Mecanique Generale - Chapitre 1 - TORSEURS - Cours

S O M M A I R E

CHAPITRE I - COURS

1.1 DIFFERENTS TYPES DE VECTEURS 1

1.1.1 Vecteur libre , 1

1.1.2 Vecteur glissant 1

1.1.3 Vecteur li 1

1.1.4 Remarque 2

1.2 DEFINITION D'UN GLISSEUR 2

1.3 MOMENT D'UN GLISSEUR EN UN POINT 3

1.3.1 Dfinition 3

1.3.2 Remarques 3

1.3.3 Thorme 3

1.3.4 Remarques 4

1.3.5 Coordonnes du moment d'un glisseur 4

1.3.6 Changement d'origine des moments 5

1.3.7 Coordonnes d'un glisseur : thorme 5

1.3.8 Remarques 6

1.3.9 Exercice 7

1.4 MOMENT D'UN GLISSEUR PAR RAPPORT A UN AXE 8

1.4.1 Dfinition 8

1.4.2 Thorme 8

1.4.3 Exercice 8

1.5 TORSEURS (OU DYNAMES) 9

1.5.1 Dfinition 9

1.5.2 Dfinition concernant les torseurs 10

a) sommeb) moment en 0c) quivalence de deux torseursd) torseur nule) remarquef) exercice

[JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.

1.5.3 Formule de changement de l'origine des moments 11

1.5.4 Condition ncessaire et suffisante de l'quivalence de

deux torseurs 11

1.5.5 Coordonnes d'un torseur 12

1.5.6 Invariant scalaire d'un torseur - Automoment 12

1.5.7 Comoment de deux torseurs 12

a) dfinitionb) le comoment est un invariant

1.5.8 Moment par rapport un axe 14

a) dfinitionb) thormec) exercice

1.5.9 Torseurs spciaux J4

a) dfinitionb) thormec) coupled) remarque

1.5.10 Systme de vecteurs glissants particulier 16

a) systme de vecteurs glissants concourantsb) systme de vecteurs glissants parallles

1.5.11 Axe central d'un torseur - Rpartition 18

a) thorme prliminaireb) axe central : thorme et dfinitionc) exercices d'applicationd) rpartition des moments autour de l'axe central

1.5.12 Champ de moments 24

a) dfinitionb) quiprojectivit du champ de moments : thorme de

DELASSUS 25


La thorie des torseurs a acquis une grande importance en

mcanique par la grande clart qu'elle procure dans des problmes clas-

siques. Elle permet de modliser de manire remarquable aussi bien les

actions mcaniques appliques un systme que l'tat des vitesses

d'un solide (*). Historiquement cette thorie est ne de cette profonde

analogie (thorie de la vis de Bail). Elle donne une expression trs

concise des thormes gnraux caractre vectoriel en dynamique. Par

ailleurs la mcanique analytique n'chappe pas au domaine de ses appli-

cations : la puissance virtuelle dveloppe par les actions appliques

un solide s'exprime systmatiquement en connaissant le torseur des

actions mcaniques et celui des vitesses virtuelles.

Cette importance justifie l'tude systmatique qui est faite

en prambule au cours de mcanique gnrale.

(*) La couverture reprsente la formulation du torseur arodynamique

et du torseur des vitesses pour un vhicule automobile.


-1 -I.I DIFFERENTS TYPES DE VECTEURS - ASPECT PHYSIQUE

Suivant la nature des grandeurs physiques qui peuvent trereprsentes par des vecteurs, ceux-ci peuvent tre divises en troiscatgories :

- vecteurs libres- vecteurs glissants- vecteurs lis

1.1.1 Vecteur libre :

Supposons qu 'une grandeur physique puisse tre

/

reprsente par un vecteur li; mais que tout vecteurli quipollent reprsente la mme grandeur. On dit

/ . alors que cette grandeur est reprsentable mathmati-quement par un vecteur libre.

Exemple : en mcanique nous verrons qu'un systme der force de somme nulle, encore appel couple> est un

vecteur libre.

Remarque : on dit que les vecteurs ne sont pas loca-Fig 1.1 lises.

1.1.2 Vecteurs glissants :

Supposons qu'une grandeur physique puisse se reprsenter par unvecteur li* mais qu'en outre tout vecteur li ayant mme support repr-sente la mme grandeur. On dit que cette grandeur est reprsentable math-matiquement par un vecteur glissant.

