Cours Mecanique Du Solide Rigide[1]
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8/8/2019 Cours Mecanique Du Solide Rigide[1]
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MECANIQUE DU SOLIDE RIGIDE
ENSEIGNEMENT DE LICENCE DE MECANIQUE
UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE
LA 201 SECTION B
ANNEE 2006-2007
UPMC A. ALLICHE
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CHAPITRE I - CALCUL VECTORIEL RAPPELS DE MATHEMATHIQUES
1 Espace vectoriel et reprsentation dun vecteur.
SoitEun espace vectoriel de dimension n = 3, en fait3, de base
1 2 3( , , )b e e e=
forme de 3
vecteurs linairement indpendants. Tout vecteur de E peut tre reprsent par une
combinaison linaire des vecteurs de base de b :
1 1 2 2 3 3v v e v e v e= + +
eou bien sous la forme3
1
i i
i
v v=
=
.
Une autre notation peut tre adopte, appele aussi convention de lindice muet ou
convention dEinstein :
i iv v e=
Lindice rpt i est lindice muet sur lequel se fait lopration. Cette convention nest
applicable que dans le mme monme.
Lespace vectorielEest souvent reprsent par un repreR possdant une origine O et une
base . On notera :1 2 3( , , )b e e e=
1 2 2( ; , , )R O e e e=
2 Oprations sur les vecteurs
2 1 Produit scalaire
Un produit scalaire est une forme bilinaire symtrique de ExE sur telle que la forme
quadratique associe soit dfinie positive.
Par dfinition une forme bilinaire f est une application qui deux vecteurs de E
associe le rel
etu v
( , )f u v
. Par ailleurs f est une application linaire par rapport chacun des
arguments.
Notation :
( , ) .f u v u v=
La symtrie du produit scalaire est dfinie par la proprit :
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( , ) . . ( , )f u v u v v u f v u= = =
Une forme est dite dfinie positive si le produit scalaire dun vecteur par lui-mme est
positif et ne sannule que si le vecteur
.u u
0u =
.
Remarques :
On dfinie le produit scalaire de 2 vecteurs etu v dans une base par :1 2 3( , , )b e e e= 3 3
1 1
. ( )( ) ( . ) .i i j j i j i j i i j j
i j
u v u e v e u v e e u e v e= =
= = =
Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul :. 0u v =
Cette dernire proprit nous permet dcrire que dans le cas dune base orthonorme nous
avons :
1 si( . )
0 sii j ij
i je e
i j
== =
Do une autre criture possible pour le produit scalaire :
1 1 2 2 3 3. ( )( )i i j j i iu v u e v e u v u v u v u v= = = +
+
Norme dun vecteur: Parmi les dfinitions possibles de la norme on retiendra celle de la
norme euclidienne :
1/ 2 2( . ) .i i i
i
u u u u u u= = =
On se sert de cette dernire dfinition pour introduire une nouvelle notation du produitscalaire impliquant langle entre les deux vecteurs :
. . cos( ,u v u v u v= )
2 2 Produit mixte
Soit E un espace vectoriel de base 1 2 3( , , )b e e e=
. On appelle produit mixte des vecteurs
deE, leur dterminant dans la base, etu v w 1 2 3( , , )b e e e= . On le note :
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( , , ) ( , , )u v w Det u v w=
On dmontre que le dterminant est invariant par changement de la base b.
Proprits :
Le produit mixte est invariant par rotation circulaire des vecteurs. Cette proprit estdirectement lie celle des dterminants :
( , , ) ( , , ) ( , , )u v w w u v v w u= =
Le produit mixte de 3 vecteurs coplanaires est nul :( , , ) 0 , , lisu v w u v w=
Les autres cas de nullit du produit mixte se vrifient dans le cas o deux des trois
vecteurs sont colinaires, et lorsque un des vecteurs est nul.
2 3 Produit vectoriel :
Thorme :
Soient deux vecteurs deE.etu v
lapplication:
( , , )
E R
w u v w
est une forme linaire.
Il existe un unique vecteur deEtel que :, ( ) ( , , ) .w E w u v w w = =
Dmonstration :
est linaire puisque le dterminant est linaire par rapport au dernier argument.
unicit de la deuxime proposition :Supposons quil existe deux vecteurs et '
tel que :
, ( ) ( , , ) . '.w E w u v w w w = = =
')
alors et donc le vecteur( '). 0w E w =
(
est orthogonal tout vecteur
deE. Cest un vecteur nul ' =
Existence :
Notons P la matrice constitue des vectrices colonnes de , etu v w
:
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1 1 1
2 2 2
3 3 3
u v w
P u v w
u v w
=
Nous aurons [ ] 1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1( , , ) det ( ) ( ) ( )u v w P w u v u v w u v u v w u v u v= = +
Si lon pose pour
:
2 3 3 2 1 1 3 3 1 2 1 2 2 1 3( ) ( ) (u v u v e uv u v e uv u v e)= +
Nous obtenons alors :
( , , ) .u v w w=
Le vecteur ainsi dfini est le produit vectoriel des deux vecteurs ,u v et on note :
u v =
Retour au produit mixte :
Nous pouvons donc aisment crire le produit mixte de la manire suivante :
( , , ) .u v w u v w=
.
Les proprits du dterminant et la symtrie du produit scalaire permettent dcrire :
( , , ) . ( , , ) ( , , ) .u v w u v w v u w v w u u v w= = = =
Expression du produit vectoriel :
Le produit vectoriel u v =
peut scrire de divers manires, en particulier en se servant
de lexpression du dterminant prcdente, on aura :
2 2 3 3 1 11 2
3 3 1 1 2 2
u v u v u vu v e e eu v u v u v
+ = + 3
es
Proprits du produit vectoriel :
a) Lapplication deEEdansEest anticommutative, bilinaire et non associative.b) etu v u u v v c) 0 , colinairu v u v =
Formule du double produit vectoriel
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( ) ( . ) ( . )u v w u w v u v w =
(dmonstration en TD)
2 4 Division vectoriel :
Soient deux vecteurs etv w
connus, existe-t-il un vecteur x
tel que :
v x w =
?
Remarque :
doit tre non nulv doivent tre orthogonauxetv w
vSi existe, alorsx
x +
est aussi solution.
Recherchons maintenant le vecteur en fonction dex
etv w
.
En multipliant vectoriellement par , on obtient :v
( )v v x v w =
En utilisant la formule du double produit vectoriel, on aboutit lexpression suivante :
2
1( . ) ( . )v x v v v x v w x v v w
v = =
On peut dmontrer, ce niveau la deuxime remarque ci-dessus :
2
1 (( )
v v wv x v v v w
v v
= =
2)
en dveloppant ce double produit vectoriel, on
obtient :
2
( . )v w wv x w
v
= +
Cette solution nest valable que si . 0v w =
3 - Identit de Lagrange
Thorme :
Soient deux vecteurs deE.etu v
Lidentit de Lagrange est dfinie par la relation suivante :
2 22( . ) .u v u v u v+ = 2
Dmonstration :
2( ).( ) ( , , ) ( , , ) ( ( ). )u v u v u v u v u v v u v u v u v u = = = =
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En utilisant la formule du double produit vectoriel on obtient :
( ) ( . ). ( . ).v u v v v u v u v =
Do :2 2 2 2. ( .u v u v u v =
)
Lidentit de Lagrange nous permet dcrire une autre formulation du produit vectoriel :
( ) . sin( ,u v u v u v =
)
Dmonstration :
2 2 2 2 2 2 22 2. ( . ) . (1 cos ( , )) . (sin ( ,u v u v u v u v u v u v u v = = = 2 ))
et donc :
. sin( ,u v u v u v =
)
v
Orientation du produit vectoriel :
Considrant le plan passant par le point O et contenant les vecteursu et
)e e
. Soient ( , une
base de ce plan. Soit e
1 2
3
un vecteur perpendiculaire ce plan et tel que 1 2 3( , , )e e e
constitue une
base orthonorm directe deE: on dit que le plan est orient par e3
. On a alors lexpression du
produit vectoriel :
3( ) . sin( , ).u v u v u v e =
4 Applications
est laire oriente du paralllogramme construit sur les vecteursu .u v ,v le produit mixte est le volume du paralllpipde construit sur les vecteurs( , , )u v w
, ,u v w
w
u v
v
u
u
vh
Aire paralllogramme :
Aire = Base * Hauteur = . . cov h v u s=
Volume paralllpipde :
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Volume = Base * Hauteur = . .cos ( ). ( , ,u v w u v w u v w = =
)
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CHAPITRE 2 - TORSEURS
I- Applications antisymtriques.
Soit une application de l'espace vectoriel E dans E :
( ) ( )( )u M L u M
L est antisymtrique :( ),u v E x E
( ) ( )-u L v v L u=
Proprit : Toute application antisymtrique est linaire.
1 2,u u E
et 1 2, on a :
( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2,L u u L u L u + = +
2
.
Soit maintenant [ la matrice reprsentant l'application par rapport la base orthonorme
directe deE:
]L
( )1 2 3, ,e e e
[ ]11 12 13
21 22 23
31 32 33
l l l
L l l l
l l l
=
avec
( ) ( )
( ) ( )11 1 1 1 1 11
- - 0
- -jij i j i ji
l e L e e L e l
l e L e e L e l pour tout i j
= = = =
= = =
r
r
Posons arbitrairement 12 3 13 2 23 1- ; ; -l r l r l= = =
d'o on remarque alors que[ ]3 2
3 1
2 1
0 -
0 -
- 0
r r
L r
r r
=
u E
;
L u R u=
o est appel le vecteur caractristique de lapplication
antisymtriqueL .
