Cours Mecanique Du Solide Rigide[1]

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    MECANIQUE DU SOLIDE RIGIDE

    ENSEIGNEMENT DE LICENCE DE MECANIQUE

    UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE

    LA 201 SECTION B

    ANNEE 2006-2007

    UPMC A. ALLICHE

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    CHAPITRE I - CALCUL VECTORIEL RAPPELS DE MATHEMATHIQUES

    1 Espace vectoriel et reprsentation dun vecteur.

    SoitEun espace vectoriel de dimension n = 3, en fait3, de base

    1 2 3( , , )b e e e=

    forme de 3

    vecteurs linairement indpendants. Tout vecteur de E peut tre reprsent par une

    combinaison linaire des vecteurs de base de b :

    1 1 2 2 3 3v v e v e v e= + +

    eou bien sous la forme3

    1

    i i

    i

    v v=

    =

    .

    Une autre notation peut tre adopte, appele aussi convention de lindice muet ou

    convention dEinstein :

    i iv v e=

    Lindice rpt i est lindice muet sur lequel se fait lopration. Cette convention nest

    applicable que dans le mme monme.

    Lespace vectorielEest souvent reprsent par un repreR possdant une origine O et une

    base . On notera :1 2 3( , , )b e e e=

    1 2 2( ; , , )R O e e e=

    2 Oprations sur les vecteurs

    2 1 Produit scalaire

    Un produit scalaire est une forme bilinaire symtrique de ExE sur telle que la forme

    quadratique associe soit dfinie positive.

    Par dfinition une forme bilinaire f est une application qui deux vecteurs de E

    associe le rel

    etu v

    ( , )f u v

    . Par ailleurs f est une application linaire par rapport chacun des

    arguments.

    Notation :

    ( , ) .f u v u v=

    La symtrie du produit scalaire est dfinie par la proprit :

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    ( , ) . . ( , )f u v u v v u f v u= = =

    Une forme est dite dfinie positive si le produit scalaire dun vecteur par lui-mme est

    positif et ne sannule que si le vecteur

    .u u

    0u =

    .

    Remarques :

    On dfinie le produit scalaire de 2 vecteurs etu v dans une base par :1 2 3( , , )b e e e= 3 3

    1 1

    . ( )( ) ( . ) .i i j j i j i j i i j j

    i j

    u v u e v e u v e e u e v e= =

    = = =

    Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul :. 0u v =

    Cette dernire proprit nous permet dcrire que dans le cas dune base orthonorme nous

    avons :

    1 si( . )

    0 sii j ij

    i je e

    i j

    == =

    Do une autre criture possible pour le produit scalaire :

    1 1 2 2 3 3. ( )( )i i j j i iu v u e v e u v u v u v u v= = = +

    +

    Norme dun vecteur: Parmi les dfinitions possibles de la norme on retiendra celle de la

    norme euclidienne :

    1/ 2 2( . ) .i i i

    i

    u u u u u u= = =

    On se sert de cette dernire dfinition pour introduire une nouvelle notation du produitscalaire impliquant langle entre les deux vecteurs :

    . . cos( ,u v u v u v= )

    2 2 Produit mixte

    Soit E un espace vectoriel de base 1 2 3( , , )b e e e=

    . On appelle produit mixte des vecteurs

    deE, leur dterminant dans la base, etu v w 1 2 3( , , )b e e e= . On le note :

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    ( , , ) ( , , )u v w Det u v w=

    On dmontre que le dterminant est invariant par changement de la base b.

    Proprits :

    Le produit mixte est invariant par rotation circulaire des vecteurs. Cette proprit estdirectement lie celle des dterminants :

    ( , , ) ( , , ) ( , , )u v w w u v v w u= =

    Le produit mixte de 3 vecteurs coplanaires est nul :( , , ) 0 , , lisu v w u v w=

    Les autres cas de nullit du produit mixte se vrifient dans le cas o deux des trois

    vecteurs sont colinaires, et lorsque un des vecteurs est nul.

    2 3 Produit vectoriel :

    Thorme :

    Soient deux vecteurs deE.etu v

    lapplication:

    ( , , )

    E R

    w u v w

    est une forme linaire.

    Il existe un unique vecteur deEtel que :, ( ) ( , , ) .w E w u v w w = =

    Dmonstration :

    est linaire puisque le dterminant est linaire par rapport au dernier argument.

    unicit de la deuxime proposition :Supposons quil existe deux vecteurs et '

    tel que :

    , ( ) ( , , ) . '.w E w u v w w w = = =

    ')

    alors et donc le vecteur( '). 0w E w =

    (

    est orthogonal tout vecteur

    deE. Cest un vecteur nul ' =

    Existence :

    Notons P la matrice constitue des vectrices colonnes de , etu v w

    :

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    1 1 1

    2 2 2

    3 3 3

    u v w

    P u v w

    u v w

    =

    Nous aurons [ ] 1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1( , , ) det ( ) ( ) ( )u v w P w u v u v w u v u v w u v u v= = +

    Si lon pose pour

    :

    2 3 3 2 1 1 3 3 1 2 1 2 2 1 3( ) ( ) (u v u v e uv u v e uv u v e)= +

    Nous obtenons alors :

    ( , , ) .u v w w=

    Le vecteur ainsi dfini est le produit vectoriel des deux vecteurs ,u v et on note :

    u v =

    Retour au produit mixte :

    Nous pouvons donc aisment crire le produit mixte de la manire suivante :

    ( , , ) .u v w u v w=

    .

    Les proprits du dterminant et la symtrie du produit scalaire permettent dcrire :

    ( , , ) . ( , , ) ( , , ) .u v w u v w v u w v w u u v w= = = =

    Expression du produit vectoriel :

    Le produit vectoriel u v =

    peut scrire de divers manires, en particulier en se servant

    de lexpression du dterminant prcdente, on aura :

    2 2 3 3 1 11 2

    3 3 1 1 2 2

    u v u v u vu v e e eu v u v u v

    + = + 3

    es

    Proprits du produit vectoriel :

    a) Lapplication deEEdansEest anticommutative, bilinaire et non associative.b) etu v u u v v c) 0 , colinairu v u v =

    Formule du double produit vectoriel

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    ( ) ( . ) ( . )u v w u w v u v w =

    (dmonstration en TD)

    2 4 Division vectoriel :

    Soient deux vecteurs etv w

    connus, existe-t-il un vecteur x

    tel que :

    v x w =

    ?

    Remarque :

    doit tre non nulv doivent tre orthogonauxetv w

    vSi existe, alorsx

    x +

    est aussi solution.

    Recherchons maintenant le vecteur en fonction dex

    etv w

    .

    En multipliant vectoriellement par , on obtient :v

    ( )v v x v w =

    En utilisant la formule du double produit vectoriel, on aboutit lexpression suivante :

    2

    1( . ) ( . )v x v v v x v w x v v w

    v = =

    On peut dmontrer, ce niveau la deuxime remarque ci-dessus :

    2

    1 (( )

    v v wv x v v v w

    v v

    = =

    2)

    en dveloppant ce double produit vectoriel, on

    obtient :

    2

    ( . )v w wv x w

    v

    = +

    Cette solution nest valable que si . 0v w =

    3 - Identit de Lagrange

    Thorme :

    Soient deux vecteurs deE.etu v

    Lidentit de Lagrange est dfinie par la relation suivante :

    2 22( . ) .u v u v u v+ = 2

    Dmonstration :

    2( ).( ) ( , , ) ( , , ) ( ( ). )u v u v u v u v u v v u v u v u v u = = = =

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    En utilisant la formule du double produit vectoriel on obtient :

    ( ) ( . ). ( . ).v u v v v u v u v =

    Do :2 2 2 2. ( .u v u v u v =

    )

    Lidentit de Lagrange nous permet dcrire une autre formulation du produit vectoriel :

    ( ) . sin( ,u v u v u v =

    )

    Dmonstration :

    2 2 2 2 2 2 22 2. ( . ) . (1 cos ( , )) . (sin ( ,u v u v u v u v u v u v u v = = = 2 ))

    et donc :

    . sin( ,u v u v u v =

    )

    v

    Orientation du produit vectoriel :

    Considrant le plan passant par le point O et contenant les vecteursu et

    )e e

    . Soient ( , une

    base de ce plan. Soit e

    1 2

    3

    un vecteur perpendiculaire ce plan et tel que 1 2 3( , , )e e e

    constitue une

    base orthonorm directe deE: on dit que le plan est orient par e3

    . On a alors lexpression du

    produit vectoriel :

    3( ) . sin( , ).u v u v u v e =

    4 Applications

    est laire oriente du paralllogramme construit sur les vecteursu .u v ,v le produit mixte est le volume du paralllpipde construit sur les vecteurs( , , )u v w

    , ,u v w

    w

    u v

    v

    u

    u

    vh

    Aire paralllogramme :

    Aire = Base * Hauteur = . . cov h v u s=

    Volume paralllpipde :

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    Volume = Base * Hauteur = . .cos ( ). ( , ,u v w u v w u v w = =

    )

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    CHAPITRE 2 - TORSEURS

    I- Applications antisymtriques.

    Soit une application de l'espace vectoriel E dans E :

    ( ) ( )( )u M L u M

    L est antisymtrique :( ),u v E x E

    ( ) ( )-u L v v L u=

    Proprit : Toute application antisymtrique est linaire.

    1 2,u u E

    et 1 2, on a :

    ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2,L u u L u L u + = +

    2

    .

    Soit maintenant [ la matrice reprsentant l'application par rapport la base orthonorme

    directe deE:

    ]L

    ( )1 2 3, ,e e e

    [ ]11 12 13

    21 22 23

    31 32 33

    l l l

    L l l l

    l l l

    =

    avec

    ( ) ( )

    ( ) ( )11 1 1 1 1 11

    - - 0

    - -jij i j i ji

    l e L e e L e l

    l e L e e L e l pour tout i j

    = = = =

    = = =

    r

    r

    Posons arbitrairement 12 3 13 2 23 1- ; ; -l r l r l= = =

    d'o on remarque alors que[ ]3 2

    3 1

    2 1

    0 -

    0 -

    - 0

    r r

    L r

    r r

    =

    u E

    ;

    L u R u=

    o est appel le vecteur caractristique de lapplication

    antisymtriqueL .