Exemple : En mcanique du solide indformable, les forces sont mathmati-quement des vecteurs glissants. Sur la Fig 2, l'quilibre du cadre est lemme que la force F soit applique en A ou en B condition de supposerle cadre rigide.

Remarque : on dit encore que chacun des vecteurs considr reprsentatifde cette grandeur est localis sur une droite.

1.1.3. Vecteurs lies

Supposons qu'une grandeur soit reprsentable mathmatiquementpar un vecteur li mais que tout autre vecteur li reprsente une grandeurdiffrente. On dit que cette grandeur physique est reprsentable mathma-tiquement par un vecteur li.


-2~

Exemple: forces appliques un solide dformble. Suivant que le pointd'application se trouve en A ou en B, la dformation du cadre est diff-rente.

Fig 1.3

1.1.4 Remarque

a/ le nombre de paramtres ncessaires la reprsentation de cestrois types de vecteurs est diffrent.

La description :

-d'un vecteur li ncessite 6 scalaires- d'un vecteur glissant " 5 scalaires- d'un vecteur libre ff 3 scalaires

b/ en gnral, il est convenu de noter

- un vecteur li : [ABj

- un vecteur glissant : (AB)

- un vecteur libre : AB

1.2 DEFINITION D'UN GLISSEUR

Soit [AB] un vecteur li. Sur la droite (D) support de [AB] onpeut dfinir un ensemble de vecteurs lis quipollents [B]. (Voir Fig 4).C'est ce qu'on appelle un glissew?


3-Si [BJ est un reprsentant d'un glisseur, on dsigne le vecteur glissantpar (5E). On pourra ainsi dire que ce vecteur glissant est constitu parl'association d'une droite (D) et d'un vecteur libre v = B- On peut noter

(B) - {

- 4 -

Soit [A'B] un autre reprsentant du glisseur (Fig 5)

M(Q) OAf A A7!' - (OA + AAf) A A7!'

5X A A7?1 + AA1 A A'B'

Mais A1 A 7^1 0 . (A' et A7?1 colinaires)

De plus AB A'B1 (dfinition du glisseur)

II vient donc :

M(Q) = 5' A A7?1 = A A AB (1.4)

1*3.4 Remarques

a/ Par ce thorme, on voit que le moment en un point est bien uneproprit caractristique d'un glisseur ; on peut prendre n'importe quelpoint A sur (D) pour calculer le moment.

b/ On aurait naturellement pu dfinir le moment d'un vecteur li.D'ailleurs pour dfinir le vecteur moment d'un glisseur nous en avons prisun reprsentant qui est un vecteur li. Cependant si on avait fait cettedfinition on aurait pu noncer immdiatement le thorme suivant :

Tous les vecteurs lis quipollents et ayant mme support ontmme moment en un point.

1.3.5. Coordonnes du moment d'un glisseur

Soit un repre orthonorm direct R et un point P de ce repre.Considrons un glisseur (2)


- 5 -

ou encore^ Ryo - 7)Z - (z0 - z)YM,pv = (z0 - z)X - (*o - x)Z (1.5)W [(x0 - x)Y - (y0 - y)XJR

1.3.6 Changement de l'origine des moments

Soit un glisseur (AB) et deux points quelconques 0 et Of. Cher-chons la relation qui existe entre M/Q\ et M/0t\

Par dfinition

M(Q) m A (1.7)

et aussiS(Q|) = 0*1 A AB (1.8)

L'quation (1.8) peut encore s'crire

M ( Q f ) = f* 5)A AB

- Cf A B + OA A B

En utilisant (1.7) on obtient finalement la formule du ohangement del'origine des moments

M(()f) ~ M(Q) -H O7^ A B (1.9)

1.3.7 Coordonnes d'un glisseur ; Thorme :

a/ Enonc :

Etant donn un vecteur libre U ? 0, un point 0 et un vecteur li

d5 d'origine (7, tel que .OG - 0* il existe un glisseur et un seul dont

le vecteur libre soit U et dont le moment en 0 soit G.

U et OG sont appels "coordonnes vectorielles" du glisseur. Lescoordonnes de ces vecteurs sont appeles "coordonnes scalaires" du glisse

b/ Dmonstration :

Soit un point A appartenant au glisseur cherch. On a

G * -QA A U (1.10)

Cette quation, appele quation de la division vectorielle, n'est possibleque si OG.U - 0. Ceci justifie la restriction pose dans l'nonc.

