Mecanique Generale

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7/16/2019 Mecanique Generale http://slidepdf.com/reader/full/mecanique-generale-563389c43bbb0 1/749 Mécanique générale Nouvelle édition, revue et augmentée CHRISTIAN GRUBER WILLY BENOIT Professeurs à l'Ecole polytechnique fédérale de Lausanne Presses polytechniques et universitaires romandes

Transcript of Mecanique Generale

  • McaniquegnraleNouvelle dition, revue et augmente

    CHRISTIAN GRUBERWILLY BENOITProfesseurs l'Ecole polytechniquefdrale de Lausanne

    Presses polytechniques et universitaires romandes

    a a a

  • IngeCatherineFlorence

    Eliane

  • AVANT-PROPOS

    Cet ouvrage dveloppe les bases de la mcanique en s'appuyant sur l'ob-servation et l'exprimentation. Les mathmatiques sont considres comme unoutil qui sera construit pour dcrire et analyser les rsultats exprimentaux. Cemme outil permettra d'tablir les lois fondamentales, de prdire de nouveauxphnomnes, de calculer l'volution et les forces dans les systmes. C'est unexpos didactique rdig avec deux soucis constants : introduire la mcaniquecomme base de la physique et relier le formalisme mathmatique aux conceptsfondamentaux. Il s'adresse des lecteurs ayant une formation de baccalau-rat et couvre, en l'approfondissant, la matire enseigne en premire annedans les coles d'ingnieurs et les universits. Pour l'tudiant en physique, celivre constitue la charnire entre l'enseignement pr-universitaire et les coursde mcanique avance : on utilise les lois de Newton pour effectuer une ana-lyse qualitative des orbites dans l'espace de phase, mais on n'expose pas lesthormes gnraux concernant les systmes intgrables ou la thorie des per-turbations.

    Un premier but de l'ouvrage est de raliser une synthse entre les deuxapproches possibles de l'enseignement de la mcanique, l'approche expri-mentale qui a l'avantage de mettre en vidence la dmarche conduisant del'observation aux lois, mais qui est souvent trop lmentaire du point de vuemathmatique pour permettre la rsolution de problmes concrets, et l'ap-proche abstraite qui prsente la mcanique de faon dductive, avec toute larigueur des mathmatiques, en partant d'axiomes et de dfinitions, mais quin'accorde que peu d'importance la discussion des concepts physiques. Onse propose de faire dcouvrir les lois de la mcanique et les superlois de laphysique par l'observation des phnomnes naturels, puis d'utiliser les ma-thmatiques pour dduire les consquences logiques de ces lois. Ceci nousamnera par exemple tudier le mouvement central dans le cadre de la ci-nmatique, pour arriver ainsi la loi de la gravitation et mettre en videncel'existence de constantes du mouvement qui conduisent aux lois de conserva-tion.

    Un deuxime but est de faire ressortir le fait que la physique est base sur uncertain nombre de choix arbitraires : choix des units, du rfrentiel, des va-riables. L'invariance des prdictions thoriques par rapport ces choix, aussiappel principe d'objectivit, permet de dvelopper des mthodes d'investi-gation trs puissantes, par exemple l'utilisation de modles rduits, pour lestudes thoriques et exprimentales des systmes complexes.

    Objectifsetmthodes

    Importance des loisde Kepler

    Principed'objectivit

  • Avant-propos

    Systmes physiques D'autre part, on considre que la mcanique est l'tude des systmes rels etque le point matriel n'est qu'un modle prliminaire. Cela signifie que nousn'avons pas adopt la dmarche traditionnelle qui consiste diviser la m-canique en deux parties, la mcanique du point, suivie de la mcanique dessystmes. Au contraire, chaque tape - description de la position, cinma-tique, quations du mouvement, lois de conservation - le point matriel sertd'introduction pour aborder le cas gnral des systmes matriels et le cas par-ticulier des solides.

    Finalement, nous avons particulirement insist sur les concepts de base,leur contenu physique et leur interprtation.

    Dans la plupart des universits, la mcanique occupe le premier volet ducycle d'enseignement de la physique gnrale. Ceci nous a incit prsenter,en premire partie, une esquisse du cadre gnral de la physique, la place dela mcanique, l'volution des concepts de base, de la physique classique laphysique contemporaine, et une image de l'univers, des quarks aux galaxies(chap. 1-3). Cette introduction aborde des questions qui se retrouvent dans denombreux domaines de la physique. Elle a pour objectif d'veiller la curiositet de stimuler la rflexion. Certains paragraphes, plus abstraits, ne doivent pasdcourager le lecteur, mais l'inciter rflchir et revenir sur certains pointssoulevs tout au long de ses tudes.

    Les chapitres 4 9 sont consacrs la cinmatique, laquelle nous avonsredonn une grande importance. En effet, par la description de la balistique(Galile) et du mouvement des plantes (lois de Kepler), nous voulons insistersur l'importance de la cinmatique comme base exprimentale de la dyna-mique.

    Les chapitres 10 15 sont alors consacrs la dynamique des systmesmatriels, o la prsentation tient compte, dans la mesure du possible, desdveloppements rcents de la physique.

    Les chapitres 16 20 sont consacres divers cas particuliers ou applications.Le chapitre 21 est consacr la relativit restreinte. Le chapitre 22, qui traite

    de la mcanique analytique, ne doit pas tre considr comme une annexe,mais comme une prsentation de l'aboutissement de l'effort remarquable deconceptualisation qui a eu lieu au cours des XVIIe, XVIIIe et XIXe sicle.L'tudiant doit donc savoir, trs tt, que cet outil thorique est sa dispositionpour rsoudre des problmes de la mcanique.

    Les premiers chapitres conduisent aux deux sommets de la mcanique,les quations de la dynamique (sect. 11.1) et le thorme de l'nergie( 13.6.1), partir desquels on peut admirer la beaut, la simplicitconceptuelle et la trs grande gnralit de la mcanique.

    Rappelons qu'historiquement le succs de la mcanique newtonienne futcolossal et que ses applications se sont tendues bien au-del de son do-maine d'origine, la mcanique cleste. La physique tant l'explication desphnomnes observs , on peut dire que pendant deux sicles, l'explicationconsistait interprter les phnomnes observs au moyen des quations deNewton.

  • CONVENTIONS

    Le prsent ouvrage est divis en 22 chapitres reprs par un nombre arabe(chap. 10). Chaque chapitre est divis en sections, repres par deux nombres(sect. 10.2), et chaque sous-section est divise en paragraphes, reprs par troisnombres ( 10.2.1).

    Les figures et tableaux sont numrots continment par chapitre et reprspar deux nombres prcds de Fig. ou Tableau . Les quations sont nu-mrotes par deux nombres entre parenthses (10.12), dont le premier rapellele chapitre concern.

    Les dfinitions sont introduites en caractres gras dans une trame decouleur rose. Souvent ces termes se retrouvent dans la marge ou dans untitre afin d'en faciliter la recherche.

    Les rsultats particulirement importants, ou utiles, et les thormes sontmis en vidence au moyen d'une trame grise. Une liste des principauxsymboles utiliss est donne en annexe.

    REMERCIEMENTS

    Nous tenons remercier trs chaleureusement nos collgues MM. les pro-fesseurs A. Chatelain, P. Cornaz, Ph. Choquard et Ph. Rosselet, B. Vittoz etG. Wanders.

    Notre gratitude va galement MM. P. Braissant, B. Egger et Mme Y. Fazanqui ont prpar les expriences de cours et S. Bolognini qui s'est occup desphotographies.

    La ralisation de cet ouvrage a t rendue possible grce la collaborationdes personnes suivantes, auxquelles nous tenons exprimer notre reconnais-sance : Mlle M. Aeschlimann et M. F. Vuille (dactylographie), Mlle M. Spiridon,MM.L. Bataillard et 0. Bremnes (dessins).

  • TABLE DES MATIRES

    AVANT-PROPOS vu

    TABLE DES MATIERES xi

    CHAPITRE 1

    CHAPITRE 3

    BUTS1.11.21.31.4

    1.51.61.71.8

    UNITS ET SIMILITUDES : UNE AUTRE APPROCHE DE LA PHYSIQUE2.12.22.32.42.52.62.72.82.92.10

    IMAGE DE L'UNIVERS ET ORDRES DE GRANDEUR3.13.23.33.4

    ET METHODES DE LA PHYSIQUEBut de la physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Mthodologie de l'approche scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Observables. Distinction entre physique classique et quantique . . . . . . .Etat d'un systme. Distinction entre physique gnrale et physiques t a t i s t i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Espace-temps et volution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Thories classiques non relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M c a n i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Systmes d'units et d i m e n s i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Analyse dimensionnelle et lois d'chelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Changements d'units et homognit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Applications du thorme d'homognit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Changements d'units et changements d'tat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .S i m i l i t u d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Systmes d'units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Des atomes aux q u a r k s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Des atomes aux galaxies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Constantes physiques (Valeurs admises en 1986 [ 2 6 ] ) . . . . . . . . . . . . . . .Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    168

    1015212224

    27303132343639414244

    47555959

  • CHAPITRE 4 POSITION INSTANTANE D'UN SYSTME ET ANALYSE VECTORIELLE4.1 R f r e n t i e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Systme de coordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3 Calcul vectoriel : aspect g o m t r i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4 Structure mathmatique sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.5 Calcul vectoriel : aspect algbrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.6 Torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.7 Torseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.8 Centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.9 Technique pour la recherche du centre de m a s s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.10 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    CHAPITRE 5 CINMATIQUE DU POINT5.1 Vitesse (du point P par rapport , ^ / K } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.2 Acclration (du point P par rapport ,^/K} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3 Mouvements simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.4 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.5 Vitesse et acclration en coordonnes c u r v i l i g n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.6 Vitesse et acclration en coordonnes gn ra l i s es . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.7 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    CHAPITRE 6 BASES CINMATIQUES DE LA DYNAMIQUE6.1 Chute des corps et mouvement uniformment acclr . . . . . . . . . . . . . . 1396.2 Balistique et mouvement uniformment acclr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.3 Corps suspendu un ressort et mouvement oscillatoire harmonique . . . 1476.4 Mouvement circulaire. Vitesse et acclration angulaires . . . . . . . . . . . . 1526.5 Mouvement des plantes autour du Soleil et mouvement central . . . . . . 1536.6 Mouvement central en r ~ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.7 Mouvement autour de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.8 Diffusion d'une particule charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.9 Mouvement central en r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.10 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

