Mecanique Generale - Chapitre 1 - TORSEURS - Cours

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  • S O M M A I R E

    CHAPITRE I - COURS

    1.1 DIFFERENTS TYPES DE VECTEURS 1

    1.1.1 Vecteur libre , 1

    1.1.2 Vecteur glissant 1

    1.1.3 Vecteur li 1

    1.1.4 Remarque 2

    1.2 DEFINITION D'UN GLISSEUR 2

    1.3 MOMENT D'UN GLISSEUR EN UN POINT 3

    1.3.1 Dfinition 3

    1.3.2 Remarques 3

    1.3.3 Thorme 3

    1.3.4 Remarques 4

    1.3.5 Coordonnes du moment d'un glisseur 4

    1.3.6 Changement d'origine des moments 5

    1.3.7 Coordonnes d'un glisseur : thorme 5

    1.3.8 Remarques 6

    1.3.9 Exercice 7

    1.4 MOMENT D'UN GLISSEUR PAR RAPPORT A UN AXE 8

    1.4.1 Dfinition 8

    1.4.2 Thorme 8

    1.4.3 Exercice 8

    1.5 TORSEURS (OU DYNAMES) 9

    1.5.1 Dfinition 9

    1.5.2 Dfinition concernant les torseurs 10

    a) sommeb) moment en 0c) quivalence de deux torseursd) torseur nule) remarquef) exercice

    [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.

  • 1.5.3 Formule de changement de l'origine des moments 11

    1.5.4 Condition ncessaire et suffisante de l'quivalence de

    deux torseurs 11

    1.5.5 Coordonnes d'un torseur 12

    1.5.6 Invariant scalaire d'un torseur - Automoment 12

    1.5.7 Comoment de deux torseurs 12

    a) dfinitionb) le comoment est un invariant

    1.5.8 Moment par rapport un axe 14

    a) dfinitionb) thormec) exercice

    1.5.9 Torseurs spciaux J4

    a) dfinitionb) thormec) coupled) remarque

    1.5.10 Systme de vecteurs glissants particulier 16

    a) systme de vecteurs glissants concourantsb) systme de vecteurs glissants parallles

    1.5.11 Axe central d'un torseur - Rpartition 18

    a) thorme prliminaireb) axe central : thorme et dfinitionc) exercices d'applicationd) rpartition des moments autour de l'axe central

    1.5.12 Champ de moments 24

    a) dfinitionb) quiprojectivit du champ de moments : thorme de

    DELASSUS 25

    [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.

  • La thorie des torseurs a acquis une grande importance en

    mcanique par la grande clart qu'elle procure dans des problmes clas-

    siques. Elle permet de modliser de manire remarquable aussi bien les

    actions mcaniques appliques un systme que l'tat des vitesses

    d'un solide (*). Historiquement cette thorie est ne de cette profonde

    analogie (thorie de la vis de Bail). Elle donne une expression trs

    concise des thormes gnraux caractre vectoriel en dynamique. Par

    ailleurs la mcanique analytique n'chappe pas au domaine de ses appli-

    cations : la puissance virtuelle dveloppe par les actions appliques

    un solide s'exprime systmatiquement en connaissant le torseur des

    actions mcaniques et celui des vitesses virtuelles.

    Cette importance justifie l'tude systmatique qui est faite

    en prambule au cours de mcanique gnrale.

    (*) La couverture reprsente la formulation du torseur arodynamique

    et du torseur des vitesses pour un vhicule automobile.

    [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.

  • -1 -I.I DIFFERENTS TYPES DE VECTEURS - ASPECT PHYSIQUE

    Suivant la nature des grandeurs physiques qui peuvent trereprsentes par des vecteurs, ceux-ci peuvent tre divises en troiscatgories :

    - vecteurs libres- vecteurs glissants- vecteurs lis

    1.1.1 Vecteur libre :

    Supposons qu 'une grandeur physique puisse tre

    /

    reprsente par un vecteur li; mais que tout vecteurli quipollent reprsente la mme grandeur. On dit

    / . alors que cette grandeur est reprsentable mathmati-quement par un vecteur libre.

    Exemple : en mcanique nous verrons qu'un systme der force de somme nulle, encore appel couple> est un

    vecteur libre.

    Remarque : on dit que les vecteurs ne sont pas loca-Fig 1.1 lises.

    1.1.2 Vecteurs glissants :

    Supposons qu'une grandeur physique puisse se reprsenter par unvecteur li* mais qu'en outre tout vecteur li ayant mme support repr-sente la mme grandeur. On dit que cette grandeur est reprsentable math-matiquement par un vecteur glissant.

    Exemple : En mcanique du solide indformable, les forces sont mathmati-quement des vecteurs glissants. Sur la Fig 2, l'quilibre du cadre est lemme que la force F soit applique en A ou en B condition de supposerle cadre rigide.

    Remarque : on dit encore que chacun des vecteurs considr reprsentatifde cette grandeur est localis sur une droite.

    1.1.3. Vecteurs lies

    Supposons qu'une grandeur soit reprsentable mathmatiquementpar un vecteur li mais que tout autre vecteur li reprsente une grandeurdiffrente. On dit que cette grandeur physique est reprsentable mathma-tiquement par un vecteur li.

    [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.

  • -2~

    Exemple: forces appliques un solide dformble. Suivant que le pointd'application se trouve en A ou en B, la dformation du cadre est diff-rente.

    Fig 1.3

    1.1.4 Remarque

    a/ le nombre de paramtres ncessaires la reprsentation de cestrois types de vecteurs est diffrent.