    1 1 2 2 3 3R r e r e r = + +

    e

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    Expression du vecteur caractristique :

    Si sont les vecteurs unitaires de la base orthonorme de lespace vectorielE, alors on

    a la relation suivante :

    1 32 3e ,e ,e

    3

    1

    1( )

    2i i

    i

    R e L e=

    =

    Dmonstration : En utilisant la relation du double produit vectoriel ;

    3 3 3

    1 1 1

    ( ) ( ) ( . ) . ( . ). 2i i i i i i i ii i i

    e L e e R e e e R e R e R= = =

    = = > =

    Champ antisymtrique :

    Le champ ( )Q Q

    est antisymtrique, s'il existe une application antisymtriqueL, telle

    que :

    M et P : ( ) ( ) ( )M P L PM = +

    Soit ( ) ( ), :M P M P R MP = +

    Proprit : Multiplions scalairement par MP

    :

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    . . .

    or . 0 . .

    M MP P MP MP S PM

    MP S PM M MP P MP

    = +

    = =

    Le vecteur (M) a la mme projection que ( )P sur la direction PM.

    Un champ antisymtrique est quiprojectif.

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    M( )P

    ( )M

    P

    Dmontrons la rciproque

    ( ) ( ). .M MP P MP =

    En insrant un point fix O, lexpression devient :

    ( ) ( ). ( - ) . ( - )M OP OM P OP OM =

    Par ailleurs nous pouvons aussi crire :

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    . - . . - .

    . - . . - .

    .( - ) .( - )

    M OM M OP P OM P OP

    O OM M OP P OM O OP

    OM O P OP M O

    =

    =

    =

    On dfinit une applicationL telle que :

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( - )

    ( ) ( -

    L OP P O

    L OM O M

    =

    =

    )

    Ce qui nous donne :

    . ( ) . ( )OM L OP OP L OM =

    LapplicationL est donc bien antisymtrique. De plus nous avons

    ( ) ( )= + ( )P O L O P

    ( ) P

    est donc un champ de vecteur associ une application antisymtrique.

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    II - Torseurs.

    1 - Dfinition

    On appelle torseur { }T l'ensemble d'un champ antisymtrique m et de son vecteur R

    caractris en un point M (quelconque) par le vecteur ( )Mm

    appel moment du torseur et le

    vecteur R

    appel rsultante du torseur.

    On a donc la relation pour tout couple de point (M, P)

    ( ) ( )M Pm m MP= + R

    appel formule de transport.

    On crit aussi : { }( )

    M

    M

    RT

    m

    =

    .

    2 - Invariant scalaire

    Multiplions scalairement cette relation parR

    .

    ( ) ( ) ( ). . .Pm M R m R MP R R cst = + =

    e

    or ( ) . 0MP R R =

    do linvariantI:

    ( ) ( ). .PI m M R m R= =

    Invariant vectoriel

    On dfinit le vecteur( ) ( )M Pu ; u . u .

    Rm m

    R= =

    cste=

    L'invariant vectoriel est le vecteur I I u=

    . (vecteur projection de surm R

    ).

    3 - Oprations sur les torseurs

    Sommes { } { } { } 1 211 2

    2

    M M M

    M M

    R R RL L L

    m m m M

    = + = +

    = +

    Multiplications par un scalaire.

    { } { } 111

    M

    M M

    R RL L

    m m

    ==

    =

    Produit (Comoment de deux torseurs).

    Soient les deux torseurs suivants:

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    { } { } )(

    et)(

    2

    2

    2

    1

    1

    1

    =

    =Mm

    RT

    Mm

    RT

    MM

    Le comoment de deux torseurs est obtenu en multipliant les lments de rductions de deux

    torseurs de la manire suivante

    )(.

    )(2

    2

    1

    1

    =Mm

    R

    Mm

    RP

    C'est donc le rel ( ) ( )1 2 2 1. .M MP R m R m= +

    .

    Il est indpendant du choix du point M. (pour le calculer il faut imprativement que les deux

    torseurs soient dfinis au mme point).

    Dmonstration :

    )(.)(.

    ))(.())(.()(.)(.

    1221

    1122211221

    QmRQmRP

    QMRQmRQMRQmRMmRMmRP

    +=

    +++=+=

    Le scalaire P n'est pas affect lorsqu'on exprime les torseurs

    4 - Exemples de torseur :Torseur associ un vecteur li.

    Soit ( u,A )

    un vecteur li de E. En mcanique on rencontre beaucoup de grandeurs

    reprsentes par un vecteur dfini en un point de lespace. Cest le cas dune force applique

    en point (exemple le poids), du champ des vitesses dun solide A chaque point M faisons

    correspondre le vecteur , moment du vecteur li.( ) uMm MA=

    L'ensemble form par le vecteur et le champ m forme un torseur. En effet :u

    ( ) ( ) ( )P Mm PA u PM MA u PM u m= = + = +

    ( )Pm

    est un champ antisymtrique donc un champ de moment de torseur.

    Pour que le moment soit nul en un point M, il faut et il suffit que le vecteur li passe par M. Il

    faut en effet que uetMA

    soient colinaires.

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    5 - Torseurs lmentaires

    a) Glisseur Un torseur est un glisseur s'il existe un vecteur li dont il soit le torseur associ.{ }

    uL

    m

    =

    est un glisseur il existe un vecteur li ( ),A u tel que , PP m PA u =

    .

    Axe d'un glisseur non nul. Soit B point de la droite ( )u,A

    ( ) ( )Pm PA u PB BA u PB= = + =

    u

    .

    { }L est un glisseur associ ( u,B )

    ceci B la droite ( ),A u

    Par dfinition cette droite passant par A et parallle u

    est l'axe du glisseur.

    Le moment d'un glisseur est donc nul en tout point de l'axe.

    Rciproquement pour qu'un torseur soit un glisseur, il faut il suffit qu'il existe un point o son

    moment soit nul.

    Donc si un torseur de rsultante R

    , a un moment nul en A, alors c'est un glisseur associ au

    vecteur li ( ),A R

    .

    On peut que lensemble des points P tels que ( ) 0Pm =

    est un axe parallle la rsultante R

    :

    ( ) ( ) +P Am m PA R=

    0= , or ( ) 0Am =

    , ce qui entrane 0PA R =

    . Nous en concluons que

    . Laxe ainsi dfini est appel axe du glisseur.//PA R

    Proprit

    L'invariant scalaire d'un glisseur est nul.

    ( ) ( ). . 0Pu m u PA u=

    =

    b) Couples Considrons un torseur tel que son moment soit indpendant du point o on lecalcule :

    PM, distincts .( ) ( ) ( )

    P M M

    m m PM R m PM R R= + = =

    0

    Remarque : Un couple peut-tre obtenu d'une infinit de faon en particulier par la somme de

    deux glisseurs de rsultantes parallles, de mme module et de sens contraires.

    6 - Dcomposition

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    Soit { } M

    M

    RL

    m

    =

    { } M

    A A

    RM OL MA R

    m mMA R

    = + = +

    cou le

    Un torseur quelconque est donc la somme d'un glisseur associ ( ),A R

    et d'un couple de

    moment mA

    .

    glisseur

    asso ic ,A R

    7 - Axe centrale d'un torseur.Laxe central dun torseur est le lieu des points o le moment du torseur est colinaire la

    rsultante

    ( ){ }. / PA C P m R = =

    2

    .P

    m R

    R =

    est le pas de l' A. C

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    CHAPITRE 3 - CINEMATIQUE DU SOLIDE RIGIDE

    I Rappels

    1 Notions de rfrentiel

    Lors de ltude dun systme, la formulation mathmatique de certains concepts lis ce

    systme ncessite que lon procde sa description et son reprage tout au long de son

    volution.

    - Dfinition dun rfrentiel

    La notion de rfrentiel est lie celle dobservateur : le rfrentiel en quelque sorte lespace

    euclidien entrain par lobservateur. Do la dfinition mathmatique :

    - On suppose choisie une fois pour toute la chronologie (laxe des temps) valable pourtous les observateurs

    - On appelle alors rfrentiel lensemble des points de lespace euclidien anims dunmouvement de corps rigide de lobservateur. Le rfrentiel not R, est dit li

    lobservateur. Pour reprer les positions des points du rfrentiel, on utilise un repre

    R li au rfrentiel.

    Il ne fat pas confondre rfrentiel et repre. Un rfrentiel peut tre associ plusieurs

    repres.

    2 Reprage dun point dans un rfrentiel associ un repreR.

    Soit un pointMmobile par rapport R de base ( , , )x y z

    et dorigine O. On peut crire :

    ( ) ( ) ( ) ( )OM t x t x y t y z t z= + +

    Les fonctionsx(t), y(t) et z(t) sont continues et continument diffrentiables par morceaux.

    La trajectoire deM(t) est lensemble des points de lespace occups par M quand tvarie.

    3 Vitesse dun point dans un repre

    La vitesse du point M est dfinie par :

    / ( )0

    ( ) (limM R R

    dOMV

    d

    OM t OM t

    = =

    +

    )

    do avec/ ( )M RV x t x yy= + +

    zz ( )dx

    x tdt

    =

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    17

    II - Dfinition dun solide Torseur cinmatique

    Le mouvement du solide est tudi par rapport un repre ( ; , , )R O x y z

    1 Dfinition

    Soient Met P deux points dun solide (S), pour tout instant ton a la proprit suivante pour

    un solide :

    2

    ( ) ( )M t P t cste=

    Proprit : Soient 4 points A, B, C, D quatre points de (S) choisis tels que ;

    si 0 0 0 0 0 0( , ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ))A A t B t A t C t A t D t

    est un repre orthogonal direct alors

    ( , ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ))A A t B t A t C t A t D t est aussi un repre orthogonal directe.