1 1 2 2 3 3R r e r e r = + +
e
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Expression du vecteur caractristique :
Si sont les vecteurs unitaires de la base orthonorme de lespace vectorielE, alors on
a la relation suivante :
1 32 3e ,e ,e
3
1
1( )
2i i
i
R e L e=
=
Dmonstration : En utilisant la relation du double produit vectoriel ;
3 3 3
1 1 1
( ) ( ) ( . ) . ( . ). 2i i i i i i i ii i i
e L e e R e e e R e R e R= = =
= = > =
Champ antisymtrique :
Le champ ( )Q Q
est antisymtrique, s'il existe une application antisymtriqueL, telle
que :
M et P : ( ) ( ) ( )M P L PM = +
Soit ( ) ( ), :M P M P R MP = +
Proprit : Multiplions scalairement par MP
:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
. . .
or . 0 . .
M MP P MP MP S PM
MP S PM M MP P MP
= +
= =
Le vecteur (M) a la mme projection que ( )P sur la direction PM.
Un champ antisymtrique est quiprojectif.
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M( )P
( )M
P
Dmontrons la rciproque
( ) ( ). .M MP P MP =
En insrant un point fix O, lexpression devient :
( ) ( ). ( - ) . ( - )M OP OM P OP OM =
Par ailleurs nous pouvons aussi crire :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
. - . . - .
. - . . - .
.( - ) .( - )
M OM M OP P OM P OP
O OM M OP P OM O OP
OM O P OP M O
=
=
=
On dfinit une applicationL telle que :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( - )
( ) ( -
L OP P O
L OM O M
=
=
)
Ce qui nous donne :
. ( ) . ( )OM L OP OP L OM =
LapplicationL est donc bien antisymtrique. De plus nous avons
( ) ( )= + ( )P O L O P
( ) P
est donc un champ de vecteur associ une application antisymtrique.
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II - Torseurs.
1 - Dfinition
On appelle torseur { }T l'ensemble d'un champ antisymtrique m et de son vecteur R
caractris en un point M (quelconque) par le vecteur ( )Mm
appel moment du torseur et le
vecteur R
appel rsultante du torseur.
On a donc la relation pour tout couple de point (M, P)
( ) ( )M Pm m MP= + R
appel formule de transport.
On crit aussi : { }( )
M
M
RT
m
=
.
2 - Invariant scalaire
Multiplions scalairement cette relation parR
.
( ) ( ) ( ). . .Pm M R m R MP R R cst = + =
e
or ( ) . 0MP R R =
do linvariantI:
( ) ( ). .PI m M R m R= =
Invariant vectoriel
On dfinit le vecteur( ) ( )M Pu ; u . u .
Rm m
R= =
cste=
L'invariant vectoriel est le vecteur I I u=
. (vecteur projection de surm R
).
3 - Oprations sur les torseurs
Sommes { } { } { } 1 211 2
2
M M M
M M
R R RL L L
m m m M
= + = +
= +
Multiplications par un scalaire.
{ } { } 111
M
M M
R RL L
m m
==
=
Produit (Comoment de deux torseurs).
Soient les deux torseurs suivants:
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{ } { } )(
et)(
2
2
2
1
1
1
=
=Mm
RT
Mm
RT
MM
Le comoment de deux torseurs est obtenu en multipliant les lments de rductions de deux
torseurs de la manire suivante
)(.
)(2
2
1
1
=Mm
R
Mm
RP
C'est donc le rel ( ) ( )1 2 2 1. .M MP R m R m= +
.
Il est indpendant du choix du point M. (pour le calculer il faut imprativement que les deux
torseurs soient dfinis au mme point).
Dmonstration :
)(.)(.
))(.())(.()(.)(.
1221
1122211221
QmRQmRP
QMRQmRQMRQmRMmRMmRP
+=
+++=+=
Le scalaire P n'est pas affect lorsqu'on exprime les torseurs
4 - Exemples de torseur :Torseur associ un vecteur li.
Soit ( u,A )
un vecteur li de E. En mcanique on rencontre beaucoup de grandeurs
reprsentes par un vecteur dfini en un point de lespace. Cest le cas dune force applique
en point (exemple le poids), du champ des vitesses dun solide A chaque point M faisons
correspondre le vecteur , moment du vecteur li.( ) uMm MA=
L'ensemble form par le vecteur et le champ m forme un torseur. En effet :u
( ) ( ) ( )P Mm PA u PM MA u PM u m= = + = +
( )Pm
est un champ antisymtrique donc un champ de moment de torseur.
Pour que le moment soit nul en un point M, il faut et il suffit que le vecteur li passe par M. Il
faut en effet que uetMA
soient colinaires.
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5 - Torseurs lmentaires
a) Glisseur Un torseur est un glisseur s'il existe un vecteur li dont il soit le torseur associ.{ }
uL
m
=
est un glisseur il existe un vecteur li ( ),A u tel que , PP m PA u =
.
Axe d'un glisseur non nul. Soit B point de la droite ( )u,A
( ) ( )Pm PA u PB BA u PB= = + =
u
.
{ }L est un glisseur associ ( u,B )
ceci B la droite ( ),A u
Par dfinition cette droite passant par A et parallle u
est l'axe du glisseur.
Le moment d'un glisseur est donc nul en tout point de l'axe.
Rciproquement pour qu'un torseur soit un glisseur, il faut il suffit qu'il existe un point o son
moment soit nul.
Donc si un torseur de rsultante R
, a un moment nul en A, alors c'est un glisseur associ au
vecteur li ( ),A R
.
On peut que lensemble des points P tels que ( ) 0Pm =
est un axe parallle la rsultante R
:
( ) ( ) +P Am m PA R=
0= , or ( ) 0Am =
, ce qui entrane 0PA R =
. Nous en concluons que
. Laxe ainsi dfini est appel axe du glisseur.//PA R
Proprit
L'invariant scalaire d'un glisseur est nul.
( ) ( ). . 0Pu m u PA u=
=
b) Couples Considrons un torseur tel que son moment soit indpendant du point o on lecalcule :
PM, distincts .( ) ( ) ( )
P M M
m m PM R m PM R R= + = =
0
Remarque : Un couple peut-tre obtenu d'une infinit de faon en particulier par la somme de
deux glisseurs de rsultantes parallles, de mme module et de sens contraires.
6 - Dcomposition
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Soit { } M
M
RL
m
=
{ } M
A A
RM OL MA R
m mMA R
= + = +
cou le
Un torseur quelconque est donc la somme d'un glisseur associ ( ),A R
et d'un couple de
moment mA
.
glisseur
asso ic ,A R
7 - Axe centrale d'un torseur.Laxe central dun torseur est le lieu des points o le moment du torseur est colinaire la
rsultante
( ){ }. / PA C P m R = =
2
.P
m R
R =
est le pas de l' A. C
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CHAPITRE 3 - CINEMATIQUE DU SOLIDE RIGIDE
I Rappels
1 Notions de rfrentiel
Lors de ltude dun systme, la formulation mathmatique de certains concepts lis ce
systme ncessite que lon procde sa description et son reprage tout au long de son
volution.
- Dfinition dun rfrentiel
La notion de rfrentiel est lie celle dobservateur : le rfrentiel en quelque sorte lespace
euclidien entrain par lobservateur. Do la dfinition mathmatique :
- On suppose choisie une fois pour toute la chronologie (laxe des temps) valable pourtous les observateurs
- On appelle alors rfrentiel lensemble des points de lespace euclidien anims dunmouvement de corps rigide de lobservateur. Le rfrentiel not R, est dit li
lobservateur. Pour reprer les positions des points du rfrentiel, on utilise un repre
R li au rfrentiel.
Il ne fat pas confondre rfrentiel et repre. Un rfrentiel peut tre associ plusieurs
repres.
2 Reprage dun point dans un rfrentiel associ un repreR.
Soit un pointMmobile par rapport R de base ( , , )x y z
et dorigine O. On peut crire :
( ) ( ) ( ) ( )OM t x t x y t y z t z= + +
Les fonctionsx(t), y(t) et z(t) sont continues et continument diffrentiables par morceaux.
La trajectoire deM(t) est lensemble des points de lespace occups par M quand tvarie.
3 Vitesse dun point dans un repre
La vitesse du point M est dfinie par :
/ ( )0
( ) (limM R R
dOMV
d
OM t OM t
= =
+
)
do avec/ ( )M RV x t x yy= + +
zz ( )dx
x tdt
=
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II - Dfinition dun solide Torseur cinmatique
Le mouvement du solide est tudi par rapport un repre ( ; , , )R O x y z
1 Dfinition
Soient Met P deux points dun solide (S), pour tout instant ton a la proprit suivante pour
un solide :
2
( ) ( )M t P t cste=
Proprit : Soient 4 points A, B, C, D quatre points de (S) choisis tels que ;
si 0 0 0 0 0 0( , ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ))A A t B t A t C t A t D t
est un repre orthogonal direct alors
( , ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ))A A t B t A t C t A t D t est aussi un repre orthogonal directe.