    CHAPITRE 7 QUATIONS DIFFRENTIELLES ORDINAIRES ET ANALYSEQUALITATIVE7.1 Evolution temporelle et quations diffrentielles ordinaires . . . . . . . . . . 1877.2 Intgrales premires et constantes du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.3 Exemples s i m p l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1907.4 Analyse qualitative de mx == f ( x ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

    CHAPITRE 8 CINMATIQUE DU SOLIDE8.1 Dfinition du solide i n d f o r m a b l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998.2 Dplacement d'un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998.3 Evolution d'un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038.4 Solides en c o n t a c t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.5 Mouvement plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2148.6 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

  • CHAPITRE 9 MOUVEMENTS RELATIFS NON RELATIVISTES9.1 nonc du p r o b l m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.2 Axiomes non relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.3 Compositions des vitesses et des acclrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2259.4 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.5 Composition de deux changements de r f r e n t i e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2329.6 Vitesse et acclration en coordonnes sphriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2349.7 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.8 Symtrie et invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2399.9 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

    CHAPITRE 10 BASES DE LA MCANIQUE NEWTONIENNE10.1 G n r a l i t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24510.2 Masse - Quantit de mouvement - F o r c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24610.3 Troisime loi de la m c a n i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25210.4 Lois du mouvement pour le point matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25610.5 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26510.6 Epistmologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27810.7 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

    CHAPITRE 11 DYNAMIQUE DES SYSTMES MATRIELS11.1 quations gnrales de la dynamique newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . 28711.2 Thorme du centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28911.3 Lois de conservation de la quantit de mouvement et du moment

    cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29111.4 Thorme du moment cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29311.5 Proprits et thormes du moment cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29511.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29911.7 Importance des lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30711.8 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

    CHAPITRE 12 ANALYSE DES FORCES12.1 Forces g r a v i f i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31412.2 Forces lectromagntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 712.3 Forces de frottement v i s q u e u x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32512.4 Forces de frottement sec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33312.5 Illustrations des frottements secs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34112.6 Forces de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35012.7 Tensions internes, dformations et loi de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36012.8 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

    CHAPITRE 13 PUISSANCE-TRAVAIL-NERGIE13.1 Puissance et travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37713.2 nergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38313.3 Forces conservatives et p o t e n t i e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38713.4 nergie potentielle et nergie mcanique d'un point matriel . . . . . . . . . 39013.5 Illustrations : forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39313.6 nergie potentielle et nergie mcanique d'un systme matriel . . . . . . 401

  • Table des matires

    13.7 Illustrations : forces actives conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40513.8 Illustrations : forces actives non conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40813.9 Au-del de la mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41113.10 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 1

    CHAPITRE 14 DYNAMIQUE DU SOLIDE14.1 Solide en rotation autour d'un axe f i x e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42814.2 Dynamique du solide : cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43314.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44214.4 nergie cintique des s o l i d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45014.5 Ellipsode d'inertie et axes principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45614.6 Classification des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45914.7 quations d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46014.8 Mouvement d'un solide isol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46114.9 Solide avec point fixe : Gyroscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46714.10 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

    CHAPITRE 15 DYNAMIQUE DANS LES RFRENTIELS EN MOUVEMENT15.1 Dynamique newtonienne dans les rfrentiels en mouvement : forces

    d'inertie et forces de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47715.2 Rfrentiels en translation uniforme et principe de la relativit de Galile47915.3 Rfrentiels ^ ' en translation non uniforme par rapport .^ 8.

    Principe d'quivalence d'Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48115.4 Rfrentiel .^i? ' en rotation uniforme par rapport , ^ 8 . . . . . . . . . . . . . . . 48615.5 Dynamique terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48915.6 quivalence de la masse d'inertie et de la masse gravifique . . . . . . . . . . 49615.7 Mares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49815.8 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

    CHAPITRE 16 QUILIBRE ET STATIQUE16.1 Equation gnrale de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50316.2 Conditions d'quilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50516.3 quilibre et stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50816.4 quilibre des cbles souples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51216.5 Equilibre des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51616.6 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

    CHAPITRE 17 MOUVEMENTS OSCILLANTS17.1 Importance des mouvements oscillants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52717.2 Oscillateur harmonique libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52817.3 Oscillateur harmonique amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53017.4 Oscillateur harmonique forc et rsonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53517.5 Rsonance paramtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54317.6 Oscillateurs harmoniques coupls : systmes deux degrs de libert.. 54617.7 Petits mouvements autour d'une position d'quilibre : systmes N

    degrs de liberts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55017.8 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

  • Table des matires

    CHAPITRE 18 PROBLME DEUX CORPS. MOUVEMENT CENTRAL ET DIFFUSION18.1 Problme deux c o r p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55518.2 Mouvement c e n t r a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55818.3 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56318.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56618.5 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

    CHAPITRE 19 CHOCS ET PERCUSSIONS19.1 quations des chocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57319.2 Centre de percussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57619.3 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57819.4 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

    CHAPITRE 20 SYSTMES OUVERTS20.1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58920.2 quations du m o u v e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59020.3 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59320.4 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

    CHAPITRE 21 INTRODUCTION LA RELATIVIT RESTREINTE21.1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59721.2 L'espace-temps de la relativit restreinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59921.3 Transformations de L o r e n t z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60521.4 Consquences de la transformation de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61321.5 Proprits de l ' e s p a c e - t e m p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61621.6 Dynamique relativiste du point matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62221.7 Formulation quadrimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62721.8 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63021.9 Systmes de p a r t i c u l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63721.10 De la relativit restreinte la relativit gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64121.11 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4 2

    CHAPITRE 22 INTRODUCTION LA MCANIQUE ANALYTIQUE22.1 Formalisme l a g r a n g i e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64622.2 Illustrations du formalisme lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65422.3 Particules dans un champ lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65922.4 Thorme de N o e t h e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66122.5 Formalisme hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66422.6 Illustrations du formalisme h a m i l t o n i e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66622.7 Formalisme hamiltonien non relativiste dans l'espace de phase tendu . 66922.8 Formalisme lagrangien et hamiltonien relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67022.9 Problmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674

    APPENDICE A DMONSTRATION DU THORME 2.1.4 677

  • APPENDICE B VECTEURS ET TENSEURSB. 1 Changements de repre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679B.2 T e n s e u r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682B.3 C o n c l u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687B.4 Problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688

    APPENDICE C PROPRITS DU CHAMP DE GRAVITATION 689APPENDICE D THORMES GNRAUX

    D.l Equations Diffrentielles Ordinaires autonomes (E.D.O.) . . . . . . . . . . . . 693D.2 Equilibre et stabilit . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694D.3 Linarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696

    APPENDICE E CALCUL DES VARIATIONSE.l Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697E.2 Equations d'Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698E.3 Solutions des deux i l l u s t r a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700E.4 Principe de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701

    RPONSE AUX PROBLMES 703BIBLIOGRAPHIE1. Ouvrages conseills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 52. Ouvrages pour ingnieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7153. Ouvrages avancs (et mcanique analytique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7154. Ouvrages historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1 65. R f r e n c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716

    NOTATIONS

    INDEX ALPHABTIQUEINDEX DES NOMS

    719

    723

    735

  • CHAPITRE 1

    BUTS ET MTHODES DE LA PHYSIQUE

    Avant d'aborder la mcanique, il nous semble intressant de donner uneintroduction gnrale la physique. Cela nous permettra de situer la mcaniqueclassique dans le cadre de la description du monde qui nous entoure, et desoulever un certain nombre de questions concernant la dmarche du physicien.C'est ce que nous allons faire dans les trois premiers chapitres.

    Dans ce chapitre, nous analysons les buts et mthodes de la recherche scien-tifique et nous essayons de rpondre aux questions suivantes : quelle est ladistinction entre physique classique et quantique , physique gnrale et statistique , physique relativiste et non relativiste ? Nous discutonsbrivement la notion d'espace spatio-temporel, espace dans lequel se droulentles phnomnes que la physique se propose d'expliquer ou de prdire. Fina-lement, nous introduisons le sujet de cet ouvrage, la mcanique classique. Lelecteur trouvera dans la bibliographie une liste de livres qui prsentent un pointde vue complmentaire celui que nous avons adopt.

    1.1 BUT DE LA PHYSIQUE

    Le but de la physique est parfois exprim par la formule laconique expliquer Phnomnes naturelsles phnomnes naturels ,enajoutant peut-tre, comme le fait Einstein[l], y et phnomnescompris ceux de la vie . observs

    Si cette dfinition exprime le vu de certains physiciens jusqu' la fin duXIXe sicle, les dveloppements de la physique au XXe sicle ont montr qu'ilfallait revenir une dfinition plus modeste : expliquer les phnomnesobservs .

    Dans cette section, nous voulons dvelopper la distinction entre phnomnes naturels et observs , puis ce qu'il faut entendre par expliquer .

    1.1.1 Description classique

    Jusqu' la fin du XIXe sicle, la recherche scientifique est base sur la des-cription classique. C'est la description que nous adopterons, mais que nousvoulons expliciter et nuancer pour tenir compte des dveloppements modernes

  • Ralit indpendantede l'observateur

    Dterminisme ethomognit du

    temps

    de la physique et pour faire ressortir les hypothses la base de cette descrip-tion. Historiquement, ces hypothses taient gnralement admises de faonimplicite comme des vrits videntes.

