Mémoire présenté le : pour l’obtention du diplôme de ... · Durbin-Watson, Commutations,...

Mémoire présenté le :

pour l’obtention du diplôme

de Statisticien Mention Actuariat

et l’admission à l’Institut des Actuaires

Par :

Sujet : L’assurance de viager

Confidentialité : NON OUI (Durée : 1 an 2 ans)

Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus.

Membre présents du jury de

l’Institut des Actuaires Entreprise :GENERALI

Nom : M. COHEN Arnaud

Signature :

Membres présents du jury de la

filière Directeur de mémoire en

entreprise :

Nom : M. TOLEDANO Elie

Signature :

Invité :

Nom :

Signature :

Autorisation de publication et de

mise en ligne sur un site de

diffusion de documents actuariels (après expiration de l’éventuel

délai de confidentialité)

Signature du responsable entreprise

Secrétariat Signature du candidat

Bibliothèque :

ABITBOL Franklin

3

Résumé

L’assurance de viager

Mots-clefs : Viager, modèle de taux, Vasicek, Dépendance, Copule, Cœur brisé, Test de

Durbin-Watson, Commutations, Assurance décès, Espérance de vie

Le viager est une réponse assurantiel à un problème qui a plusieurs milliers d’années : le

maintien de revenus d’une population vieillissante. Cet outil permet entre autre aux vendeurs

de s’assurer le maintien de leur pouvoir d’achat jusqu’à leur décès tout en continuant à

occuper leur logement de façon durable. Néanmoins, ces derniers ne souhaitent pas risquer un

défaut de paiement de l’acheteur. D’un autre côté l’acheteur souhaite acquérir un bien à

moindre prix et également se prémunir contre le risque de dépassement de l’espérance de vie

du débirentier.

Le principal objectif est de démontrer comment l’assurance de viager peut fournir une réponse

à ces deux problématiques. Dans un premier temps nous nous bornons à l’étude de ce produit

dans un cadre déterministe et règlementaire. Nous montrerons donc que ce cadre est assez

contraignant pour modéliser les taux d’intérêts et l’inflation au plus près et surtout les cas de

dépendance entre les âges de décès des couples.

La dernière étape de ce mémoire consiste en l’analyse de la tarification de l’assurance de

viager dans un cadre stochastique en introduisant un modèle de taux pour modéliser les taux

d’intérêts. Nous analyserons également l’introduction d’une dépendance entre les âges de

décès des deux débirentiers. Cette dernière méthode nous permettra montrer comment un outil

probabiliste tel les copules permet de diminuer le risque fortement et de rendre l’offre

commerciale encore plus attractive.

4

Remerciements

Je remercie toute mon équipe des Solutions d’Assurances de Personnes pour leur écoute, le

savoir qu’ils m’ont transmis, et la bonne humeur qu’ils font régner au sein de mon Service.

Je tiens à adresser mes plus vifs et sincères remerciements à mon maître d’apprentissage M.

Elie TOLEDANO, Directeur des Solutions Assurances de Personnes de la Direction des

Partenariats, pour m’avoir accueilli au sein de son équipe.

Je lui exprime ma profonde reconnaissance pour la qualité et la pertinence de ses remarques

ainsi que pour sa disponibilité qui m’ont permis de mener à bien ce travail.

J’adresse à M. Arnaud COHEN , mon tuteur, ma gratitude pour son engagement et son suivi

attentionné.

Je souhaite également remercier Jean-Yves HERMENIER pour son écoute attentive et ses

conseils toujours excellents.

Je remercie également Arnaud BERJON directeur général adjoint de Ciprès Vie, pour sa

relecture attentive.

Enfin, je remercie mon épouse pour son soutien durant cette période de rédaction de mon

mémoire.

5

Table des matières

Résumé .................................................................................................................................................... 3

Remerciements ....................................................................................................................................... 4

Introduction ............................................................................................................................................. 8

I) Generali : un groupe ...................................................................................................................... 10

1) Generali dans le monde ............................................................................................................ 10

2) Generali France ......................................................................................................................... 11

3) La Direction des Partenariats .................................................................................................... 11

4) La direction des Solutions d’Assurances de Personnes ............................................................. 12

II) L’opération de vente immobilière en viager ............................................................................. 14

1) Définition du viager ................................................................................................................... 14

2) Fiscalité du viager ...................................................................................................................... 16

3) Le calcul du prix de transaction ................................................................................................. 17

4) Les tables de mortalité : un outil en débat ............................................................................... 18

5) Intérêts du viager ...................................................................................................................... 19

5.1 Le profil des vendeurs. ............................................................................................................ 19

5.2 Le profil des acheteurs ............................................................................................................ 21

III) Le contexte économique et financier du viager et la réponse assurantielle dans un cadre

déterministe .......................................................................................................................................... 23

1) Une situation économique de crise ........................................................................................... 23

1.1 Assurance en cas de dépassement de l’espérance de vie du crédirentier ....................... 23

1.2 Assurance en cas de décès du débirentier ........................................................................ 23

1.3 Assurance packagée .......................................................................................................... 24

1.4 Assurance sur deux têtes................................................................................................... 24

2) La réponse assurantielle ............................................................................................................ 25

2.1 Assurance en cas de dépassement de l’espérance de vie du crédirentier ............................. 25

2.2 Assurance en cas de décès du débirentier .............................................................................. 31

2.3 Assurance packagée ................................................................................................................ 38

2.4 Assurance viager sur deux têtes .............................................................................................. 41

2.5 Tarif plafonné par le prix d’une rente certaine ....................................................................... 46

2.6. Modélisation de la revalorisation de la rente ........................................................................ 48

2.7 Limites de la modélisation déterministe et de la règlementation prudentielle ..................... 55

6

IV) Modélisation des risques techniques et financiers ................................................................... 57

1) Modélisation stochastique de la revalorisation de la rente ...................................................... 57

1.1. Lien entre le taux de croissance, l’inflation et les taux d’intérêts .......................................... 57

1.2. Modélisation de l’inflation ..................................................................................................... 58

1.3 Modèle de taux d’intérêt......................................................................................................... 60

1.4. Tarification de l’assurance de viager dans le cadre stochastique .......................................... 65

1.5. Simulation de la courbe des taux ........................................................................................... 70

1.6. Simulation des prix de l’Assurance de viager à l’aide du modèle de Vasicek avec

revalorisation……………………………………………………………………………………….. .................................... 74

2) Dépendance de la vie des deux crédirentiers ........................................................................... 77

2.1. La Copule : l’outil idoine pour modéliser la dépendance de deux variables ......................... 77

2.2. Détermination d’une copule modélisant la dépendance des décès des débirentiers………….96

2.3. Réévaluation du prix de l’assurance viager dans un cadre copulaire…………………………………. 99

Conclusion ........................................................................................................................................... 106

Bibliographie........................................................................................................................................ 107

8

Introduction

Comme l’affirme Corinne Griffond1, le viager est un célèbre inconnu. En effet, la

plupart des gens connaissent le terme de viager, sans réellement percevoir les rouages de cette

transaction immobilière.

L’histoire du viager a commencé à s’écrire déjà à des âges très lointains, puisque les

Babyloniens, les Égyptiens, les Grecs comme les Romains connaissaient le principe de cette

transaction. Le viager avait alors pour objectif d’éviter la déshérence des terres sans entraver

la transmission de patrimoine à des tiers.

En France, le viager est une vieille tradition que l’on retrouvait déjà au temps de

l’Ancien Régime, époque durant laquelle il était déjà un sujet d’étude attractif. C’est dans ce

contexte que le mathématicien Antoine Deyparcieux2 en fait une étude approfondie dans son

ouvrage fondateur dans les métiers de l’Assurance-Vie. Le viager apparaît alors dans le

corpus de texte juridique et est inscrit dans le Code Civil par le Consulat. Au cours du XIXe

siècle, le recours au viager est un des seuls outils assurantiels répandu pour faire face à la

faiblesse des systèmes de retraite. La vente viagère est un moyen pour les personnes d’un

certain âge, qui vivent souvent dans une pauvreté relative, d’obtenir un complément de revenu

non négligeable, tout en permettant aux plus jeunes de devenir propriétaires de manière

progressive dans le temps. Après qu’elle eut connu un franc succès au cours du XIXe siècle,

la rente viagère est reléguée au second plan, du fait de l’essor des caisses de retraites et des

mutuelles ainsi que de l’accès au crédit.

Toutefois, après une longue période de quasi oubli, on a pu constater un retour en

force du viager depuis quelques années. En effet, après un long passage à vide jusqu’en 2006

(environ 2000 transactions annuelles), le viager connait actuellement un véritable rebond

puisque le nombre de ventes en 2008 et en 2009 s’est élevé à 5000 ventes par an, soit une

multiplication par 2,5 de la surface du marché. Le viager est un marché en croissance et doté

d’un potentiel important, dans la mesure où un récent rapport estime sa surface théorique à

700 milliards d’euros, soit 12 000 biens en vente aujourd’hui.

Cela dit, on a pu remarquer que les vendeurs de viager ne sont pas forcément assurés

de trouver un acheteur. Une étude publiée récemment a en effet démontré que l’allongement

de la durée de vie des vendeurs tendait à rendre plus frileux les éventuels acheteurs. En outre,

certains peuvent craindre que les héritiers aient ensuite à charge le paiement d’une rente. Cette

perspective constitue un argument de poids qui peut conduire à décourager les éventuels

acheter de viager.

Dans ce contexte, les principaux acteurs du marché du viager en France ont eu l’idée

de mettre en place des systèmes assurantiels relatifs aux viagers. L’idée est en effet de

garantir à l’acheteur qu’il sera tenu d’honorer le paiement de la rente pendant une durée

1 Rapport du Conseil économique et social : « Les viagers immobiliers en France », mars 2008, Corinne Griffond

2 Essai sur les probabilités de la Vie Humaine, 1746, Antoine Deyparcieux

9

définie. De même, l’assurance peut dans certains cas conduire à ce que les héritiers n’aient

pas à supporter la charge de la rente. Certains acheteurs encore plus averses au risque peuvent

vouloir contracter une assurance contre ces deux types de situations.

Il sera alors question dans notre étude d’apporter une vision du marché du viager en

France et en particulier de comprendre comment une réponse assurantielle permettrait de faire

croitre le nombre de ventes.

On pourra donc dans un premier temps, définir la vente immobilière en viager et son

cadre économique juridique et social. Puis dans un second temps analyser, dans un cadre

déterministe et règlementaire, les différents produits d’assurance qui pourraient faire croitre

le nombre de ventes immobilières en viager. Dans une troisième partie, on s’attachera à

outrepasser les limites de la modélisation déterministe en inscrivant l’assurance de viager

dans un cadre stochastique. Enfin, on s’efforcera de mettre en exergue les perspectives

offertes par la mise en place de ce produit.

10

I) Generali : un groupe

1) Generali dans le monde

Dès sa fondation en 1831 à Trieste, Generali a eu une vision pionnière de son activité.

Le Groupe s’est développé dans toutes les branches de l’assurance pour mieux garantir

aujourd’hui près de 70 millions de clients dans le monde entier. Aujourd’hui, Generali est le

premier assureur en Italie et impose sa présence aux quatre coins du globe.

Generali a concentré son activité sur le segment de la vie et se positionne en tant que

leader sur ce marché. Le groupe s’est positionné aussi bien sur les risques de masse

(automobile, habitation, santé) que sur les risques spécifiques (satellites, fusées, protection

sociale des salariés d’entreprises multinationales. . . ) en passant par la protection des ménages

(prévoyance, épargne, retraite, succession). Le Groupe apporte par ailleurs une couverture

mondiale en matière d’assistance (voyage, automobile, santé, vie quotidienne) avec sa filiale

Europ Assistance, qu’il a fondé en 1963.

Fort de 85 000 collaborateurs, Generali opère dans 68 pays répartis en trois zones d’activité

majeures :

– L’Europe ;

– L’Asie ;

– L’Amérique latine.

Le groupe Generali cherche à asseoir sa force en Europe et se distingue sur les nouveaux

marchés de l’assurance.

Generali SPA figure parmi les 50 plus grandes capitalisations boursières européennes, tous

secteurs d’activités confondus. Le tableau qui suit illustre l’importance de Generali en termes

de volume.

Par ailleurs, Generali met en œuvre et porte un grand nombre d’actions en matière de

développement durable et de responsabilité sociétale. Les engagements sociétaux et les

actions responsables de Generali France peuvent être décrits par les quatre piliers de

Génération Responsable, le site consacré aux promesses de Generali France en la matière:

1) Assurer et investir : Protéger nos clients et préserver leurs intérêts

2) Mobilier et optimiser : Gérer nos activités en misant sur l'humain, optimiser nos

ressources

3) Inciter et anticiper : Encourager les comportements vertueux pour préparer l'avenir

4) Observer et réfléchir: Décrypter les grandes évolutions de la société d'aujourd'hui

11

2) Generali France

Implanté dans l’hexagone depuis 1832 et totalisant un quart de l’activité mondiale de

Generali, Generali France est, par ordre d’importance, le troisième marché du Groupe, après

l’Italie et l’Allemagne.

L’entreprise s’organise autour de 4 pôles appelés univers :

- L’Univers des Particuliers constitue le cadre de pilotage des enjeux de l'entreprise sur le

marché des particuliers

- L’Univers des Professionnels et Petites Entreprises (Pro PE) constitue le cadre de pilotage

des enjeux de l'entreprise sur le marché des professionnels et petites entreprises.

- L’Univers des Entreprises a pour vocation d'offrir des produits et des services aux

entreprises de plus de vingt salariés tant dans le domaine Incendie, Accidents et Risques

Divers (IARD) que dans le domaine de l'assurance collective.

- L’Univers de l'Epargne Patrimoniale est spécialisée dans la conception de solutions

d'assurance vie à vocation patrimoniale dans le cadre de partenariats avec les Conseillers en

Gestion de Patrimoine Indépendants (CGPI) et les Grands Comptes.

3) La Direction des Partenariats

La Direction des Partenariats est une direction récente, créée en 2011, rattachée à l’Univers

des Particuliers, qui a pour but de développer des partenariats avec des courtiers et autres

acteurs de l’économies et d'assurer leur rentabilité dans les domaines de l'assurance

dommages et de l'assurance de personnes.

Elle propose des solutions sur mesure en matière de produits, service et gestion, mais

s'intéresse aussi aux segments de clientèles qui ne sont pas la cible des réseaux classiques.

Elle permet à Generali de distribuer ses produits sur des niches auxquelles les canaux

traditionnels ne s'adressent pas.

En s'appuyant sur ses qualités d'adaptabilité et d'efficacité, la Direction des Partenariats a pour

objectif de mettre en place et suivre la rentabilité d'offres sur mesure répondant aux cahiers

des charges spécifiques des partenaires. Le circuit de distribution le plus courant est celui du

courtage.

La Direction des Partenariats est elle-même divisée en quatre entités:

La Direction du Développement est responsable de la prospection et du développement de

nouveaux partenariats et de nouveaux produits. Les premiers contacts avec les partenaires

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sont de leur ressort, ainsi que la transmission des attentes de ceux-ci au service technique

concerné. Cette Direction est par ailleurs en charge de la bonne tenue de la relation avec le

partenaire.

La Direction des Solutions d'Assurance de Personnes dont l'activité sera détaillée dans la

prochaine section.

La Direction des Solutions d'Assurance Dommages est chargée des solutions techniques des

partenariats dans le domaine des dommages aux biens: accidents, incendies, vols, mais

également l'assurance de tiers: responsabilité civile, etc. Cette entité connait un fort

développement dans le domaine des Assurances affinitaires.

La Direction du Pilotage des Délégations de Gestion et Projets gère de la mise en place des

processus de gestion tels que les échanges de flux financiers ou les reportings permettant de

vérifier, suivre et répertorier les contrats. De plus, il est responsable de la contractualisation

avec les délégataires de gestion, notamment concernant la définition de leurs missions et

devoirs.

4) La direction des Solutions d’Assurances de Personnes

Le service des Solutions d'Assurance de Personnes a plusieurs missions:

L'élaboration des solutions techniques. On regroupe ici la conception du produit, la

tarification et la définition des règles de souscription et de gestion pour un partenariat.

La rédaction des documents contractuels nécessaires à la mise en place d'un partenariat et à

son suivi: les dispositions générales et particulières, les tableaux de garanties, le bulletin

d'adhésion, les conventions de distribution, de gestion et les avenants attenants.

Les différentes analyses actuarielles et statistiques d'un portefeuille avant sa

commercialisation, la surveillance du portefeuille une fois mis sur le marché, ainsi que les

mesures tarifaires, règlementaires et de gestion à effectuer pour assurer l’équilibre technique

du produit et son attractivité commerciale.

Ces missions s'appliquent aux différents types de produits d'assurance: complémentaire santé,

prévoyance, obsèques, emprunteur, individuelles accident ou accidents de la vie et divers

risques nouveaux qui nécessitent d’être assurés.

Cette direction est un élément moteur de la mise en place d’un partenariat.

13

4.1. Mise en place d’un partenariat

La mise en place d'un partenariat suit un protocole précis. Le courtier distributeur fournit

généralement à l'équipe technique un cahier des charges comprenant les garanties, ainsi que

les taux de commissions souhaités, mais également les objectifs de vente et toute autre

information qu'il juge utile de communiquer. S'ensuit l'étude tarifaire du produit demandé,

puis différents échanges ont lieu entre le courtier et l'équipe technique jusqu'à parvenir à un

accord.

Dans la foulée, les conditions contractuelles, discutées au préalable entre les deux parties, sont

rédigées. Ces dernières reprennent les règles de souscription et d’acceptation du risque et sont

déterminantes dans la maitrise de ce dernier. Parallèlement, les services concernés s'occupent

de la rédaction des conventions de gestion et de distribution. En effet, dans le cadre des

partenariats, GENERALI délègue la partie gestion des contrats, qui comprend:

- L'encaissement des cotisations

- Le règlement des sinistres

- Les rappels de cotisations

- La communication d'information aux assurés

- Les courriers de résiliations

4.2. Suivi d’un partenariat

Dans le cadre de la délégation de gestion, l'équipe technique reçoit tous les mois du

gestionnaire les informations du mois précédent concernant notamment les cotisations reçues

et les prestations versées. Avec ces données, l'équipe des Solutions en Assurance de

Personnes peut produire différents outils analysant chacun le risque d'une manière différente.

Parmi les principaux outils d’appréhension du risque :

- Le triangle de liquidation par mois : il permet d'anticiper les prestations à venir, et de prévoir

la date à laquelle le partenariat sera rentable.

- Le compte de résultat: il s'agit d'une vision des flux financiers et du ratio Sinistres/Primes

(S/P) par mois et par niveaux de garantie.

- La ventilation par poste: il s'agit d'une vision des sinistres, des primes et du S/P selon les

différents postes.

C'est grâce à ces outils que peuvent être demandés au partenaire des augmentations ou

diminutions de tarif, des évolutions de garanties ou de gammes selon les différents produits.

Nous pouvons également être amenés à piloter un partenaire au global entre ses activités

dommages et personnes : de cette façon, même si nous sommes déficitaire sur un secteur, le

résultat du partenaire sur l’autre branche peut compenser les pertes. De cette façon, le

partenaire pourra conserver un avantage tarifaire même si son activité est à court terme

déficitaire sur une branche.

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II) L’opération de vente immobilière en viager

1) Définition du viager

Le viager est définit par l’article 1964 du Code Civil comme un « Contrat Aléatoire ».

Il existe d’autres types de contrats aléatoires comme le pari, le jeu, le contrat d’assurance, et le

prêt maritime à grosse aventure. Un contrat aléatoire se définit de la façon suivante : « une

convention réciproque », c'est-à-dire produisant des effets et des sujétions entre les deux

parties, dont « les effets, quant aux avantages et aux pertes, soit pour toutes les parties soit

pour l’une ou plusieurs d’entre elles, dépendent d’un évènement incertain. » En ce qui

concerne les transactions viagères, l’événement aléatoire correspond au décès du crédirentier.

De plus, le viager n’est autre qu’un processus de vente, soit « l’aliénation d’un bien à

titre onéreux », . En ce qui concerne les parties contrat, on trouve d’un côté le vendeur, appelé

crédirentier et d’un autre l’acheteur, ou débirentier. L’idée du viager est de permettre au

crédirentier, de conserver le droit de résider dans son logement, tout en recevant de façon

permanente une rente dont le montant a préalablement été déterminé à la discrétion des

parties. Pour le débirentier, il s’agit en quelques sortes d’acheter un « droit à l’héritage » sur

un bien immobilier tout en jouissant d’un paiement échelonné. Il faut également ajouter que

les deux parties doivent pouvoir être en mesure de garantir leur capacité à contracter, en

s’assurant de la préservation d’un consentement libre, ainsi que du caractère licite de l’objet et

de la cause.