    2 Champ de vitesse des points dun solide. Torseur cinmatique

    Le champ de vitesse des points dun solide est le champ not Vt qui tout point P du solide

    associe le vecteur vitesse de la particule du solide dont la position cet instant est le

    point P.

    ( , )V P t

    Soient maintenant deux points M et P du solide. Nous pouvons donc crire que :

    2

    ( ) ( )M t P t cste=

    et par drivation par rapport au temps, obtenir la proprit

    dquiprojectivit du champ des vitesse :

    2[( ) ] 2[ ]. 0d d

    MP MP MPdt dt

    = =

    do

    ( ). 0 . .P M P M V V MP V MP V MP = =

    Do on peut conclure que le champ de vitesse dun solide est un champ quiprojectif (voir le

    cours sur les torseurs). Cest donc un champ de moment dun torseur appel torseur

    cinmatique. La rsultante de ce torseur est note ( / , )S R t

    . Nous allons montrer plus loin

    que la rsultante du torseur cinmatique est le vecteur rotation instantane du solide. Elle

    indpendante du point o lon dfini le torseur et donc le moment.

    Pour deux points M et Pdun mme solide peut appliquer les proprits des champs

    antisymtriques :

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    18

    / / ( ) / P R M R SV V PM = R

    Notation :Le torseur cinmatique est dfini en un point A par ses deux lments de rduction

    et que lon reprsente sous la forme suivante :

    { }( ) /

    AA S R

    CV

    =

    3 - Drivation dun vecteur li au solide par rapport un repre.

    On considre le vecteur u ayant pour extrmits deux points dun solide (S) en mouvement

    dans le repre

    ( ; , , )R O x y z

    tels que :

    u KL=

    Drivons le vecteur dans ce repre par rapport au temps :u

    ( ) / ( ) / [ ] [ ]

    R R L K S R S R

    d du KL V V KL

    dt dt = = = =

    u

    Drivation composeOn considre le mouvement dun solide (S) en mouvement dans un repre mobil dans le

    repre 1 1 1 1( ; , , )R O x y z

    , lui-mme ,en mouvement par rapport un repre ( ; , , )R O x y z

    .

    Soit le vecteur 1 1 1 1 1O M x x y y z z= + +

    1 1

    On drive le vecteur OM dans le repreR.

    11

    1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1

    ( )/1 /

    [ ] [ ( )] [ ] [ ( )]

    [ ] [ ( )] ( ) ( ) (

    [ ]

    R R R R

    R R

    M S RR R R

    d d d d OM OO O M OO O M

    dt dt dt dt

    d d d d d O M x x y y z z x x y y z z x x y y z z

    dt dt dt dt dt

    dO M V

    dt

    = + = +

    = + + = + + + + +

    = +

    1O M

    )

    M

    Ce qui nous donne la composition des vitesses suivantes :

    1 1 1 1( ) / ( ) / / / 1

    [ ]M S R M S R O R R R R

    V V V O

    = + +

    Cette expression traduit la composition du vecteur vitesse

    4 - Mouvements particuliers.

    Nous allons montrer travers quelques mouvements particuliers que la rsultante du torseur

    cinmatique est bien le vecteur de rotation instantane du solide.

    4 - 1 translation pure.

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    19

    Un solide est anim dun mouvement de translation par rapport au repre R, si chaque

    instant t, tous les points du solide ont mme vecteur vitesse par rapport R :

    , et (t A B S ) ou rigidement li ce solide on a :

    / /( ) ( )A R B RV t V t =

    Dans cette relation les vecteurs vitesses sont dtermins au mme instant. A un instant t, les

    vitesses dun mme point A du solide peut tre diffrente. dans ce cas le solide est anim dun

    mouvement rectiligne. Si en plus la vitesse de ce point reste constante en module, on parle

    alors de mouvement de translation rectiligne uniforme.

    Reprenons lexpression du champ des vitesses :

    / / ( ) / ( ) / ( ) ( ) 0A R B R S R S RV t V t AB AB= +

    =

    les points A et B tant des points quelconques du solide, on peut crire que

    ( ) / 0S R =

    Inversement si , on a alors( )/

    ,S Rt =

    0 / /( ) ( )A R B RV t V t =

    .

    Ceci traduit que dans le cas du mouvement de translation, le torseur des vitesses est un

    couple.

    Pour quun solide soit anim dun mouvement de translations, il faut et il suffit que les axes

    dun repre li au solide garde des directions constantes : ( )iR

    de

    dt0=

    , puisque la rsultante est

    calcule par la formule :3

    ( ) /

    1

    10

    2

    iS R i

    i

    dee

    dt= = =

    (dmonstration donne ci-dessous)

    4 - 2 Rotation autour dun axe fixe.

    On dit quun solide (S) est anim dun mouvement de rotation autour dun axe fixe

    si deux points distinct A et B ont une vitesse nulle. Il sensuit :( ) ( ; )O z =

    - tous les points de laxe ( ) ( ; )O z = ont une vitesse nulle,- le torseur cinmatique est un glisseur daxe ( ) parallle la rsultante du torseur

    cinmatique (voir cours sur les torseurs)

    - tous les points du solide dessinent des trajectoires circulaires autour de laxe fixeappel axe de rotation.( )

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    20

    Nous dfinissons le repre1 1 1( ; , , )

    1R O x y z

    li au solide tel que1z z=

    et

    1 1( , ) ( , )x x y y = =

    angle mesur autour ( ; )O z

    .

    z

    1y

    La variation des vecteurs du solide1 1 1 1( ; , , )R O x y z

    sont dtermins par les relations tablies

    prcdemment :

    1 ( ) /

    1 ( ) /

    1 ( ) /

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    R S R

    R S R

    R S R

    d1

    1

    1

    x xdt

    dy y

    dt

    d

    z zdt

    =

    =

    =

    1 1 1 1 1 1 1 ( ) / 1 1 ( ) / 1 1 ( ) / [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) (R R R S R S R Sd d d

    1)Rx x y y z z x x y y z zdt dt dt

    + + = + +

    Do en utilisant la formule du double produit vectoriel, on aboutit :

    1 ( ) / 1 1 ( ) / 1 1 ( ) / 1 1 1 ( ) / 1 ( ) / 1

    1 1 ( ) / 1 ( ) / 1 1 1 ( ) / 1 ( ) / 1

    ( ) / ( ) / ( ) /

    ( ) ( ) ( ) ( . ) ( . )

    ( . ) ( . ) ( . ) ( . )

    3 2

    S R S R S R S R S R

    S R S R S R S R

    S R S R S R

    x x y y z z x x x x

    y y y y z z z z

    + + =

    +

    = =

    +

    Dans le cas du mouvement de rotation autour dun axe fixe nous cette relation devient :

    1 1 1 1 1( ) / [ ] [ ] 2R R Sd d

    x x y ydt dt

    + =

    Rcar

    1[ ] 0

    R

    dz

    dt=

    Dans le repre ( ; , , )R O x y z

    , les vecteurs de base deR1 sexpriment en fonction de langle :

    y

    x

    1x

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    21

    1 1cos sin et sin cosx x y y x y = + = +

    et leurs drives par rapport au temps sont

    donnes par :

    1 1 1

    d[ ] sin cos et [ ] cos sin

    dt

    d1x x y x y y x y

    dtx = + = = =

    do le rsultat :

    ( ) /S R z =

    4 - 3 Mouvement hlicodal

    Un solide est anim d'un mouvement hlicodal si une droite du solide glisse sur un axe fixe

    );(0

    zO

    et si une particule du solide non situe sur cette droite a un mouvement hlicodal d'axe

    );(0

    zO

    .

    H

    A

    OP

    Calculons la vitesse du A, point du solide anim d'un mouvement hlicodal.

    +=

    AHVVRHRA // qui est la formule du champ des vitesses champ antisymtrique.

    Par ailleurs, on a :

    RPRHRAVVVOPOHHAOHOA

    ///

    +=+=+=

    Le point P tant la projection du point A sur le plan ( ),; yxO

    , il dcrit une trajectoire circulaire

    dans ce plan. De ce fait, et en vertu des expressions obtenues pour le mouvement de rotation

    autour d'un axe fixe on a :

    z

    = zV

    RP

    /

    =D'o le rsultat pour le vecteur vitesses du point A :

    zAHzAHVVRHRA

    ++=//

    4 - 4 Mouvement quelconque.

    Nous analysons le mouvement quelconque dun solide (S) par rapport un repre donnR.

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    22

    Axe instantan de rotation : Le torseur cinmatique peut tre dcompos en un couple et un

    glisseur.

    Choisissons de passer par un point P dont la vitesse est parallle au vecteur rsultante .

    Nous avons alors la dcomposition suivante :

    { }( ) / ( ) /

    0A

    A S R P S R

    CV V AP

    = = +

    =

    Ce mouvement quelconque se dcompose donc un mouvement de translation parallle un

    axe () (parallle la direction de la rsultante

    ) plus un mouvement associ au glisseur

    daxe parallle la rsultante .

    Nous avons donc un mouvement qui sapparente un mouvement hlicodal daxe parallle

    la rsultante . La direction de tant variable dans le temps, on appelle cet axe laxe

    instantan de rotation.

    Cet axe () est un axe parallle et passant par un point P dfini par :

    2

    1( AAP V =

    ) . Nous avons aussi calculer la valeur du pas

    2

    . AV

    =

    .

    Pour cela il suffit dcrire ( ) / ( ) / 21

    . .A S R A S RV V = = .

    5 - Composition des vitesses

    Ici nous reprenons les calculs prcdents pour exprimer le vecteur vitesse par rapport un

    repreR1 lorsquon la connat dans un repre de dpartR.

    Par dfinition, on peut crire :

    1 1/ 1 1 / / ( )M R O R M R

    R R

    d dV OM OO O M V V O

    dt dt

    = = + = + +

    1M

    avec

    1 1

    1 1

    / / / ( ) / 1

    / / ( ) / 1

    ( )M R M R O R S R

    M R R O R S R

    V V V O M

    V V O M

    = + +

    = +

    Do :

    1 1/ / / et on peut crireM R M R M R R

    a r e

    V V V

    V V V

    = +

    = +

    avec Va la vitesse absolue, Vr la vitesse relative et Ve la vitesse dentranement.