    Cette description classique s'est labore au cours des sicles partir del'observation rpte, consciente ou inconsciente, de phnomnes qui appa-raissent avec une grande rgularit, tels que le mouvement des corps clestesou la chute des objets la surface de la terre. Ces rgularits nous sont tellementfamilires que nous avons acquis la certitude qu'elles se produiraient indpen-damment de la prsence de l'observateur qui les peroit : nous admettons, parexemple, qu'une pierre qui tombe fera du bruit mme si personne n'est l pourl'observer.

    Nous avons ainsi t conduits gnraliser les affirmations que nous pou-vons faire concernant les phnomnes observs. Nous disons la Lune tourneautour de la Terre au lieu de dire on observe que la Lune tourne autour dela Terre ; de mme on a pris l'habitude de dire la lumire est une onde ,au lieu de dire dans certaines expriences, on observe des proprits on-dulatoires de la lumire . Cette manire de nous exprimer signifie que nousadmettons qu'il existe une Ralit indpendante de l'observation.

    Pour rendre compte des rgularits observes, nous supposons que cetteRalit obit un ensemble de rgles, appeles lois naturelles. Cette confianceen l'existence de lois rgissant l'volution temporelle repose sur deux principesfondamentaux : le dterminisme et l'homognit du temps. Le dterminismeaffirme que la Ralit, telle qu'elle existe un instant donn, dtermine univo-quement l'volution future et, dans certains cas, contient l'histoire d'un passpas trop lointain ( 1.5.5). L'homognit du temps est le principe selon lequeldeux situations identiques, ralises des instants diffrents, doivent voluerde faon identique : en rptant les mmes expriences, sous les mmes conditions, on doit obtenir les mmes rsultats. Ces deux principes sont la base de la mthode scientifique.

    La mission du physicien est de dcouvrir les lois fondamentales, partir des-quelles il sera possible de dduire l'ensemble des lois de la nature et d'obtenirune description de la Ralit.

    Pour noncer ces lois, l'approche classique admet que tout systme estcaractris par un ensemble de grandeurs ayant tout instant une valeurbien dfinie.

    Le dterminisme s'exprime alors en disant que la valeur de ces grandeurs un instant donn dtermine univoquement les valeurs tout autre instant.

    Notre conviction que la connaissance de la Ralit doit venir des rsultatsexprimentaux et aboutir ceux-ci signifie qu'il doit tre possible d'obser-ver, mesurer et comparer les valeurs des grandeurs au cours de l'volution.Par consquent, l'approche classique admet implicitement les hypothses sui-vantes :

    Hypothses II est possible de mesurer les grandeurs avec la prcision que l'on dsire,classiques c'est uniquement un problme de technologie.

  • But de la physique

    II est possible de mesurer simultanment toutes les grandeurs ; c'est--dire qu'il est possible de mesurer la grandeur B, immdiatement aprs avoirmesur la grandeur A, sans modifier la valeur de A.

    II est possible de mesurer les grandeurs sans modifier les valeurs qu'ellesauraient en l'absence de toute observation.Il dcoule de l'approche classique que les concepts et les lois fondamentales

    ne sont pas des crations de l'esprit humain, mais qu'ils sont logiquementdduits, par abstraction, des faits exprimentaux. Les lois de la physique,expressions des lois de la Nature, sont ainsi des lois exactes et immuables.

    Les succs, aussi bien thoriques qu'exprimentaux, obtenus la fin duXIXe sicle, semblaient confirmer le bien-fond de cette attitude et portaient penser que l'on avait effectivement trouv l'ensemble des lois fondamentales :on considrait que l'univers tait compos de particules et de champslectro-magntiques voluant dans le vide. L'volution des particules taitdcrite par les lois de Newton, l'volution des champs par les lois de Maxwellet l'interaction entre les particules et les champs par la loi de Lorentz.

    Remarquons pour terminer que la physique a connu plusieurs rvolutionsau cours de son histoire avec les travaux de Galile, Newton, puis Einstein.Cependant, jusqu' l'introduction de la physique quantique, aucune de cesrvolutions n'avait mis en doute le bien-fond de la description classique.

    1.1.2 Description moderne

    L'observation des phnomnes des chelles de plus en plus petites et destempratures de plus en plus basses a conduit une rvolution de la pense quia remis en question les bases mmes de la description classique.

    En effet, les expriences du XXe sicle ont montr qu'il fallait distinguerentre observation et ralit. En particulier, l'observation des proprits cor-pusculaires de l'lectron n'implique pas que l'lectron est une particule, ausens classique du terme o particule signifie objet qui ressemble une bille ; demme, l'observation des proprits ondulatoires de la lumire n'implique pasque la lumire est une onde. En effet, dans d'autres expriences, il sera possibled'observer des proprits ondulatoires de l'lectron et des proprits corpuscu-laires de la lumire.

    De plus, ces mmes observations ont conduit la conclusion suivante : sil'on veut maintenir le principe du dterminisme, il faut abandonner la descrip-tion des phnomnes en terme de grandeurs spatio-temporelles ; inversement,si l'on veut garder une description spatio-temporelle, il faut abandonner le d-terminisme.

    On est ainsi arriv une nouvelle conception de la Ralit, exprime parexemple dans le principe de complmentarit de N. Bohr (1928) : Les proprits corpusculaires et ondulatoires sont deux aspects compl-

    mentaires d'une mme ralit, mais elles ne sont jamais simultanmentobservables.

    Le dterminisme et la description des phnomnes au moyen de grandeursspatio-temporelles sont deux aspects complmentaires d'une mme ralit,qui ne peuvent pas toujours tre simultanment satisfaits.

    Lois de la physique= Lois de la Nature

    BOHR NielsPhysicien danois1885-1962Prix Nobel de physique1922

    Observation 7^Ralit

    Principe decomplmentarit

  • Buts et mthodes de la physique

    Hypothsesquantiques

    HEISENBERG WernerPhysicien allemand

    1901-1976Prix Nobel de Physique

    1932

    II suit du principe de complmentarit que l'observation d'un phnomne(dans l'espace-temps) ne permet plus d'affirmer que le mme phnomne seproduirait en l'absence d'observation (dterminisme). Mentionnons galementque ce principe n'a pu tre nonc qu'aprs avoir remarqu les faits suivants,contraires aux hypothses classiques : II existe des grandeurs qui ne peuvent pas toujours tre exactement et

    simultanment mesures. C'est le contenu du principe d'incertitude de Hei-senberg (1927). Cela signifie qu'il existe une limite la prcision qu'il estpossible d'atteindre lors de la mesure simultane de deux grandeurs, etceci quelle que soit la technologie : plus la prcision sur l'une des mesuresaugmente et plus la prcision sur l'autre diminue.

    Quelle que soit la technologie, la mesure d'une grandeur s'accompagnegnralement d'une modification non dterministe de l'volution.Les principes de complmentarit et d'incertitude, la base de la physique

    quantique, vont bouleverser la pense classique et remettre en question lesobjectifs mmes de l'approche scientifique. Il va merger de ces rflexions queles concepts fondamentaux de la physique ne sont pas dfinis par rapport une Ralit indpendante de toute observation, mais, au contraire, sont dfinispar rapport la connaissance que nous possdons de cette Ralit.

    La physique n'apparat plus comme une description de la Ralit, maisseulement comme une description de l' image que nous nous faisonsde cette Ralit.

    Modle

    Lois de la physique= Image de la Ralit

    En particulier, il faut reconnatre qu'une thorie n'est qu'un modle destin expliquer un aspect des phnomnes tudis.

    Ainsi, le problme n'est plus, comme ce fut le cas aux XVIIIe et XIXe sicles,d'tudier une Ralit indpendante de l'observation, mais d'analyser l'en-semble des connaissances que nous en possdons, et de chercher mettre envidence des relations entre les phnomnes observs dans le but de prdire denouveaux rsultats. Par exemple, le problme n'est pas de savoir si l'lectronest une onde ou une particule, mais de prdire en quel endroit de la plaque pho-tographique on observera l'lectron ayant travers un champ magntique. Onrevient ainsi au point de vue de Galile qui ne se demandait pas pourquoi ,mais comment les corps tombent. En particulier, il mdita longuement surcette question de la relation existant entre l'observation et la Ralit [61].

    En conclusion, il dcoule de l'approche moderne que les concepts et les loisfondamentales sont l'expression de notre connaissance une poque donne,et notre image de l'univers ne peut jamais tre dfinitive. Nous devons toujourstre prts modifier les fondements de la physique et chaque gnration aurala possibilit d'arriver des dcouvertes importantes.

    1.1.3 Expliquer les phnomnes observsComme nous l'avons remarqu, le but de la physique est d'expliquer les

    phnomnes observs. Mais quelles sont les observations qui peuvent tre

  • But de la physique

    expliques ? Selon Wigner [2] the specification of the explainable may havebeen the greatest discovery of physics so far .

    Par exemple, Kepler, ayant obtenu les lois dcrivant le mouvement des pla-ntes autour du soleil, chercha d'autres lois pour expliquer le nombre desplantes et les dimensions relatives des orbites (fig. 1.1-1.3). Newton, aucontraire, rejeta cette tentative en considrant que ces observations ne deman-dent pas tre expliques. Aujourd'hui, on pense que la distribution rguliredes orbites plantaires rsulte de circonstances particulires lies la forma-tion du systme solaire [60].

    WIGNER EugenePhysicien amricain1902-1994Prix Nobel de physique1963

    Fig. 1.1 (a) Figure tire de Mysterium cosmographicum de J. Kepler (1569).(b) Illustration deux dimensions. Kepler explique les distances au soleil des sixplantes connues cette poque au moyen de sphres inscrites et circonscrites aux cinqpolydres rguliers, sphres sur lesquelles les plantes se dplacent : Sphre de Saturne- Cube - Sphre de Jupiter - Ttradre - Sphre de Mars -Dodcadre - Sphre de laTerre - Icosadre - Sphre de Vnus - Octadre - Sphre de Mercure.