L'quation (10) ayant pour inconnue OA ne possde pas de solutionunique. En effet, supposons que QAi et 0 2 soient solutions de (1.10). Onpeut alors crire

G = A! A U

5 = OA2 A U

Ce qui par soustraction nous donne U A (Ax - A2) 0


-6-Ceci se comprend aisment, le moment tant perpendiculaire au vecteur libredu vecteur glissant, [OGJ ne peut reprsenter le moment que s'il est perpen-diculaire U.

Multiplions vectoriellement les deux membres de la relation vectorielle par _ + ^ ^ ^

(OG A U ) (OA A U) A U .

= U . ( . U)'- OA (U)2

Cherchons la solution particulire correspondant A tel que OA .U 0.A* est le pied de la perpendiculaire abaisse de 0 sur l'axe du glisseurcherch. On a

-? - i i (i.i2)/

(Un point A quelconque est dtermin par-> yff ->.

OA = OA + XU (1.13)

Le point A est unique. Tous les points rpondant la question sont sur uneparallle mene par A* U. C'est l'axe du glisseur (le produit vectorielU A OG dtermine un vecteur et un seul).

1.3.8 Remarques

a/ Remarque 1

A un glisseur on peut faire correspondre deux vecteurs U et [pQf .Rciproquement deux vecteurs U et [OG] on peut faire correspondre un glis-seur et un seul. C'est pourquoi on peut vraiment parler de coordonnes d'unglisseur.

b/ Remarque 2

Si l'on avait dfini le moment d'un vecteur li on aurait pu luiassocier deux vecteurs j et [GJ

Mais rciproquement deux vecteurs U et [G] tels que U.G 0on peut faire correspondre une infinit de vecteurs lis qui seraient tousquipollents et de mme support.

Autrement dit, on n'aurait pas pu avoir une correspondance biuni-voque.

c/ Remarque S

On peut parfaitement caractriser une droite (D) quand on connaitun vecteur glissant port par cette droite. Par consquent les coordonnespluckriennes de la droite (D) dans un repre orthonorm sont les composantesscalaires d'un glisseur quelconque ayant (D) pour support.


- 7 -

1.3*9 Remarque 2 :

On peut parfaitement caractriser une droite (D) quand on connaitun vecteur glissant port par cette droite. Par consquent les coordonnespluckviennes de la droite (D) dans un repre orthonorm sont les composantesscalaires dfun glisseur quelconque ayant (D) pour support.

Soit un repre orthonorm R d'origine 0.

+ [2] i lSoit un glisseur (V) 3 dont un reprsentant a pour origine A 0 .

f'IUp LQUConsidrons aussi Of 1 * R

LiJR1/ Calculer son moment au point 0

_^ + pi M f"VL' - OA A V = 0 * 3 - -1(0) WR L'JE bJR

2/ Calculer son moment au point O'par la dfinition

-* * F1'1! F21 f2 "M, ,. - O'A A V - 0 - 1 * 3 = -2( Lo-ilRjJR NR

3/ Retrouver le moment en Oy en utilisant la formule du changementdforigine

V) = "(o) + * f

" ol F-il fi"= -1 + -1 A 3L3jR L-iJR LdR

' F 1 F 21 F 2 "v> - v :! " 1 [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.

-8-1.4 MOMENT D'UN GLISSEUR PAR RAPPORT A UN AXE

1.4.1 Dfinition :

Soient (AB) un glisseur ayant pourreprsentant le vecteur.glissant ($),et un axe (X) de vecteur unitaire (a)

Soit 0 un point de l'axe (X) .

On appelle moment d'un glisseur parrapport un axe la projection sur cetaxe du moment par rapport un point delfaxe.

M, (A3) = (A A B).a (1.14)7(X)

1.4.2 Thorme :

Le moment par rapport un axe est indpendant du point choisisur oet axe.

Soit O1 un autre point de l'axe (X).Calculons la quantit

(T'A A B).a (1.15)

- [((O + OA) A B] .a

(C)T0 A B) .a -H (OA A B) .a

Or (O'O A AB).a 0 (produit mixte de deux vecteurs colinaires)

(7! A B).a = (OA A B) .a - M/ (35) (1.16) x

1.4.3. Exercice :

Reprenons l'exercice trait au paragraphe 1.3.10 et calculons

1/ le moment par rapport OX

M. (V) = (OA A V) .x6x H. *

= M(0)'x

roi fii"-.i . o NR W, [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.