Le système du viager se distingue en partie par sa souplesse juridique, étant donné qu’il est

possible d’effectuer de nombreux aménagements. Dans ce cadre, 5 grandes catégories de

viager sont à énumérer :

Les Viagers Occupés Classiques représentent la majorité des ventes viagères (environ

90% des ventes), cadre dans lequel le viager s’évalue à sa valeur de marché. Dans le cas où le

crédirentier conserve le l’usufruit du bien, on applique un abattement d’occupation, également

appelé « Droit d’usage et d’Occupation ». L’acheter reçoit dans ce cas un loyer provenant du

débirentier, loyer dont le montant est estimé en fonction de la valeur théorique du bien. Le

Droit d’Usage et d’Habitation est évalué en rapport avec l’espérance de vie du crédirentier

ainsi que la valeur locative du bien. Il est à noter que la prix de la vente ainsi calculé se ventile

en deux parties : On distingue le bouquet - le capital directement versé au moment de la vente

- et la rente viagère. Le bouquet peut osciller entre 10 et 50% de la valeur du produit

immobilier concerné, sachant que le montant de la rente sera inversement proportionnelle au

montant du bouquet.

Les viagers sans rente ou nue-propriété sont moins importants sur le marché mais

commencent à voir leur croissance se développer. Grâce à ce genre de transactions, le vendeur

perçoit la totalité du montant du bien, et conserve le droit de résider au sein de son logement

jusqu’à la fin de sa vie. Pour obtenir le prix de la transaction, il faut déduire du prix du bien le

Droit d’Usage et d’Habitation. De cette façon, le vendeur perçoit un capital conséquent dont il

peut ensuite jouir durant le restant de sa vie, notamment pour des dépenses qui peuvent être

15

fréquentes et couteuses en fin de vie comme des frais de santé, ou le placement au sein d’une

maison de retraite. Dans ce cas, l’acquéreur du bien peut profiter de la non existence du risque

de longévité.

Les viagers libres : dès le règlement du bouquet, l’acheteur peut prendre possession du

logement. A l’instar du viager classique, le bien est estimé d’après sa valeur de marché puis

diminué d’un montant fonction de l’âge du vendeur, puis subdivisé entre bouquet et rente.

Néanmoins, le risque lié à la durée d’occupation disparait. D’après l’un de nos interlocuteurs,

ce type de vente concerne surtout des personnes âgées qui veulent sortir des contraintes liées à

la propriété, sur un bien de petite surface acheté comme placement, tout en se garantissant une

rente. Pour l’acheteur, ce type de contrat est véritablement un « lend lease » à l’anglo-saxonne

sans frais bancaires !

Les Viagers à durée d’occupation limitée sont moins fréquents. Dans ce genre de

situation, l’acheteur ne peut occuper le bien que jusqu’à une date précise. Ce procédé permet

de rassurer l’acheteur quant aux problèmes liés à la longévité du vendeur, sachant que la date

à laquelle l’acheteur pourra jouir du bien est fixée à l’avance. Il est évident que ce type de

contrat n’apparaît pas comme le plus avantageux pour le vendeur, sauf dans une situation où

ce dernier songerait à quitter son domicile prochainement (par exemple pour intégrer une

maison de retraite).

Les Viagers occupés pour lesquels le paiement de la rente est fixé dans le temps sont

eux aussi assez peu fréquents. L’intérêt de cette transaction réside dans le fait de pouvoir

exiger un bouquet plus important tout en ayant la garantie de pouvoir jouir d’une rente fixe et

calculée en fonction de l’espérance de vie supposée du vendeur. Ce type de viager octroie à

l’acheteur une meilleure visibilité.

Il existe donc deux types différents de risques qui sont en rapport avec l’aléa : le risque lié à la

longévité relative au paiement de la rente, ainsi que le risque lié au fait que la date d’entrée en

jouissance du bien demeure incertaine. Toutefois, l’existence d’un grand éventail de modalités

de paiement le produit viager permet de fixer de façon précise la quantité de risque

supportable du point de vue de l’acheteur : l’ensemble des risques, le risque d’occupation

uniquement, le risque de rente uniquement , et parfois la possibilité de juguler ces différents

risques au cours du temps.

En ce qui concerne les vendeurs, le viager offre la possibilité de suivre ses choix et ses

contraintes. La plupart des vendeurs qui, en raison de leur âge avancé ont souvent

d’importantes dépenses, choisiront l’association d’un gros bouquet et d’une petite rente.

Certains autres, en revanche, feront le choix d’une importante rente afin de s’assurer des

revenus stables dans le temps. En outre, le système du viager permet de satisfaire les vendeurs

en fonction de leurs exigences personnelles en ce qui concerne leur autonomie. En effet, il

existe des vendeurs qui souhaitent conserver le droit de résider chez eux jusqu’à leur mort,

sachant que certains autres préfèrent déterminer eux même la date à laquelle ils quitteront leur

domicile vers une structure adaptée aux personnes âgées.

16

Le viager apparaît donc comme un système de vente immobilière offrant une grande liberté

lorsqu’il s’agit de ses modalités, laissant le choix au vendeur et à l’acheteur de choisir le cadre

de vente qui leur conviendra le mieux.

2) Fiscalité du viager

Le viager peut apporter de nombreux avantages fiscaux au vendeur. En effet, la rente qui est

perçue par le vendeur est identifiée comme un revenu jouissant d’un régime fiscal très

intéressant pour le vendeur. Ce dernier peut en effet profiter d’un abattement pouvant aller

jusqu’à 70 %, suivant les paramètres suivants :

• Abattement de 70% octroyé aux personnes de plus de 69 ans

• Abattement de 60% octroyé aux personnes de 60 à 69 ans

• Abattement de 50% octroyé aux personnes de 50 et 59 ans

• Abattement de 30% octroyé aux personnes moins de 50 ans.

Il s’avère que les personnes âgées sont plus favorisées par rapport aux jeunes acheteurs. En

effet, certains frais de santé ou dépenses liées au placement dans des structures adaptées aux

personnes âgées sont à prévoir pour les vendeurs. De leur côté, les jeunes acheteurs sont

supposés ne pas avoir de problèmes de santé, et disposent de plus de ressources du fait qu’ils

sont encore en âge de travailler.

L’autre point positif du viager réside dans le fait que la rente, n’étant pas considérée comme

un loyer, n’est pas soumise au prélèvement relatif à l’impôt foncier. Ce principe fait du viager

un moyen pour les vendeurs d’optimiser leur fiscalité dans la mesure où le poids de

l’imposition lié à la rente sera moins important que dans le cas où le propriétaire du bien avait

opté pour une mise en location.

Lorsqu’il s’agit d’une situation où le viager est occupé, la répartition des charges s’effectue

entre vendeur et acheteur, de la façon suivante : le vendeur doit d’acquitter des dépenses

d’énergie (comme le gaz, l’eau ou l’électricité), les frais d’entretien courant, la taxe de prise

en charges des déchets domestiques, l’assurance concernant les risques locatifs ainsi que de la

taxe d’habitation. De son côté , l’acheteur doit payer 1/3 du montant des charges de

copropriété, l’assurance liée aux risques d’incendie dans l’immeuble. L’acheteur a également

doit s’acquitter d’autres dépenses qui sont à la charge du propriétaire (ou bailleur) comme les

frais de réparations et travaux qui peuvent exister.

L’acquéreur a également à sa charge la taxe foncière dans la mesure où l’occupation ne jouit

que d’un droit d’usage et d’habitation. Il est toutefois important de souligner que, légalement,

le vendeur occupant l’appartement doit payer les charges foncières dans le cas où il n’existe

pas de clause contraire notifiée dans l’acte de vente notarié. Il est en effet possible, en cas de

notification au préalable chez le notaire, que l’acheteur doive rembourser annuellement des

charges foncières au vendeur. D’après ces règles, il apparaît clairement que les lois fiscales en

17

matière de viager sont à l’avantage du vendeur, étant donné que la plupart des charges sont à

la charge de l’acheteur.

3) Le calcul du prix de transaction

En ce qui concerne la fixation du prix du viager, il faut souligner que le prix du viager doit se

rapprocher le plus possible du prix du bien tel que l’auraient défini l’équilibre en offre et

demande sur le marché, sans quoi on pourrait assimiler cette transaction à une donation qui ne

porte pas son nom. Dans la réalité des faits, il est difficile de valoriser le prix d’une

transaction viagère aussi aisément que lors d’une transaction classique, a tel point que la

question du « juste prix » ou « prix de marché » pour un viager peut se poser.

A vrai dire, ce qui rend la détermination du prix complexe, c’est le fait qu’il existe un grand

nombre de données à la fois objectives et subjectives qu’il faut prendre en compte dans ce

type de contrats. Alors que dans le cas d’une transaction classique les données comme l’offre

et la demande sont à prendre en compte, ainsi que la comparaison avec des transactions

similaires, le cas du viager ne permet pas la détermination du prix au mètre carré de façon

aussi facile. En effet, le viager se caractérise par une formalisation plus aléatoire du contrat,

en fonction des caractéristiques humaines et financière du vendeur et de l’acheteur. Dans ce

cadre, la fixation classique du prix au mètre carré devient assez difficile. Comment peut-on

alors trouver des éléments tangibles pouvant permettre la fixation du prix d’une transaction

viagère ?

De prime abord, c’est la valeur libre du bien qui sert de base. Cette donnée peut être estimée

en fonction du nombre de contrats de ce type qui sont élaborés chaque année. Viennent

ensuite des paramètres humains comme le sexe et l’âge du vendeur. Grâce à ses données, il

est possible d’estimer l’espérance de vie du vendeur qui sera inversement proportionnelle au

montant de la rente.

En effet, l’estimation de l’espérance de vie du crédirentier demeure une donnée très

importante dans la valorisation du prix de la transaction, comme c’est souvent le cas en

matière d’assurance. Si le vendeur est encore dans la fleur de l’âge, l’acheteur peut être inhibé

par la crainte qu’il ait à soutenir la charge de la rente pendant de nombreuses années. Cela

explique donc la relation entre rente et espérance de vie du vendeur. Une relation de

proportionnalité inverse est ici à établir entre le bouquet et la rente. Il est à noter que le

bouquet constitue, en fonction des cas, 20% à 30% du prix du bien.

Ces éléments de calcul du prix du bien relèvent d’une importance fondamentale dans la

mesure où ce sont ces données qui permettent in fine de déterminée la rentabilité escomptée

du bien, ce qui n’est pas à négliger dans la mesure où les acheteurs optent souvent pour ce

genre de transaction alors qu’ils sont dans une démarche d’investissement.

La rentabilité peut également être affectée par l’existence des droits d’usage et d’habitation.

En effet, étant donné que le vendeur est en droit d’occuper le bien jusqu’à la fin de sa vie, le

vendeur supporte un manque à gagner et un report du moment à partir duquel il pourra jouir

18

du bien. Cet élément fait partie des paramètres qui entre en jeu dans la fixation du prix du

bien. Le poids de la longévité du vendeur peut même être amplifié dans le cas où on est face à

un couple de vendeurs, dans la mesure où la rente peut être réversible.

En dépit de tous ces paramètres, aucune loi ne permet de déterminer le prix du bien, sachant

que la valeur de celui-ci se détermine à la discrétion du vendeur et de l’acheteur. Toutefois, ce

principe peut être remis en question par les autorités légales lorsqu’elles soupçonnent un cas

de donation déguisée. Les transactions familiales sont donc examinées de très près par les

autorités légales.

4) Les tables de mortalité : un outil en débat

Il existe donc pléthore de variables pour déterminer le prix d’une vente immobilière en viager.

Toutefois, le principal point commun de toutes ces variables est l’utilisation de la table de

mortalité. Comment sont donc développées les tables de mortalités, par quels acteurs et dans

quels buts ? Le pluriel est ici capital, puisqu’il n’y a pas une table de mortalité universelle,

mais des tables de mortalité. Constat contre-intuitif qui souligne l’impossibilité d’une

démarche uniformisée pour déterminer le prix d’un viager.

Les bases de données utilisées sont généralement établies par l’INSEE qui propose également

une table de mortalité pour les hommes et les femmes à chaque âge. Les tables de mortalité se

distinguent de l’espérance de vie à la naissance : si l’espérance de vie d’un homme à la

naissance est d’environ 80 ans, celle d’un homme de 80 ans est d’un peu plus de 87 ans.

Les professionnels – assureurs et viagéristes – utilisent ces tables et peuvent y effectuer des

aménagements et beaucoup d’entre eux soulignent la difficulté de cadrer le risque de

longévité. Ainsi, les dernières tables de mortalité sont-elles perçues par beaucoup comme

obsolètes du fait d’un allongement effectif de l’espérance moyenne dans les âges avancés de

la vie. De surcroît, plus on avance dans l’âge, plus les espérances deviennent relatives : peut-

on déterminer avec la même robustesse l’espérance de vie d’une personne âgée de 102 ans

que celle d’une personne de 30 ans ?

De plus, si les assurances peuvent exiger un grand nombre d’informations d’ordre médical à

leurs clients, l’acheteur en viager n’a juridiquement pas le droit d’imposer de visites

médicales au vendeur. L’usage n’a pas non plus imposé cette pratique.

La dépendance vis-à-vis des tables de mortalité en est donc accrue puisqu’elles sont les seules

informations quant à l’espérance de vie du vendeur sur lesquelles le prix de transaction sera

basé.

Finalement, cette adaptabilité des tables de mortalité, est sans doute justifiée par le fait que les

tables de l’INSEE sont des instruments nationaux qui ne rendent pas compte de la réalité

locale, par exemple les écarts de mortalité en milieu rural, grande ville ou ville moyenne….

Ni d’autres facteurs que les Catégories Socio Professionnelles, « L’INSEE prend une photo de

la réalité, mais certaines ombres manquent au décor, par exemple, elle ne fait pas la

distinction entre les propriétaires et les non propriétaires, or les propriétaires de leurs bien

19

tendent à vivre plus longtemps, de même la distinction entre personne vivant à domicile et

personne vivant en maison de retraite est capitale, puisqu’on sait que les personnes qui restent

chez elles plus longtemps vivent plus longtemps ».

Cette adaptation des tables de mortalité aux spécificités du public concerné paraît donc un

souci légitime, mais elle pose toutefois la question de l’homogénéité des ventes et de

l’amplitude des différences dans les valorisations d’une agence à l’autre. Il est donc légitime,

au vu des variations de l’outil principal de valorisation d’un acteur du marché à l’autre, de se

demander s’il est réellement possible d’attribuer une juste valeur à une vente immobilière en

viager ?

5) Intérêts du viager

5.1 Le profil des vendeurs.

Il apparaît d’après de nombreux sondages que les vendeurs optent pour le viager Il ressort de

plusieurs sondages que les vendeurs invoquent principalement 3 raisons pour vendre leur bien

en viager :

- la présence ou l’absence d’héritiers directs l’existence ou la non existence de successeur

- les revenus trop modestes des personnes âgées

- le logement à vendre constitue une donation

A peu près 80% des crédirentiers ont des successeurs directs avec des objectifs différents.

Dans certains, le but est de rendre plus facile la donation. Dans le cas où il existe plusieurs

successeurs à qui le bien doit revenir à la mort des donateurs, le viager devient un moyen

judicieux d’éviter aux héritier les méandres et conflits éventuels liés au partage du patrimoine

familiale, d’autant plus que ce type de démarche intervient après la mort du parent, donc dans

un contexte assez difficile psychologiquement. Cela permet aux parents d’éviter la rédaction

d’un testament qui s’accompagne bien souvent de nombreux conflits, et ainsi d’effectuer la

donation de leur vivant, ce qui conduit à s’affranchir peu ou prou du caractère vénal et

malsain de ce genre de situation. Les crédirentiers essaient souvent au cours de leur vivant de

construire un patrimoine afin de le transmettre à leur descendance, mais ils ne désirent pas

que l’indivision engendre des querelles entre les héritiers. Il est important de souligner le fait

que dans le cas du viager, le consentement de tous les enfants est indispensable à la

concrétisation de la transaction.

La fiscalité est aujourd’hui devenue encore plus clémente concernant les transactions

viagères; il est en effet possible de profiter d’abattements fiscaux à hauteur de 156 359 euros

pour un petit-enfant. Selon un sondage de l’INSEE, 1/3 des viagers s’effectuent au sein d’un

clan familial confirmant le fait qu’il s’agit de plus en plus souvent d’une donation déguisée.

C’est la raison pour laquelle le Fisc surveille de près ce type de transaction.

20

Dans d’autres cas de figure, il ne s’agit pas de transmission mais d’impératifs financiers, dans

la mesure où certains vendeurs âgés se trouvent dans des situations socio-économiques

difficiles que le viager apparaît pour eux comme la seule chance de passer une retraite

tranquille. Il faut dire qu’aujourd’hui, les personnes âgées se retrouvent souvent très

fragilisées financièrement en raison des dépenses relatives à leur soins médicaux, sachant

qu’elles n’ont bien souvent qu’une maigre retraite ne pouvant assurer tous ces frais. L’intérêt

d’une transaction viagère peut alors apparaître dans la situation où certains ont acquis dans

leur jeunesse un bien, qu’ils ont à l’époque pu acquérir à un prix raisonnable, et qui a connu

une hausse du prix de marché suite à la flambée des prix de l’immobilier. Ainsi, dans ce genre

de cas, les vendeurs se retrouvent à posteriori propriétaires d’un bien d’une valeur très

importante.

D’un autre côté, on trouve des vendeurs très favorisés qui ont investi dans l’immobilier tout

au long de leur vie, et qui reçoivent donc plusieurs rentes à l’âge de la retraite. L’avantage de

l’outil viager réside pour eux dans la possibilité qu’offre ce type de transaction d’éviter les

soucis liés à la propriété, les travaux, frais administratifs. Le viager, via la perception

régulière du bouquet, leur permet de profiter d’un capital qu’ils pourront transmettre à leurs

héritiers sous la forme d’assurance vie.

Il y a enfin les vendeurs souhaitant déshériter leurs enfants. La chose est en effet interdite par

la loi.

Il convient aussi de mentionner les personnes qui désirent déshériter leurs descendants. L’idée

est de consommer le capital qui a été emmagasiné au fil des années, et la partie immobilière

en constitue souvent la partie la plus importante. « Certains vendeurs ont la volonté de

décéder avec un compte en banque quasi vide pour spolier leurs héritiers. Rendre la pierre

liquide est pour eux le seul moyen d’y arriver, les rentes leur permettent de bien vivre, et ils

vident leurs comptes bancaires au profit d’associations lorsqu’ils sentent la fin proche ». Tous

les viagéristes soulignent que ce cas de figure est très marginal et ne représente guère que 4 à

5% des ventes.

L’autre grande catégorie est celle des vendeurs dépourvus de descendants directs. Ceux-ci

représentent environ 20% des vendeurs et se distinguent en deux types.

-les « rationnels » : puisque l’Etat ponctionnera 60% de l’héritage, autant le transmettre de

manière monétaire sous forme d’assurance-vie en profitant d’une très avantageuse

défiscalisation.

-les « hédonistes » : puisque le bien devra être vendu, vu l’importance de l’impôt sur

l’héritage, autant le vendre maintenant et consommer ce qui serait sinon reversé à l’Etat. Il est

possible au final de léguer la même somme en choisissant d’autres supports de transmission

très favorables, tels que par exemple les assurances-vie, qui supposent en revanche que le

patrimoine soit liquide. Enfin, le profil sociologique du vendeur est très divers. Un seul point

commun, la part d’anciens salariés est minoritaire. Les vendeurs sont souvent d’anciens

artisans, chefs d’entreprise. Cet état de fait peut être expliqué de deux manières. D’une part,

indépendamment de leurs revenus antérieurs, ce sont des catégories mal protégées par le

21

système de retraite public puisque non salariées. Ensuite ce sont souvent des personnes ayant

acheté eux même leur bien et étant conscient qu’ils ne le « doivent » à personne, pas même à

leurs héritiers. Si transmission il y a, elle n’est que parce qu’ils le veulent bien et non parce

qu’ils le doivent. Le bien hérité est en effet souvent ressenti par le propriétaire comme un

patrimoine familial, et donc plus difficilement aliénable, à l’inverse le bien acheté est « une

propriété en propre » de son possesseur qui ressentira moins un impératif de transmission.