    Fig. 1.2 Loi de Titius-Bode (1772)^ = ( 0 , 4 + 0 , 3 - 2 " ) U AAstrode : n = 3.

    Fig. 1.3 Loi de Schmidt (1943)I)^/^-^=0.2n)^-./r=\

  • Pour expliquer les phnomnes observs, la physique cherche dcouvrirdes lois.

    Une loi de la nature est une rgle qui doit rendre compte des rgulari-ts observes. Elle dtermine le comportement des objets sous certainesconditions, mais elle laisse toutefois encore beaucoup de libert. Les l-ments qui ne peuvent pas tre dtermins par les lois sont les conditionsinitiales.

    Par analogie, le code de la route est un ensemble de rgles imposes l'automobiliste (rouler droite, s'arrter au feu rouge, ...) mais il lui laissebeaucoup de libert : heure de dpart, vitesse, arrt,...

    En conclusion, expliquer signifie trouver les conditions initiales (soit lesvariables) et les lois de la nature (c'est--dire les relations entre les variables), partir desquelles il est possible de dcrire les phnomnes observs.

    1.1.4 Principes d'invariance ou Superlois [2]De mme que les lois imposent certaines conditions menant aux rgularits

    observes, il existe des superlois imposant certaines conditions aux loiselles-mmes. (Par analogie, la constitution impose certaines rgles qui doiventtre satisfaites par le code de la route discut plus haut.) Ces superlois sontles principes d'invariance dj introduits par Galile, mais qui ont pris unetrs grande importance, surtout depuis 1930. Ces principes d'invariance, quenous discuterons en dtail, sont associs aux diffrentes manires de dcrireun mme phnomne : les prdictions de la thorie ne doivent pas dpendre dela manire choisie, elles doivent tre invariantes .

    L'importance accorde aux principes d'invariance est justifie pour deuxInvariance et raisons. D'une part, ils jouent le rle de garde-fou dans l'laboration d'une

    symtrie thorie et servent de critre dans la recherche des lois fondamentales : pourtre acceptable, une loi physique doit tre consistante avec les principes d'in-variance. D'autre part, ils conduisent des lois fondamentales, dites lois deconservation, exprimant le fait que certaines grandeurs restent constantes aucours de l'volution temporelle si le systme est isol : conservation de l'ner-gie, de la quantit de mouvement, du moment cintique, etc. Grce au thormede Nther ( 22.4.2), on verra que que ces lois de conservation sont intimementlies des proprits fondamentales de symtrie : homognit du temps et del'espace, isotropie de l'espace,...

    1.2 MTHODOLOGIE DE L'APPROCHE SCIENTIFIQUE

    Systme physique Pour expliquer les phnomnes observs, la physique tudie des systmes,c'est--dire des portions de l'univers qu'il est possible de considrer, dansune premire approximation, comme isols du reste de l'univers.

  • Mthodologie de l'approche scientifique

    Cette tude s'effectue en quatre tapes : description, recherche des lois,dduction des consquences de ces lois, vrifications exprimentales. Description. La premire tape consiste dfinir le systme ou la classe desystmes que l'on veut tudier et prciser les grandeurs qui prsentent unintrt. Ces grandeurs, appeles observables, peuvent tre mesures par desappareils. En outre, cette tape s'attache caractriser l'tat actuel du systme,ou tat instantan, et mettre en vidence certaines relations entre les donnesexprimentales. Recherche des lois. Dans cette deuxime tape, on cherche trouver parinduction les concepts et les principes fondamentaux partir desquels il serapossible de dduire (en se servant des mathmatiques) les rsultats exprimen-taux. A ce stade, il n'existe pas de mthode systmatique; en particulier, iln'existe aucun chemin logique conduisant de l'exprience au schma math-matique ; ce schma est une cration de l'esprit humain et c'est l qu'apparatl'acte de gnie.

    On procde gnralement en inventant un modle , reprsentation idali-se du systme, obissant un ensemble de lois. Les consquences du modledoivent correspondre aux rsultats exprimentaux connus (par exemple, lemodle du point matriel et les lois de Newton permettent d'expliquer les ob-servations de Kepler). Analyse des consquences. On tudie ensuite les consquences qui dcou-lent du modle dans le but de prdire de nouveaux rsultats et de nouveauxphnomnes : connaissant l'tat du systme un instant donn, la thorie sepropose de prdire la valeur des observables cet instant, ainsi que rvolutiontemporelle de l'tat, c'est--dire l'tat du systme tout autre instant. Vrifications. Un modle purement logique qui n' aurait jamais t confront l'exprience ne prsente que peu d'intrt. Pour tester le schma mathma-tique propos, il est ncessaire de procder une vrification exprimentale desprdictions.

    Nous voyons ainsi que toute approche scientifique se trouve confronte dsle dpart des concepts intuitifs qui sont mal dfinis :

    systme , observable , tat , volution temporelle .

    En essayant de prciser ces concepts fondamentaux, on se rendra comptequ'ils ne sont pas dfinis par rapport une ralit, mais par rapport laconnaissance que l'observateur possde de cette ralit (ce qui nous ramne la description moderne discute au paragraphe 1.1.2).

    De plus, nous remarquons que les mathmatiques ont une relation trs par-ticulire avec la physique. En fait, pour les Grecs, les postulats mathmatiques(par exemple les axiomes d'Euclide) apparaissent comme des lois de la nature.Plusieurs sicles plus tard, Galile affirmera : La philosophie est crite dansce livre immense qui se tient continuellement ouvert sous nos yeux - l'Univers et qui ne peut se comprendre que si l'on a pralablement appris en com-prendre la langue et connatre les caractres employs pour l'crire. Ce livreest crit dans la langue mathmatique.

    Observables

    tat

    Induction

    Modle

    PYTHAGOREVIe sicle av. J.-C.(Stalle de la cathdraled'Ulm, sculpte parJ. S Y R L I N ) : Toutes choses sontdes nombres

    Mathmatiques

  • Buts et mthodes de la physique

    Cette conception des mathmatiques comme langage de la physique peuts'interprter de deux faons : c'est le langage de la Nature que l'homme doit assimiler ; c'est le langage de l'homme pour traduire les faits de la Nature.

    C'est cette deuxime interprtation, relie du reste la description moderne,qu'adopte Heisenberg quand il affirme : Les formules mathmatiques nereprsentent plus la Ralit, mais la connaissance que nous en possdons .

    Finalement, on remarquera que les mathmatiques sont beaucoup plus qu' unlangage : c'est la manire de penser du physicien.

    1.3 OBSERVABLES. DISTINCTION ENTRE PHYSIQUE CLASSIQUEET QUANTIQUE

    1.3.1 ObservablesPour un observateur 0, le systme tudi est caractris par les concepts

    suivants : un ensemble de grandeurs mesurables constantes, appeles proprits, qui

    permettent de reconnatre le systme ; l'observateur sait que s'il effectuaitla mesure de ces grandeurs, il obtiendrait un rsultat connu d'avance et iln'effectuera pas ces mesures ;

    Observables = un ensemble de grandeurs mesurables variables que l'observateur pourraitgrandeurs mesurer au moyen d'appareils et qu'il pourrait en principe faire varier

    mesurables volont ; un ensemble de contraintes (liaisons) qui sont des restrictions sur les valeurs

    possibles des grandeurs mesurables.

    En consquence, pour l'observateur 0, le systme est caractris parun ensemble d'observables, grandeurs qu'il est possible de mettre envidence, de mesurer, et que l'observateur a choisi d'tudier.

    Il faut insister sur le fait que le choix des observables dpend de l'ob-servateur. Considrons, par exemple, des atomes d'argent contenus dans uneampoule sphrique. Le mot argent englobe un ensemble de proprits setrouvant dans les tables et ampoule dfinit une contrainte. Un premierobservateur choisira comme observables des grandeurs thermodynamiques :volume, temprature, pression, densit, chaleur spcifique, ... ; un deuximeobservateur choisira des grandeurs mcaniques : position et vitesse de chaqueatome ; un troisime choisira la position, la vitesse, et le spin des lectrons etdes noyaux.

    Ayant choisi l'ensemble des observables, l'observateur peut effectuer desmesures. Dans l'exemple prcdent, si le premier observateur mesure succes-sivement la pression, la temprature, et nouveau la pression, il constatera pour autant que les deux mesures de pression soient effectues dans un

  • Observables. Distinction entre physique classique et quantique

    bref intervalle de temps - que la mesure de la temprature n'a pas modifila valeur de la pression ; on dit alors que les deux observables sont simulta- Observablesnment mesurables, ou aussi compatibles. Si un autre observateur envoie des simultanment,atomes d'argent travers un champ magntique inhomogne, il observera que mesurables oules atomes sont dvis, soit gauche, soit droite ; en rptant la mme mesure compatiblessur le mme atome, l'observateur obtiendra toujours le mme rsultat, gaucheou droite. Appelons A la grandeur mise en vidence par cet appareil de mesure.Cette grandeur peut prendre deux valeurs, g (= gauche) ou d (= droite). Si l'ob-servateur tourne le champ magntique de 90, il observera une dviation soitvers le haut, soit vers le bas ; appelons B la grandeur mesure par ce nouvelappareil, grandeur pouvant prendre les valeurs, h (= haut) ou b (= bas). Sup-posons alors que cet observateur effectue successivement les mesures de A, B,puis nouveau A ; il constatera que la mesure de B a compltement modifi lavaleur de A. Dans ce cas il dira que les deux grandeurs ne sont pas simultan-ment mesurables, ou aussi qu'elles sont incompatibles.

    Si toutes les observables sont simultanment mesurables, on dit que lesystme est dcrit par une thorie classique. Si un autre observateur,ayant fait un autre choix d'observables, constate qu'il existe des gran-deurs incompatibles, il dira que ce mme systme est dcrit par unethorie quantique : la distinction entre thorie classique et thorie quantique est donc une distinction tire de l'exprience et dpend del'observateur.