    La signification physique de cette compostions des vecteurs vitesse peut tre image par le

    voyageur dans le train observ par une personne sur le quai.

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    23

    Lobservateur mesure la vitesse du voyageur, cest la vitesse absolue. La vitesse du voyageur

    par rapport au wagon du train, cest la vitesse relative. Le wagon est donc li au repre relatif.

    Enfin la vitesse du wagon par rapport lobservateur sur le quai est la vitesse dentrainement

    du voyageur. Elle sinterprte comme tant la vitesse du voyageur li au wagon mais entrain

    dans son mouvement.

    6 - Composition des rotations

    Nous allons montrer que la composition des vitesses de rotation instantane se compose de la

    mme manire que les vitesses de translation des points dun solide.

    Pour cela on considre un solide (S) en mouvement par rapport au repre 111 1 1( ; , , )R O x y z

    ,

    repre qui est lui-mme en mouvement par rapport un repre fixe ( ; , , )R O x y z

    .

    Nous considrons le mouvement de deux pointsM et P du solide (S) :

    1 1

    1 1

    1 1 1 1

    1 1

    / / /

    / / /

    / ( ) / / ( ) / / /

    ( ) / ( ) / /

    et

    et donc

    On obtient alors le rsultat :

    M R M R M R R

    P R P R P R R

    M R S R M R S R M R R R R

    S R S R R R

    V V V

    V V V

    V MP V MP V

    MP MP MP

    = +

    = +

    + = + + +

    = +

    MP

    Le produit vectoriel tant distributif, on obtient :

    1 1( ) / ( ) / / S R S R R R = +

    Gnralisation un n repre pour le torseur cinmatique.

    Pour un solide en mouvement par rapport n repres, nous crivons

    { } { } { } { }1 1( ) / ( ) / / /

    ...n n nS R S R R R R RA AA A

    C C C C

    = + + +2 1

    7 Composition des acclrations

    Nous allons reprendre lexpression du vecteur vitesse obtenu par drivation compose. Nous

    crivons alors :

    1 1/ / / ( ) / 1( )

    M R M R O R S RV V V O M = + +

    Par drivation nous avons :

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    24

    1 1

    1 1 1 1

    1 1

    / / / ( ) / 1

    / / ( ) / / / ( ) / 1 ( ) / 1

    / / / ( ) / 1 ( )

    [ ( )] [ ( ( ))]

    [ ( )] [ ( )] [ ( ))]

    [ ( )]

    M R R M R O R S R R

    M R M R R S R M R O R S R R S R R

    M R M R O R S R R S

    d dV V V O M

    dt dt

    d dV V O M O M

    dt dt dt

    d O Mdt

    = + +

    = + + + +

    = + + +

    d

    1/ ( ) / 1 ( ) / / ( ) 2R S R S R M RO M V +

    /M R

    reprsente lacclration absolue,

    1/M R

    est lacclration relative,

    1/ ( ) / 1 ( ) / ( ) / 1[ ( )] (O R S R R S R S R

    dO M O M

    dt + + )

    reprsente lacclration

    dentranement,

    1( ) / / 2 S R M RV

    est lacclration complmentaire ou de Coriolis

    Exemple de leffet de la force de Coriolis

    Considrons un disque horizontal tournant la vitesse angulaire constante , et un objet (par

    exemple un glaon) glissant sans frottement, lanc l'instant du bord du disque vers son

    centre une vitesse V

    0 dans le rfrentiel du laboratoire. Nous allons observer le mouvement

    dans le rfrentiel fixe du laboratoire (galilen), puis dans le rfrentiel du disque (non

    galilen).

    Dans le rfrentiel galilen, comme il n'y a pas de frottement, le glaon n'est soumis aucune

    force, et donc sa vitesse est uniforme et le glaon dcrit une ligne droite, comme prvu par le

    principe d'inertie. Mais si notre mobile a laiss une trace d'eau sur le disque, celle-ci n'est

    clairement pas rectiligne : le point de sortie A' du glaon n'est pas diamtralement oppos A.

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    25

    III Angles dEuler

    1 dfinition

    Le mouvement quelconque dun solide (S) dans lespace peut toujours tre considr chaque

    instant comme la somme dun mouvement de translation pure et dune rotation autour dun

    point de lespace. Nous allons uniquement analyser le mouvement de rotation que nous allons

    dcomposer en 3 rotations possibles qui sont associes aux angles dEuler.

    2 - Reprage

    On dfinit dabord un repreR li (S) dorigine A particule de (S) et de base ( , , )x y z

    . Ce

    repre est construit en tenant compte des proprits gomtriques de (S).

    On noteR0dfinit par le repre de rfrence.0 0 0( ; , , )O x y z

    On introduit un vecteur unitaire tel queu

    0. 0u z =

    et . 0u z =

    On construit les repres intermdiairesRverRw dorigine O, de bases orthonormes

    respectives :

    0( , , )u v z

    et ( , , )u w z

    On introduit ( )t pour reprer dans le planu

    0 0( ; , )O x y

    orient par 0z

    :

    0 0( ) ( , ) ( , )t x u y v = = mesur autour de 0z

    0z

    De mme on introduit ( )t pour reprer z

    dans le plan 0( ; , )O v z

    orient par u .

    0( ) ( , ) ( , )t z z v w = =

    mesur autour de u

    ( )t

    u

    0x

    0y

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    27

    v

    y

    Les angles ( )t , ( )t , ( )t sont appels les angles dEuler. Ces angles dfinissent toutes les

    possibilits de rotation dun solide dans lespace.

    0z

    0x

    0

    u

    v

    ( )t

    u

    0z

    w

    z

    ( )t

    z

    u

    w

    y

    x

    ( )t

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    28

    III Mouvement plan sur plan

    1 Dfinition

    Le solide (S) est anim dun mouvement plan sur plan par rapport au repreR0 si un plan ()

    li au solide (S) glisse sur un plan (0) du repreR0.

    Exemples de tels mouvements :

    Mouvement dune chelle en contact constant sur le sol et le mur Mouvement dun fer repasser Mouvement dune table dune machine fraiser.

    2 Proprits

    - Un point M quelconque du solide (S) a le mme mouvement que sa projection m sur le plan

    ().

    Il suffit donc dtudier le mouvement des points du plan () du repre 0( '; , , )R O x y z

    en

    mouvement par rapport au repre 0 0 0( ; , , )0R O x y z

    .

    Nous choisissons le plan comme tant le plan (0 0( ; , )O x y

    0). Laxe est donc un axe

    perpendiculaire au plan ().

    0( ; )O z

    Le vecteur vitesse instantan de rotation est orthogonal au plan () et (0).

    En se reportant la dfinition du mouvement de rotation autour dun axe fixe, et pour un

    mouvement paramtr par langle, nous pouvons en dduire que la vitesse de rotation

    instantane est donne par :

    0( ) /( ) 0z =

    .

    Cette proprit peut tre aussi dmontre si lon crit la formule de transport pour le champ de

    vitesse de deux points du plan () M et A :

    0 0/ / (( ) ( )A MV t V t AM 0) /( ) = +

    Avec et deux vecteurs appartenant au plan (). Ce qui implique que le

    vecteur

    0/( )

    AV t

    0/( )

    MV

    t

    0( ) /( )AM

    appartient aussi au plan (). Or quand le point M dcrit le plan (), le

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    29

    vecteur0( ) /( )

    AM

    balaie toutes les directions du plan orthogonal 0( ) /( )

    . Ce plan est

    donc contenu dans (), donc gal (), ce qui implique que0( ) /( )

    est orthogonal ()

    3 Centre instantan de rotation (CIR)

    Le torseur cinmatique du mouvement de () par rapport (0) scrit alors :

    { } 00

    0

    ( ) /( ) 0

    ( ) /( )

    /( )M

    M

    zC

    V

    = =

    Nous avons la proprit suivante des champs de vitesse :

    0( ) /( ) 0. 0

    MV z =

    Par ailleurs, les points I de laxe instantan de rotation () du mouvement dun solide (S) par

    rapport un repreR0 vrifient la proprit suivante:

    0 0( ) / ( ) / ( ) I S R S RI V =

    Dans le cas du mouvement plan sur plan, si le point I appartient aussi au plan (), son vecteur

    vitesse est tel que :0/( )

    ( )IV

    . Le point I intersection entre laxe instantan de rotation et les

    plans () et (0) a onc une vitesse nulle chaque instant.

    Ce point I est appel Centre Instantan de Rotation (CIR) du mouvement plan sur plan.

    Construction du CIR.

    Soient deux points M et M de (). Leur vitesse peut tre calcule en utilisant la vitesse du

    point I :

    0 0 0 0

    0 0 0 0

    /( ) /( ) ( ) /( ) ( ) /( )

    '/( ) /( ) ( ) /( ) ( ) /( )' '

    M I

    M I

    V V IM IM

    V V IM I

    = + =

    = + =

    M

    0=

    0

    Ce qui aboutit, par produit scalaire au rsultat suivant :

    0 0/( ) '/( ). 0 et . 'M MV IM V IM =

    . Le centre instantan de rotation est donc situ sur les droites

    perpendiculaires 0/( ) '/( )

    etM MV V

    respectivement en M et M.

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    30

    4 Base et roulante

    La position du point I varie au cours du temps.

    On appelle base B du mouvement du solide () par rapport au solide (0) la trajectoiredu pointIdans le repreR0li au plan (0).

    On appelle roulante, la trajectoire du pointIdans le repreR li ().

    Exemple de dtermination de la base et de la roulante

    On considre le mouvement plan dune tige (AB) sur le plan ),;(21

    xxO

    . Le point A est assujetti

    rester sur laxe );(2

    xO

    et le point B sur laxe );(1

    xO

    .