5.2 Le profil des acheteurs

Toute personne possédant d’un capital, et surtout d’un revenu confortable et prévisible peut

acquérir en viager. On peut pourtant établir une classification des acheteurs. La démarche des

acheteurs est surtout une démarche d’investisseurs. Comme le remarque Stanley Nahon3, «

80% des acheteurs loueront ou revendront leur bien après l’entrée en jouissance ». Qui sont

ces investisseurs ?

Ce sont d’abord les Français de l’étranger, qui désirent se constituer un capital en France et

une rente en prévision de leur propre retraite. Ils sont d’après Stanley Nahon près de deux

millions à consulter les sites de viager. « J’ai dans mes clients cet expatrié, directeur d’une

grande banque en Asie, qui m’achète un viager par an depuis qu’il vit à l’étranger. Les hauts

salaires, des pouvoirs d’achats garantis par une paie en euros, ainsi que l’allègement des

charges fiscales confèrent un revenu très important à cette catégorie d’investisseurs qui

souhaitent retourner en France passer leur retraite. » Ce sont de « purs investisseurs » qui se

constituent une rente ou revendent le bien sans l’avoir jamais occupé ni s’être soucié de la

gestion locative.

Il y a également les étrangers des pays riverains, Anglais, Néerlandais, Allemands, qui

achètent en viager une résidence secondaire en prévision de leur retraite. Cette clientèle

achète presque exclusivement sur la Côte d’Azur et en Provence.

Il y a ensuite les Français de province qui achètent un studio ou un petit appartement à Paris

pour leurs enfants en prévision de ses études, quitte à le revendre une fois son usage passé,

empochant ainsi une confortable plus-value.

Les primo-accédants sont étonnamment la dernière catégorie significative. On aurait pu

toutefois penser que le viager, en raison du faible capital qu’il exige au moment de l’achat,

constituerait un merveilleux moyen d’accession à la propriété. Pourtant même si les primo-

accédants sont une partie conséquente de la clientèle, ce sont clairement les investisseurs qui

dominent le marché. Une raison bien simple explique cet état de fait. En l’absence de

résidence principale, il faut que l’acheteur supporte à la fois le coût de la rente ainsi que celui

de son propre loyer, ce qui peut constituer une charge écrasante.

3 Directeur Général de Renée Costes Viager

22

Si les primo-accédants achètent en viager, ils s’orientent quasiment exclusivement vers le

viager libre. Ils ont ainsi la possibilité d’occuper immédiatement le bien et conséquemment de

réaliser l’économie de leur loyer. Cette démarche se rapproche de l’achat par emprunt, à

l’exception que l’acheteur ne paie pas de frais bancaires et que la durée avant l’entrée en

jouissance du bien est deux à trois fois inférieure à celle d’un remboursement d’emprunt, ce

qui est tout de même une véritable aubaine ! La raison de la rareté des primo-accédants est à

voir part dans l’absence de connaissance du viager au sein de la population ainsi qu’à la

pénurie de vente de viager libre. Moins de 5% des ventes d’après l’un de nos interlocuteurs.

D’après lui, seules deux catégories de vendeurs ont recours à cette forme. D’une part, les

vendeurs paupérisés qui cherchent à obtenir de gros fonds pour financer une maison de

retraite, d’autre part les vendeurs aisés cherchant à sortir des contraintes de la propriété liées à

un bien locatif.

De manière générale, on a compris que le viager était un mode de transmission souple et

adaptable, et représentait un marché qui, s’il demeure un marché de niche, est un secteur en

pleine explosion. On a vu les raison macro-économiques qui font du secteur un marché

d’avenir : vieillissement de la population, un public de séniors qui est paradoxalement riche

en capital, étant très propriétaire dans un contexte de cherté des prix, tout en étant disposant

de faibles revenu à un moment de la vie où les dépenses sont plus élevées et dans un

environnement d’interrogation sur l’avenir des retraites. Le viager représente ainsi pour

certains une véritable planche de salut financier, tout en constituant pour d’autres le moyen

privilégié d’une transmission paisible. Pour les acheteurs, le viager fait figure

d’investissement providentiel, puisqu’il épargne le recours à l’emprunt, facilite l’achat de

biens immobiliers à des prix intéressants, tout en offrant une vaste gamme d’adaptation à leurs

moyens de paiement. Pourtant ce secteur n’est pas dépourvu de limites qu’il convient

d’observer maintenant.

23

III) Le contexte économique et financier du viager et la réponse

assurantielle dans un cadre déterministe

1) Une situation économique de crise

1.1 Assurance en cas de dépassement de l’espérance de vie du crédirentier

Deux constats s'imposent : le marché de la primo-accession dans l'ancien souffre

comme jamais, et l'heure n'est pas au soutien aveugle par les aides publiques. Sur le premier

sujet, la situation est inquiétante : si le marché de la revente dans son ensemble est en repli, le

segment des ménages réalisant leur première acquisition est nettement plus affecté. Il est en

retrait de l'ordre de 25% pour la France entière, et au-delà sur les marchés tendus, tel celui de

la capitale, où l'effondrement atteint 40%. Le second constat, l'évidence que les finances

publiques ne permettent pas une allocation massive au profit du logement, dicte la modération

dans les propositions: tous les acteurs l'ont intégré.

Il n'en reste pas moins vrai que l'idéal de l'ascension sociale par l'accession à la

propriété demeure un souhait partagé par une grande majorité de Français. L'Etat ne peut

laisser se gripper l'un des principaux ressorts républicains de la progression des ménages. Le

ralentissement des transactions, particulièrement dû à l'essoufflement de la primo-accession,

entraîne aussi son lot de conséquences économiques terribles.

Dans ce cadre, le viager peut s’avérer une solution intéressante, il permet au primo

accédant de ne pas s’endetter pour payer un crédit, et de ne pas faire état de cautions ou autres

garanties de prêts. Mais un frein à l’achat demeure : le risque de longévité du vendeur. En

effet, le viager est attractif à condition que le paiement de la rente ne s’éternise pas.

C’est pourquoi une assurance en cas de dépassement de l’espérance de vie du

crédirentier permettrait d’augmenter le taux de concrétisation des ventes de viager. L’acheteur

est ainsi certain de payer la rente jusqu’à un terme fixé, sans que le vendeur renonce à sa rente

viagère.

1.2 Assurance en cas de décès du débirentier

D’après une enquête menée par le partenaire, de nombreuses personnes âgées restent

fortement réfractaires au moment de la vente du viager. Effectivement, le vendeur s’interroge

légitimement sur la solvabilité à long terme du débirentier. Ce dernier pourra-t-il payer la

rente jusqu’à la fin de sa vie ? Par ailleurs, l’acheteur en viager souhaite se prémunir en cas

de son décès. Un peu à la manière d’une assurance emprunteur, si le débirentier venait à

décéder avant le crédirentier, les enfants du débirentier se retrouveraient libre de tout

engagement vis-à-vis du vendeur.

On imagine fort bien les freins que pourrait lever ce type d’assurance : les personnes

âgées vendant leur bien en viager pensent souvent qu’il est trop tôt pour mettre leur bien en

24

viager : si l’acheteur ne paye plus sa rente, certes la propriété du bien retourne au vendeur,

mais ce dernier se retrouve sans rente à la tête d’un actif peu liquide. Il lui sera compliqué à

un âge fort avancé d’entamer les démarches administratives pour mettre son bien en viager.

Précisons que ce cas de figure est de plus en plus fréquent, comme l’affirme le président d’un

acteur majeur du Viager: « A l’inverse d’un emprunt, il n’existe pas de mesure du taux

d’endettement en viager, les débirentiers peuvent donc se retrouver en défaut de paiement

plus fréquemment que les emprunteurs. »

Le vendeur pourra de son côté mettre ses héritiers à l’abri d’une mauvaise surprise au

moment de la succession

C’est pourquoi, les viagéristes ont eu l’idée de créer un produit d’assurance pour se

prémunir en cas de décès du débirentier. A la différence de la précédente assurance, cette

dernière pourrait être souscrite par le vendeur ou par l’acheteur, les intérêts de ces derniers

étant convergents dans ce cas précis.

1.3 Assurance packagée

Les assurances précédentes ont été conçus comme produits indépendants. Néanmoins,

du fait de leur expérience terrain, les tenors d’un acteur majeur du viager en France, ont prévu

que acheteurs comme vendeurs pouvaient être amené à vouloir se couvrir contre les deux

risques. Ainsi, ont-ils imaginé un produit d’assurance qui permettrait la couverture du

débirentier et du crédirentier contre tous les risques existants.

1.4 Assurance sur deux têtes

Comme nous avons pu le faire remarquer précédemment, une partie des viagers est

vendu avec deux crédirentiers : c’est au décès du dernier, que l’acheteur pourra entrer en

pleine jouissance du bien. Les assurances précédentes couvrent parfaitement tous les types de

risques lorsque le viager porte sur une seule tête. Il aurait donc été désastreux d’un point de

vue commercial de ne pas avoir de réponse assurantielle à ce type de produit. D’une part, les

acheteurs se seraient détournés des viagers portants sur deux têtes. Par conséquent, les couples

n’auraient plus eu le pouvoir de mettre leur bien en viager, la demande n’étant plus existante.

Pour contrer ce scénario, le partenaire a souhaité dupliqué les solutions présentées ci-dessus

pour les couples vendant leur bien en viager.

25

2) La réponse assurantielle

2.1 Assurance en cas de dépassement de l’espérance de vie du crédirentier

2.1.1 Modèle retenu

Dans cette partie nous nous baserons sur un modèle qui ne prend pas en compte la

revalorisation de la rente. Nous supposerons donc cette dernière constante au cours du temps.

Par ailleurs, nous avons établi que la rente était payée en cas de dépassement de l’espérance

de vie du vendeur à l’adhésion, augmentée de trois ans.

2.1.2 Tarification en prime unique

L’assurance est tarifée en fonction de l’âge du vendeur, de l’âge de l’acheteur et du

montant de la rente qui est servie.

x : âge de l’acheteur à la souscription

y : âge du vendeur à la souscription

𝑙𝑥 : le nombre de personnes vivantes d’âge x (dans la table)

E[y] : Espérance de vie du vendeur (en années)

R : le montant de la rente annuelle

i : taux technique du tarif

Tables de mortalité : TH00-02 pour le risque décès, et TF00-02 pour le risque vie

𝑃 = 𝑅𝑙𝐸[𝑦]+𝑥+3

𝑙𝑥∑

𝑙𝑦+𝑘

𝑙𝑦

1

(1 + 𝑖)𝑘

𝜔−𝑦−𝐸[𝑦]−3

𝑘=𝐸[𝑦]+3

𝐸[𝑦]+3ä𝑦 = ∑𝑙𝑦+𝑘

𝑙𝑦

1

(1+𝑖)𝑘

𝜔−𝑦𝑘=𝐸[𝑦]+3 est l’engagement de payer un euro de rente dans

E[y]+3 années à un assuré d’âge y. Cela se définit comme la somme des probabilités de payer

un euro de rente chaque année tant que le vendeur du bien est vivant. 𝑙𝐸[𝑦]+𝑥+3

𝑙𝑥 est la probabilité de survie de l’acheteur dans E[y]+3 années.

En posant 𝑙𝐸[𝑦]+𝑥+3

𝑙𝑥= 𝑝𝑥𝔼[𝑦]+3

La formule pour trouver le tarif de la prime unique s’écrit donc :

𝑃 = 𝑅 × 𝑝𝑥𝔼[𝑦]+3 ×𝐸[𝑦]+3 ä𝑦

26

Formule qu’on peut résumer en

Prime = Probabilité que l’acheteur soit vivant dans E[y]+3 années

×

rente à verser au vendeur

×

somme des flux probables actualisées

2.1.3 Tarification en prime périodique

Dans le cadre du processus de souscription du contrat, le courtier partenaire a souhaité

donner la possibilité au client de payer une prime périodique annuelle afin de lisser le montant

de l’assurance. Ceci obéit à une logique commerciale : il est plus simple de payer un montant

conséquent en plus fois que de tout payer d’un coup.

Nous divisons donc la prime par un facteur d’annuités périodiques qui courent

jusqu’au dépassement de l’espérance de vie augmentée de 3 ans.

On obtient ainsi la formule suivante :

𝑃𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑞𝑢𝑒 =𝑅 × 𝑝𝑥𝔼[𝑦]+3

×𝐸[𝑦]+3 ä𝑦

|𝐸[𝑦]+3ä𝑥

Dans le cadre de la vente de ce produit, nous prenons en compte le fait que le vendeur soit

vivant au moment où l’assurance est censée intervenir. En effet, l’aléa est double : pour que

l’assurance entre en jeu il est nécessaire que l’acheteur du bien soit vivant et que le vendeur

ait dépassé son espérance de vie de 3 ans.

Comme on peut par ailleurs le remarquer, le produit est tarifé pour les âges des crédirentier et

débirentier à l’adhésion. La prime périodique est donc constante au cours du temps.

2.1.4 Matrice tarifaire

Pour que le partenaire ait plus de lisibilité sur l’offre, nous lui avons construit une matrice

tarifaire pour qu’il teste l’appétence des acheteurs de viagers pour ce type de produit. Les âges

retenus embrassent les profils typiques d’acheteurs et de vendeurs de viager sur le marché.

Elle se présent comme il suit :

27

Tableau 1

Assurance en cas de dépassement de l’espérance de vie

Hypothèses : Taux technique = 0,75%

Rente annuelle = 10 000 €

Age du crédirentier / Espérance de vie majorée de 3 ans

70 ans / 22 ans 75 ans / 18 ans 80 ans / 15 ans 85 ans / 11 ans

Age

du

déb

ire

nti

er

40 ans

Prime unique 8 769,66 € 7 741,92 € 5 220,27 € 4 942,86 €

Prime périodique en pourcentage de la rente annuelle

5,10% 5,58% 4,62% 6,42%

45 ans

Prime unique 8 580,82 € 7 625,63 € 5 160,02 € 4 905,18 €


5,02% 5,52% 4,58% 6,38%

50 ans

Prime unique 8 297,45 € 7 468,77 € 5 084,65 € 4 859,03 €


4,90% 5,43% 4,53% 6,33%

55 ans

Prime unique 7 822,12 € 7 216,22 € 4 970,07 € 4 796,84 €


4,69% 5,30% 4,46% 6,28%

On remarque sur cette matrice que le tarif de l’offre est très sensible à l’âge atteint à la

souscription, tant au niveau du vendeur que de l’acheteur. Il a donc été exclu une tarification

par tranches d’âge qui aurait induit un risque très important de dérive des résultats.

28

2.1.5 Surface des prix

Afin d’analyser plus finement le comportement du prix en fonction de l’âge, une surface de

prix en fonction des âges du débirentier et du crédirentier.

Graphique 1

Prime unique pour un €uro de rente annuelle

Cette surface laisse apparaître des cisaillements au niveau du tarif en fonction de l’âge du

débirentier et du crédirentier.

Au début du projet, le courtier avait souhaité la mise en place d’un tarif par tranche d’âge.

Nous aurions alors fourni une matrice tarifaire comme plus haut, mais par tranche et non plus

par âge.

Or cette surface nous montre clairement que le prix de l’assurance est extrêmement sensible

au facteur âge. La possibilité de proposer un tarif par tranche d’âge a donc été écarté par notre

direction technique, bien que l’idée était commercialement très pertinente.

013

2639

5265

7891

104

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

071

4

21

28

35

42

49

56

63

70

77

84

91

98

10

5

1,4-1,6

1,2-1,4

1-1,2

0,8-1

0,6-0,8

0,4-0,6

0,2-0,4

0-0,2

29

2.1.6 Courbe des prix à âge fixe du débirentier

Fixons l’âge du débirentier à 50 ans et regardons l’évolution du tarif de la prime unique :

Graphique 2


Nous pouvons distinguer 3 tendances sur ce graphique :

- Une première phase de 0 à 40 ans : l’âge du vendeur du viager est très inférieur à l’âge

de l’acheteur. L’espérance de vie de ce dernier est donc plus faible que celle du

crédirentier : il est plus probable que l’acheteur décède avant le vendeur, donc que la

sinistralité soit nulle. La prime est bien en adéquation avec l’intuition, elle est

quasiment nulle pour ces âges

- Une deuxième phase de 40 à 70 ans : globalement la prime croit (avec quelques

irrégularités dues à la table de mortalité. Lorsque le vendeur fait partie de cette tranche

d’âge il possède une espérance de vie croissante avec le temps, donc le tarif est lui

aussi croissant globalement

- Une troisième phase de décroissance du tarif : dans les âges élevés, même si

l’espérance de vie décroit avec le temps, et qu’il est donc probable que l’assureur

vienne à payer la rente, le temps pendant laquelle l’assureur se substituera au payeur

de primes compense le fait que la probabilité de payer la rente soit plus élevée pour

l’assureur

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101105109

30

La troisième phase est discutable du fait de la robustesse de la table de mortalité dans les

extrêmes : l’échantillon analysé est-il assez important pour obtenir un tarif réellement adapté

au risque de la personne. Nous analyserons plus loin quelques pistes pour remédier à la petite

taille de l’échantillon qui a permis de construire la table dans les âges élevés.

2.1.7 Courbe des prix à âge fixe du crédirentier

Analysons maintenant l’évolution de la prime en fixant l’âge du crédirentier à 72 ans (âge

moyen des vendeurs des viagers selon les statistiques de notre partenaire).

Graphique 3


On peut constater que la fonction est décroissante avec des vitesses assez diverses. En

l’occurrence, on peut remarquer une décroissance bien plus rapide dans les âges qui vont de

50 à 80 ans. Mais la population acheteuse de viager se situe à 95% (source Renée Costes

Viager) dans cette tranche d’âge. Effectivement, seuls les personnes disposant d’un revenu

confortables peuvent acheter un bien en viager.

Là encore, ce graphique confirme notre choix de tarifer à âge atteint, eu égard la rapide

variation du tarif en fonction de l’âge du débirentier.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101105109

31

2.2 Assurance en cas de décès du débirentier


Dans cette partie nous nous baserons sur un modèle qui ne prend pas en compte la

revalorisation de la rente. Nous supposerons donc cette dernière constante au cours du temps.

2.2.2 Tarification en prime unique

Contrairement à ce qu’on aurait pu penser, l’assurance en cas de décès du débirentier n’est

pas une simple assurance emprunteur.

En effet, ici l’indemnisation de l’assureur n’intervient qu’en cas de décès du débirentier et de

survie du crédirentier. Il est donc nécessaire de prendre en compte ces deux variables dans la

tarification. De plus, la garantie ne porte pas sur un capital et des intérêts mais sur une rente

viagère.


y : âge du vendeur à la souscription

E[y] : Espérance de vie du vendeur (en années)



𝑃 = 𝑅 ∑(𝑙𝑥+𝑘 − 𝑙𝑥+𝑘+1)

𝑙𝑥

𝑙𝑦+𝑘

𝑙𝑦

1

(1 + 𝑖)𝑘

𝜔−𝑦

𝑘=0

ä𝑦+𝑘

Ce qui donne le résultat suivant :

𝑃 = 𝑅 ∑ 𝑝𝑥 ×𝑘 𝑞𝑥+𝑘 × 𝑝𝑦𝑘

1

(1 + 𝑖)𝑘

𝜔−𝑦

𝑘=0

ä𝑦+𝑘

Formule que l’on peut résumer en :

Somme de Probabilité pour l’acheteur de mourir année n

×

probabilité de survie du vendeur année n

×

capital sous risque à l’année n

32

Il existe également une autre manière d’appréhender le problème. Intuitivement, le prix de

cette assurance peut s’écrire sous la forme :

Somme des probabilités de décès l’année k

×

Somme des flux probables à payer si le débirentier décédait l’année k

Soit d’un point de vue mathématique

𝑃 = 𝑅 ∑(𝑙𝑥+𝑘 − 𝑙𝑥+𝑘+1)

𝑙𝑥∑

𝑙𝑦+𝑗

𝑙𝑦

𝜔−𝑦

𝑗=𝑘

𝜔−𝑦

𝑘=0

1

(1 + 𝑖)𝑗

ou encore la formule suivante :

𝑃 = 𝑅 ∑ 𝑝𝑥 ×𝑘 𝑞𝑥+𝑘 ∑ 𝑝𝑦 ×𝑗

𝜔−𝑦

𝑗=𝑘

𝜔−𝑦

𝑘=0

1

(1 + 𝑖)𝑗

Comment faire coïncider la formule ci-dessus avec celle vue précédemment ?

En effet, au premier abord, elles semblent très différentes l’une de l’autre. Néanmoins, nous

couvrons exactement le même risque, pendant la même période de temps. Il apparaît donc

nécessaire que ces deux formules soient égales.