    Thorie classique etquantique

    1.3.2 Structure mathmatique sur les observables

    Pour analyser les proprits du systme, il faut introduire une structure ma-thmatique sur l'ensemble des observables. Nous supposerons que les unitsont t choisies une fois pour toutes et nous reviendrons sur cette question auchapitre suivant. Dans la suite de cette section, nous considrons uniquementla partie numrique du rsultat de la mesure.

    Si toutes les observables sont compatibles, il est possible de dfinir la mul-tiplication d'une observable A par un nombre rel \, soit C = A, ainsi que lasomme D = A + B et le produit E = A fi, partir des rsultats des mesuresdes observables A et B. Par exemple, l'observable E = A B est la grandeurqui prend la valeur numrique e = ab, si les observables A et B ont res-pectivement les valeurs a et b. En consquence, dans toute thorie classique,l'ensemble des observables peut tre muni d'une structure algbrique commu-tative ( A B = BA).

    S'il existe des observables incompatibles, on fait l'hypothse qu'il est tou-jours possible de munir l'ensemble des observables d'une structure algbrique,mais, comme le rsultat des mesures dpend de l'ordre dans lequel elles sonteffectues, l'algbre doit tre non commutative ; cela signifie qu'il est possiblede dfinir le produit A B, o A est mesur aprs 5,maisAB n'est pas identique B A si les observables A et fi sont incompatibles. D'autre part si A et B sontincompatibles, le produit AB ne correspond pas une grandeur que l'on peut

    Physique classique

    Physique quantique

  • Algbre desobservables

    mesurer. Cette extension de l'ensemble des observables des grandeurs non-mesurables est similaire l'extension de la notion de racine carre des nombrespositifs l'ensemble des rels.

    En conclusion, l'ensemble des observables est muni d'une structure al-gbrique commutative dans le cas classique et non commutative dans lecas quantique.

    Remarquons pour terminer que les proprits du systme (par exemple lamasse ou la charge des particules) sont reprsentes par des multiples del'identit (observable 1 dont la valeur est toujours 1) : les multiples de l'identitreprsentent des grandeurs mesurables constantes.

    1.4 TAT D'UN SYSTME. DISTINCTION ENTRE PHYSIQUEGNRALE ET PHYSIQUE STATISTIQUE

    Etat d'un systme1.4.1Reprenons l'exemple prcdent et supposons que l'on dsire connatre la

    vitesse v des atomes d'argent pour une temprature et une pression donnes.Pour cela, il suffit en principe de percer une ouverture dans l'ampoule et demesurer la distance entre l'ampoule et le point d'impact des atomes sur lesol (fig. 1.4) : connaissant cette distance on en dduit facilement la vitesse vcherche ( 6.2.2).

    De cette exprience, nous dgageons les constatations suivantes : L'appareil de mesure (c'est--dire la rgle) comportant une chelle gradue

    avec une certaine division e, nous pouvons uniquement dire que le rsultatd'une mesure est compris entre ne et (n + l)s o n est entier.

    Fluctuations En rptant la mesure, on n'observe pas toujours le mme rsultat : il y a desfluctuations.L'analyse des rsultats de mesure s'effectue alors au moyen d'un graphique,

    appel histogramme, obtenu en reportant N ( v ) / N en fonction de v, o N(v)est le nombre de mesures ayant donn le rsultat v et N = ^ N(v) est lenombre total de mesures (fig. 1.4 b). Dans la limite o N est trs grand, lenombre p(v) = N ( v ) / N reprsente la probabilit que le rsultat de la mesuredonne la valeur v ; c'est une estimation du nombre de fois que l'on peut esprerobtenir la valeur v si l'on effectue n fois la mesure.

    N ( v ) / N

    (b)Fig. 1.4 (a) Mesure de la vitesse v et (b) histogramme de la vitesse des molcules d'ungaz.

  • tat d'un systme. Distinction entre physique gnrale et physique-statistique

    De cette manire, l'observateur associe toute observable A une fonction ProbabilitsPA = PA^)' appele distribution de probabilit, ayant les proprits

    p^(a)^0 et ^^()=l. (1.1)a

    Cette fonction reprsente la probabilit que le rsultat de la mesure de A donnela valeur a, sachant que le systme a t prpar d'une manire bien dfinie,c'est--dire connaissant l'tat du systme.

    L'tat reprsente l'information que possde l'observateur sur le systmetudi.

    Mathmatiquement, cette information, c'est--dire l'tat, peut tre reprsen-te par l'ensemble des fonctions/?^ (a), p f j ( b ) , ..., obtenues en effectuant N^mesures de A, Ny mesures de B,... :

    NAa) N,,(b)^A^ ^ w = ^' - (L2)

    "A "B

    o N^ (a ) est le nombre de mesures de A ayant donn la valeur a, Ng (b) est lenombre de mesures de B ayant donn la valeur b,...

    Connaissant l'tat du systme, on introduit la moyenne, ou esprance ma- Valeur de A dansthmatique, ou valeur, de l'observable A dans l'tat p . C'est le nombre rel, l'tat pnot ou simplement , dfini par

    E0/^) (^E0^)). (i-3)a \ "A a /

    < A > = < p ; A > = ^ aa

    C'est la moyenne au sens habituel, obtenue aprs avoir effectu N^ fois lamesure de la grandeur A.

    Pour tout k entier, on dfinit de mme la moyenne de A*, soit

    = ^ _Y/^(a) ; = = 1. (1.4)a

    Un thorme fort intressant de probabilit [3] affirme que la donne de tousles nombres rels tat = informationdes observables dans les rels, telle que = 1 (normalisation).

    De plus, il suit de la structure mathmatique introduite sur l'ensemble desobservables que l'application p est linaire et positive ; c'est--dire que pourtoute observable A et B et tout nombre rel a et p , nous avons

    = a +p (linarit) (1.5)

  • et

    ^0 (positivit). (1.6)

    En conclusion, les observables reprsentent les grandeurs mesurer etl'tat reprsente l'information que possde l'observateur sur le rsultat

    Observables et tats des mesures qu'il pourrait effectuer.Du point de vue mathmatique, l'tat est une application linaire, positive,norme de l'algbre des observables dans les rels.

    1.4.2 Structure mathmatique sur l'ensemble des tatsL'interprtation probabiliste de l'tat conduit introduire la structure ma-

    thmatique suivante sur l'ensemble des tats : pour tout couple d'tats p^ etp^, et tout nombre rel a e [0, l], on dfinit l'tat p = ap01 + (1 a)/^par l'application

    p: A \-> =ot+(.\ -a} (1.7)On vrifie facilement que cette application dfinit un tat.

    L'tat p (1.7) dcrit l'tat d'un systme pour lequel on sait qu'il se trouveavec probabilit a dans l'tat y/0 et probabilit (1 a) dans l'tat p^.

    A titre d'illustration, considrons les personnes vivant en Suisse, ayantentre 18 et 65 ans. Supposons que l'on s'intresse aux grandeurs (= obser-vables)

    A = ge ( 1 an) ; H = taille ( 1 cm) ;C = compte en banque ( 100 francs) ;S = sexe (s = 1 pour un homme ; s = 2 pour une femme).

    On admet que l'on possde les informations suivantes (= tat) :^(1),

  • et que son ge est en moyenne

    65 ( ' ) = ^ a p^(a) s = 1 ou 2.

    a=18

    Mais si l'on prend un individu (homme ou femme) au hasard dans la populationconsidre, la distribution de probabilit de son ge et l'ge moyen sont :

    /p ,7) N()pAa)=oip"(a)+(\-a)pw(a), avec a =s-

    A / A V - ' - T V > r A \ > . A^(1)+M;(2)

    = a m + (1 - a) (2).

    De mme pour les autres grandeurs

    P(H\h)=NHW, ^=^hp^(h),"sW h

    et

    p^h)=ap(|\|\h)+(l-a)p^\h) == a W + (1 - a) m.En conclusion, dans l'tat p (o s = 1 et 2 avec probabilit a et (1 a)

    respectivement), on a moins d'information que dans l'tat p^ (on sait quel'individu est un homme) et p^ (on sait que c'est une femme). Dans cetexemple, le maximum d'information correspond connatre exactement l'ge,la taille, le compte en banque, et le sexe de chaque individu.

    Une illustration similaire, mais physique, est l'tude des atomes d'un alliageCu-Zn dans un volume V. Dans ce cas, s = 1 pour le cuivre et s =2 pourle zinc et les grandeurs A, H , C sont par exemple la position, la vitesse etl'nergie cintique.

    1.4.3 Etats purs et tats de mlangeOn dit que l'tat p est un tat de connaissance absolue pour l'observable

    A si la distribution de probabilit p^ est telle que p^(a) = 1 pour a = g etp^(a) = 0 pour a ^ OQ, dans un tel tat, la mesure de A donnera toujours lavaleur g, et il n'y a pas de fluctuation.

    Dans le cas o il y a des fluctuations, on caractrise l'incertitude sur la valeur Incertitudede A dans l'tat p au moyen de l'cart quadratique moyen AA, aussi appeldviation standard, dfini par

    AA =^= lJ^(a - )2^() (1.8)v "

  • Buts et mthodes de la physique

    Etat pur, tat demlange

    Physique statistique

    On peut dmontrer les proprits suivantes : p est un tat de connaissance absolue pour A si et seulement si A A = 0.

    En effet, comme p^(a) ^ 0, AA = 0 entrane (a )2 p^(a) = 0 etp^(a) = 0 pour tout a tel que a -^- .

    Ingalit de Chebyshev [3] : la probabilit que le rsultat de la mesure soiten dehors de l'intervalle 8 est infrieure [AA/8]2.