2 Champ de vitesse des points dun solide. Torseur cinmatique
Le champ de vitesse des points dun solide est le champ not Vt qui tout point P du solide
associe le vecteur vitesse de la particule du solide dont la position cet instant est le
point P.
( , )V P t
Soient maintenant deux points M et P du solide. Nous pouvons donc crire que :
2
( ) ( )M t P t cste=
et par drivation par rapport au temps, obtenir la proprit
dquiprojectivit du champ des vitesse :
2[( ) ] 2[ ]. 0d d
MP MP MPdt dt
= =
do
( ). 0 . .P M P M V V MP V MP V MP = =
Do on peut conclure que le champ de vitesse dun solide est un champ quiprojectif (voir le
cours sur les torseurs). Cest donc un champ de moment dun torseur appel torseur
cinmatique. La rsultante de ce torseur est note ( / , )S R t
. Nous allons montrer plus loin
que la rsultante du torseur cinmatique est le vecteur rotation instantane du solide. Elle
indpendante du point o lon dfini le torseur et donc le moment.
Pour deux points M et Pdun mme solide peut appliquer les proprits des champs
antisymtriques :
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/ / ( ) / P R M R SV V PM = R
Notation :Le torseur cinmatique est dfini en un point A par ses deux lments de rduction
et que lon reprsente sous la forme suivante :
{ }( ) /
AA S R
CV
=
3 - Drivation dun vecteur li au solide par rapport un repre.
On considre le vecteur u ayant pour extrmits deux points dun solide (S) en mouvement
dans le repre
( ; , , )R O x y z
tels que :
u KL=
Drivons le vecteur dans ce repre par rapport au temps :u
( ) / ( ) / [ ] [ ]
R R L K S R S R
d du KL V V KL
dt dt = = = =
u
Drivation composeOn considre le mouvement dun solide (S) en mouvement dans un repre mobil dans le
repre 1 1 1 1( ; , , )R O x y z
, lui-mme ,en mouvement par rapport un repre ( ; , , )R O x y z
.
Soit le vecteur 1 1 1 1 1O M x x y y z z= + +
1 1
On drive le vecteur OM dans le repreR.
11
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1
( )/1 /
[ ] [ ( )] [ ] [ ( )]
[ ] [ ( )] ( ) ( ) (
[ ]
R R R R
R R
M S RR R R
d d d d OM OO O M OO O M
dt dt dt dt
d d d d d O M x x y y z z x x y y z z x x y y z z
dt dt dt dt dt
dO M V
dt
= + = +
= + + = + + + + +
= +
1O M
)
M
Ce qui nous donne la composition des vitesses suivantes :
1 1 1 1( ) / ( ) / / / 1
[ ]M S R M S R O R R R R
V V V O
= + +
Cette expression traduit la composition du vecteur vitesse
4 - Mouvements particuliers.
Nous allons montrer travers quelques mouvements particuliers que la rsultante du torseur
cinmatique est bien le vecteur de rotation instantane du solide.
4 - 1 translation pure.
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Un solide est anim dun mouvement de translation par rapport au repre R, si chaque
instant t, tous les points du solide ont mme vecteur vitesse par rapport R :
, et (t A B S ) ou rigidement li ce solide on a :
/ /( ) ( )A R B RV t V t =
Dans cette relation les vecteurs vitesses sont dtermins au mme instant. A un instant t, les
vitesses dun mme point A du solide peut tre diffrente. dans ce cas le solide est anim dun
mouvement rectiligne. Si en plus la vitesse de ce point reste constante en module, on parle
alors de mouvement de translation rectiligne uniforme.
Reprenons lexpression du champ des vitesses :
/ / ( ) / ( ) / ( ) ( ) 0A R B R S R S RV t V t AB AB= +
=
les points A et B tant des points quelconques du solide, on peut crire que
( ) / 0S R =
Inversement si , on a alors( )/
,S Rt =
0 / /( ) ( )A R B RV t V t =
.
Ceci traduit que dans le cas du mouvement de translation, le torseur des vitesses est un
couple.
Pour quun solide soit anim dun mouvement de translations, il faut et il suffit que les axes
dun repre li au solide garde des directions constantes : ( )iR
de
dt0=
, puisque la rsultante est
calcule par la formule :3
( ) /
1
10
2
iS R i
i
dee
dt= = =
(dmonstration donne ci-dessous)
4 - 2 Rotation autour dun axe fixe.
On dit quun solide (S) est anim dun mouvement de rotation autour dun axe fixe
si deux points distinct A et B ont une vitesse nulle. Il sensuit :( ) ( ; )O z =
- tous les points de laxe ( ) ( ; )O z = ont une vitesse nulle,- le torseur cinmatique est un glisseur daxe ( ) parallle la rsultante du torseur
cinmatique (voir cours sur les torseurs)
- tous les points du solide dessinent des trajectoires circulaires autour de laxe fixeappel axe de rotation.( )
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20
Nous dfinissons le repre1 1 1( ; , , )
1R O x y z
li au solide tel que1z z=
et
1 1( , ) ( , )x x y y = =
angle mesur autour ( ; )O z
.
z
1y
La variation des vecteurs du solide1 1 1 1( ; , , )R O x y z
sont dtermins par les relations tablies
prcdemment :
1 ( ) /
1 ( ) /
1 ( ) /
[ ]
[ ]
[ ]
R S R
R S R
R S R
d1
1
1
x xdt
dy y
dt
d
z zdt
=
=
=
1 1 1 1 1 1 1 ( ) / 1 1 ( ) / 1 1 ( ) / [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) (R R R S R S R Sd d d
1)Rx x y y z z x x y y z zdt dt dt
+ + = + +
Do en utilisant la formule du double produit vectoriel, on aboutit :
1 ( ) / 1 1 ( ) / 1 1 ( ) / 1 1 1 ( ) / 1 ( ) / 1
1 1 ( ) / 1 ( ) / 1 1 1 ( ) / 1 ( ) / 1
( ) / ( ) / ( ) /
( ) ( ) ( ) ( . ) ( . )
( . ) ( . ) ( . ) ( . )
3 2
S R S R S R S R S R
S R S R S R S R
S R S R S R
x x y y z z x x x x
y y y y z z z z
+ + =
+
= =
+
Dans le cas du mouvement de rotation autour dun axe fixe nous cette relation devient :
1 1 1 1 1( ) / [ ] [ ] 2R R Sd d
x x y ydt dt
+ =
Rcar
1[ ] 0
R
dz
dt=
Dans le repre ( ; , , )R O x y z
, les vecteurs de base deR1 sexpriment en fonction de langle :
y
x
1x
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21
1 1cos sin et sin cosx x y y x y = + = +
et leurs drives par rapport au temps sont
donnes par :
1 1 1
d[ ] sin cos et [ ] cos sin
dt
d1x x y x y y x y
dtx = + = = =
do le rsultat :
( ) /S R z =
4 - 3 Mouvement hlicodal
Un solide est anim d'un mouvement hlicodal si une droite du solide glisse sur un axe fixe
);(0
zO
et si une particule du solide non situe sur cette droite a un mouvement hlicodal d'axe
);(0
zO
.
H
A
OP
Calculons la vitesse du A, point du solide anim d'un mouvement hlicodal.
+=
AHVVRHRA // qui est la formule du champ des vitesses champ antisymtrique.
Par ailleurs, on a :
RPRHRAVVVOPOHHAOHOA
///
+=+=+=
Le point P tant la projection du point A sur le plan ( ),; yxO
, il dcrit une trajectoire circulaire
dans ce plan. De ce fait, et en vertu des expressions obtenues pour le mouvement de rotation
autour d'un axe fixe on a :
z
= zV
RP
/
=D'o le rsultat pour le vecteur vitesses du point A :
zAHzAHVVRHRA
++=//
4 - 4 Mouvement quelconque.
Nous analysons le mouvement quelconque dun solide (S) par rapport un repre donnR.
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22
Axe instantan de rotation : Le torseur cinmatique peut tre dcompos en un couple et un
glisseur.
Choisissons de passer par un point P dont la vitesse est parallle au vecteur rsultante .
Nous avons alors la dcomposition suivante :
{ }( ) / ( ) /
0A
A S R P S R
CV V AP
= = +
=
Ce mouvement quelconque se dcompose donc un mouvement de translation parallle un
axe () (parallle la direction de la rsultante
) plus un mouvement associ au glisseur
daxe parallle la rsultante .
Nous avons donc un mouvement qui sapparente un mouvement hlicodal daxe parallle
la rsultante . La direction de tant variable dans le temps, on appelle cet axe laxe
instantan de rotation.
Cet axe () est un axe parallle et passant par un point P dfini par :
2
1( AAP V =
) . Nous avons aussi calculer la valeur du pas
2
. AV
=
.
Pour cela il suffit dcrire ( ) / ( ) / 21
. .A S R A S RV V = = .
5 - Composition des vitesses
Ici nous reprenons les calculs prcdents pour exprimer le vecteur vitesse par rapport un
repreR1 lorsquon la connat dans un repre de dpartR.