Partons de la première formule. Développons le terme ä𝑦+𝑘 dans le terme de la prime.

𝑃 = 𝑅 ∑(𝑙𝑥+𝑘 − 𝑙𝑥+𝑘+1)

𝑙𝑥

𝑙𝑦+𝑘

𝑙𝑦

1

(1 + 𝑖)𝑘

𝜔−𝑦

𝑘=0

∑𝑙𝑦+𝑘+𝑗

𝑙𝑦+𝑘

1

(1 + 𝑖)𝑗

𝜔−𝑦

𝑗=0

D’où

𝑃 = 𝑅 ∑(𝑙𝑥+𝑘 − 𝑙𝑥+𝑘+1)

𝑙𝑥

𝜔−𝑦

𝑘=0

∑𝑙𝑦+𝑘

𝑙𝑦

𝑙𝑦+𝑘+𝑗

𝑙𝑦+𝑘

1

(1 + 𝑖)𝑗

1

(1 + 𝑖)𝑘

𝜔−𝑦

𝑗=0

D’où

𝑃 = 𝑅 ∑(𝑙𝑥+𝑘 − 𝑙𝑥+𝑘+1)

𝑙𝑥

𝜔−𝑦

𝑘=0

∑𝑙𝑦+𝑗+𝑘

𝑙𝑦

1

(1 + 𝑖)𝑗+𝑘

𝜔−𝑦

𝑗=0

33

En posant s = j + k dans la deuxième somme, il vient

𝑃 = 𝑅 ∑(𝑙𝑥+𝑘 − 𝑙𝑥+𝑘+1)

𝑙𝑥

𝜔−𝑦

𝑘=0

∑𝑙𝑦+𝑠

𝑙𝑦

1

(1 + 𝑖)𝑠

𝜔−𝑦

𝑠=𝑘

Ou encore

𝑃 = 𝑅 ∑ 𝑝𝑥 ×𝑘 𝑞𝑥+𝑘 ∑ 𝑝𝑦 ×𝑠

𝜔−𝑦

𝑠=𝑘

𝜔−𝑦

𝑘=0

1

(1 + 𝑖)𝑠

On retombe bien sur la deuxième formule qui a été trouvé intuitivement.






Nous divisons donc la prime par un facteur d’annuités viagères.

On obtient ainsi la formule suivante :

𝑃𝑣𝑖𝑎𝑔è𝑟𝑒 =𝑅 ∑ 𝑝𝑥 ×𝑘

𝑞𝑥+𝑘 × 𝑝𝑦𝑘 1

(1 + 𝑖)𝑘𝜔−𝑦𝑘=0 ä𝑦+𝑘

ä𝑥

On obtient un résultat similaire avec la formule intuitée précédemment :

𝑃𝑣𝑖𝑎𝑔è𝑟𝑒 =𝑅 ∑ 𝑝𝑥 ×𝑘

𝑞𝑥+𝑘 ∑ 𝑝𝑦 ×𝑗 𝜔−𝑦

𝑗=𝑘𝜔−𝑦𝑘=0

1(1 + 𝑖)𝑗

ä𝑥

34


Pour que le partenaire ait plus de lisibilité sur l’offre, nous lui avons construit une matrice

tarifaire pour qu’il teste l’appétence des acheteurs de viagers pour ce type de produit. Les âge

retenus embrassent tous les profils d’acheteurs et de vendeurs de viager sur le marché.

Elle se présente comme il suit :

Tableau 2

Assurance en cas de décès du débirentier



Age du crédirentier

70 ans 75 ans 80 ans 85 ans

Age d

u d

ébir

enti

er

40 ans

Prime unique 4 164,69 € 2 456,84 € 1 375,66 € 731,27 €

Prime viagère en pourcentage de la

rente annuelle 1,17% 0,69% 0,39% 0,21%

45 ans

Prime unique 6 152,47 € 3 586,84 € 1 995,50 € 1 058,69 €


rente annuelle 1,89% 1,10% 0,61% 0,33%

50 ans

Prime unique 9 317,31 € 5 307,69 € 2 900,94 € 1 516,05 €


rente annuelle 3,19% 1,82% 0,99% 0,52%

55 ans

Prime unique 14 895,86 € 8 324,08 € 4 474,65 € 2 319,82 €


rente annuelle 5,76% 3,22% 1,73% 0,90%

De même que pour l’offre d’assurance en cas de dépassement de l’espérance de vie, le

tarif de l’offre est très sensible à l’âge atteint à la souscription, tant au niveau du vendeur que

de l’acheteur. Il a donc été exclu une tarification par tranches d’âge qui aurait induit un risque

très important de dérive des résultats.

35

2.2.5 Surface des prix

Afin d’analyser plus finement le comportement du prix en fonction de l’âge, une surface de

prix en fonction des âges du débirentier et du crédirentier.

Graphique 4


De la même manière que pour l’assurance en cas de dépassement de l’espérance de vie

du crédirentier, le tarif est sensible à deux variables, nous ne pouvons effectuer des tranches

tarifaires. La pente de croissance du tarif étant trop importante en fonction de l’âge à la

souscription.

Néanmoins, il apparait judicieux d’analyser l’évolution du prix lorsqu’on fixe la

variable de l’âge du débirentier ou du crédirentier.

0

14

28

42

56

70

8498

112

0

10

20

30

40

50

60

0 5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

10

0

10

5

11

0

11

5

12

0

50-60

40-50

30-40

20-30

10-20

0-10

36

2.2.6 Courbe à âge fixe du débirentier

Fixons l’âge de l’acheteur à 50 ans et observons l’évolution du prix :

Graphique 5

Prime unique pour 1 €uro de rente annuelle

A âge du débirentier fixé, la prime est une fonction décroissante de l’âge du

crédirentier. Ce résultat aurait pu être pressenti intuitivement : plus l’âge du vendeur est

faible, moins il est probable qu’il décède. C’est pourquoi, la probabilité que l’assureur

indemnise le crédirentier sera de plus en plus faible.

0

5

10

15

20

25

30

1 5 9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

53

57

61

65

69

73

77

81

85

89

93

97

10

1

10

5

10

9

11

3

11

7

12

1

37

2.2.7 Courbe à âge fixe du crédirentier

Attachons nous maintenant à modéliser l’évolution du prix en fixant l’âge du crédirentier à 72

ans.

On obtient le graphique suivant :

Graphique 6

Prime unique pour 1 €uro de rente annuelle

A âge du crédirentier fixé, la prime est donc une fonction croissante de l’âge du

vendeur. Ce qui obéit à la même logique qu’une assurance emprunteur, dont le montant croit

avec l’âge de l’acheteur. La probabilité de décéder augmentant avec l’âge pour ce dernier.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101105109

38

2.3 Assurance packagée


Tout d’abord, pourquoi écrire un paragraphe comme celui-ci. Au premier abord, ce

produit est une assurance contre les deux premiers risques, il suffirait donc de sommer les

valeurs des primes pour être assuré contre les deux derniers risques.

Il est vrai que si un assuré souscrit aux deux derniers produits présentés, il sera couvert

contre les deux risques : décès du débirentier et dépassement important de l’espérance de vie

du crédirentier. Mais à quel prix ? La somme des deux dernières primes n’entrainerait-elle pas

une double couverture pour l’assuré ?

En effet, au moment où l’espérance de vie du vendeur serait dépassée, l’acheteur serait

couvert contre son décès alors que l’assureur a déjà commencé à prendre en charge le

paiement de la rente.

Pour pallier à cette difficulté, nous avons revu notre façon de concevoir le tarif.

En premier lieu, il convient de diviser le temps en deux périodes : avant le

dépassement (+ 3 ans) de l’espérance de vie du crédirentier, et après cette date.

Soient le risque 1 : décès du débirentier, risque 2 : dépassement (+ 3ans) de

l’espérance de vie du crédirentier

2.3.2 Tarification du risque pendant la période 1

Lors de la période 2, une assurance en cas de décès du débirentier n’a aucun sens,

puisque l’assureur aura déjà pris en charge le paiement de la rente.

Evaluons le tarif d’une assurance en cas de décès du débirentier seulement sur la

période 1 : l’assureur s’engage en cas de décès du débirentier, à payer la rente au crédirentier

jusqu’à la période la fin de la période 1.

La prime unique pour assurer le décès du débirentier pendant la période 1 est donc

égale est donc égale à :

𝑃1 = 𝑅 ∑(𝑙𝑥+𝑘 − 𝑙𝑥+𝑘+1)

𝑙𝑥

𝑙𝑦+𝑘

𝑙𝑦

1

(1 + 𝑖)𝑘

𝐸[𝑦]+3−1

𝑘=0

|𝐸[𝑦]+3−𝑘ä𝑦+𝑘

39

Ce qui s’écrit encore

𝑃1 = 𝑅 ∑ 𝑝𝑥 ×𝑘 𝑞𝑥+𝑘 × 𝑝𝑦𝑘

1

(1 + 𝑖)𝑘

𝐸[𝑦]+3−1

𝑘=0

|𝐸[𝑦]+3−𝑘ä𝑦+𝑘

2.3.4 Tarification du risque pendant la période 2

La prime ci-dessus couvre le risque pendant la période 1. Que l’assuré soit vivant ou

non durant au début de la période 2, l’assureur s’engage à prendre en charge le paiement de la

rente en cas de survie du crédirentier. Nous nous retrouvons donc dans le cas de l’assurance

de dépassement de l’espérance de vie, à la différence que dans ce cas précis, cette dernière ne

dépend pas du décès du débirentier. On obtient donc la formule suivante :

𝑃2 = 𝑅 ∑ 𝑝𝑦𝑘

1

(1 + 𝑖)𝑘

𝜔−𝑦

𝑘=𝑦+𝐸[𝑦]+3

2.3.5 Tarification de la prime totale d’assurance

Pour se couvrir des deux risques tout le long de la vie du contrat, on obtient donc une

prime unique égale à :

𝑃1 + 𝑃2 = 𝑅 ∑ 𝑝𝑥 ×𝑘 𝑞𝑥+𝑘 × 𝑝𝑦𝑘

1

(1 + 𝑖)𝑘

𝐸[𝑦]+3−1

𝑘=0

|𝐸[𝑦]+3−𝑘ä𝑦+𝑘 + 𝑅 ∑ 𝑝𝑦𝑘

1

(1 + 𝑖)𝑘

𝜔−𝑦







Nous divisons donc la prime par un facteur d’annuités temporaire, le paiement de la

prime s’effectuant jusqu’à l’espérance de vie augmentée de 3 ans. On obtient ainsi la formule

suivante :

𝑃𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑 =𝑅 ∑ 𝑝

𝑥×

𝑘

𝑞𝑥+𝑘

× 𝑝𝑦𝑘

1

(1 + 𝑖)𝑘

𝐸[𝑦]+3−1

𝑘=0 |𝐸[𝑦]+3−𝑘ä𝑦+𝑘

+ 𝑅 ∑ 𝑝𝑦𝑘

1

(1 + 𝑖)𝑘𝜔−𝑦


|𝐸[𝑦]+3ä𝑥

40


Pour que le partenaire ait plus de lisibilité sur l’offre, nous lui avons construit une

matrice tarifaire pour qu’il teste l’appétence des acheteurs de viagers pour ce type de produit.

Les âges retenus embrassent les profils d’acheteurs et de vendeurs fréquents sur le marché du

viager.

Elle se présente comme il suit :

Tableau 3

Assurance packagée




70 ans / 22 ans 75 ans / 18 ans 80 ans / 15 ans 85 ans / 11 ans

Age d

u d

ébir

enti

er

40 ans

Prime unique 12 188,35 € 10 049,06 € 6 880,31 € 6 355,44 €


7,09% 7,24% 6,09% 8,25%

45 ans

Prime unique 13 560,84 € 10 853,36 € 7 351,48 € 6 597,40 €


7,94% 7,85% 6,53% 8,58%

50 ans

Prime unique 15 658,26 € 12 032,42 € 8 021,72 € 6 928,75 €


9,25% 8,75% 7,15% 9,03%

55 ans

Prime unique 19 286,89 € 14 055,24 € 9 177,24 € 7 513,63 €


11,56% 10,32% 8,24% 9,84%

Ces trois produits permettent de pallier à différentes problématiques de risque lorsque

le crédirentier est isolé.

41

Néanmoins, de plus en plus de ventes en viager sont faites par des couples. Dans ce

cas, le débirentier se retrouve à payer la rente jusqu’au dernier décès. Le partenaire souhaitant

disposer d’une offre qui réponde à tous les besoins de sa clientèle était demandeur d’une

réponse assurantielle pour un risque tenant sur deux têtes.

Le cas où il y aurait deux acheteurs a également été envisagé théoriquement.

Néanmoins, il ne présente que peu d’intérêt pratique puisque la prime serait fortement

majorée, et le vendeur préfèrera donc souscrire le viager seul et s’assurer en cas de son propre

décès.

2.4 Assurance viager sur deux têtes

2.4.1 Assurance en cas de dépassement de l’espérance de vie des

crédirentiers

Tout d’abord il convient de définir sur quelle espérance de vie nous allons baser notre

tarification. En effet, les couples n’ayant généralement pas le même âge, le choix de la tête

pour calculer l’espérance de vie est déterminant dans la tarification.

Pour plus de sûreté nous baserons notre tarification sur l’espérance de vie la plus

grande des deux personnes vivant en couple. De cette façon nous diminuons la probabilité

pour l’assureur d’indemniser l’assuré.


y : âge du crédirentier 1 à la souscription

z : âge du crédirentier 2 à la souscription

m=max(E[y]+3; E[z]+3) : maximum des deux espérances de vie des vendeurs



𝑃 = 𝑅𝑙𝑚+𝑥+3

𝑙𝑥∑ (

𝑙𝑦+𝑘

𝑙𝑦+

𝑙𝑧+𝑘

𝑙𝑧−

𝑙𝑦+𝑘

𝑙𝑦

𝑙𝑧+𝑘

𝑙𝑧)

1

(1 + 𝑖)𝑘

𝜔−𝑦

𝑘=𝑚+3

𝑚+3ä𝑦𝑧̅̅̅̅ = ∑ (𝑙𝑦+𝑘

𝑙𝑦+

𝑙𝑧+𝑘

𝑙𝑧−

𝑙𝑦+𝑘

𝑙𝑦

𝑙𝑧+𝑘

𝑙𝑧)

1

(1+𝑖)𝑘

𝜔−𝑦𝑘=𝑚+3 est l’engagement de payer un euro de

rente dans m+3 années à un assuré d’âge y. Cela se définit comme la somme des probabilités

de payer un euro de rente chaque année tant que l’un des crédirentiers du bien est vivant.

La formule pour trouver le tarif de la prime unique s’écrit donc :

𝑃 = 𝑅𝑙𝑚+𝑥+3

𝑙𝑥 𝑚+3ä𝑦𝑧̅̅̅̅

42

Ou encore :

𝑃 = 𝑅 × 𝑝𝑥𝑚+3 × 𝑚+3ä𝑦𝑧̅̅̅̅

Nous n’avons pas effectué de simulation en fixant une des variables car cela revient à

calculer un tarif pour une assurance sur une tête.

En fixant l’âge du débirentier, nous aurions pu obtenir qui de l’homme ou de la femme

pesait le plus dans la fixation du tarif. Néanmoins, nous n’avons pas différencié le sexe

lorsque la formule a été déterminée puisque nous avons utilisé la même table pour les

probabilités de vie des deux crédirentiers. Il n’est donc pas nécessaire d’effectuer des

simulations.

Pour ce produit, nous avons de même fourni au partenaire une matrice tarifaire :

Tableau 4




Age du crédirentier / Espérance de vie la plus élevée majorée de 3 ans

70 ans -72 ans / 22 ans

75 ans - 77 ans / 18 ans

80 ans - 82 ans / 15 ans

85 ans -87 ans / 11 ans

Age d

u d

ébir

enti

er

40 ans

Prime unique 12 759,43 € 11 380,10 € 7 795,86 € 7 291,14 €


7,59% 8,34% 6,99% 9,55%

45 ans

Prime unique 12 484,68 € 11 209,18 € 7 705,87 € 7 235,56 €


7,47% 8,24% 6,93% 9,49%

50 ans

Prime unique 12 072,38 € 10 978,59 € 7 593,32 € 7 167,48 €


7,28% 8,12% 6,86% 9,42%

55 ans

Prime unique 11 380,80 € 10 607,37 € 7 422,20 € 7 075,75 €


6,96% 7,92% 6,75% 9,34%

43

2.4.2 Assurance en cas de décès du débirentier

Prenons le cas d’un acheteur souhaitant s’assurer en cas de son décès. Ses assurés ne

seraient plus astreints au paiement de la rente puisque la police d’assurance interviendrait en

cas de décès de l’acheteur. De plus, l’assureur devra prendre en charge le paiement de la rente

jusqu’au dernier décès.

La formule pour calculer la prime s’écrit alors :

𝑃 = 𝑅 ∑(𝑙𝑥+𝑘 − 𝑙𝑥+𝑘+1)

𝑙𝑥(𝑙𝑦+𝑘

𝑙𝑦+

𝑙𝑧+𝑘

𝑙𝑧−

𝑙𝑦+𝑘

𝑙𝑦

𝑙𝑧+𝑘

𝑙𝑧)

1

(1 + 𝑖)𝑘

𝜔−𝑦

𝑘=0

ä𝑦𝑧̅̅̅̅ +𝑘

Ce qui équivaut à :

𝑃 = 𝑅 ∑ ( 𝑝𝑥 ×𝑘 𝑞𝑥+𝑘 × 𝑝𝑦𝑧̅̅̅̅𝑘

)1

(1 + 𝑖)𝑘

𝜔−𝑦

𝑘=0

ä𝑦𝑧̅̅̅̅ +𝑘

Pléthore de triplets de vendeurs et d’acheteurs sont envisageables, tant d’un point de

vue pratique que théorique. Nous avons, à l’instar des autres produits mis en place avec le

partenaire, conçu une grille tarifaire afin de donner une certaine appréciation du tarif de cette

assurance.

44

Tableau 5




Age du crédirentier / Espérance de vie la plus élevée majorée de 3 ans

70 ans -72 ans / 22 ans

75 ans - 77 ans / 18 ans

80 ans - 82 ans / 15 ans

85 ans -87 ans / 11 ans

Age d

u d

ébir

enti

er

40 ans

Prime unique 5 849,42 € 3 557,32 € 2 067,34 € 1 146,97 €


rente annuelle 1,73% 1,05% 0,61% 0,34%

45 ans

Prime unique 8 684,99 € 5 207,28 € 3 000,04 € 1 655,64 €


rente annuelle 2,80% 1,68% 0,97% 0,53%

50 ans

Prime unique 13 291,24 € 7 763,22 € 4 390,49 € 2 388,43 €


rente annuelle 4,74% 2,77% 1,57% 0,85%

55 ans

Prime unique 21 475,47 € 12 258,11 € 6 785,54 € 3 650,61 €


rente annuelle 8,61% 4,91% 2,72% 1,46%

On peut constater que la variation des prix est similaire à celle du produit une tête. On

pouvait prévoir ce résultat vu que les deux assurés sont assimilables à une seule et même

personne. Néanmoins le tarif a augmenté vu que le risque de payer pour l’assureur est plus

grand lorsque le risque porte sur deux têtes.

Nous avons aussi souhaité comme pour le produit une tête une assurance contre les

deux types de risques.

45

2.4.3 Assurance packagée sur deux têtes

Tout d’abord, pourquoi écrire un paragraphe comme celui-ci. Au premier abord, ce

produit est une assurance contre les deux premiers risques, il suffirait donc de sommer les

valeurs des primes pour être assuré contre les deux derniers risques. Il est vrai que si un assuré

souscrit aux deux derniers produits présentés, il sera couvert contre les deux risques : décès du

débirentier et dépassement important de l’espérance de vie du crédirentier. Mais à quel prix ?

La somme des deux dernières primes n’entrainerait-elle pas une double couverture pour

l’assuré ? En effet, au moment où l’espérance de vie du vendeur serait dépassée, l’acheteur

serait couvert contre son décès alors que l’assureur a déjà commencé à prendre en charge le

paiement de la rente.

Pour pallier à cette difficulté, nous avons revu notre façon de concevoir le tarif.

En premier lieu, il convient de diviser le temps en deux périodes : avant le

dépassement (+ 3 ans) de l’espérance de vie du crédirentier, et après cette date.

Appelons risque 1 : décès du débirentier, risque 2 : dépassement (+3 ans) de

l’espérance de vie la plus élevée des crédirentiers.