-9-

Rsultat vident puisque V coupe l'axe OX.

2/ le moment par rapport OY

V^ = 5*?r oi [o'= - 1 . 1 = -iNR WR

3/ le moment par rapport QZ

V^ = s

-.10-1,5.2 Dfinitions concernant les torseurs :

a) on appelle somme du torseur le vecteur libre somme des vecteurslibres des diffrents vecteurs glissants

3 = l Bi : 0-18>i-1

3 - Ui + . .. + 5. + ... + t1 i n

b) on appelle moment en 0 du systme [T] le vecteur li d'origine 0somme des moments en 0 des divers glisseurs de (T)

*(0) - O i A A75T (1.19)v i=l

- o) * %o) + " %(o) + ' +\

-11 -1.5.3 Formule de changement de 1'origine des moments

Soit un torseur [l]

^ n ^ ^M(0) - Y OA. A A.B.v ' .L , i 111=1

n __vM(O') - 'l 7!. A jfT

1=1

n _ ' m .M(O') - l ('O + A) A Tlt

i=l

nY (0^0 A AJ*. >' OIT A A.B!)..f;. 11 i i i

M(0 f ) - M(0) -H ^O A S (S = l A.B!) (1.20)i=l

1.5.4 Conditions ncessaireet suffisante de lfquivalence de deux torseurs

a) condition ncessaire (analyse)

Soient deux torseurs [T] et [r1] quivalents. On a donc par hypothse

S(P) - Sf(P) pour (P)

M(P) = S(0) + P

-13-b) Le comoment est un invariant

a) Prliminaire

Le torseur form de l'ensemble des vecteurs glissants de [Tll et

[T| est appel torseur somme.

[TI] = {(AiBi), ..., (Ot), ..., (~TT)}

M' f(a i -3r ) , . . . ( a j a j > > > }

La Vsomme (S) de ce torseur est par dfinition

^ n ^ p ^S - A.B. + l a. g. -- Sx + S 2

i-.l > * j = j J J

Le moment M(0) est par dfinition

^ n ^ ^ p ^M(0) - OA. A A.B. + Oa. A o-g.

1-1 X L j-1 J J J

- Mi(0) H- Mz(0)

: Le torseur somme a pour somme la somme des sommes des torseursconstitutifs et pour moment en un point la somme des momentsdes torseurs constitutifs.

^ 2l2-.-i2-.i2YEBL1automoment du torseur [T] = [il] + [iz] est un invariant

U(0) -';($! + t2) pi(0) +S2(0)J

= SiM!(0) - ?2Mi(0) + "S CO) + 2 (0)

- -$ (0) + "2fi2(0) + .C12

S.M(O) est invariant (automoment de [YT )

SiMi(O) ( - " [Ti] )

?2S2(0) ( "' " [12] )

Ci2 diffrence de deux quantits invariantes est invariant.

c) Remarque. Comoment d'un torseur avec lui-mme.

Le comoment est

CH - 2 1i . M!(O) (1.25)

c'est dire deux fois 1!automoment


-14-1.5.8 Moment par rapport un axe

a) Dfinition

On appelle moment du torseur [l] par rapport un axe (X) la sommedes moments par rapport cet axe des diffrents glisseurs qui cons-tituent le torseur.. On note

n _^ M(X) = l (OA. A.-A ). a (1.26)

i=l

a dsignant un vecteur unitaire de l'axe

b) Thorme

Le moment par rapport un axe est la projection sur cet axe dumoment par rapport un point de l'axe.

nM(X) = l (OIT A ATIt) a

i=l

n ^ ^ _^( l OA. A A.BO ai=l l X L

M(X) = M(0) . a

c) Exercice

Montrer que le moment par rapport un axe d'un torseur est galau comoment du torseur et d'un vecteur unitaire port par l'axe.

Soit [Y] un torseur d'lments de rduction en un point 0, S etM(0). Soit (X) un axe quelconque mais passant par 0 et dfini par un vecteurglissant (a), qui peut alors tre considr comme un torseur particulier [Tx]d'lments de rduction a et S(0) = 0.

Le comoment de [f] et |jx[ est selon la dfinition (1.23) S(0).a ,ce qui nous donne bien la dfinition du moment du torseur [T] par rapport l'axe (X).

Naturellement, on peut prendre ceci comme dfinition du moment parrapport un axe.