Par dfinition, on peut crire :
1 1/ 1 1 / / ( )M R O R M R
R R
d dV OM OO O M V V O
dt dt
= = + = + +
1M
avec
1 1
1 1
/ / / ( ) / 1
/ / ( ) / 1
( )M R M R O R S R
M R R O R S R
V V V O M
V V O M
= + +
= +
Do :
1 1/ / / et on peut crireM R M R M R R
a r e
V V V
V V V
= +
= +
avec Va la vitesse absolue, Vr la vitesse relative et Ve la vitesse dentranement.
La signification physique de cette compostions des vecteurs vitesse peut tre image par le
voyageur dans le train observ par une personne sur le quai.
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23
Lobservateur mesure la vitesse du voyageur, cest la vitesse absolue. La vitesse du voyageur
par rapport au wagon du train, cest la vitesse relative. Le wagon est donc li au repre relatif.
Enfin la vitesse du wagon par rapport lobservateur sur le quai est la vitesse dentrainement
du voyageur. Elle sinterprte comme tant la vitesse du voyageur li au wagon mais entrain
dans son mouvement.
6 - Composition des rotations
Nous allons montrer que la composition des vitesses de rotation instantane se compose de la
mme manire que les vitesses de translation des points dun solide.
Pour cela on considre un solide (S) en mouvement par rapport au repre 111 1 1( ; , , )R O x y z
,
repre qui est lui-mme en mouvement par rapport un repre fixe ( ; , , )R O x y z
.
Nous considrons le mouvement de deux pointsM et P du solide (S) :
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
/ / /
/ / /
/ ( ) / / ( ) / / /
( ) / ( ) / /
et
et donc
On obtient alors le rsultat :
M R M R M R R
P R P R P R R
M R S R M R S R M R R R R
S R S R R R
V V V
V V V
V MP V MP V
MP MP MP
= +
= +
+ = + + +
= +
MP
Le produit vectoriel tant distributif, on obtient :
1 1( ) / ( ) / / S R S R R R = +
Gnralisation un n repre pour le torseur cinmatique.
Pour un solide en mouvement par rapport n repres, nous crivons
{ } { } { } { }1 1( ) / ( ) / / /
...n n nS R S R R R R RA AA A
C C C C
= + + +2 1
7 Composition des acclrations
Nous allons reprendre lexpression du vecteur vitesse obtenu par drivation compose. Nous
crivons alors :
1 1/ / / ( ) / 1( )
M R M R O R S RV V V O M = + +
Par drivation nous avons :
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1 1
1 1 1 1
1 1
/ / / ( ) / 1
/ / ( ) / / / ( ) / 1 ( ) / 1
/ / / ( ) / 1 ( )
[ ( )] [ ( ( ))]
[ ( )] [ ( )] [ ( ))]
[ ( )]
M R R M R O R S R R
M R M R R S R M R O R S R R S R R
M R M R O R S R R S
d dV V V O M
dt dt
d dV V O M O M
dt dt dt
d O Mdt
= + +
= + + + +
= + + +
d
1/ ( ) / 1 ( ) / / ( ) 2R S R S R M RO M V +
/M R
reprsente lacclration absolue,
1/M R
est lacclration relative,
1/ ( ) / 1 ( ) / ( ) / 1[ ( )] (O R S R R S R S R
dO M O M
dt + + )
reprsente lacclration
dentranement,
1( ) / / 2 S R M RV
est lacclration complmentaire ou de Coriolis
Exemple de leffet de la force de Coriolis
Considrons un disque horizontal tournant la vitesse angulaire constante , et un objet (par
exemple un glaon) glissant sans frottement, lanc l'instant du bord du disque vers son
centre une vitesse V
0 dans le rfrentiel du laboratoire. Nous allons observer le mouvement
dans le rfrentiel fixe du laboratoire (galilen), puis dans le rfrentiel du disque (non
galilen).
Dans le rfrentiel galilen, comme il n'y a pas de frottement, le glaon n'est soumis aucune
force, et donc sa vitesse est uniforme et le glaon dcrit une ligne droite, comme prvu par le
principe d'inertie. Mais si notre mobile a laiss une trace d'eau sur le disque, celle-ci n'est
clairement pas rectiligne : le point de sortie A' du glaon n'est pas diamtralement oppos A.
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III Angles dEuler
1 dfinition
Le mouvement quelconque dun solide (S) dans lespace peut toujours tre considr chaque
instant comme la somme dun mouvement de translation pure et dune rotation autour dun
point de lespace. Nous allons uniquement analyser le mouvement de rotation que nous allons
dcomposer en 3 rotations possibles qui sont associes aux angles dEuler.
2 - Reprage
On dfinit dabord un repreR li (S) dorigine A particule de (S) et de base ( , , )x y z
. Ce
repre est construit en tenant compte des proprits gomtriques de (S).
On noteR0dfinit par le repre de rfrence.0 0 0( ; , , )O x y z
On introduit un vecteur unitaire tel queu
0. 0u z =
et . 0u z =
On construit les repres intermdiairesRverRw dorigine O, de bases orthonormes
respectives :
0( , , )u v z
et ( , , )u w z
On introduit ( )t pour reprer dans le planu
0 0( ; , )O x y
orient par 0z
:
0 0( ) ( , ) ( , )t x u y v = = mesur autour de 0z
0z
De mme on introduit ( )t pour reprer z
dans le plan 0( ; , )O v z
orient par u .
0( ) ( , ) ( , )t z z v w = =
mesur autour de u
( )t
u
0x
0y
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v
y
Les angles ( )t , ( )t , ( )t sont appels les angles dEuler. Ces angles dfinissent toutes les
possibilits de rotation dun solide dans lespace.
0z
0x
0
u
v
( )t
u
0z
w
z
( )t
z
u
w
y
x
( )t
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III Mouvement plan sur plan
1 Dfinition
Le solide (S) est anim dun mouvement plan sur plan par rapport au repreR0 si un plan ()
li au solide (S) glisse sur un plan (0) du repreR0.
Exemples de tels mouvements :
Mouvement dune chelle en contact constant sur le sol et le mur Mouvement dun fer repasser Mouvement dune table dune machine fraiser.
2 Proprits
- Un point M quelconque du solide (S) a le mme mouvement que sa projection m sur le plan
().
Il suffit donc dtudier le mouvement des points du plan () du repre 0( '; , , )R O x y z
en
mouvement par rapport au repre 0 0 0( ; , , )0R O x y z
.
Nous choisissons le plan comme tant le plan (0 0( ; , )O x y
0). Laxe est donc un axe
perpendiculaire au plan ().
0( ; )O z
Le vecteur vitesse instantan de rotation est orthogonal au plan () et (0).
En se reportant la dfinition du mouvement de rotation autour dun axe fixe, et pour un
mouvement paramtr par langle, nous pouvons en dduire que la vitesse de rotation
instantane est donne par :
0( ) /( ) 0z =
.
Cette proprit peut tre aussi dmontre si lon crit la formule de transport pour le champ de
vitesse de deux points du plan () M et A :
0 0/ / (( ) ( )A MV t V t AM 0) /( ) = +
Avec et deux vecteurs appartenant au plan (). Ce qui implique que le
vecteur
0/( )
AV t
0/( )
MV
t
0( ) /( )AM
appartient aussi au plan (). Or quand le point M dcrit le plan (), le
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vecteur0( ) /( )
AM
balaie toutes les directions du plan orthogonal 0( ) /( )
. Ce plan est
donc contenu dans (), donc gal (), ce qui implique que0( ) /( )
est orthogonal ()
3 Centre instantan de rotation (CIR)
Le torseur cinmatique du mouvement de () par rapport (0) scrit alors :
{ } 00
0
( ) /( ) 0
( ) /( )
/( )M
M
zC
V
= =
Nous avons la proprit suivante des champs de vitesse :
0( ) /( ) 0. 0
MV z =
Par ailleurs, les points I de laxe instantan de rotation () du mouvement dun solide (S) par
rapport un repreR0 vrifient la proprit suivante:
0 0( ) / ( ) / ( ) I S R S RI V =
Dans le cas du mouvement plan sur plan, si le point I appartient aussi au plan (), son vecteur
vitesse est tel que :0/( )
( )IV
. Le point I intersection entre laxe instantan de rotation et les
plans () et (0) a onc une vitesse nulle chaque instant.
Ce point I est appel Centre Instantan de Rotation (CIR) du mouvement plan sur plan.
Construction du CIR.
Soient deux points M et M de (). Leur vitesse peut tre calcule en utilisant la vitesse du
point I :
0 0 0 0
0 0 0 0
/( ) /( ) ( ) /( ) ( ) /( )
'/( ) /( ) ( ) /( ) ( ) /( )' '
M I
M I
V V IM IM
V V IM I
= + =
= + =
M
0=
0
Ce qui aboutit, par produit scalaire au rsultat suivant :
0 0/( ) '/( ). 0 et . 'M MV IM V IM =
. Le centre instantan de rotation est donc situ sur les droites
perpendiculaires 0/( ) '/( )
etM MV V
respectivement en M et M.
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30
4 Base et roulante
La position du point I varie au cours du temps.
On appelle base B du mouvement du solide () par rapport au solide (0) la trajectoiredu pointIdans le repreR0li au plan (0).
On appelle roulante, la trajectoire du pointIdans le repreR li ().
Exemple de dtermination de la base et de la roulante
On considre le mouvement plan dune tige (AB) sur le plan ),;(21
xxO
. Le point A est assujetti
rester sur laxe );(2
xO
et le point B sur laxe );(1
xO
.