Lors de la période 2, une assurance en cas de décès du débirentier n’a aucun sens,

puisque l’assureur aura déjà pris en charge le paiement de la rente.

Tarifons donc une assurance en cas de décès du débirentier seulement sur la période

1 : l’assureur s’engage en cas de décès du débirentier, à payer la rente au crédirentier jusqu’à

la période la fin de la période 1.

𝑃1 = 𝑅 ∑ 𝑝𝑥 ×𝑘 𝑞𝑥+𝑘 × 𝑝𝑦𝑧̅̅̅̅𝑘

1

(1 + 𝑖)𝑘

𝑚+3−1

𝑘=0

|𝑚+3−𝑘ä𝑦𝑧̅̅̅̅ +𝑘

Cette assurance est couvre le paiement de la rente pendant la période 1. Que l’assuré

soit vivant ou non durant au début de la période 2, l’assureur s’engage à prendre en charge le

paiement de la rente en cas de survie d’un des crédirentiers. Ce qui nous amène à la prime

suivante :

𝑃2 = 𝑅 ∑ 𝑝𝑦𝑧̅̅̅̅𝑘

1

(1 + 𝑖)𝑘

𝜔−𝑦

𝑘=𝑦+𝑚+3

Pour se couvrir des deux risques tout le long de la vie du contrat, on obtient donc une

prime unique égale à :

46

𝑃1 + 𝑃2 = 𝑅 ∑ 𝑝𝑥 ×𝑘 𝑞𝑥+𝑘 × 𝑝𝑦𝑧̅̅̅̅𝑘

1

(1+𝑖)𝑘𝑚+3−1𝑘=0 |𝑚+3−𝑘ä𝑦𝑧̅̅̅̅ +𝑘 + 𝑅 ∑ 𝑝𝑦𝑧̅̅̅̅𝑘

1

(1+𝑖)𝑘

𝜔−𝑦𝑘=𝑦+𝑚+3

Le risque décès a été tarifé en utilisant une table abattue : les acheteurs en viager sont

en général en meilleur santé que la population moyenne. L’âge des vendeurs a également été

rajeuni pour obtenir une certaine marge de prudence.

2.5 Tarif plafonné par le prix d’une rente certaine

Tout d’abord, définissons le concept de rente certaine : une rente est certaine

lorsqu’elle dépend seulement du facteur temps, elle ne dépend pas de l’état de santé d’une

personne (dépendance) ou même de sa vie (retraite versée au conjoint ou aux enfants

survivants…).

De ce fait, reprenons les formules précédentes en y enlevant l’aléa lié à la survie du

crédirentier et plaçons nous dans le cas où l’espérance de vie sera automatiquement dépassée

et le crédirentier vivant jusqu’à la fin des âges contenus dans la table de mortalité.

2.5.1 Assurance en cas de dépassement de l’espérance de vie

Si la rente est certaine, la formule devient :

𝑃 = 𝑅 ∑1

(1 + 𝑖)𝑘


𝑘=𝐸[𝑦]+3

Il n’existe plus d’aléa, tant sur la survie du débirentier que sur la survie de crédirentier.

On verse une rente dans l’espérance de vie augmentée de trois ou cinq ans. Nous avons une

fonction dépendant uniquement de l’âge du crédirentier à la souscription, indépendante de

l’âge du débirentier.

47

Graphique 7

Prime unique pour un €uro de rente

Sur cette simulation, nous remarquons clairement que tous les points de la surface de

de prix de la rente certaine est au-dessus de la surface de prix de l’assurance en cas de

dépassement de l’espérance de vie du débirentier (cf 2.1.5). Néanmoins, on peut noter les

mêmes irrégularités en hauteur. Comment cela est-il possible alors qu’aucune probabilité

n’apparait dans la formule ci-dessus ?

En vérité, nous continuons à utiliser la table puisque le début de la somme est

calqué sur l’espérance de vie du crédirentier, elle-même calculé à partir de la table TF00-02.

Ce qui explique donc ces irrégularités au niveau de la table.

Nous n’avons pas effectué ce test avec l’assurance en cas de décès du débirentier car

cela reviendrait à affirmer que le débirentier ne meurt pas et que le crédirentier non plus.

Autrement dit le produit d’assurance n’aurait aucun intérêt puisque le débirentier ne

décèderait pas.

013

2639

5265

78

91

104

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

081

6

24

32

40

48

56

64

72

80

88

96

10

416-18

14-16

12-14

10-12

8-10

6-8

4-6

2-4

0-2

48

2.6. Modélisation de la revalorisation de la rente

2.6.1. La revalorisation de la rente : raisons et conséquences

Les bénéficiaires de rentes viagères vivent dans la société parallèlement aux actifs.

Simultanément, ils doivent au cours des années faire face à des acquisitions de biens de

consommation divers dont le prix évolue au cours du temps. Dans ces conditions, se pose la

question de ce qui doit apparaître comme l’objectif de revalorisation des rentes qu’ils

perçoivent.

- Une revalorisation qui soit corrélée avec les revenus des actifs, ce qui maintient la

situation financière relative des retraités par rapport aux actifs, et se traduit par une

revalorisation corrélée avec l’évolution des salaires nominaux,

- Une revalorisation qui vise à maintenir le pouvoir d’achat des retraités, quitte à ce que

celui-ci régresse par rapport aux salaires nominaux versés aux actifs lorsque ces

derniers obtiennent des gains de pouvoir d’achat suite aux effets de la croissance

économique.

Il s’agit des deux formes de revalorisations que l’on observe le plus souvent dans les régimes

de pensions de retraite. Ainsi, les réformes de 1993 sur le régime général des pensions ont

conduit à une modification de l’objectif de revalorisation des pensions de retraite du régime

général de Sécurité Sociale : celui-ci est passé d’un objectif d’évolution corrélée avec les

salaires à un objectif d’évolution corrélée avec le niveau des prix.

A long terme, ce genre de dispositif n’est pas neutre puisque, pour autant que la croissance

économique perdure, l’évolution des prix est généralement inférieure à l’évolution des

salaires nominaux. Donc, si l’objectif assigné est un maintien de pouvoir d’achat, cela se

traduit par une baisse du niveau de revenu relatif des pensionnés par rapport aux actifs comme

cela devrait être le cas en ce qui concerne les retraités dans les années à venir par rapport aux

actifs.

En termes d’ordre de grandeur, on pourra retenir qu’avec un taux annuel d’inflation de 2 %,

un panier de biens de valeur 100 à la date de liquidation de la rente voit son prix majoré de 50

% en 20 ans. Ainsi, l’existence d’un dispositif de revalorisation est un élément central d’un

régime de rentes viagères qui souhaite ne pas voir se dégrader très sensiblement le pouvoir

d’achat de ses bénéficiaires.

Une fois l’objectif de revalorisation défini, se pose la question de la prise en compte technique

et financière de celle-ci au travers des tarifs et des provisions mathématiques de rentes à

constituer. On rappellera que les provisions mathématiques se doivent de traduire, le plus

fidèlement possible, le poids financier des engagements pris par la compagnie d’assurance.

Deux approches sont a priori possibles. La première consiste simplement à modifier les flux

de rente pour les faire croître au fil du temps en raison du taux de la revalorisation attribuée.

Elle présente l’avantage de clairement distinguer, dans le montant de la provision, ce qui

49

relève de la revalorisation et ce qui est à attribuer au « niveau atteint » de la rente à la date

d’inventaire.

Mais les usages ont mis en avant une seconde approche, consistant à diminuer le taux

d’actualisation dans la mesure du taux technique, sans modifier le montant de la rente. L’idée

sous-jacente est que la revalorisation attribuée est in fine financée par les produits financiers

réalisés au-delà du taux d’actualisation.

Si l’objectif assigné au régime est d’assurer le maintien du pouvoir d’achat des rentes, alors le

taux d’intérêt d’actualisation que l’on peut retenir dans le calcul des provisions

mathématiques de rentes ne peut pas être supérieur au taux d’intérêt réel dans l’économie sur

une longue période. A ce titre, il convient de noter que sur longue période en France, la

croissance économique annuelle est d’environ 2 % à 2,5 %. Sur ces bases, si un régime de

rentes a pour objectif de maintenir le pouvoir d’achat d’achat des rentiers on ne saurait édicter

un principe d’actualisation des provisions mathématiques donc un taux technique sur la base

d’un taux supérieur à 2 % ou 2,5 %. On peut noter que ce niveau est aujourd’hui cohérent

avec la contrainte de 60 % du TME imposée aux organismes assureurs pour le

provisionnement des engagements de rentes viagères.

Si l’objectif assigné au régime de rentes viagères est d’assurer une évolution du pouvoir

d’achat des rentiers parallèle à celle des salariés actifs, les principes d’actualisation ne

sauraient conduire à préconiser un choix de taux d’actualisation supérieur à 0 %.

Dans le fonctionnement d’un régime de rentes, il est indispensable de définir a priori les

objectifs que l’on assigne au régime en termes de traitement des rentiers par rapport aux

actifs.

Si les options financières et techniques qui en découlent ne sont pas univoques, il convient

néanmoins de noter que la revalorisation future des rentes a un coût relativement élevé surtout

si l’on a pour objectif de respecter les engagements déjà pris, qu’il s’agisse d’une évolution en

termes de pouvoir d’achat ou en termes de niveau de vie relatif par rapport aux actifs.

2.6.2 Ordonnance de 1958

L'article 79 de l'ordonnance n° 58-1374 du 30 décembre 1958 portant loi de finances pour

1959 dispose, que "sont abrogées toutes dispositions générales de nature législative ou

réglementaire tendant à l'indexation automatique des prix de biens ou de services", et surtout

que "dans les nouvelles dispositions statutaires ou conventionnelles... sont interdites toutes

clauses prévoyant des indexations fondées sur... le niveau général des prix...". Depuis cette

date, il est donc strictement interdit de tarifer une prime en indexant la revalorisation des

rentes selon l’inflation. Tout d’abord, il est légitime de se demander pourquoi le législateur a-

t-il interdit une telle pratique.

En 1958, lors de la constitution de la Vème République, le souvenir de la guerre subsiste, et

l’objectif est de prévenir le retour de l’inflation par contagion qui a conduit à l’arrivée d’Hitler

au pouvoir. Ainsi, le législateur s’efforce donc de mettre en place une série de mesures visant

50

à ne plus jamais aboutir à cette situation d’hyperinflation qu’a connue la République de

Weimar.

2.6.3 Pricing des assurances de viager avec revalorisation

Maintenant attachons-nous à établir les formules en modélisant la revalorisation de la rente.

Notons 𝑟𝑘 le taux de revalorisation de la k-ième année par rapport au début du contrat. Les

formules deviennent alors :

Assurance en cas de survie prolongée du crédirentier


𝑙𝑥∑ 𝑝𝑦𝑘

1

(1 + 𝑖)𝑘× (1 + 𝑟𝑘)


𝑘=𝐸[𝑦]+3

𝑟𝑘 est le taux de revalorisation de la k-ième année par rapport à l’année de début du contrat.

Si on appelle 𝑅𝑘 le taux de revalorisation de la k-ième année par rapport à l’année

précédente, on peut écrire que : (1 + 𝑟𝑘) = ∏ (1 + 𝑅𝑘𝑘𝑖=1 )

Le prix de l’assurance de viager s’écrit alors :



1

(1 + 𝑖)𝑘∏(1 + 𝑅𝑘

𝑘

𝑖=1

)


𝑘=𝐸[𝑦]+3



𝜔−𝑦

𝑠=𝑘

𝜔−𝑦

𝑘=0

1

(1 + 𝑖)𝑠(1 + 𝑟𝑠)

Ou encore avec notations du paragraphe précédent :


𝜔−𝑦

𝑠=𝑘

𝜔−𝑦

𝑘=0

1

(1 + 𝑖)𝑠∏(1 + 𝑅𝑠

𝑘

𝑠=1

)

51

Assurance dite mixte

En reprenant la même méthodologie que dans le paragraphe 2.3, on obtient le prix de

l’assurance mixte :

𝑃1 + 𝑃2 = 𝑅 ∑ 𝑝𝑥 ×𝑘 𝑞𝑥+𝑘 ∑ 𝑝𝑦 ×𝑠

𝐸[𝑦]+3−1

𝑠=𝑘

𝐸[𝑦]+3−1

𝑘=0

1

(1 + 𝑖)𝑠∏(1 + 𝑅𝑠

𝑘

𝑠=1

)

+ 𝑅𝑙𝐸[𝑦]+𝑥+3


1

(1 + 𝑖)𝑘∏(1 + 𝑅𝑘

𝑘

𝑖=1

)


𝑘=𝐸[𝑦]+3

2.6.4 Cas de la revalorisation constante

Plaçons-nous maintenant dans le cas où la revalorisation annuelle de la rente est constante. On

a alors :

∀𝑘 ∈ 𝑁, 𝑅𝑘 = 𝑅, (1 + 𝑟𝑘) = ∏(1 + 𝑅𝑘)

𝑘

𝑖=1

= (1 + 𝑅)𝑘

Il vient à l’aide de cette modélisation les formules d’assurances de viager suivantes.

Assurance en cas de survie prolongée du crédirentier



(1 + 𝑅

1 + 𝑖)

𝑘𝜔−𝑦−𝐸[𝑦]−3

𝑘=𝐸[𝑦]+3

En établissant une revalorisation annuelle constante de l’ordre de 2% On obtient donc les prix

de l’assurances de viager en cas de dépassement de l’espérance de vie suivant :

52

Tableau 6


Taux de revalorisation = 2%




70 ans / 22 ans

75 ans / 18 ans

80 ans / 15 ans

85 ans / 11 ans

Age d

u d

ébir

enti

er

40 ans

Prime unique 13 387,26 € 11 556,19 € 7 844,33 € 7 491,03 €


7,79% 8,33% 6,95% 9,73%

45 ans

Prime unique 12 785,04 € 11 556,83 € 7 636,19 € 7 628,61 €


7,49% 8,36% 6,78% 9,92%

50 ans

Prime unique 12 468,20 € 11 222,13 € 7 761,94 € 7 363,48 €


7,36% 8,16% 6,92% 9,60%

55 ans

Prime unique 11 842,86 € 10 842,71 € 7 567,70 € 7 205,55 €


7,10% 7,96% 6,79% 9,43%

On remarque une augmentation des prix d’en moyenne 50% lorsqu’on introduit une

revalorisation de 2%

53



𝜔−𝑦

𝑠=𝑘

𝜔−𝑦

𝑘=0

(1 + 𝑅

1 + 𝑖)

𝑠

Tableau 7




Assurance en cas de décès du crédirentier



Age d

u d

ébir

enti

er

40 ans

Prime unique 6 357,58 € 3 667,27 € 2 067,16 € 1 108,26 €


rente annuelle 1,78% 1,03% 0,58% 0,31%

45 ans

Prime unique 9 166,90 € 5 435,94 € 2 953,09 € 1 646,49 €


rente annuelle 2,82% 1,67% 0,91% 0,51%

50 ans

Prime unique 14 000,70 € 7 975,02 € 4 428,41 € 2 297,45 €


rente annuelle 4,79% 2,73% 1,51% 0,79%

55 ans

Prime unique 22 552,67 € 12 507,32 € 6 813,35 € 3 484,71 €


rente annuelle 8,72% 4,83% 2,63% 1,35%

On constate également une augmentation des prix d’en moyenne 50% lorsqu’on introduit une

revalorisation de 2%

54

Assurance mixte

𝑃1 + 𝑃2 = 𝑅 ∑ 𝑝𝑥 ×𝑘 𝑞𝑥+𝑘 ∑ 𝑝𝑦 ×𝑠

𝐸[𝑦]+3−1

𝑠=𝑘

𝐸[𝑦]+3−1

𝑘=0

(1 + 𝑅

1 + 𝑖)

𝑘

+ 𝑅𝑙𝐸[𝑦]+𝑥+3


(1 + 𝑅

1 + 𝑖)

𝑘𝜔−𝑦−𝐸[𝑦]−3

𝑘=𝐸[𝑦]+3

Tableau 8




Assurance en cas de décès du crédirentier


70 ans / 22 ans

75 ans / 18 ans

80 ans / 15 ans

85 ans / 11 ans

Age d

u d

ébir

enti

er

40 ans

Prime unique 18 606,03 € 15 000,02 € 10 338,80 € 9 631,84 €


10,83% 10,81% 9,15% 12,51%

45 ans

Prime unique 20 205,05 € 16 448,54 € 10 879,27 € 10 260,37 €


11,83% 11,90% 9,66% 13,35%

50 ans

Prime unique 23 528,97 € 18 079,21 € 12 245,50 € 10 499,98 €


13,89% 13,15% 10,92% 13,69%

55 ans

Prime unique 29 200,80 € 21 118,66 € 13 973,76 € 11 286,57 €


17,50% 15,51% 12,54% 14,77%

On observe de même qu’une revalorisation constante de 2% par an augmente le prix de 50% en

moyenne.

55

2.6.5 Intégration de la revalorisation de la rente au taux technique

Il est légitime de se demander s’il n’existe pas un moyen de simplifier le terme 1+𝑅

1+𝑖 en

1

1+𝑡.

De cette façon nous pourrions intégrer la revalorisation au tarif en recalculant les formules

précédentes avec un nouveau taux technique t.

Supposons l’existence du taux t.

On sait alors que 1

1+𝑡=

1+𝑅

1+𝑖 d’où 1 + 𝑡 =

1+𝑖

1+𝑅

D’où

𝑡 =1 + 𝑖

1 + 𝑅− 1

On vérifie par ailleurs que le taux t calculé précédemment convient.

On peut donc réécrire toutes les formules précédentes avec le taux t et ainsi calculer plus

simplement un produit avec une rente revalorisée en modifiant uniquement le taux technique

utilisé.

2.6.6 Remarques sur le taux technique amélioré

Si 1 + 𝑖 < 1 + 𝑅 alors t < 0. Cela signifie que lorsque taux de revalorisation de la rente est

supérieur au rendement de l’actif, on actualise les flux futurs à un taux négatif, autrement dit

l’argent coûte plus cher dans le futur qu’à l’instant présent.

Si 1 + 𝑖 > 1 + 𝑅 alors t >0. Cela implique que le rendement de l’actif est supérieur au taux de

revalorisation de la rente. C’est le cas favorable à l’assureur. Ce dernier peut en effet couvrir

le taux de revalorisation de la rente par le rendement que l’actif sans risque lui procure.

2.7 Limites de la modélisation déterministe et de la règlementation

prudentielle

2.7.1 Revalorisation de la rente

Nous avons pu analyser la modélisation de ces produits dans un contexte déterministe. Le

taux d’intérêt était supposé constant au cours des années à venir. Néanmoins, la réalité est tout

autre. Dans le contexte actuel : les taux d’intérêts ne cessent de baisser et ne sont pas constant.

L’actualisation des flux est donc assez mouvante. Nous ne pouvons donc pas raisonnablement

tabler sur cette modélisation pour obtenir un prix qui soit réel.

56

2.7.2 Dépendance du décès des deux crédirentiers

Lors de mes entrevues avec un célèbre nom du viager, ce dernier m’a fait part de son

expérience terrain sur les viagers tenant sur deux têtes. Lorsqu’un bien immobilier est occupé

par un couple, lorsqu’un des conjoints décédait, le deuxième tendait à trépasser plus

rapidement que l’âge prévu par la table.

Ce point est crucial, car la réglementation nous impose l’utilisation d’une table et d’un taux

technique bien précis. Néanmoins, l’absence de règle quant à la modélisation de la

dépendance de certains caractères nous permettrait d’introduire une modélisation de

dépendance entre le décès des deux têtes.

Nous allons donc nous attacher dans la partie suivante à étudie les méthodes probabilistes qui

nous permettent tout d’abord de modéliser de façon stochastique la revalorisation de la rente.

Nous nous attacherons par la suite à modéliser à l’aide d’une copule de dépendance la relation

entre le décès des deux têtes. Enfin, nous allons étudier une méthode qui combinera les deux

approches : stochastique pour les taux d’intérêts et la copule pour modéliser la dépendance

entre le décès des deux crédirentiers.

2.7.3. Les tables de mortalité utilisées

Les tables utilisées ont aussi leur importance. En effet, d’après le Code des Assurances pour

les contrats de rente viagère il est nécessaire d’utiliser une des tables générationnelle TGF05

et TGH05. Or, dans les calculs précédemment effectués, nous avons utilisé la table TF-002

lorsque le risque était le dépassement de l’espérance de vie, et la table TH-002 lorsque le

risque était le décès. Ces deux tables nous permettent une certaine prudence, étant donné que

les femmes vivent en moyenne plus longtemps que les hommes. Ainsi, la probabilité de

paiement de la rente est augmentée en cas de dépassement de l’espérance de vie, et la

probabilité de décès du débirentier augmenté.