1.5.9 Torseurs spciaux

a) Dfinition

Un torseur est dit spcial si ^ . S(0) = 0 (1.27)

b) Thorme : condition ncessaire pour qu'un torseur soit quivalent un vecteur glissant unique


-15 -Soit un torseur jjf] donn par ses coordonnes vectorielles S et

M(0) . Pour que le vecteur glissant (AB) soit quivalent [T] on doit avoircondition ncessaire et suffisante

B = "S> > -*- ->OA A AB = M(0) ce qui implique S 0

S(0) .? = 0Le torseur est spcial.

S'il en est ainsi on aura

Ot = * A * + x . (K28)S2

D'o le thorme

Pour qu'un torseur soit quivalent un vecteur glissant il fautet il suffit que

S ^ 0

"S.M(O) 0

Le vecteur glissant est unique, on a AB S et le support passe par le pointA tel que

OA* = S A S2

On dit dans ces conditions que le vecteur glissant est le reprsentantcanonique du torseur.

c) couple

a) dfinition

On appelle couple tout torseur dont la somme est nulle = 0. C'estun torseur spcial car b J(0) =0.

3) thorme

Le moment d'un couple en un point quelconque est quipollent unvecteur fixe non nul ; le vecteur libre dont il est un reprsentant est appe-l moment du couple

S(P) = (0) + P A ?

&(P) = S(0) pour V (P) (1.29)

d'o le thorme

d) Remarque

Lorsqu'un torseur est spcial il est quivalent soit un vecteurglissant unique soit un couple.


-16-1.5.10 Systme de vecteurs glissants particuliers

a) Systme, de vecteurs glissants concourants

Soit un systme de vecteurs glissants(A.B.) passant tous par un point 0

la somme est n - j, (1.3)

n ^ _^- le moment est M(0) = OA^AA.B.

i=l

Prenons un vecteur glissant (AB) passant par 0 et tel que AB = S

S = AB par hypothseon a M0(AB) = o - MO[T] (1.31)

Par suite le torseur [l] est quivalent un vecteur glissant unique passantpar 0 et tel que AB = S. Ce vecteur glissant unique est appel rsultante dutorseur. C'est le thorme de Varignon pour les vecteurs flissants concourant^(la rsultante est un vecteur glissant alors que la somme est un vecteur libre)

b) Systme de vecteurs glissants parallles

Les vecteurs glissants tant tous parallles, on peutposer

A.B. A. u (1.32)

v +- la somme est S = X. ui-1 X

- ( I V ui-1

(cette somme naturellement peut tre nulle mais cecas a dj t envisag - voir couple)

nNous prendrons donc X- ^ 0 par hypothse

i=l

- le moment estn ^

M(0) = J! OAi A xi ui=l

r ^ -) X. OA. A u1=1 L L

^ n ^M(0) = ( X^ OA ) A ui=l


- 1 7-mais comme J, X. / 0 par hypothse, on a

i=l - X 'n ^ n yI Xi OA - ( I X) OG

i=l i=l .

G tant le barycentre des points A. affects des coefficients X.. On peutdonc crire

+ S * +M(0) - ( l X.) OG A u

i=l X

- ONG A l Xi ui-1'

(0) - OG A S (1.33)

Soit maintenant un vecteur (AB) tel que AB = S et passant parG tel que

y n m ^OG = l X OAt

i=l

na , = 1 , , ' (1-34)MO(AB) = OG s M(O)

Le vecteur glissant (AB) est quivalent au torseur donn. Dfo le thormepour les vecteurs glissants parallles.

Un systme de vecteurs glissants parallles est quivalent unvecteur glissant unique de vecteur libre Sdont l'axe passe par le barycentredes ^points A- affects df un coefficient gal la mesure algbrique du vecteurA.B. sur l'axe de direction commune.

t- ls

Conclusion :

Le thorme de Varignon s'applique donc lorsque le point de concoursdes vecteurs glissants est rejet l'infini.


-18-

1.5.11 AXE CENTRAL D!UN TORSEUR ; REPARTITION

a) Thorme prliminaire :

If Enonc : *

Pour que le moment d'un torseur \T] soit constant le long d'unedroite ()* il faut et il suffit que cette droite soit parallle lasomme 5 de [r]^ (suppose diffrente de zro)

2/ Condition ncessaire

Soit (A) une droite et soient M et Ndeux points distincts sur cette droite. Ona donc

M(M) " M(N) par hypothse

On peut toujours crire $LM\ M. v + MNA

On doit donc avoir S A ? = 0

Par hypothse S ^ 0

* 0

Donc, pour que le produit vectoriel soitnul, la seule condition possible est d'avoirMN colinaire et donc (A) parallle (Fig 1.13)

3/ condition suffisante

Soit (A) une droite parallle S et__^ _^ soient M et N deux points distincts sur cette

droite. On a MN = x S . O n peut aussi crire

S(M) * (N) + * *

et donc on a bien

V) = S(N)

b) Axe central. Thorme et dfinition

Nous avons vu que tout le long d'une parallle . "S le moment d'untorseur est constant.