On dfinit le repre li au solide ),;(21
XXG
. ; G est le centre de la tige. Le centre instantan du
mouvement de la tige par rapport au plan fixe ),;(21
xxO
est facilement identifiable : le point B
a sa trajectoire porte par laxe );( 1xO
et le point A a sa trajectoire porte par laxe );( 2xO
.
Les points A, O, B, I forment un paralllpipdique dont la longueurs des diagonales restent
I
MM0/( )
MV 0'/( )MV
0''/( )MV
M
Base
C.I.R
Roulante
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constantes pendant le mouvement. Le dplacement du point I par rapport au plan ),;(21
xxO
a
lieu donc sur un cercle de centre O et de rayon la longueur de la barre (AB), cest la base du
mouvement de la barre (AB) par rapport au plan fixe ),;(21
xxO
.
Par ailleurs La distance GI est constante et gale la demi longueur de la barre (AB). Le
dplacement du point I par rapport au plan ),;(21
XXG
a donc lie sur un cercle de centre G et
de rayon la demi longueur de la barre (AB). Cest la roulante du mouvement plan sur plan de
la barre (AB) par rapport au plan ),;(21
xxO
.
Mouvement relatif de 3 plans
Lobjectif de cette partie est de montrer que le mouvement relatif de 3 plans parallles
engendre trois centre instantans de rotation aligns.
En premier lieu siIjk est le CIR du plan ( )j par rapport au plan ( )k alors ./ 0I j k V =
On a aussi . On en dduit queI/ 0I k jV =
kj est aussi le CIR de ( )k par rapport ( )j .
On peut exprimer aussi cette proprit en disant que la base et la roulante sont tangentes au
pointIjk=Ikj .
On considre les plans 1 2 3( ), ( ), ( ) en mouvements relativement parallles les uns par
rapport aux autres. SoientIjk(j,k =1,2,3) les CIR des plans ( )j et ( )k .
Notons jk la vitesse de rotation du plan ( )j par rapport au plan ( )k .
On a :kj jk
= etjk jm mk
= +
Thorme :
Les trois centres instantans 12 23 31, ,I I I sont aligns.
Considrons le CIR 31I point li 3( ) . Nous avons alors 31 1/ 0IV =
. ceci peut tre dvelopp
sous forme de composition des vitesses :
31 1 31 2 31 2 1/ / / 0I I I V V V = + =
o31 2 1/I
V
est la vitesse dentranement.
On a et31 2/ 32 23 31I
V z I =
I I I 31 2 1/ 21 12 31I
V z =
do :
31 1 31 2 31 2 1/ / / 32 23 21 12 31310I I I V V V z I I z I I = + = + =
Les points12 23 31
, ,I I I tant sur un plan normal z
cette relation implique donc que
32 23 21 12 31310I I I I +
=
. Il en rsulte que les points 12 23 31, ,I I I sont aligns, et aussi que :
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32
23 3112
13 21 321332 21I I I I I I
= = .
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CINETIQUE
I REPRESENTATION DES MASSES DANS UN SYSTEME MATERIEL,
OPERATEURS DINERTIE ;
1 Systme matriel. Notion de masse
Un systme matriel est un systme ne perdant pas de matire au cours du temps. Pour les
besoins de la modlisation mcanique un systme matriel peut tre considr comme discret
(ensemble de points matriels pesant par exemple), ou continu densit de masse (un solide
par exemple).
La cinmatique des solides que nous venons dtudier ne suffit pas pour dcrire le mouvement
dun systme matriel dans tous ses aspects (causes et consquences). Il faut introduire une
quantit extensive (croissante quand le corps crot et inversement) caractrisant linertie : la
masse.
A chaque matriel on associe donc un scalaire m qui est la masse. Dans u systme continu on
dfinit une grandeur locale : la masse volumique :dv
dmM =)( .
En fait un systme matriel est caractris par 10 constantes dinertei :
o m, la masseo xG,, yg, zGles coordonnes dans un rfrentiel donn de G, centre dinertie du solideo A, B, Cles moments dinertie par rapport aux axes du repre de rfrenceo D, E, Fles produits dinertie par rapport aux plans du mme repre.
Nous allons dfinir et mettre en vidence ces diffrents paramtres dans les paragraphes qui
suivent.
2 Centre dinertie2 1 Systme de points discrets
On considre un systme discret de n points Mi pesant de masse mi. On dit que le point G est
centre dinertie de ce systme sil vrifie la relation suivante :
i
n
i
imOMOGm
=
=1
avec = imm
2 2 Systme continu
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34
Dans le cas dun systme continu, il sagit de diviser le domaine en sous-systme de masse
dm autour dun point dit courant M :
= )(S dmOMOG
Le point G est le centre dinertie du systme continu (S).
2 3 Recherche pratique
o Systme continu homogneDans ce cas le centre dinertie du systme est le centre gomtrique. Par exemple le centre
dinertie dun cerceau, dune sphre, dun cube sont facilement dterminables puisquon
connat leur centre gomtrique.
o Systmes axe de symtrieLe centre dinertie est sur laxe de symtrie. On choisit un repre dont un des axes est
confondu avec laxe de symtrie et lon projette la relation prcdente.
o Systmes que lon sait dcomposer en petits lments dont les centres dinertieMipartiels sont aligns.
On sait alors que G est sur la droite portant lesMi, on projette la relation sur cet axe.
On calcul donc le dm associ auMi . On calcul dm (mme si on connat le rsultat, car cest
un bon moyen de vrifier le dm et les bornes dintgration).
Exemple de calcul : centre dinertie dun cne gauche.
O
On choisit comme volume lmentaire un petit disque de centreMi parallle la base du
cne. Tous lesMi sont aligns sur la droite (OA). On projette la relation sur laxe portant cette
droite :
( ) ( ). .i
S SOG u dv OM udv=
dzhMi
A R
u
z
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35
22 2
2avec
R Rdv r dz r z dv z dz
h h
= = =
2 22
2
( ) 0
.sin 4sin
h
i
S
z R R hOM udv z dz
h
2
= =
22 2
2
( ) 03
h
S
RV dv z dz R
h
= = = h
do3 3
.4sin 4
OG u h OA
= =
.
Donc G est situ au 3/4 de la mdiane.
3 - Moments dinertie, Produits dinertie.
3 1 Dfinitions
On appelle moment dinertie dun systme (S) par rapport un axe (respectivement un plan,
un point) la grandeur dfinie par :
2
( )S
J r d = m
o rdsigne la distance de llment de volume de masse dm laxe(resp. au plan, resp. au
point).
Remarque :
On mettra toujours le moment dinertie sous la forme dun produit dune masse par un
paramtre associ une distance lev au carr :
2J md =
m est la masse du systme et dest le rayon de giration.
3 2 Expressions dans une base orthonorme.
a Moments dinertie
Soit un repre orthonorm. On dfinit les moments dinertie par les expressions
donnes ci-dessous.
1 2 2( ; , , )O e e e
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2 2
1 2 3
( )
2 2
2 1 3
( )
2 2
3 1 2
( )
2
1 2 3
( )
2
1 3 2
( )
2
2 3 1
( )
2 2
1 2
/ ( ; ) ( )
/ ( ; ) ( )
/ ( ; ) ( )
/ ( ; , )
/ ( ; , )
/ ( ; , )
/ point (
S
S
S
S
S
S
J axe O e x x dm A
J axe O e x x dm B
J axe O e x x dm C
J plan O e e x dm
J plan O e e x dm
J plan O e e x dm
J O x x
= + =
= + =
= + =
=
=
=
= +
2
3
( )
)S
x dm+
b Produits dinertie
Par dfinition les produits dinertie sont dfinis par les expressions ci-dessous.
1 2 1 3 2 3
( )
1 2 2 3 1 3
( )
1 3 2 3 1 2( )
/ (( ; , ), ( ; , )) not D
/ (( ; , ), ( ; , )) not E
/ (( ; , ), ( ; , )) not F
S
S
S
P plans O e e O e e x x dm
P plans O e e O e e x x dm
P plans O e e O e e x x dm
=
=
=
3 3 Thorme de Huyghens.
Le thorme de Huyghens permet de simplifier les calculs des grandeurs lies linertie dun
systme. Les calculs de ces grandeurs sont relativement aises si lorigine du repre est au
centre dinertie. Pour obtenir ces grandeurs en un autre point, on dispose dune relation
donne par le thorme de Huyghnes.
Enonc :
Le moment dinertie du systme par rapport un axe ( ) est gal au moment dinertie de ce
systme par rapport un axe (D) passant par le centre dinertie G du systme augment du
moment dinertie par rapport ( dun point matriel de masse m (la masse total du systme)
situ sur (D)
)
Dmonstration :
UPMC A. ALLICHE
-
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37
(D)
()
G M
HK
Soit M le point courant du systme (S). Soit le plan () normal ( ) et passant par le point M.
Il coupe et (D) respectivement en H et K.( )
On crit que :
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
/( ) 2 .S S S S
J HM dm HK dm KM dm HK K = = + +
Mdm
2 2
( ) ( ) ( )
0
/( ) 2 . ( )S S S
J HK dm KM dm HK KG GM
=
= + + +
dm
2 22
( ) ( )
/( ) /( )S S
J HK dm KM dm J D m = + = +
d
4 Oprateur dinertie
4 1 Construction de loprateur dinertie
Nous allons mettre en vidence un oprateur dinertie sous forme de matrice dont les
composantes sont les moments et les produits dinerties prcdemment dfinis.