Néanmoins, nous ne pouvons passer outre la règlementation. Or quand on regarde d’un peu

plus près, on remarque que le lorsque le code mentionne des sorties en rentes, les rentes sont

généralement assimilées à des engagements très longs du type retraite. Mais dans notre cas,

les engagements de sortie en rente sont généralement courts (10 à 15 ans) au regard des âges

des vendeurs. Qui plus est, même dans le cas où la rente est versée, cette dernière le serait

pendant très peu de temps (15 ans maximum). On pourrait donc assimiler ce produit à une

sortie en rente temporaire et non viagère. C’est ce qui légitimise l’utilisation des tables

fournies par l’INSEE pour la tarification de ces trois contrats. Le terme d’engagement viager

n’est pas celui qui est sous-entendu par le code.

65

D’autre part, une des principales problématiques en ce qui concerne les modèles financiers reste celle de la calibration. Dans le cas du modèle de Vasicek, le plus simple pour calibrer les paramètres a, b et σ est de résoudre le problème d’optimisation :

�� inf�∈ℝ �( (0, �, �� − �(0, ��²��

où (0, �, �� sont les prix des zéro-coupons (fonction de � = (�, �, ��) selon le modèle de Vasicek et les P(0, u) les prix des zéro-coupons effectivement observés sur le marché.

Ce problème est très complexe à résoudre et il devient difficile d’utiliser le modèle de Vasicek pour évaluer des options sur zéro-coupon quand les paramètres intervenant dans la formule ne reproduisent pas parfaitement la courbe des taux.

1.4. Tarification de l’assurance de viager dans le cadre

stochastique

Reprenons les hypothèses du modèle de Vasicek. Nous allons donc actualiser les flux probables à venir, afin d’obtenir le prix économique juste.

A l’instar du calcul du prix du zéro-coupon, il faut calculer l’espérance de la valeur des flux actualisés sous la probabilité risque neutre. En effet, le terme risque neutre provient de la théorie économique : si les intervenants n’ont pas d’aversion au risque ils vont s’accorder pour évaluer de cette façon la valeur des portefeuilles. L’introduction de cette probabilité nous permet de faire comme si les agents étaient neutres au risque, alors qu’en réalité ils ne le sont pas.

Calculons donc l’espérance actualisée des flux engendrés par les produits d’assurance de viager.

1.4.1 Assurance en cas de dépassement de l’espérance de vie du

débirentier

Reprenons la filtration définie dans le paragraphe 1.3

� le taux d’intérêt à la k-ième année

�� le taux de revalorisation

� = �∗ ! "#$%&'(')"( * "%'+"% ,-. /(0�1023 × ,. /5(0�10637-%-#$%&-)+8#$%&') 9

66

Faisons l’hypothèse que la revalorisation est strictement égale à l’inflation, ie �� = :;

On a d’après le paragraphe précédent que :; = < + >�; + ?; On a d’après les résultats du paragraphe 1.3

� = �∗ ! "#$%&'(')"( * "%'+"% $,-((@-A�. /(0�1023 'B+��&7-%-#$%&-)+8#$%&') 9

Nous avons supposé que les probabilités de décès n’étaient pas stochastiques, on obtient donc par linéarité de l’espérance

� = ! "#$%&'(')"( * "%'+"% �∗$,-((@-A�. /(0�1023 'B+��&7-%-#$%&-)+8#$%&')

Il faut donc calculer le terme �∗$,-((@-A�. /(0�1023 'B+��& Modifions la forme de l’intégrale (1 − >� . r(s�ds+� . Pour cela, effectuons le changement de

variable = (1 − >�G . On a alors :

(1 − >�� r(s�ds+� = � r(u�du(@-A�+

�

D’après le paragraphe 1.3, on a alors que

�∗$,-((@-A�. /(0�1023 'B+��& = ,-B+!(0, (1 − >�I� (cf. définition de !(J, K�) On peut alors affirmer que le prix de l’assurance viager en cas de dépassement de l’espérance de vie est :

� = ! "#$%&'(')"( * "%'+"% ,-B+!(0, (1 − >�I�7-%-#$%&-)+8#$%&')

67

1.4.2. Assurance en cas de décès du débirentier

Nous nous replaçons également dans un contexte d’actualisation continue. On obtient donc par les mêmes arguments que dans le paragraphe précédent le prix de l’assurance en cas de décès du débirentier par la formule suivante :

� = �∗$! * ("('+ − "('+'@�"( * "%'L"% ,-. /(0�10M3 × ,. /5(0�10N37-%L8+

7-%+8� &

Remarquons que nous avons utilisé la deuxième formule intuité dans le paragraphe III) 2.2.2. pour définir le prix. En effet cette dernière présentait plus de commodités pour le calcul de l’espérance. Si nous avions utilisé la première formule nous nous serions retrouvés avec terme de la forme �L + �L'+.

Nous remplaçons :; par la valeur trouvée précédemment et par linéarité de l’espérance sous la probabilité risque neutre, nous obtenons le résultat suivant :

� = ! * ("('+ − "('+'@�"( * "%'L"%7-%L8+

7-%+8� �∗$,-((@-A�. /(0�10M3 'BL��&

D’après la même démonstration que dans le paragraphe précédent, on a :

�∗$,-((@-A�. /(0�10M3 'BL��& = ,-BL!(0, (1 − >�O� Le prix de l’assurance de Viager en cas de décès du débirentier est donc donné par la formule :

� = ! * ("('+ − "('+'@�"( * "%'L"%7-%L8+

7-%+8� ,-BL!(0, (1 − >�O�

1.4.3. Assurance en cas de décès du débirentier et en cas de

dépassement de l’espérance de vie du crédirentier

Partons de la même approche lors du contexte déterministe. En premier lieu, il convient de diviser le temps en deux périodes : avant le dépassement (+ 3/5 ans) de l’espérance de vie du crédirentier, et après cette date. Appelons risque 1 : décès du débirentier, risque 2 : dépassement (+3/5 ans) de l’espérance de vie la plus élevée des crédirentiers Lors de la période 2, une assurance en cas de décès du débirentier n’a aucun sens, puisque l’assureur aura déjà pris en charge le paiement de la rente.

68

Tarifons donc une assurance en cas de décès du débirentier seulement sur la période 1 : l’assureur s’engage en cas de décès du débirentier, à payer la rente au crédirentier jusqu’à la période la fin de la période 1.

�@ = �∗$! * ("('+ − "('+'@�"( * "%'L"% ,-. /(0�10M3 × ,. /5(0�10M3#$%&')L8+

7-%+8� &

De la même manière que précédemment nous retrouvons le résultat de ce calcul par linéarité de l’espérance. On obtient :

�@ = ! * ("('+ − "('+'@�"( * "%'L"% �∗$,-((@-A�. /(0�10M3 'BL��&#$%&')L8+

7-%+8�

D’après la même démonstration que dans le paragraphe précédent, on a :

�∗$,-((@-A�. /(0�10M3 'BL��& = ,-BL!(0, (1 − >�O� On obtient donc un prix de l’assurance sur la période 1 :

�@ = ! * ("('+ − "('+'@�"( * "%'L"% ,-BL!(0, (1 − >�O�#$%&')L8+

7-%+8�

Cette assurance couvre le paiement de la rente pendant la période 1. Que l’assuré soit vivant ou non durant au début de la période 2, l’assureur s’engage à prendre en charge le paiement de la rente en cas de survie du crédirentier. Ce qui nous amène à la prime suivante :

�P = ! * "%'+"%7-%

+8%'#$%&') �∗$,-((@-A�. /(0�1023 'B+��&

On a de la même manière :

�∗$,-((@-A�. /(0�1023 'B+��& = ,-B+!(0, (1 − >�I� On obtient donc un prix de l’assurance sur la période 2 :

�P = ! * "%'+"%7-%

+8%'#$%&') ,-B+!(0, (1 − >�I�

69

Pour obtenir le prix de l’assurance mixte, il suffit alors de sommer �@ et �P, nous couvrirons alors tous les risques sur les deux périodes de temps. D’où la formule suivante :

� = !Q* ("('+ − "('+'@�"( * "%'L"% ,-BL!(0, (1 − >�O�#$%&')L8+

7-%+8�

+ * "%'+"%7-%

+8%'#$%&') ,-B+!(0, (1 − >�I�R

70

1.5. Simulation de la courbe des taux

1.5.1 La méthode classique

Le modèle de Vasicek donne la forme analytique de la courbe des taux aujourd'hui et plus généralement de n'importe quelle date.

Le graphe de la fonction !(J, S� ressemble effectivement à de nombreuses courbes de taux observées sur le marché.

Le problème de reconstruire une courbe de taux robuste à partir des données de marché est un enjeu majeur du Risk management des produits de taux. Différentes méthodes sont utilisées dans les banques.

La méthode habituellement utilisée par les gestionnaires, pour reconstituer cette courbe de taux zéro-coupon, est une méthode récursive qui calcule les taux zéro-coupon de proche en proche. Cette méthode consiste à considérer la courbe des taux actuariels, notées TA(théta) obtenue par approximation linéaire entre les taux actuariels des actifs du marché. Le point de départ est le taux actuariel de maturité un an est aussi le taux zéro-coupon de même maturité. Le zéro-coupon de maturité deux ans est obtenu en résolvant en B(0; 2), l'équation suivante : 100 = KT(2�V(0; 1� + (KT(2� + 100�V(0; 2� Cette équation vient du fait qu'une obligation dont le taux facial est égale au taux actuariel est au pair. La courbe des taux zéro-coupon s'obtient alors par itération; en effet pour passer du zéro-coupon de maturité n au zéro-coupon de maturité n+1, il suffit de calculer le taux B(0; n +1) qui vérifie l’équation suivante :

100 = *KT(X + 1�V(0; :� +(KT(X + 1�+ 100�V(0; X + 1�YZ8@

1.5.2 Paramétrage suivant le modèle de Vasicek

Une Analyse en Composantes Principales (ACP) sur un historique de courbes de taux zéro-coupon obtenues par cette méthode a montré que trois facteurs expliquent la quasi-totalité des déformations de ces courbes. Ces trois facteurs s'interprètent comme suit :

- un premier facteur qui présente une forme quasiment plate et qui provoque des déplacements parallèles de la courbe des taux. Ce facteur s'interprète comme un facteur de niveau.

- un deuxième facteur qui rend compte des inversions de la courbe autour d'un point. Ce facteur s'interprète comme un facteur de pente car il a une influence contraire sur les taux longs et sur les taux courts.

- Un troisième facteur, qui agit différemment sur trois compartiments de la courbe des taux, et qui s'interprète comme un facteur de courbure

71

Ceci laisse à penser qu'une bonne méthode de reconstitution de la courbe des taux zéro-coupon, serait de se donner une fonctionnelle dépendant d'un paramètre de niveau des taux, d'un paramètre de spread (ou de pente) et d'un paramètre de courbure et de caler ensuite ces paramètres sur les données du marché.

Or c'est exactement le paramétrage déduit du modèle de Vasicek, via la représentation !(S� = ![ − \]@(S� + ^]P(S� Le paramètre � dans la fonctionnelle du taux est un paramètre d'échelle, le laisser libre dans le calage des autres paramètres introduirait une trop grande instabilité pour ces derniers, il a donc été décidé de le fixer. Des tests empiriques nous ont alors montré que sa valeur peut être fixée entre 0,1 et 0,8.

Le problème revient donc à estimer les paramètres ![, \,J^ sur un panel, bien choisi, d'actifs du marché. Les valeurs de ces paramètres au moment du calcul sont obtenues par la minimisation, sur le panel d'actifs du marché, de l'écart quadratique moyen suivant :

�$J, ![, \, ^& = *_Z,;(�Z,;;`ébcZdef(gZ8@ ![, \, ^� − �Z,;hicj`é�²

�Z,;hicj`é est le prix du marché de l'actif i. On choisira les actifs les plus liquides du marché,

car seuls ces actifs sont bien arbitrés et leurs prix reflètent donc le marché.

�Z,;;`ébcZdef est le prix de l'actif i, en fonction des paramètres, tel qu'il est calculé par le

modèle choisi. Ce prix théorique étant estimé par rapport à "une moyenne du marché", on observera à chaque date t un résidu entre ce prix et le prix de marché de l'actif.

�Z,;;`ébcZdef = �Z,;hicj`é + ?Z,; Ce résidu peut refléter soit une option cachée dans l'actif (Possibilité de prorogation aux conditions du marché, possibilité d'échange contre des obligations à taux variable ou révisable), soit par exemple un coupon fort (ou faible) ce qui implique un certain type d'intervenants à cause des problèmes de fiscalité, soit tout autre cause spécifique à l'actif. _Z est un facteur de pondération, qui peut être liée soit à la liquidité du titre, soit à l'inverse de sa maturité résiduelle. On choisira un facteur de pondération plus fort pour les actifs qu'on veut favoriser dans le programme d'optimisation ; c'est ainsi qu'on peut favoriser par exemple, les actifs les plus liquides, les actifs sans clause spéciale ou encore les actifs à faible maturité résiduelle.

72

L'algorithme de Newton-Raphson7 permet de converger rapidement vers un minimum éventuellement local), quant-il en existe un, et permet donc d'obtenir les paramètres de la courbe des taux zéro-coupon correspondant à la date et au panel choisis.

Le panel de données doit recouvrir les différentes parties de la courbe, courte, moyenne longue, et utiliser les instruments les plus liquides possibles, les taux Euribor notamment.

1.5.3 Construction de la courbe des taux

Nous avons donc construit une courbe zéro coupon à l’aide du modèle de Vasicek, en utilisant la formule introduite précédemment :

!(S, �� = ![ − 1�S kl![ − �(J�ml1 − ,-inm − �P4�P (1 − ,-in�²p Avec ![ = �∗ − q²Pi² , ![ qui s’interprète comme le taux à long terme. Notons qu’il ne

dépend pas du taux instantané spot r(t).

En prenant les paramètres � = 1; � = 1,5% ; � = 8%

On obtient la courbe suivante :

Graphique 8

Courbe des taux Zéros-Coupons – Modèle de Vasicek

7 Modélisation de la marge financière Euro dans le cadre du calcul de l’EEV (2007), Y. BOHBOT

73

1.5.4 Critique du modèle

En comparant avec la courbe fournie par l’Institut des Actuaires, on remarque que cette courbe est peu cohérente avec les courbes de taux fournies par le marché.

Effectivement le modèle de Vasicek présente de nombreux inconvénients :

- Les variations des taux courts instantanés sont corrélés - Les taux courts instantanés peuvent prendre des valeurs négatives car les taux suivent

un processus Gaussien. Ce qui est en principe totalement incohérent avec la réalité - Le modèle n’est pas assez souple : la courbe obtenue à l’aide du modèle de Vasicek ne

peut jamais coller totalement avec la courbe des taux zéro-coupon de marché obtenue à l’aide de la méthode itérative décrite plus haut

Néanmoins, ce modèle permet d’obtenir des prix avec des formules fermées sans passer par des simulations. C’est pourquoi, nous avons retenu ce modèle lors de l’étude effectuée.

74

1.6. Simulation des prix de l’Assurance de viager à l’aide du modèle

de Vasicek avec revalorisation

Examinons le prix des assurances de Viager qui comportent une clause de revalorisation indexée selon l’inflation obtenus avec les taux issus de la simulation faite à partir du modèle de Vasicek.

1.6.1. Assurance en cas de dépassement de l’espérance de vie

Tableau 9 Hypothèses : Rente annuelle = 10 000 €



70 ans / 22

ans

75 ans / 18

ans

80 ans / 15

ans

85 ans / 11

ans

Age d

u d

ébir

enti

er

40 ans

Prime unique 14 560,68 € 12 314,51 € 8 406,24 € 8 192,44 €

Prime périodique

en pourcentage de

la rente annuelle

8,48% 8,87% 7,44% 10,64%

45 ans

Prime unique 13 905,67 € 12 315,19 € 8 183,19 € 8 342,89 €

Prime périodique

en pourcentage de

la rente annuelle

8,14% 8,91% 7,27% 10,85%

50 ans

Prime unique 13 561,06 € 11 958,52 € 8 317,94 € 8 052,94 €

Prime périodique

en pourcentage de

la rente annuelle

8,01% 8,70% 7,41% 10,50%

55 ans

Prime unique 12 880,91 € 11 554,21 € 8 109,79 € 7 880,22 €

Prime périodique

en pourcentage de

la rente annuelle

7,72% 8,49% 7,28% 10,32%

75

1.6.2 Assurance en cas de décès du débirentier





Age d

u d

ébir

enti

er

40 ans

Prime unique 6 914,83 € 3 907,91 € 2 215,23 € 1 212,03 €

Prime périodique

en pourcentage de

la rente annuelle

1,94% 1,10% 0,62% 0,34%

45 ans

Prime unique 9 970,40 € 5 792,64 € 3 164,62 € 1 800,65 €

Prime périodique

en pourcentage de

la rente annuelle

3,07% 1,78% 0,97% 0,55%

50 ans

Prime unique 15 227,89 € 8 498,34 € 4 745,62 € 2 512,57 €

Prime périodique

en pourcentage de

la rente annuelle

5,21% 2,91% 1,62% 0,86%

55 ans

Prime unique 24 529,46 € 13 328,05 € 7 301,41 € 3 810,99 €

Prime périodique

en pourcentage de

la rente annuelle

9,48% 5,15% 2,82% 1,47%

76

1.6.3 Assurance dite mixte




70 ans / 22

ans

75 ans / 18

ans

80 ans / 15

ans

85 ans / 11

ans

Age d

u d

ébir

enti

er

40 ans

Prime unique 20 236,89 € 15 984,32 € 11 079,40 € 10 533,69 €

Prime périodique

en pourcentage de

la rente annuelle

11,78% 11,52% 9,81% 13,68%

45 ans

Prime unique 21 976,07 € 17 527,89 € 11 658,58 € 11 221,07 €

Prime périodique

en pourcentage de

la rente annuelle

12,87% 12,68% 10,35% 14,60%

50 ans

Prime unique 25 591,33 € 19 265,56 € 13 122,68 € 11 483,13 €

Prime périodique

en pourcentage de

la rente annuelle

15,11% 14,01% 11,70% 14,97%

55 ans

Prime unique 31 760,31 € 22 504,47 € 14 974,74 € 12 343,36 €

Prime périodique

en pourcentage de

la rente annuelle

19,03% 16,53% 13,44% 16,16%

On constate aisément que la modélisation stochastique de la revalorisation de rente et des taux d’intérêts a contribué à gonfler de 10% en moyenne les prix. Ceci s’explique en partie par le fait que le Modèle de Vasicek anticipe une hausse des taux qui augmentent de facto la revalorisation de la rente (cette dernière étant égale à l’inflation dans le modèle étudié). Néanmoins, cette hausse des taux est difficilement attendu à l’heure où ces lignes sont écrites. Le modèle de Vasicek se révèle donc être effectivement un modèle qui présente de bonnes propriétés théoriques mais qui démontre ses limites lors d’une élémentaire simulation tarifaire.

L’analyse stochastique nous a permis d’obtenir le prix dit économique du viager : nous avons pris en compte des taux d’intérêt variables pour actualiser les flux. Or il subsiste

77

une autre discussion dans la modélisation déterministe : la dépendance entre les décès des crédirentiers.

Effectivement, après en avoir discuté avec le partenaire, l’expérience semble confirmer que lorsqu’un viager est fait sur deux têtes, la mortalité observée ne correspond pas à celle attendue. Autrement dit, l’indépendance supposée des durées de vie n’est pas vérifiée. Dès que l’un des conjoints décède, la tête restante verra en moyenne son espérance de vie diminuée. Il semblerait donc exister un lien statistique entre le décès du premier crédirentier et le décès du second crédirentier. C’est ce lien que nous allons nous attacher à mettre en avant dans la partie suivante.

2) Dépendance de la vie des deux crédirentiers

2.1. La Copule : l’outil idoine pour modéliser la dépendance de deux

variables

Le concept de copule a été introduit par Abe Sklar8 en 1959, comme solution d’un problème de probabilité énoncé par Maurice Fréchet dans le cadre des espaces métriques aléatoires.

Les copules sont devenues un outil de base dans la modélisation des distributions multivariées en finance et en assurance.

De par l’insuffisance du modèle Gaussien et faute de modèles alternatifs opérationnels jusqu’au début des années 1990, l’indépendance entre risques était une nécessité méthodologique pour les actuaires. L’indépendance entre risques était en effet présupposée dans des travaux que l’on qualifiait de « courants » pour les actuaires : tarification, provisionnement, évaluation de besoin en fonds propres, gestion Actif-Passif etc.