Nous allons chercher maintenant le lieu des points I tel queMx Tx = AS, c'est dire le lieu des points tel que le moment soit colinaire

la somme.

l/ Thorme

Si la somme S d'un torseur [T\ n'est pas nulle3 le lieu des pointsI o le moment de \T\ est colinaire S est une droite () parallle ~appele axe central.


1.10 AXE CENTRAL DyUN TORSEUR ; REPARTITION

1.10.1 Thorme prliminaire :

a/ Enonc :

Pour que le moment d'un torseur [r] soit constant le long d'unedroite ()* il faut et il suffit que cette droite soit parallle lasommet de \T\* (suppose diffrente de zro)

k/ Condition ncessaire

Soit (A) une droite et soient M et Ndeux points distincts sur cette droite. Ona donc

*V) * *V) par hypthse

On peut toujours crire M,.,,. = M / M N + MNjt (M; (N;

On doit donc avoir M A ? = 0

Par hypothse MN ^ 0

I + 0

Donc, pour que le produit vectoriel soitnul, la seule condition possible est d'avoirMN colinaire "s et donc (A) parallle (Fig 1.13)

c/ condition suffisante

Soit (A) une droite parallle S et_^ ^ soient M et M deux points distincts sur cette

droite. On a MN = x S . On peut aussi crire

S(M) = 5(N) + * S

et donc on a bien

V) ~ 2(N)

1.10.2 Axe central. Thorme et dfinition

Nous avons vu que tout le long d'une parallle 3 le moment d'untorseur est constant.

Nous allons chercher maintenant le lieu des points I tel queMyjy = XS, c'est dire le lieu des points tel que le moment soit colinaire

la somme.

a/ Thorme

Si la somme 5 d'un torseur [7] n'est pas nulle> le lieu des pointsI o le moment de [T\ est colinaire S est une droite () parallle 3appele axe central.


- 20 -

* ** S * M. vII passe par le point I tel que 01 **- (1.35)

S2

b/ dmonstration vectorielle :

D'aprs le thorme prliminaire 1.9%1 le lieu, s'il existe, estune droite parallle $f car s'il existe un point I, tous les points rpon-dant la question sont sur une droite mene par I, paralllement "$.

Cherchons donc un point I qui rpondrait la question c'est dire5d) = x*

On sait que le torseur considr r] peut tre caractris par ses lmentsde rduction s et 5/0\ supposs non nuls. On peut donc crire

S(I) - g(0) + **

A S * 5(Q) + $

Mettons cette expression sous la forme [x "" /QV] = $ A *> (1.36)

ce qui revient rsoudre cette quation vectorielle par T.

Il n'y aura existence de la solution que pour [x? - /0\J $ 0c'est dire pour .

3 tf9 (Q)X i2i (K37)S2

5.M. v automoment du torseur, invariant, \ est aussi invariant puisque S2

est aussi invariant. On l'appelle le "pas" du torseur Pi]. Nous avons djrsolu une quation telle que 1.3.6 au paragraphe 1.3./,*pour un point I*particulier tel que o* . 3 - 0 c'est dire tant la projection de 0sur la droite cherche. Selon le rsultat 1.13 on a donc

.. ..IjLffil (LU)S*

Ce point est unique.Et donc la droite (A) lieu des points I sera telle que

5 = 6* + x ? (1.39)

selon (1.11)

En conclusion, tous les points I rpondant la question sontsitus sur une parallle ? mene par I*. Cette droite est l'axe centraldu torseur [T], ayant A pour pas.

o-r - ll >S2

5l = I* + x S (1.40)

x . Lia.S2


- 21 -

c/ Dtermination analytique

Considrons un repre orthonorm direct R et soit [l] un torseurdont les lments de rduction en 0 sont 'g et &/o\ supposs non nuls telsque

- u y

L'axe central d'un torseur passe par le point I tel que Oi =(6,3,2) dans un repre R. La somme du torseur est g = (10,4,-3), le pasest positif et le module de M(I*) est de 50.