    La description :

    -d'un vecteur li ncessite 6 scalaires- d'un vecteur glissant " 5 scalaires- d'un vecteur libre ff 3 scalaires

    b/ en gnral, il est convenu de noter

    - un vecteur li : [ABj

    - un vecteur glissant : (AB)

    - un vecteur libre : AB

    1.2 DEFINITION D'UN GLISSEUR

    Soit [AB] un vecteur li. Sur la droite (D) support de [AB] onpeut dfinir un ensemble de vecteurs lis quipollents [B]. (Voir Fig 4).C'est ce qu'on appelle un glissew?

    [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.

  • 3-Si [BJ est un reprsentant d'un glisseur, on dsigne le vecteur glissantpar (5E). On pourra ainsi dire que ce vecteur glissant est constitu parl'association d'une droite (D) et d'un vecteur libre v = B- On peut noter

    (B) - {

  • - 4 -

    Soit [A'B] un autre reprsentant du glisseur (Fig 5)

    M(Q) OAf A A7!' - (OA + AAf) A A7!'

    5X A A7?1 + AA1 A A'B'

    Mais A1 A 7^1 0 . (A' et A7?1 colinaires)

    De plus AB A'B1 (dfinition du glisseur)

    II vient donc :

    M(Q) = 5' A A7?1 = A A AB (1.4)

    1*3.4 Remarques

    a/ Par ce thorme, on voit que le moment en un point est bien uneproprit caractristique d'un glisseur ; on peut prendre n'importe quelpoint A sur (D) pour calculer le moment.

    b/ On aurait naturellement pu dfinir le moment d'un vecteur li.D'ailleurs pour dfinir le vecteur moment d'un glisseur nous en avons prisun reprsentant qui est un vecteur li. Cependant si on avait fait cettedfinition on aurait pu noncer immdiatement le thorme suivant :

    Tous les vecteurs lis quipollents et ayant mme support ontmme moment en un point.

    1.3.5. Coordonnes du moment d'un glisseur

    Soit un repre orthonorm direct R et un point P de ce repre.Considrons un glisseur (2)

    [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.

  • - 5 -

    ou encore^ Ryo - 7)Z - (z0 - z)YM,pv = (z0 - z)X - (*o - x)Z (1.5)W [(x0 - x)Y - (y0 - y)XJR

    1.3.6 Changement de l'origine des moments

    Soit un glisseur (AB) et deux points quelconques 0 et Of. Cher-chons la relation qui existe entre M/Q\ et M/0t\

    Par dfinition

    M(Q) m A (1.7)

    et aussiS(Q|) = 0*1 A AB (1.8)

    L'quation (1.8) peut encore s'crire

    M ( Q f ) = f* 5)A AB

    - Cf A B + OA A B

    En utilisant (1.7) on obtient finalement la formule du ohangement del'origine des moments

    M(()f) ~ M(Q) -H O7^ A B (1.9)

    1.3.7 Coordonnes d'un glisseur ; Thorme :

    a/ Enonc :

    Etant donn un vecteur libre U ? 0, un point 0 et un vecteur li

    d5 d'origine (7, tel que .OG - 0* il existe un glisseur et un seul dont

    le vecteur libre soit U et dont le moment en 0 soit G.

    U et OG sont appels "coordonnes vectorielles" du glisseur. Lescoordonnes de ces vecteurs sont appeles "coordonnes scalaires" du glisse

    b/ Dmonstration :

    Soit un point A appartenant au glisseur cherch. On a

    G * -QA A U (1.10)

    Cette quation, appele quation de la division vectorielle, n'est possibleque si OG.U - 0. Ceci justifie la restriction pose dans l'nonc.

    L'quation (10) ayant pour inconnue OA ne possde pas de solutionunique. En effet, supposons que QAi et 0 2 soient solutions de (1.10). Onpeut alors crire

    G = A! A U

    5 = OA2 A U

    Ce qui par soustraction nous donne U A (Ax - A2) 0

    [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.

  • -6-Ceci se comprend aisment, le moment tant perpendiculaire au vecteur libredu vecteur glissant, [OGJ ne peut reprsenter le moment que s'il est perpen-diculaire U.

    Multiplions vectoriellement les deux membres de la relation vectorielle par _ + ^ ^ ^

    (OG A U ) (OA A U) A U .

    = U . ( . U)'- OA (U)2

    Cherchons la solution particulire correspondant A tel que OA .U 0.A* est le pied de la perpendiculaire abaisse de 0 sur l'axe du glisseurcherch. On a

    -? - i i (i.i2)/

    (Un point A quelconque est dtermin par-> yff ->.

    OA = OA + XU (1.13)

    Le point A est unique. Tous les points rpondant la question sont sur uneparallle mene par A* U. C'est l'axe du glisseur (le produit vectorielU A OG dtermine un vecteur et un seul).

    1.3.8 Remarques

    a/ Remarque 1

    A un glisseur on peut faire correspondre deux vecteurs U et [pQf .Rciproquement deux vecteurs U et [OG] on peut faire correspondre un glis-seur et un seul. C'est pourquoi on peut vraiment parler de coordonnes d'unglisseur.

    b/ Remarque 2

    Si l'on avait dfini le moment d'un vecteur li on aurait pu luiassocier deux vecteurs j et [GJ

    Mais rciproquement deux vecteurs U et [G] tels que U.G 0on peut faire correspondre une infinit de vecteurs lis qui seraient tousquipollents et de mme support.

    Autrement dit, on n'aurait pas pu avoir une correspondance biuni-voque.

    c/ Rem