Or de nombreux travaux récents montrent et ont montré que la dépendance entre risques ne pouvait être ignorée.

En assurance vie, la tarification d’un contrat de rentes viagères sur une tête masculine avec réversion sur l’épouse repose sur l’hypothèse que les deux têtes sont indépendantes. Or il est empiriquement observé que cette hypothèse n’est pas acceptable du fait de l’effet du syndrome du « cœur brisé » : le décès de l’époux raccourcit la vie résiduelle de l’épouse.

Nous étudierons en premier lieu les définitions et propriétés fondamentales des copules en explicitant quelques exemples de copules paramétriques, pour ensuite, analyser leur mise en œuvre pratique via des méthodes de simulation et d’inférence statistique. Une attention particulière est accordée aux cinq copules qui nous intéressent dans le cadre de notre étude: la copule gaussienne, la copule de Student, la copule de Frank, la copule de Gumbel.

8 « Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges », Abe Sklar, 1958

78

2.1.1. Rappel sur les fonctions de répartition

On suppose dans la suite que l’on dispose d’un espace probabilisé (Ω,v, w� sur ℝ.

2.1.1.1. Fonction de répartition uni-variée

Soit Y une variable aléatoire réelle. On appelle fonction de répartition de Y la fonction x:ℝ → $0,1&, { ⟼ x({� = �(} ≤ {� F est une fonction continue à droite et possédant une limite à gauche (appelée communément cad-lag).

L’inverse généralisé de F, noté x-@ est la fonction continue à gauche, définie sur ]0,1] par

x-@(<� = inf{{ ∈ ℝ, x({� ≥ <} Si la fonction F est bijective de ℝ dans ]0,1[, l’inverse généralisé et l’inverse coincident.

L’inverse généralisé de la fonction de répartition permet d’introduire la notion de quantile très utilisé en statistique. En effet, pour < ∈&0,1&, la quantité x-@(<� s’appelle quantile ou fractile d’ordre < de la loi Y.

2.1.1.2 Propriétés de la fonction de répartition uni-variée

La fonction de répartition F est croissante, continue à droite et admet les limites 0 en −∞ et 1 en +∞ . Elle vérifie en outre les propriétés suivantes :

- La fonction x-@ est croissante et continue à gauche et on a l’équivalence suivante pour

tout { ∈ ℝ et pour tout < ∈&0,1&: x({� ≥ < ⟺ { ≥ x-@(<�

- Pour tout < ∈&0,1& on a x(x-@(<�� ≥ < avec égalité si x-@(<� > −∞ et si F continue en x-@(<�

- Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,1]. La fonction F est la fonction de répartition de la variable aléatoire x-@(��

- Soit Y une variable aléatoire à valeurs dans ℝ de fonction de répartition F . Si F est continue, alors x(}�est de loi uniforme sur [0,1]

79

Graphique 9

Fonction de répartition et densité d’une loi normale centrée réduite

2.1.1.3. La fonction de répartition multi-variée

On peut caractériser la loi d’une variable aléatoire vectorielle à l’aide de sa fonction de répartition multidimensionnelle. Soit � ≥ 1, � = (�@, … . . , �� et � = (�@, … . . , �� dans ℝ� avec ∀: ∈ $1, �&, �Z ≤ �Z. Soit � ≥ 1 et X une variable aléatoire à valeurs dans ℝ� . On appelle fonction de répartition de X la fonction x:ℝ� → $0,1&, définie par x(�� = �(� ≤ �� pour tout � ∈ ℝ�. Si cette fonction de répartition admet une densité, elle s’écrit :

� = ��x��@ …��

80

Graphique 10

Densité de probabilité jointe de deux variables aléatoires normales centrées réduites indépendantes

En connaissant la fonction de répartition jointe, on détermine alors les lois ainsi que les structures de dépendance des variables aléatoires. Néanmoins, on possède rarement une forme explicite de la fonction de répartition jointe dans les modèles où on connait seulement les marginales. Dans ce cadre, la copule a un réel intérêt puisqu’elle permet de déterminer la fonction de répartition jointe en partant des lois marginales, tout en conservant également un contrôle sur la structure de dépendance.

81

2.1.2. Copules : définition et propriétés

Les copules présentent pléthores de propriétés et nous ne les étudierons pas toutes ici. Nous présenterons seulement les définitions et les propriétés utiles pour la détermination du prix de l’assurance de viager

Une fonction �: $0,1&� → $0,1& est appelée copule de dimension d, si C la fonction de répartition d’une variable aléatoire � = (�@, … . . , �� à valeurs dans ℝ� où les variables aléatoires �@, … . . , �� sont de lois uniformes sur [0,1] : �(�� = �(� ≤ �� pour tout � ∈$0,1&�

Soit � = (�@, … . . , �� une variable aléatoire à valeurs dans ℝ�de fonction de répartition F.

Pour 1 ≤ I ≤ �, soit x+ la fonction de répartition de �+. Une copule pour X est une copule vérifiant x(�@, … . . , �� = �(x@(�@�, … , x�(��pour tout � = (�@, … . . , �� ∈ ℝ�.

Le théorème suivant précise le lien entre la copule C, les fonctions de répartition marginales uni-variées x@, … . . , x� et la distribution complète multi-variée x.

2.1.3 Théorème de Sklar

Soit C une copule et x@, … . . , x� des fonctions de répartition n de variables aléatoires à valeurs dans ℝ. La fonction F définie par x(�@, … . . , �� = �(x@(�@�,… , x�(�� est la fonction de répartition d’une variable aléatoire à valeurs dans ℝ�

Soit � = (�@, … . . , �� une variable aléatoire à valeurs dans ℝ�. Il existe une copule pour X. Si de plus les fonctions de répartition des variables aléatoires �@, … . . , �� sont continues, alors la copule est unique.

Ainsi pouvons-nous remarquer qu’une copule permet d’exprimer une fonction de répartition multivariée par rapport aux fonctions de distributions marginales. En outre, la copule contient toute l’information sur la structure de dépendance.

Par définition, une copule est une fonction de répartition d’un vecteur de variables aléatoires uniformes sur [0,1]. Lorsque sa densité existe, elle correspond à la différentiation de cette copule. De plus, la densité de la copule nous permet de séparer la structure de dépendance des densités marginales.

2.1.4. La densité d’une copule

Si nous supposons que les distributions marginales x@, … . . , x� et C sont différentiables, alors la densité jointe de la variable aléatoire � = (�@, … . , �� peut s’exprimer de la façon suivante �(�@, … . . , �� = �@(�@�…��(��(x@(�@�, … , x�(�� Où pour 1 ≤ I ≤ �, �+ est la densité de probabilité dérivée de x+, � est la densité jointe issue de F et c est la densité de la copule C définie par :

82

� = ��@ …��

Nous constatons ainsi que l’on peut séparer la densité jointe en deux blocs. Le premier �(�@(�@�, … , ��(��, contient l’information sur la structure de dépendance des variables aléatoires �@, … . . , ��. Le second est le produit des densités marginales. Les copules sont donc un moyen d’extraire la structure de dépendance de la distribution jointe et de la séparer des comportements marginaux. Cela permet de définir complètement la densité d’une copule par la densité jointe et les densités marginales. En effet, si on suppose que F est une fonction de

répartition qui a la densité continue f , alors les lois marginales x@, … . . , x� sont continues et

admettent des densités notées respectivement �@, … . . , �� et la copule de x admet la densité c définie par :

�(�@, … . . , �� = �(x@-@(�@�,… . , x�-@(��@(x@-@(�@��… . ��(x�-@(�� Cette écriture permettra d’estimer la densité d’une copule à partir de l’estimation des lois marginales et de la loi jointe. La corrélation est une mesure appropriée aux distributions elliptiques. Lorsque la distribution n’est pas elliptique, il existe d’autres indicateurs de dépendance comme le tau de Kendall ou encore le rho de Spearman. L'idée est de généraliser la notion de corrélation et de capter via un indicateur numérique, l'intensité du lien entre deux variables.

2.1.5 Indicateurs robustes de corrélation

Le tau de Kendall et le rho de Spearman sont deux mesures de concordance statistiques. Elles permettent de mesurer la corrélation entre les rangs des observations, alors que le coefficient de corrélation linéaire mesure la corrélation entre les valeurs des observations. Ces mesures ont en outre l’avantage de s’exprimer simplement en fonction de la copule associée au couple de variables aléatoires.

2.1.5.1. Tau de Kendall

L’estimation du tau de Kendall permet la calibration de certaines copules notamment la copule de Student et la copule gaussienne.

Soient (�@, �P� un couple de vecteurs aléatoires et (�@′, �P′� un couple de vecteurs identiques à (�@, �P�. Le tau de Kendall s’écrit alors : �(�@, �P� = �{(�@ − �@��(�P − �P�� > 0} − �{(�@ − �@��(�P − �P�� < 0} Le tau de Kendall représente la différence entre la probabilité de concordance et celle de discordance. Si C est la copule associée au couple (�@, �P�, l’expression du tau de Kendall devient :

83

�(�@, �P� = 4 � �(�@, �P��(�@, �P�$�,@&² − 1 = 1 − 4 � �@�(�@, �P��P�(�@, �P��@�P

$�,@&²

Or �@,J�P suivent des lois uniformes sur [0,1], on obtient alors le résultat suivant : �(�@, �P� = 4�$�(�@, �P�& − 1

Lorsqu’on dispose d’un échantillon d’observations de taille N de (�@, �P� , (�@Z , �PZ �@�Z�g, on peut construire un estimateur empirique du tau de Kendall. Celui-ci est donné par la formule suivante :

�̂(�@, �P� 2�(� − 1�**G�X{L-@Z8@

gL8P (�@L − �@Z�(�PL − �PZ �}

La fonction sgn(x) est égale à 1 si x est positif et à -1 si x est strictement négatif.

2.1.5.2. Rho de Spearman

Le rho de Spearman mesure la corrélation entre les fonctions de répartition marginales des deux variables aléatoires du couple (�@, �P�. On peut écrire le rho de Spearman en fonction du coefficient � de la corrélation linéaire de Pearson comme suit : ��(�@, �P� = �(x@(�@�, xP(�P�� Où x@ et xP sont les fonctions de répartition de �@ et �P. Si C est la copule associée au couple (�@, �P� l’expression du rho de Spearman devient :

��(�@, �P� = 12 � �@�P��(�@, �P�$�,@&� − 3

Qu’on peut encore écrire :

��(�@, �P� = 12 � �(�@, �P��@��P

$�,@&� − 3

Si on dispose d’un échantillon d’observation de taille N de (�@, �P�,(�@Z , �PZ �@�Z�g on peut construire un estimateur empirique du rho de Spearman. Celui-ci est donné par la formule:

��(�@, �P� = ∑ (�Z − ��l�Z − ��mgZ8@�∑ (�Z − ��PgZ8@ �∑ l�Z − ��mPgZ8@

84

2.1.6. Exemples de copules paramétriques

L’objectif de notre étude est de trouver une copule paramétrique adaptée à la structure de dépendance de la vie d’un couple. La recherche de la copule optimale est réalisée sur un ensemble de cinq copules sélectionnées a priori pour leurs propriétés intéressantes : la flexibilité, la simplicité analytique et la diversité des formes de dépendance. Cet ensemble présélectionné comprend deux familles de copules. On retrouve ainsi deux copules de la famille des copules elliptiques et trois copules de la famille des copules archimédiennes.

2.1.6.1. Les copules elliptiques

Soit �(ℝ� l’ensemble des matrices carrées réelles de taille d². Une loi continue est dite

elliptique de paramètre de position ¡ = (¡@, … . . , ¡�� ∈ ℝ� et de matrice de forme

symétrique définie positive Σ ∈ �(ℝ� si sa densité � peut s’écrire pour tout � =(�@, … . . , �� ∈ ℝ�

�(�� = (�,JΣ�@P�(� − ¡�Σ-@(� − ¡�′� où l’on désigne par z' la transposée de z et g est une fonction à valeurs positives vérifiant . �(�� = 1ℝ£

On note ¤(¡, Σ, �� cette famille de lois elliptiques. La loi est dite sphérique si Σ = I¥� où k>0.

Les lois elliptiques associées à la même fonction g font partie de la même famille elliptique,

dans laquelle on distingue le représentant standard (centré réduit) pour lequel ¡ = 0 et Σ = ¥�. On appellera par la suite la matrice Σ la matrice de corrélations.

La loi d’un vecteur gaussien fait partie des familles de lois elliptiques, associé au choix de �({� = (2¦�§£� ,-�̈. Ces lois vérifient, comme les vecteurs gaussiens, des propriétés

algébriques intéressantes. Une propriété phare des lois elliptiques est que ces lois forment une classe stable par transformation affine.

Une copule est dite elliptique si elle est la copule d’une loi elliptique. On analysera par la suite deux exemples classiques de copules elliptiques : ce sont la copule gaussienne et la copule de Student.

2.1.6.2. La copule gaussienne

La copule gaussienne ne possède pas de dépendance de queue et reste donc peu adaptée à la théorie des valeurs extrêmes. La propriété clef de cette copule est qu’elle est sous-jacente à la distribution normale multi-variée. En effet, modéliser la structure de dépendance d’un échantillon par une copule gaussienne est cohérent avec la mesure de cette dépendance par le coefficient de corrélation linéaire. Cependant lorsque l’on souhaite modéliser une dépendance

85

non linéaire ou entre événements extrêmes, on va faire appel à d’autres copules dont des exemples sont explicités dans la suite. La fonction de distribution de la copule gaussienne d-

dimensionnelle, s’écrit pour tout � = (�@, … . . , �� ∈ $0,1&� : �(�@, … . . , �� = Φª(Φ-@(�@�, … . , Φ-@(�� La fonction de distribution Φ-@ est l’inverse généralisé de la distribution normale centrée réduite uni-variée. La fonction Φª est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et Σ sa matrice de variance covariance (égale à la matrice de corrélation dans ce cas).

A titre de rappel la densité de Φª s’écrit pour tout � = (�@, … . . , �� ∈ ℝ�

«ª(�� = exp(−12 �Σ-@��(2¦��P(�,JΣ�@P

En dérivant la formule définissant la copule gaussienne on peut facilement extraire la densité de la copule gaussienne d-variée qui s’écrit :

�(�@, … . . , �� = 1(detΣ�@P exp(−12>(Σ-@ − ¥��>�� Avec > = (°-@(�@�,… , °-@(��

86

Graphique 11

Densité de la copule gaussienne bi-variée pour une corrélation de 0,5

2.1.6.3. La copule de Student

La copule de Student est issue d’une distribution multi-variée de Student.. De nombreuses études ont démontré que la copule de Student reflète mieux la structure de dépendance d’un ensemble d’indices financiers que la copule gaussienne. Une des principale raison à cela est la capacité de la copule de Student à capter les dépendances extrêmes, phénomène qui est souvent observé sur les marchés financiers.

La copule de Student est construite comme la copule gaussienne mais cette fois-ci à partir de la distribution de Student centrée réduite. La fonction de densité de la copule de Student d-

variée, s’écrit pour tout � = (�@, … . . , �� ∈ $0,1&� : �(�@, . . . , �� = �±,ª(J±-@(�@�,… , J±-@(��∏ �±(J±-@(�Z��Z8@ �

La fonction de distribution J±-@ est l’inverse généralisé de la distribution de Student centrée

réduite uni-variée à ³ degrés de liberté. La fonction �±,ª est la densité de probabilité de la loi

de Student centrée réduite, Σ sa matrice de corrélation et �± est la densité uni-variée de la loi

de Student centrée réduite (Σ = 1) La densité de Student centrée réduite s’écrit pour tout � = (�@, … . . , �� ∈ ℝ� :

87

�±,ª = Γµ³ + �2 ¶Γ µ³2¶·(¦³��,JΣ (1 + �Σ-@��³ �-(±'��P

Où Γ est la fonction gamma.

Graphique 12

Densité de la copule de Student pour une corrélation de 0.5 et un nombre de degrés de liberté de 14

2.1.6.4. Les copules archimédiennes

Les copules archimédiennes, occupent un rôle phare dans la littérature sur les copules. En effet, contrairement aux copules gaussiennes et aux copules de Student, les copules archimédiennes ont le grand avantage de décrire des structures de dépendance très diverses dont notamment les dépendances asymétriques, où les coefficients de queue inférieure et de queue supérieure sont différent.

Soit « une fonction strictement décroissante et continue sur ]0,1]. La fonction définie pour

tout (�@, … . . , �� ∈ $0,1&� par

�(�@, . . . , �� = «-@(«(�@� + ⋯+ «(��

88

Est une copule si « est d fois dérivable sur ]0 ,1[ et si pour tout 1 ≤ : ≤ �, «Z > 0 pour i paire

et «Z < 0 pour i impaire. Ces fonctions s’appellent des copules archimédiennes de générateur «.

De la définition précédente on déduit que la densité d’une copule archimédienne d-variée s’écrit :

�(�@, . . . , �� = («-@��(«(�@� + ⋯+ «(��¹«Z(�Z��Z8@

Les copules archimédienne possèdent deux grands avantages. Premièrement, elles permettent de construire une grande variété de familles de copules et donc de représenter une grande variété de structures de dépendance. Deuxièmement, les copules archimédiennes ont des formes analytiques fermées et demeurent relativement simples à simuler.

Les trois familles de copules archimédiennes qui nous intéressent dans le cadre de notre étude sont présentées dans la partie suivante : ce sont les copules de Cook-Johnson, de Franck et de Gumbel.

2.1.6.5. Copule de Cook-Johnson

La copule de Cook-Johnson, qui est également appelée : copule de Clayton ou copule de Kimeldorf, est une copule archimédienne dont le générateur est défini, pour < > 0 et pour � ∈&0,1& par : «(�� = <-@(�B-@ − 1� La copule d-variée de Cook-Johnson s’écrit donc :

�(�@, … , �� = (1 − � + *�Z-B�Z8@ �-@B

Cette copule est différentiable et sa densité est donnée par la formule suivante :

�(�@, … , �� = (1 − � + *�Z-B�Z8@ �-�-@B ¹(�L-B(O< − << + 1��

L8@

89

Graphique 13

Densité de la copule bivariée de Cook Johnson pour º = », ¼

2.1.6.6. Copule de Franck

La copule de Franck est généralement utilisée pour modéliser les dépendances à la fois positives et/ou négatives. Toutefois, elle ne possède pas de dépendance de queue. Le générateur de cette copule archimédienne est :

«(�� = ln(,-Be − 1,-B − 1 � Avec < ¾ 0 et � ∈&0,1& La copule de Franck d-variée s’écrit donc :

�(�@, … , �� = − 1< ln¿1 + 1(,-B − 1��-@ ¹(,-BeÀ − 1��Z8@ Á

90

Graphique 14

Densité de la copule de Franck bivariée pour º = Â

2.1.6.7. Copule de Gumbel

A l’inverse de la copule Gaussienne, la copule de Gumbel permet de modéliser les dépendances au niveau des queues de distribution. En effet, cette copule appréhende les dépendances positives et permet la modélisation des risques dont la structure de dépendance est plus accentuée sur la queue supérieure. Elle est particulièrement adaptée pour étudier l’impact de la survenance de sinistres de forte intensité sur la dépendance entre branches d’assurance ou actifs financiers. Dans ce mémoire, elle sera particulièrement utile pour modéliser la dépendance dans les queues de mortalité pour des couples d’âge élevés.

Cette copule appartient à la famille des copules archimédiennes et son générateur s’écrit : «(�� = (− ln(��B

Avec < > 1 et � ∈&0,1& La copule de Gumbel s’écrit donc :

�(�@, … , �� = exp(−(*(− ln(�Z��B�@B�Z8@ �

91

Bien qu’existante pour tout entier positif d , l’expression explicite de la densité de cette copule est généralement complexe notamment pour des lois multi-variées.

Graphique 15

Densité de la copule de Gumbel bi-variée pour º = Â

2.1.7. Propriétés des copules archimédiennes

Les copules archimédiennes ont pour principal avantage de réduire le champ d’étude d’une copule à plusieurs paramètres à l’étude d’une fonction d’une seule variable. Elles fournissent des modèles qui ont trouvé de nombreux champs d’application. Ces fonctions possèdent par ailleurs des propriétés mathématiques et stochastiques débouchant sur des développements statistiques intéressants, comme nous le verrons par la suite.