    On dfinit le repre li au solide ),;(21

    XXG

    . ; G est le centre de la tige. Le centre instantan du

    mouvement de la tige par rapport au plan fixe ),;(21

    xxO

    est facilement identifiable : le point B

    a sa trajectoire porte par laxe );( 1xO

    et le point A a sa trajectoire porte par laxe );( 2xO

    .

    Les points A, O, B, I forment un paralllpipdique dont la longueurs des diagonales restent

    I

    MM0/( )

    MV 0'/( )MV

    0''/( )MV

    M

    Base

    C.I.R

    Roulante

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    31

    constantes pendant le mouvement. Le dplacement du point I par rapport au plan ),;(21

    xxO

    a

    lieu donc sur un cercle de centre O et de rayon la longueur de la barre (AB), cest la base du

    mouvement de la barre (AB) par rapport au plan fixe ),;(21

    xxO

    .

    Par ailleurs La distance GI est constante et gale la demi longueur de la barre (AB). Le

    dplacement du point I par rapport au plan ),;(21

    XXG

    a donc lie sur un cercle de centre G et

    de rayon la demi longueur de la barre (AB). Cest la roulante du mouvement plan sur plan de

    la barre (AB) par rapport au plan ),;(21

    xxO

    .

    Mouvement relatif de 3 plans

    Lobjectif de cette partie est de montrer que le mouvement relatif de 3 plans parallles

    engendre trois centre instantans de rotation aligns.

    En premier lieu siIjk est le CIR du plan ( )j par rapport au plan ( )k alors ./ 0I j k V =

    On a aussi . On en dduit queI/ 0I k jV =

    kj est aussi le CIR de ( )k par rapport ( )j .

    On peut exprimer aussi cette proprit en disant que la base et la roulante sont tangentes au

    pointIjk=Ikj .

    On considre les plans 1 2 3( ), ( ), ( ) en mouvements relativement parallles les uns par

    rapport aux autres. SoientIjk(j,k =1,2,3) les CIR des plans ( )j et ( )k .

    Notons jk la vitesse de rotation du plan ( )j par rapport au plan ( )k .

    On a :kj jk

    = etjk jm mk

    = +

    Thorme :

    Les trois centres instantans 12 23 31, ,I I I sont aligns.

    Considrons le CIR 31I point li 3( ) . Nous avons alors 31 1/ 0IV =

    . ceci peut tre dvelopp

    sous forme de composition des vitesses :

    31 1 31 2 31 2 1/ / / 0I I I V V V = + =

    o31 2 1/I

    V

    est la vitesse dentranement.

    On a et31 2/ 32 23 31I

    V z I =

    I I I 31 2 1/ 21 12 31I

    V z =

    do :

    31 1 31 2 31 2 1/ / / 32 23 21 12 31310I I I V V V z I I z I I = + = + =

    Les points12 23 31

    , ,I I I tant sur un plan normal z

    cette relation implique donc que

    32 23 21 12 31310I I I I +

    =

    . Il en rsulte que les points 12 23 31, ,I I I sont aligns, et aussi que :

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    32

    23 3112

    13 21 321332 21I I I I I I

    = = .

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    33

    CINETIQUE

    I REPRESENTATION DES MASSES DANS UN SYSTEME MATERIEL,

    OPERATEURS DINERTIE ;

    1 Systme matriel. Notion de masse

    Un systme matriel est un systme ne perdant pas de matire au cours du temps. Pour les

    besoins de la modlisation mcanique un systme matriel peut tre considr comme discret

    (ensemble de points matriels pesant par exemple), ou continu densit de masse (un solide

    par exemple).

    La cinmatique des solides que nous venons dtudier ne suffit pas pour dcrire le mouvement

    dun systme matriel dans tous ses aspects (causes et consquences). Il faut introduire une

    quantit extensive (croissante quand le corps crot et inversement) caractrisant linertie : la

    masse.

    A chaque matriel on associe donc un scalaire m qui est la masse. Dans u systme continu on

    dfinit une grandeur locale : la masse volumique :dv

    dmM =)( .

    En fait un systme matriel est caractris par 10 constantes dinertei :

    o m, la masseo xG,, yg, zGles coordonnes dans un rfrentiel donn de G, centre dinertie du solideo A, B, Cles moments dinertie par rapport aux axes du repre de rfrenceo D, E, Fles produits dinertie par rapport aux plans du mme repre.

    Nous allons dfinir et mettre en vidence ces diffrents paramtres dans les paragraphes qui

    suivent.

    2 Centre dinertie2 1 Systme de points discrets

    On considre un systme discret de n points Mi pesant de masse mi. On dit que le point G est

    centre dinertie de ce systme sil vrifie la relation suivante :

    i

    n

    i

    imOMOGm

    =

    =1

    avec = imm

    2 2 Systme continu

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    34

    Dans le cas dun systme continu, il sagit de diviser le domaine en sous-systme de masse

    dm autour dun point dit courant M :

    = )(S dmOMOG

    Le point G est le centre dinertie du systme continu (S).

    2 3 Recherche pratique

    o Systme continu homogneDans ce cas le centre dinertie du systme est le centre gomtrique. Par exemple le centre

    dinertie dun cerceau, dune sphre, dun cube sont facilement dterminables puisquon

    connat leur centre gomtrique.

    o Systmes axe de symtrieLe centre dinertie est sur laxe de symtrie. On choisit un repre dont un des axes est

    confondu avec laxe de symtrie et lon projette la relation prcdente.

    o Systmes que lon sait dcomposer en petits lments dont les centres dinertieMipartiels sont aligns.

    On sait alors que G est sur la droite portant lesMi, on projette la relation sur cet axe.

    On calcul donc le dm associ auMi . On calcul dm (mme si on connat le rsultat, car cest

    un bon moyen de vrifier le dm et les bornes dintgration).

    Exemple de calcul : centre dinertie dun cne gauche.

    O

    On choisit comme volume lmentaire un petit disque de centreMi parallle la base du

    cne. Tous lesMi sont aligns sur la droite (OA). On projette la relation sur laxe portant cette

    droite :

    ( ) ( ). .i

    S SOG u dv OM udv=

    dzhMi

    A R

    u

    z

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    35

    22 2

    2avec

    R Rdv r dz r z dv z dz

    h h

    = = =

    2 22

    2

    ( ) 0

    .sin 4sin

    h

    i

    S

    z R R hOM udv z dz

    h

    2

    = =

    22 2

    2

    ( ) 03

    h

    S

    RV dv z dz R

    h

    = = = h

    do3 3

    .4sin 4

    OG u h OA

    = =

    .

    Donc G est situ au 3/4 de la mdiane.

    3 - Moments dinertie, Produits dinertie.

    3 1 Dfinitions

    On appelle moment dinertie dun systme (S) par rapport un axe (respectivement un plan,

    un point) la grandeur dfinie par :

    2

    ( )S

    J r d = m

    o rdsigne la distance de llment de volume de masse dm laxe(resp. au plan, resp. au

    point).

    Remarque :

    On mettra toujours le moment dinertie sous la forme dun produit dune masse par un

    paramtre associ une distance lev au carr :

    2J md =

    m est la masse du systme et dest le rayon de giration.

    3 2 Expressions dans une base orthonorme.

    a Moments dinertie

    Soit un repre orthonorm. On dfinit les moments dinertie par les expressions

    donnes ci-dessous.

    1 2 2( ; , , )O e e e

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    36

    2 2

    1 2 3

    ( )

    2 2

    2 1 3

    ( )

    2 2

    3 1 2

    ( )

    2

    1 2 3

    ( )

    2

    1 3 2

    ( )

    2

    2 3 1

    ( )

    2 2

    1 2

    / ( ; ) ( )

    / ( ; ) ( )

    / ( ; ) ( )

    / ( ; , )

    / ( ; , )

    / ( ; , )

    / point (

    S

    S

    S

    S

    S

    S

    J axe O e x x dm A

    J axe O e x x dm B

    J axe O e x x dm C

    J plan O e e x dm

    J plan O e e x dm

    J plan O e e x dm

    J O x x

    = + =

    = + =

    = + =

    =

    =

    =

    = +

    2

    3

    ( )

    )S

    x dm+

    b Produits dinertie

    Par dfinition les produits dinertie sont dfinis par les expressions ci-dessous.

    1 2 1 3 2 3

    ( )

    1 2 2 3 1 3

    ( )

    1 3 2 3 1 2( )

    / (( ; , ), ( ; , )) not D

    / (( ; , ), ( ; , )) not E

    / (( ; , ), ( ; , )) not F

    S

    S

    S

    P plans O e e O e e x x dm

    P plans O e e O e e x x dm

    P plans O e e O e e x x dm

    =

    =

    =

    3 3 Thorme de Huyghens.

    Le thorme de Huyghens permet de simplifier les calculs des grandeurs lies linertie dun

    systme. Les calculs de ces grandeurs sont relativement aises si lorigine du repre est au

    centre dinertie. Pour obtenir ces grandeurs en un autre point, on dispose dune relation

    donne par le thorme de Huyghnes.

    Enonc :

    Le moment dinertie du systme par rapport un axe ( ) est gal au moment dinertie de ce

    systme par rapport un axe (D) passant par le centre dinertie G du systme augment du

    moment dinertie par rapport ( dun point matriel de masse m (la masse total du systme)

    situ sur (D)

    )

    Dmonstration :

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    37

    (D)

    ()

    G M

    HK

    Soit M le point courant du systme (S). Soit le plan () normal ( ) et passant par le point M.

    Il coupe et (D) respectivement en H et K.( )

    On crit que :

    2 2 2

    ( ) ( ) ( ) ( )

    /( ) 2 .S S S S

    J HM dm HK dm KM dm HK K = = + +

    Mdm

    2 2

    ( ) ( ) ( )

    0

    /( ) 2 . ( )S S S

    J HK dm KM dm HK KG GM

    =

    = + + +

    dm

    2 22

    ( ) ( )

    /( ) /( )S S

    J HK dm KM dm J D m = + = +

    d

    4 Oprateur dinertie

    4 1 Construction de loprateur dinertie

    Nous allons mettre en vidence un oprateur dinertie sous forme de matrice dont les

    composantes sont les moments et les produits dinerties prcdemment dfinis.