Dterminer le moment en 0 du torseur.

Le moment M, m^ a la direction de la somme gomtrique M. X?

Le pas X tant positif, le vecteur unitaire U de l'axe central peut tredfini par

- 22 -

"iol fio"4 4

L-3J _ L-3JR

|S| /io2 + 42 + (-3)2 5/T

Par consquent

S(I*) = ^(I*)1^

.4

- 5 0 . -M*5/5

FlOO] F 44,84"S(I*} - -7=1 40 -, 17,7U ; ^ -30 -13,3 '

*- * *- JR

Le moment en 0 sera donn par

S(0) = V) + o** ?

Calculons O* A ?

[6] f i o i r-i7~01* A S 3 4 - +38WR NR L - 6 j R

et donc on a

I" 44,84] f-17*M } - 17,7 + ^38

> * i i i AL-i3,3 JR L- 6JR

f 27,84"5(0) = 55'7

(0) L-9.3 j R

b/ Exercice n 2Les coordonnes (lments de rduction) d'un torseur sont

~S = (10,6,4) ^/O^ * (6,3,-6) dans un repre brthonorm'R [0,X,^,1]

Dterminer le point I o l'axe central (A) rencontre le plan (0 ,Z,X).


-23-

_3 1 IL - ILyl ~ 76 ~ 6 x 38 " ~ 76"il"~ 38

Le point I a donc pour coordonnes dans R : 01 * 0

ILL"76 j R

dl Rpartition des moments autour de l'axe central

Soit un point P quelconquequi se projette en I sur l'axecentral.

On a d'une manire gnrale

s(p)

s(i)

+ ** * *Mais I appartient l'axe cen-tral A et donc

"CD = x*donc

S(p) - A 1 -H PI A S

Posons AS = PH

PI A S PK

On crit donc :

M(p) PH -H PK (1.42)

On voit immdiatement que PK est perpendiculaire PH et donc. fS . P - 0 . (1-43)

On voit aussi que PI perpendiculaire S d'o PI . S = 0 (1.44)

Calculons maintenant le module de M._, not \M(p\\ On a

Mfp^ = (PH)2 + (PK)2 en considrant 1.43

PH = AS -> (PH)2 = A2S2" "i - """1

PK = PI A S

JPK| = |P| . || en considrant (1.44)

= d . |s| si d dsigne la distance de P l'axe central

donc (PK)2 = d2 S2


-24-

Finalement . M (2 - (A2 + d2) S2

et |M(p)l - |S| . /d* + A* (1.45)

De (1.42) et (1.45) on peut donc tirer les propositions suivantes quant la rpartition des moments autour de lfaxe central

\l Remarque 1

Le moment en un point quelconque est la somme de deux vecteurs,l'un constant AS parallle la somme gomtrique, l'autre variable P * perpendiculaire la somme gomtrique et dont le module varie proportion-nellement la distance du point l'axe central, ce qui revient aussi dire que tous les points situs une mme distance de l'axe central, c'est dire sur un cylindre d'axe A, de rayon d, ont des moments qui ont mmemodule.

2/ Remarque 2

L'axe central est le Heu des points dont le moment est minimumen module.

Ce qu'on vient de dire estvident si on reprsente en unpoint quelconque A la gerbe desommet 0 des diffrents vecteursmoments.

Pour un torseur donn, rappe-lons que 1'automoment est inva-riant, c'est dire

-> -> ^YO\ = constante

Par suite les vecteurs de la gerbede sommet A reprsentatifs des mo-ments en tous points du torseur ontleur sommet dans un plan perpendi-culaire s

Donc le moment est minimum s'il a la direction de S, c'est dire sile point correspondant appartient bien l'axe central.

1.5.12 CHAMP DE MOMENTS

a) Dfinition

Si on se donne le moyen de faire correspondre tout point P d'unecertaine rgion de l'espace un vecteur li [f(p)] d'origine P on dit qu'ondfinit un champ de vecteurs.

En particulier, tant donn un torseur [T], tout point P del'espace correspond le moment S/px du torseur en P. Le champ constitu parles vecteurs H/p\ est appel champ de moments.


