0, si k > q.– Nombre infini d’autocorrélations partielles.