Nous plaons dans un repre orthonorm 1 2 3( ; , , )O e e e
. Calculons le moment dinertie dun
systme matriel (S) par rapport un axe ( ) passant par O et de vecteur directeur
1 2i e e 3e = + +
dans cette base.
Nous avons crit que par dfinition le moment dinertie par rapport laxe scrit comme
ci-dessous :
( )
UPMC A. ALLICHE
-
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38
2
( )
/( )S
J r = dm
On remarque dabord que :
sini OM OM r = =
do :
2 2
2
( ) ( )
( ) .( )
/( ) . ( )S S
r i OM i OM i OM
J r dm i OM i OM dm
= =
= =
Donnons les composantes des grandeurs vectorielles utilises :
1
2
3
2 2
2 3 1 2 1 3
2 2
3 1 3 2 1 2
2 2
1 2 1 3 2 3
2 2
2 3 1 2 1 3
( ) ( ) ( )
2
1 2 2 3
( )
,
( )
/( ) ( ) (
S S S
t
S
x
OM x i
x
x x x x x x
OM i OM U x x x x x x
x x x x x x
x x dm x x dm x x dm
J i x x dm x x
+
= + +
+
= + +
2
2 3
( ) ( )
2 2
1 3 2 3 1 2
( ) ( ) ( )
)
( )
S S
S S S
dm x x dm
x x dm x x dm x x dm
+ +
Cette expression peut tre exprime sous forme vectorielle :
/( ) . ( )OJ i I = i
()
M
H r
i
O
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-
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39
OI est une application linaire symtrique de matrice :
[ ]O
A F E
I F B D
E D C
=
Ne pas oublier que cette matrice a t calcule dans la base 1 2 3( , , )e e e
. Les composantes
changent si le point O change ou si la base change.
Thorme de Huyghens pour loprateur OI
Supposons que le changement de repre 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ; , , ) tel que OGG e e e a e a e a e= + +
On peut montrer que :
[ ] [ ]
2 2
2 3 1 2 1 3
2 2
2 1 1 3 2 3
2 2
3 1 3 2 1 2
O G
a a a a a a
I I m a a a a a a
a a a a a a
+
= + + +
4 2 Valeurs principales, directions principales.
Rappels :
Nous rappelons que u vecteur unitaire est vecteur propre de la matrice
[ ]OI associ la
valeur propre si lon peut crire :
[ ].OI u u=
Ce qui quivaut au systme dquations :
( )
( )
( )
A F E
F B D
E D C
0
0
0
=
+ = + =
On a des solutions non triviales si :
0
A F E
F B D
E D C
=
Cest le polynme caractristique de 3me
degr en .
A chaque valeur propre correspond un systme dquation dont les solutions
( , , )i i i donnent les composantes dun vecteur propre. La matrice tant symtrique, les 3
vecteurs propres unitaires sont orthogonaux. Les supports des vecteurs propres sont les axes
principaux dinertie du solide.
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-
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40
Dans le repre , la matrice dinertie scrit :1 2 3( ; , , )O u u u
[ ]1
2
3
0 0
0 0
0 0
OI
=
Cas particulier dune racine double :
Soit 1 2 = . Choisissons laxe laxe principal correspondant la racine simple. On a
donc [ ]
3( ; )O e
1
1
3
0 0
0
0 0
OI
0
=
, soit un vecteur quelconque mais normal laxe .Les
coordonnes de ce vecteur sont :
i
3( ; )O e
0i
.
On remarque alors que [ ] 1.OI i i=
.
i
est donc vecteur propre dinertie par rapport laxe3
( ; )O e
. On en dduit que tous les axes
du plan pasant par O sont axes principaux dinertie. Loprateur possde une
symtrie de rvolution. Cest le cas des solides cylindriques a section droite circulaire.
1 2( ; , )O e e
Cas particulier dune racine triple.
Soit 1 2 3 = = = 0la racine triple. [ ]
0 0
0
0 0
OI
=
. Quelque soit laxe de vecteur
unitaire et passant par le point O est axe principale.i
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41
Exemple de calcul doprateur dinertie.
Soit le cne daxe 3( ; )O e
, de hauteur h, de rayon de la baseR et dangle au sommet .
3(2 )dm d dx =
O
On peut aisment montrer que ce solide a une symtrie axiale. De ce fait loprateur est
reprsent par une matrice dite diagonale.
[ ]
0 0
0 0
0 0
O
A
I A
C
=
Le calcul de la masse du cne donne :3
3tan
Rm
=
Les trois composantesA, B, Csont calculs partir de leur dfinition :
2 2
2 3
( )
2 2
1 3
( )
2 2
1 2
( )
( )
( )
( )
S
S
S
A x x dm
B x x dm
C x x
= +
= +
= +
dm
Du fait de la symtrie axiale on a2 2
2 1
( ) ( )
/ 2S S
x dm x dm C = = .
Le calcul de C doit tre fait en premier afin de faciliter le calcul de A et B.
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42
2 2 2
1 2
( ) ( )
( )S S
C x x dm = + = dm
est la distance du point courant M laxe3
( ; )O e
.
Nous choisissons comme lment de volume une petite couronne de rayon moyen et
comme paisseur :3dx
3(2 )dm d dx =
53 2
0 0
32
tan 10 tan 10
R rdr R
C d
= =
mR=
sachant que 3tan
drdx
= .
Il nous reste calculer le terme 23( )S
x dm :
2 52 2 2
3 3 3 3 3
( ) 0
3
tan 5 tan 5 tan
R
S
r Rx dm x r dx dr
2
2
mR
= = = = .
La matrice dinertie du cne est alors donne par :
[ ]
2
2
2
21/ 2 0 0
tan
3 2
0 1/ 2 010 tan
0 0 1
OI mR
+
= +
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43
II grandeurs associes aux vitesses.
1 Torseur cintique
1 1 Rsultante cintique, quantit de mouvement
Soit (S) un systme matriel en mouvement dans un repre fixe 1 2 3( ; , , )R O e e e
. On considre
un lment de volume autour dun point M courant de (S).
On dfinit la quantit de mouvement de (S) dans le repre fixe 1 2 3( ; , , )O e e e
par la quantit :
/
( )
M R
S
p V dv=
Nous pouvons dvelopper cette expression en nous servant de la dfinition du centre cinertie
donne prcdemment :
/ /
( ) ( ) ( )
( )( )M R G R
S S S
d OM d d p V dv dv OM dv mOG mV
dt dt dt = = = = =
La rsultante cintique dun systme est gale la quantit de mouvement dun point
matriel, portant la masse totale du systme et qui serait confondu avec le centre dinertie.
On appelle repre propre dun systme, un repre dans lequel sa quantit de mouvement est
nulle chaque instant.Si en plus son origine est en G, il est appel alors repre barycentrique. Si en plus les axes
gardent une direction fixe, cest alors le repre de Koenig.
1 2 Moment cintique Torseur cintique
On dfinit le moment cintique par la grandeur :
/
( )
Q M
S
QM V dm = R
Si le point Q est un point du systme (S) alors on peut crire :
/ / ( ) / M R Q R S RV V Q= + M
Do :
/ /
( ) ( ) ( )
( )Q M R Q R QS S S
QM V dm QM QMdm QM V dm I mQG V = = + = +
/Q R
Lexpression se simplifie si Q = G alors ( )G GI =
ou bien si Q = O point fixe : ( )O OI =
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44
Montrons que ce moment est un champ antisymtrique et donc un moment dun torseur
appeltorseur cintique .
Comparons les moments cintiques dun mme systme en P et Q :
/ / / ( ) ( ) ( ) ( )
( )P M R M R M RS S S S
Q
PM V dm PQ QM V dm PQ V dm QM V dm
PQ p
= = + = +
= +
/M R
)
0
Nous dfinissons ainsi le torseur cintique du solide (S) dans son mouvement par rapport au
repre (S) par ses deux lments de rduction :
{ } /( ) /,( ) /
G R
S R QQ S R Q
p mV
= =
Cas du centre de gravit et dun point fixe :
Nous pouvons utiliser la proprit de la formule de transport pour le champ antisymtrique,
pour lexprimer au point G, centre dinertie pour le solide :
/ /( )/(G R G RQ G G S RQG mV I mQG V = + = +
Nous pouvons voir que pour un mouvement de type translation pure alors
et donc
( )/( 0S R =
( ) /(G G S RI = =
/G RQ mQG V =
Le torseur est un glisseur passant par G.
Dans le cas dun mouvement de rotation point fixe O, nous avons :
( ) /( 0O O S RI = =
Ce qui permet de formuler le thorme de Koenig pour le torseur cintique :
Le moment cintique dun solide (S) anim dun mouvement quelconque est gal la somme
du moment cintique de ce solide anim dun mouvement de translation pure de vitesse gale
la vitesse du centre dinertie et du moment cintique de ce solide en rotation autour de G(considr comme fixe).
2 Energie cintique
2 1 Dfinition
Soit (S) un solide en mouvement par rapport au repreR et soit un point courant M.