    Nous plaons dans un repre orthonorm 1 2 3( ; , , )O e e e

    . Calculons le moment dinertie dun

    systme matriel (S) par rapport un axe ( ) passant par O et de vecteur directeur

    1 2i e e 3e = + +

    dans cette base.

    Nous avons crit que par dfinition le moment dinertie par rapport laxe scrit comme

    ci-dessous :

    ( )

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    38

    2

    ( )

    /( )S

    J r = dm

    On remarque dabord que :

    sini OM OM r = =

    do :

    2 2

    2

    ( ) ( )

    ( ) .( )

    /( ) . ( )S S

    r i OM i OM i OM

    J r dm i OM i OM dm

    = =

    = =

    Donnons les composantes des grandeurs vectorielles utilises :

    1

    2

    3

    2 2

    2 3 1 2 1 3

    2 2

    3 1 3 2 1 2

    2 2

    1 2 1 3 2 3

    2 2

    2 3 1 2 1 3

    ( ) ( ) ( )

    2

    1 2 2 3

    ( )

    ,

    ( )

    /( ) ( ) (

    S S S

    t

    S

    x

    OM x i

    x

    x x x x x x

    OM i OM U x x x x x x

    x x x x x x

    x x dm x x dm x x dm

    J i x x dm x x

    +

    = + +

    +

    = + +

    2

    2 3

    ( ) ( )

    2 2

    1 3 2 3 1 2

    ( ) ( ) ( )

    )

    ( )

    S S

    S S S

    dm x x dm

    x x dm x x dm x x dm

    + +

    Cette expression peut tre exprime sous forme vectorielle :

    /( ) . ( )OJ i I = i

    ()

    M

    H r

    i

    O

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    39

    OI est une application linaire symtrique de matrice :

    [ ]O

    A F E

    I F B D

    E D C

    =

    Ne pas oublier que cette matrice a t calcule dans la base 1 2 3( , , )e e e

    . Les composantes

    changent si le point O change ou si la base change.

    Thorme de Huyghens pour loprateur OI

    Supposons que le changement de repre 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ; , , ) tel que OGG e e e a e a e a e= + +

    On peut montrer que :

    [ ] [ ]

    2 2

    2 3 1 2 1 3

    2 2

    2 1 1 3 2 3

    2 2

    3 1 3 2 1 2

    O G

    a a a a a a

    I I m a a a a a a

    a a a a a a

    +

    = + + +

    4 2 Valeurs principales, directions principales.

    Rappels :

    Nous rappelons que u vecteur unitaire est vecteur propre de la matrice

    [ ]OI associ la

    valeur propre si lon peut crire :

    [ ].OI u u=

    Ce qui quivaut au systme dquations :

    ( )

    ( )

    ( )

    A F E

    F B D

    E D C

    0

    0

    0

    =

    + = + =

    On a des solutions non triviales si :

    0

    A F E

    F B D

    E D C

    =

    Cest le polynme caractristique de 3me

    degr en .

    A chaque valeur propre correspond un systme dquation dont les solutions

    ( , , )i i i donnent les composantes dun vecteur propre. La matrice tant symtrique, les 3

    vecteurs propres unitaires sont orthogonaux. Les supports des vecteurs propres sont les axes

    principaux dinertie du solide.

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    40

    Dans le repre , la matrice dinertie scrit :1 2 3( ; , , )O u u u

    [ ]1

    2

    3

    0 0

    0 0

    0 0

    OI

    =

    Cas particulier dune racine double :

    Soit 1 2 = . Choisissons laxe laxe principal correspondant la racine simple. On a

    donc [ ]

    3( ; )O e

    1

    1

    3

    0 0

    0

    0 0

    OI

    0

    =

    , soit un vecteur quelconque mais normal laxe .Les

    coordonnes de ce vecteur sont :

    i

    3( ; )O e

    0i

    .

    On remarque alors que [ ] 1.OI i i=

    .

    i

    est donc vecteur propre dinertie par rapport laxe3

    ( ; )O e

    . On en dduit que tous les axes

    du plan pasant par O sont axes principaux dinertie. Loprateur possde une

    symtrie de rvolution. Cest le cas des solides cylindriques a section droite circulaire.

    1 2( ; , )O e e

    Cas particulier dune racine triple.

    Soit 1 2 3 = = = 0la racine triple. [ ]

    0 0

    0

    0 0

    OI

    =

    . Quelque soit laxe de vecteur

    unitaire et passant par le point O est axe principale.i

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    41

    Exemple de calcul doprateur dinertie.

    Soit le cne daxe 3( ; )O e

    , de hauteur h, de rayon de la baseR et dangle au sommet .

    3(2 )dm d dx =

    O

    On peut aisment montrer que ce solide a une symtrie axiale. De ce fait loprateur est

    reprsent par une matrice dite diagonale.

    [ ]

    0 0

    0 0

    0 0

    O

    A

    I A

    C

    =

    Le calcul de la masse du cne donne :3

    3tan

    Rm

    =

    Les trois composantesA, B, Csont calculs partir de leur dfinition :

    2 2

    2 3

    ( )

    2 2

    1 3

    ( )

    2 2

    1 2

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    S

    S

    S

    A x x dm

    B x x dm

    C x x

    = +

    = +

    = +

    dm

    Du fait de la symtrie axiale on a2 2

    2 1

    ( ) ( )

    / 2S S

    x dm x dm C = = .

    Le calcul de C doit tre fait en premier afin de faciliter le calcul de A et B.

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    42

    2 2 2

    1 2

    ( ) ( )

    ( )S S

    C x x dm = + = dm

    est la distance du point courant M laxe3

    ( ; )O e

    .

    Nous choisissons comme lment de volume une petite couronne de rayon moyen et

    comme paisseur :3dx

    3(2 )dm d dx =

    53 2

    0 0

    32

    tan 10 tan 10

    R rdr R

    C d

    = =

    mR=

    sachant que 3tan

    drdx

    = .

    Il nous reste calculer le terme 23( )S

    x dm :

    2 52 2 2

    3 3 3 3 3

    ( ) 0

    3

    tan 5 tan 5 tan

    R

    S

    r Rx dm x r dx dr

    2

    2

    mR

    = = = = .

    La matrice dinertie du cne est alors donne par :

    [ ]

    2

    2

    2

    21/ 2 0 0

    tan

    3 2

    0 1/ 2 010 tan

    0 0 1

    OI mR

    +

    = +

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    43

    II grandeurs associes aux vitesses.

    1 Torseur cintique

    1 1 Rsultante cintique, quantit de mouvement

    Soit (S) un systme matriel en mouvement dans un repre fixe 1 2 3( ; , , )R O e e e

    . On considre

    un lment de volume autour dun point M courant de (S).

    On dfinit la quantit de mouvement de (S) dans le repre fixe 1 2 3( ; , , )O e e e

    par la quantit :

    /

    ( )

    M R

    S

    p V dv=

    Nous pouvons dvelopper cette expression en nous servant de la dfinition du centre cinertie

    donne prcdemment :

    / /

    ( ) ( ) ( )

    ( )( )M R G R

    S S S

    d OM d d p V dv dv OM dv mOG mV

    dt dt dt = = = = =

    La rsultante cintique dun systme est gale la quantit de mouvement dun point

    matriel, portant la masse totale du systme et qui serait confondu avec le centre dinertie.

    On appelle repre propre dun systme, un repre dans lequel sa quantit de mouvement est

    nulle chaque instant.Si en plus son origine est en G, il est appel alors repre barycentrique. Si en plus les axes

    gardent une direction fixe, cest alors le repre de Koenig.

    1 2 Moment cintique Torseur cintique

    On dfinit le moment cintique par la grandeur :

    /

    ( )

    Q M

    S

    QM V dm = R

    Si le point Q est un point du systme (S) alors on peut crire :

    / / ( ) / M R Q R S RV V Q= + M

    Do :

    / /

    ( ) ( ) ( )

    ( )Q M R Q R QS S S

    QM V dm QM QMdm QM V dm I mQG V = = + = +

    /Q R

    Lexpression se simplifie si Q = G alors ( )G GI =

    ou bien si Q = O point fixe : ( )O OI =

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    44

    Montrons que ce moment est un champ antisymtrique et donc un moment dun torseur

    appeltorseur cintique .

    Comparons les moments cintiques dun mme systme en P et Q :

    / / / ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )P M R M R M RS S S S

    Q

    PM V dm PQ QM V dm PQ V dm QM V dm

    PQ p

    = = + = +

    = +

    /M R

    )

    0

    Nous dfinissons ainsi le torseur cintique du solide (S) dans son mouvement par rapport au

    repre (S) par ses deux lments de rduction :

    { } /( ) /,( ) /

    G R

    S R QQ S R Q

    p mV

    = =

    Cas du centre de gravit et dun point fixe :

    Nous pouvons utiliser la proprit de la formule de transport pour le champ antisymtrique,

    pour lexprimer au point G, centre dinertie pour le solide :

    / /( )/(G R G RQ G G S RQG mV I mQG V = + = +

    Nous pouvons voir que pour un mouvement de type translation pure alors

    et donc

    ( )/( 0S R =

    ( ) /(G G S RI = =

    /G RQ mQG V =

    Le torseur est un glisseur passant par G.

    Dans le cas dun mouvement de rotation point fixe O, nous avons :

    ( ) /( 0O O S RI = =

    Ce qui permet de formuler le thorme de Koenig pour le torseur cintique :

    Le moment cintique dun solide (S) anim dun mouvement quelconque est gal la somme

    du moment cintique de ce solide anim dun mouvement de translation pure de vitesse gale

    la vitesse du centre dinertie et du moment cintique de ce solide en rotation autour de G(considr comme fixe).

    2 Energie cintique

    2 1 Dfinition

    Soit (S) un solide en mouvement par rapport au repreR et soit un point courant M.

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    45

    Lnergie cintique de (S) dans son mouvement par rapport au repre R est donne par

    lexpression suivante :

    2

    /

    ( )

    1

    2c M

    S

    E V=

    Rdm

    M

    , )

    Cette expression peut tre expliciter en prenant un autre pont Q du mme solide (S).