    Pour des fluctuations normales, c'est--dire qui ne sont pas associes uneerreur systmatique, il y a une probabilit de 67% pour que le rsultat de lamesure soit compris dans l'intervalle AA.Par dfinition, on appelle tat pur un tat qui correspond l'information

    maximale que peut obtenir l'observateur, et tat de mlange un tat qui corres-pond une information partielle. Sans entrer dans plus de dtails, remarquonsqu'une mme information dfinit un tat pur pour un observateur, mais un tatde mlange pour un autre. Dans l'exemple des atomes d'argent, la donne duvolume, de la temprature et de la pression dfinit un tat pur pour le premierobservateur, et un tat de mlange pour les deux autres.

    Du point de vue mathmatique, un tat est pur s'il n'admet aucune dcom-position de la forme (1.7), avec a / 0 ou 1 ; c'est un tat de mlange dans lecas contraire.

    1.4.4 Physique gnrale et physique statistiquePar dfinition, une thorie qui tudie les tats de mlange est dite statistique,

    on parle de physique (gnrale) lorsque l'on tudie uniquement les tats purs.Il est possible de dmontrer le rsultat suivant.

    Dans les thories classiques, les tats purs correspondent une connais-sance absolue de toutes les observables : l'information maximale consiste connatre la valeur exacte de toutes les observables. Nous retrouvonsainsi la description classique ( 1.1.1).

    Au contraire, dans les thories quantiques les tats purs correspondent une connaissance absolue de certaines observables uniquement. Par exemple,si x, et u, reprsentent la composante ;' des vecteurs position et vitesse d'uneparticule de masse m, les relations de Heisenberg ( 1.1.2) montrent que

    Relationd'incertitude

    Ax.Av, '. o f ^ l , 0 6 10-34 J s. (1.9)2mDe faon gnrale

    A A - A B ^ {\ (1.10)Par consquent, si A et fi sont compatibles, A f i - B A = O e t i l sera possibled'avoir A A = A B = 0; au contraire si A et B sont incompatibles, alorsAB B A = C -^- 0 et AA AB est strictement positif pour tout tat p telque ^ 0.

    14

  • 1.5 ESPACE-TEMPS ET VOLUTION TEMPORELLE

    1.5.1 Espace, temps, vnement

    Les phnomnes que nous observons se droulent dans un cadre appel espace-temps dont chacun de nous a une ide intuitive. Le caractre absoluqu'on lui attribue provient de l'accord entre les hommes sur son utilisationpratique. Par exemple, si nous disons rendez-vous le 8 juillet 2010 12h30au sommet du Cervin , notre interlocuteur connatra immdiatement le lieuet l'instant, c'est--dire l'vnement dont nous parlons . . . , mme s'il estincapable d'y arriver. Nous remarquons ainsi qu'il est possible d'introduire unconcept d'vnement, phnomne lmentaire dfini par un lieu et un instantdtermins (fig. 1.5). Un vnement dfinit un point d'un ensemble appelespace-temps, et l'on peut considrer les phnomnes observs comme unesuccession d'vnements.

    La dfinition et les proprits intrinsques - c'est--dire indpendantes del'observateur - de l'espace-temps est un problme qui a passionn les phi-losophes et les physiciens de l'Antiquit nos jours. Il suffit de penser Aristote, St Augustin, Descartes, Newton, Leibniz, Kant, Bergson ou Einstein.Ce problme a t abord en invoquant Dieu, la raison pure, ou les faits exp-rimentaux. Cependant, il faut reconnatre que l'tude de ces concepts n'est pasacheve.

    Exprimentalement, l'espace nous apparat comme un continu trois dimen-sions (il faut trois nombres pour reprer la position d'un point) et le tempscomme un continu linaire, orient par la flche du temps qui distingue lefutur du pass. Remarquons dj que le concept de simultanit n'a pas de si-gnification absolue dans les thories relativistes ( 21.3.1). Il faut galementmentionner que les thories actuelles de la gravitation remettent en questioncette notion d'espace-temps continu des chelles de l'ordre de lO^35 m et delO^43 s ; cependant, du point de vue exprimental, on est capable de mesurerdes distances de l'ordre de 10~18 m et des temps de l'ordre de lO^24 s.

    Evnement

    Espace-temps

    Dimension del'espace et du temps

    St AUGUSTIN(354-430)Les confessions : Le temps, c'est quoidonc ? N'y a-t-il per-sonne me poser laquestion, je sais ; que,sur une question, jeveuille l'expliquer, jene sais plus.

    Fig. 1.5 vnement f, : cration du A. vnement E^ : annihilation du A. At2,6-10-'s.

    Finalement, tant donn deux vnements E) et E^ (fig. 1.5), on admet qu'ilest possible de dfinir et de mesurer l'intervalle de longueur Ai et l'intervallede temps At qui les sparent.

    RAMUZ Charles-F.(1878-1947)Une main : II y a deux temps : ily a le temps intrieur etil y a le temps extrieur,celui qui est marqu parles horloges.

    15

  • 1.5.2 Intervalle de longueur et proprits de l'espace

    Pour mesurer une distance l'chelle du laboratoire, nous utilisons unergle gradue (en pouce, pied, cm, m, ...). Sachant mesurer des inter-valles de longueur, on peut ensuite dfinir la notion de droite entre deuxpoints : c'est la courbe de longueur minimale. Nous pouvons galement me-surer l'angle entre deux droites. Il est alors ais de vrifier que la gomtrieeuclidienne dcrit correctement la portion d'espace au niveau du laboratoire :la somme des angles d'un triangle est 180, la circonfrence d'un cercle estproportionnelle au rayon, le thorme de Pythagore est vrifi.

    Espaceeuclidien

    Pour mesurer les distances qui ne sont pas accessibles avec la rgle, on faitl'hypothse que l'espace physique, vide de matire et de rayonnement,est un espace euclidien, et que la lumire se propage en ligne droite.

    GAUSS Carl FriedrichAstronome, physicien,

    mathmaticienallemand

    1777-1825

    Les mthodes de triangulation permettent alors de calculer les distances etde tester la validit de cette hypothse. Par exemple, on peut considrer le tri-angle dfini par les positions de la Terre six mois d'intervalle et d'une toilefixe lointaine (figure 3.20) et vrifier si la somme des angles est 180 (m-thode suggre puis utilise par Gauss vers 1820). De mme, on peut vrifiers'il est possible de reproduire l'chelle du laboratoire un modle rduit den'importe quelle portion de l'Univers (argument d E. Kant [4]) : si les as-tronomes mettaient en vidence l'existence de cinq toiles quidistantes, nousserions incapables de construire un modle l'chelle et nous serions forcsde conclure que l'espace physique n'est pas euclidien. Les mesures astrono-miques effectues jusqu' des distances de plusieurs millions d'anne-lumirene fournissent aucune raison de mettre en doute la structure euclidienne del'espace. Pour mesurer des distances des chelles microscopiques, diversesmthodes ont t labores et sont discutes par exemple dans le chapitre 5 dulivre de Feynmann [5] : l'espace apparat euclidien jusqu' des distances de10-15 m.

    Horloge etmouvementpriodique

    KANT EmmanuelPhilosophe allemand

    1724-1804

    1.5.3 Intervalle de temps

    Pour mesurer l'intervalle de temps entre deux vnements, on utilise une horloge ; c'est un appareil qui associe tout vnement la position d'une aiguille en mouvement. Mais comment graduer un tel appareil ? A priori,n'importe quelle graduation peut tre utilise. On choisira par consquent unechelle telle que les lois de la physique soient les plus simples et la conditiond'homognit du temps satisfaite sous la forme suivante : si l'tat du systme(suppos isol) l'instant ^ est identique l'tat du systme l'instant palors pour tout At, l'tat l'instant ^ + At sera identique l'tat l'instant() + At. Ainsi, n'importe quel systme effectuant un cycle peut tre utiliscomme chelle de temps et l'on dfinira l'horloge au moyen de phnomnespriodiques. Pour s'assurer de la priodicit d'un mouvement, on le compare d'autres mouvements supposs galement priodiques et, en cas de dsaccord,il faudra dcider lesquels sont effectivement priodiques.

  • Par exemple, en supposant que le mouvement de rotation de la Terre autourde l'axe des ples est uniforme, on dfinit le jour solaire et le jour sidral( 9.7.4). On s'aperoit alors que ces deux units prsentent des variationspouvant aller jusqu' 25 s par jour au cours de 1 ' anne. Comme il est possibled'expliquer la variation du jour solaire partir de la deuxime loi de Kepler,et du fait que la distance Terre-Soleil varie de 1,7% au cours de l'anne,on choisira le jour sidral comme unit. Avec cette unit, on observe ensuiteque le mouvement de la Terre autour du Soleil n'est pas priodique : soitle mouvement de la Terre autour du Soleil s'acclre, soit le mouvement derotation de la Terre autour de l'axe des ples ralentit. Comme il est possibled'expliquer le ralentissement de la rotation de la Terre par le phnomnedes mares, alors qu'une acclration du mouvement de la Terre autour duSoleil serait en dsaccord avec la loi fondamentale de la gravitation, on dfinitl'chelle de temps parle mouvement de la Terre autour du Soleil : c'est le tempsdes phmrides, introduit en 1956. Cette hypothse fut ensuite confirmepar l'introduction du temps atomique dfini en 1967 au moyen des horlogesatomiques, dont le principe est bas sur le fait que les atomes excits mettentdes ondes de frquence constante.

    Jour sidral ou joursolaire

    MAXWELL JamesClerkPhysicien cossais1831-1879

    1.5.4 Espace et temps ou espace-temps : physique non relativisteet relativiste

    Pour laborer la mcanique. Newton [6] admet qu'il existe un espace ab-solu, sans relation aux choses externes, toujours similaire et immobile et un temps absolu, vrai et mathmatique, sans relation avec l'extrieur, qui couleuniformment et s'appelle dure . En particulier, il admet que l'intervalle detemps At et l'intervalle de longueur Ai entre deux vnements simultans,sont des invariants, c'est--dire des grandeurs qui ne dpendent pas de l'ob-servateur. Cependant, la mcanique newtonienne tait incapable de mettre envidence cet espace et ce temps absolus.