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45
Lnergie cintique de (S) dans son mouvement par rapport au repre R est donne par
lexpression suivante :
2
/
( )
1
2c M
S
E V=
Rdm
M
, )
Cette expression peut tre expliciter en prenant un autre pont Q du mme solide (S).
Le champ des vitesses est donn par :
( ) // / S RM R Q RV V Q= +
En introduisant cette expression dans celle de lnergie cintique, nous obtenons
2
2 . ( ) 2 ( ,Q QC QE mV I m V QG= + +
Cette expression de lnergie assez complexe peut tre avantageusement simplifie si on
lexprime en des point Q tels que :
parallle QG / parallle Q RV Le point Q est en G. Le cas le plus intressant :
2
2 . ( ) .G GC GE mV I V p . G= + = +
On reconnat ici le comoment de deux torseurs : le torseur cinmatique pra le torseur
cintique. Or le produit de 2 torseurs est indpendant du choix du point o ils sont dfinis.
Donc , 2 . .C QQ E V p Q = +
2 2 Thorme de Koenig
Mouvement de translation pure de vitesse /G RV 2
/2 G RC
E mV =
Mouvement de rotation autour dun point fixe O :2 . (
C OE I=
)
Do lnonc du thorme de Koenig pour lnergie cintique :
Lnergie cintique dun solide (S) anim dun mouvement quelconque est gal la somme
lnergie cintique de ce solide anim dun mouvement de translation pure de vitesse gale
la vitesse du centre dinertie et de lnergie cintique de ce solide en rotation autour de G
(considr comme fixe).
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III GRANDEURS ASSOCIEES AUX ACCELERATIONS
1 Rsultante dynamique- Quantit dacclration
1 1 Dfinition
Soit le solide (S) en mouvement dans un repreR. On dsigne par G son centre dinertie, m sa
masse. Soit M un point courant de (S).
On dsigne par R
la rsultante dynamique du solide (S). Cette rsultante dynamique est aussi
appele quantit dacclration par analogie avec la quantit de mouvement p
dfinie
prcdemment.
1 2 Calcul
R
est dfinie par lexpression suivante :
2
/ //2
( ) ( )
( ) ( ) (M R G RM RRS S R
d d)
dR dm V dm OG m p
dt dt dt
= = = = =
La rsultante dynamique dun solide est donc gale la quantit dacclration dun point
pesant de masse m et qui serait confondu avec le centre dinertie G. On constate aussi que
cest la drive par rapport au temps de la quantit de mouvement p
.
2 Moment dynamique torseur dynamique
2 1 Dfinition
Le moment dynamique est dfini dune manire quivalente au moment cintique.
Soit Q un point quelconque de lespace, on dfinit le moment dynamique par lexpression
suivante :
/
( )
M RQ
S
QM dm =
2 2 Relation entre moment dynamique et moment cintique
Reprenons lexpression du moment cintique et drivons par rapport au temps relativement au
repre de dpartR.
/ /
( ) ( )
( )Q M RS S
QM V dm OM OQ V dm = =
M R et la drive donne :
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-
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47
// / /
( ) ( )
( ) ( ) ( ) M RM R Q RQ M RR S S
dV V V dm QM d
dt
= +
m
soit / / /
( )
M RQ Q
RS
dQM dm mV V
dt
= = +
Q R G R
Le second terme sannule pour Q en G ou bien au point fixe O.
Dans ce cas G GR
d
dt
=
3 Torseur dynamique
Nous allons montrer que le moment dynamique a les proprits dun champ antisymtrique.
Pour cela nous allons lexprimer en deux points et voir si lon obtient la fameuse relation de
transport des moments de torseurs ;
Soit P et Q deux points du solide (S). Nous avons la dfinition de base du moment
dynamique :
/ / /
( ) ( ) ( )
M R M R M RQ P
S S S
QM dm QP dm PM dm QP R = = + = +
Nous avons bien obtenu la proprit des champs antisymtriques, le moment dynamique est
donc un moment de torseur appel torseur dynamique dfini en un point Q par ses lments
de rduction :
{ }/
( ) /
G R
S R QQ
R m
= =
Si le point Q est en G ou bien en point O fixe alors on peut crire de manire global :
{ } { }( ) / ( ) / S R S RG GR
d
dt
=
Cette formulation, on le verra, est souvent utilise dans la rsolution des problmes de
dynamique.
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48
CHAPITRE IV - STATIQUE ET REPRESENTATION DES ACTIONS
MECANIQUES
I MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES AGISSANT SUR UN
SYSTEME MATERIEL
1 Dfinition :
Action mcanique : toute cause qui a pour effet de maintenir au repos, de modifier ltat du
repos ou de mouvement dun systme matriel ou dune partie du systme.
* Exemple dactions mcanique :
- laction de la pesanteur provoque la chute de la pomme de Newton
- le soleil dvie la trajectoire rectiligne de la terre
- lcoulement de leau est arrt par la prsence de la paroi du barrage
2 Classification des actions mcaniques
On classe les actions mcaniques selon leur mode daction et leur nature. On distingue ainsi :
les actions mcaniques qui sexercent distance telles laction de la pesanteur, lactiondun champ magntique.
les actions mcaniques de contact telle laction de leau sur une paroi de barrage (forcede pression)
Les deux types dactions peuvent sexercer sous forme daction ponctuelle, c'est--dire en un
point de lespace. Cette hypothse est physiquement difficile raliser. On modlise
cependant souvent des forces sappliquant en un point du systme par un vecteur force
applique en ce point. Ce mode daction est alors associ un vecteur li et donc sa
reprsentation peut tre faite, comme nous lavons vu dans le cours sur les torseurs, laide
glisseur.
Lensemble des actions voques prcdemment sont modlises par des torseurs associs
des densits de force (sauf pour ce qui est de la force ponctuelle).
Nous allons successivement examiner les actions mcaniques densit volumique de force
puis surfacique ou linique.
a Action mcanique densit volumique de force.
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49
Considrons un systme matriel () continu occupant un volume V de lespace trois
dimensions. Chaque lment de volume dV autour dun point courant Mpeut tre sollicit par
une force :
dF rdV =
Nous avons donc un glisseur associ au vecteur li ( , )M dF
.
On peut en dduire la densit de force volumique :
dFr
dV=
r
est donc un vecteur densit volumique de force.
En mcanique des milieux continus, on se ramne des grandeurs locales et lon crit :
0limdV
dFrdV
=
Lensemble de ces forces appliques sur chaque lment de volume entourant le point
courantMconstitue un ensemble de glisseurs associs aux vecteurs lis (
dF
, )M dF
. Lensemble
de ces glisseurs constituent un torseur de rsultante :
( )( )
VR r M dV =
et de moment en un point A quelconque ::
( )( )A
VM AM r M dV =
Remarque : On peut facilement vrifier que cet ensemble de vecteur est bien un torseur. Il
suffit pour cela dcrire cette formulation en passant par un point B quelconque :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )A
V V V
B
M AB BM r M dV AB r M dV BM r M dV
M AB R
= + = +
= +
On se retrouve bien avec la forme dun champ antisymtrique.
Exemple particulier: Champ de pesanteur uniforme.
La pesanteur terrestre agit sur lensemble des milieux matriels par lintermdiaire dune
force distance qui agit sur lensemble du milieu et donc sur le volume de matire constituant
le milieu en question. Nous avons donc une action densit volumique. Chaque lment de
volume est de ce fait soumis une force de la forme :
dF rdV gdV = =
La densit volumique de force est donc dfini par :
r g=
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50
Le torseur ainsi constitu pour tout le volume Va pour rsultante :
( )( )
VR M gdV mg= =
m tant la masse totale du systme.
Son moment en un point A est dfini de la manire suivante :
A GM M AG R AG m= + =
g
Cette dernire expression est justifie si lon remarque que( )
0GV
M GM mgdV =
=
par
dfinition du centre de masse G.
Le torseur associ aux forces rparties de pesanteur de densit r g=
est donc un glisseur
associ au vecteur li ( ., )G mg
gdv
dM
b Actions mcaniques densit massique (ou linique)
La mme dmarche peut-tre faite lorsquon traite des actions mcaniques densit
surfacique (ou linique) :
Nous reprenons pour cela le solide () de frontire (S). Chaque lment de volume dS autour
dun point courant M de () peut tre sollicit par une force :
dF rdS=
Nous avons donc un glisseur associ au vecteur li ( , )M dF
.
On peut en dduire la densit surfacique (ou linique) de force:
dFr
dS=
r
est donc un vecteur densit surfacique de force.
En mcanique des milieux continus, on se ramne des grandeurs locales et lon crit :
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51
0limdS
dFr
dS=
Lensemble de ces forces appliques sur chaque lment de surface (ou de ligne)
entourant le point courantMconstitue un ensemble de glisseurs associs aux vecteurslis
dF
( , )M dF
. Lensemble de ces glisseurs constituent un torseur de rsultante :
( )( )
SR r M dS=
et de moment en un point A quelconque ::
( )( )A
SM AM r M dS=
Remarque : On peut facilement vrifier que cet ensemble de vecteur est bien un torseur. Il
suffit pour cela dcrire cette formulation en passant par un point B quelconque :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )A
S S
B
SM AB BM r M dS AB r M dS BM r M dS
M AB R
= + = +
= +
On se retrouve bien avec la forme dun champ antisymtrique.