-25-

II est caractris par la formule liant le moment en deux points F et Q

V) = S(Q) + ** * *

S tant la somme du torseur considr ;

b) Equiprojectivit du champ de moments : Thorme de Delassus

\l Proprit du champ de moments : un champ de moments est.quipro-jectif

Soient M et N deux points quelconques. On a

5(M) *3 '* ~~ (b)V(P) = (Q) * P."^(Q).-W (5$-0t) -

ou en dveloppant on obtient l'expression suivante

~3 - (P) (o))5? - (Q) (o)> + (Q) (o)>


-26-

qui devient, compte tenu de (a) et (b)

(Vr V) Q + (*(Qr V>> =

Nous avons finalement les trois relations suivantes :

?)J * [V(Q)- V(Q)] Q - 0 (b) (1.47)

[V)-*J + P(Q>-*1^ = (c)

Considrons maintenant une base orthonorme R d'origine 0 et devecteurs unitaires x^ X X3 qui ont pour extrmit KI, K, K3.

Appliquons les relations (1.47) aux extrmits des vecteurs uni-taires. L'expression (1.47 a) ou bien (K47 b) donne

P(Kl)- (o)] * -

(K2rV)] = (KD- V)l- = (1-48)

p(K3r (o)J 3 =

L'expression (1.47 c) donne galement

[V)" %)] - (K2)- (0)].Si = o[V2r V)i-

3 + [V3r *] =

.P(K3>- Q)l- + tv(Kl)-v(0)]. 0 3 = o

qui sous forme indicielle deviennent

F(K)- *] *j ' [Vj)->) r= (K49)

Posons r.. = (V(Ri)- V(Q)) l. (1.50)

Les relations (1.48) et (1.49) s'crivent alors

r - 0 i = j )1J > (1.5-1)

r.. + r.. - 0 i*j )

(1.51) nous permettent de dire que les r.. sont antisymtriques par rapportaux indices.


-27-

Considrons maintenant un point P quelconque. Ses coordonnesdans la base R seront

-+ 3 3 -*OP = 7 x. x. = y x. OK. (1.52)i=l x x i=l 1 .-1

Pour ce point P la formule (1.47 c) peut s'crire

P(P>-V'^ - - P(Q)- (0)]. 6*

= - P(Q)- *l j, xi i

= - j,xi (Q)-V>)]-oti

Mais la formule (1.47 c) donne toujours

P(Q)- * - v r" " iV(P)" V(0) = ., Xi LV(Ki)" V(0)J

\P)- (0) - Xl P(Kir \0)1 + X4V(K2)- %)1

+ X3 (K3)- V(Q)]

Multiplions scalairement par x'i = OKi, X - OK et KS = OKa successivement.On obtient, en utilisant (1.50)

(P)" (0) ' *! = Xl'ri1 + X2r21 + X3r31

[V(p)- V(Q)] . x2 - xr.r12 -f x2r22 + x3r32

[V(p)- V(Q)] . x3 = Xl r13 + x2r23 + x3r33

Compte tenu de (1.51) on peut crire ces dernires relations sous formematricielle

* * r ri2 ri3 fxiV(P)"" V(0) = "r!2 '23.1 X2

" L r13 ""r23 J LX3.

Vxpv- V, v est le produit d'une matrice antisymtrique par un vecteur. Onpeut donc le reprsenter par un produit vectoriel

-* .> - - -* * r r 2 sV(P)" V(0) = " A ? avec ft = -r13L ri2JR


-28-

et on a donc

* = V) * * " (K53)

qui est bien l'expression qui caractrise un champ de vecteurs et donc unchamp de moments en particulier.


C1 : TORSEURSPage de titreCOURSSOMMAIREI.I DIFFERENTS TYPES DE VECTEURS - ASPECT PHYSIQUE1.2 DEFINITION D'UN GLISSEUR1.3 MOMENT D'UN GLISSEUR EN UN POINT1.4 MOMENT D'UN GLISSEUR PAR RAPPORT A UN AXE1.5 TORSEURS : (DYNAME)

EXERCICES

C2 : CINEMATIQUEC3 : LES TENSEURS CARTESIENS D'ORDRE 2C4 : GEOMETRIE DES MASSESC5 : CINETIQUEC6 : THEOREMES GENERAUX DE LA DYNAMIQUEC7 : EQUATIONS DE LAGRANGE -EQUATIONS D'APPELSC8 : EQUILIBRE - STABILITE - PETITS MOUVEMENTS VOISINSC9 : MOUVEMENTS STATIONNAIRE - STABILITE C10 : THEORIE DU CHOC

Mecanique Generale - Chapitre 1 - TORSEURS - Cours

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