    Le champ des vitesses est donn par :

    ( ) // / S RM R Q RV V Q= +

    En introduisant cette expression dans celle de lnergie cintique, nous obtenons

    2

    2 . ( ) 2 ( ,Q QC QE mV I m V QG= + +

    Cette expression de lnergie assez complexe peut tre avantageusement simplifie si on

    lexprime en des point Q tels que :

    parallle QG / parallle Q RV Le point Q est en G. Le cas le plus intressant :

    2

    2 . ( ) .G GC GE mV I V p . G= + = +

    On reconnat ici le comoment de deux torseurs : le torseur cinmatique pra le torseur

    cintique. Or le produit de 2 torseurs est indpendant du choix du point o ils sont dfinis.

    Donc , 2 . .C QQ E V p Q = +

    2 2 Thorme de Koenig

    Mouvement de translation pure de vitesse /G RV 2

    /2 G RC

    E mV =

    Mouvement de rotation autour dun point fixe O :2 . (

    C OE I=

    )

    Do lnonc du thorme de Koenig pour lnergie cintique :

    Lnergie cintique dun solide (S) anim dun mouvement quelconque est gal la somme

    lnergie cintique de ce solide anim dun mouvement de translation pure de vitesse gale

    la vitesse du centre dinertie et de lnergie cintique de ce solide en rotation autour de G

    (considr comme fixe).

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    46

    III GRANDEURS ASSOCIEES AUX ACCELERATIONS

    1 Rsultante dynamique- Quantit dacclration

    1 1 Dfinition

    Soit le solide (S) en mouvement dans un repreR. On dsigne par G son centre dinertie, m sa

    masse. Soit M un point courant de (S).

    On dsigne par R

    la rsultante dynamique du solide (S). Cette rsultante dynamique est aussi

    appele quantit dacclration par analogie avec la quantit de mouvement p

    dfinie

    prcdemment.

    1 2 Calcul

    R

    est dfinie par lexpression suivante :

    2

    / //2

    ( ) ( )

    ( ) ( ) (M R G RM RRS S R

    d d)

    dR dm V dm OG m p

    dt dt dt

    = = = = =

    La rsultante dynamique dun solide est donc gale la quantit dacclration dun point

    pesant de masse m et qui serait confondu avec le centre dinertie G. On constate aussi que

    cest la drive par rapport au temps de la quantit de mouvement p

    .

    2 Moment dynamique torseur dynamique

    2 1 Dfinition

    Le moment dynamique est dfini dune manire quivalente au moment cintique.

    Soit Q un point quelconque de lespace, on dfinit le moment dynamique par lexpression

    suivante :

    /

    ( )

    M RQ

    S

    QM dm =

    2 2 Relation entre moment dynamique et moment cintique

    Reprenons lexpression du moment cintique et drivons par rapport au temps relativement au

    repre de dpartR.

    / /

    ( ) ( )

    ( )Q M RS S

    QM V dm OM OQ V dm = =

    M R et la drive donne :

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    47

    // / /

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) M RM R Q RQ M RR S S

    dV V V dm QM d

    dt

    = +

    m

    soit / / /

    ( )

    M RQ Q

    RS

    dQM dm mV V

    dt

    = = +

    Q R G R

    Le second terme sannule pour Q en G ou bien au point fixe O.

    Dans ce cas G GR

    d

    dt

    =

    3 Torseur dynamique

    Nous allons montrer que le moment dynamique a les proprits dun champ antisymtrique.

    Pour cela nous allons lexprimer en deux points et voir si lon obtient la fameuse relation de

    transport des moments de torseurs ;

    Soit P et Q deux points du solide (S). Nous avons la dfinition de base du moment

    dynamique :

    / / /

    ( ) ( ) ( )

    M R M R M RQ P

    S S S

    QM dm QP dm PM dm QP R = = + = +

    Nous avons bien obtenu la proprit des champs antisymtriques, le moment dynamique est

    donc un moment de torseur appel torseur dynamique dfini en un point Q par ses lments

    de rduction :

    { }/

    ( ) /

    G R

    S R QQ

    R m

    = =

    Si le point Q est en G ou bien en point O fixe alors on peut crire de manire global :

    { } { }( ) / ( ) / S R S RG GR

    d

    dt

    =

    Cette formulation, on le verra, est souvent utilise dans la rsolution des problmes de

    dynamique.

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    CHAPITRE IV - STATIQUE ET REPRESENTATION DES ACTIONS

    MECANIQUES

    I MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES AGISSANT SUR UN

    SYSTEME MATERIEL

    1 Dfinition :

    Action mcanique : toute cause qui a pour effet de maintenir au repos, de modifier ltat du

    repos ou de mouvement dun systme matriel ou dune partie du systme.

    * Exemple dactions mcanique :

    - laction de la pesanteur provoque la chute de la pomme de Newton

    - le soleil dvie la trajectoire rectiligne de la terre

    - lcoulement de leau est arrt par la prsence de la paroi du barrage

    2 Classification des actions mcaniques

    On classe les actions mcaniques selon leur mode daction et leur nature. On distingue ainsi :

    les actions mcaniques qui sexercent distance telles laction de la pesanteur, lactiondun champ magntique.

    les actions mcaniques de contact telle laction de leau sur une paroi de barrage (forcede pression)

    Les deux types dactions peuvent sexercer sous forme daction ponctuelle, c'est--dire en un

    point de lespace. Cette hypothse est physiquement difficile raliser. On modlise

    cependant souvent des forces sappliquant en un point du systme par un vecteur force

    applique en ce point. Ce mode daction est alors associ un vecteur li et donc sa

    reprsentation peut tre faite, comme nous lavons vu dans le cours sur les torseurs, laide

    glisseur.

    Lensemble des actions voques prcdemment sont modlises par des torseurs associs

    des densits de force (sauf pour ce qui est de la force ponctuelle).

    Nous allons successivement examiner les actions mcaniques densit volumique de force

    puis surfacique ou linique.

    a Action mcanique densit volumique de force.

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    49

    Considrons un systme matriel () continu occupant un volume V de lespace trois

    dimensions. Chaque lment de volume dV autour dun point courant Mpeut tre sollicit par

    une force :

    dF rdV =

    Nous avons donc un glisseur associ au vecteur li ( , )M dF

    .

    On peut en dduire la densit de force volumique :

    dFr

    dV=

    r

    est donc un vecteur densit volumique de force.

    En mcanique des milieux continus, on se ramne des grandeurs locales et lon crit :

    0limdV

    dFrdV

    =

    Lensemble de ces forces appliques sur chaque lment de volume entourant le point

    courantMconstitue un ensemble de glisseurs associs aux vecteurs lis (

    dF

    , )M dF

    . Lensemble

    de ces glisseurs constituent un torseur de rsultante :

    ( )( )

    VR r M dV =

    et de moment en un point A quelconque ::

    ( )( )A

    VM AM r M dV =

    Remarque : On peut facilement vrifier que cet ensemble de vecteur est bien un torseur. Il

    suffit pour cela dcrire cette formulation en passant par un point B quelconque :

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )A

    V V V

    B

    M AB BM r M dV AB r M dV BM r M dV

    M AB R

    = + = +

    = +

    On se retrouve bien avec la forme dun champ antisymtrique.

    Exemple particulier: Champ de pesanteur uniforme.

    La pesanteur terrestre agit sur lensemble des milieux matriels par lintermdiaire dune

    force distance qui agit sur lensemble du milieu et donc sur le volume de matire constituant

    le milieu en question. Nous avons donc une action densit volumique. Chaque lment de

    volume est de ce fait soumis une force de la forme :

    dF rdV gdV = =

    La densit volumique de force est donc dfini par :

    r g=

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    50

    Le torseur ainsi constitu pour tout le volume Va pour rsultante :

    ( )( )

    VR M gdV mg= =

    m tant la masse totale du systme.

    Son moment en un point A est dfini de la manire suivante :

    A GM M AG R AG m= + =

    g

    Cette dernire expression est justifie si lon remarque que( )

    0GV

    M GM mgdV =

    =

    par

    dfinition du centre de masse G.

    Le torseur associ aux forces rparties de pesanteur de densit r g=

    est donc un glisseur

    associ au vecteur li ( ., )G mg

    gdv

    dM

    b Actions mcaniques densit massique (ou linique)

    La mme dmarche peut-tre faite lorsquon traite des actions mcaniques densit

    surfacique (ou linique) :

    Nous reprenons pour cela le solide () de frontire (S). Chaque lment de volume dS autour

    dun point courant M de () peut tre sollicit par une force :

    dF rdS=

    Nous avons donc un glisseur associ au vecteur li ( , )M dF

    .

    On peut en dduire la densit surfacique (ou linique) de force:

    dFr

    dS=

    r

    est donc un vecteur densit surfacique de force.

    En mcanique des milieux continus, on se ramne des grandeurs locales et lon crit :

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    51

    0limdS

    dFr

    dS=

    Lensemble de ces forces appliques sur chaque lment de surface (ou de ligne)

    entourant le point courantMconstitue un ensemble de glisseurs associs aux vecteurslis

    dF

    ( , )M dF

    . Lensemble de ces glisseurs constituent un torseur de rsultante :

    ( )( )

    SR r M dS=

    et de moment en un point A quelconque ::

    ( )( )A

    SM AM r M dS=

    Remarque : On peut facilement vrifier que cet ensemble de vecteur est bien un torseur. Il

    suffit pour cela dcrire cette formulation en passant par un point B quelconque :

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )A

    S S

    B

    SM AB BM r M dS AB r M dS BM r M dS

    M AB R

    = + = +

    = +

    On se retrouve bien avec la forme dun champ antisymtrique.