3 Modlisation des actions de contact Loi de Coulomb
Nous venons de traiter des actions mcaniques de contact. Nous allons analyser ce problme
travers le contact entre deux solides (1) et (2) . Supposons que ces deux solides soient en
contact au travers dune portion de surface (). Nous considrons un point K de () et la
normale en K oriente de (1) vers (2)
(2)
n
K()
La force lmentaire dF
qui sexerce sur une surface lmentaire ds peut tre dcompose sur
le plan tangent commun () de la manire suivante :
(1)
dF
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( ) ( )n tdF f M dS f n f dS= = +
nf est la composante normale de la densit de force lmentaire de contact en K, elle exprime
la pression exerce par le solide (2) sur (1).
tf est la densit de force lmentaire tangentielle (dite de cisaillement) au point K.
d Lois de Coulomb (1726,1805).
Le contact entre deux solides saccompagne de phnomnes de frottement dans certaines
conditions. Ces frottements dpendent principalement de la nature du mouvement relatif
entre les deux solides en contact, de la nature des matriaux qui les constituent et aussi de
ltat des surfaces en contact.
Nous allons voir que dans certaines conditions les forces mises en uvre dans le contact
peuvent sannuler ou non.
Les lois de Coulomb donnent une relation entre les composantes des actions locales de
contact.
Nous allons prciser les diffrentes configurations de laction de contact et leur valeur.
Cas du glissement non nul1 2,( ) /( )
( 0g S SV )
Dans ce cas il y a frottement de glissement et on a une proprit gomtrique entre les
rsultantes du torseur cinmatique et le torseur de laction locale de contact.
Au point K le torseur cinmatique du mouvement d u mouvement de (S1) par rapport (S2)
scrit :
( 1) /( 2)
( 1) /( 2)
S S
K S SV
et le torseur de laction locale en K sexprime par :
n t
K n t
dF f n f
M M n M
= +
= +
Nous avons alors :
0
. 0
K t
K t
V f
V f
=
Ceci traduit le fait que leffort de frottement est colinaire la vitesse de glissement mais de
sens oppos.
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53
La loi de Coulomb dfini un rapport entre les deux composantes de ( )f M
:
tant
n
ff
f= =
fest le coefficient de frottement entre les deux surfaces. Ce coefficient dpend de la nature
des matriaux mis en contact. On appelle , langle de frottement.
n
K
Dans le cas ou le vecteur est quelconque dans le plan tangent ( ), le vecteur force de contact
( )f M
dcrit un cne dangle au sommet .
Torseur rsultant de laction de contact
Lorsque laction de contact sexerce sur une surface (ou un tronon de ligne) il est possible
dexprimer le torseur rsultant de laction de contact entre deux solides. Pour cela on somme
sous forme dintgrale sur la surface (la ligne) de contact.
{ }( )
( 1) ( 2)
( )
( )
( )
P n
S
S S K
P n n
S
R f n f t Nn T
A
tM PM f n f t M n M
= = + =
= = +
Loi de Coulomb pour les frottements et le roulement.
Il est possible dnoncer des lois de Coulomb de frottement dans le cas des mouvements
faisant intervenir des rotations de pivotement et de roulement.
Pour cela nous reprenons lcriture du torseur cinmatique :
()
dF
fn
ft
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54
( 1) /( 2 ) ( 1) /( 2 )
( 1) /( 2) ( 1) /( 2)
S S S S n t
K S S K S S
n
V V
= + =
a cas o le (pivotement)0n
nM n est suppos oppos .nn
. 0n nM n n
.
Nous avons alors la loi de Coulomb pour le frottement de pivotement :
nMk
N= , kest le coefficient de frottement de pivotement.
b Cas o 0t
tM
est suppos oppos :t
0
. 0
t t
t t
M
M
=
Nous avons alors la loi de Coulomb pour le frottement de roulement :
'tM
kN
= , k est le coefficient de frottement de roulement.
II LES LIAISONS
1 Degrs de libert et dfinition dune liaison
Un degr de libert est un mouvement de base pour un solide en mouvement dans un
rfrentiel. Une rotation autour dun axe est un degr de libert, une translation suivant une
direction est aussi un degr de libert. En somme un solide peut possder 6 degrs de libert
au maximum. Ce sont les 3 paramtres de positions dun point du solide et les 3 rotations
possible du solide.
Une liaison est un dispositif entre deux solides permettant de limiter le nombre de degrs de
libert. Ces liaisons peuvent tre associes des mouvements de translation suivant une
direction ou bien des mouvements de rotation autour dun point. On distingue ainsi des
liaisons glissire, rotule, pivot, pivot glissant
Lorsquune liaison est permanente on dit que la liaison est bilatrale. Dans le cas contraire la
liaison est unilatrale. Une vis dans un crou constitue une liaison bilatrale, tandis que le
contact dune bille sur un plan est une liaison unilatrale.
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2 Les diffrentes liaisons de base
2 -1 Liaison glissire
On dit quune liaison entre deux solides est une liaison glissire si le seul mouvement permis
entre les deux solides est un mouvement de translation suivant une direction lie un des
deux solides.
Nous avons alors un seul degr de libert associ au mouvement relatif des deux solides.
Reprsentation de la liaison glissire selon G. HENON
La caractrisation cinmatique de la liaison est donne par le torseur cinmatique suivant :
{ } 121/ 20
A
A
CV x
==
=
si la direction de mobilit est suivant la directionx
Le torseur de laction du solide (S1) sur le solide (S2) est de la forme :
{ } 12 12( 1) ( 2),12 12 12 12
P
S S AA
R Y y Z zA
M L x M y N z
= + =
= + +
2 2 Liaison pivot
Deux solides sont en liaisons pivot si le seul mouvement relatif permis e est un mouvement de
rotation autour dun axe de lun des deux solides.
L aussi nous avons un seul degr de libert.
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Roue de vhicule
Liaison pivot selon G. HENON
Le torseur cinmatique associ cette liaison est le suivant :
{ } 121/ 20
O
O
xC
V
= = =
Le torseur des actions mutuelles entre les deux solides est donn par :
{ } 12 12 12 12( 1) ( 2),12 12 12
S S AA
R X x Y y Z zA
M M y N z
= + + =
= +
2 3 Liaison pivot glissant
Deux solides sont en liaisons pivot glissant si le seul mouvement relatif permis est un
mouvement de rotation autour dun axe li un des deux solides combin un mouvement de
translation suivant le mme axe..
Le mouvement relatif entre les deux solides est caractris par deux degrs de liberts.
Liaison pivot glissant selon G. HENON
Le torseur cinmatique associ cette liaison est le suivant :
{ } 121/ 2 OO
xC
V x
= =
=
Le torseur des actions mutuelles entre les deux solides est donn par :
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{ } 12 12 12( 1) ( 2),12 12 12
S S OA
R Y y Z zA
M M y N z
= + =
= +
2 - 4 Liaison encastrementDeux solides sont en liaisons encastrement si aucun mouvement relatif nest permis entre les
deux solides en question.
(S2)
(S1)
Poutre encastre
Le torseur cinmatique associ cette liaison est le suivant :
{ } 121/ 20
0O
O
CV
= =
=
Le torseur des actions mutuelles entre les deux solides est donn par :
{ } 12 12 12 12( 1) ( 2),12 12 12 12
S S OA
R X x Y y Z zA
M L x M y N z
= + + =
= + +
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2 5 Tableau des liaisons
Torseur des actions mcaniques transmissibles par une liaison parfaite (Source L. Granjon))
Dsignation de la
liaisonSchmatisation spatiale Mobilits
Torseur daction
mcanique
transmissible
Torseur daction
mcanique
Simplifi
Pivot
daxe (A, x
)Tr
0
0
0
Rot
Rx
0
0
A
X12 0
Y12 M12
Z12 N12
Symtrie par rapport
(A, y
, z
)
A
0 0
Y12 0
Z12 0
Glissire
daxe (A, )x
Tr
Tx
0
0
Rot
0
0
0
A
0 L12
Y12 M12
Z12 N12
Symtrie par rapport
(A, x
, z
)
A
0 0
0 M12
Z12 0
Pivot glissant
daxe (A, )x
Tr
Tx
0
0
Rot
Rx
0
0A
0 0
Y12 M12
Z12 N12
Symtrie par rapport
(A, y
, z
)
A
0 0
Y12 0
Z12 0
Appui plan de
normale (A, x
)Tr
0
Ty
Tz
Rot
Rx
0
0A
X12 0
0 M12
0 N12
Symtrie par rapport
(A, x
, y
)
A
X12 0
0 0
0 N12
Rotule
de centre ATr
0
0
0
Rot
Rx
Ry
Rz
A
X12 0
Y12 0
Z12 0
Symtrie par rapport
(A, ,x
y
)
A
X12 0
Y12 0
0 0
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Linaire annulaire
daxe (A, x
)Tr
Tx
0
0
Rot
Rx
Ry
RzA
0 0
Y12 0
Z12 0
Symtrie par rapport
(A, x
, z
)
A
0 0
0 0
Z12 0
Linaire
rectiligne
de normale
(A, x
)
et de contact
(A, y
)
Tr
0
Ty
Tz
Rot
Rx
Ry
0A
X12 0
0 0
0 N12
Symtrie par rapport
(A, x
, z
)
A
X12 0
0 0
0 0
III Principe fondamental de la statique.