    Au XIXe sicle, l'tude de l'lectromagntisme culmine avec les travaux deMaxwell, mais soulve galement un grand nombre de questions. Par exemple,les quations de Maxwell font apparatre la vitesse de la lumire c et l'on admetque c'est la vitesse par rapport un rfrentiel privilgi attach l'ther ,milieu hypothtique dans lequel se propagent les ondes lectromagntiques.Les expriences de Fizeau, vers 1850, ayant montr que l'ther n'est pasentran par l'observateur, il devait tre possible de mettre en vidence lemouvement de l'observateur par rapport l'ther ( 21.1.1). Cependant, lesexpriences de Michelson et Morley (1881 ; 1887) qui auraient d mettre envidence le mouvement de la Terre par rapport l'ther se sont soldes par unchec.

    De plus, la fin du XIXe sicle, on se rend compte que les lois de la m-canique d'une part et de l'lectromagntisme d'autre part ne s'inscrivent pasdans le mme cadre spatio-temporel : les transformations de Galile ( 9.4.1),associes aux changements d'observateurs en translation uniforme les uns parrapport aux autres, laissent les quations de Newton invariantes, mais pas les

    InvariantsnewtoniensAt, Ai

    Difficults avec lesconcepts relativistes

    MICHELSON AlbertPhysicien amricain1852-1931Prix Nobel 1907

  • Buts et mthodes de la physique

    MINKOWSKI HermannMathmaticien

    allemand1864-1909

    Invariantsrelativistes, c et

    As2 = c'At2 Ai1

    EINSTEIN Albert1879-1955

    Prix Nobel 1921Photo de 1900

    quations de Maxwell. On introduit alors de nouvelles transformations, appe-les transformations de Lorentz ( 21.3.2), dans lesquelles les coordonnesd'espace et de temps sont simultanment modifies de manire ce que lavitesse de la lumire soit la mme dans tous les rfrentiels d'inertie, ce qui per-mettait d'expliquer le rsultat des expriences de Michelson et Morley. Mais lasignification physique de cette transformation n'tait pas comprise.

    En 1905, Einstein introduit le postulat que la vitesse de la lumire dansle vide est une constante universelle et arrive la conclusion que le conceptde simultanit n'est pas un concept absolu. De plus, ce postulat l'oblige rejeter galement les concepts newtoniens de temps et d'espace absoluset leur substituer celui d'espace-temps. Lors d'une confrence Cologneen 1908, Minkowski s'exprime dans les termes suivants : Messieurs, lesides d'espace et de temps que je voudrais vous prsenter ont germ dansle sol de la physique exprimentale et c 'est de l qu 'elles tirent leur force.Elles sont radicales. Dsormais, l'espace en soi et le temps en soi sont desnotions condamnes prir et ce n'est qu'une sorte d'union des deux quirestera une ralit autonome. Dans cette nouvelle approche de l'espace-temps, l'intervalle de temps At et l'intervalle de longueur AU, dpendent del'observateur, mais la vitesse de la lumire c et la grandeur As1 = clAt^ Ai2sont invariants.

    Le postulat sur la vitesse de la lumire et les prdictions de la thoried'Einstein furent brillammant confirms. Par exemple, en 1964, on a observque la vitesse de la lumire mise par des particules lmentaires 71- ayantune vitesse de 0,99975 c tait gale c, indpendamment de la directiond'mission, avec une prcision relative de 10~4 [7]. On a galement observque la dure de vie de muons de vitesse 0, 9994 c tait 30 fois plus longue quela dure de vie de muons immobiles [8].

    Mentionnons encore l'exprience ralise en 1971 avec deux horlogesatomiques transportes en avion autour du monde, l'une dans la direction Est-Ouest, l'autre dans la direction Ouest-Est [9]. Bien que les horloges fussentsynchronises au dpart avec celle de l'observatoire terrestre, elles n'indi-quaient pas la mme heure l'arrive, celle se dplaant vers l'Ouest avanaitde 273 10~9 s, celle se dplaant vers l'Est retardait de 59 10~9 s, en accordavec les prdictions thoriques.

    Thorie nonrelativiste ou

    relativiste

    En conclusion, une thorie sera dite non relativiste ou relativiste selonqu'elle considre | At |2 et At1, ou c2 et As2, comme des invariants parrapport aux changements d'observateurs.

    Pour terminer cette discussion sur l'unification des concepts d'espace et detemps, nous nous devons d'insister sur le fait qu'il serait faux d'affirmer quel'espace et le temps ont des qualits identiques. En particulier, il sera toujourspossible de dfinir le pass et le futur d'un vnement ( 21.5.1) et cettedistinction introduit une dissymtrie entre l'espace et le temps [10].

    18

  • Espace-temps et volution temporelle

    1.5.5 Evolution temporelle

    Le concept de temps est reli deux notions diffrentes dj reconnuespar Newton :

    la notion d'intervalle de temps entre deux vnements, grandeur mesure parune horloge, analogue la notion d'intervalle de longueur;

    la notion de succession dans l'ordre des vnements, lie la notion decausalit, associe l'image d'un temps qui s'coule uniformment et quidcrit l'volution temporelle.

    Au cours de l'volution temporelle, l'tat du systme se modifie. Cettevolution peut tre reprsente par une courbe dans l'espace des tats, courbequi sera paramtrise par un paramtre arbitraire r. Dsignons alors par p(r)l'tat l'instant T ; l'volution temporelle d'une observable A sera dfinie parla fonction a(r) = qui reprsente la valeur de A l'instant r.Nous aurons en particulier pour les observables temps , position , et quantit de mouvement d'un point matriel,

    f ( r ) =

  • Espace des tats Espace de phase tendu

    Fig. 1.6 volution temporelle du point matriel.

    Dans le cadre des thories non relativistes o le temps est universel, le para-mtre utilis pour dcrire l'volution est le temps lui-mme et l'on introduitl'espace des tats un instant t donn ou tats instantans. Dans ce cas,l'volution est dfinie par une famille deux paramtres de transformationssur l'espace des tats instantans : 7, , p reprsente l'tat l'instant ^ si lesystme est dans l'tat p l'instant ^. Nous avons alors pour tout tat p

    T,,.P=P et 7^(7^p)=7^. (1.13)Homognit L'homognit du temps pour les systmes isols s'exprime par la condition

    du tempsT^-

    T^ (L14)

    Evolution nonrelativiste

    Dans une thorie non relativiste, l'volution temporelle d'un systmeisol est dcrite par un groupe un paramtre de transformations surl'espace des tats instantans : T,p reprsente l'tat du systme l'instant/o + < si le systme est dans l'tat p l'instant ty et

    T. o T. = T.t,+t, (1.15)

    II nous faut insister sur le fait que le dterminisme laplacien affirme quel'tat l'instant fg dtermine aussi bien l'tat dans le futur t > ?n que dansle pass t < ty. Au contraire, en thermodynamique, les quations d'volutionpermettent uniquement de dfinir l'tat dans le futur et, dans ce cas, on parlede dterminisme dans le futur .

  • Thories classiques non relativistes

    1.6 THEORIES CLASSIQUES NON RELATIVISTES

    Nous avons vu que dans les thories classiques, un tat pur associe touteobservable A un nombre rel a qui est la valeur numrique de A. L'expriencemontre qu'il n'est pas possible de prparer le systme de manire telle quetoutes les observables aient une valeur arbitraire choisie d'avance : ayant fixun certain nombre de grandeurs, les autres sont univoquement dtermines.Le problme sera alors de trouver un ensemble d'observables qui soit maxi-mal, en ce sens que les valeurs de ces observables dterminent univoquementla valeur de toutes les autres observables du systme. Un tel ensemble d'obser-vables constitue un ensemble de variables que nous noterons Xg, X, , ..., X,, Variableso XQ est l'observable temps . Par exemple, dans le cas d'un point matriel,on pourra choisir comme variables les coordonnes cartsiennes (x, y , z), d-finissant la position du point matriel, et les trois composantes de la vitesse(x, y , z). En gnral, on choisira un ensemble de variables indpendantesc'est--dire que la valeur de ces variables peut tre arbitrairement choisie. Si lesvariables choisies ne sont pas indpendantes, on dit qu'il existe des contraintesliant ces variables (par exemple x2 + y2 + z2 = f . 2 , dans le cas du pendule delongueur t constante).

    Ayant fait un choix de variables, chaque observable A est reprsente parune fonction a = a ( t , x ^ , ..., x^), exprimant la valeur de A lorsque lesvariables ont la valeur ( t , x ^ , ..., x^). Par exemple, l'nergie cintique T dupoint matriel ci-dessus est reprsente par la fonction T = },m(x1 + y1 + z2).

    Nous arrivons ainsi la conclusion que tout tat pur peut tre reprsent par(n +1) nombres rels (r ,- p ..., x^} : l'espace des tats purs est un sous-espacer" de R"'1'1. Dans les thories non relativistes, o le temps est le paramtredcrivant l'volution, l'tat pur instantan est reprsent par un point de R". Lesous-espace r de R" dcrivant l'ensemble des tats purs instantans est appel Espaceespace de phase, tandis que r0 est appel espace de phase tendu, de phase

    II faut insister sur le fait que le choix des variables est arbitraire et, selonce choix, la mme grandeur sera reprsente par diffrentes fonctions. Dansl'exemple du point matriel, si l'on choisit comme variables les coordonnessphriques (r, 0, i f ) dfinies au paragraphe 4.2.2 et leur drive temporelle(r , 0, y), alors la grandeur nergie cintique T est maintenant reprsente parla fonction

    T = ^ m(r2 + r2^2 + r2 sin2 (p2).

    Cependant, les prdictions doivent tre indpendantes du choix des variableset, dans certains cas, on s'efforcera de formuler la thorie d'une manire qui nedpende pas explicitement de ce choix (par exemple un vecteur peut tre dfiniindpendamment du choix des coordonnes).