    3 Modlisation des actions de contact Loi de Coulomb

    Nous venons de traiter des actions mcaniques de contact. Nous allons analyser ce problme

    travers le contact entre deux solides (1) et (2) . Supposons que ces deux solides soient en

    contact au travers dune portion de surface (). Nous considrons un point K de () et la

    normale en K oriente de (1) vers (2)

    (2)

    n

    K()

    La force lmentaire dF

    qui sexerce sur une surface lmentaire ds peut tre dcompose sur

    le plan tangent commun () de la manire suivante :

    (1)

    dF

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    ( ) ( )n tdF f M dS f n f dS= = +

    nf est la composante normale de la densit de force lmentaire de contact en K, elle exprime

    la pression exerce par le solide (2) sur (1).

    tf est la densit de force lmentaire tangentielle (dite de cisaillement) au point K.

    d Lois de Coulomb (1726,1805).

    Le contact entre deux solides saccompagne de phnomnes de frottement dans certaines

    conditions. Ces frottements dpendent principalement de la nature du mouvement relatif

    entre les deux solides en contact, de la nature des matriaux qui les constituent et aussi de

    ltat des surfaces en contact.

    Nous allons voir que dans certaines conditions les forces mises en uvre dans le contact

    peuvent sannuler ou non.

    Les lois de Coulomb donnent une relation entre les composantes des actions locales de

    contact.

    Nous allons prciser les diffrentes configurations de laction de contact et leur valeur.

    Cas du glissement non nul1 2,( ) /( )

    ( 0g S SV )

    Dans ce cas il y a frottement de glissement et on a une proprit gomtrique entre les

    rsultantes du torseur cinmatique et le torseur de laction locale de contact.

    Au point K le torseur cinmatique du mouvement d u mouvement de (S1) par rapport (S2)

    scrit :

    ( 1) /( 2)

    ( 1) /( 2)

    S S

    K S SV

    et le torseur de laction locale en K sexprime par :

    n t

    K n t

    dF f n f

    M M n M

    = +

    = +

    Nous avons alors :

    0

    . 0

    K t

    K t

    V f

    V f

    =

    Ceci traduit le fait que leffort de frottement est colinaire la vitesse de glissement mais de

    sens oppos.

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    53

    La loi de Coulomb dfini un rapport entre les deux composantes de ( )f M

    :

    tant

    n

    ff

    f= =

    fest le coefficient de frottement entre les deux surfaces. Ce coefficient dpend de la nature

    des matriaux mis en contact. On appelle , langle de frottement.

    n

    K

    Dans le cas ou le vecteur est quelconque dans le plan tangent ( ), le vecteur force de contact

    ( )f M

    dcrit un cne dangle au sommet .

    Torseur rsultant de laction de contact

    Lorsque laction de contact sexerce sur une surface (ou un tronon de ligne) il est possible

    dexprimer le torseur rsultant de laction de contact entre deux solides. Pour cela on somme

    sous forme dintgrale sur la surface (la ligne) de contact.

    { }( )

    ( 1) ( 2)

    ( )

    ( )

    ( )

    P n

    S

    S S K

    P n n

    S

    R f n f t Nn T

    A

    tM PM f n f t M n M

    = = + =

    = = +

    Loi de Coulomb pour les frottements et le roulement.

    Il est possible dnoncer des lois de Coulomb de frottement dans le cas des mouvements

    faisant intervenir des rotations de pivotement et de roulement.

    Pour cela nous reprenons lcriture du torseur cinmatique :

    ()

    dF

    fn

    ft

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    54

    ( 1) /( 2 ) ( 1) /( 2 )

    ( 1) /( 2) ( 1) /( 2)

    S S S S n t

    K S S K S S

    n

    V V

    = + =

    a cas o le (pivotement)0n

    nM n est suppos oppos .nn

    . 0n nM n n

    .

    Nous avons alors la loi de Coulomb pour le frottement de pivotement :

    nMk

    N= , kest le coefficient de frottement de pivotement.

    b Cas o 0t

    tM

    est suppos oppos :t

    0

    . 0

    t t

    t t

    M

    M

    =

    Nous avons alors la loi de Coulomb pour le frottement de roulement :

    'tM

    kN

    = , k est le coefficient de frottement de roulement.

    II LES LIAISONS

    1 Degrs de libert et dfinition dune liaison

    Un degr de libert est un mouvement de base pour un solide en mouvement dans un

    rfrentiel. Une rotation autour dun axe est un degr de libert, une translation suivant une

    direction est aussi un degr de libert. En somme un solide peut possder 6 degrs de libert

    au maximum. Ce sont les 3 paramtres de positions dun point du solide et les 3 rotations

    possible du solide.

    Une liaison est un dispositif entre deux solides permettant de limiter le nombre de degrs de

    libert. Ces liaisons peuvent tre associes des mouvements de translation suivant une

    direction ou bien des mouvements de rotation autour dun point. On distingue ainsi des

    liaisons glissire, rotule, pivot, pivot glissant

    Lorsquune liaison est permanente on dit que la liaison est bilatrale. Dans le cas contraire la

    liaison est unilatrale. Une vis dans un crou constitue une liaison bilatrale, tandis que le

    contact dune bille sur un plan est une liaison unilatrale.

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    2 Les diffrentes liaisons de base

    2 -1 Liaison glissire

    On dit quune liaison entre deux solides est une liaison glissire si le seul mouvement permis

    entre les deux solides est un mouvement de translation suivant une direction lie un des

    deux solides.

    Nous avons alors un seul degr de libert associ au mouvement relatif des deux solides.

    Reprsentation de la liaison glissire selon G. HENON

    La caractrisation cinmatique de la liaison est donne par le torseur cinmatique suivant :

    { } 121/ 20

    A

    A

    CV x

    ==

    =

    si la direction de mobilit est suivant la directionx

    Le torseur de laction du solide (S1) sur le solide (S2) est de la forme :

    { } 12 12( 1) ( 2),12 12 12 12

    P

    S S AA

    R Y y Z zA

    M L x M y N z

    = + =

    = + +

    2 2 Liaison pivot

    Deux solides sont en liaisons pivot si le seul mouvement relatif permis e est un mouvement de

    rotation autour dun axe de lun des deux solides.

    L aussi nous avons un seul degr de libert.

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    Roue de vhicule

    Liaison pivot selon G. HENON

    Le torseur cinmatique associ cette liaison est le suivant :

    { } 121/ 20

    O

    O

    xC

    V

    = = =

    Le torseur des actions mutuelles entre les deux solides est donn par :

    { } 12 12 12 12( 1) ( 2),12 12 12

    S S AA

    R X x Y y Z zA

    M M y N z

    = + + =

    = +

    2 3 Liaison pivot glissant

    Deux solides sont en liaisons pivot glissant si le seul mouvement relatif permis est un

    mouvement de rotation autour dun axe li un des deux solides combin un mouvement de

    translation suivant le mme axe..

    Le mouvement relatif entre les deux solides est caractris par deux degrs de liberts.

    Liaison pivot glissant selon G. HENON

    Le torseur cinmatique associ cette liaison est le suivant :

    { } 121/ 2 OO

    xC

    V x

    = =

    =

    Le torseur des actions mutuelles entre les deux solides est donn par :

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    57

    { } 12 12 12( 1) ( 2),12 12 12

    S S OA

    R Y y Z zA

    M M y N z

    = + =

    = +

    2 - 4 Liaison encastrementDeux solides sont en liaisons encastrement si aucun mouvement relatif nest permis entre les

    deux solides en question.

    (S2)

    (S1)

    Poutre encastre

    Le torseur cinmatique associ cette liaison est le suivant :

    { } 121/ 20

    0O

    O

    CV

    = =

    =

    Le torseur des actions mutuelles entre les deux solides est donn par :

    { } 12 12 12 12( 1) ( 2),12 12 12 12

    S S OA

    R X x Y y Z zA

    M L x M y N z

    = + + =

    = + +

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    58

    2 5 Tableau des liaisons

    Torseur des actions mcaniques transmissibles par une liaison parfaite (Source L. Granjon))

    Dsignation de la

    liaisonSchmatisation spatiale Mobilits

    Torseur daction

    mcanique

    transmissible

    Torseur daction

    mcanique

    Simplifi

    Pivot

    daxe (A, x

    )Tr

    0

    0

    0

    Rot

    Rx

    0

    0

    A

    X12 0

    Y12 M12

    Z12 N12

    Symtrie par rapport

    (A, y

    , z

    )

    A

    0 0

    Y12 0

    Z12 0

    Glissire

    daxe (A, )x

    Tr

    Tx

    0

    0

    Rot

    0

    0

    0

    A

    0 L12

    Y12 M12

    Z12 N12

    Symtrie par rapport

    (A, x

    , z

    )

    A

    0 0

    0 M12

    Z12 0

    Pivot glissant

    daxe (A, )x

    Tr

    Tx

    0

    0

    Rot

    Rx

    0

    0A

    0 0

    Y12 M12

    Z12 N12

    Symtrie par rapport

    (A, y

    , z

    )

    A

    0 0

    Y12 0

    Z12 0

    Appui plan de

    normale (A, x

    )Tr

    0

    Ty

    Tz

    Rot

    Rx

    0

    0A

    X12 0

    0 M12

    0 N12

    Symtrie par rapport

    (A, x

    , y

    )

    A

    X12 0

    0 0

    0 N12

    Rotule

    de centre ATr

    0

    0

    0

    Rot

    Rx

    Ry

    Rz

    A

    X12 0

    Y12 0

    Z12 0

    Symtrie par rapport

    (A, ,x

    y

    )

    A

    X12 0

    Y12 0

    0 0

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    Linaire annulaire

    daxe (A, x

    )Tr

    Tx

    0

    0

    Rot

    Rx

    Ry

    RzA

    0 0

    Y12 0

    Z12 0

    Symtrie par rapport

    (A, x

    , z

    )

    A

    0 0

    0 0

    Z12 0

    Linaire

    rectiligne

    de normale

    (A, x

    )

    et de contact

    (A, y

    )

    Tr

    0

    Ty

    Tz

    Rot

    Rx

    Ry

    0A

    X12 0

    0 0

    0 N12

    Symtrie par rapport

    (A, x

    , z

    )

    A

    X12 0

    0 0

    0 0

    III Principe fondamental de la statique.