Nous obtenons, entre autres, une forme beaucoup plus simplifiée pour le Tau de Kendall

2.1.7.1. Tau de Kendall pour une copule Archimédienne

Soit « le générateur de la copule �Ã, on a alors l’expression du Tau de Kendall noté �Ã qui

est donné par l’expression suivante :

�Ã = 4� «(J�«′(J� �J@

� + 1

C’est sur ce type de copule que nous serons amené à travailler dans la suite de nos travaux.

92

2.1.8. Base statistique de l’étude

Afin de modéliser cette dépendance, nous avons dû obtenir des données bivariées. Cet ensemble de données n’était pas disponible auprès de l’INSEE. En effet, cet institut se contente de recenser les certificats de décès fournis par les établissements hospitaliers ou les médecins assermentés. Mais ces documents ne mentionnent jamais la date de décès du conjoint. Dès lors, il s’avérait nécessaire de constituer notre propre base de données. Pour cela, nous avons recensé les âges de décès des couples dans un cimetière, afin d’établir notre propre base de données.

Nous avons donc collecté les âges de décès de plus de 500 couples. Certes cette méthode est critiquable. Néanmoins, la seule source tangible pour ce type de données est le partenaire ou un relevé , mais ces derniers n’ont pas un nombre suffisants de données pour pouvoir effectuer une étude statistique assez robuste.

2.1.9. Statistiques descriptives des données

Variables

Age de décès

des personnes

de sexe

masculin

Age de décès

des personnes

de sexe féminin

Moyenne 73,07 78,36

Mode 78 81

Ecart-type 12,26 11,078

Minimum 26 22

Maximum 98 103

Etendue 74 81

1er quartile 67 72

2ème quartile 74 80

3ème quartile 82 86

Skewness -0,752 -0,949

Kurtosis 0,711 1,824

On peut remarquer que certaines données, notamment le minimum semblent aberrantes pour des crédirentiers : des âges de décès de 26 et 22 ans semblent impossibles à constater. Néanmoins, le partenaire nous a confirmé qu’il avait complété sa base de données à l’aide de données recueillies dans un cimetière pour tenter d’augmenter la robustesse de son analyse.

C’est ce qui explique certaines valeurs qui semblent aberrantes au premier abord.

93

Diagramme des âges des personnes de sexe féminin

Diagramme des âges des personnes de sexe masculin

On remarque que la plupart des décès se concentrent entre 78 ans et 90 ans, ce qui correspond bien à ce qui est observé à l’aide des statistiques officielles de l’INSEE.

94

Diagramme de dispersion des âges

La répartition bidimensionnelle ne fait pas apparaître une corrélation très grande entre les âges de décès des époux composant le couple. En effet, on remarque une répartition quasi uniforme des décès entre 60 et 95 ans.

95

Boites à moustaches des variables âges de décès masculins/féminins

Nous avons par ailleurs testé l’hypothèse, à l’aide du Rho de Spearman : « L’âge de décès des hommes est indépendant de l’âge de décès des femmes » contre l’hypothèse que les deux variables sont corrélées. La p-value de ce test étant de 0,15%, l’indépendance des deux variables est clairement rejeté avec un niveau de confiance très confortable.

Age de décès des

personnes de sexe masculin

Age de décès des

personnes de sexe féminin

96

2.2. Détermination d’une copule modélisant la dépendance des décès des

débirentiers

2.2.1 Méthode de détermination

Afin de choisir un modèle de copules possédant des propriétés attrayantes, nous nous sommes restreints à sélectionner la copule la mieux adaptée parmi les copules archimédiennes. Nous avons alors appliqué la méthodologie proposée par Genest et Rivest9 pour identifier cette copule. En supposant que la copule �Ã est archimédienne, il nous suffit de déterminer la

fonction « la mieux adaptée.

L’idée de base est la suivante : travailler avec une variable aléatoire intermédiaire ÄZ =xÅ(�@(Z�, �P(Z�� qui admet la fonction de répartition xÆ. On a alors le résultat suivant :

xÆ(Ç� = Ç − «(Ç�«′(Ç� Pour identifier « on procède en trois étapes :

- Etape 1 : Estimer le Tau de Kendall

- Etape 2 : Construire un estimateur non paramétrique de xÆ: xYÈ (Ç� = 1X ��{:|ÇZ < Ç}

Avec ÇZ = @Y-@��{(�@(L�, �P(L��|�@(L� < �@(Z�, �P(L� < �P(L�}

- Etape 3 : Construire un estimateur paramétrique de xÆ pour plusieurs copules archimédiennes afin d’utiliser l’expression de �̂ pour estimer <. Cette estimateur a pour expression :

xÃBÊ(Ç� = Ç − «BÊ«BÊ�

Après avoir répété l’étape 3 pour plusieurs copules archimédiennes, il suffit de comparer chaque estimation paramétrique à chaque estimation non paramétrique construite à l’étape 2. L’idée est de sélectionner « tel que l’estimateur paramétrique soit proche de l’estimateur non paramétrique. Pour cela nous cherchons à minimiser la distance entre ces deux estimateurs :

9 Statistical inference Procedures for Bivariate Copulas, Christian Genest & Paul Rivest

97

�{xÃBÊ(Ç� − xYÈ (Ç�}�xYÈ (Ç� Néanmoins, pour plus de commodités, nous comparerons ces deux estimateurs de manière graphique. Après plusieurs simulations, on obtient les courbes suivantes :

Comme nous pouvons le voir sur la figure ci-dessus, la distribution empirique xYÈ est très proche de la distribution théorique xÃBÊ pour chacune des fonctions génératrices, si bien que

les copules de Frank, Gumbel et Cook-Johnson sont adaptées pour modéliser les données

Fo

nct

ion

de

ré

pa

rtit

ion

Fonction de répartition empirique

Fonction de répartition de Cook-Johnson

Fonction de répartition de Frank

Fonction de répartition de Gumbel

98

analysées. Par conséquent, nous choisirons la copule de Gumbel pour modéliser la dépendance du décès des deux débirentiers, afin de simplifier les calculs.

2.2.1.1 Tau de Kendall empirique

Le Tau de Kendall empirique est donné par la formule suivante :

�̂ = � − �� + �

Où � est le nombre de paires concordantes et d est le nombre de paires non concordantes.

Pour un échantillon de n points (ici 500 couples) (�Z; �L�, il y a Y(Y-@�P paires de points soit

124 750 paires de points ((�Z; {Z�; l�L; {Lm� avec : < O. La paire ((�Z; {Z�; l�L; {Lm� est

concordante si l�Z − �L�({Z − {Lm > 0 et non concordante si l�Z − �L�({Z − {Lm < 0.

Sur l’échantillon analysé, il y a � = 67989 paires concordantes et � = 56761 paires discordantes.

Nous obtenons alors

�̂ = 67689 − 5676167989 + 56761

�̂ = 0,09

Or d’après le paragraphe 2.1.5.1, on a � = 4�$�B(�, }�& − 1 � = 4�$Ä& − 1

Avec Z la variable aléatoire �B(�, }� de fonction de répartition xÎ(Ç� = J − ;ÏY(;�B en

prenant le générateur de Gumbel.

Cette fonction étant dérivable, la densité de Z est xÎ�(Ç� = 1 − @B − ÐÑ(;�B

On obtient alors que � = B-@B

Ainsi <� = 1,09

Ainsi nous pouvons noter la probabilité que le couple d’âge x et y meurt avant la date t : Ò(%�� = �ÃBÊ; ( Ò(;; Ò%�;

99

Ò(%�� = exp(−((−ln(; Ò(��; BÊ'@ + (−ln( Ò%��; BÊ'@� @BÊ'@� On peut donc déterminer la probabilité de survie du groupe de deux têtes d’âges x et y de la manière suivante : �̂(%�� = 1 − Ò(%�� =; 1 − �ÃBÊ; ( Ò(;; Ò%�;

On peut alors être à même de calculer le nouveau prix des assurances de viager sur deux têtes.

2.3. Réévaluation du prix de l’assurance viager dans un cadre copulaire

2.3.1. Assurance en cas de dépassement de l’espérance de vie du

crédirentier

Tout d’abord, il convient de définir sur quelle espérance de vie nous allons baser notre tarification. Pour plus de sûreté nous baserons notre tarification sur l’espérance de vie la plus grande des deux personnes vivant en couple. De cette façon nous diminuons la probabilité pour l’assureur d’indemniser l’assuré. x : âge de l’acheteur à la souscription y : âge du crédirentier 1 à la souscription z : âge du crédirentier 2 à la souscription m=max(E[y]+3 ;E[z]+3) : maximum des deux espérances de vie des vendeurs R : le montant de la rente annuelle i : taux technique du tarif

� = ! "h'(')"( * �̂%Î��+ 1(1 + :�+7-%

+8h')

D’où

� = ! "h'(')"( * (1 − Ò%Î��+ � 1(1 + :�+7-%

+8h')

On obtient alors le résultat suivant :

� = ! "h'(')"( * (1 − �ÃBÊ( Ò%;+ ÒÎ�+ � 1(1 + :�+7-%

+8h')

On obtient alors la table de tarifs suivante :

100

Tableau 12 Hypothèses : Taux technique = 0,75% Rente annuelle = 10 000 €


Age des crédirentiers / Espérance de vie la plus élevée majorée de 3 ans

70 ans -72 ans

/ 22 ans

75 ans - 77 ans

/ 18 ans

80 ans - 82 ans

/ 15 ans

85 ans -87 ans

/ 11 ans

Age d

u d

ébir

enti

er

40 ans

Prime unique 10 787,77 € 9 899,03 € 6 848,23 € 6 383,70 €

Prime viagère en

pourcentage de

la rente annuelle

6,41% 7,25% 6,14% 8,36%

45 ans

Prime unique 10 555,48 € 9 750,35 € 6 769,18 € 6 335,04 €

Prime viagère en

pourcentage de

la rente annuelle

6,31% 7,17% 6,09% 8,31%

50 ans

Prime unique 10 206,89 € 9 549,78 € 6 670,31 € 6 275,43 €

Prime viagère en

pourcentage de

la rente annuelle

6,16% 7,06% 6,03% 8,25%

55 ans

Prime unique 9 622,18 € 9 226,87 € 6 519,99 € 6 195,12 €

Prime viagère en

pourcentage de

la rente annuelle

5,89% 6,89% 5,93% 8,18%

On remarque clairement que le prix de l’assurance en utilisant la copule est sensiblement inférieur en faisant la comparaison entre les surfaces de prix.

101

2.3.2. Assurance en cas de décès du débirentier

Prenons le cas d’un acheteur souhaitant s’assurer en cas de son décès. Ses assurés ne seraient plus astreints au paiement de la rente puisque la police d’assurance interviendrait en cas de décès de l’acheteur. De plus, l’assureur devra prendre en charge le paiement de la rente jusqu’au dernier décès. La formule pour calculer la prime s’écrit alors :

� = ! * ("('+ − "('+'@�"( * �̂%Î��+7-%L8+

7-%+8�

1(1 + :�+

D’où d’après la formule précédente :

� = ! * ("('+ − "('+'@�"( *(1 − Ò%Î��+ �7-%L8+

7-%+8�

1(1 + :�+

On obtient alors la formule suivante :

� = ! * ("('+ − "('+'@�"( *(1 − �ÃBÊ( Ò%;+ ÒÎ�+ �7-%L8+

7-%+8�

1(1 + :�+

On obtient alors la table de tarifs suivante :

102



Ages des crédirentiers

70 ans -72 ans

/ 22 ans

75 ans - 77 ans

/ 18 ans

80 ans - 82 ans

/ 15 ans

85 ans -87 ans

/ 11 ans

Age d

u d

ébir

enti

er

40 ans Prime unique 4 945,54 € 3 094,35 € 1 816,04 € 1 004,22 €

Prime viagère en

pourcentage de

la rente annuelle

1,46% 0,91% 0,54% 0,30%

45 ans Prime unique 7 342,94 € 4 529,58 € 2 635,36 € 1 449,58 €

Prime viagère en

pourcentage de

la rente annuelle

2,37% 1,46% 0,85% 0,47%

50 ans Prime unique 11 237,41 € 6 752,87 € 3 856,80 € 2 091,17 €

Prime viagère en

pourcentage de

la rente annuelle

4,01% 2,41% 1,37% 0,75%

55 ans Prime unique 18 156,97 € 10 662,77 € 5 960,72 € 3 196,26 €

Prime viagère en

pourcentage de

la rente annuelle

7,28% 4,27% 2,39% 1,28%

On remarque clairement que le prix de l’assurance en utilisant la copule est sensiblement inférieur en faisant la comparaison entre les surfaces de prix.

103

2.3.3. Tarification de l’assurance en cas de décès du débirentier et de

dépassement de l’espérance de vie du crédirentier.

En premier lieu, il convient de diviser le temps en deux périodes : avant le dépassement (+ 3/5 ans) de l’espérance de vie du crédirentier, et après cette date. Appelons risque 1 : décès du débirentier, risque 2 : dépassement (+3/5 ans) de l’espérance de vie la plus élevée des crédirentiers Lors de la période 2, une assurance en cas de décès du débirentier n’a aucun sens, puisque l’assureur aura déjà pris en charge le paiement de la rente. Tarifons donc une assurance en cas de décès du débirentier seulement sur la période 1 : l’assureur s’engage en cas de décès du débirentier, à payer la rente au crédirentier jusqu’à la période la fin de la période 1.

�@ = ! * ("('+ − "('+'@�"( * �̂%Î�� 1(1 + :�++#$%&')L8+

7-%+8�

D’où

�@ = ! * ("('+ − "('+'@�"( * (1 − Ò%Î��+ � 1(1 + :�+#$%&')L8+

7-%+8�

Ainsi :

�@ = ! * ("('+ − "('+'@�"( * (1 − �ÃBÊ( Ò%;+ ÒÎ�+ � 1(1 + :�+h')L8+

7-%+8�

Cette assurance est couvre le paiement de la rente pendant la période 1. Que l’assuré soit vivant ou non durant au début de la période 2, l’assureur s’engage à prendre en charge le paiement de la rente en cas de survie du crédirentier. Ce qui nous amène à la prime suivante :

�P = ! * �̂%Î�� 1(1 + :�++7-%

+8%'h')

D’où

�P = ! * (1 − �ÃBÊ( Ò%;+ ÒÎ�+ � 1(1 + :�+7-%

+8%'h')

104

On obtient le prix total de l’assurance de viager pour se prévenir des deux risques en additionnant les deux formules précédentes :

� = ! * ("('+ − "('+'@�"( * (1 − �ÃBÊ( Ò%;+ ÒÎ�+ � 1(1 + :�+h')L8+

7-%+8�

+ ! * (1 − �ÃBÊ( Ò%;+ ÒÎ�+ � 1(1 + :�+7-%

+8%'h')

On obtient le tableau de résultats suivant :



Age des crédirentiers / Espérance de vie la plus élevée majorée de 3 ans

70 ans -72 ans

/ 22 ans

75 ans - 77 ans

/ 18 ans

80 ans - 82 ans

/ 15 ans

85 ans -87 ans

/ 11 ans

Age d

u d

ébir

enti

er

40 ans Prime unique 14 102,70 € 11 682,75 € 7 699,07 € 6 073,06 €

Prime viagère en

pourcentage de

la rente annuelle

8,39% 8,56% 6,91% 7,95%

45 ans Prime unique 15 392,64 € 12 446,13 € 8 154,64 € 6 293,54 €

Prime viagère en

pourcentage de

la rente annuelle

9,21% 9,15% 7,34% 8,26%

50 ans Prime unique 17 288,82 € 13 542,04 € 8 796,79 € 6 566,22 €

Prime viagère en

pourcentage de

la rente annuelle

10,43% 10,02% 7,95% 8,63%

55 ans Prime unique 20 543,40 € 15 410,42 € 9 906,36 € 7 090,05 €

Prime viagère en

pourcentage de

la rente annuelle

12,57% 11,51% 9,01% 9,36%

105

On remarque une nouvelle fois que le tarif de l’assurance de viager faisant intervenir la copule permet un gain tarifaire significatif de l’ordre de 15% par rapport à ce qui a été fait dans le cadre strictement réglementaire.

106

Conclusion

L’assurance de viager répond à un besoin économique réel : la relance du marché de vente immobilière en viager. En période de crise, l’assureur est un acteur incontournable pour accompagner la relance économique.

Nous avons en premier lieu effectué des simulations dans un cadre strictement règlementaire et déterministe sur plusieurs types de produits : l’assurance en cas de dépassement de l’espérance de vie du crédirentier, qui permet d’aider l’acheteur à surmonter son appréhension vis-à-vis du risque de longévité. Une assurance en cas de décès du débirentier qui répond à deux problématiques : le vendeur possède la certitude sera payé même en cas de décès du débirentier, et ce dernier transmettra un patrimoine immobilier à ses descendants sans qu’ils n’aient aucune charge financière. Une assurance pour se couvrir contre les deux risques a été tarifée, afin que le partenaire puisse offrir aux crédirentier et débirentier une palette de produits permettant de sécuriser leur transaction. Cet acteur incontournable du Viager nous a également informé qu’un nombre croissant de viagers était conclu sur deux têtes : le versement de la rente s’effectue jusqu’au dernier décès. Nous avons donc également tarifé les assurances de viagers dans ce cas précis. Néanmoins, la rente viagère immobilière est annuellement revalorisé suivant l’inflation, or la règlementation interdit de tarifer une prime en indexant la revalorisation des rentes suivant l’inflation. De plus, le partenaire nous a également informé que les âges de décès d’un couple semblaient ne pas être des variables indépendantes.

C’est pourquoi, nous avons modélisé l’assurance de viager dans un cadre stochastique : la revalorisation de la rente a été modélisée par rapport aux taux d’intérêts, qui ont été simulés à l’aide du Modèle de Vasicek pour obtenir des formules fermées et facilement implémentables. Toutefois, cette modélisation présente des limites puisque modèle de Vasicek est un modèle peu adapté pour simuler des taux d’intérêts long terme.

Nous avons ensuite orienté notre étude sur la dépendance entre les décès des débirentiers qu’on appelle communément « Syndrome du Cœur Brisé ». En modélisant la dépendance des âges de décès d’un couple à l’aide des copules, nous avons pu obtenir un gain significatif de prix de l’ordre de 15%. En outre, la règlementation n’impose pas l’indépendance entre ces deux variables. Cette modélisation a donc été préférée par le partenaire puisqu’elle était commercialement plus attractive et correspondait à une réalité empirique constaté par cet acteur majeur de la vente de viagers en France.

Enfin nous apportons un nouveau point de vue pour évaluer ces risques : un changement des tables de mortalité utilisées pourrait impacter fortement la prime, surtout si ces assurances de viager étaient tarifées dans un cadre strictement règlementaire.

107

Bibliographie

A. CHARPENTIER (2006) : Dependence structures and limiting results, with applications in finance and insurance. Thèse de doctorat, Université Catholique de Louvain

I. FISHER (1896) : Appreciation & Interest

R. SOLOW (1956): A Contribution to the Theory of Economic Growth

J-D. FERMANIAN (2005): Goodness-of-fit tests for copulas. Journal of multivariate analysis, pages 119–152

DENUIT M. & Al.(2001): Measuring the impact of a dependence among insured lifelenghts. Université de Louvain.

Y. APPERT-RAULIN (2012) : Théorie des copules Yannick Appert-Raulin, ISUP

C GENEST, P. RIVEST (1993): Statistical inference Procedures for Bivariate Copulas

DURRLEMAN V. & NIKEGHBALI A. & RONCALLI T. (2000): Which copula is the right one ?

G. BIAU and M.H. WEGKAMP. (2005): A note on minimum distance estimation of copula densities.

N. EL KAROUI (1981) : Les aspects probabilistes du contrôle stochastique

Y. BOHBOT (2007) : Modélisation de la marge financière Euro dans le cadre du calcul de l’EEV

F. PLANCHET (2011) : Modèles Financiers et Analyses de Risque, Dynamique en Assurance

I. MUNI TOKE (2011) : Modèles stochastiques de taux d’intérêt

D. BRIGO, F. MERCURIO (2006): Interest Rate Models – Theory and Practice, Springer

R. LE-GUIDEC (2015) : Le viager, droit notarial

E TAVIGNOT (2012) : La vente en viager. Intérêt, contrat, rente, fiscalité, extinction, prêt viager, hypothécaire.

A. DEYPARCIEUX (1746) : Essai sur les probabilités de la Vie Humaine

F. BEY (2013) : Les clés de l'achat en viager de Fabrice BEY

C. GRIFFOND (2008) : Rapport du Conseil économique et social : « Les viagers immobiliers en France »

Mémoire présenté le : pour l’obtention du diplôme de ... · Durbin-Watson, Commutations,...

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