    Dans une thorie classique non relativiste, l'volution du systme seraconnue ds que l'on connat l'volution des variables, c'est--dire les fonctionsx,(t), exprimant la valeur de X; l'instant t, i = 1, 2, ..., n. On peut montrer

    Principed'objectivit

    volutionclassiquenon relativiste

    21

  • [11], qu'il suit des proprits de l'volution temporelle que les fonctions x;()sont solutions d'un systme d'quations diffrentielles (chap. 7)

    dx^~dt =f , ( t , x , , ...,x,,)

    (1.16)d^dt

    Inversement, la donne des fonctions /;(r,;Cp ..., x^) et des conditions ini-tiales Xj(t=0)=x dfinit univoquement l'volution temporelle. L'homog-nit du temps s'exprime par le fait que les fonctions ^ ne dpendent pasexplicitement du temps.

    En conclusion, le but de la physique classique sera de trouver les fonctionsa = a (t, x p ..., x^ ) exprimant la relation entre observables et variables etles fonctions ^ (t,x^, ..., x^) dfinissant l'volution.

    1.7 MCANIQUE

    Systmesmcaniques

    But de la mcanique

    1.7.1 Objet de la mcaniqueLa mcanique est l'tude du mouvement - et du repos - de systmes mat-

    riels caractriss par des observables spatio-temporelles. De faon plus prcise,les systmes mcaniques seront dfinis par un ensemble fini ou infini de pointsmatriels soumis des forces appliques supposes connues, ainsi qu' desforces de liaison (inconnues). Il est intressant de relever ici la dmarche suiviepar Newton qui, en partant de l'observation des corps, est arriv au modle dupoint matriel, pour ensuite concevoir ces mmes corps, non plus comme despoints, mais comme forms d'un ensemble de points matriels. Remarquonsaussi que la notion de point n'est pas prise au sens du mathmaticien, maisau sens du physicien : c'est un systme dont les tats purs sont dfinis par 7paramtres correspondant au temps t, la position x et la quantit de mou-vement/. Ce concept de point matriel pourra tre appliqu des objets aussigrands que la Terre, le Soleil ou la Galaxie, mais ne pourra pas s'appliquer laboule sur la table de billard.

    Le but de la mcanique, tel qu'il est prsent par Newton dans la prfacedes Principia, comporte deux aspects : trouver les forces qu'emploiela Nature, par les Phnomnes du mouvement que nous connaissons, etdmontrer ensuite, par l, les autres Phnomnes .

    Les systmes que nous considrons dans ce livre sont caractriss par desordres de grandeur qui sont ceux du laboratoire (jusqu'aux dimensions dusystme solaire). Cependant, la thorie que nous allons dvelopper possde

    22

  • diffrents prolongements qui seront ncessaires pour tudier les systmes auniveau de l'atome, au niveau de l'univers, et des vitesses proches de celle dela lumire (fig. 1.7). De plus, la mcanique classique est la base pour tudierdes systmes plus complexes (fluides, corps dformables) et pour comprendrel'origine microscopique de la thermodynamique (mcanique statistique, tho-rie cintique). En fait, les ides, rsultats et mthodes de la mcanique vont seretrouver dans presque tous les domaines de la physique.

    vitesse1 ?| Mcanique gB Quantitative g Relativiste

    ? l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l i r i l l l

    J Mcanique |1 Quantitative B

    McaniqueClassiqueRelativiste

    l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l

    MCANIQUECLASSIQUE

    s Cosmologie| Relativiste

    l l l l l l l | l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l

    | Cosmologie1-15 -2010 10-1 dimension mtre 10

    Fig. 1.7 Place de la mcanique classique.

    1.7.2 Dveloppements historique de la mcaniqueLe dveloppement de la mcanique s'est effectu en trois tapes. Cette tude

    commence avec Aristote (384-322 av. J.-C.) et Archimde (287-212 av. J.-C.)pour se poursuivre de manire qualitative jusqu' Galile (1564-1642), Ke-pler ( 1571 -1636), et Huygens ( 1629-1695). Avec Newton ( 1642-1727), on voitapparatre une tape quantitative, tape poursuivie par Euler ( 1707-1783), La-grange (1736-1813), Laplace (1749-1827), Jacobi (1804-1851) et Hamilton(1805-1865). A la fin du XIXe sicle, confront l'impossibilit de rsoudre leproblme 3 corps, et la difficult d'expliquer l'apparition du hasard partird'quations purement dterministes, Poincar (1854-1912) revient une des-cription qualitative. Cette description cherche obtenir des rsultats gnrauxsur l'volution sans connatre la solution des quations du mouvement (1.16);elle se poursuivra jusqu' aujourd'hui, en particulier avec les travaux de Kol-mogoroff ( 1903-), Moser ( 1928-) et Arnold ( 1937-).

    1.7.3 Marche suivre pour la rsolution des problmesLes problmes tudis en mcanique appartiennent l'un des trois groupes

    suivants : Exprimental. On connat l'volution temporelle du systme et l'on dsire

    trouver les forces responsables du mouvement. Thorique. On connat les forces et l'tat un instant initial, et l'on dsire

    trouver l'volution temporelle. Problmes avec contraintes. On connat une partie des forces et certaines

    informations sur l'volution (par exemple la trajectoire). On dsire alorstrouver l'volution temporelle et les forces inconnues.

  • Buts et mthodes de la physique

    L'exprience de l'enseignement montre qu'il est ncessaire d'tre systma-tique dans la rsolution des problmes et nous engageons le lecteur adopterle schma suivant,... aprs avoir lu la donne du problme.

    Description1. Dfinir le ou les systmes tudis ; faire un dessin.2. Choisir un rfrentiel.3. Dfinir les contraintes.4. Dessiner les forces.5. Choisir les variables (= coordonnes).

    Rsolution6. Choisir les lois applicables.7. Exprimer les grandeurs intervenant dans les lois et les contraintes

    au moyen des variables choisies.8. crire les quations du mouvement.9. tude qualitative, puis explicite (si possible) des solutions.

    Interprtation10. Discussion des rsultats ; regarder des cas particuliers trs simples

    titre de contrle.

    1.8 PROBLEMES

    Histogramme

    Relationd'incertitude

    1.8.1 En rptant la mesure de la longueur L d'un pendule, on a obtenu lesrsultats suivants (en mtres) :

    1,500; 1,502; 1,503; 1,502; 1,504; 1,502; 1,502; 1,501; 1,499;1,501; 1,502; 1,503; 1,502; 1,501; 1,504; 1,502; 1,501; 1,502;1,504; 1,501.

    Dessiner l'histogramme des rsultats. Calculer la moyenne et l'cartquadratique moyen AL. Estimer la distribution de probabilit de la longueur.

    En admettant que la priode T des oscillations du pendule est relie salongueur par la formule T = I n ^ / L / g (g = 9,81 ms~2), valuer la moyenne et l'cart quadratique moyen AT de la priode du pendule.1.8.2 En utilisant la relation d'incertitude (1.9) et les valeurs numriques dela section 3.3 : valuer l'incertitude minimale Av sur la mesure de la vitesse d'un proton

    dont la position est connue avec une incertitude Ax de 1 fermi(= lO'^m); mme question pour un atome d'hydrogne dont la position est localise

    avec une incertitude de 1 ngstrm (= lO"10 m) ;24

  • Problmes

    mme question pour une cellule (m = 10~'2 kg) dont la position estlocalise avec une incertitude de 1 micron (= lO"6 m).

    1.8.3 Dans un univers unidimensionnel, un roi demande ses gomtres Espace euclidien oude mesurer les distances entre trois plantes. Les gomtres reviennent en "o"affirmant que les plantes sont quidistantes les unes des autres.1. Est-ce que le roi peut construire dans son palais un modle rduit de l'uni-

    vers?

    2. Est-ce que le roi peut faire confiance aux gomtres '

    1.8.4 La dure de vie d'un 3r immobile est r = 0,87- ICT16 s. Quelle Temps relativistesera la distance parcourue par un JI de vitesse v = 0,9999e, si l'on admetl'hypothse de Newton (temps absolu) ?

    La thorie d'Einstein (chap. 21) prdit que la dure de vie d'un n devitesse v est r/^l i^/c2. Quelle sera la dure de vie du 7r (de vitessev = 0, 9999e), et quelle sera la distance parcourue, si l'on admet la thoried'Einstein?

    1.8.5 Vrifier que l'volution temporelle dfinie sur l'espace de phase R6, volutionassoci aux variables temporelle :

    balistique(x,p) = ( x ^ x ^ X y , /7|, p^, p y )

    par la transformation

    /x^\ x(t)=x(o>+-p(o)t+{gt21 1" 1 m

    V^V \p{t)=pw+mgt^: LO) - ,, m z" C.^)

    o m et g sont des constantes, satisfait la proprit de groupe :

    ^O-1 ; ^o( r, =(>^,

    Trouver le systme d'quations diffrentielles (1.16) associ cette volu-tion (qui dcrit la chute libre d'un corps la surface de la Terre).1.8.6 Reprendre le problme 1.8.5 avec l'volution temporelle dfinie par volutionla transformation temporelle :

    ressort/ D'0' \

    /.c*0^ | x(t) = -c^ cos wt + sin wt \^ L(O) M mw (L18)

    ' ' \P(0 = -mwx^ sin wt +pw cos w t /o m et w sont des constantes (c'est le mouvement oscillatoire harmonique).

  • CHAPITRE 2

    UNITES ET SIMILITUDES : UNE AUTREAPPROCHE DE LA PHYSIQUE

    2.1 SYSTMES D'UNITS ET DIMENSIONS

    2.1.1 Mesure d'une observable

    Nous avons vu qu'une observable est une grandeur qu'il est possible dedfinir et de mesurer : poids d'un corps, distance Terre-Soleil, temprature del'air, ... Ayant dfini l'observable A, la premire tape consiste choisir uneunit, note [A], et construire un appareil de mesure : l'appareil tablit unecorrespondance entre la valeur d